11 Symétrie centrale

EXTENSIONS
PRÉREQUIS
ORIENTATIONS PEDAGOGIQUES
➢ Parallélogramme.
➢ Quadrilatères particuliers.
➢ Deux parallèles et une
sécante.
➢ Les transformations
géométriques.
➢ La mesure et la comparaison
des longueurs.
➢ Parallélisme et perpendicularité
➢ Symétrie axiale.
➢ Les points alignés.
➢ Le milieu d'un segment.
➢ La symétrie centrale est un outil
puissant pour étudier les figures
dans le plan et les transformations
géométriques qui conserve les
distances.
➢ La symétrie centrale est considérée
comme un acquis qui il faut utiliser
et le renforcer, qui forme avec le
parallélogramme un outil efficace
dans la résolution des problèmes
variants (les quadrilatères
particuliers ……) pour habituer les
élèves à rédiger de petite
démonstration et de justifier des
constructions géométriques
➢ Il faut se concentrer sur le fait que
la symétrique centrale conserve les
distances, l’alignement et mesure
des angles en utilisant les mesures
et l’observation.
➢ Il ne faut pas présenter la symétrie
centrale comme une application
dans le plan.
COMPÉTENCES EXIGIBLES
➢ Construire le symétrique d’un point, d’un segment, d’une droite,
d’une demi-droite, d’un cercle.
➢ Construire ou compléter la figure symétrique d’une figure donnée
ou de figures possédant un centre de symétrie à l’aide de la règle
(Graduée ou non), de l’équerre, du compas, du rapporteur.
➢ L’étude de la conservation de distance, alignement, mesure des
angles et la surface.
Applications
Contenu pédagogique
Activités
Exercice d’application :
ABC est un triangle.
1) Construire le point  le
symétrique du point  par
rapport au point .
2) Construire le point  le
symétrique du point  par
rapport au point .
3) Construire le point  le
symétrique du point  par
rapport au point .
1) Symétrique d’un point :
Exemple :
On a  est le milieu du
segment .
Donc le point  est le symétrique du point  par
rapport au point .
On a aussi le point  est le symétrique du point 
par rapport au point .
Et le point  est le symétrique du point  par
rapport au point .
Activité 1 :
Que représente le point 
pour le segment  ?
Prof : Fouad DARDOURI
Collège : ISSABANAN
Durée : 7 h
Symétrie centrale
Matière : Mathématiques
Niveau : 1APIC
Semestre : 2
On dit que le point  est le symétrique du point
 par rapport au point  lorsque le point  est
le milieu du segment .
Définition
http://ad2math.com/

Exercice d’application :
 est un triangle rectangle
en .
Tel que    et
 est le milieu du segment
.
1) Placer le point  le
symétrique du point  par
rapport au point .
2) Calculer la distance .
2) Symétrique d’un segment:
Exemple :
On a  est le
symétrique du  par
rapport au  et 
est le symétrique du
 par rapport au .
Donc le segment
 est le
symétrique du
segment  par rapport au point .
Alors   .
3) Symétrique d’une droite, demi-droite et
alignement :
Exemple :
On a  est le symétrique du  par rapport au 
et  est le symétrique du  par rapport au .
Donc la droite  est le symétrique du droite
 par rapport au point .
Alors .
Activité 2 :
Recopie la figure ci-
dessous.
1) Construire le point  le
symétrique de  par
rapport à .
2) Construire le point  le
symétrique de  par
rapport à .
3) Tracer le symétrique du
segment  par rapport
à .
4) Comparer les deux
distances  et .
Activité 3 :
Recopie la figure ci-dessous :
1) Construire le point  le
symétrique de  par rapport
à .
2) Construire le point  le
symétrique de  par rapport
à .
3) Déterminer le symétrique
de la droite  par rapport
à .
4) Déterminer la position
relative de la droite  et
son symétrique par rapport à
, conclure.
5) Construire le point  le
symétrique de  par rapport
à .
6) Déterminer le symétrique
de la demi-droite  par
rapport à , conclure.
7) Comment ils sont les
symétriques des points
alignés ,  et , conclure.
Le symétrique d'une droite  par rapport à un
point  est une droite  parallèle à .
Avec  et  sont les symétriques respectifs des
points  et par rapport au point .
Propriété 1
Le symétrique d'un segment  par rapport à
un point  est un segment [A’B’] de même
longueur.
Avec  et  sont les symétriques respectifs des
points  et par rapport au point .
Propriété
Le symétrique d'une demi-droite , par
rapport à un point , et une demi-droite 
tel que la droite  est parallèle à .
Avec  et  sont les symétriques respectifs des
points  et par rapport au point .
Propriété 2

Exercice d’application :
 est un triangle et  un
point du segment .
1) Placer les points , et 
les symétriques respectifs des
points ,  et  par rapport
au point .
2) Déterminer le symétrique
de demi-droite  par
rapport à .
3) Montrer que  est
parallèle à la droite .
4) Prouver que les points ,
 et  sont alignés.
Exercice d’application :
 est un triangle, tel que :
   et E un point en
dehors de .
1) Placer les points , et 
les symétriques respectifs des
points ,  et  par rapport
au point .
2) Calculer la mesure de
l’angle 
Exemple :
On a  est le symétrique du  par rapport au 
et  est le symétrique du  par rapport au .
Donc la demi-droite  est le symétrique du
demi-droite  par rapport au point .
Alors .
Exemple :
On a  est le symétrique du  par rapport au 
et  est le symétrique du  par rapport au 
et  est le symétrique du  par rapport au .
Et les points ,  et  sont alignées.
Donc les points ,  et  sont alignées.
4) Symétrique d'un angle :
Exemple :
On a  est le
symétrique du 
par rapport au  et
 est le
symétrique du 
par rapport au 
et  est le
symétrique du  par rapport au .
Donc l’angle 
'est le symétrique du l’angle
 par rapport au .
Alors 
Activité 4 :
 un angle et  un
point en dehors de 
.
1) Tracer la demi-droite
[MN) le symétrique de la
demi-droite  par
apport au point .
2) Tracer la demi-droite
[MP) le symétrique de la
demi-droite  par
apport au point .
3) Comparer la mesure des
deux angle 
 et 
.
Le symétrique d'un angle 
 par rapport à un
point  est un angle 
' de même mesure.
Avec ,  et  sont les symétriques respectifs
des points , et  par rapport au point .
Propriété
Les symétriques, par rapport à un point M, de
trois points alignés ,  et  sont trois points
alignés ,  et .
Avec ,  et  sont les symétriques respectifs
des points , et  par rapport au point .
Propriété 3

Exercice d’application :
 cercle de centre  et de
rayon  et  un point en
dehors .
1) Placer le point  le
symétrique du point  par
rapport au point .
2) Tracer un cercle  de
centre  et de rayon .
3) Que peut tu dire des cercles
 et  par rapport au .
5) Symétrique d'un cercle :
Exemple :
On a les deux cercles  et  de même rayon
 et  le symétrique du  par rapport au .
Donc le cercle  le symétrique du cercle 
par rapport au .
Activité 5 :
 cercle de centre  et
de rayon  et  un point en
dehors , et le point A
sur le cercle .
1) Placer les points  et 
les symétriques respectifs
des points  et  par
rapport au point .
2) Montrer que   
3) Conclure.
Le symétrique d’un cercle de centre  est un
cercle de même rayon et son centre  le
symétrique du  par rapport au même point .
Propriété