TD 2 Mécanique quantique

TD 02 – M´ecanique quantique
I Questions de cours
1. Pr´esenter succinctement l’exp´erience de Lenard et son interpr´etation grˆace `a la notion de photon.
2. Rappeler les relations de Planck–Einstein.
3. Rappeler les relations de De Broglie et donner une interpr´etation de la longueur d’onde de De Broglie.
4. Donner l’expression et discuter les termes de la fonction d’onde de De Broglie.
5. Interpr´eter une exp´erience d’interf´erence grˆace au caract`ere probabiliste de la fonction d’onde.
6. ´ Enonc´e le principe d’ind´etermination de Heisenberg et l’utiliser afin d’interpr´eter une exp´erience de di↵raction.
II Applications directes du cours
App1 E↵et photo´electrique
On dispose d’une photocathode au c´esium ´eclair´ee par une lumi`ere monochromatique.
1. La longueur d’onde seuil pour le c´esium est 0=0.66µm. D´eterminer le travail d’extraction W0d’un ´electron en eV.
2. La lumi`ere qui ´eclaire cette photocathode a une longueur d’onde =0.44µm.
2.a D´eterminer l’´energie cin´etique maximale d’un ´electron ´emis par la cathode.
2.b D´eterminer la vitesse de cet ´electron.
Donn´ees : masse de l’´electron m=9,11.1031kg, 1eV = 1,6.1019 J, vitesse de la lumi`ere c=3,0.108m.s1, constante de Planck
h=6,63.1034 J.s1.
App2 Neutron thermique
Un neutron thermique est un neutron de faible ´energie. Si l’on note msa masse, vsa vitesse, son ´energie cin´etique moyenne d’agitation
thermique `a la temp´erature absolue Test donn´ee par la relation
1
2mv2=3 2kBT
o`u kB=1,38.1023 J.K1est la constante de Boltzmann et m=1,67.1027kg.
1. Exprimer la longueur d’onde associ´ee `a un tel neutron en fonction de la temp´erature puis faire l’application num´erique pour une
temp´erature T= 300K.
2. Expliquer pourquoi et comment ces neutrons peuvent conduire `a une di↵raction.
App3 Rayonnement stellaire
Au niveau du sol, le rayonnement solaire transporte une puissance d’environ 500 W par m`etre carr´e.
1. Donner l’ordre de grandeur de l’´energie Ere¸cue par un oeil regardant pendant 1 seconde le Soleil au travers d’un filtre ne laissant
passer que 103% de l’´energie. La pupille a alors un diam`etre de D⇡2mm.
2. Estimer le nombre de photons attaignant l’oeil pendant cette dur´ee.
3. Les ´etoiles visibles les plus faibles du ciel ´emettent un rayonnement poss`edant, au niveau de la Terre, une puissance surfacique de
l’ordre de 1014 W.cm2. Combien l’oeil re¸coit-il de photon chaque seconde d’une telle ´etoile ?
4. Pour une perception continue de la lumi`ere, les cellules de l’oeil doivent ˆetre excit´ees environ toutes les 0,1 secondes. Commenter.
App4 Vitesse de propagation d’une onde de De Broglie
Une particule de masse mse d´eplace `a la vitesse vtr`es inf´erieure `a la vitesse de la lumi`ere. Elle n’est soumise `a aucune force donc
son ´energie se r´eduit `a son ´energie cin´etique.
1. Exprimer le vecteur d’onde kDB de l’onde de De Broglie en fonction de met v. En d´eduire la longueur d’onde DB associ´ee.
2. Exprimer la fr´equence ⌫DB de l’onde de De Broglie en fonction de met v.
3. L’onde de De Broglie est par d´efinition une onde, quelle relation existe–t–il entre la c´el´erit´e c, la fr´equence ⌫DB et la longueur
d’onde DB ?
4. D´eduire de la question pr´ec´edente la relation entre la c´el´erit´e de l’onde de De Broglie et la vitesse de la particule v.
App5 Dur´ee d’´emission
Une plaque de zinc est plac´ee `a D= 5 m d’une faible source monochromatique isotrope de puissance Ptot =1⇥103W. On suppose
qu’un ´electron a ´et´e ´emis par e↵et photo´electrique depuis la plaque apr`es avoir collect´e son ´energie d’une surface circulaire de rayon R
d’une dizaine de diam`etres atomiques. En admettant que l’´energie requise pour arracher l’´electron est Ws'5 eV et que la lumi`ere est
une onde (physique classique), ´evaluer le temps n´ecessaire pour avoir ´emission de l’´electron. Mˆeme question pour une source de puissance
1 W situ´ee `a 1 m de la plaque. Conclure.

App6 Photons hertziens
Un ´emetteur radio ´emet un signal de fr´equence 105.5MHz et de puissance 100kW. ´ Evaluer le nombre de photons qu’il ´emet par
seconde.
App7 Couleur d’un laser
La lumi`ere d’un faisceau laser est ´emise par des atomes e↵ectuant une transition entre deux niveaux d’´energie distants de 2.28 eV .
Quelle est la couleur de ce laser ?
App8 Longueur d’onde Compton de l’´electron
Trouver l’expression de la longueur d’onde ctelle que l’´energie d’un photon vaille deux fois l’´energie cin´etique d’un ´electron s’ils
ont tous les deux cette longueur d’onde. Calculer num´eriquement csachant que la masse de l’´electron est d’environ 9 ⇥1031 kg. `
A
quel domaine du spectre ´electromagn´etique appartient-elle ?
App9 Crit`ere de d´etection des ondes de de Broglie
En 1925, Elasser fait remarquer que l’on peut v´erifier la nature ondulatoire de particules mat´erielles de la mˆeme fa¸con qu’on a v´erifi´e
en 1912 la nature ondulatoire des rayons X, c’est–`a–dire en leur faisant traverser un solide cristallin.
1. Peut-on r´ev´eler ainsi la nature ondulatoire de grains de poussi`ere de masse m=1⇥1015 kg et de vitesse 1 mm s1?
2. Qu’en est-il d’´electrons acc´el´er´es par une di↵´erence de potentiel U(en les supposant non relativistes) ?
App10 Confinement
On mod´elise ici en premi`ere approche des situations de corps mat´eriel de masse m dans un puits de potentiel unidimensionnel infini
de largeur L et d’´energie potentielle nulle.
1. ´ Evaluer pour m=70kgetL= 1 m l’´energie du niveau fondamental et la vitesse minimale vmin accessible par le corps quantique.
Pour une vitesse v=1ms
1, estimer le niveau quantique d’´energie. Commenter.
2. On consid`ere maintenant m=1.7⇥1027 kg et L=1⇥1014 m. ´
Evaluer l’´energie du niveau fondamental et la vitesse mini-
male vmin accessible au quan ton. Quelle est l’´energie minimale n´ecessaire pour exciter le quanton ? Quelle est la longueur d’onde du
rayonnement d’excitation correspondant ?
App11 Athl´etisme et principe d’ind´etermination
Lors de l’arriv´ee d’une comp´etition d’athl´etisme, on mesure la position d’un coureur x=1mmpr`esetsavitesse`avx=0.1ms
1
pr`es. La masse du coureur est m= 80 kg. Calculer xpxdu point de vue des incertitudes. Comparer au principe d’ind´etermination
de Heisenberg.
III Exercices
Ex1 Di↵usion Compton
L’am´ericain Arthur Compton a r´ealis´e en 1923 l’exp´erience suivante. Il a envoy´e des rayons X durs (de longueur d’onde comprise
entre 1 pm et 1 nm), sur une mince feuille de graphite. Il a observ´e que l’onde ´etait di↵us´ee (d´evi´ee) dans une certaine gamme de
direction ✓v´erifiant
0=h
mc (1 cos ✓)
o`u 0est la longueur d’onde di↵us´ee, m=9.1⇥1031 kg la masse de l’´electron, h=6.63 ⇥1034 Js
1la constante de Planck et
c=3.0⇥108ms
1la c´el´erit´e de la lumi`ere.
1. Montrer que h
mc est homog`ene `a une longueur. La calculer.
2. Comment ´evolue l’´energie d’un photon dans cette exp´erience. Que s’est-il pass´e ?
3. Pour des rayons X incidents tels que =7.08 ⇥1011 m, Compton a observ´e des rayons X di↵us´es `a 90. Quelle est leur longueur
d’onde ?
4. Quelle est l’´energie perdue par un photon ? Qu’en d´eduire sachant qu’une ´energie d’ionisation est de l’ordre de la dizaine d’´electron-
volt ?

III Probl`emes
Pb1 Di↵raction
Dans une exp´erience de di↵raction d’une onde de longueur par une fente fine Fde largeur asuivant Ox, la lumi`ere se r´epartit
derri`ere la fente (sur un ´ecran E) dans un cˆone dont le demi-angle ✓0au sommet par la formule au chapitre 02.
Montrer comment l’in´egalit´e d’Heisenberg xp~
2permet de retrouver ce r´esultat dans le cadre d’une interpr´etation corpusculaire
de la lumi`ere.
Pb2 ´
Energie et fonction d’onde d’un ´electron confin´e
Certaines mol´ecules ayant une longueur de chaˆıne lin´eaire comme le -carot`ene, contiennent des ´electrons qui ne sont pas attach´es
`a un noyau particulier, mais peuvent au contraire se d´eplacer sur toute la longueur de la mol´ecule.
On mod´elise un tel ´electron, de masse me=9,11.10–31kg, comme une particule qui se d´eplace librement sur un segment de droite,
entre les abscisses x=0etx=L; L’´energie potentielle Epest nulle sur le segment et infiniment grande partout ailleurs (particule dans
un puits de potentiel). Sa fonction d’onde (x) est alors li´ee `a son ´energie totale Epar l’´equation di↵´erentielle :
~2
2me
d2
dx2=E (x),
´equation de Schr¨odinger ind´ependante du temps o`u ~est la constante r´eduite de Planck.
1. On cherche tout d’abord `a d´eterminer la fonction d’onde (x).
1.a Justifier que (x) est nulle en dehors de l’intervalle [0; L].
1.b (x) ´etant une fonction continue, elle est donc nulle aux deux extr´emit´es de la mol´ecule : (0) = (L)=0.
2. Montrer que la solution de l’´equation di↵´erentielle est de la forme :
(x)=Asin ⇣n⇡x
L⌘
o`u nest un entier et Aune constante d’int´egration qu’on ne cherchera pas `a d´eterminer.
Aide : Bien observer l’´equation di↵´erentielle et faire le parall`ele avec celle de l’oscillateur harmonique horizontal que l’on sait r´esoudre :
On mettra la solution de l’´equation di↵´erentielle sous la forme : (x)=Acos(kx +')ou (x)=Asin(kx)+Bcos(kx)avec kune
constante `a d´eterminer.
3. En d´eduire l’expression des niveaux d’´energie Enen fonction de m,L,het n.
4. Dans le -carot`ene (formule ci-contre), ce sont les ´electrons des onze liaisons doubles qui se comportent comme des particules
libres confin´ees, sur une longueur L=1,83nm.
Dans l’´etat fondamental, ces ´electrons occupent les onze niveaux d’´energie les plus bas.
4.a Calculer les niveaux d’´energie E11 et E12 en eV. On donne h=6,62.1034 J.set1eV=1,6.1019 J.
4.b En d´eduire l’´energie, puis la longueur d’onde dans le vide, d’un photon absorb´e par la mol´ecule lorsqu’un ´electron passe du
niveau 11 au niveau 12. On donne c=3.108m.s1.
4.c Expliquer alors la couleur orang´ee des organismes contenant une grande quantit´e de ces mol´ecules (carotte, citrouille...).

Pb3 Interf´erences avec des ´electrons
1. Comment se manifestent respectivement les caract`eres corpusculaire et ondulatoire des atomes de n´eon dans cette exp´erience ?
2. D´eterminer l’ordre de grandeur de la longueur d’onde DB des atomes de n´eon dans ce dispositif interf´erentiel.
3. En d´eduire un ordre de grandeur de la vitesse vdes atomes de n´eon au cours de leur chute.