complexe

CHAPITRE 1
NOMBRES COMPLEXES
I. RESUME DE COURS
Le nombre i
Il existe dans
l’ensemble des nombres complexes
un élément
ℂ
n'appartenant pas à ℝ , noté i tel que i 2 = −1 .
Le nombre i est solution dans ℂ de l’équation x2 + 1 = 0 .
On a alors : i 3 = −i ,
1
= −i .
i
i4 = 1 ,
Opérations dans ℂ
Soient a , b , a’ et b’ des réels. z = a + ib , z' = a'+ ib' .
1) (a + ib = a'+ ib') ⇔ (a = a';b = b')
4)
2) z + z' = a + a'+ i(b + b')
5)
(a − ib)2 = a 2 − b2 − 2abi
3) zz' = aa'− bb'+ i(ab'+ a'b)
6)
(a + ib)(a − ib) = a2 + b 2
1
a − ib
a
(a + ib)2 = a2 − b2 + 2abi
b
7) a + ib ≠ 0 ⇒ a + ib = (a + ib)(a − ib) = a 2 + b 2 − i a 2 + b 2
Définitions et vocabulaire
Soient a et b des réels et z = a + ib .
Forme algébrique de z
L'écriture z = a + ib
Partie réelle de z
Re(z) = a
Partie imaginaire de z
Im(z) = b
Le conjugué de z
z = a − ib
Le module de z
z =
Argument de z où z ≠ 0 . On note arg z
Forme
trigonométrique
de
z
zz =
a2 + b2

a
b
arg z = θ ⇒  cos θ = , sin θ = 
z
z

avec
z = z (cos θ + i sin θ )
(z ≠ 0;arg z = θ)
Forme exponentielle de z avec (z ≠ 0;arg z = θ)
Essebil Au Bac
7D
Nombres complexes
z = z e iθ
Horma Hamoud
5
Représentation géométrique des nombres complexes
# #
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;u, v) . Soient a et b des réels.
A tout nombre complexe z = a + ib , on peut associer le point M(a;b) du plan.
Le plan est appelé le plan complexe.
Le point image du nombre complexe z = a + ib
M(a;b)
Le vecteur image du nombre complexe z = a + ib
$$$$#  a 
OM  
b
Le
$$$$#  a 
nombre
complexe
L’affixe du point M(a;b) et du vecteur OM  
b
z = a + ib
L'affixe du vecteur AB
Le nombre z B − z A
L'affixe du milieu du segment [ AB ]
Le nombre
La distance AB
AB = z B − z A
$$$#
z A + zB
2
Conjugué d'un nombre complexe
Soient a,b ∈ IR et z , z 1 , z 2 des nombres complexes.
1) z = a + ib ⇒ z = a − ib
2) z = a + ib ⇒ zz = a + b
2
7) z = z
2
8) z1 + z 2 = z1 + z 2
3) z est réel ⇔ z = z
9) z 1 × z 2 = z 1 × z 2
4) z est imaginaire pur ⇔ z = − z
5)
z+z
Re(z) =
2
6) Im(z) =
n
10) z n = ( z ) ,
1 1
= ,
 z1  z1
z1 ≠ 0
 z1  z1
= ,
 z2  z2
z2 ≠ 0
11) 
z−z
2i
12) 
Essebil Au Bac
7D
Nombres complexes
n∈Z
Horma Hamoud
6
Module d'un nombre complexe
Soient a,b ∈ IR et z , z 1 , z 2 des nombres complexes.
1)
z =
2)
z = a + ib ⇒ z = a 2 + b 2
7)
1 1
= ,
z
z
z≠0
3) z = 0 ⇔ z = 0
8)
z1
z1
=
z2
z2
, z2 ≠ 0
4) z = −z = z
9) z1 + z 2 ≤ z1 + z 2
5) z1 z 2 = z1 z 2
(L'inégalité triangulaire)
6)
10) AB = z B − z A
zz
n
zn = z , n ∈ Z
Argument d'un nombre complexe
Soient z , z 1 , z 2 des nombres complexes non nuls.
1) arg z = arg 1 = − arg z
5) z est réel ⇔ arg z = kπ, k ∈ ℤ
2) arg(z 1 z 2 )= argz1 + argz 2
6) z est imaginaire pur ⇔ arg z = π + kπ, k ∈ ℤ
3) arg zn = narg z, n ∈ Z
Soient A,B,C, D des points tels que AB ≠ 0,CD ≠ 0 .
z
2
$$$#
#
7) arg(z B − z A ) = (u;
AB) [2 π]
z
4) arg 1 = arg z1 − arg z 2
z2
8) arg
$$$# $$$#
z D − zC
= (AB;CD) [2π]
zB − z A
Notation exponentielle eix
Soient x et y des réels.
1) eix = cos x + i sinx
7) eix × eiy = ei(x + y)
2) 1ix = e − ix = cos x − i sin x
8)
e
3) ei0 = ei2 π = 1
n
9) ( eix ) = einx , n ∈ Z
4) eiπ = −1
i
10) e ix = 1
π
2
5) e = i
6) e
π
−i
2
=e
3π
i
2
eix
= ei(x − y )
eiy
11) Si z = λeix avec λ ∈ IR∗ , alors
= −i
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Nombres complexes
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7
λ > 0 ⇒ arg z = x
λ < 0 ⇒ arg z = π + x
Formules d'Euler – Formule de Moivre
Formules d'Euler
Soit x ∈ IR
cos x =
Formule de Moivre
eix + e− ix
;
2
sin x =
eix − e− ix
2i
Soit x ∈ IR et n ∈ Z ;
(cos x + i sin x)n = cosnx + i sinnx
Les formules d'Euler permettent dans certains cas de transformer un
polynôme en cos x et sin x en une somme de cosinus et de sinus des multiples de
x (linéarisation).
La formule de Moivre permet d'exprimer cosnx et sinnx pour
n ∈ ℕ, n ≥ 2
sous
forme d'un polynôme en cos x et sin x .
Équations du second degré dans ℂ
1. Cas particulier : équation à coefficients réels
az2 + bz + c = 0 où a,b,c ∈ ℝ ; a ≠ 0 .
!
Le discriminant Δ = b2 − 4ac
Δ>0
deux solutions réelles distinctes
Δ=0
une solution réelle double
Δ<0
deux solutions complexes conjuguées :
z1 =
−b + Δ
2a
z1 = z 2 =
z1 =
et z 2 =
−b − Δ
2a
−b
2a
−b + i Δ
2a
et z 2 =
−b − i Δ
2a
2. Equation à coefficients complexes a,b,c ∈ ℂ ; a ≠ 0 .
!
Le discriminant Δ = b2 − 4ac
Les racines carrées du discriminant sont les nombres complexes
δ = x + iy et −δ = −x − iy tel que δ 2 = Δ avec x;y ∈ IR :
!
 x2 + y 2 = Δ

δ 2 = Δ ⇔  x 2 − y 2 = Re( Δ )
 2xy = Im( Δ )

Les solutions de l'équation az2 + bz + c = 0 :
z1 =
−b + δ
2a
et z 2 = −b − δ
2a
3. Somme et produit des solutions:
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7D
Nombres complexes
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8
Somme : s = z 1 + z 2 = − b ;
a
Essebil Au Bac
7D
Produit: p = z 1 z 2 = c .
a
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9
Applications géométriques des nombres complexes
1) Nature d'un triangle
Soit ABC un triangle. On pose Z =
zC − z A
zB − z A
Nature du triangle ABC Relation caractéristique
Equilatéral
i
π
Z = e 3 ou Z = e
−i
π
3
Rectangle en A
Z est un imaginaire pur
Rectangle isocèle en A
Z = i ou Z = −i
Isocèle en A
Z =1
2) Alignement et orthogonalité
Soient A,B,C,D des points du plan.
Relation complexe
Interprétation géométrique
zC − z A
est réel
zB − z A
A,B,C sont alignés( A ≠ B, A ≠ C )
z D − zC
est réel
zB − z A
Les droites (AB) et (CD) sont
parallèles, (A ≠ B; C ≠ D) (
z D − zC
= ±i
zB − z A
AB = CD et (AB) ⊥ (CD) où
( A ≠ B,C ≠ D )
z D − zC
est imaginaire pur
zB − z A
$$$# $$$#
(AB,CD) = θ [ 2π] et CD = λAB
zD − zC
= λeiθ ; λ ∈ ℝ∗+
zB − z A
zC − z A zB − z D
×
est réel
z B − z A zC − z D
Essebil Au Bac
7D
(AB) ⊥ (CD) où ( A ≠ B,C ≠ D )
A,B,C,D sont alignés ou cocycliques
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10
3) Lieux géométriques simples
# #
Le plan orienté est muni d'un repère orthonormal direct (O;u, v) . Considérons
un point variable M d'affixe z. Le point M' d'affixe z'. Les points A,B, Ω sont
fixes et d'affixes respectives a,b, ω .
Relation complexe
z−ω =r
Ensemble des points M
, r>0
Cercle de centre Ω et de rayon r
Médiatrice de [AB]
z−a = z −b
arg
Le
z −a π
=
z−b 2
Cercle de diamètre [AB] privé de A et B
[π]
nombre z − a
z−b
est Cercle de diamètre [AB] privé de B
imaginaire pur
arg
z −a π
=
z−b 2
arg
z −a
= 0 [ π]
z−b
Demi-cercle de diamètre [AB] privé de A et B
[2 π ]
Droite (AB) privée de A et B
Droite (AB) privée de B
Le nombre z − a est réel
z−b
Cercle centré sur (AB) de diamètre [IJ] tel que
z −a
= k , k > 0;k ≠ 1
z −b
arg
z −a
= α [ π]
z−b
arg
z−a
= α [2 π ]
z−b
Essebil Au Bac
,
I = bar{(A,1);(B,k)} ;J = bar{(A,1);(B, −k)}
α ≠ 0 [ π]
,α ≠ 0
7D
[ π]
Cercle passant par A et B privé de A et B
Arc capable d'extrémités A et B exclues
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11
II. QUESTIONNAIRES A CHOIX MULTIPLE
QCM 1
Dans le tableau suivant, une seule des réponses proposées à chaque question
est correcte.
Ecrire le numéro de chaque question et donner la réponse qui lui correspond.
N
Réponses
Questions
A
B
C
D
°
π
Si
est un
1
2
z=
1
z = −z
zz = i
z=z
z
argument de z ,
alors
i
2
3
4
π
Si
z = −1 + 2e 3 ,
alors la forme
exponentielle de z
est :
Si
e
z + z = 2 + 4i ,
Si
3e
z = −3 + 4i
alors
i
π
i
2
π
6
arg z =
z = (1 − i)e ,
alors
5
Si z = 4 + (1 − 5i)i ,
alors la partie 9
réelle de z est
Si
i
6
π
i
π
i
2
i 3e
z = −3 − 4i
( −1 + 3 ) e
π
i
3
π
3
z = −4 + 3i
z = 4i
π
π
π π
arg z = π +
arg z =
+
2 6
6
6
8
i
arg z = −
4
-1
−1 − i
1− i
π
12
π
z1 = 2 e 4 ; z2 = −2 e 2
, alors le rapport
2e
i
3π
4
2e
i
π
4
z2
est égal à
z1
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12
QCM 2
Dans le tableau suivant, une seule des réponses proposées à chaque question
est correcte.
Ecrire le numéro de chaque question et donner la réponse qui lui correspond.
Questions
Réponses
A
forme 2 + 5i
de
1 La
algébrique
B
−4 19
i
+
13 13
C
16 19
i
+
13 13
D
6
+ 2i
5
2 + 5i
est
3 − 2i
Le
2
module
( 2 − 2i 3 )
(1 + i )( 2i )
π
4
Si
de
2
3
2
3
4
1
8
2
est
est
un réel positif
imaginaire pur
2
réel négatif
d’argument
3 argument de z ,
alors le nombre
i
π
4
π
z3e 4 est
Si
4
zA − zB
1
3 isocèle et non
= − +i
équilatéral
z A − zC
2
2 rectangle
rectangle
isocèle
, alors le triangle
ABC est :
L’ensemble
des
5 points M d’affixe z
tels
que
z − 1 + 2i
= 13
2 + 3i
un cercle
et
rectangle
et
non
isocèle
un cercle
une
droite
la
médiatrice
privé de
privée d’un
d’un segment
deux
point
points
est :
6
n ∈ ℕ*
Soit
et
*
θ ∈ ℝ . La forme cos(nθ)+isin(nθ) cos θn + isin θn
algébrique
(e )
iθ
n
de
( )
( )
ncos θ+ insin θ
einθ
est :
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13
III. ENONCES DES EXERCICES CORRIGES
Exercice 1
Ecrire sous forme algébrique chacun des nombres :
z1 = (3 + 2i)(2 − 3i), z 2 =
1 + 5i
,
5−i
2i + 4
, z 4 = (1 + 2i)(3 − 5i)(1 − 2i),
2 + 3i
3 − 5i 4 − 3i
2 + 5i 4 + i
z5 =
+
, z6 =
+
,
5+i
3+ i
4 − i 2 − 5i
2 + 3i
5i
z 7 = (1 − 2i)3 , z8 =
+
3i
3 − 2i
z 3 = 2 − 3i +
Exercice 2
On pose f (z) = (3 − 2i)z2 + (5 − i)z + 2 + 5i
Calculer et donner la forme algébrique de chacun des nombres :
f (i), f (3 + 2i), f (1 + i), f (5 − i)
Exercice 3
−
On pose
f (z) = (5 + i)z + (1 + 2i) z + 4 − 3i
où z désigne le conjugué de z
Calculer et donner la forme algébrique de chacun des nombres :
f (5 − i), f (1 + 2i), f (3 + 4i), f (5 + 3i)
Exercice 4
Soit
f (z) =
(1 − 2i)z + 2 + 3i
où z est un nombre complexe.
(3 − 2i)z − 2 − 5i
1) Calculer et donner la forme algébrique de chacun des nombres :
f (5 + i), f (2i), f (3 + 2i), f (1 − i)
2) Résoudre dans ℂ chacune des équations
f (z) = 1,
f (z) =
3
.
2
Ecrire les solutions sous forme algébrique.
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Exercice 5
Soit
Z1 = (1 + 5i)2020 + (1 − 5i)2020
Z2 = (1 + 5i)2020 − (1 − 5i)2020
Montrer que Z1 est réel et Z 2 imaginaire pur.
Exercice 6
Calculer le module de chacun des nombres complexes suivant:
z1 = 4 − 3i, z 2 = (3 + i)(2 + 5i),
z3 =
z5 =
2 + 4i
, z 4 = (1 + 2i)(3 − 5i)(1 − 2i),
2 + 3i
(3 − 5i)(5 + 2i)3
(2 + 5i) 4
Exercice 7
Calculer le module et un argument de chacun des nombres complexes
suivants:
z1 = 4 + 4i, z 2 = 3 + i 3, z 3 =
z 4 = (4 + 4i)(3 + i 3), z 5 =
4 + 4i
,
3+i 3
(3 − i 3)(4 + 4i)3
.
(3 + i 3) 4
Exercice 8
En utilisant les résultats de l’exercice précédent, écrire chacun des nombres
suivants sous forme trigonométrique et exponentielle.
z1 = 4 + 4i, z 2 = 3 + i 3, z 3 =
z 4 = (4 + 4i)(3 + i 3), z 5 =
4 + 4i
,
3+i 3
(3 − i 3)(4 + 4i)3
.
(3 + i 3) 4
Exercice 9
Soit z1 = 4 + 4i, z 2 = 3 + i 3 , z3 =
z1
, z 4 = z1z 2
z2
1) Ecrire z1 et z 2 sous la forme trigonométrique.
2.a) Donner les formes trigonométrique et algébrique de z 3 .
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15
b) En déduire cos π , sin π .
12
12
3.a) Donner les formes trigonométrique et algébrique de z 4 .
b) En déduire cos
5π
5π
.
, sin
12
12
Exercice 10 (Bac)
# #
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O;u, v) .
1.a)Résoudre dans ℂ l’équation E1 : z 2 + 2z + 10 = 0
On note z1 et z2 ses solutions avec Imz2 ≤ 0 .
b)Résoudre dans ℂ l’équation E 2 : z2 − 4z + 20 = 0
On note z 3 et z 4 ses solutions avec Imz4 ≤ 0 .
2) On considère les points A, B, K , L et E d’affixes respectives z A = z1 , z B = z 2
, z K = z 3 , z L = z 4 et z E = z3 − 2i .
##
a) Placer les points A , B, K, L , et E dans le repère (O;u, v) .
b) Ecrire z E = z3 − 2i sous forme algébrique et trigonométrique.
c) Déterminer la nature du quadrilatère ABLE et du triangle AKE .
3) Pour tout nombre complexe z tel que z ≠ −1 + 3i on pose :
f (z) =
z − 2 − 4i
.
z + 1 − 3i
Déterminer et représenter dans le même repère les ensembles des points M
du plan d’affixe z dans chacun des cas suivants :
Γ1 tel que f(z) = 1 .
Γ2 tel que f (z) − 1 = 10 .
Exercice 11
P(z) = z 3 − 5z 2 + 12z − 8
1. On pose
où
z est
un
nombre complexe.
a) Calculer P(1) .
b)
a
Déterminer
et
b tels
que
pour
tout
z de
ℂ
on
a:
2
P(z) = (z − 1)(z + az + b) .
c) Résoudre dans ℂ , l’équation : P(z) = 0 .
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16
2. On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (O; u, v ) .
Soient les points A , B
et C d’affixes respectives : z1 = 1 , z2 = 2 + 2i et
z3 = 2 − 2i .
a) Calculer le module et un argument de chacun des nombres z1 , z 2 et z 3 .
b) Placer les points A , B et C dans le repère (O; u, v ) .
3.a) Ecrire le nombre
z2
sous forme algébrique. En déduire la nature du
z3
triangle OBC .
b) Déterminer et représenter l’ensemble Γ des points M d’affixe z telle que
z −1
= 1.
z − 2 − 2i
Exercice 12 (Bac)
1. Pour tout nombre complexe z on pose : P(z) = z 3 − z 2 − 4z − 6 .
a) Calculer P(3) .
b) Déterminer les réels
a
et
b tels que
pour tout
z
on a:
2
P(z) = (z − 3)(z + az + b) .
c) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexe, l’équation P(z) = 0 .
2. On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé
(O; u , v) , les points A , B , C et D
d’affixes respectives z A = 3 + 2i ,
zB = −1 + i , zC = −1 − i et z D = 3 .
a) Placer les points A , B , C et D dans le repère (O; u , v) .
b) Comparer l’affixe du milieu de [ AC ] à celle du milieu de [ BD ] .
c) En déduire la nature du quadrilatère ABCD .
d) Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z telle que
z − 3 = z +1−i .
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Exercice 13
# #
On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé (O;u , v) .
1. Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, chacune des équations
suivantes :
z 2 − 4z + 13 = 0
(E1 )
z 2 − 6z + 13 = 0
2. Pour tout nombre complexe z tel que z ≠ 3 − 2i on pose :
(E2 )
f (z) =
z − 2 − 3i
z − 3 + 2i
Calculer α = f (7 + 4i) puis donner son écriture algébrique et trigonométrique.
3. On considère les points A , B et C d’affixes respectives z A = 2 + 3i ,
zB = 3 − 2i et zC = 5 + i .
# #
a) Placer dans le repère (O;u , v) les points A , B et C .
b) Calculer f (z C ) puis donner son écriture algébrique et trigonométrique. En
déduire la nature du triangle ABC .
c) Déterminer puis construire l’ensemble Γ1 des points M du plan d’affixe z
tels que f (z) = 1 .
d) Déterminer puis construire l’ensemble Γ2 des points M du plan d’affixe z
tels que le nombre f (z ) soit imaginaire pur.
Exercice 14
Résoudre dans ℂ l’équation suivante sachant qu'elle admet une racine réelle :
z 3 − (6 + 3i)z 2 + (21 + 19i)z − 26(1 + i) = 0
Exercice 15 (Bac)
Dans ℂ on donne : a =
2− 3
2+ 3
+i
2
2
1) Calculer a 2 . Donner le module et un argument de a 2 .
2) En déduire le module et un argument de a .
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18
3) En déduire cos
5π
5π
.
, sin
12
12
4) Donner les entiers naturels n tels que a n soit réel.
Exercice 16
# #
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O;u, v) .) On pose :
P(z) = z 3 − (11 + 6i)z² + (28 + 38i)z − 12 − 60i où z est un nombre complexe.
1) Calculer P(3) et déterminer les nombres a et b tels que pour tout z de ℂ :
P(z) = (z − 3)(z² + az + b) .
2) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation P(z) = 0 .
Exercice 17
Pour
tout
nombre
3
complexe
z on
pose :
2
P(z) = z − (1 + 2cos θ)z + (1 + 2cos θ)z − 1 où θ ∈ [ 0;2π[ .
Calculer P(1) puis déterminer
les solutions z 0 , z 1 et z 2 de l’équation
P(z) = 0 sachant que z 0 est réel, et Im z1 ≥ 0 si sin θ ≥ 0 .
Exercice 18
Dans le plan orienté, on considère deux triangles ABC et DEF équilatéraux
directs. Les points G et H tels que EDBG et CDFH soient des
parallélogrammes. Soient a,b,c,d,e,f,g et h les affixes respectives des points
A,B,C,D,E,F,G et H.
1) Exprimer c − a en fonction de b − a , puis f − d en fonction de e − d .
2) Exprimer g en fonction de b,d et e ; puis h en fonction de c,d et f.
3) Démontrer que le triangle AGH est équilatéral.
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19
V. EXERCICES DE SYNTHESE
Exercice 1
1. Pour tout nombre complexe z on pose : P(z) = z 3 + (2 − 2i)z 2 + (2 − 4i)z − 4i .
a) Calculer P(2i) .
b) Déterminer les nombres
a
et b tels que
pour tout
z
on a:
P(z) = (z − 2i)(z 2 + az + b) .
c) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexe, l’équation P(z) = 0 .
2. On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé
(O; u , v) , les points A , B et C d’affixes respectives
z A = −1 − i , z B = 2i et
zC = −1 + i .
a) Placer les points A , B et C dans le repère (O; u , v) .
b) Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
c) Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z telle que :
z +1− i = 3.
Exercice 2
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O; u, v ) .
Pour tout nombre complexe z tel que z ≠ 1 + 2i on pose : f (z) =
z−3−i
.
z − 1 − 2i
1) Calculer le nombre α = f (1 + 3i) puis l’écrire sous formes algébrique et
trigonométrique.
2) On considère les deux points A et B d’affixes respectives z A = 1 + 2i et
zB = 3 + i .
Déterminer et représenter dans le même repère les ensembles Γk des points
M du plan d’affixe z dans chacun des cas suivants :
a) Γ1 tel que f ( z ) = 1 ;
b) Γ2 tel que f ( z ) soit imaginaire pur. ;
c) Γ3 tel que f ( z ) soit réel ;
d) Γ4 tel que f (z) − 1 = 5 .
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44
3.a) Déterminer et représenter dans le repère précédent un point C tel que le
triangle ABC soit rectangle isocèle en C (deux solutions possibles).
b) Vérifier que C est commun entre Γ1 et Γ2 .
Exercice 3
Soit z1 = 1 + i 3 , z 2 = 2 − i 2 et z 3 =
1+ i 3
2 −i 2
.
1) Ecrire z1 , z 2 et z 3 sous forme trigonométrique.
2) Ecrire z 3 sous forme algébrique.
3) En déduire les valeurs exactes de cos
7π
7π
et sin
.
12
12
4) Justifier les affirmations suivantes :
Le nombre (z1 )2019 est réel.
Le nombre (z 2 )2019 est imaginaire pur.
Exercice 4
1) Pour tout nombre complexe z, on pose P(z) = z 3 − (4 − i)z 2 + 7z − 4 + 7i .
a) Déterminer les racines carrées du nombre complexe −12 − 16i .
b) Calculer P(−i) .
c) Déterminer les réels a et b tels que, ∀z ∈ ℂ , on a : P ( z ) = ( z + i ) ( z 2 + az + b ) .
d) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation P(z) = 0 .
(
# #
)
2) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé O;u, v , on considère
les points A, B et C d’affixes respectives : zA = 1 + 2i , zB = −i et zC = 3 − 2i .
a) Placer les points A, B et C .
b) Soit D le point tel que ABCD soit un parallélogramme. Justifier que
zD = 4 + i
c) Ecrire sous forme algébrique
z D − zC
et en déduire la nature du triangle
zD − zA
ACD .
3) Pour tout nombre complexe z ≠ 1 + 2i ; on pose : f (z) =
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z − 3 + 2i
.
z − 1 − 2i
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45
a) Déterminer et construire l’ensemble Γ 1 des points M du plan d’affixe z tel
que f(z) = 1 .
b) Déterminer et construire l’ensemble Γ 2 des points M du plan d’affixe z tel
que f(z) − 1 = 20 .
Exercice 5
1)
Résoudre
dans
l’ensemble
des
nombres
complexes
l’équation :
2
z − 2z − 2 − 4i = 0
2)
On
considère
le
polynôme
P
déterminer
deux
définie
sur
ℂ
par :
P ( z ) = z − (2 + 2i)z − 2z − 8 + 4i .
3
a)
2
Calculer
P ( 2i ) et
P ( z ) = ( z − 2i ) z 2 + az + b
(
réels
a
et
b
tels
que
)
b) Résoudre, dans l’ensemble ℂ l’équation P ( z ) = 0 .
3) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct, on désigne par
A, B et C les points d’affixes respectives z A = (1 + i)2 , z B =
5 + 5i
2+i
1 5i
et z C = − .
2 + 3i
a) Donner la forme algébrique de z A , z B et z C
b) Placer les points A, B et C
c) Déterminer et construire l’affixe du point D tel que ABDC soit un
parallélogramme.
(1 i)z 2
4) Soit f l’application définie pour tout complexe z ≠ 3 + i par f ( z ) = − +
z−3−i
z 1 i
Montrer que pour tout z ≠ 3 + i , on a : f ( z ) = (1 − i) + +
z−3−i
5) Déterminer et construire les ensembles de points M dans chacun des cas
suivants :
a. Γ1 tel que f (z) = 2.
b. Γ2 tel que arg ( f (z) ) =
π
[ π]
4
c. Γ3 tel que arg ( f (z) ) =
3π
[ π]
4
d. Γ 4 tel que f ( z ) − 1 + i = 2 10 .
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Exercice 6
1) Pour tout nombre complexe z on pose : P(z) = z3 − 10z2 + 33z − 34 .
a) Calculer P(2) .
b)
Déterminer
les
réels
P(z) = (z − 2)(z + az + b) .
a
et
b tels
que
pour
tout
z
on
a:
2
c) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexe, l’équation P(z) = 0 . On
note z 0 ; z 1 et z 2 les solutions de ( E ) telles que Im(z 2 ) < Im(z 0 ) < Im(z1 ) .
# #
2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O;u, v ) .
Soient les points A, B et C d’affixes respectives : z A = z 1 + 3i, z B = z 2 + i et
z C = 6 + 2i .
a) Vérifier que z A = 4 + 4i et z B = 4 .
b) Ecrire les nombres zA et z B sous forme trigonométrique.
c) Placer les points A, B et C dans le repère.
3) Pour tout nombre z ≠ 4 + 4i on pose : f(z) =
z −4
.
z − 4 − 4i
a) Vérifier que f (z C ) = i et interpréter graphiquement.
b) Déterminer et construire Γ1 l’ensemble des points M du plan d’affixe z tel
que f (z) = 1 .
c) Déterminer et construire Γ2 l’ensemble des points M d’affixe z tel que f(z)
soit imaginaire pur.
n
4) Pour tout entier naturel n, on pose z n = ( z A ) et soit M n le point d’affixe z n .
a) Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels le point M n appartient à
l’axe des abscisses.
b) Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels on a OMn > 2015 .
Exercice 7
1) Pour tout complexe z on pose : P ( z ) = z 3 − 10z 2 + 36z − 40
a) Calculer P ( 2 )
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b)
Déterminer
les
(
P ( z ) = ( z − 2 ) z 2 + az + b
réels
a
et
b tels
que pour
z
tout
on
a:
)
c) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation P(z) = 0 .
# #
(
)
2) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct O;u, v , on
considère
les
points
A, B
et
d’affixes
C
respectives :
z A = 4 − 2i , z B = 2 et z C = 4 + 2i .
(
# #
)
a) Placer les points A, B et C dans le repère O;u, v .
b) Déterminer la nature du triangle ABC .
c) Déterminer l’affixe z D du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
3) Pour tout nombre z ≠ 4 + 2i ; on pose : f (z) =
z − 4 + 2i
.
z − 4 − 2i
a) Vérifier que f (z D ) = i et interpréter graphiquement.
b) Déterminer et construire Γ 1 l’ensemble des points M du plan d’affixe z tel
que f (z) = 1 .
c) Déterminer et construire Γ 2 l’ensemble des points M du plan d’affixe z tel
que f (z) − 1 = 2
4) On pose z 0 = f ( 2i ) . Pour tout entier naturel n on note z n = z 0n .
−i
π
4
a)
Ecrire z 0 sous forme algébrique, puis vérifier que z 0 = 2 e
.
b)
Déterminer la plus petite valeur de l’entier n telle que zn ≥ 2017 .
c)
Vérifier que le point d’affixe z 2018 appartient à l’axe des imaginaires
purs.
Exercice 8
# #
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O;u, v) . Pour tout
nombre complexe z on pose :
P ( z ) = z 3 − ( 3 + 2i ) z 2 + ( 3 + 3i ) z − 4i .
1.a) Déterminer les racines carrées du nombre complexe − 8 + 6i
b) Calculer P(i)
c) Déterminer les nombres a et b tels que pour tout nombre complexe z on
a : P(z) = (z − i)(z 2 + az + b) .
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48
d) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation P(z) = 0 .
2) Soit A, B et C les points d’affixes respectives z A = i, z B = 1 − i et z C = 2 + 2i .
a) Placer les points A, B et C .
b) Déterminer la nature du triangle ABC.
c) Déterminer l’affixe du point D tel que ABDC soit un parallélogramme.
d) Déterminer et construire l’ensemble Γ des points M du plan d’affixe z tel
que
z − 2 − 2i
= 1.
z −1+ i
3) Pour tout entier naturel n , on pose z n = (z C )n et vn = z n .
i
π
a) Vérifier que z C = 2 2e 4 puis en déduire l’écriture trigonométrique de z n .
b) Montrer que (vn ) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le
premier terme.
c) Calculer la limite de (vn ) et exprimer en fonction de n la somme
S n = v 0 + v1 + ... + v n .
Exercice 9 (Bac)
1.a) Déterminer les racines carrées du nombre complexe −3 + 4i
b) En déduire les solutions, dans ℂ , de l’équation z 2 + (3 − 6i)z − 6 − 10i = 0 .
# #
2)Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé ( O;u, v ) , on considère
les points A, B et C d’affixes respectives z A = −2 + 2i ; z B = i et z C = −1 + 4i .
a) Placer les points A, B et C .
b) Déterminer la nature du triangle ABC.
c) Déterminer l’affixe du point D tel que ABDC soit un parallélogramme.
z + 1 − 4i
3)Pour tout nombre complexe z ≠ i ; on pose : f(z) =
.
z−i
a) Déterminer et construire l’ensemble Γ1 des points M du plan d’affixe z tel
que f (z) = 1 .
b) Déterminer et construire l’ensemble Γ 2 des points M d’affixe z tel que f (z)
soit imaginaire pur.
c) Déterminer et construire l’ensemble Γ 3 des points M du plan d’affixe z tel
que f (z) − 1 = 2 .
n
4) On pose, pour tout entier n ≥ 1 ; z n = ( z A ) .
a) Ecrire z n sous forme trigonométrique.
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b) Déterminer la longueur du segment OM 2019 , où M 2019 est le point d’affixe z 2019 .
Exercice 10
Dans l’ensemble des nombres complexes ℂ , on pose:
P(z) = z 3 − (4 + 8i)z 2 + ( −16 + 20i)z + 24 + 8i .
1.a) Calculer P(2i) .
b) Déterminer les complexes α et β tels que pour tout complexe
z on a:
P(z) = (z − 2i)(z 2 + αz + β)
c) Résoudre l’équation P(z ) = 0 .
Exercice 11
On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation suivante :
z 2 + 6z + 25 = 0
(E)
1) Déterminer les nombres complexes z1 et z2 solutions de
(E)
tels que
Im(z1 ) > 0 .
# #
2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O;u, v .
(
)
Soient les points A, B et C d’affixes respectives : z A = z1 − 6i, z B = z 2 + 4 et
zC = −1 + 2i .
a) Placer les points A, B et C dans le repère.
b) Déterminer la nature du triangle ABC.
c) Déterminer l’affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un
parallélogramme.
3) Pour tout nombre z ≠ 3, on pose : f (z) =
z + 3 + 2i
.
z−3
a) Calculer le nombre α = f (5 − 6i) puis l’écrire sous forme algébrique et
trigonométrique.
b) Déterminer Γ1 l’ensemble des points M du plan d’affixe z tel que f (z) = 1 .
c) Déterminer Γ2 l’ensemble des points M du plan d’affixe z tel que
f (z) − 1 = 10.
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Exercice 12
# #
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé ( O;u, v ) .
1) Pour tout nombre complexe z , on pose : P(z) = z 3 − (2 + 6i)z² − 11z − 8 + 6i
a) Déterminer les racines carrées du nombre complexe Z = 32i .
b) Calculer P(2i) .
c)
Déterminer
les
nombres
a et
b tels
que
pour
tout
z de
ℂ :
P(z) = (z − 2i)(z² + az + b)
d) Résoudre, dans ℂ , l’équation ( E) : P(z) = 0 .
2) Soient A , B et C les points d’affixes respectives : z A = −1; z B = 2i et
zC = 3 + 4i .
a) Placer les points A, B et C dans le repère.
b) Déterminer l’affixe du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un
parallélogramme.
c) Déterminer et représenter l’ensemble Γ des points M d’affixe z telle que
z − 2 − 2i
le nombre
soit imaginaire pur.
z − 2i
n
3) Pour tout entier naturel n, on pose z n = ( z D ) et soit M n le point d’affixe z n .
a) Ecrire z n sous forme exponentielle. Montrer que le nombre z2020 est réel.
b) Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels on a OMn ≥ 2020 .
4) Pour tout entier naturel n, on pose U n = z n +1 − z n .
a) Montrer que ( U n ) est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son
premier terme.
b) On pose Sn = M0M1 + M1M2 + ... + MnMn+1 . Calculer S n en fonction de n
puis calculer lim S n .
n → +∞
Exercice 13
3
2
1. Pour tout nombre complexe z on pose : P(z) = z + (2 − 2i)z + (2 − 4i)z − 4i .
Essebil Au Bac
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a) Calculer P(2i) .
b)
Déterminer
les
nombres
a
et
b tels
que
pour
z
tout
on
a:
2
P(z) = (z − 2i)(z + az + b) .
c) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexe, l’équation P(z) = 0 .
2. On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé (O; u , v) , les
points A , B et C d’affixes respectives z A = −1 − i , zB = 2i et zC = −1 + i .
a) Placer les points A , B et C dans le repère (O; u , v) .
b) Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
c) Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z telle que :
z +1− i = 3.
Exercice 14 (Bac)
2
1. a) Calculer ( 4 − 2i ) .
b) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation z 2 + (2 − 4i)z − 6 = 0 .
# #
2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O;u, v . On
(
)
considère les points A, B et C d’affixes respectives : z A = 1 + i , zB = −3 + 3i et
3
(z )
zC = B 5 .
( zA )
a) Ecrire sous forme trigonométrique chacun des nombres z A , zB puis en déduire
celle de zC .
# #
b) Placer les points A et B dans le repère O;u, v .
(
c) Ecrire sous forme algébrique le nombre
)
zB
puis interpréter géométriquement.
zA
z + 3 − 3i
.
z −1− i
a) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation f(z) = i . Interpréter
géométriquement.
b) Déterminer et construire Γ1 l’ensemble des points M du plan d’affixe z tel que
3) Pour tout nombre complexe z ≠ 1 + i ; on pose : f (z) =
f(z) = 1 .
c) Déterminer et construire Γ2 l’ensemble des points M d’affixe z tel que f (z) soit
imaginaire pur ou nul.
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d) Déterminer et construire Γ3 l’ensemble des points M du plan d’affixe z tel que
f (z) − 1 = 5 .
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53
Exercice 15 (Traduit)
Soit z un nombre complexe ; z ≠ 3i .
On pose : f ( z ) =
‫ ؛‬z ≠ 3i ، '()*+ ‫)دا‬+ z #$%&
−z−2−i
.
z − 3i
. f (z) =
−z−2−i
:012
z − 3i
1) Déterminer z1 = f (i) puis l’écrire #%4$5&‫ ا‬64+ 789‫ واآ‬z1 = f (i) ‫)د‬3&‫ ا‬#%+ (1
sous
formes
trigonométrique.
algébrique
et
.<=4=>&‫ ي وا‬8!&‫ا‬
#%4$5&‫ ا‬64+ 789‫ واآ‬z 2 = f (1) ‫)د‬3&‫ ا‬#%+ (2
2) Déterminer z 2 = f (1) puis l’écrire
sous
formes
trigonométrique.
algébrique
.<=4=>&‫ ي وا‬8!&‫ا‬
et 64+ 789‫ واآ‬z = f (1 − i ) ‫)د‬3&‫ ا‬#%+(a.3
3
.‫ ي‬8!&‫" ا‬$5&‫ا‬
3.a) Déterminer le nombre z 3 = f (1 − i )
puis l’écrire sous forme algébrique.
b) On pose θ = arg z 3 .
Calculer cos θ et sin θ . En déduire
une écriture
trigonométrique du
nombre z 3 = f (1 − i ) .
. θ = arg z 3 012 (b
&%=4=' &('9‫) آ‬9*9+‫ وا‬sin θ ‫ و‬cos θ #$%‫ا‬
, z 3 = f (1 − i ) ‫)د‬34&
Γ1 ‫)ي‬,,,*3&‫ي ا‬-9,,,$>&‫< ا‬,,,. ",,,=' /,,,0 #%,,,+ (4
6,,,,%7( z 2,,,,%3&‫ ذات ا‬M 1**,,,,&‫& ا‬,,,,+->!'
4) Déterminer puis construire dans le
. f (z) = 1
plan complexe l’ensemble Γ1 des points
M d’affixe z telle que f (z) = 1 .
Γ2 ‫*)ي‬3&‫ي ا‬-9$>&‫< ا‬. "=' /0 #%+ (5
5) Déterminer puis construire dans le
plan complexe l’ensemble Γ2 des 6%7( z 2%3&‫ ذات ا‬M 1**&‫& ا‬+->!'
. f (z) + 1 = 2 5
points M d’affixe z
telle que
f (z) + 1 = 2 5 .
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Exercice 16 (Traduit)
1) Résoudre dans l’ensemble des nombres &,,,()*3&‫)اد ا‬,,,+8‫& ا‬,,,+->!' <,,,. ",,,% (1
complexes l’équation ( E1 ) : z 2 − 4z + 16 = 0
z 2 − 4z + 16 = 0 : (E1 ) &&‫'د‬3>&‫ا‬
2) Ecrire les
trigonométrique.
solutions
sous
forme
3) Soit le nombre complexe u = 2 − 2i 3 .
.<=4=>&‫" ا‬$5&‫ ا‬64+ #%47&‫ ا‬#9‫( اآ‬2
u = 2 − 2i 3 ‫*)ي‬3&‫)د ا‬3&‫ ا‬#$%& (3
.
a) En utilisant la forme trigonométrique du ‫ ؛‬u ‫)د‬,,34& <,,=4=>&‫" ا‬$,,5&‫)ام ا‬:9,,+'( (a
nombre u ; déduire tous les nombres <,,,9&‫ ا‬Z &,,,()*3&‫)اد ا‬,,,+8‫" ا‬,,,‫) آ‬9*9,,,+‫ا‬
complexes z vérifiant Z 4 = u .
. Z 4 = u 2*7;
b) Déterminer algébriquement
tous les X &,()*3&‫)اد ا‬,+8‫" ا‬,‫' آ‬,( 8< #%,+ (b
2
nombres complexes x vérifiant X = u , puis #,,' )9*9,,+‫ ا‬/,,0 X 2 = u 2,,*7; <,,9&‫ا‬
en déduire de nouveau les nombres complexes 2,,,*7; <,,,9&‫ ا‬Z &,,,()*3&‫)اد ا‬,,,+8‫) ا‬,,,()<
z vérifiant Z 4 = u .
. Z4 = u
c) En déduire les valeurs de cos
sin
11π
et
12
11π
.
12
‫ و‬cos
11π
/%,,,,,,,= )9*9,,,,,,,+‫( ا‬c
12
11π
. sin
12
Exercice 17 (Traduit)
Dans l’ensemble des nombres complexes
z − 1 + 6i
P(z) =
on pose
z+4−i
:012 &()*3&‫)اد ا‬+8‫& ا‬+->!' <.
z − 1 + 6i
P(z) =
z+4−i
1) Calculer puis écrire sous forme 3‫ ي آ‬8!&‫" ا‬$5&‫ ا‬64+ #9‫ اآ‬/0 #$%‫(ا‬1
algébrique chacun des nombres suivants :
، P( −1)
: &%&'9&‫)اد ا‬+8‫ ا‬#'
P( −1) , P(3 + 6i) et P( −4 + 3i)
P( −4 + 3i) ‫ ؛‬P(3 + 6i)
2) Résoudre dans
ℂ
l’équation /0 P(z) = 1 − i &&‫'د‬3>&‫ ا‬ℂ <. "% (2
P(z) = 1 − i et écrire la solution sous forme
.‫ ي‬8!&‫" ا‬$5&‫ ا‬64+ '>4% #9‫اآ‬
algébrique.
3) On muni le plan complexe d’un repère
Essebil Au Bac
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Nombres complexes
/?'= /43' 6&‫*)ي إ‬3&‫ي ا‬-9$>&‫ ا‬#$*2 (3
Horma Hamoud
55
# #
# #
orthonormal direct (O, u, v) . Déterminer <. "=' /0 #%+ . (O; u, v ) /A9*'‫و‬
et représenter l’ensemble des points M z 2%3&‫ ذات ا‬M 1**&‫& ا‬+->!' ‫ي‬-9$>&‫ا‬
d’affixe z dans les cas suivants :
:#%9%&'9&‫ ا‬#%9&'7&‫ ا‬#' "‫< آ‬.
a) P( z ) = 1 .
P(z ) = 1
b) Le nombre P ( z ) est réel.
(a
.<*%*% P ( z ) ‫)د‬3&‫ا‬
(b
4) On pose Z = P(3 + 6i) . Soit M 1 ; M n
‫'ن‬9C**&‫ ا‬#$9&‫ و‬. Z = P(3 + 6i) 012 (4
les points d’affixes respectives Z et Z n ;
n ∈ IN ∗ .
Z n ‫ و‬Z #(‫)د‬3&‫ر;' ا‬-E M n ‫ و‬M 1
a) Montrer que Z = 2 (cos
π
π
+ i sin ) .
4
4
. n ∈ IN ∗ 6%%
Z = 2 (cos
b) Ecrire Z n sous forme trigonométrique.
π
π
+ i sin ) ‫ أن‬#%( (a
4
4
.<=4=>&‫" ا‬$5&‫ ا‬64+ Z n #9‫( اآ‬b
c) Déterminer et représenter dans le plan ، M 1 1**&‫ي ا‬-9$>&‫< ا‬. "=' /0 ‫)د‬% (c
les points M 1 ; M 2 ; M 3 .
.M3 ، M2
d) Montrer que le triangle OM1M 2 est ‫'وي‬$9'‫ و‬/?'= OM M 64=>&‫ أن ا‬#%( (d
1
2
rectangle isocèle en M 1 .
. M 1 <. #%='$&‫ا‬
5.a) Pour quelles valeurs de n ; le point M
n 0*; n ‫)د‬34& &>%= ‫ أ<" أي‬#' (a.5
M n est situé sur l’axe (Ox)?
‫"؟‬E‫ا‬-H&‫ر ا‬-7' 64+
b) Montrer que les points O ; M 4 ; M 2008 M
، M ،O 1**&‫ أن ا‬#%( (b
2008
sont alignés.
4
.&%>%*9$'
6.a) On pose U n = z n +1 − z n . Montrer que ‫ أن‬#%( ‫ ؛‬U = z − z 012 (a.6
n
n +1
n
(Un )
est une suite géométrique. '>+'+‫ أ‬#%%3; #4C( &%+)*‫& ه‬%&'99' ( U )
n
Déterminer sa raison et son premier
.‫ول‬8‫)ه' ا‬%‫و‬
terme.
b) On pose
S n = M 1M 2 + M 2 M 3 + ... + M n M n +1 .
Calculer S n en fonction de n puis calculer
012 (b
S n = M 1M 2 + M 2 M 3 + ... + M n M n +1
. lim S n #$%‫ ا‬/0 n &&K)( S n #$%‫ا‬
n → +∞
lim S n .
n → +∞
Essebil Au Bac
7D
Nombres complexes
Horma Hamoud
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