1. CALCUL DES SURFACES Formules et exercices. 2. TRIGONOMETRIE La trigonométrie est la partie des mathématiques qui fait le lien entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle et les mesures de ses angles. La trigonométrie utilise trois fonctions : la fonction cosinus, la fonction sinus et la fonction tangente. Les formules de trigonométrie permettent : 1. De calculer les longueurs des deux autres côtés d'un triangle rectangle lorsqu'on connaît la longueur d'un côté et la mesure d'au moins un angle autre que l'angle droit. 2. De calculer les mesures des deux angles autres que l'angle droit si on connaît les longueurs d'au moins deux côtés. Exemple Pour calculer BA avec les connaissances de quatrième, il faudrait utiliser la somme des angles d'un triangle puis le cosinus puis le théorème de Pythagore : ce serait très long ! Avec la formule de trigonométrie de la tangente on pourra calculer BA directement. Cosinus, sinus et tangente Il faut retenir ceci : On peut alors écrire les trois formules de trigonométrie : Utilisation des formules Côté adjacent, côté opposé et hypoténuse • L'hypoténuse est le plus grand côté d'un triangle rectangle. • Le côté adjacent à un angle est le côté qui touche cet angle mais qui n'est pas l'hypoténuse. • Le côté opposé à un angle est le côté qui ne touche pas cet angle. Exemple Calcul de la longueur BC. • 1. On cherche l'hypoténuse et on connaît le côté opposé. On utilise donc la formule du sinus. • 2. • 3. • • 4. 5. BC=1×8÷sin(65) donc BC≈8,8cm. Remarques : (Théorème de Pythagore) La tangente d'un angle est le quotient de son sinus par son cosinus. On peut calculer la tangente d'un angle seulement si le cosinus de cet angle n'est pas nul. (Démonstration D'après les formules de troisième, pour un angle donné on a : Dans la formule de la tangente en remplaçant Opposé par Sinus × Hypoténuse et Adjacent par Cosinus × Hypoténuse puis en simplifiant en haut et en bas par Hypoténuse on obtient ) 3. LES VECTEURS Un vecteur est un objet mathématique qui se représente par une flèche. Notation Si un vecteur va d'un point A à un point B, on le note . Si les points d'origine et d'arrivée n'ont pas de nom, on peut simplement noter le vecteur avec une petite flèche au-dessus d'une lettre en minuscule, par exemple le vecteur . Opérations avec des vecteurs Égalité de vecteurs Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens, et la même longueur. Ils peuvent cependant avoir un point d'origine différent. Somme de vecteurs La somme de deux vecteurs qui sont placés l'un au bout de l'autre est le vecteur qui part de l'origine du premier et qui arrive au bout de la flèche du deuxième. Si A, B et C sont 3 points, on a toujours (relation de Chasles). Différence de vecteurs La différence de deux vecteurs est la somme du premier et de l'opposé du second. L'opposé d'un vecteur est le vecteur de même longueur et de même direction que , mais de sens opposé (la flèche est tournée dans l'autre sens). Si A et B sont deux points, on a toujours . Produit ou quotient d'un vecteur par un nombre Le produit (ou le quotient) d'un vecteur par un nombre k est un vecteur de même direction que , de longueur multipliée (ou divisée) par k, et de sens contraire à celui de si k est négatif. Remarques 1. Si deux vecteurs ont la même direction, on dit qu'ils sont colinéaires. 2. Le produit de deux vecteurs existe aussi : c'est le produit scalaire 3. Il n'est pas possible de diviser deux vecteurs entre eux (sauf s'ils sont colinéaires), ni d'additionner ou de soustraire des nombres avec des vecteurs. Norme La norme d'un vecteur est une mesure de sa longueur relativement au repère dans lequel il est placé. On note la norme avec des doubles barres verticales. Exemple Un vecteur peut très bien avoir une norme différente de sa longueur en centimètres ! Dans un repère orthonormé, si , alors (théorème de Pythagore). (Le produit scalaire est le produit de deux vecteurs entre eux. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre proportionnel à la longueur de chaque vecteur et dépendant de l'angle qu'ils forment. L'opérateur du produit scalaire se note avec un point au lieu du ×. Produit scalaire sur un dessin Dans un plan muni d'un repère orthonormé, prenons deux vecteurs partant d'un même point d'origine et formant un angle inférieur à 90 degrés. Leur produit scalaire est le produit de la longueur du premier par la longueur du projeté orthogonal du deuxième sur la droite qui porte le premier. Si l'angle est compris 90° et 180°, c'est le nombre opposé. Quel est le produit scalaire des vecteurs représentés ci-dessous ? Calculs avec le produit scalaire On calcule avec le produit scalaire comme on calcule avec un produit normal. Exemples Orthogonalité Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, on dit que ces vecteurs sont orthogonaux. Pour que deux vecteurs non nuls aient un produit scalaire nul, il faut que leurs droites d'application soient perpendiculaires (ainsi, le projeté orthogonal du deuxième sur le premier est un point, de longueur nulle). Calcul du produit scalaire 1. Avec la norme des vecteurs et l'angle qu'ils forment On utilise la formule du cosinus. Si 0<x<90° Si 90°<x<180° On obtient la même formule dans les deux cas. En notant la mesure de l'angle orienté entre ces deux vecteurs, on a aussi : Et pour tous vecteurs et : (Un angle orienté est un angle formé par un point d'origine et deux vecteurs partant de ce point, mesuré en radians en allant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens trigonométrique. Angle géométrique Angles orientés 2. Avec les coordonnées des vecteurs Dans un repère orthonormé, si Donc: et On a donc la formule . Exemple : Les vecteurs et alors on peut écrire sont-ils orthogonaux ? et . 4. LES REPERES ET LES COORDONNEES Un plan est une surface plate infinie. Repère du plan Pour créer un repère dans un plan, on place deux vecteurs non colinéaires à une même origine. Pour repérer la position d'un point M dans ce repère, on exprime le vecteur en fonction des vecteurs et : les nombres et β tels que sont appelés les . coordonnées de M dans le repère On note ce qui se lit : "M a pour coordonnées alpha et bêta." Exemples Lorsque les vecteurs et forment un angle droit, on dit que le repère est orthogonal. Si de plus ils sont de même longueur, on dit qu'il est orthonormé. Calculs dans un repère Coordonnées du milieu de deux points Dans un repère, si on connaît les coordonnées de deux points A(xA;yA) et B(xB;yB), alors on peut calculer les coordonnées du point I(xI;yI) milieu de [AB]. Il faut calculer la moyenne des coordonnées de A et de B. Exemple : Dans un repère, C(12;-5) et D(20;-7), Quelles sont les coordonnées du point E milieu de [CD]? Coordonnées d'un vecteur Dans un repère, on peut attribuer des coordonnées à un vecteur. L'abscisse d'un vecteur, c'est de combien il avance vers la droite. Son ordonnée, c'est de combien il monte vers le haut. Si un vecteur passe par deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) alors . Exemple : Dans un repère, Z(37;-5) et A(-51;-7), Quelles sont les coordonnées du vecteur Distance entre deux points Dans un repère orthonormé, si et alors la longueur AB mesure en unités de longueur du graphique. Cette propriété provient du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle APB ci-contre. Pour cet exemple, on obtient u.g. Exemple : Dans un repère orthonormé, I(-8;-6) et J(-8;6), Donne un arrondi à 0,1 près de la longueur IJ. ? Colinéarité Dans un repère, si deux vecteurs et sont colinéaires, alors Réciproquement, si dans un repère deux vecteurs et sont tels que alors ils sont colinéaires. . En effet, si et sont colinéaires, alors il existe un nombre k tel que Donc les coordonnées de sont égales aux coordonnées de multipliées par un même nombre k (les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnelles). On a donc : En isolant k dans une équation et en remplaçant sa valeur dans l'autre équation, on obtient . , .
