Fiches de Synthèse : Calcul Algébrique et Fonctions

Fiches de Synthèse (I) —Calcul algébrique
1. Les types de nombres
N: les entiers naturels. Exemples : 0,1,2, . . .
Z: les entiers relatifs. Exemples : −2,−1,0,1,2, . . .
Q: les nombres rationnels. Exemples : −2,−1,0,1,2,1
3,−2 7, . . .
R: les nombres réels. Exemples : −2,−1,0,1,2,1
3,−2 7,√2, π, e, . . .
2. Règles de calcul dans R
– Deux opérations fondamentales : l’addition +et la multiplication ×
– Propriétés :
⋆les deux opérations sont commutatives :∀x, y ∈R, x +y=y+xet x×y=y×x.
Cela veut dire que l’ordre dans lequel nous écrivons ces calculs n’a pas d’importance.
⋆les deux opérations sont associatives :∀x, y, z ∈R,(x+y) + z=x+ (y+z)et (x×y)×z=x×(y×z).
Cela veut dire que l’ordre dans lequel nous eectuons ces calculs n’a pas d’importance.
⋆les deux opérations admettent un élément neutre : l’élément neutre pour l’addition est noté 0 et l’élément
neutre pour la multiplication est noté 1.
∀x∈R, x + 0 = xet x×1 = x
⋆Tout nombre xadmet un opposé noté −xdéni par x+ (−x) = 0.
La soustraction n’est que l’addition de l’opposé (ce n’est pas une opération supplémentaire!).
⋆Tout nombre non nul xadmet un inverse noté x−1déni par x×x−1= 1.
La division n’est que la multiplication par l’inverse (ce n’est pas une opération supplémentaire!) .
⋆La multiplication et la somme sont liées entre elles par la distributivité:(x+y)×z=x×z+y×z.
– Puissances:
⋆Dénition : soient x∈Ret n∈N∗. Alors xn:= x×. . . ×x(ncopies de xmultipliées entre elles).
⋆Propriétés : (x×y)n=xn×yn,xn×xm=xn+m,(xn)m=xn×m.
3. Identités remarquables
⋆ a2−b2= (a−b)(a+b)
⋆Généralisation pour n≥2:
an−bn= (a−b)(an−1+an−2b+. . . +abn−2+bn−1) = (a−b)
n−1
k=0
an−1−kbk
⋆(a+b)2=a2+ 2ab +b2
⋆(a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3
⋆Généralisation pour n≥2(binôme de Newton) :
(a+b)n=
n
k=0 n
kan−kbkavec n k=Ck
n=n!
(n−k)! k!
1

⋆Le triangle de Pascal pour trouver les coecients du binôme de Newton :
nk
1
1 1
1+21
1331
14+641
1510 10 5 1
01 2 345
0
1
2
3
4
5
(a+b)0= 1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+ 2ab +b
(a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3
(a+b)4=a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+b4
(a+b)5=a5+ 5a4b+ 10a3b2+ 10a2b3+ 5ab4+b5
4. Résolution d’équations dans R
–Technique fondamentale : ab = 0 ⇐⇒ a= 0 ou b= 0 .
– Cas particulier (simplication) : ax =ay ⇐⇒ x=you a= 0
Essayez de factoriser les expressions au maximum. Attention à ne pas simplier par un facteur nul!
– Équations du second degré : ax2+bx +c= 0 avec a, b, c ∈R.
(1) Calculer le discriminant ∆ = b2−4ac. Trois cas:
(2a) Si ∆<0, alors pas de solutions.
(2b) Si ∆ = 0, alors une unique solution x0=−b
2a.
(2c) Si ∆>0, alors deux solutions distinctes x1=−b+√∆
2aet x2=−b−√∆ 2a.
5. Résolution d’inéquations dans R
–Technique fondamentale : ab > 0⇐⇒ aet bde même signe ⇐⇒ (a > 0et b > 0) ou (a < 0et b < 0).
– Cas particulier (simplication) : ax > ay ⇐⇒ x > y si a > 0ou x < y si a < 0.
Essayez de factoriser les expressions au maximum. Attention aux changements de signe en simpliant!
–Technique particulière : si aet bsont positifs,a > b ⇐⇒ a2> b2⇐⇒ √a > √b.
6. Fonctions anes
–Dénition : f(x) = ax +bavec a, b ∈R.aest appelé le coecient directeur et bl’ordonnée à l’origine.
Les fonctions anes sont les fonctions dont la courbe est une DROITE.
f(x)
x
2−1 1
0
1
f(x) = x
f(x) = −1
4x+1 2
f(x) = −3
2
Propriétés :
•dénies, continues et dérivables sur R.
•la fonction est déterminée par deux points:
a=f(x2)−f(x1)
x2−x1
b=x2f(x1)−x1f(x2)
x2−x1
2

Fiches de Synthèse (II) —Fonctions
1. Généralités
–Dénition : Une fonction fest un programme qui, si vous lui donnez en entrée un nombre réel xd’une partie D
de R, vous donnera en sortie un seul nombre réel y=f(x). Ceci se note:
f:D −→ R
x7−→ y=f(x)
–Terminologie : Dest appelé le domaine de dénition,f(x)est l’image de xet xest appelé un antécédent de y.
–Propriétés :
⋆ f est croissante si x1> x2=⇒f(x1)≥f(x2).
⋆ f est strictement croissante si x1> x2=⇒f(x1)> f(x2)Attention aux signes ≥et >!!
fest paire si f(x) = f(−x).
f(x)
x
(symétrique par rapport
à l’axe des ordonnées)
fest impaire si f(x) = −f(−x).
f(x)
x
(symétrique par rapport
à l’origine)
fest T-périodique si f(x+T) = f(x).
f(x)
x
T
2
−T
2
2. Limites
–Dénition : On dit que la fonction ftend vers llorsque xtend vers a, noté lim
x→af(x) = l, lorsque tout intervalle
ouvert contenant lcontient toutes les valeurs f(x)pourvu que xsoit susamment proche de a.
f(x)
xa
l
lim
x→af(x) = l
f(x)
x
l
lim
x→+∞f(x) = l
f(x)
xa
lim
x→af(x) = +∞
–Formes indéterminées : les six opérations suivantes entre limites n’ont pas de résultat bien déni
+∞−∞=?? 0 × ∞ =?? 0
0=?? ∞ ∞=?? 1∞=?? ∞0=??
–Théorèmes de comparaison :
⋆Si, sur un intervalle ]a, +∞[, on a f(x)≥g(x)et lim
x→+∞g(x) = +∞, alors lim x→+∞f(x) = +∞.
⋆Si, sur un intervalle ]a, +∞[, on a f(x)≤g(x)et lim
x→+∞g(x) = −∞, alors lim x→+∞f(x) = −∞.
⋆Théorème des gendarmes : Si, sur un intervalle ]a, +∞[, on a h(x)≤f(x)≤g(x)et
lim
x→+∞g(x) = lim x→+∞h(x) = l∈R, alors lim x→+∞f(x) = l.
3

3. Continuité
–Dénition : Une fonction f:D → Rest continue en a∈ D si lim
x→a−
f(x) = lim
x→a+f(x) = f(a).
–Théorème des valeurs intermédiaires : Soit fune fonction continue sur l’intervalle I= [a, b]. Alors fprendra
toutes les valeurs intermédiaires comprises entre f(a)et f(b).
4. Dérivabilité
–Dénition : La dérivée de fen a, aussi appelée taux d’accroissement de fen a, est le nombre déni par
f′(a) = lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a=lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h
La dérivée mesure les variations de la fonction.
–Interprétation géométrique : f′(a)est le coecient directeur de la tangente au graphe de fen a.
y
x
y=f(x)
a
f(a)
y=f′(a)x+b
–Relation entre continuité et dérivabilité :
⋆Si fest dérivable en a, alors fest continue en a.⋆ f peut être continue en aet ne pas être dérivable en a.
–Théorème : si f′>0sur un intervalle Ialors fest strictement croissante sur I.
5. Primitives et intégrales
–Dénition : Une primitive de la fonction f:D → Rest une fonction Fdérivable sur Dtelle que F′=f.
–Dénition : Soit fune fonction dénie sur l’intervalle [a, b]admettant Fcomme primitive. Alors l’intégrale de f
sur [a, b]est dénie par
b
a
f=b
a
f(x)dx =F(b)−F(a).
–Interprétation géométrique : b
a
f(x)dx représente l’aire algébrique de la surface comprise entre la courbe de f
et l’axe des abscisses.
–Propriétés: Soient [a, b]un intervalle de R,fet gdeux fonctions continues sur [a, b]et α, β deux constantes. Alors
⋆Relation de Chasles : ∀c∈[a, b],b
a
f(x)dx =c
a
f(x)dx +b
c
f(x)dx. En particulier, b
a
f=−a
b
f.
⋆Linéarité : b
a
(αf(x) + βg(x))dx =αb
a
f(x)dx +βb
a
g(x)dx.
⋆Positivité : Si f≥0sur [a, b]alors b
a
f(x)dx ≥0.
⋆Croissance : Si ∀x∈[a, b], f(x)≥g(x), alors b
a
f(x)dx ≥b
a
g(x)dx.
⋆Inégalité triangulaire : 
b
a
f(x)dx
≤b
a|f(x)|dx.
4

Fiches de Synthèse (III) —Fonctions usuelles
1. Fonctions quadratiques
–Dénition : f(x) = ax2+bx +c=a(x−β)2+γavec a, b, c, β, γ ∈R.
Les fonctions quadratiques sont les fonctions dont la courbe est une PARABOLE.
f(x)
x
2−1 1
0
1
f(x) = x2
f(x) = −(x−2)2+ 1
f(x) = 1
2(x+ 1)2+ 1
Propriétés :
•dénies, continues et dérivables sur R.
•la fonction s’annule au plus deux fois.
•lim
+∞=lim −∞ =±∞ (dépend du signe de a).
2. Fonctions cubiques
–Dénition : f(x) = ax3+bx2+cx +d
f(x)
x
2−1 1
0
1
f(x) = x3
f(x) = −1
4x3+x−1 2
–Propriétés :
•dénies, continues et dérivables sur R.
•la fonction s’annule au plus trois fois.
•lim
+∞=−lim −∞ =±∞ (dépend du signe de a).
3. Fonctions quartiques
–Dénition : f(x) = ax4+bx3+cx2+dx +e
f(x)
x
2−1−2 1
0
1
f(x) = x4−x2
f(x) = −x(x−1
2)(x+ 2)2
–Propriétés :
•dénies, continues et dérivables sur R.
•la fonction s’annule au plus quatre fois.
•lim
+∞=lim −∞ =±∞ (dépend du signe de a).
5