Ecriture fractionnaire 5ème Ecriture fractionnaire F. de Sauvage Table des matières 1. Ecriture fractionnaire d’un quotient 3 2. Fractions égales 4 3. Simplifier une fraction 4 4. Comparaison de fractions 5 4.1 Comparaison avec 1 5 4.2 Deux fractions de même dénominateur 5 4.3 Deux fractions de même numérateur 5 4.4 Deux fractions de dénominateurs différents (Cas le plus fréquent) 5 5. Additions/Soustraction de deux fractions 6 5.1 Si les dénominateurs sont égaux 6 5.2 Si les dénominateurs sont différents 7 6. Multiplier une fraction par un nombre 7 2 Ecriture fractionnaire F. de Sauvage 1. Ecriture fractionnaire d’un quotient Définition : Le quotient d’un nombre a par un nombre b (b ≠ 0) est le nombre par lequel il faut 𝑎 multiplier b pour obtenir a. Ce nombre d’écrit , et est appelé écriture fractionnaire. Il 𝑏 𝑎 vérifie donc 𝑏 × = 𝑎 𝑏 Exemple : 4 9 5 ×9=4 3 5 ×3=5 7 ×7=5 Remarque : Si a et b sont des entiers, alors 𝑎 𝑏 est une fraction Si a est un entier et b un multiple de 10, alors 𝑎 𝑏 est une fraction décimale. Vocabulaire : L’écriture fractionnaire quantité b non nulle. 𝑎 𝑏 traduit la proportion d’une quantité a par rapport à une Exemple : Si un colis de 7 livres contient 3 romans, alors la proportion de romans est de 3/7. Vocabulaire : L’écriture en ligne d’un quotient (ou écriture fractionnaire) de deux nombres a et 𝑎 b (b≠ 0), a÷b ou a:b est équivalente à : avec a le numérateur et b le 𝑏 dénominateur. Rappel : Si le résultat de la fraction 𝑎 est un nombre entier, on dit que a est un multiple de 𝑏 b, ou que b est un diviseur de a ou encore que a est divisible par b. Cas particulier : Soient a et b deux nombres avec b≠0. On sait que 𝑏 𝑏 𝑎 0 1 𝑏 =1; =𝑎; =0; 3 Ecriture fractionnaire F. de Sauvage 2. Fractions égales Définition : On ne change pas la valeur (le résultat) d’une fraction 𝑎 si on multiplie ou on divise 𝑏 son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. a,b,k désignent des nombres relatifs avec b,k différents de zéro. 𝑎 𝑎×𝑘 𝑎 𝑎÷𝑘 = 𝑜𝑢 = 𝑏 𝑏×𝑘 𝑏 𝑏÷𝑘 Exemple : Technique : 2 fractions sont égales si les produits en croix sont égaux : 5 10 = 3 6 5 × 6 = 30 10 × 3 = 30 3. Simplifier une fraction Définition : Simplifier une fraction signifie trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petit. Lorsqu’une fraction ne peut plus être simplifiée, on dit qu’elle est irréductible Exemple : 12 18 = 6×2 9×2 = 6 9 ou 12 18 = 12÷2 18÷2 = 6 9 6 n’est pas irréductible (pas simplifiée au maximum), elle peut encore se simplifier 9 par 3 : 6÷3 2 = 9÷3 3 4 Ecriture fractionnaire F. de Sauvage 4. Comparaison de fractions 4.1 Comparaison avec 1 • Si le numérateur est plus grand que le dénominateur alors la fraction est plus 𝟖 grande que 1. Par exemple > 1 𝟓 • Si le dénominateur est plus grand que le numérateur alors la fraction est 𝟐 comprise entre 0 et 1. Par exemple 0 < < 1 𝟑 4.2 Deux fractions de même dénominateur Si les deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle avec le plus grand numérateur. Exemple Comparer 4 7 et 3 7 . Ici 4>3, donc 4 7 > 3 7 4.3 Deux fractions de même numérateur Si les deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur Exemple Comparer 5 3 et 5 4 . Ici 4>3, donc 5 5 > 3 4 4.4 Deux fractions de dénominateurs différents (Cas le plus fréquent) Si les deux fractions ont des dénominateurs différents, on effectue une mise au même dénominateur, puis on compare les numérateurs entre eux. On dira qu’on a « réduit les fractions au même dénominateur » Exemple Comparer 5 14 et 9 7 . On va mettre au même dénominateur les deux fractions en remarquant par exemple que 14 est un multiple de 7. 9 7 = 9×2 7×2 = 18 On compare maintenant 14 Ici 18>5, d’où 18 14 > 5 , donc 14 5 14 < 5 14 et 18 14 9 7 5 Ecriture fractionnaire F. de Sauvage Lorsqu’on ne reconnait pas ou qu’il n’y a pas de multiples ou de diviseurs évidents de l’un des deux dénominateurs des deux fractions, on peut procéder de la manière suivante : Comparer 8 3 et 5 4 . Les deux fractions vont se mettre au même dénominateur en procédant ainsi: En multipliant celle de gauche (en haut et en bas) par le dénominateur de celle de 8 8×4 32 droite. = = 3 3×4 12 En multipliant celle de droite (en haut et en bas) par le dénominateur de celle de 5 5×3 15 gauche. = = 4 4×3 12 On compare maintenant Donc 32 12 avec 15 12 . Ici 32 > 15, d’où 32 12 > 15 12 8 5 > 3 4 5. Additions/Soustraction de deux fractions 5.1 Si les dénominateurs sont égaux 1 2 + 4 1+2 = 4 = 4 3 4 Définition : Soient a, b et D trois entiers naturels avec D ≠ 0. Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs a+b et on garde le dénominateur D 𝑎 𝐷 + 𝑏 𝐷 = 𝑎+𝑏 𝑎 𝐷 𝐷 − 𝑏 𝐷 = 𝑎−𝑏 𝐷 Exemple 7 3 2 9 9 3 3 5 + = 6 3 5 5 − = 6 Ecriture fractionnaire F. de Sauvage 5.2 Si les dénominateurs sont différents Pour additionner ou soustraire deux fractions aux dénominateurs différents, on réduit les réduits au même dénominateur. Exemple 4 3 5 8 15 2 6 6 + = + = 8+15 6 = 23 6 8 5 + 3 4 = 8×4 3×4 + 5×3 4×3 = 32+15 12 = 47 12 6. Multiplier une fraction par un nombre Définition : Soient n, a et b trois entiers naturels, avec b ≠ 0. 𝑎 Pour multiplier un nombre n par une fraction , on multiplie le numérateur par ce 𝑏 nombre et on garde le dénominateur : 𝑛× 𝑎 𝑛×𝑎 = 𝑏 𝑏 Exemple 2× 3 2×3 6 = = 5 5 5 2 Les deux tiers d’une bouteille de 75cL correspondent à : 75 × 3 = 14% de 50€ correspond à 14 100 × 50 = 14×50 100 = 700 100 75×2 3 = 150 3 = 50 cL = 7€ 7
