L3-Propagation-1

Propagation dans les milieux
Licence
Universit´ e de Lorraine
Christophe Chatelain, 2022
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Sommaire
Sommaire
1. Propagation ................................ 5
1.1. Propagation dans le vide ......................... 5
1.1.1. Th´eorie de Maxwell dans le vide ................... 5
1.1.1.1. ´
Equation de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1.2. Loi de conservation de la charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1.3. Premier groupe des ´equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1.4. Second groupe des ´equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1.5. Conditions de passage des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1.6. ´
Energie du champ ´electromagn´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2. Ondes ´electromagn´etique dans le vide ................ 10
1.1.2.1. ´
Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2.2. Solution g´en´erale de l’´equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2.3. ´
Equations de Maxwell pour une onde ´electromagn´etique dans le vide . 12
1.1.2.4. Polarisation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.2.5. ´
Energie et impulsion d’une onde ´electromagn´etique . . . . . . . . . . 16
1.2. Electromagn´etisme des milieux ..................... 17
1.2.1. Milieux di´el´ectriques .......................... 18
1.2.1.1. Origine microscopique de la polarisation . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1.2. Description macroscopique de la polarisation . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1.3. Charges de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1.4. ´
Equations de Maxwell dans les di´electriques . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1.5. Di´electriques lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1.6. ´
Equations de Maxwell dans les di´electriques lin´eaires isotropes . . . . 23
1.2.2. Milieux magn´etiques .......................... 24
1.2.2.1. Origine microscopique de l’aimantation . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.2.2. Description macroscopique de l’aimantation . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.2.3. Champ magn´etique cr´e´e par l’aimantation . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.2.4. M´ethode des courants amp`eriens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.2.5. Champ d’excitation magn´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.2.6. Milieux magn´etiques lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.2.7. Confinement des lignes de champ magn´etique et applications . . . . . 26
1.2.3. Formulaire ................................ 28
1.3. Propagation dans les milieux lin´eaires ................ 28
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1.3.1. Propagation dans les milieux lin´eaires et isotropes ......... 29
1.3.1.1. Ondes ´electromagn´etiques dans les milieux lin´eaires isotropes . . . . . 29
1.3.1.2. Flux d’´energie d’une onde plane dans un milieu lin´eaire . . . . . . . 30
1.3.2. Lois de la r´eflexion et de la r´efraction de Snell-Descartes . . . . . 31
1.3.2.1. D´emonstration des lois de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.2.2. R´eflexion totale sur un dioptre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.3. Relations de Fresnel .......................... 34
1.3.3.1. Champ ´electrique perpendiculaire au plan d’incidence . . . . . . . . 34
1.3.3.2. Champ ´electrique dans le plan d’incidence . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.4. Ondes ´electromagn´etiques dans les milieux dispersifs ....... 41
1.3.4.1. Propagation dans un milieu lin´eaire dispersif . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.4.2. Propagation d’un paquet d’onde dans un milieu dispersif . . . . . . . 42
1.3.5. Propagation dans les di´electriques lin´eaires conducteurs . . . . . 44
1.3.5.1. ´
Equation des ondes dans un conducteur simple . . . . . . . . . . . . 44
1.3.5.2. Ondes ´electromagn´etiques dans un conducteur simple . . . . . . . . 45
1.3.5.3. Ondes ´electromagn´etiques dans un conducteur dispersif . . . . . . . 47
1.3.5.4. Effet de peau dans un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.3.5.5. Pression de radiation dans les conducteurs . . . . . . . . . . . . . . 49
1.3.6. Propagation dans les di´electriques lin´eaires anisotropes . . . . . . 50
1.3.6.1. Induction ´electrique d’une onde plane dans un milieu anisotrope . . . 50
1.3.6.2. ´
Equation des ondes dans un milieu di´electrique lin´eaire anisotrope . . 52
1.3.6.3. ´
Equation de Fresnel dans un milieu di´electrique lin´eaire . . . . . . . 53
1.3.6.4. Propagation d’une onde plane dans un cristal uniaxial . . . . . . . . 55
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1. Propagation
1. Propagation
1.1. Propagation dans le vide
1.1.1. Th´eorie de Maxwell dans le vide
La th´eorie de Maxwell d´ecrit l’interaction entre les particules charg´ees et les champs
´electrique et magn´etique.
1.1.1.1. ´ Equation de la dynamique
Pour une assembl´ee de charges {qi,~ri,~vi}, les ´equations du mouvement permettant
de d´eterminer la trajectoire ~ri(t) sont
mi
d~vi
dt =qi~
E(~ri(t), t) + qi~vi(t)∧~ B(~ri(t), t)
La force ne d´epend que des champs ´electrique et magn´etique au point o`u se trouve la
charge. L’interaction est locale. Dans le cas relativiste, on a
d
dt mi~vi(t)
p1−v2
i/c2!=qi~
E(~ri(t), t) + qi~vi(t)∧~ B(~ri(t), t)
1.1.1.2. Loi de conservation de la charge
Dans la th´eorie de Maxwell, on consid`ere des grandeurs moyenn´ees sur de petits
´el´ements de volume
ρ(~r) = lim
V~r→0
1
V~rX
i/~ri∈V~r
qi
o`u V~rest un volume centr´e sur le point ~r. De la mˆeme mani`ere
~
j(~r) = lim
V~r→0
1
V~rX
i/~ri∈V~r
qi~vi=ρ(~r)h~vi
o`u ~v est la vitesse moyenne des charges dans le volume V~r. La loi de conservation de la
charge totale s’´ecrit
Q=ZV ρ d3~r = Cste ⇔d
dt ZV
ρ d3~r = 0
Puisque les charges ne font que se d´eplacer, la conservation de la charge totale impose
que le flux sortant du courant ´electrique `a travers toute surface ferm´ee ∂V d´elimitant
un volume Vsoit ´egale `a la variation de charge `a l’int´erieur de ce volume. D’apr`es le
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