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Rupture et Plasticit´e
Pierre Suquet

Table des mati`eres
1 Comportements non lin´eaires des mat´eriaux solides 1
1.1 Vari´et´e des comportements macroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Diversit´e des m´ecanismes microscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Crit`eres ..................................... 13
1.4 Exercices..................................... 26
2 Singularit´es de contrainte et t´enacit´e des mat´eriaux 29
2.1 Concentration de contrainte au voisinage d’un d´efaut de forme elliptique . 30
2.2 Singularit´e de contrainte en fond d’entaille . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Singularit´e de contrainte `a la pointe d’une fissure plane. . . . . . . . . . . . 35
2.4 Exercices..................................... 48
2.5 Annexe : ´eprouvettes normalis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Analyse ´energ´etique de la propagation d’une fissure 53
3.1 Analyse´energ´etique............................... 54
3.2 Taux de restitution de l’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Lien entre singularit´e des contraintes et taux de restitution de l’´energie . . 64
3.4 Exercices..................................... 69
4 Analyse ´energ´etique de la propagation d’une fissure II.
Fissuration par fatigue 71
4.1 Taux de restitution de l’´energie : int´egrales invariantes . . . . . . . . . . . 72
4.2 Probl`emes tridimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Fissuration par fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 Loi de comportement ´elasto-plastique 95
5.1 Surfaceseuil................................... 96
5.2 D´eformation plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Exercices.....................................121
5.4 Principe de la dissipation maximale et convexit´e du domaine de plasticit´e . 123
6 Structures ´elasto-plastiques standards 125
6.1 Formulation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.2 Etude d’un cas particulier : Torsion d’un arbre cylindrique ´elasto-plastique 127
6.3 R´esultats g´en´eraux sur l’´evolution des syst`emes ´elasto-plastiques . . . . . . 136
6.4 Incompatibilit´e de la d´eformation plastique et contraintes r´esiduelles . . . . 141
6.5 Ecrouissage apparent en variables g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.6 Int´egration num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.7 Conclusion....................................147
6.8 Exercices.....................................149
7 Thermodynamique des Processus Irr´eversibles 155
7.1 Les principes de la Thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.2 Thermodynamique et lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.3 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.4 Exercices.....................................182
8 Charges limites 185
8.1 Chargements potentiellement supportables. Approche statique . . . . . . . 186
8.2 Approche cin´ematique par l’ext´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.3 Conclusion....................................197
9 Bibliographie 199
A Rappels d’´elasticit´e lin´eaire 203
A.1 Tenseur d’´elasticit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
A.2 Probl`eme d’´equilibre en ´elasticit´e lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
A.3 Probl`emes plans et anti-plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
A.4 Probl`emes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
B Coordonn´ees curvilignes. Formulaire 214
B.1 Coordonn´ees cylindriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
B.2 Coordonn´ees sph´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Chapitre 1
Comportements non lin´eaires des
mat´eriaux solides
Introduction et cadre de travail...
Les mat´eriaux pr´esentent une ´etonnante diversit´e de comportement. Lorsqu’on leur
applique des efforts, certains mat´eriaux s’´ecoulent `a la mani`ere de fluides, d’autres r´esistent
comme des solides. D’autres enfin commencent par r´esister mais, si l’on augmente l’effort,
finissent par c´eder et s’´ecoulent. Parmi ces mat´eriaux dits solides certains sont fragiles et
cassent sans d´eformation apparente importante, d’autres se d´eforment notablement avant
rupture (on les dit ductiles). N´eanmoins ces classifications sont toujours relatives (un
m´etal est fragile `a froid mais ductile `a chaud) et parfois ambig¨ues (un milieu granulaire
s’´ecoule comme un fluide, mais, une fois compact´e, pr´esente la coh´esion d’un solide).
Ce chapitre pr´esente dans un premier temps les comportements des mat´eriaux so-
lides les plus couramment rencontr´es `a l’´echelle de l’ing´enieur. A plus petite ´echelle, ces
mat´eriaux pr´esentent des m´ecanismes de d´eformation encore plus vari´es qu’il est utile de
connaˆıtre pour mieux comprendre leur comportement macroscopique. Nous nous limite-
rons aux m´ecanismes observ´es dans les mat´eriaux cristallins (m´etaux, roches, certains
polym`eres). Enfin, ayant mis en ´evidence diff´erents r´egimes dans le comportement des
mat´eriaux, nous aborderons la question des crit`eres, essentiels pour traduire la transition
d’un r´egime `a l’autre.
1.1 Vari´et´e des comportements macroscopiques
La fa¸con la plus ´el´ementaire d’appr´ehender la vari´et´e des comportements des mat´e-
riaux est de les tester au moyen d’essais uniaxiaux.
1.1.1 Essais uniaxiaux classiques
Un essai est dit uniaxial lorsque le tenseur de contrainte est port´e par une direction
fixe u:
σ(x) = σ(x)u⊗u.
L’´etat de contrainte est caract´eris´e par le seul champ scalaire σ. Pour ˆetre directe-
ment exploitable dans l’´ecriture de la loi de comportement du mat´eriau homog`ene que l’on
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