SMP_Semestre Trois (S3): 2007/ 08 Travaux Dirigés --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Module : Physique 5 Elément de module : Optique 2 CHAPITRE I GENERALITES SUR LES ONDES ELECTROMAGNETIQUES I- Equation de propagation des ondes électromagnétiques On considère dans le vide en l’absence de toute charge et de tout courant l’équation, de propagation des ondes électromagnétiques, à une dimension : ∂ 2 s(x, t) ∂x 2 - 2 1 ∂ s(x, t) c2 ∂t 2 =0 r r s(x, t) représente l’une des composantes des champs électrique E et magnétique B relatives à un repère r r r orthonormé (O, i , j , k ); c est la célérité de la lumière. 1) On fait le changement de variables: α = x – ct et β = x + ct Montrer que : ∂ 2 s(x, t) =0 ∂α∂β - la solution générale de cette équation différentielle s’écrit sous la forme: - l’équation d’onde se ramène à: s(x, t) = f(x – ct) + g(x + ct) f et g sont deux fonctions arbitraires dont on donnera la signification. On ne considérera que des champs variables dans l’espace et dans le temps. 2) On considère une onde lumineuse correspondant à la fonction d’onde: s(x, t) = f(x – ct). a- Montrer qu’elle est transversale. r r b- Montrer que ses champs E et B sont orthogonaux. r v r r r r i ∧E c- Montrer que le trièdre ( i , E , B ) est direct: B = c v 3) On donne les expressions du vecteur de Poynting Π et de la densité volumique d’énergie lumineuse W en fonction des champs électromagnétiques: r r r E∧B 1 1 B2 Π= ; W = ε0E 2 + avec ε 0 µ 0 c 2 = 1 µ0 2 2 µ0 ε 0 : permittivité du vide; µ 0 : perméabilité magnétique du vide v a- Déterminer Π et W en fonction de ε 0 et E. b- Exprimer la puissance électromagnétique à travers l’unité de surface de plan d’onde, c’est-à-dire v l’intensité de l’onde lumineuse, en fonction de Π . v c- Que représente Π relativement au transport de l’énergie de l’onde lumineuse? 1 SMP_Semestre Trois (S3): 2007/ 08 Travaux Dirigés --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- II- Onde plane progressive monochromatique (OPPM) r Le champ électrique E d’une OPPM s’écrit : E =0 r x E = E y = 0 E z = E 0 cos3π x 10 6 (3 x 108 t - x) Déterminer pour cette onde : 1) la période temporelle ; 2) les cosinus directeurs (α, β, γ ) de sa direction de propagation ; 3) la période spatiale ; 4) la nature de sa polarisation, justifier votre réponse. III- Intensité lumineuse r L’intensité lumineuse I est proportionnelle à la moyenne du carré du champ E . Donner l’expression de I dans les cas suivants : r r 1) onde polarisée rectilignement: E = a cos(ωt - φ) i r r r 2) onde circulaire: E = a [cos(ωt - φ) i + sin( ωt - φ) j ] r r r 3) onde elliptique: E = a cos(ωt - φ) i + b sin(ωt - φ) j avec a ≠ b IV- Composition de vibrations lumineuses 1) Cas de trois vibrations On considère les vibrations lumineuses suivantes : s1 = a cos(ωt + φ) ; s2 = a cosωt ; s3 = a cos(ωt - φ) Calculer l’intensité résultante de la composition de ces trois vibrations ; on utilisera les trois méthodes : trigonométrique, de Fresnel et des nombres complexes. 2) Cas de N vibrations Calculer l’intensité résultante de la composition de N vibrations de même amplitude a et dont les phases à l’origine du temps sont en progression arithmétique de raison (-φ) : s1 = a cosωt; s2 = a cos( ωt - φ); s3 = a cos(ωt - 2φ); ….. ; on utilisera la méthode des nombres complexes. 2 sN = a cos(ωt – (N – 1)φ)
