Équation différentielle ordinaires

p
Fpt, y
y
yptq, y
y
yp1qptq, y
y
yp2qptq, . . . , y
y
yppqptqq “ 0.
y
y
yppqptq “ G
G
Gpt, y
y
yptq, y
y
yp1qptq, y
y
yp2qptq, . . . , y
y
ypp´1qptqq.
p p
1.
f
f
f
f
f
f:rt0, t0`Ts ˆ RmÝÑ Rm
pt, y
y
yq ÞÝÑ f
f
fpt, y
y
yq
TPs0,`8r. y
y
y
y
y
y:rt0, t0`Ts ÝÑ Rm
tÞÝÑ y
y
yptq¨
˚
˝
y1ptq
ymptq
˛
‹
‚

y
y
y1ptq “ f
f
fpt, y
y
yptqq,@tP rt0, t0`Ts
y
y
yp0q “ y
y
yr0sPRm.
paq"x2ptq ` αx1ptq ` βcospxptqq “ sinptq, t Ps0,2πs
xp0q “ 0, x1p0q “ 1.
pbq$
&
%
LCv2ptq ` ˆL
R2
`R1C˙v1ptq ` ˆR1
R2
`1˙vptq “ e, t Ps0,100s
vp0q “ 0, v1p0q “ 0.
pcq"x2ptq “ µp1´x2ptqqx1ptq ´ xptq, t Ps0,10s
xp0q “ 1, x1p0q “ 1.
pdq"yp3qptq ´ cosptqyp2qptq ` 2 sinptqyp1qptq ´ yptq “ 0, t Ps0, T s
yp0q “ u0, yp1qp0q “ v0, yp2qp0q “ w0.
pBq"X1ptq “ 1`αX2ptqYptq´pβ`1qXptq
Y1ptq “ ´αX2ptqYptq ` βXptq
Xp0q “ X0Yp0q “ Y0.
pPqθp2qptq ` g
Lsinpθptqq “ 0.
θp0q “ θ0θ1p0q “ θ1
0.
f
f
f
URˆRy
y
y@pt, y
y
yq P U, DWt
t
t,
DVy
y
y, DLą0
@sPW,@pu
u
u, v
v
vq P V2,}f
f
fps, u
u
uq ´ f
f
fps, v
v
vq} ď L}u
u
u´v
v
v}

Bf
f
f
By
y
ypt, y
y
yqf
f
f y
y
y.
m“1
"yrn`1s“yrns`hfptn, yrnsq,@nP v0, N ´1w
yr0s“ypt0q
"yrn`1s“yrns`hfptn`1, yrn`1sq,@nP v0, N ´1w
yr0s“ypt0q
pPqy
pPq"y1ptq “ cosptq ` 1,@tP r0,4πs
yp0q “ 0.
yptq “ sinptq ` t.
pSq"ypn`1q“ypnq`hfptn,ypnqq,
yp0q
pPq
ypnqy,
a, b, a ăb
ra;bsN
ptn,ypnqq
pPq
m
"y
y
yrn`1s“y
y
yrns`hf
f
fptn, y
y
yrnsq,@nP v0, N ´1w
y
y
yr0s“y
y
ypt0q
"y
y
yrn`1s“y
y
yrns`hf
f
fptn`1, y
y
yrn`1sq,@nP v0, N ´1w
y
y
yr0s“y
y
ypt0q

y
y
yrn`1s“y
y
yrns`hΦ
Φ
Φptn, y
y
yrns, hq
rt0, t0`Tsy
y
yrns
h
lim
h“T
NÑ0
max
nPt0,...,Nu›
›
›y
y
yrns´y
y
yptnq›
›
›“0
lim
h“T
NÑ0
max
n›
›
›
›
y
y
yptn`1q ´ y
y
yptnq
h´Φ
Φ
Φptn, y
y
yptnq, hq›
›
›
›
“0
Φpt, y
y
y, 0q “ fpt, y
y
yq.
y
y
yr0sΦ
Φ
Φ
h.
Φ
Φ
Φpt, y
y
y, hqy
y
y
p y
y
y
max
n›
›
›
›
y
y
yptn`1q ´ y
y
yptnq
h´Φ
Φ
Φptn, y
y
yptnq, hq›
›
›
›
“Ophpq

y
y
ypy
y
yrnsqnPv0,Nw
p y
y
yr0s“y
y
ypt0q.
max
nPv0,Nw›
›
›y
y
yptnq ´ y
y
yrns›
›
›“Ophpq
1.
Φ
Φ
Φq f
f
f
Φ
Φ
Φpt, y
y
y, hq “
q
ÿ
i“1
cik
k
krispt, y
y
y, hq
k
k
krispt, y
y
y, hq “ f
f
f˜t`hai, y `h
q
ÿ
j“1
bi,jk
k
krjspt, y
y
y, hq¸,1ďiďq
a
a
aB
c
c
ct
B“ pbi,j qi,jPv1,qwPMq, qpRq, a
a
a“ paiqiPv1,qwPRqc
c
c“ pciqiPv1,qwPRq
f
f
f y
y
y
0
ai“
q
ÿ
j“1
bij .
1 0
q
ÿ
i“1
ci“1.
2 1
q
ÿ
i“1
ciai“1{2.
B
@pi, jqPv1, qw, j ěi, bij “0.