serie 12 energitique

Série d’exercices : Systèmes mécaniques oscillants / Aspects énergétiques
Physique chimie / 2 Bac sc math A & B / EL JAMALY Otmane /2021-2022
Exercice 1 :
Un système mécanique oscillant est un système qui effectue un mouvement périodique de va et vient
autour de sa position d’équilibre stable.
Un pendule élastique horizontal est constitué d’un solide (S) de masse m lié à l’extrémité d’un ressort à
spires non jointives, de masse négligeable de raideur K. L’autre extrémité du ressort est liée à un
support fixe, figure (2).
A l’équilibre, le centre d’inertie G du solide(S) coïncide
avec l’origine O du repère d’espace
 lié à la Terre .
On écarte le solide (S) de sa position d’équilibre dans
le sens positif jusqu’à ce que son centre d’inertie G
coïncide avec un point A situé à une distance d du point O.
On considère les deux cas suivants :
- 1er cas : On abandonne à    le corps (S) au point A sans vitesse initiale.
- 2ème cas : On lance à   , le corps (S) à partir du point A dans le sens négatif avec une vitesse initiale
.
Dans les deux cas le solide (S) effectue un mouvement oscillatoire autour de sa position d’équilibre O.
1. Etablir l’équation différentielle que vérifie l’abscisse x du centre d’inertie G du solide.
2. Trouver l’expression littérale de la période propre  de l’oscillateur pour que l’équation : 
 soit solution de l’équation différentielle.
3. On obtient à l’aide d’un dispositif approprié la courbe d’évolution des abscisses  et  du centre
d’inertie G du corps (S) successivement dans le 1er et le 2ème cas comme l’indique la figure (3).
Préciser, en justifiant la réponse, la courbe correspondante au mouvement de l’oscillateur dans le
1er cas.
4. On considère l’oscillateur dans le 2ème cas et on désigne l’amplitude de son mouvement par  et la
phase à l’origine des dates par .
4.1. Déterminer à partir du graphe, figure (3) la valeur de la distance  et la valeur de l’amplitude
 .
4.2. En appliquant la conservation de l’énergie mécanique, montrer que l’amplitude  peut
s’écrire sous la forme :  
4.3. Trouver l’expression de  en fonction de d et  .
Figure 1
Figure 2

Exercice 2 : R2016 / Etude du mouvement d’un pendule élastique
Un oscillateur mécanique vertical est constitué d’un corps solide
S de masse   et d’un ressort à spires non jointives de
masse négligeable et de raideur K.
L’une des extrémités du ressort est fixée à un support fixe et
l’autre extrémité est liée au solide  (figure 1).
On se propose d’étudier le mouvement du centre d’inertie G du
solide S dans un repère 
 lié à un référentiel terrestre
supposé galiléen. On repère la position de G à un instant t par la
côte  sur l’axe 
. A l’équilibre, G est confondu avec l’origine
 du repère 
.
- On prendra : .
1. Frottements négligeables
On écarte verticalement le solide S de sa position
d’équilibre et on l’envoie à l’instant de date    ,
avec une vitesse initiale 
 .
La courbe de la figure 2 représente l’évolution de
la côte  du centre d’inertie  .
1.1. Déterminer, à l’équilibre, l’allongement
 du ressort en fonction de ,  et de
l’intensité de la pesanteur  .
1.2. Etablir l’équation différentielle vérifiée
par la côte z du centre d’inertie  .
1.3. La solution de cette équation différentielle s’écrit :  
 , Avec  la période
propre de l’oscillateur, Déterminer la valeur de K et celle de  .
2. Frottements non négligeables
On réalise deux expériences en plongeant l’oscillateur dans deux
liquides différents. Dans chaque expérience, on écarte
verticalement le solide  de sa position d’équilibre d’une
distance  et on l’abandonne sans vitesse initiale à l’instant  
 , le solide  oscille alors à l’intérieur du liquide.
Les courbes  et  de la figure 3 représentent l’évolution de
la côte  du centre d’inertie  au cours du temps dans chaque
liquide.
2.1. Associer à chaque courbe le régime d’amortissement
correspondant.
2.2. On choisit le plan horizontal auquel appartient le point O,
origine du repère 
 , comme état de référence de
l’énergie potentielle de pesanteur    et l’état
où le ressort est non déformé comme état de référence
de l’énergie potentielle élastique   .
Pour les oscillations correspondant à la courbe (1) :
2.2.1. Trouver, à un instant de date , l’expression de l’énergie potentielle :   en
fonction de K, z et  l’allongement du ressort à l’équilibre dans le liquide.
2.2.2. Calculer la variation de l’énergie mécanique de l’oscillateur entre les instants  et
 .
Exercice 3 : R2017
On étudie dans cette partie le mouvement d’un oscillateur mécanique élastique dans deux situations :
- l’oscillateur est horizontal,
- l’oscillateur est vertical.
Figure 1
Figure 2
Figure 3

L’oscillateur mécanique étudié est modélisé par un système (solide-ressort) constitué d’un solide (S)
de masse m et d’un ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de raideur K.
On note  la période propre de cet oscillateur.
On étudie le mouvement du centre d’inertie G du solide  dans un repère lié à un référentiel terrestre
considéré galiléen.
On néglige les frottements et on prend  .
1. Etude de l’oscillateur mécanique horizontal :
Le ressort est horizontal, une de ses extrémités est fixe.
On accroche à son autre extrémité le solide (S).
Ce solide peut glisser sur le plan horizontal.
On repère la position de G à un instant t par l’abscisse x sur
l’axe  .A l'équilibre, le centre d’inertie G du solide coïncide
avec l'origine O du repère (figure 1).
On écarte  de sa position d’équilibre et on le lâche sans vitesse
initiale à un instant choisi comme origine des dates   .
La courbe de la figure 2 représente l’évolution au cours du temps
de l’accélération  du centre d’inertie G.
1.1. Etablir, en appliquant la deuxième loi de Newton,
l’équation différentielle vérifiée par l’abscisse x(t).
1.2. La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la
forme :   
,Déterminer la valeur de
 et celle de  .
2. Etude de l’oscillateur mécanique vertical :
On fixe maintenant le ressort étudié comme l'indique la figure 3 ;
l’une des deux extrémités du ressort est liée au solide  et l’autre
est fixée à un support.
On repère la position de G à un instant t par la côte z sur l’axe 
A l'équilibre, le centre d’inertie  du solide coïncide avec l'origine O
du repère 
(figure 3).
On écarte, verticalement vers le bas, le corps (S) de sa position
d’équilibre stable puis on le libère sans vitesse initiale à un instant
choisi comme origine des dates    . L’oscillateur effectue alors
un mouvement oscillatoire selon l’axe  .
On choisit comme référence    de l’énergie potentielle de
pesanteur  le plan horizontal auquel appartient le point  et
comme référence   de l’énergie potentielle élastique 
l’état où le ressort n’est pas déformé.
2.1. Déterminer, à l’équilibre, l’expression de l’allongement
  du ressort en fonction de m, K et de l’intensité de la pesanteur g, avec  la
longueur du ressort à l’équilibre et sa longueur à vide.
2.2. Montrer qu’à un instant t, l’expression de l’énergie
potentielle totale  de l’oscillateur s’écrit sous la
forme : où  et  sont deux constantes.
2.3. La courbe de la figure 4 représente les variations de
l’énergie potentielle totale en fonction de la côte z.
2.3.1. Trouver la valeur de  et celle de K.
2.3.2. Trouver, en se basant sur la variation de
l’énergie potentielle totale  , le travail de la
force de rappel appliquée par le ressort sur le
corps  lorsque  se déplace de la position de
côte  à la position de côte  
Figure 1
Figure 2
Figure 3
Figure 4

Exercice 4 : N2018 / du mouvement d’un pendule élastique
Le pendule élastique étudié est constitué d’un solide (S), de masse  et de centre d’inertie , attaché à
l’extrémité d’un ressort à spires non jointives, de masse négligeable, de longueur à vide , et de
raideur K. L’autre extrémité du ressort est fixée à un support fixe au point .
Le solide  peut glisser sans frottement sur une tige 
inclinée d’un angle par rapport à la verticale et solidaire au
point  (figure 1).
On étudie le mouvement du centre d’inertie G dans le repère
orthonormé  lié à un référentiel terrestre considéré
comme galiléen. On repère la position de G à un instant  par
l’abscisse x sur l’axe  .
A l’équilibre, G est confondu avec l’origine  du repère  
(figure2). On prendra : .
1. Exprimer  , la longueur du ressort à l’équilibre, en fonction
de  et  l’intensité de la pesanteur.
2. On déplace (S) de sa position d’équilibre d’une distance  , dans le
sens positif, et on le lâche à l’instant de date    sans vitesse
initiale. La courbe de la figure 2 représente la variation de
l’accélération  du centre d’inertie  en fonction de l’abscisse 
avec :    
2.1. Etablir, en appliquant la deuxième loi de Newton, l’équation
différentielle vérifiée par l’abscisse .
2.2. La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :
,Trouver l’expression numérique de .
3. On choisit comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur   le plan horizontal
auquel appartient G à l’équilibre et comme référence de
l’énergie potentielle élastique   l’état où le ressort
est allongé à l’équilibre.
3.1. Trouver, à un instant t, l’expression de l’énergie potentielle
  de l’oscillateur en fonction de x et de K.
3.2. La courbe de la figure 3 représente les variations de
l’énergie cinétique de l’oscillateur en fonction de .
En se basant sur la conservation de l’énergie mécanique,
déterminer la valeur de la raideur K. Déduire la valeur de la
masse m.
Exercice 5 : Etude énergétique d’un pendule élastique
Le pendule élastique est un système mécanique effectuant
un mouvement oscillatoire autour de sa position
d’équilibre stable.
Le but de cette partie est de déterminer quelques
grandeurs liées à cet oscillateur par une étude énergétique.
Le pendule élastique étudié est constitué d’un solide (S), de
centre d’inertie G et de masse   , attaché à
l’extrémité d’un ressort à spires non jointives, de masse
négligeable et de raideur K. L’autre extrémité du ressort est
fixée à un support fixe.
Le solide (S) peut glisser sans frottement sur la ligne de plus grande pente d’un plan incliné d’un angle
   par rapport au plan horizontal (figure 1).
On étudie le mouvement du centre d’inertie G dans le repère orthonormé 
 lié au référentiel
terrestre considéré comme galiléen. On repère la position de G à un instant t par l’abscisse x sur l’axe
 . A l’équilibre, G est confondu avec l’origine O du repère (fig.1). On prendra .
1. Déterminer, à l’équilibre, l’expression de l’allongement  du ressort en fonction de  et de
 l’intensité de la pesanteur.
Figure 1
Figure 2
Figure 3
Figure 1

2. On écarte  de sa position d’équilibre d’une distance  dans le sens positif et on l’envoie à
l’instant de date    avec une vitesse initiale  telle que 
  .
2.1. On choisit comme référence de l’énergie
potentielle de pesanteur le plan horizontal
auquel appartient G à l’équilibre : ( )
et comme référence de l’énergie potentielle
élastique l’état où e ressort est allongé à
l’équilibre :  . Trouver, à un instant
t, l’expression de l’énergie potentielle 
 de l’oscillateur en fonction de x et de
K.
2.2. A partir de l’étude énergétique, établir
l’équation différentielle régie par l’abscisse x.
2.3. La solution de l’équation différentielle s’écrit
sous la forme :   
 ( étant la période propre de l’oscillateur).
La courbe de la figure 2 représente l’évolution de l’énergie potentielle  de l’oscillateur en
fonction du temps.
2.3.1. Trouver la valeur de la raideur K, de l’amplitude  et de la phase  .
2.3.2. Par étude énergétique, trouver L’expression de  en fonction de  et 
Exercice 6 : R2019
On modélise un jouet par un système mécanique constitué d’un :
- ressort (r) à spires non jointives, de masse négligeable, de raideur   50N.kg,
- corps solide  de masse    et de centre d’inertie .
Données : Intensité de la pesanteur :    ; α .
On étudie le mouvement du corps  dans deux situations :
Situation A : Mouvement oscillatoire du corps .
On attache à l’une des extrémités du ressort (r) le solide (S) et
on fixe l’autre extrémité à un support fixe.
Le solide  peut glisser sans frottement sur la ligne de plus
grande pente d’un plan incliné d’un angle α par rapport au plan
horizontal (figure1).
On étudie le mouvement du centre d’inertie  dans le repère
orthonormé  lié à un référentiel terrestre considéré comme galiléen. On repère la position de
 à un instant t par l’abscisse  sur l’axe.
A l’équilibre, est confondu avec l’originedu repère (figure1).
1. Montrer que l’expression de l’allongement  du ressort à l’équilibre s’écrit Δℓ α
.
2. On écarte de sa position d’équilibre d’une distance   dans le sens positif et on le lâche à
l’instant de date t=0 sans vitesse initiale. On choisit comme référence de l’énergie potentielle de
pesanteur   le plan horizontal auquel appartientà l’équilibre et comme référence de
l’énergie potentielle élastique   l’état où le ressort est non déformé.
2.1. Montrer que l’expression de l’énergie potentielle totale de l’oscillateur à un instant t
s’écrit :   
Δℓ.
2.2. Par étude énergétique, établir l’équation différentielle régie par l’abscisse 
2.3. Sachant que la solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :  
avec  la période propre de l’oscillateur, trouver  la valeur de la vitesse
de G, à son passage par la position d’équilibre dans le sens positif.
Figure 1
(r)
Figure 2