les espaces probabilisés finis

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R
RÉS
SU
UM
MÉ n
n°
°2
23
3:
:ESPACES PROBABILISÉS FINIS
VOCABULAIRE PROBABILISTE
D1 Soit un ensemble.
a)On note
( )
l’ensemble des parties de .
b)On dit que deux parties
A
et
B
de sont distinctes si
A B
.
c)On dit que deux parties
A
et
B
de sont disjointes si A B .
D2 Soit un ensemble. Un peu de vocabulaire :
a)Univers : l’ensemble
tout entier.
L’univers correspond à l’ensemble des résultats possibles (on dit aussi réalisations ou issues) d’une expérience.
b)Événement de
: c’est une partie de .
c)Événement impossible : A
.
d)Événement certain :
A
.
e)Événement élémentaire : tout singleton
{ }
A de
.
f)Événement contraire de l’événement
A
:
\
A A
  : c’est le complémentaire de
A
dans .
g)Événement
A
ET
B
: il s’agit de l’événement
A B
.
h)Événement
A
OU
B
: il s’agit de l’événement
A B
.
i)Événements incompatibles : si A B : ce sont deux événements qui ne peuvent pas se produire simultanément.
j)Système complet d’événements : toute famille
1 2
, ,...,
n
A A A
d'événements de vérifiant :
1
i j
n
i
i
i j A A
A
.
Les événements
1 2
, ,...,
n
A A A
forment
alors une partition de
.
Expérience 1 : On lance un dé. Ici, l’univers est
{1,2,3,4,5,6}
  : l’univers est fini.
On considère les événements suivants : A: « le résultat est pair » et B: « le résultat est impair ».
On a donc
{2,4,6}
Aet
{1,3,5}
B.
( , )
A B
est un système complet d’événements.
A
et
B
sont bien sûr incompatibles.
Expérience 2 : On lance une pièce jusqu’à ce que l’on tombe sur « pile ». Ici, l’univers est
*
: l’univers est infini discret.
On considère l’événement suivant
A
: « on obtient « pile » en 5 lancers au plus ». On a
{1,2,3,4,5}
A.
Expérience 3 : On choisit au hasard un réel positif ou nul. Ici, l’univers est
[0, [
. L’univers est infini continu.
On considère l’événement suivant
A
: « on obtient un nombre rationnel ». On a A .
1
A
2
A
3
A
4
A

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PROBABILITÉS
D3 Soit un ensemble.
On appelle probabilité sur
toute application
: ( ) [0,1]
P 
vérifiant les conditions suivantes :
2
( ) 1
( , ) ( ) : ( ) ( ) ( )
P
A B A B P A B P A P B
.
On dit alors que
,
P
est un espace probabilisé. Il est dit fini si
est un ensemble fini.
P1 Soit
,
P
un espace probabilisé fini.
a)On a
( ) 0
P
.
b)On a
)
1 ( )
( : P PA
A A
   .
c)Si
A B
, alors
( ) ( )
P A P B
. On dit qu’une probabilité est croissante.
d)
2( )( , ) ( ( )) : P A B P A PA B
B P A B
.
e)Si
1 2
, ,...,
n
A A A
est une famille d’événements deux à deux incompatibles, alors on a :
1
1
nn
i i
i
i
P A P A
  .
f)Si
1 2
, ,...,
n
A A A
est un système complet d’événements de , alors on a :
1
1
n
i
i
P A
.
D4 Soit
,
P
un espace probabilisé fini.
On dit que
P
est une probabilité uniforme (ou équiprobabilité) sur si pour tout , les probabilités élémentaires
P
ont toutes la même valeur.
P2 Soit
P
une probabilité uniforme sur . On a alors :
a)
1
{ }
car ( )
:d P .
b)Pour toute partie
A
de
E
:
card( )
( )
card( )
A
P A 
.
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
D5 Soient ( , ) un
et deux de tels que
( ) 0
P
P
ABB
espace probabilisé fini
événements .
On appelle probabilité conditionnelle de
A
sachant
B
réalisé le réel :
( )
( ) ( | )
B
P A P A B
P A B
P B
  .
P3 Soit
,
P
un espace probabilisé fini.
a)Si
B
est un événement de tel que
( ) 0
P B
, alors on a :
( | ) 1
P B B
.
b)L’application
(.| )
P B
est une probabilité sur .

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P4 La formule des probabilités composées.
Soient
1
1
1
2
, un
2 un
, ,.., tels que
0
n
ni
i
P
P
n
A A AA n
espace probabilisé fini
entier
événements 
.
On a alors
1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1
... ( ). ( | ). ( | )... ( | ... )
n n n
P A A A P A P A A P A A A P A A A A          .
P5 La formule des probabilités totales.
Soient
1 2 système complet d'évén
, un
2 un entier
, ,.., un de tel que l'on ait pour tout :
ements 0
in
P
n
A A i P AA
espace probabilisé fini
.
On a alors, pour tout événement
B
de :
1
( ) . ( | )
n
i i
i
P B P A P B A
.
P6 La formule de Bayes.
Soit
,
P
un espace probabilisé fini.
a)Si
A
et
B
sont deux événements tels que
( ) 0
P A
et
( ) 0
P B
, alors on a ( )
( | ) . ( | )
( )
P A
P A B P B A
P B
.
b)Soit
1 2
, ,...,
n
A A A
un système complet d’événements de tel que l’on ait pour tout
j
:
( ) 0
j
P A
.
On a alors, pour tous de tel que
tel que
( ) 0
1
BP B
j j n
événement
entier :
1
( | ). ( ) ( | ). ( )
( | ) ( )
. ( | )
j j j j
jn
i i
i
P B A P A P B A P A
P A B P B
P A P B A
.
ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS
D6 Soit
,
P
un espace probabilisé fini.
Les événements
A
et
B
de sont dits indépendants si l’on a
( ) ( ). ( )
P A B P A P B
  .
P7 Soit
,
P
un espace probabilisé fini.
Si événements indépendants et sont deux de
( ) 0P
A
B
B
, alors on a
( | ) ( )
P A B P A
.
P8 Soit
,
P
un espace probabilisé fini.
Si
,
A B
est un couple d’événements indépendants de , alors
, , , , ,
A B A B A B
sont aussi des couples
d’événements indépendants de
.
D7 Soient 1 2
, ,..,
n
A A A
n
événements de .
a)On dit que ces
n
événements sont deux à deux indépendants si :
2
( , ) {1,2,..., } tq
i j n i j
, les événements
i
A
et
j
A
sont indépendants.
b)On dit que ces
n
événements sont mutuellement indépendants si :
Pour tout partie
I
contenue dans
{1,2,..., }
n
, on a :
i i
i I
i I
P A P A
  .
P9 Si
n
événements sont mutuellement indépendants, alors ils sont deux à deux indépendants. La réciproque est fausse.