L3-Propagation-1

Propagation dans les milieux
Licence
Université de Lorraine
Christophe Chatelain, 2022
1
2
Sommaire
Sommaire
1. Propagation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1. Propagation dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.1. Théorie de Maxwell dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.1. Équation de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.2. Loi de conservation de la charge . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.3. Premier groupe des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.4. Second groupe des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.5. Conditions de passage des champs . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.6. Énergie du champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Ondes électromagnétique dans le vide . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.1. Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.2. Solution générale de l’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.3. Équations de Maxwell pour une onde électromagnétique dans le vide
1.1.2.4. Polarisation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.5. Énergie et impulsion d’une onde électromagnétique . . . . . . . . .
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1.2. Electromagnétisme des milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2.1. Milieux diéléctriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.1. Origine microscopique de la polarisation . . . . . . . . . . .
1.2.1.2. Description macroscopique de la polarisation . . . . . . . . .
1.2.1.3. Charges de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.4. Équations de Maxwell dans les diélectriques . . . . . . . . .
1.2.1.5. Diélectriques linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.6. Équations de Maxwell dans les diélectriques linéaires isotropes
1.2.2. Milieux magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2.1. Origine microscopique de l’aimantation . . . . . . . . . . . .
1.2.2.2. Description macroscopique de l’aimantation . . . . . . . . .
1.2.2.3. Champ magnétique créé par l’aimantation . . . . . . . . . .
1.2.2.4. Méthode des courants ampèriens . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2.5. Champ d’excitation magnétique . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2.6. Milieux magnétiques linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2.7. Conﬁnement des lignes de champ magnétique et applications .
1.2.3. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3. Propagation dans les milieux linéaires . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3
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1.3.1. Propagation dans les milieux linéaires et isotropes . . . . . . .
1.3.1.1. Ondes électromagnétiques dans les milieux linéaires isotropes . . .
1.3.1.2. Flux d’énergie d’une onde plane dans un milieu linéaire . . . . .
1.3.2. Lois de la réﬂexion et de la réfraction de Snell-Descartes . . .
1.3.2.1. Démonstration des lois de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.2. Réﬂexion totale sur un dioptre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Relations de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3.1. Champ électrique perpendiculaire au plan d’incidence . . . . . .
1.3.3.2. Champ électrique dans le plan d’incidence . . . . . . . . . . . .
1.3.4. Ondes électromagnétiques dans les milieux dispersifs . . . . .
1.3.4.1. Propagation dans un milieu linéaire dispersif . . . . . . . . . . .
1.3.4.2. Propagation d’un paquet d’onde dans un milieu dispersif . . . . .
1.3.5. Propagation dans les diélectriques linéaires conducteurs . . .
1.3.5.1. Équation des ondes dans un conducteur simple . . . . . . . . . .
1.3.5.2. Ondes électromagnétiques dans un conducteur simple . . . . . .
1.3.5.3. Ondes électromagnétiques dans un conducteur dispersif . . . . .
1.3.5.4. Eﬀet de peau dans un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5.5. Pression de radiation dans les conducteurs . . . . . . . . . . . .
1.3.6. Propagation dans les diélectriques linéaires anisotropes . . . .
1.3.6.1. Induction électrique d’une onde plane dans un milieu anisotrope .
1.3.6.2. Équation des ondes dans un milieu diélectrique linéaire anisotrope
1.3.6.3. Équation de Fresnel dans un milieu diélectrique linéaire . . . . .
1.3.6.4. Propagation d’une onde plane dans un cristal uniaxial . . . . . .
4
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1. Propagation
1. Propagation
1.1. Propagation dans le vide
1.1.1. Théorie de Maxwell dans le vide
La théorie de Maxwell décrit l’interaction entre les particules chargées et les champs
électrique et magnétique.
1.1.1.1. Équation de la dynamique
Pour une assemblée de charges {qi ,~ri , ~vi }, les équations du mouvement permettant
de déterminer la trajectoire ~ri (t) sont
d~vi
~ ri (t), t) + qi~vi (t) ∧ B(~
~ ri (t), t)
= qi E(~
dt
La force ne dépend que des champs électrique et magnétique au point où se trouve la
charge. L’interaction est locale. Dans le cas relativiste, on a
!
mi~vi (t)
d
~ ri (t), t) + qi~vi (t) ∧ B(~
~ ri (t), t)
p
= qi E(~
dt
1 − vi2 /c2
mi
1.1.1.2. Loi de conservation de la charge
Dans la théorie de Maxwell, on considère des grandeurs moyennées sur de petits
éléments de volume
1 X
ρ(~r) = lim
qi
V~r →0 V~r
i/~ri ∈V~r
où V~r est un volume centré sur le point ~r. De la même manière
X
~j(~r) = lim 1
qi~vi = ρ(~r)h~vi
V~r →0 V~r
i/~ri ∈V~r
où ~v est la vitesse moyenne des charges dans le volume V~r . La loi de conservation de la
charge totale s’écrit
Z
Z
d
3
Q=
ρ d ~r = Cste ⇔
ρ d3~r = 0
dt V
V
Puisque les charges ne font que se déplacer, la conservation de la charge totale impose
que le ﬂux sortant du courant électrique à travers toute surface fermée ∂V délimitant
un volume V soit égale à la variation de charge à l’intérieur de ce volume. D’après le
5
1.1. Propagation dans le vide
théorème de Stockes, on a
Z h
Z
Z
Z
i
d
∂ρ
∂ρ 3
3
~j.d~S =
0=
d ~r +
+ div~j d3~r
ρ d ~r =
dt V
∂t
V
∂V
V ∂t
de sorte que la forme locale de la loi de conservation de la charge est
∂ρ
+ div~j = 0
∂t
1.1.1.3. Premier groupe des équations de Maxwell
L’équation de Maxwell-Faraday
Z
Z
d
∂~
−→ ~
~
~ ~S
~
B.d
E.dℓ = −
rot E = − B ⇔
∂t
dt
S
∂S
()
décrit le phénomène d’induction électrique. Une variation temporelle du ﬂux du champ
magnétique induit une tension électrique. L’équation de Maxwell-Gauss magnétique
Z
~ ~S = 0
~ =0 ⇔
B.d
()
div B
S
résulte du fait que les lignes de champ magnétique sont toujours fermées. Ces deux
équations ﬁxent partiellement la forme des champs :
→~
~ =0 ⇒ B
~ =−
div B
rot A
et
∂~
∂ −→ ~
−→ ~
rot E = − B
= − rot A
∂t
∂t
!
~
∂A
−→ ~
=0
⇔
rot E +
∂t
⇔
⇔
~
−→
~ + ∂A = − −
grad ϕ
E
∂t
~
∂A
−→
~ = −−
E
grad ϕ −
∂t
1.1.1.4. Second groupe des équations de Maxwell
L’équation de Maxwell-Gauss
Z
Z
ρ
1
~
~
~
div E =
E.dS =
⇔
ρd3~r
ε0
ε
0 V
∂V
et l’équation de Maxwell-Ampère
∂~
−→ ~
⇔
rot B = µ0~j + µ0 ε0 E
∂t
Z
~ ~ℓ = µ0
B.d
∂S
Z
()
~j.d~S + µ0 ε0 d
dt
S
Z
~ ~S
E.d
()
S
décrivent l’interaction entre les sources (charges et courant) et les champs.
1.1.1.5. Conditions de passage des champs
1.1.1.5.1. Conditions de passage du champ électrique
On considère une surface S portant une densité surfacique de charge σ. Le ﬂux du
champ électrique à travers le parallélépipède de surface s ⊂ S et d’épaisseur ǫ → 0 de
6
1. Propagation
la ﬁgure  est d’après le théorème de Gauss ()
Z
Z
~ 2 .~n ds + O(ε) = σs
~ 1 .~n ds − E
E
ε0
s
s
()
~ 1 et E
~ 2 sont les champs électriques
où ~n est un vecteur unitaire normal à la surface, E
(1)
respectivement au dessus et en dessous de la surface
. Le terme O(ε) correspond au
ﬂux du champ à travers les quatre côtés du parallélépipède traversant la surface. Dans
la limite ε → 0, ce terme s’annule. Puisque la relation () est vraie pour toute surface
s ⊂ S, il reste
~1 − E
~ 2 ).~n = σ
E1⊥ − E2⊥ = (E
ε0
i.e. la composante normale à la surface du champ électrique est discontinue et présente
un saut proportionnel à la densité de charge sur cette surface.
Figure 1 : La composante normale du champ électrique est discontinue à la
traversée d’une surface chargée.
En intégrant le champ électrique sur un contour rectangulaire MNPQ de largeur ℓ
et de hauteur ǫ dont les côtés MN et PQ sont perpendiculaires à la surface :
−−→
−→
−−→
−→
MN = −PQ = ε~n,
QM = −NP = ℓ~u, (~u.~n = 0)
il vient
I
~ ~ℓ =
E.d
∂S
Z
~ 1 .~udℓ −
E
Z
~ 2 .~udℓ + O(ε)
E
où le dernier terme correspond à la contribution des côtés MN et PQ. Dans la limite
ε → 0, ce terme s’annule. D’après l”équation de Maxwell-Faraday () et le théorème de
Green-Ostrogradsky, on a par ailleurs
Z
I
I
d
−→ ~ ~
~
~ ~S = O(ε)
~
B.d
rot E.dS = −
E.dℓ =
dt
S
∂S
∂S
(1)
Pour être plus rigoureux, on pourra déﬁnir une courbe paramétrée ~r(λ) traversant la surface
~ 1 = lim
~ r(λ)) et en
avec λ = 0 sur la surface. On déﬁnit alors le champ au-dessus comme E
λ→0+ E(~
~ 2 = lim
~ r(λ)).
dessous comme E
λ→0− E(~
7
1.1. Propagation dans le vide
Dans la limite ε → 0, il reste donc
~ 1 .~u = E
~ 2 .~u
E
Par conséquent, on a ﬁnalement
~2 = E
~ 1 + σ ~n
E
ε0
1.1.1.5.2. Conditions de passage du champ magnétique
On considère la surface de la ﬁgure  parcouru par un courant de surface de densité
~j. L’équation de Maxwell-Gauss magnétique () impose la continuité de la composante
normale du champ magnétique. En eﬀet, le ﬂux du champ magnétique à travers la boı̂te
fermée de la ﬁgure  est, en utilisant le théorème de Stockes,
Z
Z
~ ~S =
~ 3~r = 0
B.d
div Bd
∂V
V
où V est le volume de la boı̂te. Pour une boı̂te d’épaisseur ε, il reste en tout point M
de la surface
~ 1 .~n1 S + B
~ 2 .~n2 S + O(ε) = 0
B
où ~n1 et ~n2 sont des vecteurs unitaires normaux à la surface orientés respectivement
~ 1 et B
~ 2 les champs respectivement au dessus et en dessous de
vers le haut et le bas et B
la surface. Puisque ~n1 = −~n2 , il reste dans la limite ε → 0
~1 −B
~ 2 ).~n1 = 0
(B
Figure 2 : Conﬁguration utilisée pour établir les conditions de passage du champ
magnétique.
La circulation du champ magnétique le long d’un contour rectangulaire C inscrit
dans un plan perpendiculaire à la surface S conduit, d’après l’équation de MaxwellAmpère (), à
Z
Z
Z
Z
d
−
→
~ ~S = µ0
~ ~ℓ =
~ ~S
~j.d~S + µ0 ε0
rot B.d
B.d
E.d
dt S ′
S
S
C
C
C
où SC est la surface délimitée par le contour C. Notons que l’intersection de SC et
S est unidimensionnelle par déﬁnition de SC . Dans la limite d’un contour d’extension
ǫ inﬁnitésimale dans la direction perpendiculaire à la surface S, le dernier terme est
d’ordre O(ǫ) et donc s’annule dans la limite ǫ −→ 0. La contribution des composantes
normales du champ magnétique à la circulation du membre de gauche est également
d’ordre O(ǫ). Pour un contour rectangulaire MNPQ de largeur ℓ et de hauteur ǫ dont
les côtés MN et PQ sont perpendiculaires à la surface :
−−→
−→
−−→
−→
MN = −PQ = ε~n,
QM = −NP = ℓ~u, (~u.~n = 0)
8
1. Propagation
il reste donc dans la limite ǫ −→ 0
Z
Z
I
Z
~
~
~
~
B.dℓ = B1 .~udℓ − B2 .~udℓ = µ0 ~j.~n′ dℓ
C
où ~n′ = ~n ∧ ~u est un vecteur normal à la surface délimitée par le contour C et donc à
la fois perpendiculaire à ~u et ~n. Puisque cette relation est vraie pour tout contour C
d’épaisseur ε → 0, on a
~2 −B
~ 1 .~u = µ0~j.~n′ = µ0~j. ~n ∧ ~u) = µ0 ~j ∧ ~n .~u
B
dont il découle
~1 −B
~ 2 = µ0~j ∧ ~n ⇔ ~n ∧ B
~1 −B
~ 2 = µ0~j
B
()
~ présentent donc une disconLes composantes tangentielles du champ magnétique B
tinuité à la traversée de la surface dans la direction perpendiculaire au courant et
proportionnelle à la densité de courant.
1.1.1.6. Énergie du champ électromagnétique
La densité d’énergie électromagnétique au point ~r est
u=
1
~ r, t)||2 + 1 ||B(~
~ r, t)||2
ε0 ||E(~
2
2µ0
L’énergie totale est conservée dans le vide. Elle peut être échangée avec les charges. En
utilisant les équations de Mawell-Faraday et Maxwell-Ampère, il vient
~
~
∂u
~ ∂B
~ ∂ E + 1 B.
= ε0 E.
∂t
∂t
µ0 ∂t
1 ~ −→ ~
1 ~ −→ ~
E. rot B − µ0~j −
B. rot E
µ0 ε0
µ0
1
~ ∧B
~ − ~j.E
~
= − div E
µ0
= ε0 ×
En intégrant sur le volume V , l’énergie totale satisfait
Z
Z
1
dU
~ d3~r
~ ∧B
~ .d~S − ~j.E
=−
E
dt
µ0 ∂V
V
Le premier terme correspond au ﬂux d’énergie à travers le bord du volume V . Le vecteur
de Poynting
~π =
1 ~ ~
E∧B
µ0
correspond à la densité de courant d’énergie sortant du système. Le second terme est
un terme de dissipation de l’énergie. En eﬀet, pour une charge q, le travail de la force
~ ~ℓ de sorte que l’énergie dissipée pendant un
de Lorentz se réduit à W = ~F.d~ℓ = q E.d
~ vdt. La puissance dissipée est
temps dt, i.e. le long d’un élément de longueur ~vdt est q E.~
(2)
dW
~ = ~j.E
~
ﬁnalement dt = q~v.E
.
(2)
~ où γ est la conductivité électrique alors
Si on suppose que dans le système, ~j = γ E
~ = γE 2 = γ −1 j 2 . En intégrant sur le volume V du système, la relation ~j = γ E
~ conduit à la loi
~j.E
d’Ohm U = RI et la puissance totale dissipée est dW
= U I = RI 2 .
dt
9
1.1. Propagation dans le vide
1.1.2. Ondes électromagnétique dans le vide
1.1.2.1. Équation des ondes
En insérant l’équation de Maxwell-Ampère () dans l’équation de Maxwell-Faraday
(), il vient
~
∂~j
∂2E
∂ −→ ~
−→ −→ ~
= −µ0 − µ0 ε0 2
rot rot E = − rot B
∂t
∂t
∂t
Par ailleurs, on a la relation
−−→
−→
−→ −→ ~
~ −∆
~E
~ = 1 −
~E
~
rot rot E = grad div E
grad ρ − ∆
ε0
où on a utilisé l’équation de Maxwell-Gauss (). On a donc ﬁnalement l’équation des
ondes pour le champ électrique :
2~
∂~j
−→
~E
~ − µ 0 ε0 ∂ E = 1 −
∆
grad
ρ
+
µ
0
∂t2
ε0
∂t
Dans le vide, il reste
2~
~E
~ − µ 0 ε0 ∂ E = 0
∆
∂t2
On peut montrer (exercice) que le champ magnétique satisfait la même équation :
2~
~B
~ − µ0 ε0 ∂ B = 0
∆
∂t2
Pour ces deux équations, la vitesse de phase de l’onde est c avec
c2 =
1
µ0 ε0
1.1.2.2. Solution générale de l’équation des ondes
Dans le système de coordonnées cartésiennes, l’équation des ondes
∂ 2 Ei
∂ 2 Ei
1 ∂ 2 Ei
∂ 2 Ei
+
+
−
=0
∂x2
∂y 2
∂z 2
c2 ∂t2
est à variables séparables en posant Ei (x, y, z, t) = X(x)Y (y)Z(z)T (t). Il vient en eﬀet
X ′′
Y ′′
Z ′′
1 T ′′
+
+
− 2
=0
X
Y
Z
c T
La somme de ces fonctions, respectivement de x, y, z et t, ne peut être nulle qui si ces
fonctions sont constantes. Il en découle
1/2
X ′′
= C ⇔ X(x) = e±C x
X
Notons qu’une constante C positive conduit à des solutions sous forme d’exponentielles
réelles qui divergent à l’inﬁni. Si le système considéré est inﬁni, ces solutions ne sont
pas physiquement acceptables (3) . La constante C est donc nécessairement négative.
(3)
Elles peuvent toutefois être physiques dans un système ﬁni ou semi-inﬁni. Pensez en mécanique
quantique à l’exemple de la marche de potentiel.
10
1. Propagation
En posant C = −kx2 , les solutions sont
X ′′
= −kx2 ⇔ X(x) = e±ikx x
X
On procéde de même pour les trois autres fonctions avec les constantes −ky2 , −kz2 et
−ω 2 . Notons que ces constantes ne sont pas indépendantes mais liées par la relation de
dispersion
ω2
= 0 ⇔ ω 2 = ||~k||2 c2
2
c
Les solutions de l’équation des ondes sont ﬁnalement les ondes planes de la forme
− kx2 − ky2 − kz2 +
~ r, t) = E(
~ ~k)e±i(~k.~r−ωt)
E(~
et la solution générale est la combinaison linéaire
Z h
i
i(~
k.~r−ωt)
−i(~
k.~r−ωt)
~
~
~
~
~
E(~r, t) =
d3~k
E1 (k)e
+ E2 (k)e
3
R
~ 1,2 (~k) sont déterminées par les
où ω = ω(~k) et où les constantes d’intégration E
~ 1,2 (~k) sont a-priori complexes. La réalité des
conditions aux bords. Ces amplitudes E
~ r, t) ∈ R3 impose
champs électrique et magnétique, i.e. E(~
Z h
i
∗
i(~
k.~r−ωt)
−i(~
k.~r−ωt)
~
~
~
~
~
~
E(~r, t) = [E(~r, t)] ⇔
d3~k
E1 (k)e
+ E2 (k)e
3
R
Z h
i
~ ∗1 (~k)e−i(~k.~r−ωt) + E
~ ∗2 (~k)ei(~k.~r−ωt) d3~k, ∀~r, t
=
E
R3
dont il découle
~ 1 (~k) = E
~ ∗2 (~k)
E
On a donc ﬁnalement
Z h

i
1
~ r, t) =
~ ~k)ei(~k.~r−ωt) + E
~ ∗ (~k)e−i(~k.~r−ωt) d3~k

E(~
E(


2 R3
Z h
i

1

~ ~k)ei(~k.~r−ωt) + B
~ ∗ (~k)e−i(~k.~r−ωt) d3~k
~
 B(~r, t) =
B(
2 R3
()
où on a posé
~ ~k) = 2E
~ 1 (~k),
E(
~ ∗ (~k) = 2E
~ 2 (~k)
E
de sorte qu’on peut écrire
~ r, t) = ℜ
E(~
Z
R
3
~ ~k)ei(~k.~r−ωt) d3~k ,
E(
()
On a la même forme pour le champ magnétique
Z
~ ~k)ei(~k.~r−ωt) d3~k
~
B(~r, t) = ℜ 3 B(
R
Cette formulation simpliﬁe les calculs d’interférences. Souvent, on omet la partie réelle.
~ ~k) en posant
On peut également introduire les parties réelle et imaginaire de E(
~ ~k) = E
~ r (~k) − iE
~ i (~k)
E(
11
1.1. Propagation dans le vide
Il vient alors
~ r, t) =
E(~
Z
3
R
~ r (~k) cos(~k.~r − ωt) + E
~ i (~k) sin(~k.~r − ωt)]d3~k
E
~ r, t) manifeste. Notons ﬁnalement que chacune des ondes
ce qui rend la réalité de E(~
planes se déplace avec la vitesse de phase v = ωk = c. En eﬀet, deux points possèdent la
même phase si
φ = kx − ωt = kx′ − ωt′ ⇔
x′ − x
ω
=
t′ − t
k
1.1.2.3. Équations de Maxwell pour une onde électromagnétique dans le
vide
Les équations de Maxwell (), (), () et () prennent une forme particulièrement
simple :
~ ~k) = 0,
i~k.E(
~ ~k) = iω B(
~ ~k),
i~k ∧ E(
()
~ ~k).
~ ~k) = 0,
~ ~k) = −i ω E(
i~k.B(
i~k ∧ B(
c2
Ces résultats restent vrais pour les solutions générales () car les équations de Maxwell
sont linéaires. On a par exemple
Z h
i
1
~
~ ~k)ei(~k.~r−ωt) + E
~ ∗ (~k)e−i(~k.~r−ωt) d3~k
E(
div E(r, t) = div
2 R3
Z h
i
1
~ ~k)ei(~k.~r−ωt) + div E
~ ∗ (~k)e−i(~k.~r−ωt) d3~k
div
=
E(
2 R3
Z h
i
1
~k.E(
~ ~k)ei(~k.~r−ωt) − i~k.E
~ ∗ (~k)e−i(~k.~r−ωt) d3~k
=
i
2 R3
~ t) = 0 impose par transformée de Fourier
pour tout ~r, t. Il en découle que div E(r,
~ ~k) = 0. Tant que ~k est un vecteur de R3 , la relation ~k.E(
~ ~k) = 0 implique
inverse i~k.E(
~k.ℜE(
~ ~k) = ~k.ℑE(
~ ~k) = 0, i.e. l’orthogonalité des parties réelle et imaginaire du champ
avec le vecteur d’onde. L’onde plane
~ ~k)ei(~k.~r−ωt) ] = ℜE(
~ ~k) cos(~k.~r − ωt) + iℑE(
~ ~k) sin(~k.~r − ωt)
ℜ[E(
est également orthogonale au vecteur d’onde ~k. Il découle des relations () que
~
~ ~k)
~ ~k) = k ∧ E(
cB(
||~k||
~ B)
~ forme un trièdre direct. Les champs électrique et magnétique
et donc que (~k, E,
sont orthogonaux et transverses. Par ailleurs, les équations de Maxwell-Faraday et
Maxwell-Ampère lient les amplitudes des champs électrique et magnétique :
~ = c||B||
~
||E||
()
12
1. Propagation
E
B
k
Figure 3 : Onde électromagnétique plane linéairement polarisée dans le vide.
1.1.2.4. Polarisation des ondes
~ ~k) est parallèle à ~k, on parle d’onde longitudinale. Lorsque E(
~ ~k)
Lorsque E(
est perpendiculaire à ~k, on parle d’onde transverse. Dans le vide, les ondes
électromagnétiques sont transverses, i.e. ne comportent pas de composante longitu~ ~k) dans la base canonique ~ex ,~ey ,~ey , il est
dinale. Plutôt que d’exprimer les vecteurs E(
plus pratique d’introduire la base orthonormée (~e1 ,~e2 , ~k/||~k||) dépendante du vecteur
d’onde avec
~k
~e1 .~e2 = 0,
~e1 ∧ ~e2 =
||~k||
~ ~k) de l’onde plane de vecteur ~k peut s’écrire
De manière générale, l’amplitude E(
~ ~k) = E1 (~k)~e1 + E2 (~k)~e2
E(
= |E1 |eiδ1~e1 + |E2 |eiδ2~e2
où |E1 | et |E2 | sont réels. En posant φ = ~k.~r − ωt pour alléger les notations, le champ
13
1.1. Propagation dans le vide
(??), se réduit à
h
i
iφ
~
~
~
E(~r, t) = ℜ E(k)e
h
i
= ℜ |E1 |ei(φ+δ1 )~e1 + |E2 |ei(φ+δ2 )~e2
= |E1 | cos(φ + δ1 )~e1 + |E2 | cos(φ + δ2 )~e2
= |E1 | cos φ cos δ1 − sin φ sin δ1 ~e1 + |E2 | cos φ cos δ2 − sin φ sin δ2 ~e2
si l’onde est monochromatique, i.e. ~k est le seul vecteur d’onde d’amplitude non nulle.
~ dans la base (~e1 ,~e2 ) sont donc
Au point ~r et au temps t, les composantes du champ E
E1 = |E1 | cos φ cos δ1 − sin φ sin δ1 ,
E2 = |E2 | cos φ cos δ2 − sin φ sin δ2
Ces deux relations constituent l’équation paramétrique de la trajectoire de l’extrémité
~ r, t) dans le plan (~e1 ,~e2 ). Rappelons que les dépendances spatiales
du champ électrique E(~
et temporelle sont cachées dans la variable φ = ~k.~r − ωt. Dans le cas général, on peut
~ r, t) décrit une ellipse dans le plan
montrer que l’extrémité du champ électrique E(~
(~e1 ,~e2 ). On parle donc de polarisation elliptique.
1
δ=0
δ=π/4
δ=π/2
δ=3π/4
δ=π
Ey
0.5
0
-1
0
-0.5
0.5
1
-0.5
-1
Ex
~ e2 en fonction de E1 = E.~
~ e1 de l’amplitude E(
~ ~k)
Figure 4 : Composante E2 = E.~
du champ électrique pour une onde électromagnétique de la forme
~ r, t) = C cos(~k.~r − ωt + δ1 )~e1 + D cos(~k.~r − ωt + δ2 )~e2
E(~
pour diﬀérentes valeurs du déphasage δ = δ1 − δ2 .
e
iδ1
Lorsque le dépahasage entre les deux ondes est δ2 − δ1 = mπ (m ∈ Z), i.e.
= ±eiδ2 , l’amplitude de l’onde est de la forme
~ ~k) = |E1 |~e1 ± |E2 |~e2 eiδ1
E(
de sorte que champ électrique est
~ t) = |E1 |~e1 ± |E2 |~e2 cos(~k.~r − ωt + δ1 )
E(r,
~
i.e. dirigé à tout instant suivant le vecteur entre parenthèses. La direction du champ E
est donc indépendante du temps. On parle d’onde plane polarisée rectilignement.
14
1. Propagation
e1
u
e2
k
Figure 5 : Exemple d’onde plane transverse polarisée rectilignement :
~ r, t) = A cos(~k.~r − ωt)~e1
E(~
Le champ électrique est en tout point perpendiculaire au vecteur d’onde ~k :
~ r, t) sont parallèles deux à deux :
l’onde est transverse. Tous les vecteurs E(~
l’onde est polarisée retilignement.
Lorsque le dépahasage entre les deux ondes est δ2 − δ1 = (2m + 1)π/2 (m ∈ Z) et
que les deux amplitudes |E1 | et |E2 | sont égales, i.e. |E2 |eiδ2 = ±i|E1 |eiδ1 , l’amplitude
du champ électrique est
~ ~k) = |E1 |eiδ1 (~e1 ± i~e2 )
E(
et le champ électrique
~ r, t) = |E1 | cos(~k.~r − ωt + δ1 )~e1 ∓ |E1 | sin(~k.~r − ωt + δ1 )~e2
E(~
k
15
1.1. Propagation dans le vide
Figure 6 : Exemple d’onde polarisée circulairement :
~ r, t) = C cos(~k.~r − ωt)~e1 + sin(~k.~r − ωt)~e2
E(~
par superposition de deux ondes planes transverses polarisée rectilignement et
déphasées.
1.1.2.5. Énergie et impulsion d’une onde électromagnétique
La densité d’énergie électromagnétique (??) transportée par une onde électromagnétique
plane monochromatique (??) se réduit en utilisant () à
ε0 2
E + c2 B 2 = ε0 E 2 (~r, t)
hEM (~r, t) =
2
~ ~k) = E
~ 0 (~k)eiδ où
Pour une onde plane monochromatique polarisée linéairement, i.e. E(
~ 0 est un vecteur réel, le champ électrique est
E
~ r, t) = E
~ 0 (~k) cos(~k.~r − ωt + δ)
E(~
et donc la densité d’énergie
~ 0 (~k)||2 cos2 (~k.~r − ωt + δ)
hEM (~r, t) = ε0 ||E
A un instant donné, l’énergie d’une onde plane n’est donc pas distribuée de manière
homogène dans l’espace mais selon des paquets qui se déplacent dans l’espace à la vitesse
de la lumière. En prenant la moyenne temporelle sur une période, la densité d’énergie
se réduit à
1
~ 0 (k)||2
hhEM (~r, t)i = ε0 ||E
2
puisque
Z
Z
1 T
1 T
1
2
cos t/T dt =
sin2 t/T dt =
T 0
T 0
2
Dans le cas d’une polarisation quelconque, on partira de l’expression () du champ
électrique. Il vient
h i2
i(~
k.~r−ωt)
~
hEM (~r, t) = ε0 ℜ E(k)e
h
i2
~
~
= ε0 ℜE(k)
cos(~k.~r − ωt) − ℑE(k)
sin(~k.~r − ωt)
h
2
2
~
~
= ε0 ||ℜE(k)||
cos2 (~k.~r − ωt) + ||ℑE(k)||
sin2 (~k.~r − ωt)
~
~
− 2ℜE(k).ℑ
E(k)
cos(~k.~r − ωt) sin(~k.~r − ωt)
h
2
2
~
~
= ε0 ||ℜE(k)||
cos2 (~k.~r − ωt) + ||ℑE(k)||
sin2 (~k.~r − ωt)
i
~
~
− ℜE(k).ℑ
E(k)
sin 2(~k.~r − ωt)
i
En prenant la moyenne temporelle sur une période, on obtient la même densité d’énergie
que pour l’onde plane polarisée rectilignement :
i 1
1 h ~
2
2
2
~
~
hhEM (~r, t)i = ε0 ||ℜE(k)|| + ||ℑE(k)|| = ε0 |||E(k)|||
2
2
16
1. Propagation
La densité d’énergie est donc indépendante de la polarisation de l’onde.
Le ﬂux d’énergie à travers une surface S orientée dans la direction ~n est donné
par le vecteur de Poynting. On retrouve facilement ce résultat en considérant que
l’énergie traversant S pendant le temps ∆t est celle contenue dans un cylindre de hauteur
c∆t cos(~k, ~n). On a donc
~n.~k
k
de sorte que le ﬂux d’énergie par unité de temps à travers une surface perpendiculaire
à ~k est
U = hhEM (~r, t)i × c∆tS
φ=
c ~
c2 ~
1 ~
U
~
~
=
|||E(k)|||2 =
|||E(k)||| |||B(k)|||
=
|||E(k)||| |||B(k)|||
S∆t
2ε0
2ε0
2µ0
Le facteur deux supplémentaire par rapport à la déﬁnition du vecteur de Poynting provient de la moyenne temporelle. Pour une onde électromagnétique de champ
électrique 100 V /m, le ﬂux d’énergie est de 13 W/m2 .
Le même calcul peut être fait pour la densité d’impulsion (??) d’une onde plane
~ r, t) ∧ B(~
~ r, t)
~pEM (~r, t) = ε0 E(~
~ ∧ B||
~
= ε0 ||E
~k
||~k||
~
~ ||B||
~ k
= ε0 ||E||
||~k||
~
~ 2 k
= ε0 ||E||
c||~k||
~ B,
~ ~k) forment un trièdre direct. La densité
où on a utilisé () et le fait que (E,
d’impulsion est donc dirigé suivant le vecteur d’onde, conformément à la relation de
de Broglie (??). La densité d’impulsion est proportionnelle à la densité d’énergie :
h2EM = p2EM c2
On retrouve la relation satisfaite par l’énergie d’une particule ponctuelle de masse nulle
en relativité restreinte.
1.2. Electromagnétisme des milieux
Les matériaux comportent de l’ordre de 1023 charges (ions et électrons). Il est donc
totalement illusoire de vouloir les traiter comme des assemblées de charges discrétes. A
l’échelle macroscopique, il est généralement suﬃsamment de connaı̂tre un petit nombre
de grandeurs. Dans le cas de l’électrostatique, le développement multipolaire fournit
une approximation du potentiel
ϕ(~r) =
X
i
~ r
Q
P.~
qi
≃
+
+ ...
4πε0 ||~r −~ri ||
4πε0 r 4πε0 r3
où apparaissent
la charge totale, nulle pour un matériau neutre, puis le moment dipolaire
P
~
P = i qi~ri . Il est généralement suﬃsant d’approximer les milieux diéléctriques par leur
17
1.2. Electromagnétisme des milieux
polarisation, éventuellement non uniforme.
1.2.1. Milieux diéléctriques
1.2.1.1. Origine microscopique de la polarisation
1.2.1.1.1. Polarisation atomique ou moléculaire
Sous l’eﬀet d’un champ électrique, le nuage électronique des atomes se déforme et
le barycentre des charges électroniques peut ne plus être confondu avec le noyau. Le
moment dipolaire de l’atome est
Z
Z
3
~p = ρ(~r)~rd ~r = −e |ψ(~r)|2~rd3~r
En l’absence de champ électrique, le moment dipolaire d’une couche atomique complète
est nul par symétrie. Pour un champ électrique appliqué suﬃsamment faible, un calcul
au premier ordre en E conduit au moment dipolaire
2
~ tot + O(Etot
~p = αE
)
où α est la polarisabilité de l’atome.
Une polarisation à l’échelle d’une molécule peut également être induite par un
champ électrique. Dans le cas des moléculaires polaires, portant déjà un moment
dipolaire, on pourra étudier le modèle mécanique simpliste constitué de deux charges +q
et −q liées par un ressort de constante de raideur k. Sous l’action d’un champ électrique
E dans la direction de la molécule, ces deux charges ressentent une force de Coulomb
respectivement égale à qE et −qE. La force totale agissant sur le ressort est 2qE de
sorte qu’à l’équilibre, il s’allonge d’une longueur x :
2qE
k
Le moment dipolaire total est donc pour N molécules
2qE − kx = 0 ⇔ x =
2N q 2
E
k
On retrouve un moment dipolaire induit proportionnel au champ électrique. Pour une
molécule, il faudra résoudre l’équation de Schrödinger.
P = N q(ℓ0 + x) = P0 +
1.2.1.1.2. Polarisation d’orientation
Dans certaines molécules, comme l’eau par exemple, les barycentres des charges
positives et négatives ne sont pas confondus, même en l’absence de champ électrique
appliqué. Ces molécules possèdent dont un moment dipolaire ~p spontané. Dans le cas
de l’eau, les électrons de la liaison chimique H − O sont plus fortement attirés par l’ion
d’oxygène (A = 18) que par le proton de l’hydrogène. Lorsqu’on applique un champ
~ et tendent à s’orienter dans la direction
électrique, les moments subissent un couple ~p ∧ E
~ Toutefois, les ﬂuctuations thermiques entravent la mise en ordre.
du champ E.
Considérons une assemblée de N dipôles ~pi qu’on supposera sans interaction. Dans
~ l’énergie potentielle du système est
un champ électrique total E,
X
~
H(~pi ) = −
~pi .E
i
18
1. Propagation
A l’équilibre thermodynamique avec un thermostat à une température T , la moyenne
thermodynamique de la polarisation est
X
~ =
hPi
h~pi i
i
=
X
i
R
P ~
~pi eβ i ~pi .E d2~p1 . . . d2~pN
R β P ~pi .E
~
i
e
d2~p1 . . . d2~pN
R
~
~p eβ~p.E d2~p
=N R
~ 2
eβ~p.E
d ~p
R 2π R π sin θ cos φ~ux + sin θ sin φ~uy + cos θ~uz eβpE cos θ sin θdθdφ
0
0
= Np
R 2π R π
eβpE cos θ sin θdθdφ
0
0
1
kB T
−
= Np
~uz
pE
tanh kpE
BT
≃
kB T ≫pE
Np ~
E
3kB T
si l’axe (Oz) est choisi dans la direction du champ et où les intégrales sont prises sur
toutes les orientations possibles de ~p. La polarisabilité est donc dans la limite d’un
champ faible
α=
Np
3ε0 kB T
Notons qu’on peut également obtenir la polarisation moyenne par dérivation de l’énergie
libre :
∂F
∂ ln z
hP i = −
= −N
∂E
∂E
Le calcul est similaire à celui du paramagnétisme dans la théorie classique de Langevin.
1
0.8
<p>
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
pE/kT
Figure 7 : Polarisation moyenne en fonction de pE/kB T .
19
10
1.2. Electromagnétisme des milieux
1.2.1.1.3. Polarisation ionique
Dans un cristal ionique, comme par exemple le sel Na+ Cl− , les barycentres des
charges positives et négatives sont confondus dans chaque maille. Lorsqu’un champ
électrique est appliqué, les ions de signes opposés sont entraı̂nés dans des directions
opposées de sorte que le cristal porte un moment dipolaire non nul.
Le cristal ionique, lorsqu’il ne possède pas de polarisation spontanée, est dit
paraélectrique. Alors que la stabilité du cristal est assurée par l’interaction électrostatique
entre les ions, l’interaction avec les dipôles électriques conduit parfois un ion à quitter
légérement sa position d’équilibre. C’est par exemple le cas de l’ion Ti4+ dans le titanate de baryium Ba2+ Ti4+ O2−
3 . Par ce mécanisme, appelé instabilité structurale, le
cristal acquière une polarisation spontanée non nulle. Le cristal est dit ferroélectrique.
L’apparition d’un polarisation spontanée peut également être provoquée par une transition structurale. A haute température, les ﬂuctuations thermiques détruisent la polarisation. On observe à une température critique une transition entre une phase
ferroélectrique et une phase paraélectrique en tout point analogue à la transition ferromagnétique-paramagnétique (???).
Figure 8 : Polarisation en fonction de la température [] dans le cristal BaTiO3 .
1.2.1.1.4. Polarisation d’interface
Dans un conducteur, les électrons libres et les ions se répartissent de telle manière
que la densité de charge est partout nulle en l’absence de champ électrique appliqué.
L’équilibre mécanique des charges impose en eﬀet l’annulation des forces coulombiennes
et donc du champ électrique en tout point. Un champ électrique extérieur modiﬁe cette
répartition des charges et peut conduire à un moment dipolaire macroscopique.
1.2.1.2. Description macroscopique de la polarisation
Un matériau possédant un moment dipolaire spontané ou induit est dit diélectrique.
~ ex. s’ajoute le champ généré E
~ pol. par le moment dipoAu champ électrique appliqué E
laire macroscopique de la matière :
~ =E
~ ex. + E
~ pol.
E
On suppose que les propriétés diélectriques du matériau peuvent être correctement
reproduites en supposant qu’il est équivalent à une assemblée de dipôles {~pi } répartis
20
1. Propagation
~ r) à partir de cette
dans tout le volume. On déﬁnit une densité de polarisation P(~
assemblée de dipôles en moyennant sur de petits éléments de volume
X
~ r) = lim 1
P(~
~pi
V~r →0 V~r
i/~ri ∈V~r
~ ϕ, . . .) dont il sera
où V~r est un volume centré sur le point ~r. Toutes les grandeurs (E,
question dans la suite sont le résultat de ce processus de moyenne, i.e. par exemple
Z
1
~ r ′ )d3~r ′
~ r)i = lim
E(~
hE(~
V~r →0 V~r V (~r)
1.2.1.3. Charges de polarisation
Le potentiel électrique créé par une assemblée de dipôles est
1 X ~pi .(~r −~ri )
ϕpol. (~r) =
4πε0 i ||~r −~ri ||3
A l’échelle macroscopique, on peut supposer que le potentiel moyen au point ~r satisfait
Z ~ ′
P(~r ).(~r −~r ′ ) 3 ′
1
d ~r
hϕpol. (~r)i ≃
4πε0 V ||~r −~r ′ ||3
Dans la suite, on omet les crochets et on notera ϕpol. (~r) pour désigner la moyenne
ϕpol. (~r). On a la relation
Z ~ ′
P(~r ).(~r −~r ′ ) 3 ′
1
d ~r
ϕpol. (~r) =
4πε0 V ||~r −~r ′ ||3
Z
1
1
′ ~
~
=
d3~r ′
P(~r ).∇~r ′
4πε0 V
||~r −~r ′ ||
!
Z
Z
~ r ′)
~ r ′)
1
1
div P(~
P(~
3 ′
=
d
~
r
−
d3~r ′
div
4πε0 V
||~r −~r ′ ||
4πε0 V ||~r −~r ′ ||
1
=
4πε0
Z
∂V
Z
~ r ′)
~ r ′ ).d~S′
div P(~
P(~
1
−
d3~r ′
′
′
||~r −~r ||
4πε0 V ||~r −~r ||
où on a utilisé le théorème de Stockes. Le potentiel créé par la densité de polarisation
~ est donc équivalent à celui d’une distribution de charges ﬁctives de densité surfacique
P
et volumique
~ n,
σpol. = P.~
~
ρpol. = − div P
appelées charges de polarisation. On peut également aboutir à cette distribution de
charges en décomposant les dipôles ~pi , sur lesquels reposent la description du matériau,
en couples de charges opposées. Lorsque la densité de polarisation est uniforme, les
charges positives et négatives se compensent en tout point. Seule une variation de la
densité de polarisation, ou de manière équivalente le bord du matériau, brise cette
compensation locale et conduit à une densité de charge non nulle. La charge de
21
1.2. Electromagnétisme des milieux
polarisation totale dans le système est nulle :
Z
Z
3
Qpol. =
ρpol. d ~r +
σpol. dS
V
=−
=−
Z
Z
∂V
~ 3~r +
div Pd
V
~ ~S +
P.d
∂V
Z
Z
~ ndS
P.~
∂V
~ ~S
P.d
∂V
=0
puisque la polarisation correspond à un déplacement des barycentres des charges
positives et négatives déjà présentes et non à l’apport de nouvelles charges électriques.
1.2.1.4. Équations de Maxwell dans les diélectriques
L’équation de Maxwell-Gauss () s’écrit dans un diélectrique
~ tot. =
div E
~
ρtot.
ρex.
div P
=
−
ε0
ε0
ε0
On introduit le champ d’induction électrique
~ = ε0 E
~ tot. + P
~
D
de sorte qu’on peut préserver la forme de l’équation de Maxwell-Gauss :
~ = ε0 div E
~ tot. + div P
~ = ρtot. − ρpol. = ρex.
div D
()
De manière analogue à § 1.1.1.5., à la traversée d’une surface chargée, la composante
~ est discontinue. La discontinuité est
normale à la surface de l’induction électrique D
proportionnelle à la densité de charge excitatrice sur cette surface :
D1⊥ − D2⊥ = σex.
Le mouvement des charges de polarisation engendre un courant de densité jpol.
satisfaisant la loi de conservation
∂ρpol.
div~jpol. +
=0
∂t
dont il découle
~
∂
~ = 0 ⇔ ~jpol. = ∂ P
div~jpol. −
div P
∂t
∂t
L’équation de Maxwell-Ampère () s’écrit alors
~ tot.
∂E
−→ ~
rot B = µ0~jtot. + µ0 ε0
∂t
∂ ~ ~
()
= µ0~jex. + µ0~jpol. + µ0
D−P
∂t
~
∂D
= µ0~jex. + µ0
∂t
Les deux autres équations de Maxwell découlant de la déﬁnition des potentiels, elles
ne sont pas modiﬁées dans un diélectrique. Par conséquent, comme pour le champ
22
1. Propagation
électrique, les composantes tangentielles de l’induction électrique sont continues lors de
la traversée d’une surface chargée si le champ magnétique ne présente pas de divergence
à la surface :
~k
~k = E
E
1
2
~ 1 ).~n = σex. ,
(D2 − D
()
Finalement, on peut montrer que dans un milieu diélectrique, l’énergie électromagnétique
est donnée par
Z h
i
1
~ D
~ + 1 B 2 d3~r
U=
E.
2 V
µ0
1.2.1.5. Diélectriques linéaires
Si le champ électrique appliqué est suﬃsamment faible, on peut supposer que la
polarisation est proportionnelle au champ :
~ = P(
~ E)
~ ≃ χE
~ + O(E 2 )
P
Il en découle
~ = ε0 E
~ tot. + P
~ ≃ ε0 εr E
~ tot.
D
()
où εr = χ/ε0 .
εr
Air sec
1.0006
Papier
2.3
Plexiglas
3.5
Quartz
4.5
Verre
5
Eau
78.5
Tableau 1 : Exemples de permittivités relatives εr .
1.2.1.6. Équations de Maxwell dans les diélectriques linéaires isotropes
Dans le cas d’un diélectrique linéaire et isotrope, l’équation de Maxwell-Gauss ()
s’écrit
−→ ~
~ = div ε0 εr E
~ tot. = ε0 εr div E
~ tot. + ε0 −
ρex. = div D
grad εr .E
tot.
−−→
et se réduit dans le cas d’un milieu homogène, i.e. grad εr = 0, à
~ tot. = ρex. = ρtot.
div E
()
ε0 εr
ε0
L’équation de Maxwell-Ampère () a pour expression
~ tot.
∂E
−→ ~
rot B = µ0~jex. + µ0 ε0 εr
∂t
23
1.2. Electromagnétisme des milieux
~ = 0, l’équation de Maxwell-Gauss () conduit à
En jauge de Coulomb, i.e. div A
l’équation de Poisson
Z
ρex. (~r′ )
ρex.
d3~r′
⇔ ϕ(~r) =
∆ϕ = −
ε0 εr
4πε0 εr ||~r −~r′ ||
1.2.2. Milieux magnétiques
1.2.2.1. Origine microscopique de l’aimantation
Les milieux magnétiques se décomposent en trois catégories : paramagnétiques,
diamagnétiques et ferromagnétique. Dans le premier cas, le système est assimilable à
une assemblée de moments magnétique mi (d’origines diverses : orbital dans les atomes,
de spin pour les électrons et les noyaux ou dûs aux courants formés par les électrons
de conduction). En l’absence de champ magnétique extérieur, le milieu ne présente pas
d’aimantation spontanée. Il ne s’aimante que lorsqu’on applique un champ extérieur.
Dans les milieux diamagnétiques, la réponse du moment magnétique s’oppose au champ
magnétique appliqué. Dans les milieux ferromagnétiques, l’interaction d’échange entre
moments magnétiques de spin induit un ordre magnétique à grande distance. A basse
température, les moments magnétiques s’orientent tous dans la même direction et
le milieu présente une aimantation spontanée non nulle. A haute température, les
ﬂuctuations thermiques détruisent l’ordre ferromagnétique et le milieu est simplement
paramagnétique. Entre ces deux phases a lieu une transition de phase du second ordre.
1.2.2.2. Description macroscopique de l’aimantation
On fait l’hypothèse que les propriétés magnétiques du milieu sont identiques
à celles que produirait une assemblée de dipôles magnétiques. On fait l’hypothèse
supplémentaire qu’on se situe à une échelle macroscopique grande devant la distance
caractéristique entre moments magnétiques qui est microscopique. On déﬁnit une
~ r) au point ~r par un processus de moyenne spatiale sur de
densité d’aimantation M(~
petites régions de l’espace :
X
~ r) = lim 1
M(~
m
~i
V~r →0 V~r
i/~ri ∈V~r
où V~r est un volume centré sur le point ~r. De la même manière, toutes les grandeurs
~ A,
~ . . .) dont il sera question dans la suite sont le résultat de ce processus de moyenne.
(B,
1.2.2.3. Champ magnétique créé par l’aimantation
Le potentiel vecteur créé par une assemblée de moments magnétiques est
Xm
~ i ∧ (~r −~ri )
~ r) = µ0
A(~
4π i
||~r −~ri ||3
A l’échelle macroscopique, on peut supposer que le potentiel vecteur moyen au point ~r
satisfait
Z ~ ′
M(~r ) ∧ (~r −~r ′ ) 3 ′
µ0
~
d ~r
A(~r) ≃
4π V
||~r −~r ′ ||3
24
1. Propagation
On a alors
1
d3~r ′
||~r −~r ′ ||
!
Z −→ ~
Z
~
µ0
rot M 3 ′ µ0
M
−→
=
d3~r ′
rot
d ~r +
4π
||~r −~r ′ ||
4π
||~r −~r ′ ||
~ (~r) = µ0
A
4π
Z
~ r ′) ∧ ∇
~ ~r ′
M(~
µ0
=
4π
Z
Z ~
−→ ~
rot M 3 ′ µ0
M ∧ ~n ~ ′
d ~r +
dS
′
||~r −~r ||
4π
||~r −~r ′ ||
Si on y ajoute la contribution des courants de volume ~jex. et de surface j~S ex. , il vient le
potentiel vecteur total
Z ~
Z ~
−→ ~
~ r ′ ) ∧ ~n)
µ0
(jex. + rot M)
(jS ex. (~r ′ ) + M(~
µ0
3 ′
~
A(~r) =
d
~
r
+
d~S′ ()
4π
||~r −~r ′ ||
4π
||~r −~r ′ ||
L’expression du champ magnétique total en découle
"Z
#
Z ~
→~
′
~ r ′ ) ∧ ~n)
~jex. + −
(
rot
M)
(
j
(~
r
)
+
M(~
µ
S
0
−
→
−
→
ex.
3
′
′
~ r) = rot~r A(~
~ r, t) =
rot~r
d ~r +
d~S
B(~
4π
||~r −~r ′ ||
||~r −~r ′ ||
1.2.2.4. Méthode des courants ampèriens
~ équivaut
L’expression () suggère que le potentiel vecteur créé par l’aimantation M
à celui créé par la distribution de courants de volume ~j∗V et de surface ~j∗S , appelés
ampèriens, déﬁnis par
→~
~ ∧ ~n
~j∗V = −
~j∗S = M
rot M,
Les méthodes habituelles de la magnétostatique peuvent être appliquées aux courants
~jtot. = ~jex. + ~j∗V
L’équation de Maxwell-Ampère () s’écrit sous la forme
~
~
1 ∂E
1 ∂E
−→ ~
−→ ~
∗
~
~
~
rot B = µ0 jex. + jV + 2
= µ0 jex. + rot M + 2
()
c ∂t
c ∂t
~ doit être remplacé par D
~
Notons que si les charges de polarisation sont mobiles, E
conformément à (). Il découle de () la discontinuité des composantes tangentielles du
champ magnétique () lors du franchissement d’une surface parcourue par un courant
de surface :
~2 −B
~ 1 .~t = µ0 ~jex. + ~j∗ .~t = µ0 ~jex. + M
~ ∧ ~n .~t
B
S
pour tout vecteur ~t tangent à la surface.
1.2.2.5. Champ d’excitation magnétique
~ comme
On déﬁnit le champ d’excitation magnétique H
~ tot. = B
~ ex. + B
~ ∗ = µ0 H
~ +M
~
B
L’équation de Maxwell-Ampère () s’écrit alors
1 −→ ~
1 −→ ~
−→ ~
rot H =
rot Bex. +
rot Bm = ~jex.
µ0
µ0
25
()
1.2. Electromagnétisme des milieux
où on a utilisé (??). Il en découle, de manière analogue à (), qu’à la traversée d’une
surface parcouru par un courant, les composantes tangentielles du champ d’excitation
~ présentent une discontinuité :
magnétique H
~ k = ~jex. ∧ ~n
~k −H
H
2
1
()
L’équation de Maxwell-Gauss magnétique étant inchangée dans un milieu, la com~ est continue à la traversée de la surface :
posante normale du champ B
~1 −B
~ 2 ).~n = 0
(B
()
~
ce qui n’implique pas nécessairement que la continuité de la composante normale de H.
1.2.2.6. Milieux magnétiques linéaires
Dans le cas particulier où l’aimantation est linéaire avec les composantes du champ
magnétique, i.e.
~ ≃ χm H
~
M
on peut poser
~ = µ0 H
~ +M
~ ≃ µ0 (1 + χm )H
~ = µ0 µr H
~
B
()
où µr est la perméabilité magnétique relative du milieu aimanté et χm sa susceptibilité.
µr
Tc (ferro.)
Eau
0.999992
Cuivre
0.999994
Air
1.00000037
Aluminium
1.000022
Cobalt
25
1130
Nickel
600
358
Fer
5000
770
Tableau 2 :
Perméabilité relative maximale de matériaux diamagnétiques
(µr < 1), paramagnétiques et ferromagnétiques
1.2.2.7. Conﬁnement des lignes de champ magnétique et applications
Si aucun courant excitateur ne circule à surface d’un milieu aimanté de permittivité
relative µr , les conditions de passage () et () imposent
~ k,
~k = H
H
2
1
B1⊥ = B2⊥
Si le milieu est linéaire (), il vient
~k = H
~k ⇔
H
1
2
1 ~k
1 ~k
B1 =
B
µ0
µ0 µr 2
Dans la limite d’une permittivité grande, on a annulation des composantes tangentielles
26
1. Propagation
du champ à l’extérieur :
~k = 1 B
~k ≃ 0
B
1
µr 2 µr ≫1
Or la relation de Maxwell-Gauss magnétique impose l’annulation du ﬂux du champ
magnétique à travers toute surface fermée, notamment la frontière du milieu. Par
conséquent, les lignes de champ magnétiques doivent nécessairement se refermer à
l’intérieur du milieu magnétique. On a donc un phénomène de conﬁnement ou piégeage
des lignes de champ magnétique qui peut notamment servir à diriger les lignes de champ
dans la direction voulue.
I
I
1
1
e
Figure 9 : Transformateur de courant obtenu en enroulant deux bobines autour
d’un noyau ferromagnétique (à gauche) et électro-aimant formé d’une bobine
enroulée autour d’un ferromagnétique (à droite).
On considère le transformateur de la ﬁgure . Deux bobines formées de respectivement N1 et N2 spires sont enroulées autour d’un noyau ferromagnétique de permittivité
relative µr . D’après le théorème d’Ampère (), la circulation du champ d’excitation
magnétique autour du contour (en rouge et pointillés sur la ﬁgure) conduit à (4)
I
~ ~ℓ = −N1 I1 + N2 I2
H.d
C
Dans le régime linéaire du ferromagnétique (), il vient
I
I
1
~
~
~ ~ℓ ≃ 0
H.dℓ =
B.d
µr ≫1
µ
µ
0 r C
C
de sorte que pour un ferromagnétique dit dur, on a la relation entre les intensités
I2 =
N1
I1
N2
On considère à présent l’électro-aimant de la ﬁgure . De la même manière que
précédemment, le théorème d’Ampère () conduit à
I
~ ~ℓ = −N1 I1
H.d
C
Si l’aimantation reste faible, on peut négliger les masses magnétiques s’accumulant sur
les deux surfaces bordant l’entrefer. On a alors d’après () continuité des composantes
(4)
~ est sans utilité car elle fait
Notons que la circulation du champ d’induction magnétique B
−
→
~ qu’on ne connaı̂t.
intervenir le courant équivalent à l’aimantation j ∗ = rot M
27
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
normales du champ d’excitation magnétique. En supposant en première approximation
que ce champ est constant le long du contour, on peut écrire
Z
I
I
1
~
~
~
~
~ ~ℓ+ BEntrefer e ≃ BEntrefer e
H.dℓ+He =
H.dℓ ≃
B.d
e≪1 C−Entrefer
µr ≫1
µ0 µr C−Entrefer
µ0
µ0
C
En combinant ces deux relations, il vient le champ magnétique dans l’entrefer de
l’électro-aimant :
µ0 N1 I 1
BEntrefer ≃ −
e
L’intérêt du dispositif est qu’on peut concentrer le champ magnétique créé par le
solénoı̈de sur une distance e plus petite que celle occupée par les N1 spires.
Dans les deux cas, la permittivité relative µr doit être suﬃsamment grande pour
que les approximations soient valables. et le champ excitateur produit par la bobine
doit être suﬃsamment petit pour que l’aimantation induite reste petite et que le milieu
puisse être considéré comme linéaire.
1.2.3. Formulaire
~
ρpol. = − div P,
~ n
σpol. = P.~
~ = ε0 E
~ tot. + P
~ ≃ ε0 εr E
~ tot.
D
~ = ρex.
div D
~ à travers toute surface pour
Il en découle la continuité des composantes normales de D
laquelle σex. = 0.
→~
~j∗V = −
rot M,
~ ∧N
~
~j∗S = M
~ = µ0 ( H
~ + M)
~ ≃ µ0 µr H
~
B
~
∂D
−→ ~ ~
rot H = jex. +
∂t
~ à travers toute surface
Il en découle la continuité des composantes tangentielles de H
~
pour laquelle jex. = 0.
Les autres équations sont inchangées :
~
∂B
−→ ~
rot E = −
∂t
et l’énergie électro-magnétique est
Z
1 ~ ~ ~ ~ 3
U=
E.D + B.H d ~r
2
~ = 0,
div B
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
28
1. Propagation
1.3.1. Propagation dans les milieux linéaires et isotropes
1.3.1.1. Ondes électromagnétiques dans les milieux linéaires isotropes
Dans un milieu linéaire, isotrope, homogène et en l’absence de densités de courant
~jex. et de charge ρex. excitatrices, l’équation de Maxwell-Ampère obtenue à partir de
() et () se réduit à
~
~
∂D
1 −→ ~
∂E
−→ ~
rot H =
⇔
rot B = ε0 εr
∂t
µ0 µr
∂t
()
où on a introduit les indices déﬁnis par () et (). En insérant cette relation dans
l’équation de Maxwell-Faraday (), il vient
~
∂ −→ ~
εr µ r ∂ 2 E
−→ −→ ~
rot rot E = − rot B = − 2
∂t
c ∂t2
Par ailleurs, on la relation
−−→
−→ −→ ~
~ −∆
~E
~ = −∆
~E
~
rot rot E = grad div E
où le premier terme s’annule en l’absence de charge en vertu de l’équation de MaxwellGauss () :
~ =
div E
~
div D
ρex.
=
=0
ε0 εr
ε0 εr
On a donc ﬁnalement l’équation des ondes pour le champ électrique :
2~
~E
~ − εr µr ∂ E = 0
∆
c2 ∂t2
Une équation des ondes identique est obtenue pour le champ magnétique.
()
L’équation des ondes () est identique à celle obtenue dans le vide lorsqu’on
remplace la vitesse de la lumière c par c/n avec
√
n = εr µ r
l’indice de réfraction du milieu. L’indice de réfraction est une quantité positive (5) qui
admet pour limite inférieure n = 1 correspondant au vide. Dans le cas particulier d’un
milieu homogène, i.e. εr , µr et donc n uniformes, les solutions de l’équation des ondes
peuvent s’écrire, comme dans le vide, sous la forme d’une combinaison linéaire d’ondes
planes monochromatiques. La relation de dispersion est modiﬁée par l’introduction d’un
facteur n2 :
n2 ω 2
c
− k 2 E(~k) + 2 E(~k) = 0 ⇔ ω = ||~k|| = vϕ ||~k||
c
n
La vitesse de la phase dans le milieu est donc
c
c
=
vϕ = √
εr µ r
n
(5)
Néanmoins, des méta-matériaux se comportant lors d’une réﬂexion ou d’une réfraction comme
s’ils avaient un indice de réfraction négatif ont récemment été élaborés [].
29
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
En eﬀet, deux points (~r; t) et (~r ′ ; t′ ) ont même phase φ si
φ = kx − ωt = kx′ − ωt′ ⇔ vϕ =
x′ − x
ω
c
= =
′
t −t
k
n
pour une onde se propageant dans la direction (Ox).
Les équations de Maxwell (), (), () et ()
~
~
∂D
∂B
−→ ~
−→ ~
rot H =
, rot E
=−
∂t
∂t
conduisent pour un paquet d’ondes planes
Z h
Z h
i
i
i(~
k.~r−ωt) 3~
i(~
k.~r−ωt) 3~
~
~
~
~
~
~
d k
H(k)e
d k,
H(~r, t) = ℜ
E(k)e
E(~r, t) = ℜ
~ = 0,
div D
~ = 0,
div B
aux mêmes conclusions que dans le vide :
~ ~k) = 0,
i~k.E(
~ ~k) = 0,
i~k.H(
~ ~k) = iωµ0 µr H(
~ ~k),
i~k ∧ E(
~ ~k) = −iωε0 εr E(
~ ~k)
i~k ∧ H(
~ H)
~ forment un trièdre direct. Finalement, on pourra retenir que
En particulier, (~k, E,
la propagation des ondes électromagnétiques dans les milieux linéaires et isotropes
homogènes ne diﬀère de celle dans le vide que par une modiﬁcation de la vitesse de
phase.
1.3.1.2. Flux d’énergie d’une onde plane dans un milieu linéaire
réel,
~ ~k) = |E(
~ ~k)|eiφ avec |E(
~ ~k)| un vecteur
Pour une onde polarisée rectilignement, i.e. E(
~ r, t) = |E(
~ ~k)| cos(~k.~r − ωt + φ)
E(~
L’équation de Maxwell-Faraday conduit à
r
~k||
1
ε0 εr ~
||
~k ∧ E(
~ ~k) =
~ =
~ ~k) ⇒ ||H||
~ =
H(
||E||
||E||
ωµ0 µr
ωµ0 µr
µ0 µr
~ est transverse, i.e. perpendiculaire à ~k. On peut en déduire que H(
~ ~k) et E(
~ ~k)
puisque E
ont la même phase φ :
~ r, t) =
H(~
1 ~ ~ ~
k ∧ |E(k)| cos(~k.~r − ωt + φ)
ωµ0 µr
Le ﬂux d’énergie par unité de surface transportée par l’onde à un instant temps t est
30
1. Propagation
donné par le vecteur de Poynting
~ ∧H
~
~π = E
h
i
h
i
i(~
k.~r−ωt)
i(~
k.~r−ωt)
~
~
~
~
= ℜ E(k)e
∧ ℜ H(k)e
~ ~k)| ∧ |H(
~ ~k)| cos2 (~k.~r − ωt + φ)
= |E(
1
~ ~k)| ∧ (~k ∧ |E(
~ ~k)|) cos2 (~k.~r − ωt + φ)
|E(
ωµ0 µr
1 ~ ~k)|)|E(
~ ~k)| + (|E(
~ ~k)|.|E(
~ ~k)|)~k cos2 (~k.~r − ωt + φ)
=
− (~k.|E(
ωµ0 µr
r
~k
ε0 εr ~ ~ 2
|||E(k)||| cos2 (~k.~r − ωt + φ)
=
µ0 µr
k
=
En moyenne sur une période, ce ﬂux se réduit à
r
ε0 εr ~ ~ 2 ~k
h~π i =
|||E(k)||| hcos2 (~k.~r − ωt + φ)i
µ0 µr
k
r
Z
ε0 εr ~ ~ 2 ~k
1
=
|||E(k)||| ×
cos2 (~k.~r − ωt + φ)dt
µ0 µr
k T T
r
1 ε0 εr ~ ~ 2 ~k
|||E(k)|||
=
2 µ0 µr
k
p
où la racine Z = ε0 εr /µ0 µr est appelé impédance du milieu. Puisque l’onde se déplace
à la vitesse c/n, elle ne traverse une surface dS pendant un temps dt que si elle se
trouve à une distance inférieure à nc dt. Si u est la densité d’énergie électromagnétique,
la quantité d’énergie traversant dS pendant dt est donc udS × nc dt. Le ﬂux d’énergie est
ﬁnalement nc u de sorte que la densité d’énergie de l’onde électromagnétique est comme
attendu
n
1
~ ~k)|||2
u = hπi = ε0 εr |||E(
c
2
1.3.2. Lois de la réﬂexion et de la réfraction de Snell-Descartes
1.3.2.1. Démonstration des lois de Snell-Descartes
On considère une onde plane passant d’un milieu diélectrique d’indice de réfraction
n1 (z > 0) vers un milieu d’indice n2 (z < 0). Ces deux milieux sont supposés
homogènes, linéaires, isotropes et non-conducteurs. D’après (), les composantes
~ et la composante normale du champ
tangentielles du vecteur d’excitation électrique E
~ sont continues à la traversée de la surface. En revanche, la discontinuité
d’induction D
~
de la permittivité diélectrique conduit à celle des composantes normales de E.
Dans la suite, on suppose que le vecteur d’onde de l’onde incidente est dans le plan
(Oxz), i.e.
~kinc. = kinc. (sin θinc.~ux − cos θinc.~uz )
31
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
On ne connait pas les vecteurs d’onde des ondes réﬂéchie et transmise. On posera donc




αtrans.
αreﬂ.
~ktrans. = ktrans.  βtrans. 
~kreﬂ. = kreﬂ.  βreﬂ.  ,
γtrans.
γreﬂ.
avec
2
2
2
2
2
2
αreﬂ.
+ βreﬂ.
+ γreﬂ.
= αtrans.
+ βtrans.
+ γtrans.
=1
Le champ électrique des ondes électromagnétiques incidente, réﬂéchie et réfractée est,
de manière générale, de la forme :

i
h
i kinc. (x sin θinc. −z cos θinc. )−ωinc. t

~
~
~

Einc. (~r, t) = ℜ Einc. (k)e




i

h
i krefl. (xαrefl. +yβrefl. +zγrefl. )−ωrefl. t
~
~
~
()
Ereﬂ. (~r, t) = ℜ Ereﬂ. (k)e



i

h


E
~ trans. (~r, t) = ℜ E
~ trans. (~k)ei ktrans. (xαtrans. +yβtrans. +zγtrans. )−ωtrans. t
La continuité des composantes tangentielles du champ électrique à l’origine, i.e. au point
x = y = z = 0, impose à tout instant t
~ k (~k)e−iωinc. t + E
~ k (~k)e−iωrefl. t = E
~ ktrans. (~k)e−iωtrans. t ,
E
inc.
reﬂ.
∀t
~ k = Ex~ux + Ey~uy . Il en découle l’égalité des pulsations
où E
ωinc. = ωreﬂ. = ωtrans.
qui, en utilisant la relation de dispersion, conduit à
kreﬂ.
ktrans.
kinc.
=
=
n1
n1
n2
()
La continuité des composantes tangentielles du champ électrique en tout point de la
droite x = z = 0 au temps t = 0 conduit à
~ k (~k)e0 + E
~ k (~k)eikrefl. βrefl. y = E
~ ktrans. (~k)eiktrans. βtrans. y ,
E
inc.
reﬂ.
∀y
Il en découle
0 = βreﬂ. = βtrans.
ce qui implique que les vecteurs d’onde des ondes réﬂéchie et réfractée sont dans le plan
d’incidence, ici (Oxz). On pourra donc poser




sin θtrans.
sin θreﬂ.
~ktrans. = ktrans. 
~kreﬂ. = kreﬂ. 

,
()
0
0
− cos θtrans.
cos θreﬂ.
La continuité des composantes tangentielles du champ électrique sur les droites y = z =
0 au temps t = 0 conduit à
~ k (~k)eikinc. sin θinc. x + E
~ k (~k)eikrefl. sin θrefl. x = E
~ ktrans. (~k)eiktrans. sin θtrans. x ,
E
inc.
reﬂ.
Il en découle
kinc. sin θinc. = kreﬂ. sin θreﬂ. = ktrans. sin θtrans.
32
∀x
1. Propagation
En utilisant (), il reste les relations de Snell-Descartes
n1 sin θinc. = n2 sin θtrans. ,
θinc. = θreﬂ. .
()
z
kinc.
θrefl.
θinc.
krefl.
0
x
n
1
ktrans.
n
2
y
θtrans.
Figure 10 : Ondes incidente, réﬂéchie et transmise à l’interface de deux milieux
linéaires.
1.3.2.2. Réﬂexion totale sur un dioptre
La loi de Snell-Descartes () montre que si n2 < n1 , il existe un angle d’incidence
θl au delà duquel on a réﬂexion totale :
sin θl =
n2 sin π/2
n2
=
n1
n1
Pour tout angle d’incidence θinc. > θl , la loi de Snell-Descartes conduit à
n1
sin θinc. > 1
sin θtrans. =
n2
(6)
Il en découle que
1/2
cos θtrans. = 1 − sin2 θtrans.
n2
1/2
1
2
= ±i 2 sin θinc. − 1
n2
(6)
On lit souvent que sin θtrans. > 1 implique que θtrans. est un angle complexe, ce qui n’a pas
d’interprétation physique. Il est préférable d’éviter d’introduire la paramétrisation () et donc d’en
rester aux paramètres αtrans. et γtrans. .
33
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
∼λ
Figure 11 : Dispositif permettant de récupérer l’onde évanescente (en bleu)
après réﬂexion totale.
Le vecteur d’onde dans le second milieu est donc
~ktrans. = ktrans. sin θtrans.~ux − cos θtrans.~uz
1/2 i
n2
hn
n2
1
~uz
kinc.
sin θinc.~ux ± i 12 sin2 θinc. − 1
n1
n2
n2
n22 1/2
2
~uz
= kinc. sin θinc.~ux ± ikinc. sin θinc. − 2
n1
=
en utilisant (). Le champ électrique est dans le second milieu prend la forme d’une
onde évanescente
1/2
2
~ trans. (~r, t) = E
~ trans. (~k)ei(kinc. sin θinc. x−ωt) e
E
−kinc.
sin2 θinc. −
n
2
n2
1
z
Des deux solutions possibles, on a conservé la seule ne divergeant pas dans le second
milieu, i.e. pour z < 0. Notons que cette expression est bien solution de l’équation des
ondes mais elle ne serait pas acceptable physiquement dans R3 car elle diverge pour
z → −∞. L’onde n’a ﬁnalement un comportement oscillant et propagatif que dans la
direction (Ox), i.e. parallèlement à la surface, avec une vitesse de phase
v1
c
c
ω
=
=
>
v2 =
kinc. sin θinc.
sin θinc.
n1 sin θinc.
n1
Dans la direction normale à la surface, il n’y a aucune propagation. De ce fait, T = 0
et R = 1.
1.3.3. Relations de Fresnel
1.3.3.1. Champ électrique perpendiculaire au plan d’incidence
On se place dans un premier temps dans le cas d’un champ électrique perpendiculaire au plan d’incidence, i.e. dirigé suivant ~uy . On parle alors de polarisation p. En
tenant compte des relations de Snell-Descartes (), les expressions () des champs
34
1. Propagation
électriques se réduisent à

i
h
i kinc. (x sin θinc. −z cos θinc. )−ωt

~
~

Einc. (~r, t) = ℜ Einc. (k)e
~uy




i

h
i krefl. (x sin θinc. +z cos θinc. )−ωt
~
~
Ereﬂ. (~r, t) = ℜ Ereﬂ. (k)e
~uy



i

h


E
~ trans. (~r, t) = ℜ Etrans. (~k)ei ktrans. (x sin θtrans. −z cos θtrans. )−ωt ~uy
D’après la relation de Maxwell-Faraday, le champ d’excitation magnétique satisfait
~
∂B
−→ ~
~ ~k) = ω B(
~ ~k) = µ0 µr ω H(
~ ~k)
rot E(~r, t) = −
⇒ ~k ∧ E(
∂t
~k
~ ~k)
~ ~k) = n
∧ E(
⇔ H(
µ0 µr c ||~k||
()
Il en découle
i
h

n
1
i
k
(x
sin
θ
−z
cos
θ
)−ωt
inc.
inc.
inc.
~
~ inc. =

H
ℜ
E
(
k)e
cos
θ
~
u
+
sin
θ
~
u

inc.
inc.
x
inc.
z

µ0 µr1 c



i

h


H
~ reﬂ. = n1 ℜ Ereﬂ. (~k)ei krefl. (x sin θinc. +z cos θinc. )−ωt
− cos θinc.~ux +sin θinc.~uz
µ0 µr1 c

i

h

n2

i ktrans. (x sin θtrans. −z cos θtrans. )−ωt
~
~


 Htrans. = µ0 µr2 c ℜ Etrans. (k)e



× cos θtrans.~ux + sin θtrans.~uz
~ au point x = y = z = 0
La continuité () des composantes tangentielles des champs E
et au temps t = 0 impose
Einc. + Ereﬂ. = Etrans.
()
La continuité () des composantes tangentielles, i.e. suivant ~ux , des champs d’excitation
~ impose
H
Einc. Z1−1 cos θinc. − Ereﬂ. Z1−1 cos θinc. = Etrans. Z2−1 cos θtrans.
où on a introduit les impédances
r
µr1
µr1
=
,
Z1 =
n1
εr1
µr2
Z2 =
=
n2
r
()
µr2
εr2
Dans la suite, on se limitera au cas particulier où la diﬀérence d’indice de réfraction entre
les deux milieux provient uniquement de la partie diélectrique (7) , i.e. µr1 = µr2 = µr .
On pourra alors remplacer Z1−1 et Z2−1 par n1 /µr et n2 /µr respectivement. On aura
alors également la continuité des composantes normales, i.e.suivant ~uz , des champs
~ :
d’excitation H
Einc. Z1−1 sin θinc. + Ereﬂ. Z1−1 sin θinc. = Etrans. Z2−1 sin θtrans.
()
Notons que si on combine les relations () et (), on retrouve la relation de SnellDescartes ().
(7)
Pour les milieux paramagnétiques et diamagnétiques, µr ≃ 1.
35
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
En résolvant le système d’équations linéaires formés de () et (), il vient

n1 cos θinc. − n2 cos θtrans.
Ereﬂ.


=
 r⊥ = E
n cos θ
+ n cos θ
inc.
1
inc.
2
trans.

2n1 cos θinc.

 t⊥ = Etrans. =
Einc.
n1 cos θinc. + n2 cos θtrans.
Si on utilise les relations () et (), il vient les expression équivalentes

cos θinc. sin θtrans. − sin θinc. cos θtrans.
sin(θtrans. − θinc. )
Ereﬂ.



 r⊥ = Einc. = cos θinc. sin θtrans. + sin θinc. cos θtrans. = sin(θtrans. + θinc. )

2 cos θinc. sin θinc.
sin 2θinc.
Etrans.


=
=
 t⊥ =
Einc.
cos θinc. sin θtrans. + sin θinc. cos θtrans.
sin(θtrans. + θinc. )
En utilisant la relation de Snell-Descartes, on peut en eﬀet écrire
r⊥ =
=
cos θinc. −
n2
n1
n2
n1
cos θinc. −
sin θinc.
sin θtrans.
sin θinc.
sin θtrans.
cos θinc. +
cos θinc. +
cos θtrans.
cos θtrans.
cos θtrans.
cos θtrans.
=
sin θtrans. cos θinc. − sin θinc. cos θtrans.
sin θtrans. cos θinc. + sin θinc. cos θtrans.
=
sin(θtrans. − θinc. )
sin(θtrans. + θinc. )
Pour éliminer totalement θtrans. des facteurs de réﬂexion et de transmission, on devra
utiliser la relation de Snell-Descartes
s
q
n2
cos θtrans. = 1 − sin2 θtrans. = 1 − 21 sin2 θinc.
n2
de sorte que par exemple
q
n22 − n21 sin2 θinc.
q
r⊥ =
n1 cos θinc. + n22 − n21 sin2 θinc.
n1 cos θinc. −
Sous incidence normale, les facteurs de réﬂexion et transmission se réduisent à
r⊥ =
n1 − n2
,
n1 + n2
t⊥ =
2n1
n1 + n2
36
()
1. Propagation
z
θrefl.
inc.
H
θinc.
refl.
E
refl.
H
inc.
E
x
O
n1
n2
y
θtrans.
trans.
H
trans.
E
Figure 12 : Champs électriques et magnétiques incidents, réﬂéchis et transmis.
On peut également former le rapport des ﬂux d’énergie, i.e. le rapport des intensités
des diﬀérentes ondes. D’après la loi de conservation de l’énergie dans un diélectrique,
le ﬂux d’énergie à travers une surface élémentaire est donné par le vecteur de Poynting
~ ∧ H.
~ En utilisant le fait que les champs électrique et magnétique sont deux à
~π = E
deux perpendiculaires avec le vecteur d’onde ~k
!
~
~k
n
~ ∧H
~ =
~ = n E2 k
~∧
~π = E
∧E
E
µ0 µr c
µ0 µr c ||~k||
||~k||
Pour une onde plane, on aura
~π =
~k
n
|E(~k)|2 cos2 (~k.~r − ωt + φ)
µ0 µr c
||~k||
de sorte qu’il reste en moyenne
h~π i =
~k
n
|E(~k)|2
2µ0 µr c
||~k||
Le ﬂux moyen d’énergie à travers le dioptre est donc
Z
Z ~
n
n
k ~
2
~
~
h~π i.dS =
.dS =
|E(k)|
|E(~k)|2 cos θ S
~
2µ0 µr c
2µ
µ
c
0
r
||k||
où ici d~S = dxdy~uz et θ est l’angle entre ~k et l’axe (Oz). On aura donc
Z
n1
h~πinc. i.d~S =
|Einc. (~k)|2 cos θinc. S,
2µ0 µr1 c
Z
n1
|Ereﬂ. (~k)|2 cos θreﬂ. S,
h~πreﬂ. i.d~S = −
2µ0 µr1 c
Z
n2
h~πtrans. i.d~S =
|Etrans. (~k)|2 cos θtrans. S
2µ0 µr2 c
Seule la composante normale au dioptre du vecteur de Poynting contribue au ﬂux
37
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
d’énergie. Il en découle le coeﬃcient de réﬂexion
R
h~πreﬂ. i.d~S
|Ereﬂ. (~k)|2
2
R⊥ = R
=
= r⊥
2
~
~
h~πinc. i.dS
|Einc. (k)|
()
et le coeﬃcient de transmission
R
h~πtrans. i.d~S
|Etrans. (~k)|2 n2 cos θtrans.
n2 cos θtrans. 2
t
T⊥ = R
=
=
n1 cos θinc. ⊥
h~πinc. i.d~S
|Einc. (~k)|2 n1 cos θinc.
où, comme précédemment, on s’est limité au cas non-magnétique µr1 = µr2 . On pourra
vériﬁer qu’on retrouve bien la loi de conservation de l’énergie
R ⊥ + T⊥ = 1
Notons que sous une incidente normale, θinc. = θtrans. = 0, on a
2
n1 − n2
4n1 n2
R=
,
T =
n1 + n2
(n1 + n2 )2
1.3.3.2. Champ électrique dans le plan d’incidence
Le champ électrique est à présent supposé dans le plan d’incidence (Oxz) (polarisation s). Puisqu’il est transverse, il est dirigé suivant ~e2 = ~uy ∧ ~k/||~k||. On a donc

i
h
i kinc. (x sin θinc. −z cos θinc. )−ωt

~

Einc. = ℜ Einc. e
− cos θinc.~ux − sin θinc.~uz




i

h
i krefl. (x sin θinc. +z cos θinc. )−ωt
~
Ereﬂ. = ℜ Ereﬂ. e
cos θinc.~ux − sin θinc.~uz



i

h


E
~ trans. = ℜ Etrans. ei ktrans. (x sin θtrans. −z cos θtrans. )−ωt − cos θtrans.~ux − sin θtrans.~uz
~ est donné par (). Il est donc dirigé suivant
Le champ d’excitation magnétique H
!
~k
~k
~k
∧ ~e2 =
∧ ~uy ∧
= ~e1 = ~uy
||~k||
||~k||
||~k||
de sorte qu’on a simplement
i

h
n1
i kinc. (x sin θinc. −z cos θinc. )−ωt

~
~

ℜ Einc. (k)e
~uy
Hinc. (~r, t) =


µ
µ
c
0
r1



i

h
n1
i krefl. (x sin θinc. +z cos θinc. )−ωt
~
~
Hreﬂ. (~r, t) =
ℜ Ereﬂ. (k)e
~uy
µ0 µr1 c




i
h


n
2
i
k
(x
sin
θ
−z
cos
θ
)−ωt

trans.
trans.
trans.
~
~ trans. (~r, t) =
H
~uy
ℜ Etrans. (k)e
µ0 µr2 c
~ impose
La continuité () des composantes tangentielles, i.e. suivant ~ux , des champs E
en x = y = z = 0 et au temps t = 0
Einc. cos θinc. − Ereﬂ. cos θinc. = Etrans. cos θtrans.
()
n21 Einc. sin θinc. + n21 Ereﬂ. sin θinc. = n22 Etrans. sin θtrans.
()
~ = ε0 εr E
~ =
La continuité des composantes normales du vecteur d’induction électrique D
2~
ε0 n E impose par ailleurs
38
1. Propagation
~
si µr 1 = µr 2 . Enﬁn, la continuité () des composantes tangentielles des champs H
impose
n1 (Einc. + Ereﬂ. ) = n2 Etrans.
()
où on a de nouveau supposé que µr1 = µr2 et donc remplacé les inverses des impédances
par les indices de réfraction des milieux.
En résolvant le système d’équations linéaires formé de () et (), il vient
l’expression des coeﬃcients de réﬂexion et de transmission :

n2 cos θinc. − n1 cos θtrans.


 rk = n cos θ
1
trans. + n2 cos θinc.
()

2n
cos
θ
1
inc.

 tk =
= t⊥
n1 cos θtrans. + n2 cos θinc.
En combinant les deux relations () et (), on obtient les relations équivalentes

n22 cos θinc. sin θtrans. − n21 sin θinc. cos θtrans.


r
=

 k
n22 cos θinc. sin θtrans. + n21 sin θinc. cos θtrans.



 tk =
2n21 cos θinc. sin θinc.
n22 cos θinc. sin θtrans. + n21 sin θinc. cos θtrans.
qui se réduisent bien à () en utilisant la relation de Snell-Descartes. Notons que,
toujours en utilisant la relation de Snell-Descartes, il vient
rk =
cos θinc. −
n1
n2
=
cos θinc. −
sin θtrans.
sin θinc.
=
sin θinc. cos θinc. − sin θtrans. cos θtrans.
sin θtrans. cos θtrans. + sin θinc. cos θinc.
n1
n2
cos θtrans.
cos θtrans. + cos θinc.
sin θtrans.
sin θinc.
cos θtrans.
cos θtrans. + cos θinc.
En multipliant par 1 = cos2 θinc. + sin2 θinc. et 1 = cos2 θtrans. + sin2 θtrans. , on a
rk =
=
=
=
sin θinc. cos θinc. (cos2 θtrans. +sin2 θtrans. ) − sin θtrans. cos θtrans. (cos2 θinc. +sin2 θinc. )
sin θtrans. cos θtrans. (cos2 θinc. +sin2 θinc. )+sin θinc. cos θinc. (cos2 θtrans. +sin2 θtrans. )
sin θinc. cos θtrans. − sin θtrans. cos θinc. cos θinc. cos θtrans. − sin θinc. sin θtrans.
sin θinc. cos θtrans. + sin θtrans. cos θinc. cos θinc. cos θtrans. − sin θinc. sin θtrans.
sin(θinc. − θtrans. ) cos(θinc. + θtrans. )
sin(θinc. + θtrans. ) cos(θinc. − θtrans. )
tan(θinc. − θtrans. )
tan(θinc. + θtrans. )
Sous incidence normale, les facteurs de réﬂexion et transmission se réduisent à
rk =
n2 − n1
= −r⊥ ,
n1 + n2
tk =
39
2n1
= t⊥
n1 + n2
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
Finalement, les coeﬃcients de réﬂexion et de transmission sont

2

 Rk = rk
4n1 n2 cos θinc. cos θtrans.
n2 cos θtrans. 2

 Tk = 1 − R k =
=
t
2
(n1 cos θtrans. + n2 cos θinc. )
n1 cos θinc. k
1
()
3
2.5
0.8
2
r (perp.)
r (perp.)
0.6
|r|, |t|
|r|, |t|
t (perp.)
r (par.)
t (perp.)
1.5
r (par.)
0.4
t (par.)
t (par.)
1
0.2
0.5
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0
0.2
0.4
0.6
Angle
0.8
1
1.2
1.4
Angle
Figure 13 : Facteurs de réﬂexion |r| et de transmission |t| dans le cas d’un
champ électrique perpendiculaire et parallèle au plan d’incidence en fonction de
l’angle d’incidence. Les indices de réfraction sont n1 = 1 et n2 = 1.5 à gauche
et n1 = 1.5 et n2 = 1 à droite.
1
1
0.8
0.8
R (perp.)
R (perp.)
0.6
0.6
T (perp.)
R, T
R, T
T (perp.)
R (par.)
0.4
R (par.)
0.4
T (par.)
T (par.)
0.2
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0
Angle
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Angle
Figure 14 : Coeﬃcients de réﬂexion R et de transmission T dans le cas d’un
champ électrique perpendiculaire et parallèle au plan d’incidence en fonction de
l’angle d’incidence. Les indices de réfraction sont n1 = 1 et n2 = 1.5 à gauche
et n1 = 1.5 et n2 = 1 à droite.
Les relations de Fresnel montrent que rk s’annule pour l’angle de Brewster I. On
a alors transmission totale. D’après (), l’annulation du coeﬃcient de réﬂexion est
obtenue lorsque le numérateur s’annule, i.e. I = θtrans. , ce qui correspond à l’absence de
40
1. Propagation
dioptre, ou lorsque le dénominateur diverge, i.e. I + θtrans. = π/2. D’après les relations
de Fresnel (), l’annulation de rk est obtenue lorsque
n2 cos I = n1 cos θtrans.
En utilisant la relation de Snell-Descartes (), on a
n2 cos I = n1 cos(π/2 − I) = n1 sin I
et donc
tan I =
n2
n1
On peut exploiter le phénomène de transmission totale pour polariser une onde en
l’envoyant avec un angle approprié sur un milieu.
1.3.4. Ondes électromagnétiques dans les milieux dispersifs
1.3.4.1. Propagation dans un milieu linéaire dispersif
Lorsque le champ électrique varie très rapidement, la polarisation ne peut plus
le suivre et on observe un eﬀet de retard. Si on considère l’exemple d’une sphère
conductrice placée dans un champ électrique extérieur, la polarisation provient d’une
redistribution des électrons de conduction à la surface de la sphère. On peut concevoir
que chacun de ces électrons nécessite un certain temps pour atteindre sa position ﬁnale
et que ce temps n’est pas le même pour tous les électrons. Par conséquent, la polarisation
augmente de manière continue lorsqu’on applique brusquement un champ extérieur. On
peut généraliser la relation () en la remplaçant, pour un milieu linéaire isotrope, par
Z Z t
~
~ r ′ , t′ )d3~r ′ dt′
D(~r, t) = ε0 3
εr (~r −~r ′ , t − t′ )E(~
R −∞
()
Z Z +∞
~ r −~r ′ , t − t′ )d3~r ′ dt′
= ε0 3
εr (~r ′ , t′ )E(~
R 0
L’équation de Maxwell-Ampère () en l’absence de courants devient
Z Z +∞
~
∂D
∂
−→ ~
~ r −~r ′ , t − t′ )d3~r ′ dt′
rot H =
= ε0
εr (~r ′ , t′ )E(~
∂t
∂t R3 0
de sorte qu’en insérant cette relation dans l’équation de Maxwell-Faraday (), il vient
Z Z +∞
∂ −→ ~
∂2
−→ −→ ~
~ r −~r ′ , t − t′ )d3~r ′ dt′
rot rot E = − rot B = −ε0 µ0 µr 2
εr (~r ′ , t′ )E(~
∂t
∂t R3 0
On a l’identité
−−→
−→ −→ ~
~ −∆
~E
~
rot rot E = grad div E
Or la divergence du champ d’induction s’écrit
Z Z +∞
~
~ r −~r ′ , t − t′ )d3~r ′ dt′
div D = ε0 3
εr (~r ′ , t′ ) div~r E(~
R 0
de sorte que d’après () on a, en l’absence de charge,
~ = ρex = 0 ⇒ div E
~ =0
div D
41
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
Il vient ﬁnalement l’équation des ondes
Z Z +∞
∂2
~
~
~ r −~r ′ , t − t′ )d3~r ′ dt′
∆ E = ε0 µ 0 µ r 2
εr (~r ′ , t′ )E(~
∂t R3 0
Cette équation intégro-diﬀérentielle admet les ondes planes pour solution. On a en eﬀet
Z Z +∞
′
′
∂2
~
2 ~ ~ i(~
k.~r−ωt)
~
~
−k E(k)e
= ε0 µ0 µr E(k) 2
εr (~r ′ , t′ )ei(k.(~r−~r )−ω(t−t )) dt′
3
∂t R 0
Z Z +∞
2 ~ ~ i(~
k.~r−ωt)
′ ′ −i(~
k.~r ′ −ωt′ ) ′
= −ε0 µ0 µr ω E(k)e
ε
(~
r
,
t
)e
dt
r
R3 0
dont il découle la relation de dispersion
k2 =
kc
µr εr (~k, ω) 2
ω ⇔ ω=
1/2
2
c
µr εr (~k, ω)
()
où on a introduit la transformée de Fourier de la constante diélectrique
Z Z +∞
′ ′ −i(~
k′ .~r ′ −ωt′ ) 3 ′ ′
εr (~k, ω) =
ε
(~
r
,
t
)e
d ~r dt
r
R3 0
Pour une onde électromagnétique de vecteur d’onde ~k et pulsation ω, le milieu se
comporte comme un milieu linéaire de constante diélectrique εr (~k, ω). Les résultats
valables pour les milieux diélectriques sont alors facilement généralisés en remplaçant
c
εr par εr (~k, ω). En particulier, la vitesse de phase dans le milieu est vϕ = n(ω)
, i.e.
dépend de la pulsation. Lumières rouge et bleu par exemple possèdent des indices de
réfraction diﬀérents, ce qui permet la décomposition de la lumière blanche par un prisme.
~ ~k) et D(
~ ~k) dans le
Notons qu’on retrouve également une relation simple entre E(
cas d’une onde plane monochromatique. La relation () se réduit en eﬀet à
Z Z +∞
i(~
k.~r−ωt)
~
~
~ ~k)ei[~k.(~r−~r ′ )−ω(t−t′ )] d3~r ′ dt′
D(k)e
= ε0 3
εr (~r ′ , t′ )E(
R 0
Z Z +∞
′
~ ′
~ ~k)ei(~k.~r−ωt)
= ε0 3
εr (~r ′ , t′ )e−i(k.~r −ω)t d3~r ′ dt′ E(
R 0
~
~ ~k)ei(k.~r−ωt)
= ε0 εr (~k, ω)E(
et donc
~ ~k) = ε0 εr (~k, ωk )E(
~ ~k)
D(
1.3.4.2. Propagation d’un paquet d’onde dans un milieu dispersif
On considère un paquet d’onde formé de la superposition d’ondes planes () de
pulsations voisines de ω0 . En inversant la relation (), i.e. en écrivant ω = ω(~k), et en
développant au voisinage de ω0 , il vient
~ ~ ω.(~k − ~k0 ) + O ||~k − ~k0 ||2
ω(~k) ≃ ω(~k0 ) + ∇
k
42
1. Propagation
de sorte qu’on peut approcher le champ électrique par
Z
3~
~ ~k)ei(~k.~r−ω(~k)t) d k
~
E(~r, t) = ℜ E(
(2π)3
Z
3~
~ ~ ω.(~
i ~
k.~r−(ω(~
k0 )+∇
k−~
k0 ))t d k
~
~
k
≃ ℜ E(k)e
(2π)3
Z
h
3~ i
~ ~ ω.~
~ ~ ω.~
−i(ω(~
k0 )−∇
k0 )t
i(~
k.~r−∇
k t) d k
~
~
k
k
=ℜ e
E(k)e
(2π)3
h
i
~
~
~
~ r−∇
~ ~ ωt, t = 0)
= ℜ e−i(ω(k0 )−∇~k ω.k0 )t E(~
k
où on a omis la partie réelle qui doit être encore prise pour donner un sens physique à
~ r, t). L’évolution temporelle de l’onde correspond donc au premier ordre, à un facteur
E(~
de phase près, à une translation du paquet d’onde avec une vitesse
~ ~ω
~vg (~k0 ) = ∇
k
appelée vitesse de groupe. La vitesse de groupe caractérise le transport d’énergie et
donc ne peut être supérieure à c. En revanche, la vitesse de phase peut être plus
grande que c. Notons que dans le vide, ω = kc de sorte que vitesses de phase et de
groupe sont égales : vϕ = vg = c. Dans un milieu dispersif, la relation de dispersion
ω = c||~k||/n(ω) conduit à
c
ck
d
ck
dω
c
ωn′ (ω)
dω
=
=
− 2
n′ (ω)
=
−
dk
dk n(ω)
n(ω) n (ω)
dk
n(ω)
n(ω)
Il en découle la vitesse de groupe
vg =
c/n(ω)
c
dω
=
=
′
dk
1 + ωn (ω)/n(ω)
n(ω) + ωn′ (ω)
2
1
0
-1
-2
-1
0
1
2
3
Figure 15 : Un paquet d’onde gaussien à trois instants diﬀérents. Le paquet
d’onde se déplace vers la droite à vitesse vg constante et s’étale au cours du
mouvement.
43
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
Le terme suivant dans le développement de Taylor de la pulsation ω(~k) conduit
à un étalement du paquet d’onde, i.e. une dispersion. Considérons le cas d’un paquet
d’onde gaussien dans un espace à une dimension :
Z
(k−k0 )2
E(x, t) = E0 ℜ
e− 2σ2 ei(kx−ω(k)t) dk
R
On approxime la relation par le développement de Taylor d’ordre deux :
1
ω(k) ≃ ω(k0 ) + (k − k0 )ω ′ (k0 ) + (k − k0 )2 ω ′′ (k0 )
2
Le champ électrique devient
Z
(k−k0 )2
−
ikx−i ω(k0 )+(k−k0 )ω ′ (k0 )+ 21 (k−k0 )2 ω ′′ (k0 ) t
2
dk
E(x, t) = E0 ℜ
e 2σ e
R
Z
i
h
(k−k0 )2
1
−
+iω ′′ (k0 )t) ik x−ω ′ (k0 )t
−i ω(k0 )−k0 ω ′ (k0 ) t
(
2
2
σ
= E0 ℜ e
e
e
dk
R
En eﬀectuant le calcul dans le plan complexe, on montre que le module du champ est
2
|E(x, t)| =
(x−vg t)2
−
E02
1 + (ω ′′ (k0 )t)2 /4σ 4
e
2σ 2
1+(ω ′′ (k0 )t)2 /4σ 4
On retrouve donc un paquet d’onde de largeur σ(t) = σ 1 +
(ω ′′ (k0 )t)2
4σ 4
1/2
dépendante
du temps et centrée sur la position x − vg t où vg est la vitesse de phase vg = ω ′ (k0 ).
1.3.5. Propagation dans les diélectriques linéaires conducteurs
Dans les milieux diélectriques linéaires absorbants, une partie de l’énergie électromagnétique est dissipée par eﬀet Joule. L’équation des ondes fait apparaı̂tre un indice de
réfraction complexe. Les solutions de l’équation des ondes comportent par conséquent,
outre un terme oscillant, un terme d’amortissement exponentiel lié à la partie imaginaire
de l’indice.
1.3.5.1. Équation des ondes dans un conducteur simple
Dans un milieu diélectrique linéaire, homogène et isotrope de densité de charge ρex.
et parcouru par une densité de courant ~jex. satisfaisant la loi d’Ohm, les équations de
Maxwell-Ampère () et de Maxwell-Faraday () s’écrivent
~ = 0,
div B
~
∂B
−→ ~
,
rot E = −
∂t
div D = ρex. ,
44
~
−→ ~
~ + ∂D
rot H = σ E
∂t
1. Propagation
Il en découle l’équation des ondes
∂ −→ ~
−→ −→ ~
rot rot E = − rot B
∂t
∂ −→ ~
= −µ0 µr rot H
∂t
~
∂D
∂ ~
jex. +
= −µ0 µr
∂t
∂t
∂
= −µ0 µr
∂t
!
~
~ + ε0 εr ∂ E
σE
∂t
()
!
~
~
∂E
∂2E
− ε0 εr µ 0 µ r 2
∂t
∂t
Par ailleurs, d’après l’équation de Maxwell-Gauss (), il vient
= −µ0 µr σ
−−→
−→ −→ ~
~ −∆
~E
~ =
rot rot E = grad div E
1 −−→
−→
~ −∆
~E
~ = 1 −
~E
~
grad div D
grad ρex. − ∆
ε0 εr
ε0 εr
()
Notons que la loi d’Ohm n’est valable que dans le régime stationnaire. On supposera
qu’on a laissé le système de charge atteindre le régime stationnaire et que les variations
temporelle et spatiales du champ électrique sont suﬃsamment douces pour que puisse
être négligé le gradient de densité de charge ρex. dans le volume considéré. L’égalité des
relations () et () conduit ﬁnalement à l’équation des ondes :
2~
~
~E
~ − εr µr ∂ E − µ0 µr σ ∂ E = 0
∆
()
c2 ∂t2
∂t
De manière analogue au champ électrique, on peut montrer que le champ d’excitation
magnétique satisfait l’équation des ondes :
2~
~
~H
~ − εr µ r ∂ H − µ 0 µ r σ ∂ H = 0
∆
c2 ∂t2
∂t
1.3.5.2. Ondes électromagnétiques dans un conducteur simple
Cherchons des solutions de l’équation des ondes () sous la forme d’ondes planes
~ r, t) = E(
~ ~k)ei(~k.~r−ωt)
E(~
Comme dans le cas d’un diélectrique isolant, les équations de Maxwell conduisent à des
champs électrique et magnétique transverses
~ ~k) = 0,
i~k.E(
~ ~k) = 0
i~k.H(
~ ~k) et B(
~ ~k) est en
si ρex. = 0. La relation de Maxwell-Ampère liant les amplitudes E(
revanche modiﬁée. On peut se ramener à la même équation
~ ~k) = σ E(
~ ~k) − iωε0 εr E(~k)
i~k ∧ H(
σ
= −iωε0 εr + i
E(~k)
ε0 ω
= −iε0 ε̂r ωE(~k)
45
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
où on introduit une permittivité diélectrique eﬀective complexe
σ
ε̂r = εr + i
ε0 ω
()
En insérant l’expression de l’onde plane dans l’équation des ondes (), il vient la
relation de dispersion
− k 2 − µ0 µr σ(−iω) − ε0 µ0 εr µr (−ω 2 ) = 0
− k 2 + iµ0 µr σω + ε0 µ0 εr µr ω 2 = 0
⇔
− k 2 + ε0 µ0 ε̂r µr ω 2 = 0
⇔
i.e. sous une forme analogue à celle d’un diélectrique isolant en introduisant la permittivité diélectrique eﬀective (). Il en découle que le vecteur d’onde
ω
k = (ε̂r µr )1/2
c
est lui aussi complexe. Si on pose
~k = ~k′ + i~k′′
la relation de dispersion impose
2
2
(~k′ + i~k′′ )2 = k ′ − k ′′ + 2i~k′ .~k′′ = ε0 µ0 ε̂r µr ω 2 ⇔

 k ′ 2 − k ′′ 2 = ε0 µ0 εr µr ω 2

2~k′ .~k′′ = µ0 εr σω
La solution de l’équation des ondes est par conséquent de la forme
~′
~ ′′ ).~r−ωt)
ei((k +ik
~′
~ ′′ .~r
= ei(k .~r−ωt) e−k
i.e. présente une enveloppe décroissant exponentiellement vite. Une telle solution,
divergente à l’inﬁni, n’est pas acceptable physiquement dans R3 . Toutefois, elle peut
décrire une onde électromagnétique dans un conducteur semi-inﬁni. Dans le cas d’un
conducteur emplissant le demi-espace z > 0 par exemple, l’absence de divergence du
champ électrique dans les limites x, y → ±∞ impose que ~k′′ = k ′′~uz avec k ′′ > 0 de
sorte que le champ électrique se réduit à
~′
~ ′′ ).~r−ωt)
ei((k +ik
~′
= ei(k .~r−ωt) e−k
′′
z
Dans la limite d’un conducteur parfait, i.e. σ → +∞, les vecteurs ~k′ et ~k′′ sont
perpendiculaires. L’onde ne se propage alors qu’à la surface du conducteur. Notons
ﬁnalement qu’on peut introduire un indice de réfraction complexe n = n′ + in′′
comme
σ
2
2
= (n′ + in′′ )2 = n′ − n′′ + 2in′ n′′
µr ε̂r = µr εr + i
ε0 ω
dont il découle
2
2
µr εr = n′ − n′′ ,
µr σ
= 2n′ n′′
ε0 ω
46
1. Propagation
1
0.8
R
0.6
0.4
0.2
R (perp.)
R (par.)
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Angle
Figure 16 : Coeﬃcients de réﬂexion d’une onde électromagnétique passant de
√
l’air à l’eau (n ≃ 22 + 32i à 20 GHz) dans le cas d’un champ électrique dans le
plan d’incidence et perpendiculaire à ce plan. Notons qu’il n’y a pas de réﬂexion
totale.
Dans un conducteur, les relations de Snell-Descartes et de Fresnel restent valables
avec des indices de réfraction n = n′ + in′′ complexes. Dans la limite d’un conducteur
parfait, i.e. σ → +∞, on a
r
p
1
µr σ
()
n = µr ε̂r ∼ √ (1 + i)
σ≫1
ε0 ω
2
Le coeﬃcient de réﬂexion d’une onde électromagnétique passant d’un milieu diélectrique
d’indice n1 à ce conducteur est par exemple dans le cas θi = 0 et d’un champ électrique
perpendiculaire au plan d’incidence
p
n1 − (1 + i) µr σ/2ε0 ω
n1 − n2
p
r⊥ =
=
n1 + n2
n1 + (1 + i) µr σ/2ε0 ω
d’après (). Dans la limite σ −→ +∞, on a bien
lim r⊥ = −1
σ→+∞
i.e. un miroir parfait.
1.3.5.3. Ondes électromagnétiques dans un conducteur dispersif
De manière générale, la loi d’Ohm s’écrit (???)
Z Z +∞
~ r −~r ′ , t − t′ )d3~r ′ dt′
~j(~r, t) =
σ(~r ′ , t′ )E(~
3
R 0
Pour une onde plane de la forme
~ r, t) = H(
~ ~k)ei(~k.~r−ωt) ,
H(~
~ r, t) = E(
~ ~k)ei(~k.~r−ωt) ,
E(~
47
~ r, t) = D(
~ ~k)ei(~k.~r−ωt)
D(~
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
l’équation de Maxwell-Ampère devient
Z Z +∞
k.(~r−~r ′ )−ω(t−t′ ) 3 ′ ′
i(~
k.~r−ωt)
′ ′ ~ ~ i ~
~
~
~
ik ∧ H(k)e
=
σ(~r , t )E(k)e
d ~r dt
R3 0
⇔
~ ~k) =
i~k ∧ H(
Z
3
Z
~ ~k)ei(~k.~r−ωt)
− iω D(
+∞
~
σ(~r ′ , t′ )e−i(k.~r
′
~ ~k) − iω D(
~ ~k)
d ~r dt′ E(
−ωt′ ) 3 ′
R 0
En introduisant la transformée de Fourier de la conductivité
Z Z +∞
′ ′ −i(~
k.~r ′ −ωt′ ) 3 ′ ′
σ(~k, ω) =
σ(~
r
,
t
)e
d ~r dt
R3 0
l’équation de Maxwell-Ampère se réduit à
~ ~k) = σ(~k, ω)E(
~ ~k) − iω D(
~ ~k)
i~k ∧ H(
En introduisant la perméabilité diélectrique, on peut écrire
~ ~k) = σ(~k, ω)E(
~ ~k) − iωε0 εr (~k, ω)E(
~ ~k)
i~k ∧ H(
!
~k, ω)
σ(
~ ~k)
= −iωε0 εr (~k, ω) + i
E(
ωε0
~ ~k)
= −iωε0 ε̂r (~k, ω)E(
On est donc conduit à introduire la permittivité diélectrique eﬀective complexe
σ(~k, ω)
ε̂r (~k, ω) = εr (~k, ω) + i
ε0 ω
généralisant () au cas dispersif. Les équations sont inchangées en utilisant ε̂r (~k, ω).
1.3.5.4. Eﬀet de peau dans un conducteur
Dans un bon conducteur, la conductivité est grande de sorte qu’à suﬃsamment
haute fréquence, on peut approximer la permittivité diélectrique eﬀective par
σ
ε̂r ≃ i
ε0 ω
de sorte que
(µr ε̂r )
1/2
1
≃ √ (1 + i)
2
r
µr σ
= n′ + in′′
ε0 ω
√
où on a utilisé le fait que (+i)1/2 = (eiπ/2 )1/2 = eiπ/4 = (1 + i)/ 2. Il en découle
r
µr σ
′
′′
n =n =
2ε0 ω
ainsi que
k = (µr ε̂r )
1/2 ω
c
= (1 + i)
r
µ0 µr σω
= k ′ + i~k′′
2
48
1. Propagation
Un onde se propageant dans un conducteur dans la direction (Ox) est donc de la forme
i √ µ µ σω
√ µ0 µr σω
h
0 r
i
x−ωt
x
~
~ r, t) ≃ ℜ E(
~ k)e
2
2
E(~
e−
x
x
~
~
= |E(k)| cos
− ωt + φ e− δ
δ
où on a déﬁnit la profondeur de peau
r
2
δ=
µ0 µr σω
L’onde est évanescente sur une épaisseur δ à la surface du conducteur. C’est aussi le cas
des courants induits en surface par l’onde
~ r, t) = σ|E(
~ ~k)| cos x − ωt + φ e− xδ
~j = σ E(~
δ
On parle de régime diﬀusif (par opposition au régime propagatif) et d’eﬀet de peau
(ou eﬀet Kelvin).
1.3.5.5. Pression de radiation dans les conducteurs
On considère un milieu diélectrique conducteur remplissant la moitié de l’espace
x > 0. On envoie une onde électromagnétique de pulsation ω et de vecteur d’onde
suivant ~ux , i.e. perpendiculaire à la surface. L’onde transmise dans le milieu diélectrique
est dans le régime diﬀusif εcr2ω ≪ µ0 σ :

~ r, t) = E
~ trans. e− xδ ei( xδ −ωt)
 E(~
()
~
~ trans. e− xδ ei( xδ −ωt)
B(~r, t) = B
où les conditions de passage du champ électrique imposent que la pulsation ω soit
identique à celle de l’onde incidente et la relation de Snell-Descartes () que l’onde
transmise se propage dans la direction (Ox). Notons que les amplitudes, notées ici
Etrans. et Btrans. sont celles de l’onde transmise et sont donc plus petites que celle de
l’onde incidente (§ 1.3.3.). D’après la loi de conservation de l’énergie dans un diélectrique
~ H.
~ Ce ﬂux d’énergie oscille
(??), le ﬂux d’énergie à travers un volume élémentaire est E∧
au cours du temps et sa moyenne temporelle est
− 2x
2 x
~
~
δ
− ωt it~ux
hE ∧ Hit = Etrans. Htrans. e
hcos
δ
Z 2π/ω
ω
2 x
− 2x
δ
− ωt dt ~ux
cos
= Etrans. Htrans. e
×
2π 0
δ
2x
1
Etrans. Htrans. e− δ ~ux
2
où on a utilisé le fait que seule la partie réelle des expressions () a un sens
~ et B
~ sont en tout point
physique et que dans les diélectriques isotropes, les champ E
perpendiculaires. Par ailleurs, le courant engendré dans le milieu par l’onde subit une
force de Laplace. Dans un volume élémentaire, la force de Laplace (??) s’écrit
=
~ 3~r = σ E
~ ∧ Bd
~ 3~r = µ0 µr σ E
~ ∧ Hd
~ 3~r
d~F = ~j ∧ Bd
Par conséquent, l’onde électromagnétique exerce sur le milieu une force d’intensité
proportionnelle au ﬂux d’énergie. La force de Laplace moyenne subie par une surface S
49
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
est
h~Fit = µ0 µr σS
Z
+∞
0
~ ∧ Hi
~ t dx
hE
1
= µ0 µr Etrans. Htrans. σS
2
Z
+∞
e−
2x
δ
dx ~ux
0
δ
µ0 µr Etrans. Htrans. σS ~ux
4
r
µ0 µr σ
Etrans. Htrans. S ~ux
=
8ω
=
ce qui correspond donc à une pression s’exerçant sur la surface
r
µ0 µr σ
P =
Etrans. Htrans.
8ω
()
On a considéré ici une onde incidente normale à la surface, i.e. θinc. = 0 et donc
θtrans. = 0. D’après les relations de Fresnel (), le coeﬃcient de transmission est
2
4
4n
n−1
≃
=
T =1−R=1−
2
n+1
(n + 1) n≫1 n
et d’après (), l’indice de réfraction du milieu est complexe :
r
8ε0 ω
T ≃ (1 + i)
µr σ
Le ﬂux d’énergie incident est relié à celui transmis par la relation
Etrans. Htrans. = T Einc. Hinc.
de sorte que la pression de radiation () peut se réduire ﬁnalement à
1
Einc. Hinc.
c
Si on tient compte de la réﬂexion, il apparaı̂t un facteur deux supplémentaire :
P ≃
√
µ0 ε0 Einc. Hinc. =
2
Einc. Hinc.
c
A l’échelle microscopique, la pression de radiation est due au recul subi par un atome
lorsqu’il absorbe un photon (???).
P ≃
1.3.6. Propagation dans les diélectriques linéaires anisotropes
On suppose le diélectrique linéaire mais anisotrope. La relation () entre champs
d’excitation et d’induction électriques fait intervenir un tenseur diéléctrique [εr ] :
D i = ε0
3
X
j=1
(εr )ij Ej ⇔ Ei = ε0
3
X
(ε−1
r )ij Dj
()
j=1
Pour simpliﬁer la discussion, on a négligé la dispersion. Pour en tenir compte, il suﬃt
de remplacer (εr )ij par (εr )ij (~k, ω) dans l’équation des ondes.
1.3.6.1. Induction électrique d’une onde plane dans un milieu anisotrope
50
1. Propagation
On suppose que le champ d’excitation électrique dans le milieu prend la forme
d’une onde électromagnétique plane (??) monochromatique de vecteur d’onde ~k :
~ r, t) = E(
~ ~k)ei(~k.~r−ωt)
E(~
On vériﬁera a-posteriori que cette expression est bien solution de l’équation des ondes.
En supposant de la même manière que
~ r, t) = D(
~ ~k)ei(~k.~r−ωt)
D(~
l’équation de Maxwell-Gauss implique
~ = ρex. = 0 ⇒ i~k.D(
~ ~k) = 0
div D
Le champ d’induction électrique est donc en tout point transverse. En revanche, il n’est
~
plus possible d’étendre cette conclusion au champ d’excitation électrique E.
Outre (), les équations de Maxwell imposent également une relation entre les
~ ~k) et D(
~ ~k) d’une onde plane. L’équation de équation de Maxwell-Faraday
amplitudes E(
() impose
~ ~k) = iωµ0 µr H(
~ ~k) ⇔ H(
~ ~k) =
i~k ∧ E(
1 ~ ~ ~
k ∧ E(k)
µ0 µr ω
où on a utilisé () et donc supposé que le milieu était isotrope du point de vue
magnétique, i.e. [µr ] = µr I. En l’absence de courant excitateur, l’équation de MaxwellAmpère () conduit de la même manière à
i ~
~ r, t)
~ r, t) =
k ∧ ~k ∧ E(~
i~k ∧ H(~
µ0 µr ω
i ~ ~ ~
~
k(k.E) − k 2 E
=
µ0 µr ω
~ ~k)
= −iω D(
où on a utilisé l’expression (??) du double produit vectoriel. On donc ﬁnalement pour
une onde plane
i ~ ~ ~
~ ~k) =
~
− iω D(
k(k.E) − k 2 E
µ0 µr ω
()
1 2~
~
~
~
~
~
⇔
D(k) =
k E − (E.k)k
µ0 µr ω 2
L’induction électrique est proportionnelle à la composante transverse du champ
électrique, i.e la composante perpendiculaire au vecteur d’onde :
~ ~k) =
D(
k2 ~ ~
E⊥ (k)
µ0 µr ω 2
Il découle de ()
~k.D
~ =
1 2~ ~
~ ~k)k 2 = 0
k E.k − (E.
2
µ0 µr ω
()
~ est en tout point perpendiculaire à la direction de propagai.e. l’induction électrique D
~
tion k/k de l’onde.
51
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
1.3.6.2. Équation des ondes dans un milieu diélectrique linéaire anisotrope
Dans le cas d’un milieu linéaire anisotrope, la relation () et la relation de MaxwellGauss conduisent à
X ∂Di
X
X
∂Ej
0=
= ε0
⇒ 0=
(εr )ij ki Ej
(εr )ij
∂xi
∂xi
i
i,j
i,j
dont on ne peut rien tirer quant à la direction du champ électrique. De manière générale,
le champ d’excitation électrique de l’onde plane n’est pas perpendiculaire au vecteur
d’onde ~k. On a eﬀectivement
~k.E(
~ ~k) =
3
X
i=1
k i Ei =
3
X
~
ki (ε−1
r )ij Dj (k)
i,j=1
~ est
Si le milieu est isotrope, i.e. si le tenseur εr−1 est proportionnel à l’identité, ~k.E
~ et donc s’annule. Dans les autres cas, les vecteurs E
~ et D
~ forment
proportionnel à ~k.D
un angle dont on peut tirer le cosinus à partir de
~ D
~ =
E.
3
X
i,j=1
~d
~
~ |D|
~ cos(E,
D)
Ei (εr )ij Ej = |E|
La relation () permet de réduire l’équation () à
3
X
j=1
3
X
k2 h
ki kj i
δ
−
E
=
ε
(εr )ij Ej
i,j
j
0
µ0 µr ω 2
k2
j=1
()
Ce système n’admet de solutions non-triviales, i.e. Ej 6= 0, que si le déterminant
i
h k2 ki kj δ
−
−
ε
(ε
)
det
i,j
0 r ij = 0
µ0 µr ω 2
k2
2
⇔
k 2 − kx2 − ωc2 µr (εr )xx
2
−kx ky − ωc2 µr (εr )xy
−kx kz −
ω2
c2 µr (εr )xz
2
−kx ky − ωc2 µr (εr )xy
2
k 2 − ky2 − ωc2 µr (εr )yy
−ky kz −
ω2
c2 µr (εr )yz
ω2
c2 µr (εr )xz
ω2
c2 µr (εr )yz
2
2
kz − ωc2 µr (εr )zz
−kx kz −
−ky kz −
2
k −
()
=0
s’annule. L’équation () détermine la relation de dispersion ω = ω(~k) du milieu.
Si le milieu est homogène, il est toujours possible de faire un changement d’axes
aﬁn de se placer dans le repère (~v1 , ~v2 , ~v3 ) dans lequel le tenseur [εr ] est diagonal :
X
(εr )ij (vα )j = (εr )α (vα )i
j
On a alors
~ vα = ε0 (εr )α Eα ⇔ D
~ = ε0
Dα = D.~
3
X
(εr )α Eα~vα
i=1
Les vecteurs propres (~v1 , ~v2 , ~v3 ) du tenseur diélectrique [εr ] sont appelés directions
~ est dirigé
principales diélectriques. Dans le cas particulier où le champ électrique E
52
1. Propagation
suivant l’une de ces trois directions, i.e.
X
X
~ =
~ =
E
Eα~vα ⇔ D
ε0 (εr )α Eα~vα
α
α
~ et E
~ et donc les mêmes relations que
on retrouve une simple proportionnalité entre D
dans le cas isotrope. Dans la base propre (~v1 , ~v2 , ~v3 ) du tenseur diélectrique, la relation
(??) s’écrit
X
1
Dα (~k) =
k 2 δα,β − kβ kα Eβ
2
µ0 µr ω
β
de sorte qu’il vient
X
1
k 2 δα,β − kβ kα Eβ = ε0 (εr )α Eα
2
µ0 µr ω
β
i
Xh
ω2
2
k δα,β − kβ kα − (εr )β µr 2 δα,β Eβ = 0
c
Dα (~k) =
⇔
()
β
~ ~k) = E1 (~k)~v1 .
Considérons l’exemple d’un champ électrique dirigé suivant ~v1 , i.e. E(
~ ~k) = ε0 (εr )1 E1~v1 . Puisque
Le champ d’induction électrique est par conséquent D(
l’équation de Maxwell-Gauss impose que le champ d’induction électrique soit transverse,
on nécessairement k1 = 0. La relation () se réduit à la relation de dispersion
habituelle d’un milieu isotrope :
ω2
c2
On a donc une vitesse de phase
c
vα = p
(εr )α µr
k 2 = (εr )1 µr
p
(εr )α µr . De manière générale, on devra donc
et un indice de réfraction nα =
décomposer le champ électrique dans la base propre (~v1 , ~v2 , ~v3 ) de [εr ]. Chaque composantep se propage indépendamment dans le milieu avec un indice de réfraction
nα = (εr )α µr et un vecteur d’onde perpendiculaire à vα . La solution générale de
l’équation des ondes est donc
X Z
~
~ r, t) =
E(~
ℜ
Eα (~k)ei(k.~r−ωt) d2~k ~vα
α
kα =0,
ω=kc/nα
1.3.6.3. Équation de Fresnel dans un milieu diélectrique linéaire
On note α, β et γ les angles directeurs de ~k/k dans la base propre du tenseur [εr ],
i.e.
~k = k cos α~ux + cos β~uy + cos γ~uz
où, pour simpliﬁer la discussion, on a choisit les axes (Ox), (Oy), (Oz) suivant ces trois
directions principales. La relation () s’écrit pour la composante Dx suivant (Ox) par
53
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
exemple
1
~ x
k 2 Ex − (~k.E)k
2
µ0 µr ω
Dx
1
2
~
~
k
− (k.E)k cos α
⇔
Dx =
µ0 µr ω 2
ε0 (εr )xx
1
k2
~ cos α
Dx = −
(~k.E)k
⇔ 1−
2
ε0 µ0 (εr )xx µr ω
µ0 µr ω 2
Dx =
⇔
Dx =
()
~ cos α
(~k.E)k
2
k
2
ε0 (εr )xx − µ0 µr ω
~ et ~k () peut donc s’écrire
L’orthogonalité de D
0=
~k.D
~
Dx k cos α Dy k cos β
Dz k cos γ
=
+
+
~k.E
~k.E
~k.E
~k.E
~
~
~
~
k 2 cos2 α
+
= k2
2
−
µ
µ
ω
0
r
ε0 εr xx
k 2 cos2 β
+
k2
2
−
µ
µ
ω
0
r
ε0 εr yy
k 2 cos2 γ
k2
2
ε0 εr zz − µ0 µr ω
()
En introduisant la vitesse de phase
ω
v=
k
ainsi que trois vitesses associées aux trois axes principaux du diélectrique
vx2 =
1
c2
=
,
ε0 µ0 εr xx µr
εr xx µr
vy2 =
c2
,
εr yy µr
vz2 =
c2
,
εr zz µr
l’équation de Fresnel () peut s’écrire de manière plus compacte sous la forme
cos2 α
cos2 β
cos2 γ
+
+
=0
vx2 − v 2
vy2 − v 2
vz2 − v 2
()
L’équation de Fresnel possède deux solutions v ′ et v ′′ correspondant à la vitesse de deux
~ ′ et D
~ ′′ sont perpendiculaires entre eux et à ~k. Ces
ondes dont les vecteurs induction D
deux vecteurs sont situés selon les axes de l’ellipse intersection de l’ellipsoı̈de des indices
et du plan perpendiculaire à ~s = ~k/k.
z
nz
s
n’
D’
D’’ 0
n’’
ny
y
x
~ ′ et D
~ ′′ correspondent aux deux
Figure 17 : Les deux vecteurs induction D
54
1. Propagation
vitesses de propagation solutions de l’équation de Fresnel ().
En multipliant l’équation () par v 2 et en ajoutant dans les deux membres
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1, il vient
v2
v2
v2
2
2
cos α + 1 + 2
cos β + 1 + 2
cos2 γ = 1
1+ 2
vx − v 2
vy − v 2
vz − v 2
⇔
⇔
vy2
vz2
vx2
2
2
cos
α
+
cos
β
+
cos2 γ = 1
vx2 − v 2
vy2 − v 2
vz2 − v 2
1
1
1
cos2 α +
cos2 β +
cos2 γ = 1
2
2
2
2
1 − v /vx
1 − v /vy
1 − v 2 /vz2
En introduisant à présent trois indices de réfraction pour chacun des axes principaux
c
c
c
c
vx =
=√
,
vz =
,
vy =
nx
ε0 µ0 εr xx µr
ny
nz
on obtient l’équation
cos2 α
cos2 β
cos2 γ
1
+
+
= 2
2
2
2
2
2
2
n − nx
n − ny
n − nz
n
()
équivalente à l’équation de Fresnel (). Connaissant la direction de propagation ~s
de l’onde, les solutions de cette relation correspondent aux indices de réfraction des
diﬀérentes composantes du champ électrique sur les axes principaux de [εr ].
1.3.6.4. Propagation d’une onde plane dans un cristal uniaxial
Un milieu uniaxe est un milieu diélectrique anisotrope possédant deux constantes
diélectriques principales identiques. Il possède donc un axe optique, noté dans la suite
~a, tel que toutes les directions qui lui sont perpendiculaires sont équivalentes. On note
ne l’indice de réfraction dans la direction de l’axe optique et n0 dans les deux autres
directions. Pour une direction de propagation ~k = k ( cos α cos β cos γ ), l’équation
de Fresnel () :
cos2 α
cos2 γ
1
cos2 β
+ 2
= 2
+ 2
2
2
2
2
n − ne
n − n0
n − n0
n
admet deux solutions n correspondant à des vecteurs induction D′ correspondant à
~ ′ appartient au plan perpenl’onde ordinaire et D′′ à l’onde extraordinaire. D
diculaire à l’axe optique ~a. L’onde ordinaire se propage à la vitesse c/n0 . Le champ
~ ′ est colinéaire à D
~ ′. D
~ ′′ appartient appartient au plan principal (~a,~s) et
d’excitation E
correspond à la projection de l’axe optique sur le plan perpendiculaire à ~s et passant
par O. L’onde extraordinaire se propage à la vitesse c/n où n0 ≤ n ≤ ne . Le champ
~ ′′ appartient au plan principal et est perpendiculaire à l’ellipsoı̈de des
d’excitation E
indices.
55
1.3. Propagation dans les milieux linéaires
Figure 18 : Biréfringence dans un cristal de calcite. Les deux images correspondent aux ondes ordinaire et extraordinaire et leur décalage provient de
l’indice de réfraction diﬀérent pour ces deux ondes. En interposant entre le
cristal et l’observateur un polariseur convenablement orienté, on sélectionne
l’une ou l’autre des deux images.
56