Anneaux - Michel Quercia

Anneaux
Exercice 1. Anneau de Boole
Soit Eun ensemble fini et A=P(E).
1) Montrer que (A, ∆, ∩) est un anneau commutatif. Est-il intègre ?
2) Soit Iun idéal de A. Montrer que : ∀X∈I, ∀Y⊂X, on a Y∈I
∀X, Y ∈I, on a X∪Y∈I.
3) En déduire que I=P(E0) avec E0⊂E.
4) Étudier la réciproque.
5) Si Eest infini, montrer que I={parties finies de E}est un idéal qui n’est pas de la forme P(E0).
Exercice 2. Idéaux triviaux
Soit Aun anneau commutatif non nul dont les seuls idéaux sont {0}et A. Montrer que Aest un corps.
Exercice 3. Idéaux premiers
Un idéal Id’un anneau Aest dit premier si : ∀x, y ∈A,xy ∈I⇒x∈Iou y∈I.
1) Quels sont les idéaux premiers de Z?
2) Montrer que si Aest commutatif non nul et si tous les idéaux de Asont premiers alors Aest un
corps.
Exercice 4. Thm de Gauss
Soit Aun anneau commutatif et a, b ∈A. On dit que adivise bsi b∈aA et aest premier à bsi
aA +bA =A.
Montrer que si aest premier à bet adivise bc, alors adivise c.
Exercice 5. Caractéristique
Soit Aun anneau. On appelle caractéristique de Al’ordre de 1 dans le groupe additif (A, +). On suppose
Ade caractéristique finie, n.
1) Montrer que : ∀x∈A,nx = 0.
2) Si Aest intègre non nul, montrer que nest un nombre premier.
3) Si Aest intègre et commutatif, montrer que x7→ xnest un morphisme d’anneau.
Exercice 6. Anneau de caractéristique 2
Soit Aun anneau non nul tel que : ∀x∈A,x2=x.
1) Exemple d’un tel anneau ?
2) Quels sont les éléments inversibles de A?
3) Montrer que : ∀x∈A, x +x= 0. En déduire que Aest commutatif.
4) Pour x, y ∈Aon pose : x6y⇔ ∃a∈Atq x=ay. Montrer que c’est une relation d’ordre.
Exercice 7. Eléments nilpotents
Soit Aun anneau commutatif, et a∈A. On dit que aest nilpotent s’il existe n∈Ntel que an= 0.
1) Exemple : Déterminer les éléments nilpotents de Z/36Z.
2) Montrer que l’ensemble des éléments nilpotents est un idéal de A.
3) Soit anilpotent. Montrer que 1 −aest inversible.
4) Soient anilpotent et binversible. Montrer que a+best inversible.
Exercice 8. 1−ab et 1−ba
Soit Aun anneau et a, b ∈A. Montrer que 1 −ab ∈A∗⇔1−ba ∈A∗.
Exercice 9. Radical d’un idéal
Soit Aun anneau commutatif et Iun idéal de A.
On note √I={x∈Atq ∃n∈Ntq xn∈I}(radical de I).
1) Montrer que √Iest un idéal de A.
2) Montrer que p√I=√I.
3) Montrer que √I∩J=√I∩√Jet √I+J⊃√I+√J.
4) Exemple : A=Z,I= 3648Z. Trouver √I.
anneaux.tex – samedi 12 septembre 2015

Exercice 10. Produit de deux idéaux
Soit Aun anneau commutatif et I, J deux idéaux de A. On note IJ ={a1b1+. . .+anbntq ai∈I, bi∈J}.
1) Montrer que IJ est un idéal de A.
2) Montrer que I(J+K) = IJ +IK.
3) On suppose I+J=A. Montrer que IJ =I∩J.
4) Pour A=Z,I=nZ,J=pZ, qu’est-ce que IJ ?
Exercice 11. Relation d’équivalence compatible avec les opérations d’anneau
Soit Aun anneau commutatif.
1) Soit Rune relation d’équivalence compatible avec l’addition et la multiplication dans A. On note I
la classe de 0. Montrer que Iest un idéal de A.
2) Réciproquement, soit Jun idéal de A. On pose x∼y⇔x−y∈J. Montrer que ∼est une relation
d’équivalence compatible avec + et ×.
Exercice 12. Étude de l’anneau Z2
1) Soit d∈N. On pose Ad={(x, y)∈Z2tq x≡y(mod d)}(x=ypour d= 0). Montrer que Adest un
sous-anneau de Z2.
2) Montrer que l’on obtient ainsi tous les sous-anneaux de Z2.
3) Soit Iun idéal de Z2. On note : I1={x∈Ztq (x, 0) ∈I}et I2={y∈Ztq (0, y)∈I}. Montrer
que I1et I2sont des idéaux de Z, et que I=I1×I2.
4) En déduire que Iest un idéal monogène.
Exercice 13. Idéaux de KE
Soit Kun corps, Eun ensemble fini, et A=KE. Pour e∈E, on pose :
Ie={f∈Atq f(e) = 0}, χe:x7→ 1 si x=e
0 si x6=e.
1) Montrer que Ieest un idéal monogène de A.
2) Soit f∈A. Vérifier que f=Pe∈Ef(e)χe.
3) Soit Iun idéal quelconque de A, et F={e∈Etq ∃f∈Itq f(e)6= 0}. Montrer que Iest un idéal
monogène engendré par Pe∈Fχe.
Exercice 14. Fonctions trigonométriques
Soit A={f:R→Rde la forme f(x) = a0+Pn
k=1 akcos(kx), n ∈N, ai∈R}.
1) Montrer que Aest un sous-anneau de RR.
2) Soit f∈A. Calculer R2π
t=0 f(t) cos(nt) dten fonction des ak.
3) En déduire que Aest intègre.
4) Soit Φ:R[X]−→ A
P7−→ x7→ P(cos x).Montrer que Φest un isomorphisme d’anneaux. En déduire
que Aest principal.
Exercice 15. Suites croissantes d’idéaux
Soit Aun anneau commutatif et (In) une suite croissante d’idéaux de A. On pose I=∪n∈NIn.
1) Montrer que Iest un idéal de A.
2) On suppose que Aest principal. Montrer qu’il existe p∈Ntel que I=Ip.
3) Application : soit Aprincipal et a∈A\ {0}. Montrer que aest produit d’éléments irréductibles (on
raisonnera par l’absurde).
Exercice 16. Endomorphismes d’un groupe commutatif
Soit Gun groupe additif et A={morphismes G→G}.
1) Montrer que (A, +,◦) est un anneau.
2) On prend G=Z/nZ,n>2. Montrer que Aest l’ensemble des applications x7→ kx avec k∈G, et
que Aest isomorphe à l’anneau Z/nZ.
anneaux.tex – page 2

Exercice 17. Entiers 2-adiques
Soit A={m/n ∈Qtq nest impair}.
1) Montrer que Aest un sous-anneau de Q.
2) Chercher les éléments inversibles dans A.
3) Montrer que les idéaux non nuls de Asont tous monogènes engendrés par les nombres de la forme 2k,
k∈N.
Exercice 18. Morphismes Zn→Z
Chercher les morphismes d’anneaux : Zn→Z.
Exercice 19. Suites stationnaires
Soit A={suites d’entiers relatifs stationnaires}muni des opérations usuelles.
1) Montrer que Aest un anneau.
2) Chercher les morphismes d’anneaux : A→Z.
3) Soit I={suites presque nulles}. Montrer que c’est un idéal non monogène.
Exercice 20. Entiers de Gauss
Soit A={a+bi tq a, b ∈Z}.
1) Montrer que Aest un sous-anneau de C. Quels sont les éléments inversibles ?
2) Soient u, v ∈Aavec v6= 0. Montrer qu’il existe q, r ∈Atels que u=qv +ret |r|<|v|. A-t-on
unicité ?
3) Montrer que Aest principal.
Exercice 21. Anneau intègre fini
Soit Aun anneau non nul, commutatif et intègre.
1) Montrer que si Aest fini, alors c’est un corps.
2) Montrer que si An’a qu’un nombre fini d’idéaux, alors c’est un corps (considérer les idéaux In=xnA
pour x∈Anon nul).
Exercice 22. Corps F4
Chercher les structures de corps à quatre éléments.
Exercice 23. Groupe multiplicatif d’un corps fini
Soit Kun corps fini. Pour x∈K∗on note O(x) l’ordre multiplicatif de xet nle ppcm des ordres des
éléments de K∗.
1) Soient a, b ∈N∗. Montrer qu’il existe a0, b0∈N∗tels que a0|a,b0|b,a0∧b0= 1 et a0b0=a∨b.
2) Soient x, y ∈K∗d’ordres aet b. Montrer qu’il existe u, v entiers tels que O(xuyv) = a∨b. En déduire
qu’il existe z∈K∗d’ordre n.
3) Montrer que n= card(K∗) (ceci prouve que K∗est cyclique).
Exercice 24. Groupe multiplicatif d’un corps fini
Soit Kun corps fini de cardinal n. Si a, b ∈Nsont tels que ab =n−1, on considère l’application
fa:K∗−→ K∗
x7−→ xa
(remarquer que faest un morphisme de groupe). On note Na= card(Ker fa).
1) Expliquer pourquoi Na6a.
2) Montrer que Im(fa)⊂Ker fb. En déduire que Na=aet Nb=b.
3) Soit ϕl’indicateur d’Euler. Montrer par récurrence sur a, diviseur de n−1, que le nombre d’éléments
de K∗d’ordre aest égal à ϕ(a) (ceci prouve que K∗est cyclique).
anneaux.tex – page 3

Exercice 25. Théorème de Wedderburn
On dit qu’un anneau Aest un anneau à division si A∗=A\ {0}. L’objet de l’exercice est de démontrer
le théorème de Wedderburn : tout anneau à division fini est commutatif (c’est donc un corps fini).
1) Polynômes cyclotomiques
Pour n∈N∗, soit Pnl’ensemble des racines primitives n-èmes de l’unité dans Cet Φn(X) =
Qζ∈Pn(X−ζ) (P1={1},Φ1(X) = X−1)
a) Démontrer : Xn−1 = Qd|nΦd(X). En déduire que Φn∈Z[X].
b) Montrer que si mdivise net m < n alors Φn(X) divise (Xn−1)/(Xm−1) dans Z[X].
c) Justifier : ∀p∈N∗,|Φn(p)|>(p−1)card(Pn)avec égalité si et seulement si n= 1.
2) Cardinal d’un anneau à division
Soient Aun anneau fini à division et Bun sous-anneau de A. On note α, β les cardinaux de A, B.
a) Montrer que Best aussi un anneau à division.
b) Pour x∈A, on note Bx ={bx tq b∈B}et on considère une famille (x1, . . . , xn) de cardinal
minimal telle que A=Bx1+. . . +Bxn. Justifier l’existence d’une telle famille et montrer que
l’application
Φ:Bx1×. . . ×Bxn−→ A
(y1, . . . , yn)7−→ y1+. . . +yn
est une bijection.
c) En déduire que αest une puissance de β.
3) Théorème de Wedderburn
Soit Aun anneau à division, Bson centre et α, β les cardinaux de A, B. Pour a∈A∗, on note Cale
commutant de aet Oa={xax−1tq x∈A∗}.
a) Montrer que Caest un anneau à division et qu’il existe des entiers m, n tels que : α=βn,
card(Ca) = βmet mdivise n.
b) Montrer que card(Oa) = card(A∗)/card(C∗
a). En déduire que si a /∈Balors Φn(β) divise card(Oa).
c) Pour a, b ∈A, montrer que Oaet Obsont soit disjoints, soit égaux. En déduire qu’il existe une
partition de A∗de la forme A∗=Oa1t. . . t Oak.
d) Montrer que Φn(β) divise card(B∗) = β−1 puis que n= 1 (et donc A=B, ce qui prouve la
commutativité de A).
anneaux.tex – page 4

solutions
Exercice 3.
2) Aest intègre car {0}est premier et si a∈A\ {0}alors a×a∈(a2) qui est premier donc a2divise a
d’où aest inversible.
Exercice 6.
2) 1.
3) x+y= (x+y)2=x2+y2+xy +yx =x+y+xy +yx ⇒xy +yx = 0.
Pour y= 1 : x+x= 0 ⇒1 = −1.
Pour yquelconque : xy =−yx =yx.
4) Antisymétrie : si x=ay, alors xy =ay2=ay =x. Donc (x6y) et (y6x)⇒xy =x=y.
Exercice 8.
Si (1 −ab)c= 1 = c(1 −ab) alors abc =c−1 = cab donc babca =bca −ba =bcaba,
soit ba(1 + bca) = bca = (1 + bca)ba et 1 + bca est inverse de 1 −ba.
Exercice 9.
3) Réciproque fausse : A=Z[X], I= (X), J= (X+ 4).
4) 114Z.
Exercice 14.
2) πan.
3) Si f(x) = Pn
k=0 akcos(kx) et g(x) = Pp k=0 bkcos(kx) avec an6= 0 et bp6= 0 alors,
2R2π
t=0 f(t)g(t) cos(nt) dt=πanbp6= 0 donc fg 6= 0.
Exercice 18.
f(x1, . . . , xn) = a1x1+. . . +anxn.
fest multiplicative sur la base canonique ⇒aiaj= 0 pour i6=j.
f(1, . . . , 1) = 1 ⇒un des aivaut 1, et les autres 0.
conclusion : f= fct coordonnée.
Exercice 19.
2) idem 18 : les projections + la valeur de stationnement.
Exercice 20.
1) ±1,±i.
2) Non : 1 + i= 0 ×2+(1+i) = 1 ×2+(i−1).
Exercice 22.
K={0,1, a, b}et {1, a, b}est un groupe multiplicatif d’où b=a2,a3= 1.
+ 0 1 a a2
0 0 1 a a2
1 1 0 a2a
a a a20 1
a2a2a1 0
×1a a2
1 1 a a2
a a a21
a2a21a
anneaux.tex – page 5