cours math

1. CALCUL DES SURFACES
Formules et exercices.
2. TRIGONOMETRIE
La trigonométrie est la partie des mathématiques qui fait le lien entre les longueurs des côtés
d'un triangle rectangle et les mesures de ses angles. La trigonométrie utilise trois fonctions : la
fonction cosinus, la fonction sinus et la fonction tangente.
Les formules de trigonométrie permettent :
1. De calculer les longueurs des deux autres côtés d'un triangle rectangle lorsqu'on connaît la
longueur d'un côté et la mesure d'au moins un angle autre que l'angle droit.
2. De calculer les mesures des deux angles autres que l'angle droit si on connaît les longueurs
d'au moins deux côtés.
Exemple
Pour calculer BA avec les connaissances de quatrième, il faudrait utiliser la somme des angles
d'un triangle puis le cosinus puis le théorème de Pythagore : ce serait très long !
Avec la formule de trigonométrie de la tangente on pourra calculer BA directement.
Cosinus, sinus et tangente
Il faut retenir ceci :
On peut alors écrire les trois formules de trigonométrie :

Utilisation des formules
Côté adjacent, côté opposé et hypoténuse
• L'hypoténuse est le
plus grand côté d'un
triangle rectangle.
• Le côté adjacent à un
angle est le côté qui
touche cet angle mais qui
n'est pas l'hypoténuse.
• Le côté opposé à un
angle est le côté qui ne
touche pas cet angle.
Exemple
Calcul de la longueur BC.
• 1. On cherche l'hypoténuse et
on connaît le côté opposé. On
utilise donc la formule
du sinus.
• 2.
• 3.
• 4.
• 5. BC=1×8÷sin(65) donc
BC≈8,8cm.
Remarques :
(Théorème de Pythagore)
La tangente d'un angle est le quotient de son sinus par son cosinus.
On peut calculer la tangente d'un angle seulement si le cosinus de cet angle n'est pas nul.

(Démonstration
D'après les formules de troisième, pour un angle donné on a :
Dans la formule de la tangente en remplaçant Opposé par Sinus × Hypoténuse et Adjacent par
Cosinus × Hypoténuse puis en simplifiant en haut et en bas par Hypoténuse on obtient
)

3. LES VECTEURS
Un vecteur est un objet mathématique qui se représente par une flèche.
Notation
Si un vecteur va d'un point A à un point B, on le note . Si les points d'origine et d'arrivée
n'ont pas de nom, on peut simplement noter le vecteur avec une petite flèche au-dessus d'une
lettre en minuscule, par exemple le vecteur .
Opérations avec des vecteurs
Égalité de vecteurs
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction,
le même sens, et la même longueur.
Ils peuvent cependant avoir un point d'origine
différent.
Somme de vecteurs

La somme de deux vecteurs qui sont placés
l'un au bout de l'autre est le vecteur qui part de
l'origine du premier et qui arrive au bout de la
flèche du deuxième.
Si A, B et C sont 3 points, on a
toujours (relation de Chasles).
Différence de vecteurs
La différence de deux vecteurs est la somme du premier et
de l'opposé du second.
L'opposé d'un vecteur est le vecteur de même longueur et
de même direction que , mais de sens opposé (la flèche est
tournée dans l'autre sens).
Si A et B sont deux points, on a toujours .
Produit ou quotient d'un vecteur par un nombre
Le produit (ou le quotient) d'un vecteur par un
nombre k est un vecteur de même direction que , de
longueur multipliée (ou divisée) par k, et de sens
contraire à celui de si k est négatif.
Remarques
1. Si deux vecteurs ont la même direction, on dit qu'ils sont colinéaires.
2. Le produit de deux vecteurs existe aussi : c'est le produit scalaire
3. Il n'est pas possible de diviser deux vecteurs entre eux (sauf s'ils sont colinéaires), ni
d'additionner ou de soustraire des nombres avec des vecteurs.