les espaces probabilisés finis

RÉSUMÉ n°23 : ESPACES PROBABILISÉS FINIS
VOCABULAIRE PROBABILISTE
D1 Soit  un ensemble.
a)On note  () l’ensemble des parties de  .
b)On dit que deux parties A et B de  sont distinctes si A  B .
c)On dit que deux parties A et B de  sont disjointes si A  B   .
D2 Soit  un ensemble. Un peu de vocabulaire :
a)Univers : l’ensemble  tout entier.
L’univers correspond à l’ensemble des résultats possibles (on dit aussi réalisations ou issues) d’une expérience.
b)Événement de  : c’est une partie de  .
c)Événement impossible : A   .
d)Événement certain : A   .
e)Événement élémentaire : tout singleton A  {} de  .
f)Événement contraire de l’événement A : A   \ A : c’est le complémentaire de A dans  .
g)Événement A ET B : il s’agit de l’événement A  B .
h)Événement A OU B : il s’agit de l’événement A  B .
i)Événements incompatibles : si A  B   : ce sont deux événements qui ne peuvent pas se produire simultanément.
j)Système complet d’événements : toute famille  A1 , A2 ,..., An 

Les événements  A1 , A2 ,..., An  forment
alors une partition de  .
A1
i  j  Ai  Aj  

d'événements de  vérifiant :  n
.
 Ai  
 i 1
A2
A4
A3
Expérience 1 : On lance un dé. Ici, l’univers est   {1, 2,3, 4,5, 6} : l’univers est fini.
On considère les événements suivants : A : « le résultat est pair » et B : « le résultat est impair ».
On a donc A  {2, 4,6} et B  {1,3,5} .
( A, B) est un système complet d’événements. A et B sont bien sûr incompatibles.
Expérience 2 : On lance une pièce jusqu’à ce que l’on tombe sur « pile ». Ici, l’univers est    * : l’univers est infini discret.
On considère l’événement suivant A : « on obtient « pile » en 5 lancers au plus ». On a A  {1, 2,3, 4,5} .
Expérience 3 : On choisit au hasard un réel positif ou nul. Ici, l’univers est   [0, [ . L’univers est infini continu.
On considère l’événement suivant A : « on obtient un nombre rationnel ». On a A   .
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PROBABILITÉS
D3 Soit  un ensemble.
On appelle probabilité sur  toute application P :  ()  [0,1] vérifiant les conditions suivantes :
 P ( )  1
.

2
( A, B )   () : A  B    P ( A  B)  P( A)  P ( B )
On dit alors que  , P  est un espace probabilisé. Il est dit fini si  est un ensemble fini.
P1 Soit  , P  un espace probabilisé fini.
a)On a P()  0 .
 
b)On a A   () : P A  1  P ( A) .
c)Si A  B   , alors P( A)  P( B ) . On dit qu’une probabilité est croissante.
d) ( A, B )   () 2 : P  A  B   P ( A)  P ( B )  P  A  B  .
 n  n
e)Si  A1 , A2 ,..., An  est une famille d’événements deux à deux incompatibles, alors on a : P   Ai    P  Ai  .
 i 1  i 1
f)Si  A1 , A2 ,..., An  est un système complet d’événements de  , alors on a :
n
 P A  1 .
i 1
i
D4 Soit  , P  un espace probabilisé fini.
On dit que P est une probabilité uniforme (ou équiprobabilité) sur  si pour tout    , les probabilités élémentaires
P   ont toutes la même valeur.
P2 Soit P une probabilité uniforme sur  . On a alors :
a)    : P {} 
1
.
card()
b)Pour toute partie A de E : P( A) 
card( A)
.
card()
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
 (, P) un espace probabilisé fini
D5 Soient 
.
 A et B deux événements de  tels que P( B)  0
On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B réalisé le réel : PB ( A)  P ( A | B) 
P3 Soit  , P  un espace probabilisé fini.
a)Si B est un événement de  tel que P ( B )  0 , alors on a : P( B | B )  1 .
b)L’application P(. | B) est une probabilité sur  .
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P  A  B
P( B)
.
P4 La formule des probabilités composées.
  , P  un espace probabilisé fini

Soient  n  2 un entier
.

n

1



  A1 , A2 ,.., An  n événements tels que P   Ai   0
 i 1 

On a alors P  A1  A2  ...  An   P ( A1 ).P ( A2 | A1 ).P ( A3 | A1  A2 )...P ( An | A1  A2  ...  An 1 ) .
P5 La formule des probabilités totales.
  , P  un espace probabilisé fini


Soient  n  2 un entier
.

  A1 , A2 ,.., An  un système complet d'événements de  tel que l'on ait pour tout i : P  Ai   0
n
On a alors, pour tout événement B de  : P( B)   P  Ai  .P ( B | Ai ) .
i 1
P6 La formule de Bayes.
Soit  , P  un espace probabilisé fini.
a)Si A et B sont deux événements tels que P ( A)  0 et P ( B )  0 , alors on a P( A | B) 
P ( A)
.P( B | A) .
P( B)
b)Soit  A1 , A2 ,..., An  un système complet d’événements de  tel que l’on ait pour tout j : P( Aj )  0 .
événement B de  tel que P( B)  0
P ( B | Aj ).P( Aj )
P( B | Aj ).P( Aj )

On a alors, pour tous 
: P( Aj | B)  n
.
P( B)
entier j tel que 1  j  n
 P  Ai  .P( B | Ai )
i 1
D6 Soit  , P  un espace probabilisé fini.
ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS
Les événements A et B de  sont dits indépendants si l’on a P ( A  B)  P( A).P( B) .
P7 Soit  , P  un espace probabilisé fini.
 A et B sont deux événements indépendants de 
Si 
, alors on a P ( A | B)  P( A) .
 P( B)  0
P8 Soit  , P  un espace probabilisé fini.

 
 

Si  A, B  est un couple d’événements indépendants de  , alors A, B , A, B , A, B sont aussi des couples
d’événements indépendants de  .
D7 Soient A1 , A2 ,.., An n événements de  .
a)On dit que ces n événements sont deux à deux indépendants si :
(i, j )  {1, 2,..., n}2 tq i  j , les événements Ai et Aj sont indépendants.
b)On dit que ces n événements sont mutuellement indépendants si :


Pour tout partie I contenue dans {1, 2,..., n} , on a : P   Ai    P  Ai  .
 iI  iI
P9 Si n événements sont mutuellement indépendants, alors ils sont deux à deux indépendants. La réciproque est fausse.
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