Compilé par : Mouhamadou KA Professeur au Lycée Cheikh Oumar Foutiyou TALL de Saint-Louis Préface de M. Saint-Louis, 1 1°) Dans les tableaux ci-dessous, récapituler les propriétés des fonctions trigonométriques. (On pourra utiliser un cercle trigonométrique) cos² x + sin² x = x tan x = 1 + tan² x = cotan x = 1 + cotan² x = 0 6 4 3 2 x cos x cos x sin x sin x tan x tan x x + 2 -x x+ -x 2 x sin x = sin a si et seulement si : .................................................................................................... cos x = cos a si et seulement si : .................................................................................................... tan x = tan a si et seulement si : .................................................................................................... .................................................................................................................................. cos (x + y) = sin (x + y) = cos (x - y) = sin (x - y) = tan (x + y) = (1) (2) (3) cos 2x = cos 2x = cos 2x = sin 2x = tan 2x = tan (x - y) = 2 x 2 2°) On pose : tan Si tan x t . Exprimer en fonction de t : cos x, sin x et tan x. 2 x t , on a: 2 cos x = sin x = tan x = .../... 3°) Formules de linéarisation et de factorisation : a) En utilisant les résultats rappelés dans les tableaux précédents, compléter en fonction de : cos (a - b), sin (a - b), cos (a + b) et sin (a + b), le premier tableau ci-dessous. b) En posant : p = a + b et q = a - b, déduire du premier tableau les formules du deuxième tableau. sin a.cos b = sin p + sin q = cos a.cos b = sin p - sin q = sin a.sin b = cos p + cos q = cos p - cos q = 4°) Etudes des fonctions trigonométriques: a) Dans les tableaux ci-dessous, rappeler la parité, la périodicité et la dérivabilité des fonctions trigonométriques ainsi que l’expression de leur fonction dérivée : définie sur dérivable sur parité période à étudier sur fonction dérivée f(x) = sin x g(x) = cos x h(x) = tan x i(x) = cotan x f1(x) = sin (ax + b) g1(x) = cos (ax + b) h1(x) = tan (ax + b) 3 b) Tableaux de variations sur [0 ; 2] : x f’(x) x g’(x) f(x) = sin x g(x) = cos x x h’(x) x i’(x) h(x) = tan x i(x) = cotan x 4 Calculs de limites EXERCICE 1 Limite d’une fonction en x0 Justifier les limites suivantes (en utilisant les limites de références du cours et les théorèmes sur les opérations sur les limites finies) : 3x + 1 1°) lim (x3 ─ 3x + 5) = 3. 2°) lim (2x² + x ─ 2) = ─ 1. 3°) lim = ─ 7. x1 x─ 1 x2 x ─ 3 x─1 1 2x² + x ─ 7 5 4°) lim = . 5°) lim = ─ 1. 6°) lim (3 sin x + 1) = . 5 x² + 3 2 π x3 x² + 1 x1 x 6 7°) lim x ─ 1 = 2. x5 EXERCICE 1 Extension de la notion de limite 1°) Déterminer la limite pour x → + ∞, et pour x → ─ ∞, de la fonction f, dans les cas suivants : b) f : x ↦ (x3 ─ x) (x + 1) 2x² ─ x d) f : x ↦ 2x² ─ | 5x + 4 | e) f : x ↦ x+3 3 x ─ 3x x +1 g) f : x ↦ 3 h) f : x ↦ x +x+2 x ─1 a) f : x ↦ x² ─ 3x + 1. c) f : x ↦ x² + | x ─ 3 | x+1 f) f : x ↦ x² + 2 2°) Déterminer la limite quand x → x0 de la fonction f dans les cas suivants : 1 ─3 a) f : x ↦ x ↦ , x0 = 1. b) f : x ↦ , x = ─ 2 et x0 = 2. x─1 x² ─ 4 0 x² + x + 3 π c) f : x ↦ , x = ─ 3 et x0 = 2. d) f : x ↦ tan x, x0 = (2k + 1) (x + 3)²(x ─ 2) 0 2 2 3 π e) f : x ↦ ,x =π f) f : x ↦ x =─ 1 + cos x 0 1 + 2 sin x 0 6 EXERCICE 1 Levée d’indétermination Déterminer les limites des fonctions suivantes : x3 + 3x ― 4 x2 + 4x + 4 1°) f : x ↦ en 1, ― ∞, + ∞ 2°) f : x ↦ en ― 2 , ― ∞, + ∞ x―1 x3 + 8 3 + x ― 2x 3°) f : x ↦ 1 + x2 ― x en ― ∞, + ∞ 4°) f : x ↦ en 1, + ∞ x―1 x3 + 6x + 7 5°) f : x ↦ en ― 1, ― ∞, + ∞ 6°) f : x ↦ 1 + x ― x en + ∞ 3x2 ― x ― 4 x+3―2 x+1―2 x―2 7°) f : x ↦ en 1, + ∞ 8°) f : x ↦ en 3, + ∞ x―1 x―3 3x + 2 ― 11x ― 6 x2 + x + 3 ― 3 9°) f : x ↦ en 1 10°) f : x ↦ en 2 x2 + x ― 6 x― x+3+1 5 11°) f : x ↦ x 2x ― 2x en ― ∞, + ∞ x+1 x2 ― 1 + 3x x 12°) f : x ↦ en + ∞ 13°) f : x ↦ x2 + 4x + 3 ― x en + ∞ 14°) f : x ↦ x2 + 4x + 3 ― (x + 2) en + ∞ 15°) f : x ↦ x2 + 4x + 3 + x en ― ∞ 16°) f : x ↦ x2 + 4x + 3 + x + 2 en ― ∞ 17°) f : x ↦ 2x2 ― 3x + 1 ― 18°) f : x ↦ x2 ― 1 ― x2 + x ― 1 en ― ∞, + ∞ x2 + x + 1 en ― ∞, + ∞ 19°) f : x ↦ x ( x2 + 1 ― x) en ― ∞, + ∞ 20°) f : x ↦ 3 x―1―2 x+4 en + ∞ x2 ― 9 ― 2 x ― 1 EXERCICE 2 Limite à gauche, limite à droite Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite à droite et à gauche en x0 de la fonction f. 1 ─ cos x x ² 1, x 0 1°) f : x ↦ x = 0 2°) f : x ↦ x0 = 0 x² ─ 2x | x | 0 x ² 1, x 0 x² + x | 2x + 1 | 1 3°) f : x ↦ x0 = 0 4°) f : x ↦ x0 = ─ 5°) f : x ↦ x (x ─ 1)² x0 = 1 2x + 1 2 x² EXERCICE 2 Limite à gauche, limite à droite 1 1°) Montrer que, sur R*, on a 3 ≤ 4 ─ sin ≤ 5. x 1 4 ─ sin x 1 2°) Montrer que, sur ]0 ; 1[, on a : ≤ . x x 4 ─ sin 3°) Etudier la limite, à droite et à gauche, en 0, de la fonction f : x ↦ x 1 x . EXERCICE 2 Limite d’une fonction trigonométrique en 0 sin x Utiliser le résultat lim = 1 pour étudier la limite éventuelle en 0 des fonctions x→0 x suivantes : sin 5x x sin 5x tan x tan 2x 1°) f : x ↦ 2°) f : x ↦ 3°) f : x ↦ 4°) f : x ↦ 5°) 2x sin 3x sin 4x x sin x sin x 1 ― cos x sin x ─ x 6°) f : x ↦ 7°) f : x ↦ 8°) f : x ↦ x2 cos x ─ 1 x sin x ─ x sin x ─ tan x 9°) f : x ↦ 10°) f : x ↦ cos x ─ 1 3x3 tan 2x 1 ― cos x 11°) f : x ↦ 12°) f : x ↦ sin2 πx 1 ― cos x 1 ― cos 4x cos2 x ― cos x sin(2x2 + x) 13°) f : x ↦ 14°) f : x ↦ 15°) f : x ↦ sin 5x x(x + 1) cos x ― 1 1 + sin x ― 1 ― sin x 1 ― cos x 16°) f : x ↦ 17°) f : x ↦ x tan2 x x(1 ― cos x) 2x ― sin x x + sin x + sin 2x 18°) f : x ↦ 19°) f : x ↦ 20°) f : x ↦ sin 3x ― 3 sin x 1 ― cos x x (x2 ― 1) 6 EXERCICE 3 Limite d’une fonction trigonométrique en x0 Déterminer les limites éventuelles en x0 des fonctions suivantes : sin(2x ― π) π sin 6x π 1°) f : x ↦ x = 2°) f : x ↦ x0 = tan2 (2x ― π) 0 2 6 2 cos x ― 3 π cos ( ― x) ― tan x 4 tan x π π 3°) f : x ↦ x0 = 4°) f : x ↦ x0 = sin 2x ―1 4 π 4 1 ― sin ( + x) 4 π sin ( ― x) 6 sin x π π 5°) f : x ↦ x0 = 6°) f : x ↦ x0 = 2 2 5 cos x + sin x ― 4cos x 3 1 ― 2 sin x 6 π tan (x + ) 2 π sin x ― cos x π 7°) f : x ↦ x0 = ― 8°) f : x ↦ x0 = sin 2x ― 2 + 2 sin x ― 2 cos x 3 π 4 x― 4 sin x + 3 cos x π cos x ― 3 sin x π 9°) f : x ↦ x0 = ― 10°) f : x ↦ x0 = 3 π 6 ― sin 2x + 3 cos 2x x― 6 1 ― sin x ― cos x π cos 3x π 11°) f : x ↦ x = 12°) f : x ↦ x = 1 ― sin x + cos x 0 2 1 ― 2 sin x 0 3 π x sin x ─ 2 π π sin x(1 ─ sin x) π 13°) f : x ↦ f : x ↦ x0 = 14°) x0 = cos x 2 2 cos x 2 EXERCICE 4 Utilisation de la limite d’une fonction composée Déterminer les limites éventuelles des fonctions suivantes au point considéré : x+1 2x2 ― 1 1 1°) f : x ↦ cos en + ∞ 2°) f : x ↦ 3°) f : x ↦ sin en + ∞ x x x 1― |x| 2x + 1 4°) f : x ↦ en ― ∞ 5°) f : x ↦ en + ∞ x―3 2+ |x| 2x + 1 1 1 6°) f : x ↦ en ― , puis en 3 7°) f : x ↦ en ― 1, 1, ― ∞, + ∞ x―3 2 x2 ― 1 3 2cos x + 3 cos x ─ 5 πx ― 1 8°) f : x ↦ sin en 0 en ― ∞, + ∞ 9°) f : x ↦ 2x + 1 sin2x EXERCICE 5 Utilisation des théorèmes de comparaison Déterminer la limite des fonctions suivantes : 1 sin x 1°) f : x ↦ 1 + x2 sin en x0 = 0 2°) f : x ↦ en + ∞ et en ― ∞ x x 1 1 sin x + 2 3°) f : x ↦ sin + en x0 = 0 4°) f : x ↦ en + ∞ et en ― ∞ x x x 1 5°) f : x ↦ cos x ― x en + ∞ et en ― ∞ 6°) f : x ↦ 1 + x2 sin en 0 x 1 sin x 1 7°) f : x ↦ x sin ― 2 en + ∞ 8°) f : x ↦ x sin en 0 x x x 7 1 1 + x2 ― 1 1 en 0 10°) f : x ↦ sin en 0. x x x x ─ E(x) x3 ─ 5 10°) f : x ↦ en + ∞ et en ― ∞ 11°) f : x ↦ 4 sin 2x² en + ∞ et en ― ∞ x x +1 9°) f : x ↦ x2 cos Continuité et prolongement par continuité EXERCICE 6 On considère la fonction f définie par : f (x) = x+1 pour x ≤ 1 3 ― ax2 pour x > 1 Pour quelles valeurs de a réel la fonction f est-elle continue en x0 = 1 ? EXERCICE 7 Déterminer les réels A et B pour que la fonction f soit continue en f (x) = ― 2 sin x pour x ≤ ― A sin x + B cos x EXERCICE 8 Montrer que la fonction f définie par : π π et ― : 2 2 π 2 π π <x< 2 2 π pour x ≥ 2 pour ― x3 ― 2x2 + x ― 2 pour x < 2 x―2 πx f (x) = 5 sin pour x ≥ 2 4 f (x) = est continue sur R. EXERCICE 9 Montrer que les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité en x0 : x3 ― x2 ― 2x + 2 5x ― 1 ― 3 1°) f : x ↦ en x0 = 1 2°) f : x ↦ en x0 = 2 x―1 x―2 EXERCICE 10 1°) Soit la fonction f définie sur [0 ; 1] par : 1 f (x) = 6x2 + x + 1 pour x ∈ [0 ; [ 6 6x + 3 1 f (x) = pour x ∈ [ ; 1[ 2x + 5 6 1 ? f est-elle continue sur [0 ; 1] ? 6 2°) Soit g et h les fonctions numériques définies sur [0 ; 1] par : g(x) = cos (3πx ) et h(x) = cos (4πx ) . Montrer que la fonction fg est continue sur [0 ; 1] , mais qu’il n’en est pas de même pour la fonction fh . f admet-elle une limite en 8 3°) Si on sait que le produit de deux fonctions est une fonction continue sur [a ; b] , peut-on en déduire une conclusion quant à la continuité de chacune de ces fonctions ? EXERCICE 11 Soit la fonction f définie sur ℝ par : f (x) = 3x2 + ax + 1 pour x < 1 ( a ∈ ℝ ) 3x ― 1 f (x) = pour x ≥ 1 . x+2 Déterminer a pour que f soit continue au point 1 . EXERCICE 12 3x2 + ax + 1 (a ∈ℝ). x―1 Déterminer a pour que f soit prolongeable par continuité au point 1 . Définir alors la fonction g , prolongement par continuité de f au point 1 . Soit la fonction f définie sur ℝ \ {1} par : f (x) = EXERCICE 13 x―a―1 . x+1 Déterminer a pour que f soit prolongeable par continuité au point ― 1 . Définir alors la fonction g , prolongement par continuité de f au point ― 1 . Soit la fonction f définie par : f (x) = EXERCICE 14 Soit a un réel . Déterminer, suivant les valeurs de a, les limites éventuelles respectives en ax2 + (a2 + 1)x + a ― ∞, + ∞ , en 5 de la fonction fa : x ↦ . x―5 Cette fonction admet-elle un prolongement par continuité au point 5 ? EXERCICE 15 2x2 + x ― 3 Soit a un réel et fa la fonction : x ↦ 2 x + (1 ― a)x ― a 1°) Déterminer l’ensemble de définition de fa . 2°) Déterminer l’ensemble E des réels a , pour chacun desquels fa admet un prolongement par continuité en a . Pour chaque réel a de E, déterminer le prolongement par continuité de fa en a . EXERCICE 16 |x||x+1| . (x + 1) ( x2 + x + 1) Peut-on définir un prolongement par continuité de g au point ― 1 ? Soit la fonction g définie par g (x) = Image d’un intervalle .Recherche de solutions d’équations EXERCICE 17 Déterminer l’image de l’intervalle I pour chacune des fonctions suivantes : π π π π 1°)f : x ↦ sin x , avec I = [ ― ; ] 2°) f : x ↦ cos x , avec I = [ ― ; ] 4 4 4 4 3°) f : x ↦ x3 ― 3x2 + 1 , avec I = ] ― ∞ ;― 1] 1 3°) f : x ↦ x3 ― 3x2 + 1 , avec I = [ ;1] 2 9 EXERCICE 18 Montrer que les fonctions suivantes sont bornées sur I : 1 x―1 1°) f : x ↦ 2 avec I = ℝ 2°) f : x ↦ avec I = [2; + ∞ [ . x +1 x+1 EXERCICE 19 Soit f : [0 ;6 ] → ℝ x ↦ | x2 ― 4x | 1°) Montrer que f est continue sur I = [0 ; 6 ] . 2°) Etudier les variations de f . Déterminer l’image de I par f . 3°) Soit m un réel appartenant à l’intervalle [f(0) ; f(6) ] . Déterminer, suivant les valeurs de m, le nombre de solutions de l’équation f (x) = m . EXERCICE 20 Soit f : x ↦ x2 ― 5x + 10 1°) Montrer que f est continue et strictement monotone sur [ ― 2 ; 2 ] . 2°) f est-elle strictement monotone sur [ 0 ; 4 ] ? 3°) Déterminer l’intervalle image par f de [ 0 ; 2 ] . EXERCICE 21 2x + 3 x―2 1°) Déterminer l’ensemble Df de définition de la fonction f puis l’ensemble image par f de Df (c’est-à dire f (Df ) . 2°) Montrer que f est strictement monotone sur ]2; + ∞ [ . Quel est l’ensemble image par f de ]2; + ∞ [ ? 3°) Montrer que la restriction g de f à ]2; + ∞ [ est une bijection de ]2; + ∞ [ sur lui-même . Calculer alors g ― 1(x) . Soit f : ℝ → ℝ x ↦ EXERCICE 22 Soit f la fonction définie par : f (x) = x3 + 5x ― 100 . 1°) Montrer que f est continue et strictement monotone sur ℝ . 2°) Quel est image par f de l’intervalle [0 ; 6 ] ? 3°) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution et une seule α comprise entre 0 et 6 . 4°) De plus, encadrer α entre deux entiers consécutifs . EXERCICE 23 Soit f la fonction définie sur [ 0 ; π [ par : f (x) = cos x ― x . 1°) Montrer que f est une bijection de [ 0 ; π [ sur un ensemble J que l’on précisera . 2°) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution et une seule γ comprise entre π π et . 6 4 EXERCICE 24 Dans chacun des cas suivants, justifier l’existence d’une unique solution α à l’équation f (x) = 0 ; puis déterminer un encadrement à 10―2 près de α : 1°) f est définie sur ℝ par : f : x ↦ x3 + 3x2 + 1 . 2°) f est définie sur ℝ par : f : x ↦ ― x3 + 3x2 + 1 . 3°) f est définie sur ] ― π ; 0 ] par : f : x ↦ x sin x + cos x . 10 EXERCICE 25 Montrer que l’équation x4 + 4ax + b = 0 ( a et b réels) ne peut avoir plus de deux solutions distinctes dans ℝ . EXERCICE 26 Dans chacun des cas suivants, déterminer suivant les valeurs du paramètre réel a , le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 : 1°) f : x ↦ x2 + ax + 1 2°) f : x ↦ x3 + 3ax + 1 3°) f : x ↦ cos x + a EXERCICE 27 Soit f la fonction définie sur ℝ par : f (x) = x3 + x2 ― x + 1 . Déterminer suivant les valeurs de λ , le nombre de solutions de l’équation f (x) = λ . Propriétés des fonctions continues EXERCICE 28 Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] . On suppose que f (a) = g (b) et f (b) = g (a) . Démontrer qu’il existe un réel c de [a ; b] tel que f (c) = g (c) . EXERCICE 28 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] . Soient p et q des nombres réels strictement positifs . Démontrer qu’il existe un réel c de [a ; b] tel que : pf (a) + q f (b) f (c) = . p+q Fonctions réciproques EXERCICE 29 Dans chacun des cas suivants, établir que f est une bijection et déterminer la bijection réciproque f ―1 . 1°) f : ℝ → ℝ x↦ x 1+|x| 2°) f : [0 ; 1] → [ ― 1 ; 0 ] x ↦ x4 ― 2 x2 3°) f : ℝ \ {1}→ ℝ * x―1 x↦ x EXERCICE 30 1°) La fonction f : x ↦ sin x est continue sur ℝ . Montrer que sa restriction à [― π π ; ], 2 2 π π ; ] vers [― 1 ; 1] admet une fonction réciproque . 2 2 Cette fonction réciproque sera notée Arcsin . La fonction f : x ↦ cos x est continue sur ℝ . Montrer que sa restriction à [ 0; π ], considérée comme application de [ 0; π ] vers [― 1 ; 1] admet une fonction réciproque . Cette fonction réciproque sera notée Arcos . considérée comme application de [― 11 π π ; [. Montrer qu’elle admet sur cet intervalle 2 2 une fonction réciproque . Cette fonction réciproque sera notée Arctan . 2°) Préciser l’ensemble de définition et de continuité de chacune des fonctions Arcsin, Arcos et Arctan . Construire la courbe représentative de chacune d’elles . Etudier la parité de ces fonctions . 3°) Donner une expression simple de Arcsin(sin x) , Arcos(cos x) , Arctan(tan x) . 4°) Donner une expression simple de sin(Arcsin x), cos(Arcos x), tan(Arctan x) , sin(Arcos x), cos(Arcsin x) . π 5°) Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [― 1 ; 1] : Arcsin x + Arcos x = . 2 La fonction f : x ↦ tan x est continue sur ]― NOMBRE-DERIVEE . DERIVABILITE . FONCTION DERIVEE EXERCICE 31 Dans chacun des cas suivants, on demande de : a) calculer le nombre dérivé de f en x0 , en utilisant la définition . b) déterminer une équation de la tangente Δ à en M0 . C c) étudier la position de C par rapport à Δ . 1°) f : x ↦ 3x2 ― 5x + 1 x0 = 2 3°) f : x ↦ x3 + 2 x0 = ― 1 2°) f : x ↦ x4 x+2 4°) f : x ↦ 7―x x0 = 1 x0 = 5 EXERCICE 32 Etudier la dérivabilité en 0 des fonctions suivantes : 1°) f : x ↦ 4°) f : x ↦ x2 + x 2°) f : x ↦ x3 + x2 3°) f : x ↦ 1 x2 sin pour x ≠ 0 et f (0) = 0 . x x5 + x4 EXERCICE 33 Dans chacun des cas suivants, calculer le nombre dérivé de la fonction f au point a ( ou les nombre dérivés à gauche et à droite ) . 1°) f (x) = x2 ― 3x ― 4 a = 4 2°) f (x) = (x ― 4) x2 ― 3x ― 4 a = 4 2 x ― 1 ― | x + 1| x2 ― 3x 3°) f (x) = 4°) f (x) = si x ≤ 1 x2 + x + 2 4x ― 2 13x ― 100x + 300 a=―1 f (x) = si x ≥ 1 7 12 EXERCICE 34 Soient a et b deux paramètres réels .On définit la fonction f par f (x) = ax + b si x ≤ 3 2x + 3 ― 3 si x > 3 Déterminer a et b pour que f soit continue et dérivable en x0 = 3 EXERCICE 35 Soit la fonction f définie sur R par : f (x + 2) = f (x) pour tout x réel et f (x) = x3 + ax2 + bx pour tout x ∈ [― 1 ; 1[ ( a et b réels ) 1°) Calculer f (1) . A quelle condition f est-elle continue sur ℝ ? 2°) On suppose la condition du 1°) réalisée .Déterminer a et b pour que f soit dérivable sur ℝ . EXERCICE 36 Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de chacune des fonctions suivantes au point d’abscisse x0 . 1°) f : x ↦ x3 ― 3x2 + 5x ― 2 , x0 = 1 2°) f : x ↦ x cos x , x0 = π x +3 x2 + 1 2 3°) f : x ↦ x ― 1 , x0 = 1 4°) f : x ↦ , x0 = 2 5°) f : x ↦ 2 ,x =2 x+1 x ―1 0 | 2x ― 3 | 6°) f : x ↦ x x ― 1 , x0 = 2 . 7°) f : x ↦ x0 = 1 x+5 2 EXERCICE 37 Dans chacun des cas suivants, déterminer la tangente ou les demi-tangentes à la courbe C de f au point d’abscisse ( ― 1) . 3x― 7 | x + 1| 1°) f (x) = 1 ― x + x2 ― x3 2°) f (x) = 1 + x + x2 + x3 3°) f (x) = x2 + 2x sin πx 4°) si x ≤ ― 1, f (x) = x 1 + cos πx si x > ― 1, f (x) = x EXERCICE 38 Déterminer les tangentes à la courbe C de f de coefficient directeur 1, s’il en existe : x―4 2 3 1°) f (x) = 2°) f (x) = 2 + 3°) f (x) = sin3x + sin x + 3 4°) f (x) = sin 2x x+5 x x EXERCICE 39 Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : 2x + 1 1°) f : x ↦ 2°) f : x ↦ (x4 ― x2 + 1)3 4x2 + 3x ― 1 4°) f : x ↦ 2x2 ― 3x + 1 7°) f : x ↦ cos (x ― 1)2 10°) f : x ↦ sin 2x 1 + cos x 5°) f : x ↦ x4 ― x2 + 1 8°) f : x ↦ sin ( x3 ) . 11°) f : x ↦ cos 2x ― sin x x2 + 1 3°) f : x ↦ (x + 1)3 x+1 6°) f : x ↦ x―1 3x ― 1 9°) f : x ↦ cos 3x + 1 12°) f : x ↦ tan4 x 13 EXERCICE 40 Dans chacun des cas suivants, déterminer les ensembles de définition, de continuité, de dérivabilité et la dérivée de f . Résoudre l’équation f (x) = 0 . x2 ― 2 | x2 ― x ― 20 | 1°) f (x) = x4 ― 14 x2 + 24 x ― 8 2°) f (x) = x2 ― 2 | x2 ― 16 | sin x 3°) f (x) = 4°) f (x) = sin x ― tan x 1 ― sin x EXERCICE 41 Pour chacune des fonctions suivantes, dresser le tableau de variation et préciser les extremums . x3 x 1°) f : x ↦ x4 ― 2x3 2°) f : x ↦ x3 ― 3x ― 1 3°) f : x ↦ 3 4°) f : x ↦ 2 x ―1 x ―4 x2 ― 1 x―1 π 6°) f : x ↦ 7°) f : x ↦ cos 2x + 2 (x ― 2) x 4 2 2 x ― 3x + 1 4 ― cos x 8°) f : x ↦ 9°) f : x ↦ 10°) f : x ↦ sin x cos3 x 2 x +x―1 1 ― sin x x2 ― | x + 3 | 11°) f : x ↦ 2 2x ― | x2 ― 9 | 5°) f : x ↦ EXERCICE 42 x4 + 2 x3 + x2 Soit f l’application de ℝ vers ℝ définie par : f (x) = si x ≠ ― 1 (x + 1) ( x2 ― x + 1 ) 1 f (― 1) = 3 1°) Cette fonction est-elle continue pour x = ― 1 ? pour x = 0 ? 2°) Est-elle dérivable pour x = 0 ? pour x = ― 1 ? EXERCICE 43 Pour quelles valeurs réelles de x la fonction dérivée de f : x ↦ cos (2π cos x) s’annule-t-elle ? EXERCICE 44 1°) Démontrer que la dérivée d’une fonction paire est une fonction impaire et que la dérivée d’une fonction impaire est une fonction paire . 2°) Démontrer que la dérivée d’une fonction périodique est une fonction périodique de même période . EXERCICE 45 En utilisant la définition de la dérivée d’une fonction, calculer limite, quand x est arbitrairement voisin de a, de la fonction f définie par : tan x ― sin x + sin a ― tan a f (x) = . x ― sin x + sin a ― a EXERCICE 46 Soit f une fonction dérivable en x0 . 14 x f(x0) ― x0 f(x) . x ― x0 x π ― cos x 2 3 x3a ― a3x 2°) En déduire les limites suivantes : lim et limπ . π xa x ― a x 3 x― 3 1°) Déterminer la limite éventuelle en x0 de la fonction : x ↦ DERIVEES SUCCESSIVES EXERCICE 47 Déterminer les fonctions dérivées jusqu’à l’ordre 5 des fonctions suivantes : 1 1°) f : x ↦ (3x + 1)5 2°) f : x ↦ cos (3x +1) 3°) f : x ↦ 4°) f : x ↦ 3x + 1 3x + 1 EXERCICE 48 Soit la fonction f définie par f : x ↦ x sin x + cos x . Trouver une relation algébrique liant x, f, f ' et f '' . EXERCICE 49 Soit la fonction f définie par f : x ↦ x + 1 + x2 . 1°) Déterminer sa fonction dérivée première et vérifier la relation : 2 f ' (x) 2°) En déduire que la dérivée seconde vérifie la relation : 4 f '' (x) (1 + x2 ) + 4x f ' (x) ― f (x) = 0 . EXERCICE 50 On pose : f (x) = cos x ― 1 + 1 + x2 = f (x) . x2 2 1°) Calculer f ' (x) et f '' (x) . 2°) Etudier le signe de f '' (x) . En déduire le sens de variation de f ' . 3°) Calculer f ' (0) . En déduire le signe de f ' (x) . 4°) En déduire le sens de variation de f , puis le signe de f (x) . x2 x4 5°) On pose : g (x) = cos x ― 1 + ― . 2 24 S’inspirer de ce qui précède pour étudier le signe de g ' (x) , puis celui de g (x) . 6°) Utiliser ce qui précède pour encadrer cos x par des fonctions paires . cos x ― 1 7°) Déduire du 6° la limite en 0 de . x2 DERIVEE DE LA RECIPROQUE D’UNE BIJECTION EXERCICE 51 (cf. Exercice 30) 1°) La fonction sinus admet une fonction réciproque, notée Arcsin, définie sur l’intervalle π π [― ; ] . Déterminer la fonction dérivée de cette fonction réciproque . 2 2 2°) Même question pour la fonction cosinus et l’intervalle [ 0; π ] . 15 3°) Même question pour la fonction tangente et l’intervalle ]― π π ; [. 2 2 EXERCICE 52 π ; π ] par : f (x) = 2 cos x ― cos 2x . 3 1°) Montrer que f admet une fonction réciproque, g, dont on précisera l’ensemble de définition et les propriétés . 1 2°)Calculer les valeurs de g et de sa fonction dérivée, pour les valeurs ― 2 , ― ,et + 1 de 2 la variable . Soit f la fonction définie sur [ EXERCICE 53 Soit f l’application de [0; 2 ] vers ℝ définie par : f (y) = y2 + 2y ― 3 . 1°) Montrer que f définit une bijection de [0; 2 ] vers [ ― 3 ; 5 ] et préciser l’application réciproque de cette bijection ; on la notera φ . 2°) Montrer que φ est dérivable sur [ ― 3 ; 5 ] et déterminer sa fonction dérivée . EXERCICE 54 π On considère l’application f :] 0; 2 [ → ℝ définie par : f (x) = tan ( x ― 1) . 2 1°) Montrer que f est une bijection de 0; 2 sur un intervalle que l’on précisera . 2°) Soit h la bijection réciproque de f . Montrer que h est dérivable sur R et que l’on a : 2 h ' (x) = . 2 π(x + 1) 1 3°) Pour tout x non nul, on pose : φ (x) = h (x) + h . x Calculer φ ' (x) et en déduire que φ est constante sur chacun des intervalles ] ― ∞ ; 0 [ et ] 0 ; + ∞ [ .Déterminer chacune de ces constantes . EXERCICE 55 π Soit f : x ↦ sin2x et g la restriction de f à [0 ; ] . 2 π 1°) Montrer que g définit une bijection de [0 ; ] sur un intervalle J à préciser . 2 2°) Déterminer l’ensemble sur lequel la bijection réciproque g ― 1 est dérivable et démontrer 1 que sa dérivée est la fonction x ↦ . 2 x ― x2 EXERCICE 56 π 1 ] par : f (x) = . 2 cos x 1°) Montrer que f admet une fonction réciproque f ― 1 dont on précisera l’ensemble de définition . 2°) Déterminer l’ensemble sur lequel f ― 1 est dérivable et déterminer sa dérivée . Pourquoi f ― 1 n’est-elle pas dérivable à droite en 1 ? Soit f l’application définie sur [0 ; 16 INEGALITE DES ACCROISSEMENTS FINIS EXERCICE 1 En appliquant l’inégalité des accroissements finis sur [0, x] avec x ∈ 0, donner un 4 encadrement de la fonction sinus par deux fonctions affines. π En déduire une majoration de l’erreur commise en posant sin x = x pour 0 ≤ x ≤ . 18 EXERCICE 1 En utilisant l’inégalité des accroissements finis, encadrer les réels suivants : 1 1 1°) a) b) 2°) a) cos 44° b) sin 33° 9975 10 003 3°) a) cos 1,02 b) sin 0,8 4°) a) sin 31°30’ b) cos 43°30’ EXERCICE 1 Montrer, en appliquant l’inégalité des accroissements finis à la fonction x ↦ l’intervalle [a ; a + 1] que pour tout réel strictement positif a, on a : 1 1 ≤ a+1─ a≤ 2 a+1 2 a En déduire un encadrement de x sur 10 001 . EXERCICE 1 Soit f et g deux fonctions dérivable sur un intervalle [a, b]. 1°) Montrer que si pour tout x de [a, b], f '(x) ≤ g '(x) alors pour tout x de [a, b] : f (x) ─ f (a) ≤ g (x) ─ g (a). x² 2°) En déduire que pour tout x de R+ : ─ x < sin x < x et 1 ─ ≤ cos x ≤ 1. 2 3°) Réitérer le procédé pour avoir un encadrement plus précis. EXERCICE 1 1°) Soit la fonction g définie sur R par : g (x) = 2 x3 + 3 x2 + 1. Montrer qu’il existe un réel unique a tel que g(a) = 0 et que a ∈ [─ 1,68 ; ─ 1,67]. Déterminer le signe de g sur R. x3 + x 2°) Soit la fonction f définie sur R ∖ {─ 1} par f (x) = . x+1 a) Etudier les variations de f. b) Montrer que, si x ∈ [─ 1,68 ; ─ 1,67] : | f '(x) | ≤ 0, 116. c) Montrer que | f (a) ─ f (─ 1,67) | ≤ 0,00116. En déduire une valeur approchée à 10― 2 près de f (a). PROBLEMES D’OPTIMISATION EXERCICE 1 17 Dans chacun des angles d’un carré de côté a on découpe un carré de côté x et on construit ainsi une boîte de forme parallélépipédique. Déterminer x pour que le volume de cette boîte soit maximal. EXERCICE 1 Soit un triangle SAB (SA = SB) et son cercle inscrit de rayon R et de centre O. On pose OS = x. 1°) Calculer AB en fonction de x et R. 2°) On considère le cône de révolution de sommet S, d’axe (OS) et dont la base est le cercle de diamètre [AB] situé dans le plan perpendiculaire à (OS). Calculer le volume de ce cône en fonction de x et R. 3°) R étant donné, le volume du cône est fonction de x. Déterminer x pour que ce volume soit minimal. EXERCICE 1 Soit un cercle de centre O et de rayon R et deux diamètres perpendiculaires de ce cercle. Un point M variable du cercle se projette en H et K sur ces deux diamètres. On pose OH = x. Calculer, en fonction de x et R, le périmètre du rectangle OHMK. Déterminer x pour que ce périmètre soit maximal. EXERCICE 1 On veut réaliser une boîte cylindrique avec couvercle de contenance donnée et de surface minimale. Montrer que sa hauteur est égale à son diamètre. EXERCICE 1 Pour la fabrication d’un livre, on doit respecter sur chaque page des marges de 2 cm à droite et à gauche, de 3 cm en haut et en bas. Soit x et y les deux dimensions d’une page. On désire que l’aire de la partie disponible pour l’impression soit de 600 cm². 1°) Déterminer y en fonction de x. Calculer l’aire totale de la page. 2°) Déterminer x et y pour que la consommation de papier soit minimale. EXERCICE 1 Un commerçant vend, chaque jour, 30 article sur chacun desquels il fait un bénéfice de 2000F. Toute baisse de 200F sur chacun des articles provoque 5 ventes supplémentaires. Quel bénéfice doit-il faire à l’unité pour avoir un profit maximal ? PRIMITIVES EXERCICE 57 Déterminer les primitives, en précisant sur quel(s) intervalle(s) elles sont définies, des fonctions suivantes : 2 3 1°) f : x ↦ x3 ― 2x + 1 2°) f : x ↦ sin 2x ― 2 cos 2x 3°) f : x ↦ 2 ― 3 x x 2x 4x + 3 1―x 4°) f : x ↦ 2 5°) f : x ↦ 6°) f : x ↦ 2 (x + 1)2 (2x2 + 3x + 1)3 (x ― 2x + 3)2 x 2x + 3 7°) f : x ↦ 8°) f : x ↦ 9°) f : x ↦ sin x cos3 x 2 2 x ―1 x + 3x + 2 cos x tan x x 3 10°) f : x ↦ sin 3x 11°) f : x ↦ 12°) 13°) f : x ↦ 4 2 2 sin x cos x x +1 18 14°) f : x ↦ x cos x2 17°) f : x ↦ 1 1 2 sin x x 15°) f : x ↦ 2x (x2 ― 1)5 18°) f : x ↦ tan x + tan3x cos x 17°) f : x ↦ tan2x x 1 19°) f : x ↦ 1 + 2 20°) f : x ↦ cos3x tan x 16°) f : x ↦ EXERCICE 58 Condition initiale Déterminer la primitive F vérifiant F(x0) = y0 pour chacune des fonctions f définies par : 1°) f (x) = (2x ― 1)3 et F(0) = 0 . 2°) f (x) = (2x ― 1)( x2 ― x + 1)4 et F(1) = 1 . x 1 3°) f (x) = 2 et F(2) = 0 . 4°) f (x) = et F(2) = 4 . (x ― 1)2 4x + 8 x x 1 1 π 5°) f (x) = 3 sin ― 2 cos et F = 0 6°) f (x) = x + 2 ― et F(1) = 1 . 2 2 2 x x EXERCICE 59 Soit la fonction f définie par : f (x) = sin x + x cos x . En posant u (x) = sin x et v (x) = cos x , montrer que f (x) se met sous l’une des formes remarquables du tableau des primitives donné dans le cours . En déduire une primitive de f sur ℝ . 1 2°) Soit g (x) = . on pose : u (x) = cos x et v (x) = sin x . sin2x Montrer que g (x) se met sous l’une des formes remarquables du tableau des primitives donné dans le cours . π π En déduire une primitive de g sur ]― ; [ . 2 2 3°) S’inspirer de ce qui précède pour déterminer une primitive des fonctions suivantes sur des intervalles que l’on précisera . x cos x ― sin x x x2 2 h:x↦ k : x ↦ tan x + m:x↦ 1+x + . x2 cos2x 1 + x2 EXERCICE 60 On considère la fonction f telle que : f (x) = a cos x + b cos3 x . 1°) Calculer f '(x) et f '' (x) . 2°) Comparer f (x) et f '' (x) . 3°) En déduire les primitives de f . EXERCICE 61 La forme u ' u 1°) Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I . 2 Montrer que la fonction u u est une primitive sur I de la fonction u ' u . 3 2°) Application : Déterminer dans chacun des cas suivants une primitive de f sur I . a) f (x) = x 1 + x2 I = ℝ b) f (x) = x 1 ― x2 I = ] ― 1 ; 1 [ . EXERCICE 62 Une primitive de xn x On considère la fonction fn : x ↦ xn x , pour n entier, n ≥ 1 . 1°)Montrer que fn est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ , et calculer fn '(x) . 2°) En déduire une primitive sur ] 0 ; + ∞ [ de x ↦ xn x , pour n ≥ 0 . 19 3°) Application Déterminer une primitive sur ] 0 ; + ∞ [ des fonctions : x↦ x , x ↦ x x , x ↦ x2 x . EXERCICE 63 π 1 ] de la fonction : x ↦ . 4 cos2x π sin x 2°) On considère la fonction G, définie sur [0 ; ] par : G(x) = . 4 cos3x π 3 2 Montrer que G est dérivable sur [0 ; ] et que : G ' (x) = ― . 4 4 cos x cos2x π 1 3°) En déduire une primitive sur [0 ; ] , de la fonction : f : x ↦ . 4 cos4x Déterminer une primitive sur [0 ; EXERCICE 64 Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive F de f sur I après avoir effectuée la transformation d’écriture indiquée . x2 ― 2x b 1°) f (x) = I = ]1 ; + ∞ [ Indication : Mettre f (x)sous la forme a + 2 (x ― 1) (x ― 1)2 3x2 + 12x ― 1 2°) f (x) = , I=]―2;+∞[ (x + 2)2 b Indication : Mettre f (x) sous la forme a + . (x ― 1)2 2 x3 + 13x2 + 24x + 2 3°) f (x) = , I=]―3;+∞[ (x + 3)2 c Indication : Mettre f (x) sous la forme ax + b + . (x + 3)2 2 x (x + 3) 4°) f (x) = 2 , I=]―1;1[ (x ― 1)3 a b Indication : Mettre f (x) sous la forme . 3 + (x ― 1) (x + 1)3 EXERCICE 65 On se propose de calculer une primitive sur I de f , définie par : f (x) = x2 (x ― 1)2005 1°) Montrer qu’il existe trois réels a, b, c tels que : x2 = a (x ― 1 )2 + b ( x ― 1 ) + c . 2°) En déduire une primitive de f . EXERCICE 66 Soient f, g et h les fonctions définies par : f (x) = x2 cos x ; g (x) = x2 sin x ; h (x) = ― 2x cos x . 1°) On pose U = g ― h . Calculer les dérivées de g, h, U . 2°) En déduire une primitive F de f sur ℝ . EXERCICE 67 Les fonctions F et G suivantes sont-elles des primitives de la même fonction sur l’intervalle I = ]1 ; + ∞ [ ? 5x2 ― 7x + 9 5x2 ― 16x + 12 F(x) = G(x) = 3x ― 1 3x ― 1 20 EXERCICE 69 Dans chacun des cas suivants, démontrer que le point A est centre de symétrie de la courbe C d’équation y = f (x) . x―1 x2 ― 9x + 7 1°) y = 2 A (1 ; 0 ) 2°) y = 2 A (2 ; 1 ) x ― 2x ― 2 x ― 4x ― 3 x+3― ―x―1 3°) y = x2 ― 4 ― x2 + 4x A (― 1 ; 0 ) 4°) y = A(― 2 ; 0) x3 + 6 x2 + 8x 3 sin x + cos x 3 π 5°) y = cos 3x + A(― ; 0 ) 6 sin x ― 3 cos x EXERCICE 70 Dans chacun des cas suivants, démontrer que la droite D est un axe de symétrie de la courbe C d’équation y = f (x) . 7 x4 + 4x3 ― 8x 1°) y = 2 D:x=2 2°) y = D:x=―1 x ― 4x |x|+|x+2| π 3°)y = 5sin x ― 3cos2 x + tan2x D : x = 4°) y = x2 + 12x + 27 + x2 ― 9 D: x = ― 3 2 x4 + 4 x3 + x2 ― 6x x―2― 4―x 5°) y = D : x = ― 1 6°) y = D:x=3 x+1 x2 ― 6x + 3 7°) 3 1 :y=3―x + 2 2x ― 3 3 1 si x > :y=x― 2 2x ― 3 si x < D:x= 3 2 EXERCICE 71 Démontrer que la courbe C d’équation y = 3 5 x + x4 ― 2 x3 + 6 x2 ― 1 n’a qu’un seul point 5 d’inflexion . EXERCICE 72 Discuter suivant les valeurs de n ∈ ℤ* le nombre de points d’inflexion de la courbe C d’équation y = (x ― 1)2n (x + 2)― n . EXERCICE 73 Dans chacun des cas suivants, déterminer les points d’inflexion éventuels de la courbe C d’équation y = f (x) . x2 3 4 5 4 3 2 1°) y = (x ― 1) (x + 2) 2°) y = x + x ― 32 x ― 136 x 3°) y = + sin x + cos x . 2 EXERCICE 74 21 Dans chacun des cas suivants, vérifier que les droites fixées sont asymptotes à la courbe C . x+2 3 1°) C : y = D1 : x = D :y=2 2x ― 3 2 2 2x ― 3 1 1 2°) C : y = D1 : x = D2 : y = D3 : y =1 3x ― | x + 1 | 2 2 2 x +1 1 3°) C : y = D1 : x = 3 D2 : y = D3 : y = x + 3 x―3 2 x3 + 4x2 + 3 4°) C : y = 2 D1 : x = ― 1 ― 2 D2 : x = ― 1 + 2 D3 : y = x + 2 x + 2x ― 1 1 1 5°) C : y = 4x2 ― 3x + 1 + x + D1 : y = ― x + 1 D2 :y = 3x ― 4 2 5 5 6°) C : y = 4x2 ― 3x ― x2 + x D1 :y = x ― D2 : x = ― x + 4 4 EXERCICE 75 Dans chacun des cas suivants, déterminer les branches infinies de la courbe C . 2x2 x2 ― | x ― 1 | 1°) C : y = 1 ― 2x ― x3 2°) C : y = 2 3°) C : y = x +x―3 x+3 2 x +4 x 4°) C : y = x2 ― 3x 5°) C : y = 6°) C : y = 1 ― 2x sin x 2x3 ― 3x2 ― 4x 7°) C : y = 2 x ― x + 1 8°) C : y = 2x2 + 3x ― 2 x3 ― x2 + 5x 9°) C : y = 2 10°) C : y = x2 ― 1 ― x2 + x ― 7 2x + 3x ― | x3 ― 1 | 1 11°) C : y = x2 ― 1 + x2 + x ― 7 12°) C : y = 4x2 ― 3x + 1 + 2x + 4 2x2 ― 5x ― 3 13°) C : y = x ― 3 tan x 14°) C : y = 2 3x ― 10x + 3 2 2 x +x―7― x ―1 x4 ― 3x2 + 2 ― 2x2 + 5x 15°) C : y = 16°) C : y = 2x + 1 x―2 EXERCICE 68 Etudier et représenter graphiquement les fonctions suivantes : 1°) f (x) = x6 ― 2 x3 + 1 2°) f (x) = x2 (x ― 1)2 3°) f (x) = | x3 | + | 3x2 ― 4 | 1 2x ― 3 4°) f (x) = x4 ― 2 x2 + 2 5°) f (x) = sup( ― x3 + x2 + 5x , 2 x3 + x) 6°) f (x) = 4 3x + 3 2 x ― 1 | x + 1 | ― 2x | x + x | + 1 2 7°) f (x) = 8°) f (x) = 9°)f (x) = |x―1| |x|+1 x+1 x2 + 4x + 3 x3 ― 3x + 2 10°) f (x) = 2 11°) f (x) = 2 12°) f (x) = 2 x + 6x + 8 x ― 4x + 5 x ― 3x + 2 3 ―x 1―x 1+x 13°) f (x) = 14°) f (x) = x 15°) f (x) = x x+1 1+x 1―x 2 2 x (x +1) x ―1 16°) f (x) = 17°) f (x) = x 18°) f (x) = (1 ― x) 1 + x x―1 x2 + 1 19°) f (x) = cos2 x 20°) f (x) = sin x + 3 cos x 21°) 2 cos 3x + 1 cos 3x cos 3x 22°) f (x) = 3sin 2x + 2cos 3x ― 3 23°) f (x) = 24°) f (x) = 1 + cos 2x (cos x ― 1)2 22 25°) f (x) = cos3x (cos x ― 1)2 28°) f (x) = sin2x ― 2 cos x 26°) f (x) = 1 ― 2sin x 1 + 2sin x 29°) f (x) = x ― sin x cos 2x sin x sin x + cos x 30°) f (x) = sin 2x 27°) f (x) = tan x x 32°) f (x) = tan + sin x 33°) f (x) = tan x + cos x 1 ― 2 sin x 2 34°) f (x) = sin3x ― 3 cos3x 35°) f (x) = cos4x + 2 cos2x + 1 36°) f (x) = cos 3x cos3x 31°) f (x) = EXERCICE 1 x3 + x² ─ 2x ─ 3 Soit la fonction f définie par : f (x) = x² ─ 3 1°) Déterminer le domaine de définition de f, les limites et les asymptotes. Etudier la position relative de C f par rapport à son asymptote oblique. 2°) Montrer que le point I(0 ;1) est centre de symétrie. Déterminer l’équation de la tangente au point I et montrer que I est un point d’inflexion . (x² ─ 1)(x² ─ 6) 3°) Montrer que f '(x) = ; en déduire le tableau de variation de f. (x² ─ 3)² 4°) Tracer C f EXERCICE 1 ─ 2x² + 3x . x─1 1°) Déterminer le domaine de définition de f, puis calculer les limites aux bornes de Df ; préciser les asymptotes. c 2°) Trouver les réels a, b et c tels que f (x) = ax + b + . x─1 En déduire que la droite D d’équation , y = ─ 2x ─ 1 est asymptote oblique à la courbe de f. Donner la position relative de D et C . 3°) Montrer que le point I d’intersection de D et de l’asymptote verticale est centre de symétrie à C . 4°) Etudier les variations de f, dresser le tableau de variation de f et construire C . 5°) Déduire du graphique précédent la courbe représentative de la fonction g définie par : g (x) = | f (x) | pour tout x ≠ 1. On considère la fonction suivante définie par : f (x) = EXERCICE 1 x² + 2x + 1 x+2 1°) a) Déterminer l’ensemble de définition Df de f. b) Déterminer les limites aux bornes de Df . En déduire queC verticale. On considère la fonction f définie par : f (x) = f admet une asymptote b . x+2 En déduire que la droite Δ d’équation , y = x est asymptote oblique à la courbe de f. b) Etudier la position relative de C f et Δ. 3°) Etudier les variations de f. Dresser le tableau de variation de f. 4°) Montrer que le point I(─ 2 ; ─ 2) est centre de symétrie à C f . 2°) a) Montrer qu’il existe des réels a et b tels que f (x) = ax + 23 5°) Soit A le point d’intersection de C f avec l’axe des ordonnées ; donner l’équation de la tangente TA au point A. 6°) Construire la courbe C f dans un repère orthonormé (O, I, J). 7°) Expliquer comment, puis effectuer la construction de la fonction g définie par : g (x) = | f (x) | pour tout x ≠ 2. EXERCICE 1 (x + 2)² ─ | x + 2 | . x─1 1°) Ecrire g (x) sans la barre de valeur absolue. 2°) Déterminer les limites, les asymptotes et leur position par rapport à C 3°) Etudier la continuité et la dérivabilité de g en ─ 2. 4°) Etablir le tableau de variation de g. 5°) Tracer C g . Soit la fonction g définie par : g (x) = g. EXERCICE 1 x4 ─ 2x² + 1 Soit la fonction f définie par : f (x) = 4 x + 2x² + 1 1°) Démontrer que f est paire. 2°) Etudier les limites aux bornes de Df . Interpréter les résultats. 3°) Etudier les variations de f. 1 4°) Démontrer que l’équation f (x) = admet une solution unique α dans [0 ; 1]. 2 5°) Tracer la courbe de f. EXERCICE 1 2x² + 3x + 1 x+2 1°) a) Déterminer l’ensemble de définition Df de f. b) Déterminer les limites aux bornes de Df . En déduire queC verticale. On considère la fonction f définie par : f (x) = f admet une asymptote γ . x+2 En déduire que la droite Δ d’équation , y = 2x ─ 1 est asymptote oblique à la courbe de f. 3°) Etudier les variations de f. Dresser le tableau de variation de f. 4°) Démontrer que le point I(─ 2 ; ─ 5) est centre de symétrie à C f . 5°) Soit A et B les points d’intersection de C f avec l’axe des abscisses ; donner les équations des tangentes TA et TB aux points A et B. 6°) Construire Δ, TA , TB etC f dans un repère orthonormé (O, I, J). 7°) Discuter suivant les valeurs de m le nombre de solutions de l’équation f (x) = m où est un paramètre réel. 2°) Montrer qu’il existe des réels α, β et γ tels que f (x) = α x + β + EXERCICE 1 1°) Soit g la fonction définie par : g (x) = 2x3 + 3x² + 1. a) Etudier les variations de g. b) Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet une solution unique α ∈ ] ─ 2; ─ 1,5 [ ; en déduire le signe de g. 24 1+x 1 ─ x3 a) Déterminer Df et les limites aux bornes de Df . Préciser les asymptotes. b) Etablir le tableau de variation de f. c) Soit h la restriction de f sur ] 1 ; + ∞ [, montrer que h permet de définir une bijection de ] 1 ; + ∞ [ vers un intervalle J à préciser. 3 d) Calculer h(2) ; en déduire h 1 . 7 e) Construire la courbe de f et la courbe de h─ 1 dans un même repère. 2°) On considère la fonction f définie par : f (x) = EXERCICE 1 ax3 ─ 4x² + 8x + b , où a, b, c sont des réels. (x ─ c)² 1°) Déterminer a, b, c sachant que la droite (D) : x = 1 est asymptote verticale à la courbe de f, que f(0) = ─ 4 et que la courbe admet, au point d’abscisse 2 une tangente parallèle à la droite d’équation y = ─ 4x. x3 ─ 4x² + 8x ─ 4 2°) Pour la suite, on donne f (x) = . (x ─ 1)² a) Déterminer Df, calculer les limites aux bornes de Df. b) Etudier les variations de f, dresser le tableau de variation de f. 3 1 c) Montrer que f (x) = x ─ 2 ─ + . x ─ 1 (x ─ 1)² d) En déduire que la droites (D ') d’équation y = x ─ 2 est asymptote oblique à la courbe de f. e) Etudier la position relative de (D ') et deC f . 3°) Soit A le point d’intersection de (D) et (D '). Montrer que A est un centre de symétrie à la courbe de f. 4°) Soit B le point d’intersection de C f et de l’axe des ordonnées. Donner une équation de la tangente TB en B. 5°) tracer la courbe de f dans un repère (O, I, J) unité : 2 cm. 6°) Soit g la restriction de f à ] 3 ; + ∞ [ . Montrer que g réalise une bijection de ] 3 ; + ∞ [ vers un intervalle J à préciser. 7°) Construire C g 1 dans le même repère. On considère la fonction f définie par : f (x) = 8°) Déduire de l’étude de C f le nombre de racines de l’équation : x3 ─ (4 + m)x² + 2(4 + m)x ─ 4 ─ m = 0 , EXERCICE 76 Le plan est rapporté à un repère orthonormé . x3 ― 4x2 + 8x ― 4 A . Soit la fonction f de ℝ vers ℝ définie par : f (x) = . (x ― 1)2 1°) Lorsque f est définie, déterminer a, b, c, réels tels que f (x) = x + a + b c + x―1 (x ― 1)2 2° Etudier la fonction f . 25 3°) Démontrer que C , courbe représentative de f, admet deux asymptotes, dont l’une est la droite D d’équation y = x ― 2 . Préciser la position de C par rapport à D, et les coordonnées de leur point commun. 4°) Construire la courbe C . B . En utilisant la courbe C , déterminer, suivant les valeurs de m, paramètre réel, le nombre et le signe des solutions réelles de chaque équation : x3 ― (4 + m) x2 + 2(4 + m) x ― 4 ― m = 0, sin3u ― (4 + m) sin2u + 2(4 + m) sin u ― 4 ― m = 0 . (inconnue u telle que: ― π ≤ u < + π ) EXERCICE 77 Soit f la fonction définie sur ℝ par : f (x) = x + | 4x2 ― 1 | . Soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 1°) Etudier la continuité de f . 2°) Etudier la dérivabilité de f . Calculer sa dérivée sur chaque intervalle où f est dérivable . 3°) Démontrer les équivalences : 1 1 1 4x2 ― 1 + 4x < 0 ⇔ x ∈ ] ― ∞ ; ― ] et 1 ― 4x2 ― 4x > 0 ⇔ x ∈ ] ― ; ]. 2 2 2 5 En déduire le signe de f ' (x) . 4°) a) Calculer lim f et lim f . Dresser le tableau de variation de f . x― ∞ x+ ∞ b) Calculer lim [f (x) + x] et lim [f (x) ― 3x] . x― ∞ x+ ∞ En déduire que C admet deux asymptotes, d’équations y = ― x et y = 3x . Tracer la courbe C . 1 5°) a) Soit h la restriction de f à ] ― ∞ ; ― ] . Démontrer que h admet une réciproque h― 1 . 2 En préciser l’ensemble de définition et la variation . b) Calculer lim [ x + h― 1(x)] . En déduire que C et Γ , courbe représentative de h― 1 , x+ ∞ ont une asymptote commune . Tracer Γ . c) Calculer h― 1(0) . Déterminer une équation de la tangente à Γ au point de coordonnées (0 ; h― 1(0) ) . EXERCICE 78 Soit dans le plan les courbes C m : y = mx2 ― mx ― 1 . x2 + mx + 1 1°) Déterminer m tel que C m soit une droite . On suppose dans la suite : m ∈ ℝ\ { ― 1 ;0 }. 2°) Démontrer que A (0 ; ― 1) est le seul point commun à toutes les courbes C m , et qu’elles sont tangentes en A . 3°) Déterminer les valeurs de m telles que C m ait trois asymptotes . 4°) Calculer α ≠ 0 tel que f ' (α) = 0 . Déterminer les valeurs de m telles que f (α) soit un minimum de f ; un maximum . 5°) Soit M [α ; f (α)] . Déterminer E, ensemble des points M quand m varie . 6°) Tracer, dans un même repère, la courbe E et les courbes C m correspondant à 1 m ∈ { ― 2 ; ― ; 3 }. 2 EXERCICE 79 26 Soit f la fonction définie par : f (x) = | x2 ― 6x + 5 | et C sa courbe . 1°) Etudier le signe de x2 ― 6x + 5 suivant les valeurs de x . 2°) En déduire l’expression de f sans valeur absolue . 3°) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en particulier aux points d’abscisses 1 et 5 . C admet-elle des tangentes en ces points ? 4°) Démontrer que la droite D d’équation x = 3 est un axe de symétrie de C . 5°) Etudier les variations de f . 6°) Démontrer que les droites d’ équation y = x ― 3 et y = ― x +3 sont des asymptotes à C . 7°) Déterminer les coordonnées des points A et B , intersections de C avec ses deux asymptotes . 8°) Montrer que f réalise une bijection de [5 ; + ∞ [ vers un intervalle à déterminer . 9°) Représenter C . 10°) Pour x ∈ [5 ; + ∞ [, représenter la courbe de f ― 1 . EXERCICE 80 x | x2 ― 1 | Soit f : f : x ↦ ― 2 x 1°) f est-elle dérivable en 1 ? Calculer la dérivée de f là où elle est définie . x 2°) Pour x ≥ 1, mettre f (x) sous la forme : f (x) = ― 1 + ε (x) où lim ε (x) = 0 . 2 x+ ∞ Que peut-on en conclure ? → → 3°) Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( O, i , j ) . EXERCICE 81 Soit f la fonction numérique définie par : f (x) = 1+x + 1―x . 1+x ― 1―x 1°) Déterminer l’ensemble de définition Df de f . 1 + 1 ― x2 2°) Démontrer que : ∀ x ∈ Df , f (x) = . x 3°) Démontrer que la fonction f est impaire . 4°) Etudier la continuité de f . f (x) ― f (1) 5°) Calculer lim ― . Que peut-on en déduire ? x―1 x 1 6°) Sur quelle partie de Df la fonction f est-elle dérivable ? Déterminer sa fonction dérivée f ' . 7°) Etablir le tableau de variation de f . → → 8°) Tracer la courbe C f représentative de f dans un repère orthonormal ( O, i , j ) (unité : 5 cm) . EXERCICE 82 x3 ― 4x2 + 8x ― 4 et C sa courbe (x ― 1)2 représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm sur (Ox) , 1 cm sur (Oy) . 1°) Etudier la fonction f (limites, variations) . cx + d 2°) a) Déterminer les réels a, b, c et d tels que, pour tout réel x ≠ 1 , f (x) = ax + b + . (x ― 1)2 Soit la fonction f définie sur ℝ \ {1} par : f (x) = 27 b) En déduire que la droite D d’équation y = x ― 2 est asymptote à la courbe C . c) Préciser la position de la courbe C par rapport à la droite D et les coordonnées du point I commun à la courbe C et à la droite D . 3°) Tracer C et D . 4°) a) Déterminer l’abscisse du point J de la courbe C , où la tangente est parallèle à D , puis l’équation de cette tangente . Tracer cette tangente T . b) En déduire graphiquement, suivant les valeurs de p, le nombre de solutions de l’équation f (x) = x + p . 5°) On se propose de retrouver par le calcul le résultat trouvé au 4°. a) Montrer que les abscisses des points d’intersection de C et de la droite D d’équation y = x + p sont les solutions de l’équation ( E ) : (p + 2) x2 + x ( ― 2p ― 7) + p + 4 = 0 . b) Trouver, suivant les valeurs de p , le nombre de solutions de l’équation ( E ) . c) Pour quelles valeurs de p la courbe C et la droite d’équation y = x + p ont-elles deux points communs M et N ? d) Dans ce cas, calculer, en fonction de p, l’abscisse du milieu P de [MN] . e) Montrer que lorsque p varie, le point P appartient à la courbe C ' d’équation 7 ― 4x y=x+ . 2x ― 2 EXERCICE 83 Soit f la fonction définie par : x(x ― 2) si x < 0 x―1 f (x) = x + | x2 ― x | si x ≥ 0 f (x) = → → On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, i , j )(unité : 1 cm) 1°) a) Déterminer Df et calculer les limites de f aux bornes de Df . b) Etudier la continuité de f en 0 . c) Etudier la dérivabilité de f en x1 = 0 et x2 = 1 .Que peut-on en déduire pour C f aux points d’abscisses 0 et 1 ? d) Montrer que f est dérivable sur ℝ \ {0 , 1} et calculer f ' (x) dans les intervalles où f est dérivable . e) Résoudre dans ]0 ;1[ l’inéquation : 2 x ― x2 + 1 ― 2x ≤ 0 . En déduire le signe de f ' (x) sur ]0 ;1[ puis étudier son signe sur les autres intervalles . Dresser le tableau de variation de f . 2°) a) Montrer que C f admet une asymptote oblique Δ en + ∞ . Etudier la position relative de C f et Δ sur ]1 ; + ∞ [ . b) Montrer que C f admet une asymptote oblique D en ― ∞ . Etudier la position relative de C f et D sur ] ― ∞ ; 0 [ . 3°) Soit g la restriction de f à l’intervalle ] 1 ; + ∞ [ . a) Montrer que g définit une bijection de I = ] 1 ; + ∞ [ sur un intervalle J à préciser . b) La bijection réciproque g ―1 est-elle dérivable sur J ? Calculer g ―1 ' (2) . c) Expliciter g ―1 (x) pour x ∈ J . → → 4°) Construire C f , ainsi que C g ―1 dans le repère ( O, i , j ) . EXERCICE 84 (d’après le problème du Bac D 1987) 28 2x2 ― 1 Soit la fonction numérique définie par :f (x) = x2 ― 1 Partie A . 1°) Déterminer le domaine de définition de f . On le notera Df . 2°) Montrer que, pour tout x ∈ Df , on a f (x) > 0 . 3°) Etudier la parité de f . Que peut-on en déduire pour C f courbe représentative de f dans un repère orthonormé ? 4°) Calculer f ' (x) puis étudier le signe de f ' (x) pour x > 1 . En déduire le tableau de variation de f pour x > 1 . Construire C f . Partie B . La fonction numérique g est définie par : g (x) = x x2 ― 1 . 1°) Donner l’ensemble de définition de g . 2°) Etudier la parité de g . 3°) La droite (D) a pour équation y = x . Déterminer les coordonnées des points d’intersection de (D) et de la courbe représentative de g . 4°) Calculer g ' (x) et exprimer g ' (x) en fonction de f (x) de A) . 5°) Soit h la fonction définie sur ]1 ; + ∞ [ par h(x) = g (x) . a) Donner le tableau de variation de h . b) Montrer que h est une bijection de ]1 ; + ∞ [ sur un intervalle que l’on précisera . c) Tracer la courbe représentative de h . d) Tracer la courbe représentative de h―1 dans le même repère . EXERCICE 85 sin 2x 1 + sin x 1°) Déterminer l’ensemble de définition D de f et montrer que f est périodique . Soit la fonction f : x ↦ 2°) Montrer que, pour tout x ∈ D , on a : π ― x ∈ D et f (π ― x) = ― f (x) . π → → En déduire que la courbe représentative C de f dans ( O, i , j ) admet le point A ( ;0 ) 2 pour centre de symétrie . π π 3°) Etudier f sur l’intervalle ] ― ; ] 2 2 4°) Tracer la courbe C . Construire la tangente en A à C . EXERCICE 86 sin2 x sin x ― 1 1°) Déterminer l’ensemble de définition D de f et montrer que f est périodique . Soit la fonction f : x ↦ 2°) Montrer que, pour tout x ∈ D , on a : π ― x ∈ D et f (π ― x) = f (x) . π → → En déduire que la courbe représentative C de f dans ( O, i , j ) admet la droite : x = 2 pour axe de symétrie . π π 3°) Etudier f sur l’intervalle [ ― ; [ . 2 2 4°) Tracer la courbe C . EXERCICE 87 Soit m un réel non nul, fm la fonction définie par : fm (x) = x + m sin x . 29 1°) Montrer que O est centre de symétrie pour C m . fm (x) 2°) Montrer que l’on a : lim = 1 . Interprétation géométrique? x+ ∞ x 3°) a) Etudier f1 sur [0 ; π] . Tracer la courbe représentative Γ0 de la restriction de f1 à [ ― π ; π ] . b) Soit Γk l’ensemble des points de C 1 qui satisfont à : (2k ― 1)π ≤ x ≤(2k + 1)π , k ∈ ℤ . → → Montrer que Γk se déduit de Γ0 par une translation de vecteur 2kπ ( i + j ) . c) En déduire le tracé de la courbe représentative de la restriction de f1 à [ ― π ; 3π ] . 4°) Etudier f ― 2 sur [0 ; π] . Tracer la courbe représentative de la restriction de f ― 2 à [ ― π ; 3π ] . EXERCICE 88 Soit la fonction f : x ↦ x sin x . 1°) Montrer que la droite y ' y est un axe de symétrie pour la courbe représentative C de f . 2°) Déterminer la fonction dérivée f ' . 3°) a) Tracer la courbe représentative de la fonction tan pour étudier graphiquement le signe de tan x + x quand x varie de 0 à 2π . b) En déduire le tableau de variation de f sur [0 ; 2π ] . 4°)a) Tracer sur un autre graphique les droites d’équation y = x et y = ― x . b) Montrer que la courbe C est tangente à chacune de ces deux droites . Préciser les coordonnées des points de contact . c) Tracer la courbe représentative C 1 de la restriction de f à l’intervalle ] ― 2π ; 2π] . Construire les tangentes à C 1 aux points d’intersection avec l’axe x ' x . EXERCICE 89 1°) Soit la fonction g définie sur [0 ; π] par : g (x) = 1 ― 2 cos x . Déterminer le signe de g sur [0 ; π] . 1 + cos 3x 2°) Soit la fonction f définie par : . cos3x a) Déterminer l’ensemble de définition Df . b) Montrer qu’on peut réduire l’étude de f à Df ∩ [0 ; π] . c) Dresser le tableau de variation de f . d) Construire la courbe C de f après avoir précisé les points d’intersection avec l’axe (Ox). 30 SIMPLIFICATION D’ECRITURE EXERCICE 90 2 n + ln pour n ∈ ℕ* . n 3 2°) Montrer que ln(5000) = 12 ln 5 + 9 ln 2 . 3°) Simplifier l’expression suivante après avoir déterminé pour quelles valeurs elle est x+5 définie : ln ― ln (x + 5) + ln (x + 3) . x+3 2e ln 1 ― ln x x 4°) Montrer que, pour tout x > 0 : =1+ ln 2 ln 2 1 1 5°) Simplifier ln e4 + ln 4 + ln e ― ln e e 6°) Calculer y sachant que : ln y = ln (7 + 5 2 ) + 8 ln ( 2 + 1) + 7 ln ( 2 ― 1) 7 25 7°) Démontrer l’égalité : ln (3 + 2 2 ) ― 4 ln ( 2 + 1) = ln ( 2 ― 1) . 16 8 1°) Simplifier ln (n7) ― 12 ln EQUATIONS ET INEQUATIONS EXERCICE 91 Résoudre dans ℝ : 1°) ln x = ― 4 2°) ln (x + 2) + ln (x ― 2) = ln (2x + 11) 3°) ln (x + 4) + ln x = 0 4°) ln (2x + 1) ― ln (x + 2) = ln (2 ― x) 5°) 2 ln x = ln (2x ― 1) 6°) 2 ln x = ln 2 . 7°) ln (x2 ― 4) = ln (2x + 11) 8°) ln x(x + 4) = 0 9°) ln x + ln x2 = ln 8 ln | x ― 3 | ln | 2x + 1 | 10°) 2 ln x = ln ( ― 2x ― 11) 11°) = ln | 2x + 1 | ln | x ― 3 | 2 12°) ln ( x + 2x ― 3) ― 2 ln (x ― 1) = 2 13°) ln (x + 3) + ln (x + 2) = ln (x + 11) ― x ― 11 14°) ln (x2 + 5x + 6) = ln (x + 11) 15°) ln (―x ― 2) = ln x+3 16°) ln (x + 2) = ln (― x ― 11) ― ln (x + 3) 17°) ln2 x + ln x ― 6 = 0 18°) 2ln2 x ― 3ln x ― 2 = 0 19°) ln2x ― 3ln x = 0 20°) ln3 x ― 2ln2x ― ln x + 2 = 0 21°) ln[ln(x ― 1) (x2 ― x ― 1)] = ln[ln(8x + 1)] 22°) ln4 x ― 34ln2x + 225 = 0 . EXERCICE 92 Résoudre dans ℝ : 1°) ln x < ― 2 2°) 2 ln x ≤ ln 3 3°) ln x2 ≤ ln 3 4°) ln (x + 3) + ln (x ― 4) < 2 ln (x ― 1) 5°) ln[(x + 3)(x ― 4)] < ln (x ― 1)2 6°) 1 + ln (x + 3) > ln (x2 + 2x ― 3) 3x + 1 7°) ln(ln( x2 + 1) > 0 8°) ln < 0 9°) ln2x + ln x ― 2 > 0 10°) ln2x ― 3ln x ≤ 0 . x + 2 CALCULS DE LIMITES 31 EXERCICE 1 Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes des intervalles de leur ensemble de définition : ln x + 1 1°) f : x ↦ x ─ ln x 2°) f : x ↦ (ln x)² ─ x 3°) f : x ↦ ln x ─ 1 1 + ln x 4°) f : x ↦ ln(x + 1) ─ ln (x ─ 1) 5°) f : x ↦ 6°) f : x ↦ (1 ― x)² ─ ln x (ln x)² ln (2x + 1) 7°) f : x ↦ ln x ─ x 8°) f : x ↦ f : x ↦ ln x + 1 ─ x 9°) f : x ↦ ln x ln (x + 1) ln (x + 1) ln (x + 1) 10°) f : x ↦ 11°) f : x ↦ 12°) f : x ↦ x x² 2―x ln (x² + 1) x² ─ 1 13°) f : x ↦ 14°) f : x ↦ ln(x² ─ x ─ 2) 15°) f : x ↦ x x ln x 1 3x + 1 16°) f : x ↦ ln 17°) f : x ↦ 2x ln x ― x2 18°) f : x ↦ + ln (x ― 1) x―1 x―1 2ln x + 1 1 19°) f : x ↦ ln | 1 ― x | 20°) f : x ↦ 21°) f : x ↦ ln x + 2x x x x + 1 22°) f : x ↦ (x + 1) ln 23°) f : x ↦ (x ─ 2) ln x+1 x² ─ 4x + 4 x² ─ 4x 24°) f : x ↦ ln x² ─ 4x + 3 EXERCICE 93 a) Déterminer, lorsque x tend vers zéro, la limite de f (x) dans chacun des cas suivants : ln (1 + 2x) ln (1 + sin x) x+2 x 1°) f (x) = 2°) f (x) = 3°) f (x) = ln 1 + x x x x + 2 b) Déterminer les limites des fonctions suivantes aux points indiqués : ln(1 + sin x) ln(1 + cos x) π 1°) f (x) = ; x0 = 0 2°) f (x) = ; x0 = sin x cos x 2 ln(tan x) π x+1 3°) f (x) = ; x0 = 4°) f (x) = + ln x ― ln (x + 1) ; x0 = 0, puis x0 = + ∞ sin x ― cos x 4 x x2 | ln x | ln x ─ 1 6°) f (x) = ; x0 = 1 7°) f (x) = x0 = e 8°) f (x) = sin x ln x ; x0 = 0 x―1 x─e x x+1 9°) f : x ↦ x ln 10°) f : x ↦ ln (x ─ 1) x0 = 2 ; x0 = + ∞ x x ─ 2 DERIVEES EXERCICE 94 Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes après avoir déterminé l’ensemble de dérivabilité. 2x ― 3 1°) f : x ↦ x2 ln x 2°) f : x ↦ ln 3°) f : x ↦ ln[(2x + 1)(x ― 3)] x―1 3x ―1 4°) f : x ↦ 1 ― ln x 5°) f : x ↦ ln 2x ― 1 6°) f : x ↦ ln x+1 7°) f : x ↦ ln | ln x | 8°) f : x ↦ ln (x + x2 + 1 ) 9°) f : x ↦ ln (x + x2 ― 1 ) 32 PRIMITIVES EXERCICE 95 Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur l’intervalle considéré : 2 2x + 1 1°) f : x ↦ sur ]3 ; + ∞ [ 2°) f : x ↦ 2 sur ] ― ∞ ; + ∞ [ 3―x x +x+1 1 π 3°) f : x ↦ sur ]1 ; + ∞ [ , puis sur ] 0 ;1 [ 4°) f : x ↦ tanx sur ] ― ;0 [ x ln x 2 x─1 1 1 5°) f : x ↦ 2 sur R 6°) f : x ↦ sur ] ― ∞ ; ─ [ x ─ 2x + 3 2x + 1 2 2 ln x 2x² + x ─ 1 7°) f : x ↦ sur ] 0 ; + ∞ [ 8°) f : x ↦ sur ] 0 ; + ∞ [ x x2 sin x + cos x π 1 + tan² x π 9°) f : x ↦ sur [ 0 ; [ 10°) f : x ↦ sur ] 0 ; [ sin x ─ cos x 4 tan x 2 1 11°) f : x ↦ sur ] 0 ; + ∞ [ (x + 1) [ln (x + 1)]² 2x 1+x 12°) f : x ↦ + ln sur ] ― 1 ; 1 [ 1 ─ x2 1―x 1 13°) f : x ↦ 1 + ln x sur ] 0 ; + ∞ [ .(Indication : écrire 1 = x × ). En déduire les primitives x de ln sur ] 0 ; + ∞ [. 13x + 1 a b 12°) f : x ↦ (on mettra d’abord f (x) sous la forme + avec a et b réels) x(x + 1) x x+1 EXERCICE 96 Dans chacun des cas suivants, déterminer les nombres réels α et β annulant le polynôme dénominateur .Déterminer des réels a, b et c tels que, pour tout x élément de l’ensemble de b c définition de f, on ait : f (x) = a + + . x―α x―β En déduire une primitive de la fonction étudiée . x2 ― 5x + 6 1 1°) f (x) = 2°) f (x) = x2 ― x 1 ― x2 x+1 x2 + x + 1 4°) f (x) = 2 5°) f (x) = 2 x ― 4x + 3 x ― 2x ― 8 2x2 + 4x ― 5 3°) f (x) = 1 ― x2 x2 6°) f (x) = 2 x + x ― 12 EXERCICE 1 π 1 a cos x b cos x ], = + 4 cos x 1 ─ sin x 1 + sin x π 1 En déduire les primitives sur [ 0 ; ] de la fonction f : x ↦ . 4 cos x Trouver les réels a et b tels que : x ∈ [ 0 ; EXERCICE 1 cos x sin x et g : x ↦ . cos x + sin x cos x + sin x π 1°) Donner une primitive sur [0 ; ] de chacune des fonctions h1 : x ↦ f + g et h2 : x ↦ f ─ g 2 Soit f : x ↦ 33 π 2°) En déduire une primitive sur [0 ; ] de chacune des fonctions f et g. 2 EXERCICE 1 3x + 1 Soit f la fonction définie par f (x) = x² ─ x ─ 6 a b 1°) a) Mettre f (x) sous la forme + , x ∈ Df . x+2 x―3 1 b) En déduire la primitive sur ] ─ 2 ; 3 [ de f qui s’annule en . 2 x² ─ 2x ─ 2 2°) Soit f la fonction définie par f (x) = x3 ─ 1 a bx + c a) Trouver les réels a, b et c tels que : x ∈ Df , f (x) = + x ─ 1 x² + x +1 b) En déduire la primitive F de f sur ] ─ ∞ ; 1 [ de f telle que F(─ 1) = ─ ln 2. ETUDE DE FONCTIONS EXERCICE 97 Etudier les fonctions suivantes (limites, sens et tableau de variation) et tracer leur courbe → → représentative dans le plan rapporté à un repère ( O, i , j ) . ln x 1 1°) f : x ↦ x ln x 2°) f : x ↦ ln2 x 3°) f : x ↦ 4°) f : x ↦ x (ln x)2 x ln x x +1 x+1 5°) f : x ↦ 6°) f : x ↦ ln 7°) f : x ↦ 2 8°) f : x ↦ ln ln x x ― 1 x x ―1 EXERCICE 98 1 x+1 Soit f l’application de ℝ * \ { ― } dans ℝ définie par : f (x) = + ln | x | . 2 2x + 1 1°) Etudier les variations de la fonction f . 2°) Soit C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé → → ( O, i , j ) . (N.B. La construction de C n’est pas demandée) . → Montrer que C coupe l’axe ( O, i ) en trois points d’abscisses a, b et c tels que : 1 1 1 3 1 ―1≤a≤― ; ― < b<― ; < c< . 2 4 8 8 2 EXERCICE 99 Soit f la fonction définie par : f (x) = x ln 1 si x ≠ 0 |x| f (0) = 0 . 1°) Montrer que f est continue au point x = 0 . Etudier la dérivabilité de f en 0 . 2°) Etudier les variations de f .Donner une équation de la tangente en A d’abscisse 1 . Etudier la position relative de C f et de la tangente en A . 3°) Tracer C f . EXERCICE 100 34 Soit f : x ↦ ln x x ― ln x 1°) Etudier les variations de g : x ↦ x ― ln x . En déduire l’ensemble de définition de f . 2°) Montrer que l’on peut prolonger f par continuité à droite au point x = 0 . Soit h ce prolongement . Etudier la dérivabilité de h en 0 . 3°) Etudier les variations de h . 4°) Donner une équation de la tangente à C h au point d’abscisse 1 et préciser la position de C h par rapport à cette tangente . 5°) Tracer C h dans un repère orthonormé . EXERCICE 101 Soit f la fonction définie par : f (x) = x2 | ln x | si x ≠ 0 f (0) = 0 . 1°) Montrer que f est dérivable en 0 et préciser f ' (0) . 2°) Etudier la dérivabilité de f en 1 . 3°) Etudier les variations de f . 4°) Construire C f dans un repère orthonormal . EXERCICE 102 1 1 Soit la fonction f définie sur I = [ ; + ∞ [ par : f (x) = + ln x . e x 1°) Etudier les variations de f sur I . 2°) Quelle est la limite en + ∞ de la fonction : x ↦ f (x) ― ln x . Représenter sur un même graphique la fonction ln et la fonction f (pour x ∈ I ) . EXERCICE 103 Etude de la fonction f : x ↦ x ― ln x 1°) Etudier les variations de cette fonction . → → 2°) On désigne par C la représentation graphique de f dans un repère ( O, i , j ) . Déterminer l’équation de la tangente T à C au point de C d’ abscisse e . 3°) Démontrer que la courbe C est entièrement située au-dessus de T . (Pour cela, on étudiera le sens de variation d’une fonction bien choisie) . 4°) Déduire de la question 3° la limite de f en + ∞ . 5°) Tracer la courbe C et la droite T . 6°) La courbe C admet-elle une tangente de coefficient directeur 1 ? EXERCICE 104 5―x Soit f la fonction numérique de la variable réelle définie par : f (x) = ln . 3+x 1°) Rechercher l’ensemble de définition de f et les limites de f aux bornes de cet ensemble . 2°) Etudier les variations de f . 3°) On appelle C la représentation graphique de f dans le plan rapporté à un repère → → ( O, i , j ) (unité de longueur : 1 cm ) . → Rechercher le point A d’intersection de C avec l’axe ( O, i ) et former une équation de la tangente T à C en ce point . 4°) Démontrer que le point A est centre de symétrie de C . Construire C et T . 35 EXERCICE 105 Soit f la fonction définie par : f (x) = x + 4 + ln x―2 x+2 . Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormé , le centimètre étant l’unité de longueur . 1°) a) Etudier les variations de f . b) Montrer que C admet trois asymptotes, dont l’une Δ d’équation y = x + 4 ; préciser la position de C par rapport à Δ . 3°) Montrer que l’intersection de C et de l’axe des ordonnées est un centre de symétrie pour C . d) Construire la courbe C ; On placera en particulier les points d’abscisses ― 3 ; ― 1 ;0 ;1 ;3 . 2°) Soit k un nombre réel . Etudier suivant les valeurs de k le nombre de pints d’intersection de la courbe C et de la droite D d’équation y = x + k .Montrer que lorsque D coupe C en deux points distincts, d’abscisses x ' et x '' , le produit x 'x '' est indépendant de k . EXERCICE 106 Soit la fonction f : x ↦ ln (1 ― ln x) . 1°) Etudier les variations de f .Déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition de f , Df . 2°) Montrer que f est une bijection de Df sur un ensemble I que l’on précisera . → → 3°) Construire la courbe représentative C de f dans un repère orthonormé ( O, i , j ) (unité : 1 cm ) . EXERCICE 107 ( ln | x | )2 . x 1°) Démontrer que f est une fonction impaire . Etudier les variations de f .Tracer sa courbe → → représentative dans un repère orthonormé ( O, i , j ) . 2°) Montrer que f définit une bijection de ] 0 ;1 ] sur un intervalle à préciser . Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m, le nombre de solutions de l’équation : [ln(x)]2 = m . Soit f la fonction définie par :f (x) = EXERCICE 108 → → Soit C la courbe représentative dans le repère ( O, i , j ) de la fonction numérique fg x ln x + définie sur ℝ * par :g (x) = + 2 + . 2 x 1°) On considère la fonction h : ℝ → ℝ x ↦ x2 ― 2 ln x + 2 . Etudier les variations de h et préciser le signe de h (x) . (On ne demande pas de tracer la courbe représentative de h .) 2°) Etudier les variations de la fonction g . Montrer que la courbe C a deux asymptotes que l’on déterminera . Montrer que C coupe l’une de ces asymptotes en un point que l’on précisera . 36 Tracer la courbe C . PROBLEMES EXERCICE 109 Dans ce problème, on étudie la famille de fonctions fλ définies par : fλ (x) = 1 + ln (1 + λ x) où λ est un nombre réel non nul . → → ( O, i , j ) est un repère orthonormé, (C λ ) est la courbe représentative de f et D est la droite d’équation y = x . 1°) Donner l’ensemble de définition de fλ .(On distinguera les cas λ > 0 et λ < 0 .) 2°) a) Existe-t-il un lien entre les deux courbes (C λ ) et (C ― λ ) ? b) Soit ( Г ) la représentation graphique de la fonction logarithme népérien . Trouver, lorsque λ > 0, une translation qui transforme ( Г ) en (C λ ) . 3°) On pose φλ (x) = fλ (x) ― x . a) On suppose λ < 0 . Etudier les variations de φλ ainsi que ses limites aux bornes du domaine de définition . En déduire le nombre de points d’intersection de (C λ ) et D . b) On suppose λ > 0 . Etudier les variations de φλ ainsi que ses limites aux bornes du domaine de définition (on pourra par exemple mettre x en facteur dans l’expression de φλ (x) pour déterminer la limite à l’infini ) . Etablir que la plus grande valeur prise par φλ (x) , quand x décrit le domaine de définition de 1 φλ est m( λ ) = + ln λ . λ c) Etudier, quand λ décrit ] 0 ; + ∞ [, les variations de m ; en déduire son signe . d) Combien, lorsque λ est positif, (C λ ) et D ont-elles de points communs ? EXERCICE 110 f est la fonction numérique définie sur ℝ + 1 + par : pour tout x ∈ ℝ * : f (x) = x ln x + x f (0) = 0 (C ) est sa courbe représentative 1°) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 . 2°) On considère la fonction g définie pour x ∈ [ 1 ; + ∞ [ par g (x) = x ln x et on appelle → → ( Г ) sa courbe représentative dans le même repère ( O, i , j ) .Etudier g et tracer ( Г ) . 3°) Etudier la limite de f quand x tend vers + ∞ . Montrer que les courbes ( Г ) et (C ) sont asymptotes et préciser leurs positions relatives . 4°) Déterminer f ' et f '' , puis étudier le sens de variation de f ' et montrer que f ' est positive . Achever l’étude de la fonction f . Tracer la courbe (C ) sur la même figure que ( Г ) . EXERCICE 111 37 x + ln x ― 1 x―1 a) Etudier f et dresser son tableau de variation . b) Calculer f (0) ; en déduire le signe de f . 1°)Soit f : x ↦ 2°) Soit g : x ↦ x ln | x ― 1 | . a) Etudier g et tracer (C g ) . b) Soit A le point d’intersection de (C g ) avec l’axe (Ox) , d’abscisse non nulle . Démontrer que A est un point d’inflexion de (C g ) et écrire une équation de la tangente ( T ) à (C g ) en A . 3°) Soit h = g | ] 1 ; + ∞ [ (c’est-à-dire la restriction de g à ] 1 ; + ∞ [ ) . Démontrer que h est une bijection de ] 1 ; + ∞ [ sur un intervalle à préciser et construire sur un autre graphique les ―1 courbes (C h ) et (C h ). EXERCICE 112 Soit f : x ↦ x + x2 + 1 1°) a) Déterminer Df et démontrer que : ∀ x ∈ Df , f (x) > x + | x | . b) En déduire le signe de f (x) sur Df . 2°) Etudier f et tracer (C f ) . 3°) Soit g : x ↦ ln (x + x2 + 1 ) . a) Résoudre l’équation : g (x) = ― ln (3 ― 2 2 ) . b) Démontrer que g est impaire . c) Etudier g et tracer (C g ) . m ―m e +e d) Démontrer que g est une bijection de ℝ vers ℝ et que : ∀ m ∈ ℤ , g =m. 2 EXERCICE 113 1 + (ln x)2 Soit f : x ↦ ―x+2. x (ln x)2 =0. x + ∞ x 2°) Etudier le signe de ― (ln x) 2 + 2 ln x ― 1 suivant les valeurs de x . 3°) En utilisant les résultats précédents, étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation . 4°) Soit (C f ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal → → ( O, i , j ) (unité : 1 cm ) . a) Montrer que (C f ) admet une asymptote oblique D d’ équation y = ― x + 2 . Préciser la position de D par rapport à la courbe (C f ) . b) Déterminer une équation de la tangente T à (C f ) parallèle à la droite d’équation y + x = 0 c) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique a comprise entre 2 et 3 . Calculer f (2,7) et f (2 , 8) . En déduire que e est une valeur approchée de a à 10 ―1 près . d) Construire D , T puis (C f ) . 1°) Montrer , en posant y = x , que lim 38 EXERCICE 114 1°) Soit g définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : g (x) = ln (x + 1) ― ln x + x . x―1 1 a) Calculer lim ln 1 + puis lim g (x) . x x + ∞ x + ∞ b) Etudier le sens de variation de g . En déduire que, pour tout x > 0, g (x) > 1 . 2°) Soit f définie sur [ 0 ; + ∞ [ par : f (0) = 0 f (x) = x [ln (x + 1) ― ln x] si x > 0 . a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 . b) Calculer f ' (x) pour x > 0 ; déterminer le signe de f ' (x) à l’aide du 1° . 1 1 c) Déterminer lim f ( on pourra écrire : f (x) = x ln 1 + et poser x = . x X x + ∞ d) Dresser le tableau de variation de f . 3°) Soit (C ) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal → → ( O, i , j ) (unité : 4 cm ) . a) Soit T la tangente à (C ) au point d’abscisse 1 . → Déterminer l’intersection de la droite ( O, i ) avec T . b) Construire (C ) et T . (Extrait du Bac D Djibouti, 1986) . EXERCICE 115 On considère la fonction numérique f définie par : x f (x) = pour x ∈ ] 0 ; 1[ ∪ ]1 ; + ∞ [ , avec f (0) = 0 . ln x On appelle C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormé → → ( O, i , j ) . On prendra comme unité : 1,5 cm . f (x) 1°) a) Montrer que f est continue à droite en x = 0 . En calculant lim+ , établir que x0 x C admet à l’origine une demi-tangente que l’on précisera . b) Etudier les variations de f . f (x) c) Calculer lim et tracer la courbe C . x+ ∞ x 2°) a) Discuter, suivant les valeurs du réel α , le nombre de solutions réelles de l’équation (1) : α (ln x)2 ― ln x + 1 = 0 . b) Montrer que le nombre de tangentes à C de coefficient directeur α est égal au nombre de solutions de l’équation (1) . (On ne comptera pas la demi-tangente obtenue en 1° a) ) . c) Calculer les solutions x1 et x2 de (1) lorsque α = ― 2 .Chercher les équations des tangentes à C aux points M1 et M2 d’abscisses respectives x1 et x2 . Tracer ces tangentes . d) Discuter graphiquement, suivant les valeurs du paramètre réel m, le nombre de solutions x réelles de l’équation (2) : = ― 2x + m . ln x (Extrait du Bac D Lille, 1985) . EXERCICE 116 Le but du problème est l’étude de la fonction numérique f de variable réelle définie sur 39 f (x) = x ln (1 ― x) ― x ln x + x . f (0) = 0 . 1°) Etude d’une fonction auxiliaire . Soit g la fonction numérique de variable réelle définie sur ]0 ; + ∞ [ par : g (x) = x + ln x . Etudier les variations de g ;en déduire que l’équation g (x) = 0 d’inconnue réelle x admet une solution α et une seule . 1 Vérifier que l’on a ≤ α ≤ 1 . e 2°) Etude de f . f (x) a) La fonction f est-elle continue en 0 ? Déterminer lim ; quelle est l’interprétation x0 x géométrique de ce résultat ? b) Expliciter la fonction dérivée f ' de f . Montrer que, g étant la fonction considérée en 1° , x on a : f ' (x) = ― g pour tout x ∈ ] 0 ; 1[ . 1―x c) En déduire que f ' s’annule en un point β et un seul . Exprimer β en fonction de α . 3°) Construction de la courbe représentative de f . a) Dresser le tableau de variation de f . b) Construire la courbe représentative C de f dans un plan P rapporté à un repère → → orthonormal ( O, i , j ) .( unité graphique : 10 cm) . [0 ; 1] par : (Extrait du Bac D, Polynésie Française, 1989) . EXERCICE 117 Soit la fonction numérique de la variable réelle f définie par : 2x f (x) = pour x ∈ ] ― ∞ ; 0 ] 1 + x2 x―1 f (x) = ln pour x ∈ ] 0 ; 1[ ∪ ]1 ; + ∞ [ . x+1 Soit C la courbe représentative de f dans le plan P rapporté à un repère orthonormal → → ( O, i , j ) .( On prendra 2 cm par unitéde longueur .) f (x) ln (1 ― x) ln (1 + x) 1°) a) Montrer que, pour 0 < x < 1, = ― . x x x b) Etudier la dérivabilité de f en 0 . c) En déduire que la courbe C admet au point O deux demi-tangentes dont on donnera les équations . d) Etudier le signe de f (x) ― 2x sur l’intervalle ] ― ∞ ; 0 [ . Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ? 2°) Calculer les limites de f aux bornes de l’ensemble de définition de f et étudier les variations de f . → → 3°) Tracer la courbe C dans le repère ( O, i , j ) . EXERCICE 118 1 1 ― . ln (x) ln (x) 1°) Montrer que l’on peut prolonger g par continuité à droite en 0 en attribuant à g (0) la valeur 0 . + A . On considère la fonction g définie sur ℝ * \ {1} par : g (x) = 2 40 2°) Etudier les limites de g aux bornes de son ensemble de définition . Dresser son tableau de variation . En déduire le signe de g (x) en fonction de x . ―x + B . On considère la fonction f définie sur ℝ \ {1} par : g (x) = si x > 0 et f (x) = 0 . ln (x) 1°) Montrer que f est continue à droite et dérivable à droite au point O. En déduire l’existence d’une demi-tangente à la courbe représentative C au point d’abscisse 0 . 2°) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition . 3°) Comparer f ' (x) et g (x) . En déduire les variations de f et son tableau de variations . 4°) Calculer l’équation y = h (x) de la tangente D à la courbe C au point d’abscisse e2 . 5°) Soit M le point de C d’abscisse x et N le point de D de même abscisse . x + e2 On pose φ (x) = NM . Montrer que : φ (x) = f (x) + . 4 Déduire de A) le tableau de variations de φ ' (x) puis le signe de φ ' (x) sur ]1 ;+ ∞ [. En déduire le signe de φ (x) sur ]1 ;+ ∞ [ et la position de C par rapport à D pour les points d’abscisse x >1. 6. Représenter dans le plan rapporté à un repère orthonormé la courbe C et la droite D (unité 2 cm). C. On revient à la fonction g du A). On note C g la courbe représentative de g dans le plan rapporté à un repère orthonormé (unité 2 cm). Sans construire C g, calculer en cm² l’aire de la partie plane comprise entre la courbe C g, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives : x = e et x = e². EXERCICE 119 A) Dans cette partie, on se propose d’étudier la fonction numérique f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par : f ( x ) x ln x (1 x ) ln(1 x ) si x 0;1 f (0) f (1) 0 On note C la courbe représentative dans un plan P rapporté à un repère orthonormé → → ( O, i , j ) (unité : 10 cm). 1°) Soit g la fonction numérique définie sur ]0 ; 1[ par : g (x) = ln (1 ― x) ― ln (x) . a) Résoudre l’équation g (x) = 0 d’inconnue x. b) Etudier le signe de g (x) en fonction de x. 1 2°) Montrer que la courbe C admet la droite d’équation x = comme axe de symétrie. 2 3°) a) Montrer que f est dérivable sur ]0 ; 1[ et calculer sa dérivée. f (x) b) Montrer que f est continue sur [0 ; 1] . Etudier la limite de lorsque x tend vers 0 ; x interpréter graphiquement le résultat obtenu. c) Dresser le tableau de variation de f et construire la courbe C . 4°) Soit a et b deux nombres réels strictement positifs tels que : a + b = 1 . a) Utiliser les résultats de 3° pour montrer que : 1 1 a ln + b ln ≤ ln 2 (∗) . a b 41 b) Montrer que l’inégalité (∗) est une égalité si et seulement si : a = b = 1 . 2 B) On se propose de généraliser l’inégalité (∗) obtenue ci-dessus en A) 4° . Soit p un nombre entier strictement supérieur à 1 et soit a1, a2, …..ap des nombres réels strictement positifs tels que a1+ a2 + …..+ ap = 1 . On pose : 1 1 1 H = a1 ln + a2 ln + …..+ ap ln a1 a2 ap 1°) a) Montrer que pour tout nombre réel t > 0 , on a : ln t ≤ t ― 1 (∗∗) . Pour cela, on pourra étudier les variations de la fonction h définie par h (t) = t ― 1 ― ln t. b) Montrer que, si t est différent de 1, l’inégalité (∗∗) est stricte. c) En déduire que pour tout entier j tel que 1 ≤ p , on a : 1 1 ai ln ≤ ― ai , ai p 1 avec égalité si et seulement si : ai = . p 2°) a) Montrer que : H ― ln p = a1 ln 1 1 1 + a2 ln + …..+ ap ln . p a1 p a2 p ap b) En déduire que : H ≤ ln p (∗∗∗) c) Déterminer a1, a2, …..ap pour que l’inégalité (∗∗∗) soit une égalité. FONCTION LOGARITHME DECIMAL N.B. Le symbole log désigne le logarithme décimal, c’est-à-dire le logarithme de base 10. EXERCICE 1 On rappelle que la fonction logarithme décimal est définie par : log x = ln x ln 10 1°) Montrer que pour tous réels a et b strictement positifs: log(ab) = log a + log b. 2°) Etudier les variations de log et la représenter graphiquement. 3°) Déterminer log (10n), pour n entier relatif. 4°) Soit N un entier naturel (N ≥ 1) ; montrer que le nombre de chiffres de N dans son écriture décimale est 1 + E(log N), où E(x) est la partie entière de x. 5°) Application : avec combien de chiffres s’écrit 22008 ? 20082008 ? EXERCICE 1 En utilisant les logarithmes décimaux, trouver un entier naturel n tel que : 1°) 10n > 35483 2°)10― n < (0,003)3 EXERCICE 1 Simlifier : A = log 104 + log 10― 4 + log 10 ─ log 1 B = log a b ─ log 2 2 3 1 10 1 a4 a b + log 2 + log 3 b 3 5 a7b3 avec a > 0 et b > 0. 42 EXERCICE 1 Résoudre les équations suivantes : 1°) log x ─ log (11 ─ x) = log 2x² 2°) 3(log x)² + 14 log x ─ 5 = 0 3°) 2 (log x)3 ─ (logx)² ─ 32 log x + 16 = 0 (après avoir développé (X² ─ 16)(2X ─ 1). EXERCICE 1 L’acidité d’une solution est déterminée par la concentration en ions H3O+ (hydrnium) contenus dans cette solution. On note [H3O+] le nombre de moles de H3O+ par litre de solution. on définit alors son pH par la formule pH = ─ log [H3O+] . 1°) Une solution contient 10― 4 moles de H3O+ par litre. Quel est son pH ? 2°) Quelle est la concentration en ions H3O+ d’une solution de pH = 2 ? d’une solution neutre (pH = 7) ? 3°) Comment varie le pH lorsque la concentration en ions H3O+ décuple ? EXERCICE 1 I La magnitude m d’un séisme est mesurée sur une échelle dite de Richter par m = log , où I0 I I est l’intensité du séisme et I0 une intensité de référence. La quantité a = est l’amplitude I0 maximale du mouvement. Elle est mesurée en microns sur un séismographe étalon à une distance de 100 km de l’épicentre. 1°) Quelle est l’amplitude maximale d’un séisme de magnitude 3 ? 2°) Placer sur l’échelle de Richter les séismes : San Francisco (1906), I = 1,78 . 108 I0. Los Angeles (1971), I = 5,01 . 106 I0. 3°) Dans quelles proportions le séisme d’Arménie en 1988 (magnitude 8,5) était-il plus important que celui de Mexico (magnitude 7,5) ? 4°) Sachant que le séismographe étalon multiplie les vibrations par 2800, quelle est l’amplitude réelle du mouvement du sol lors d’un séisme de magnitude 9 ? EXERCICE 1 Les archéologues et les paléontologues datent les objets découverts contenant du carbone (restes d’êtres vivants : os, fossiles…) en mesurant la proportion de l’un de ses isotopes, le carbone 14, encore présent dans l’objet. En effet, à la mort d’un être vivant, le carbone 14 présent dans son organisme se désintègre au fil des années, de sorte que si p est la proportion de C14 restante au bout de N années (par rapport à la quantité initiale), on ait : N = ─ 8310 ln p. 1°) Un squelette d’ « homme de Cro-Magnon » contient 5% du carbone 14 initial. Quel âge a-t-il ? 2°) Lucy est la plus ancienne forme d’hominidé connu ; les spécialistes lui donnent 4,4 millions d’années. A-t-on pu raisonnablement dater les fragments trouvés à l’aide du carbone 14 ? 3°) Découverte dans un glacier en 1991, la momie Hibernatus contenait 52,8% (à 1% près) du carbone 14 initial. Donner un encadrement de l’âge d’Hibernatus. EXERCICE 1 43 SIMPLIFICATION D’ECRITURES EXERCICE 1 1°) Simplifier l’écriture de : e4 x 2 e x e x1 2 e x ex ― e― x e2x ― 1 1 ― e― 2x = 2x = ex + e― x e +1 1 + e― 2x 3°) Prouver que : ln (1 + ex) = x + ln (1 + e― x) . 2°) Prouver que : e3 + ln x 4°) Simplifier l’écriture de : ln 3x ² EQUATIONS ET INEQUATIONS EXERCICE 1 Résoudre dans R : 1°) e3x ― ex + 3ex = 0 2°) e2x ― 5ex + 6 = 0 3°) e2x ― 3ex + 2 = 0 4°) e4x ― 2 e3x ― 9e2x + 18ex = 0 5°) 6e5x + 2 ― 7 e8x + 4 + e3x + 2 = 0 . 2x e ―6 ln (1 ― x ²) ln (x ― 2) (x ) 6°) 7°) e = ― 2x + 1 8°) (x² ― 1) e = ln e + 1 x =1 2―2e 9°) e3x ― e2x + 3ex < 0 10°) e2x ― 3ex + 3 < 0 11°) e2x ― 5ex + 6 > 0 2x x 12°) e ― 4e ― 5 > 0 CALCULS DE LIMITES EXERCICE 1 44 Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes des intervalles de leur ensemble de définition : ex + e― x ex + e― x 1°) f (x) = x 2°) f (x) = 3°) f (x) = e― 2x + 3x e ― e― x x 2 4°) f (x) = 5e3x + e2x ― 3 5°) f (x) = e2x ― 4ex ― 5x 6°) f (x) = e x 7°) f (x) = 9°) f (x) = ex ― 1 x ex ― xe― x 12°) f (x) = 15°) f (x) = e x 8°) f (x) = x² e2x ― 4x e― x ― 5x ― 4 10°) f (x) = x ― 3 ln (x ― 3)² ex ― e― x x² + x 11°) f (x) = ln (1 + ex) 13°) f (x) = ex ln | x | 14°) f (x) = ln (x² ― x + 1) x+1 ln (x² + 1) ― x e |x | +1 DERIVEES EXERCICE 1 Calculer la dérivée de chacune des fonctions f suivantes : 2 1°) f (x) = (x² ― 5x + 1) e3x ― 1 2°) f (x) = e x 1 4°) f (x) = exp x² ― x ex + e― x 5°) f (x) = x e ― e― x 3°) f (x) = ln (1 + ex) ex ― 1 6°) f (x) = x EXERCICE 1 Déterminer les primitives de chacune des fonctions f suivantes : 2 1°) f (x) = e― 2x ― 1 2°) f (x) = (― x + 2) e x 4 x1 3°) f (x) = sin x ecosx 4°) f (x) = ex + e― x ex ― e― x ETUDE DE FONCTIONS EXERCICE 1 Etudier les fonctions suivantes (limites, sens et tableau de variation) et tracer leur courbe → → représentative dans le plan P rapporté à un repère ( O, i , j ) : ex ex 1°) f : x ↦ x ex 2°) f : x ↦ x3 ex 3°) f : x ↦ 4°) f : x ↦ x x² 5°) f : x ↦ x ex x 1 6°) f : x ↦ x² ex 7°) f : x ↦ e x1 EXERCICE 1 1°) Etudier le signe de ex ─ e2x . 2°) Soit f la fonction définie par : f (x) = ex ─ e2x . Etudier la dérivabilité de f en 0. 3°) Etudier f et tracer sa courbe représentative C . On tracera la tangente à C au point O origine du repère. 45 EXERCICE 1 1 Etudier la fonction définie sur par f (x) = (x + 2) e x . Montrer que f peut être prolongée par continuité en 0. Tracer la courbe représentative. EXERCICE 1 Déterminer le domaine de définition et étudier la fonction f définie par f (x) = x + ln (2 ─ ex). Construire la représentation graphique de f. Déterminer l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x, y) sont solutions de l’inéquation ey ─ x + ex > 2. EXERCICE 1 ex 2 . 1 3e x Démontrer que la représentation graphique de f admet un centre de symétrie. EXERCICE 1 1 1x Soit f la fonction définie sur par : f (x) = e . x² 1°) Montrer que f peut être prolongée par continuité en 0. 2°) Etudier f. Etudier la fonction définie sur \ ln 3 par f (x) = EXERCICE 1 On considère la fonction f définie sur par f (x) = ex + ln | x |. 1°) Etudier les variations de la fonction g définie sur par g (x) = x ex + 1. g (x) En déduire le signe de . x 2°) Etudier f et construire sa courbe représentative relativement à un repère orthonormal → → ( O, i , j ) . En déduire que l’équation f (x) = m admet quel que soit le réel m, deux racines distinctes x1 et x2 . EXERCICE 1 1 1 + ex Soit C f la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (unités : 1 cm sur l’axe des abscisses, 5 cm sur l’axe des ordonnées). 1°) Etudier le sens de variation de f. 2°) Déterminer les limites de f en + ∞ et en ─ ∞ ; en déduire que la courbe admet deux asymptotes. 3°) Dresser le tableau de variation de f. 1 4°) Démontrer que le point A 0; est centre de symétrie pour la courbe C f . Calculer le 2 coefficient directeur de la tangente en ce point. 5°) Tracer les asymptotes, la tangente en A et la courbe C f . ex 6°) Déterminer une primitive de f (on remarquera que f (x) = 1 ─ . 1 + ex Soit f la fonction définie sur par : f (x) = 46 PROBLEMES EXERCICE 1 Soit f l’application de R \ {ln 2} dans R définie par : f (x) = x + ex x 2(e ― 2) 1°) Etudier les limites et les variations de f.. 2°) a) Déterminer l’équation de l’asymptote oblique à (C f ), courbe représentative de f, quand x ↦ ― ∞ . Préciser la position de (C f ) par rapport à l’asymptote. 1 b) Calculer lim [ f (x) ― (x + )] . En déduire l’équation de l’asymptote oblique à (C f ) 2 x→+∞ en + ∞, ainsi que la position de (C f ) par rapport à l’asymptote. 1 3°) Montrer que le point I de coordonnées (ln 2, ln 2 + ) est centre de symétrie de (C f ) . 4 → → 4°) Construire (C f ) dans un repère orthonormé ( O, i , j ) (On prendra pour unité de longueur 2 cm). 5°) a) Résoudre l’équation f (x) = x + b (b ∈ R ) suivant les valeurs du réel b. b) Retrouver les résultats graphiquement. EXERCICE 1 On se propose d’étudier la fonction numérique de variable réelle f définie par : ex f (x) = x 2(e ― 2) On appelle C la courbe représentative de f dans un plan P muni d’un repère orthonormé → → ( O, i , j ) (unité : 3 cm). 1°) Quel est l’ensemble de définition de f ? Etudier la limite de f en ― ∞. 2 Montrer que pour tout x réel, on a : f (x) = 1 ― x ; en déduire lim f (x) . e ―2 x→+∞ Préciser si la courbe C admet des asymptotes. 2°) Montrer que f est dérivable en tout point de son ensemble de définition et expliciter la fonction f ' . Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation . 3°) Calculer f (0), f (ln 2), f (ln 4) et f (ln 8) . Déterminer l’abscisse du point de C dont 8 l’ordonnée est . 9 Donner une équation de la tangente D à C au point d’abscisse ln 2 . 1 4°) On pose x = X + ln 2 et f (x) = + g (X) . 2 Montrer que la fonction g ainsi définie est impaire. Quelle est l’interprétation géométrique de ce résultat ? Construire dans le plan P la courbe C et la droite D . EXERCICE 1 → → Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (O, i , j ) (unité : 2 cm). On not E le point de coordonnées (ln2 , ln 2). 47 I. Soient a et b deux nombres réels ; on désigne par g la fonction de la variable réelle x 4ex définie sur R par g (x) = ax + b ─ x . e +2 Calculer la dérivée de g. Déterminer a et b pour que la courbe représentative de g passe par le point E et admette en ce point une tangente parallèle à l’axe des abscisses. II. On se propose d’étudier la fonction numérique f définie pour tout réel x par : 4ex f (x) = x + 2 ─ x e +2 8 1°) Montrer que, pour tout nombre réel x, on a : f (x) = x ─ 2 + x e +2 2°) En utilisant l’une des formes de f (x), calculer: lim f (x) et lim f (x) . x+ ∞ x─ ∞ Montrer que les droites D1 d’équation y = x ─ 2 et D2 d’équation y = x + 2 sont asymptotes à la courbe représentative C de f dans le plan P .. Préciser la position de la courbe C par rapport à chacune de ces droites. 3°) Calculer la dérivée de f, étudier son signe et en déduire le tableau de variation d e f. 4°) Construire dans P la courbe C , sa tangente en E et ses asymptotes. III. 1°) Déterminer une primitive de la fonction h définie pour tout nombre réel x par ex h (x) = x . e +2 2°) a) Déterminer à l’aide de la question précédente une primitive de f. b) Quelle est la primitive de f qui s’annule pour x = ln 2 ? EXERCICE 1 Soit a un nombre réel. on considère la fonction numérique fa de la variable réelle x définie par : fa (x) = (x² + ax ― a) e― x pour tout réel x. On note C a la courbe représentative de fa dans un plan P muni d’un repère orthonormé → → ( O, i , j ) (unité : 2 cm). 1°) Etudier, suivant les valeurs de a, les variations de fa et donner les différents tableaux de variation possibles pour fa . 2°) On suppose a ≠ ― 2. Démontrer que l’ensemble des points du plan en lesquels la tangente à C a est parallèle à l’axe des abscisses, est la réunion d’une partie de droite E1 et d’une partie de courbe E2 dont on donnera une équation cartésienne de la forme y = g (x) . 3°) Etudier la fonction numérique g de la variable réelle x définie par : g (x) = x e― x . → → Tracer la courbe E2 dans le plan rapporté au repère ( O, i , j ) . EXERCICE 1 ex + e― x ex ― e― x Soient f et g les fonctions définies par : f (x) = et g (x) = . 2 2 1°) a) Etudier f et g . b) Etudier la position relative des courbes C f et C g . Démontrer qu’elles sont asymptotes. c) Tracer les deux courbes sur une même figure (On travaillera en repère orthonormé : unité 2 cm) . 48 2°) a) Démontrer que g est une bijection de R sur un ensemble D que l’on précisera. b) Déterminer g―1(x) avec x ∈ D (on montrera que : g―1(x) = ln(x + c) Tracer la courbe représentative de g―1 dans le repère précédent. x² + 1 ) . EXERCICE 1 I) 1°) Etudier les variations de la fonction u : x ↦ x + 1 + e― x. 2°) En déduire que u (x) est strictement positif pour tout réel. II) On note ln la fonction logarithme népérien. On considère la fonction f : x ↦ ln(x + 1 + e― x) et la courbe C représentative de f dans le → → plan rapporté à un repère orthonormal ( O, i , j ) , l’unité étant le centimètre. → → Soit C ' la courbe représentant ln dans le repère ( O, i , j ) . 1°) Etudier la fonction f. 2°) Pour tout réel x strictement positif, on note M le point de C ' d’abscisse x et N le point de C de même abscisse. x + 2 a) Démontrer que pour x strictement positif on a : 0 < MN < ln . x Quelle est la limite de MN quand x tend vers + ∞ ? b) En admettant qu’un trait de crayon a une épaisseur de0,1 mm, donner une valeur de x à partir de laquelle les tracés des courbes C et C ' peuvent être considérés comme confondus. 3°) Démontrer que pour tout réel x : f (x) = ─ x + ln(x ex + ex + 1). En déduire que C admet une asymptote oblique D et déterminer la position de C par rapport à D . → → 4°) Construire C ' , C et D dans le repère ( O, i , j ) . EXERCICE 1 A) Soit f la fonction numérique de la variable réelle : x ↦ (e ─ 1)x ─ 1 + e― x. 1°) a) Etudier le sens de variation de f et ses limites en plus l’infini et moins l’infini. Dresser le tableau de variation. b) Soit a le nombre réel solution de l’équation f '(x) = 0. Calculer une valeur approchée à 10― 2 près de a et f (a). c) Calculer les images par f des nombres ─ 2, ─ 1, 0, 1 et 2. Donner une valeur approchée à 10― 2 près pour chacune des images. → → 2°) On appelle (γ) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( O, i , j ) avec → → ║ i ║ = 2 et ║ j ║ = 4 (unité graphique : 1 cm). a) Démontrer que la droite (D) d’équation y = (e ─ 1) x ─ 1 est asymptote à (γ) lorsque x tend vers plus l’infini. Déterminer la position de (γ) par rapport à (D). b) Déterminer une équation de chacune des tangentes à (γ) aux deux points communs à (γ) et à l’axe des abscisses. Calculer les coordonnées des points communs à la droite (D) et à ces tangentes. c) Tracer (γ)., les deux tangentes précédentes et la droite (D). 49 e─1 B) 1°) Soit F la fonction numérique de la variable réelle : x ↦ 2 x² ─ x ─ e― x et (Γ) la → → courbe représentative de F dans un repère ( O ', i ' , j ') . a) Etudier les limites de f en plus l’infini et moins l’infini. b) Dresser le tableau de variation de F. e ─ 1 2°) Soit C la parabole d’équation : y = x² ─ x. 2 Déterminer la position de (Γ) par rapport à C . Tracer les deux courbes (Γ) et C en plaçant en particulier les points de ces courbes d’abscisses 0, 1 et 2. EXERCICE 1 I . On considère la fonction f définie pour x réel par : f (x) = 8 (e― x ─ e― 2x) . 8(ex ─ 1) 1°) Démontrer que, pour tout x réel, f (x) = . e2x 8(2 ─ ex) 2°) Démontrer que, pour tout x réel, f ' (x) = , f ' désignant la dérivée de f. En e2x déduire le signe de f '(x). 3°) Déterminer les limites de f aux bornes de l’ensemble de définition. 4°) Donner le tableau de variations de f. 5°) Représenter la fonction f dans un repère orthogonal (unités : 4 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées). II . On injecte à l’instant t = 0 une substance dans le sang d’un animal. A l’instant t (t positf exprimé en secondes), la concentration y de la substance injectée est y = 8 (e― t ─ e― 2t). On appelle « concentration » le rapport entre la quantité du liquide injecté et la quantité du sang qui le contient ». 1°) En utilisant les résultats de la partie I, donner le tableau de variations de la concentration en fonction du temps t, t positif exprimé en secondes. 2°) Au bout de combien de temps la concentration est-elle maximale ? On donnera une valeur approchée par défaut de ce résultat en centièmes de secondes. 3°) Calculer au bout de combien de temps la concentration « retombe » au quart de sa valeur maximale. Donner ce résultat avec la même précision que dans la question II.2). Vérifier graphiquement en utilisant la question I.5). 4°) Donner une valeur approchée de f (9).En déduire qu’à l’instant t, t ≥ 9, la concentration est inférieure à 10― 3. EXERCICE 1 f ( x) ln x 2 x 2 si x0 Soit f la fonction définie par : si x0 f ( x ) 1 ln( x 2) 1°) Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de définition . 2°) Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé . 3°) Soit g la restriction de f à ]― ∞ ; ― 1[ . Montrer que g est bijective de ]― ∞ ; ― 1[ vers un intervalle que l’on déterminera. Calculer g―1(2) . EXERCICE 1 50 f ( x) e x x si x0 2 Soit f l’application de R dans R définie par : f ( x ) cos x si x 0;1 ln x f ( x) 1 si x 1 x 1°) Etudier la continuité et la dérivabilité de f . 2°) Etudier les variations de f . 3°) Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormé . EXERCICE 1 f ( x ) xe x 1 si x0 Soit f l’application de R dans R définie par : f ( x ) x 1 si x 0;1 ln x f ( x) 2 si x 1 x 1°) Etudier la continuité et la dérivabilité de f . 2°) Etudier les variations de f . 3°) Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormé . EXERCICE 1 1°) Démontrer que , pour tout x réel, ― 1 < e2x ― 1 < 1. e2x + 1 2°) Soit f l’application de R dans ]― 1; 1[ définie par : f (x) = e2x ― 1 e2x + 1 a) Montrer que f est impaire. b) Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé . 3°) Expliquer pourquoi f admet une fonction réciproque g. Pour y donné dans ]― 1; 1[ , calculer g (y) . 4°) Montrer que g est dérivable dans ]― 1; 1[ et calculer g ' (y) . EXERCICE 1 Soit la fonction définie par : f (x) = 1 ― | ex ― e3x | . 1°) Etudier la continuité et la dérivabilité de f . 2°) Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative dans un plan muni d’un → → repère orthonormé ( O, i , j ) . EXERCICE 1 A tout réel a, on associe la fonction numérique fa définie sur R par : fa (x) = e― x + ax . → → Soit C a sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, i , j ) . 1°) a) Etudier la fonction fa : continuité, dérivabilité, nature des branches infinies, asymptotes éventuelles de C a , variation de fa et tableau de variation (on distinguera les cas a = 0, a < 0 et a > 0) . b) Déduire de ce qui précède l’ensemble A des valeurs de a pour lesquelles fa admet un extremum. 2°) Pour a ∈ A , on désigne par Ia le point de Ca correspondant à l’extremum. 51 Déterminer en fonction de a les coordonnées de Ia. 3°) Démontrer que l’ensemble E des points Ia , lorsque a décrit A est la représentation graphique d’une fonction g que l’on déterminera. Etudier les variations de g et construire E . EXERCICE 1 f ( x ) x 4 2 ln ( x 1) si 1 x 2 Soit la fonction définie par : f ( x ) x 1 e x 2 si x2 1°) Etudier la continuité de f au point x = 2 . f (2 + h) ― f (2) f (2 + h) ― f (2) 2°) Calculer lim + et lim ― . h h h→0 h→0 Que peut-on en déduire pour f au point x = 2 ? 3°) Etudier les variations de f . 4°) Montrer que C f admet une asymptote « oblique » D dont on donnera l’équation . Préciser la position de C f par rapport à la droite D . → → 5°) Tracer C f dans un repère orthonormé ( O, i , j ) . EXERCICE 1 f ( x) e 2 x3 x 1 si x0 Soit f la fonction R dans R telle que : f (0) x ² 2 x si 1 x 0 f ( x) ln 1 x si x0 1 x ¨1°) Préciser l’ensemble de définition de f. 1°) Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de définition. 2°) Etudier les variations de f puis tracer C f dans un repère orthonormé du plan. EXERCICE 1 1 x f ( x ) xe pour Soit f la fonction définie de R dans R telle que : f (0) 0 f ( x ) x ln x pour x0 x0 1°) Etudier la continuité et la dérivabilité de f. 2°) Etudier les variations de f. 3°) a) Montrer que la droite D d’équation y = x + 1 est asymptote à la courbe C f . b) Préciser la tangente à C f au point O(0 , 0) et au point A (1, 0). 4°) Construire C f dans un repère orthonormé. EXERCICE 1 Soit f la fonction définie par f (x) = ln(e2x ─ 3 ex + 2) . 1°) Etudier f et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. 2°) Soit g la restriction de f à ]ln 2 ; + ∞[ . Montrer que g admet une fonction réciproque g―1 . 52 Exprimer g―1(x) à l’aide de fonctions usuelles. EXERCICE 1 Soit f la fonction définie par : f (x) = x ─ 1 + (x + 1) e― x . 1°) Montrer que f est dérivable sur R. Etudier le sens de variation de f ' . En déduire le signe de f ' . 2°) Etudier la fonction f puis tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 3°) Montrer que f possède une fonction réciproque g. (On ne cherchera pas à exprimer g à l’aide des fonctions usuelles). Préciser les propriétés de g : ensemble de définition, sens de variation, continuité et dérivabilité. EXERCICE 1 2x e + 3 Soit f la fonction définie par : f (x) = ln x e ─ 1 ─ 2x 1 + 3e 1°) Déterminer Df et vérifier que x ∈ Df , f (x) = x + ln ― x 1─e 2°) Etudier la fonction f . Préciser les asymptotes de la courbe C f . Construire C f dans un repère orthonormé. Unité : 2 cm. 3°) Soit g la restriction de f à l’intervalle I = [ln 3 ; + ∞ [. a) Montrer que g est une bijection de I sur un intervalle J à préciser. Enumérer les propriétés de g─1 (domaine de définition, sens de variation, continuité, dérivabilité). b) Sans calculer g―1(x) , déterminer (g―1) ' (ln 7) (nombre dérivé de g―1 au point ln 7). c) Tracer sur la même figure que C f la courbe représentative de g―1. EXERCICE 1 On considère la fonction f définie par f (x) = ln | ex ─ e2x | . 1°) a) Préciser Df . b) Démontrer que : x > 0 , f (x) ─ 2x = ln(1 ─ e― x) c) Calculer lim ln(1 ─ e― x) ; en déduire l’existence d’une asymptote oblique (Δ1) à la x+ ∞ courbe C f . Etudier la position de C f par rapport à (Δ1) . 2°) a) Démontrer que : x < 0 , f (x) ─ x = ln(1 ─ ex). c) Calculer lim ln(1 ─ ex) ; en déduire l’existence d’une deuxième asymptote (Δ2) à la x─ ∞ courbe C f . Etudier leur position. 3°) Faire l’étude complète de f et construire C f dans un repère orthonormé. 4°) Montrer que la restriction φ def à ]0 ; + ∞ [ admet une bijection réciproque φ─ 1 et construire la courbe C de φ─ 1 dans le même repère que C f . FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE a EXERCICE 1 Résoudre dans R les équations suivantes : 1°) 2 × 32x ─ 1 ─ 5 × 3x ─ 1 ─ 1 = 0 2°) 1 + 2─ x + 10 × 2─ 2x + 8 × 2─ 3x = 0 53 3°) 54x ─ 4 × 52x ─ 21 = 0 5°) 2 2x + 1 7°) 7 x 4 3 x+1 +3 +4 3x x ─ 5 = 2( 7 x 9°) 4 ─ 3 × 2 x+2 3 2 x ─ 4°) 4x ─ 3 x 3 92 2 x 1 2= 3 x 1 2 ─ 22x ─ 1 6°) 8x = 2 × 4x ─ 2 =0 1 3 + 53x ─ 1) 8°) 3x + 2 + 9x ─ 1 = 1458 6 ─2 =0 10°) 2 EXERCICE 1 Résoudre les systèmes suivants : log ( x 2 y ) 1 log 2 (2 x 3 y 4) 1°) 2 35 x y 3 x 6 y 81 2x ─ 1 x +3 + 4 x 1 2 ─ x 1 2 9 = 0. x y yx 2°) 3 2 x y EXERCICE 1 Calculer les fonctions dérivées, puis dresser le tableau de variation des fonctions suivantes : 2x x─2 x x 2 1 1°) f (x) = 3 2°) f (x) = 3 3°) x × 2 4°) f (x) = x x ─x x 5°) f (x) = (x + 4) 2 6°) f (x) = λ 2 + 2 (discuter suivant les valeurs de λ). 7°) f (x) = π(x² ─ 1) 8°) f (x) = (x +1) 3x² + 2x ─ 1. FONCTIONS PUISSANCE EXERCICE 1 Construire sur un même graphique les courbes représentatives des fonctions suivantes : 1 3 x↦ x ;x↦ x ; xx 0,7 0,7 ; x x 2,6 ;x x 2 ;x x 1 x EXERCICE 1 Soit α un réel. Discuter suivant la valeur de α la position relative des courbes représentatives des fonctions : x ↦ xα et x ↦ xα + 1 . EXERCICE 1 Calculer les limites suivantes : x 1 sin x lim x ; lim 1 ; lim π x x0+ x+ ∞ x 2 1 2 x cos x 2 cos x ln e ; lim x0 1 cos x sin ² x EXERCICE 1 (x ─ a)α Déterminer la fonction dérivée de la fonction f définie par f (x) = (x + a)β avec a ∈ R et (α, β) ∈ ℚ². EXERCICE 1 Calculer la fonction dérivée de la fonction f dans chacun des cas suivants : 54 a) f : x ↦ 3 b) f : x ↦ x 7 ln x 1 c) f : x ↦ x 3 e x 1 x3 d) f : x ↦ ( x 1)( x 2) 3 EXERCICE 1 Simplifier les expressions suivantes : 5 A 3 4 D 3 25 3 15 23 2 1 4 2 5 2 3 5 6 2 4 5 3 9 3 2 23 ; B ; C 1 2 3 5 2 3 4 4 5 3 27 3 2 8 4 54 5 25 2 1 1 4 2 2 4 2 2 ; E a ² a 3 b 3 b² b 3 a 3 3 1 4 3 5 5 5 1 32 13 a 2 F a b 1 b3 4 1 4 3 b ² a : 1 3 a2b EXERCICE 1 Résoudre dans R : 5 3 2°) xx = (2x + 1)x 1°) x 3 > x 4 3°) x(x + 1) = (x²)x EXERCICE 1 Etudier la fonction x ↦ x 1 x EXERCICE 1 Etude et représentation graphique de la fonction f définie par : f (x) = | x |x pour x ≠ 0 et f(0) = 1 EXERCICE 1 Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur des intervalles que l’on précisera : 1°) f (x) = 3 1 2°) f (x) = ( x 1)² x 1 2x 3 4°) f (x) = x ( x ² 1) x² 1 ² 7°) f (x) = 1 ln x x 3°) f (x) = 3x 5 3 3x 5 3 5°) f (x) = sinx 8°) f (x) = cos x 6°) f (x) = sin x cos3 x ex 3 e x 1 2 EXERCICE 1 55 1 Soit f la fonction définie par : f (x) = x3 4 x3 . 1°) Ecrire f (x) sous la forme xα, avec α ∈ R. 2°) Etudier la fonction f. EXERCICE 1 1 Soit h la fonction définie par : h (x) = x ─ 3x 3 . 1°) Montrer qu’on peut prolonger h par continuité à droite de 0. 2°) Etudier la fonction f et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé. EXERCICE 1 Soit l’équation d’inconnue x positive : 2x + 3x = 7x (E). 1°) Justifier que résoudre l’équation (E) revient à résoudre l’équation f (x) = 1, où f est la x x 2 3 fonction définie sur R par : f (x) = . 7 7 2°) Etudier les variations de f. + 3°) a) En déduire que l’équation (E) ne possède qu’une seule solution ans R+. b) Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 10― 2 de cette solution. EXERCICE 1 5x Soit f la fonction définie par : f (x) = 2x 5 ─1 1°) Déterminer Df , puis montrer que f est impaire. 2°) Etudier les variations de f sur ] 0 ; + ∞ [, et en déduire ses variations sur ] ─ ∞ ; 0 [. 2 3°) a) Résoudre dans R l’équation : f (x) = . 3 2 b) En déduire les solutions dans R de l’équation : f (x) = ─ . 3 EXERCICE 1 Soit f la fonction définie par : f (x) = x 3─ x. 1°) a) Déterminer la limite de f en ─ ∞. b) Déterminer la limite en + ∞ de la fonction x ↦ x ln 3 . En déduire la limite de f en + ∞. exln 3 2°) Etudier les variations de f. 3°) Tracer la courbe C de f dans le plan muni d’un repère orthogonal. EXERCICE 1 3 Soit f la fonction définie par : f (x) = 4 x ² 1 4 . 1°) Déterminer Df et montrer que f est prolongeable par continuité en 1 1 et en ─ . 2 2 2°) Montrer que f est une fonction paire. 3°) Etudier le comportement de en + ∞, puis en déduire son comportement en ─ ∞. 56 4°) Etudier la dérivabilité de f en 1 1 puis en ─ . 2 2 5°) Etudier les variations de f. 3°) Tracer la courbe Γ de f dans le plan muni d’un repère orthogonal, en indiquant ses demi1 1 tangentes aux points d’abscisses et ─ . 2 2 EXERCICE 1 Soit α ∈ R et a ∈ ] 1 ; + ∞ [. On se propose de résoudre dans ] 0 ; + ∞ [ l’équation : ax = xα (1) 1°) Montrer que (1) ⇔ ax x ─ α = 1. 2°) Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f (x) = ax x ─ α. Déterminer la fonction dérivée de la fonction f. 3°) On suppose que α ≤ 0. Montrer que, dans ce cas, l’équation (1) admet une solution et une seule. 4°) On suppose α > 0. a) Dresser le tableau de variation de f. b) Déterminer le minimum m de f. c) En déduire le nombre de solutions de (1). EXERCICE 1 1 Soit p ∈ ℕ* et gp la fonction définie par : gp (x) = x p ln x . Soit C p la courbe représentative de gp dans un repère orthonormé (unité : 4 cm). 1°) Etudier et représenter graphiquement gp. 2°) Montrer que toutes les courbes C p passent par un point fixe. Calculer l’équation de la tangente Tp à C p au point A. RAISONNEMENT PAR RECURRENCE EXERCICE 1 Démontrer par récurrence les propriétés suivantes : n(n + 1)(2n + 1) n²(n +1)² 1°) 1² + 2² + 3² + ……+ n² = 2°) 13 + 23 + 33 + …..+ n3 = 6 4 57 3°) Sn = 13 + 33 + 53 + …..+ (2n ― 1)3 (n ∈ ℕ ) . Sn = 2n4 ― n² . 3°) n ≥ 4, 2n ≥ 4 4°) n ≥ 4, 2n ≤ n ! 5°) n ≥ 5, 3n > n3 6°) n ≥ 7, 3n < n ! 7°) On note f (n) la derivée nième de la fonction f. nπ nπ a) sin(n)x = sinx + b) cos(n)x = cosx + c) si f : x ↦ x ex, alors f (n)(x) = ex (x + n) 2 2 1 n! (n + 1) ! d) si f : x ↦ , alors f (n)(x) = (─ 1)n n + 1 e) si g : x ↦ x ex, alors f (n)(x) = (─ 1)n n + 2 x x x 8°) Pour tout entier naturel n, 32n ― 2n est divisible par 7 . 9°) Pour tout entier naturel n, 32n + 1 + 2n + 2 est divisible par 7 . 10°) Pour tout entier naturel non nul n, 32n + 26n ― 5 est divisible par 11 . 11°) Pour tout entier naturel non nul, 3 × 52n ― 2 + 23n ― 2 est divisible par 17. 12°) Pour tout entier naturel n, 52n ― 3n est divisible par 22 . SUITES DU TYPE Un = f(n) EXERCICE 1 Soit la fonction f et la suite (un) définie pour tout n par : un = f (n). Prouver les propriétés suivantes : 1°) Si la fonction f est croissante sur R+,alors la suite (un) est croissante. 2°) Si la fonction f est bornée sur R+,alors la suite (un) est bornée. 3°) Si la fonction f est périodique de période P entière, alors la suite (un) est périodique de période P. SUITES DU TYPE Un + 1 = f(un) EXERCICE 1 Soit la fonction f et la suite (un) définie par la donnée de u0 et un+1 = f(un). Prouver les propriétés suivantes : 1°) Si la fonction f est croissante sur R ,alors : a) si u0 ≤ u1, (u1 = f (u0) ), la suite (un) est croissante. b) si u0 ≤ u1, la suite (un) est décroissante. 2°) Y a-t-il des énoncés analogues aux précédents si la suite (un) est décroissante ? 3°) Si la fonction f est bornée sur R, alors la suite (un) est bornée. SUITES MONOTONES EXERCICE 1 Etudier le sens de variation des suites définies sur ℕ* ci-après ; on pourra, selon le cas , soit un+1 raisonner par récurrence, soit étudier le signe de un+1 ─ un , soit étudier le signe de 1 ─ un (suites à termes strictement positifs), soit étudier la fonction f telle que un = f (n) : n en 3n ─ 1 a) un = b) un = c) un = d) un = n n e) un = n² ─ 2n n +1 n! 2n ─ 1 58 f) un = n ─ ln(1 + n) g) un = 1 × 3 × …×(2n ─ 1) 1 1 1 1 h) un = 1 ─ + ─ …+ ─ 2 × 4 × …× 2n 2 3 2n ─ 1 2n SUITES ARITHMETIQUES. SUITES GEOMETRIQUES EXERCICE 1 Soit (un) une suite arithmétique de raison r = 6 et de premier terme u1 =1. Calculer n pour que u1 + u2 + …..+ un = 280. Calculer un pour la valeur trouvée de n. EXERCICE 1 Montrer que si x², y², z² sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique, il en est de x y z même pour , et . y+z z+x x+y EXERCICE 1 Calculer trois termes consécutifs x, y, z d’une suite géométrique sachant que x + y + z = 312 et z ─ x = 192. EXERCICE 1 Calculer trois termes consécutifs x, y, z d’une suite arithmétique sachant que x + y + z = 312 et x² + y² + z² = 22869. EXERCICE 1 On considère les suites géométriques de premier terme u1 (u1 ≠ 0) telles que : u2 + u3 = 2 u1. Calculer la raison de chacune de ces suites. Donner l’expression de la somme des n premiers termes. Application : u1 = 4, n = 10. EXERCICE 1 Montrer que, si 3 nombres a, b, c sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique, ils vérifent la relation : (a + b + c) (a ─ b + c) = a² + b² + c². Application : Trouver 3 nombres en progression géométrique connaissant leur somme 57 et la somme de leurs carrés 1197. EXERCICE 1 Déterminer les 3 premiers termes d’une suite géométrique décroissante, sachant que la somme 1 de ces trois termes est égale à 7 et que le rapport du troisième terme au premier est égal à . 4 Calculer la somme des 10 premiers termes de cette suite. EXERCICE 1 Trois nombres distincts a, b et c sont tels que dans l’ordre a, b, c ils sont 3 premiers termes d’une suite arithmétique et dans l’ordre b, a, c ils sont 3 premiers termes d’une suite géométrique. 1°) Trouver ces trois nombres sachant que : a × b × c = 27. On prolonge la suite géométrique, déterminer le rang du premier terme supérieur à 10 000. 2°) Trouver ces trois nombres sachant que : a + b + c = 24. 59 EXERCICE 1 Les cinq termes u1, u2, u3, u4, u5 d’une suite géométrique sont strictement positifs. Soit x la raison de cette suite. On pose u3 = a. 1°) Exprimer à l’aide de a et x les sommes : S = u1 + u5 et s = u2 + u4. Montrer que s² = aS + 2a². 257 2°) Calculer a et x sachant que s = 34 et S = . 2 EXERCICE 1 1°) Déterminer 3 termes consécutifs a, b, c d’une suite arithmétique sachant que : 17 10 a+b+c= 5a ─ 6b + c = ─ 2 3 Quelle est la raison de cette suite? 5 2°) Soit (vn) la suite géométrique de premier terme v1 = π et de raison . 6 a) Calculer le dixième terme v10 de cette suite. b) Calculer Sn = v1 + v2 + ……+ vn en fonction de n. EXERCICE 1 u u u 9 Soit (un) une suite arithmétique croissante telle que : 1 2 3 . u1 ² u2 ² u3 ² 35 1°) Calculer le premier terme u0 et la raison r de cette suite, puis exprimer le terme général un en fonction de n. 2°) Soit (vn) la suite définie par : vn = 2un . a) Montrer que (vn) est une suite géométrique pour laquelle on déterminera v0 et la raison. b) Calculer Pn = v0 × v1 × …× vn. EXERCICE 1 on considère deux suites numériques définies par : 3n ─ 6n + 4 3n + 6n ─ 4 pour tout n ∈ ℕ un = et vn = . 3 3 1°) Soit an = un ─ vn. Montrer que la suite de terme général an est une suite arithmétique. Calculer a0 + a1 + …a10. 2°) Soit bn = un + vn. Montrer que la suite de terme général bn est une suite géométrique. Calculer b0 + b1 + …b10. 3°) En déduire les sommes : u0 + u1 + …u10 et v0 + v1 + …v10. EXERCICE 1 Une source sonore émet un son dont l’intensité est de 1000 décibels. Une plaque d’isolation phonique absorbe 45% de l’intensité du son. Soit f(n) l’intensité du son, mesurée en décibels, après la traversée de n plaques du type précédent [ donc f(0) = 1000 ; f(1) est l’intensité du son mesurée en décibels après la traversée d’une plaque, …etc.]. 1°) Calculer f(1), f(2) et f(3). 2°) Calculer f(n + 1) en fonction de f(n). Reconnaître la suite n ↦ f(n). 3°) La suite est-elle croissante ? décroissante ? 4°) Déterminer le nombre minimal de plaques que doit traverser le son pour que son intensité soit inférieure ou égale au dixième de sa valeur initiale. 60 EXERCICE 1 Une banque propose à ses clients deux contrats de placement sur un compte bloqué.( c’est-àdire sans retrait possible d’argent pendant al durée du contrat) avec intérêts cumulés annuellement. Selon ces contrats la somme s enregistrée sur le compte rapporte : 8% par an si 1 000 000 ≤ S < 5 000 000 (contrat C1), t% par an (où t ≥ 10, est à négocier à l’ouverture du compte) si S ≥ 5 000 000 (contrat C2). 1°) Un client P1 a déposé 1 000 000 F le 1er Janvier 2007. on désigne par S(n) la somme figurant au compte de ce client au 1er janvier de l’année 2007 + n. a) Calculer S(1) et S(2). b) Calculer S(n + 1) ─ S(n) en fonction de S(n). En déduire l’expression de S(n) en fonction de n. c) A partir de quelle année p1 aura-t-il doublé son dépôt initial ? 2°) Un client P2 dispose au 1er Janvier 2007 d’une somme de 5 000 000 F il aura besoin de 7 500 000 F le 1er Janvier 2010. Pour cela, il négocie un contrat C2 sur la base d’un taux annuel de t%. On désigne par V(n) le montant du compte de P2 au 1er Janvier de l’année 2007 + n. a) Calculer V(n + 1) ─ V(n) en fonction de V(n) et de t. En déduire l’expression de V(n) en fonction de n et t. b) Quel est le plus petit entier t permettant à P2 de réaliser son projet ? EXERCICE 1 Soit S l’ensemble des suite (un)n∈ℕ possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel n, 3 2 un+2 = un+1 + u. 35 35 n 1°) Existe-t-il dans S des suites constantes (à l’exception de la suite nulle) ? 2°) Existe-t-il dans S des suites arithmétiques (à l’exception de la suite nulle) ? 3°) Existe-t-il dans S des suites géométriques, de premier terme non nul, de raison non nulle ? 4°) Montrer que les suites (un)n∈ℕ de terme général : n n n n 2 1 un = α . + β . , 7 5 où α et β représentent deux réels donnés, appartiennent à S. 5°) Déterminer la suite de terme général : 2 1 un = α . + β . 7 5 sachant que u0 = 3 et u1 = ─ 4 . 35 EXERCICE 1 u0 2 Soit (un) la suite définie sur ℕ par : un 2un1 2n 3 1°) Calculer u1,u2 et u3 . Soit (vn) la suite définie sur ℕ par : vn = un + 2n ─ 1. Montrer que (vn) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme. 3°) En déduire l’expression du terme général de (vn) et (un) en fonction de n. 61 n n k 0 k 0 4°) Calculer en fonction de n : S n vk puis S n uk . EXERCICE 1 Soit (un) une suite géométrique telle que : 243u7 = 32u2 (u2 ≠ 0) . 1°) Calculer sa raison q. 2°) Sachant de plus que S n u0 u1 ....... un tend vers 311 lorsque n tend vers l’infini, calculer u0. 3°) On se propose maintenant de calculer, en fonction de n, le produit : Pn u0 .u1.......un1un . a) n et p étant deux entiers naturels quelconques tels que p ≤ n, montrer que up.un ─ p ne dépend que de n. b) Calculer Pn2 en fonction de n, en utilisant la propriété établie à la question précédente et la valeur de u0 calculée au 2°. EXERCICE 1 u0 2 On considère la suite (un) définie par : 5n 7 3 u 2 u ;n n n 1 (n 1)(n 2) 1°) Calculer u1,u2 et u3 . 1 2°) Soit (wn) : wn = un + . n+1 Montrer que (wn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison ; 8 vérifier que l’on a w3 = . 27 3°) Exprimer wn en fonction de n, puis un en fonction de n. n 1 2 4°) Démontrer que pour tout n de ℕ : | un | < + . n+1 3 En déduire que un est convergente et déterminer sa limite. EXERCICE 1 Une personne loue une maison à partir du 1er janvier 2006. Elle a le choix entre deux formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer initial est de 120 000F et le locataire s’engage à occuper la maison pendant neuf années complètes. 1. Contrat no1 Le locataire accepte une augmentation annuelle de 5% du loyer de l’année précédente. a) Calculer le loyer u1 payé lors de la deuxième année. b) Exprimer un (loyer payé lors de la (n + 1)ième année en fonction de n. Calculer u8. c) Calculer la somme payée à l’issue des neuf années de contrat. 2. Contrat no 2 Le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 1500 F du loyer de l’année précédente. a) Calculer le loyer v1 payé lors de la deuxième année. b) Exprimer vn (loyer payé lors de la (n + 1)ième année en fonction de n. Calculer v8. c) Calculer la somme payée à l’issue des neuf années de contrat. Quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire ? EXERCICE 1 62 1°) Le 1er janvier 2000, le prix d’un objet est P0. L’inflation est de 3 % par an à partir de 2000. Calculer le prix P1 de cet objet au bout d’un an, P2 au bout de 2 ans, Pn au bout de n années. 2°) Au bout de combien d’années le prix de l’objet aura-t-il été multiplié par 2 ? Le temps nécessaire dépend-il du prix initial P0 ? 3°) Dans cette question, on suppose que l’inflation est de 3% une année, ─ 3% l’année suivante (il y a désinflation), le cycle se reproduisant par période de 2 ans (3% en 2000, ─ 3% en 2001, 3% en 2002, ─ 3% en 2003, etc.). Quel est le prix de l’objet en fonction de P0 au bout de 2 ans ? au bout de 4 ans ? au bout de 2n années ? 4°) Que se passe-t-il, si avec les mêmes taux, le cycle commence par une désinflation ? CALCULS DE LIMITES EXERCICE 1 Etudier le comportement de la suite de terme général un quand n tend vers + ∞ . 5n + 1 7n ─ 1 5n² + 3n + 1 ─ 2n² + n ─ 3 1°) un = 2°) un = 3°) un = 4°) un = 2n + 3 3n ─ 1 n² + n + 1 3n² ─ n + 7 n 2n + 1 5n² + 3 4n + (─ 1) 5°) un = 6°) un = 7°) un = 3n² + 2n + 1 2n + 1 3n + 2 n 2n² + (─ 1) .n + 1 8°) un = 9°) un = 2n + 1 ─ n² + n +1 10°) un = n + 3 ─ n² ─ n +1 n3 + 1 1 11°) un = 2n² + n + 1 ─ 2n² + 5 12°) un = n²─ n + 1 ─ n²+ n + 1 13°) un = 10n ─ 1 10n + 3 ln 4n 19°) un = ln 3n 1 23°) un = n e n 1 16°) un = 25°) un = n² e─ 2n + 1 28°) un = n+1 n+1 n ─ n² + 1 ─ 15°) un = n+2 n+2 n² + n + 3 5n + 3n + 1 n² + 5n + 1 17°) un = n 18°) un = ln 5 +2 2n + 1 ln n² en + 1 en 20°) un = 21°) un = 22°) un = (ln n)² n n² + 2n + 3 e² 1 23°) un = n ln 1 24°) un = n ln n n 1 1 ─ cos n 3n + sin n 26°) un = 27°) un = 2n + cos n 1 n sin n 2n + n + 1 3n + n10 29°) un = 30°) un = 2n 4n + 5 2 + n10 n² + n ─ n² + 1 n+1 3n + n² 2n + 5 14°) un = EXERCICE 1 On considère la suite (un) définie sur ℕ par un = n + 5 ─ n + 3 . 1°) Calculer les 5 premiers termes de cette suite. 2 2°) Montrer que pour tout n, on peut écrire : un = . n+5 + n+3 3°) En déduire que l’on peut majorer un par une suite (vn) de la forme vn = k . n 4°) Déterminer la limite de (un) quand n tend vers + ∞. 63 EXERCICE 1 Soit la suite (un) définie sur par : un = an² ─ 4n ─ 1. 1°) Déterminer a pour que (un) soit strictement croissante sur ℕ. 2°) Déterminer a pour que (un) soit strictement croissante à partir de n0 = 2. 3°) Déterminer a pour que (un) soit strictement décroissante sur ℕ. 4°) Etablir dans chacun des cas le comportement de (un) lorsque n tend vers + ∞. EXERCICE 1 1 Soit la suite (un) définie sur ℕ* par : un = n cos . n 1°) Calculer u0, u1, u2, u3, u4. 2°) Soit n un entier multiple de 8. Simplifier l’écriture de un, puis calculer un+1, un+2, un+3, un+4, un+5, un+6, un+7, un+8. (un) est-elle monotone ? 3°) Montrer que (un) tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞. EXERCICE 1 1 Soit la suite (un) définie sur ℕ par : un = n cos . n SOMME DES TERMES D’UNE SUITE EXERCICE 1 Soit la suite (un) définie sur ℕ* par un = 1 . n(n + 1) 1°) Calculer lim un . n+ ∞ a b + n n+1 3°) En déduire une expression simple de Sn = u1 + u2 + …..+ un. (On pourra commence par calculer les sommes S2 = u1 + u2 , S3 = u1 + u2 + u3 et S4 = u1 + u2 + u3 + u4). 4°) Calculer lim Sn. 2°) Déterminer deux nombres réels a et b tels que : un = n+ ∞ EXERCICE 1 n Soit la suite (un) définie sur ℕ* par : un = ln . n + 1 1°) Calculer lim un . n+ ∞ 2°) Démontrer que la suite (un) est strictement croissante 3°) Soit Sn = u1 + u2 + …..+ un. Démontrer que Sn = ─ ln(n + 1). 4°) En déduire lim Sn. n+ ∞ UTILISATION DE SUITES AUXILLIAIRES EXERCICE 1 64 Soit la suite (un) définie sur ℕ par : u0 = 2 et un+1 = 3un + 2. On considère la suite (sn) définie sur ℕ par : sn = un + 1 . 1°) Démontrer que (sn) es tune suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 2°) Exprimer sn, puis un en fonction de n. 3°) Calculer lim un. n+ ∞ EXERCICE 1 Une suite (Un) est définie par son premier terme U1 = 2 Un et par la relation : Un+1 = 7 3 ─ Un (on admettra que quel que soit n ∈ ℕ*, Un ≠ 0 et Un ≠ 3à. 1°) Calculer U2 et U3. 1 2°) Soit (Vn) la suite définie par : Vn = . Calculer V1. Un Montrer que pour tout n ∈ ℕ*, Vn + 1 = 3 Vn ─ 1. 1 3°) Soit (Wn ) la suite définie par : Wn = Vn ─ . 2 Déterminer Wn + 1 en fonction de Wn e t calculer le premier terme W1 . Quelle est la nature de la suite (Wn ) ? Calculer le terme Wn en fonction de n. 4°) En déduire l’expression générale de Un en fonction de n. EXERCICE 1 Soit la suite (un) définie sur R* par : un+1 = a un + b. 1°) Soit a = 1 et b = 0. a) Quelle est dans ce cas la nature de la suite (un)? b) Exprimer alors un en fonction de n et calculer lim un. n+ ∞ 2°) Soit a ≠ 1 et b = 0. a) Quelle est dans ce cas la nature de la suite (un)? b) Exprimer alors un en fonction de n. 3°) Soit a ≠ 1 et b ≠ 0. a) Si on pose vn = un + α, démontrer qu’il existe une valeur de α pour laquelle la suite (vn) est géométrique de raison a. b) En déduire l’expression de vn puis de un en fonction de n. c) Déterminer la limite de (vn ) puis celle de (un) dans le cas où | a | < a. 4°) Appliquer la méthode de la question 3° au calcul de la limite des suites (un) définies sur ℕ ci-après. 65 CALCUL D’INTEGRALE PAR LA RECHERCHE D’UNE PRIMITIVE EXERCICE 1 Calculer les intégrales suivantes : 3 2 3 2x 1 2 J du ; I dx ; K ( x 1)( x ² 2 x 7)dx ; 1 x² x 1 2 1 u 3 dt 3 L ; M 2 cos ² x sin x dx ; M xe² dx ; 1 t 1 0 3 EXERCICE 1 Calculer les intégrales suivantes : 66 1°) 5 0 ( x 4 x ²)dx 2°) 2 1 (2 x ² 5 x 1)dx 3°) 4 0 5 2 2 5°) K ( x 5) 4 dx 6°) K x ² dx 7°) 1 1 x² 2 2x 1 dx 9°) 8°) 1 ( x ² x 1)² (2 x 5 2 x 3 1)dx 1 1 4°) J 2 2 x² 1 ( x 1)² dx 0 5 dx x 1 ; 2 K ( x 1)( x ² 2 x 7)dx ; 1 67 (LCOFT 2005) EXERCICE 1 (6 points) x est un réel élément de ] ─ π , π [. 2a 1 ─ cos x x et = a², où a = tan (1 point) 1 + a² 1 + cos x 2 2°) Etudier le signe du polynôme P (a) = a4 + a2 ─ 2a suivant les valeurs du réel a. (1 point) 3°) En utilisant les questions 1 et 2, résoudre dans ] ─ π , π [ l’inéquation : sin x cos x + sin x + cos x ─ 1 < 0. (2 points) 1 ─ cos x (INDICATION: on remarquera qu’elle est équivalente à sin x = ). 1 + cos x 4°) Résoudre dans ] ─ π , π [ : cos x + sin x > 1. (INDICATION: on pourra, après élévations au carré, utiliser la question 3°). (2 points) 1°) Vérifier les relations : sin x = EXERCICE 2 (6 points) 1°) Soit f la fonction définie par : f (x) = x² + x + 1 ─ m²x² + x + 2m² , où m est un x paramètre réel. a) Montrer que, quel que soit m ∈ R , lim f (x) = 1 ─ | m |. (1 point) x+ ∞ b) Etudier lim f (x) suivant les valeurs de m. (1 point) x0 (INDICATION: utiliser l’expression conjuguée). 2°) a) Factoriser l’expression : 5 cos² x + sin² x ─ 4 cos x. (1 point) sin x ─ 3 cos x b) Déterminer lim . (1 point) π 5 cos² x + sin² x ─ 4 cos x x 4 3°) a) Factoriser l’expression : sin 2x ─ 2 + 2sin x ─ 2 cos x. (1 point) 2sin²x + sin x ─ 3 b) Déterminer lim (1 point). π sin 2x ─ 2 + 2sin x ─ 2 cos x x 2 EXERCICE 3 (4 points) → → Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O, u , v ). Soit B le point d’affixe (─ i ) . A tout point M d’affixe z, on associe le point M ' d’affixe z ' z² telle que z ' = . z+i 68 1°) Déterminer et représenter l’ensemble E des points M tels que M ' soit sur l’axe des → imaginaires purs ( O, v ). (2 points) 2°) a) Résoudre dans ℂ l’équation : z² + 2iaz ─ 2a = 0, où a est un réel donné. (1 point) b) Montrer que les points images des solutions de l’équation appartiennent à E . Ce résultat était-il prévisible ? (1 point) EXERCICE 1 (4 points) Soit A et B deux réels. 1°) Factiriser A² + B² sous forme du produit de deux nombres complexes . (1 point) (INDICATION : on pourra utiliser la relation | z |² = z). 2°) Utiliser la factorisation précédente pour factoriser P (x) = (x² ─ 4x + 4)² + (x + 1)² . (1 point) 3°) Résoudre dans ℂ l’équation : P (x) = 0. (2 points) DUREE : 2h 69 Ce devoir consiste en un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, il y a plusieurs réponses proposées dont une seule est exacte. L’élève devra cocher au crayon la réponse qui lui semble correcte. Toute réponse correcte rapporte 1 point. Toute réponse erronée ou multiple sera sanctionnée par le retrait d’un quart de point (0,25 pt). Une absence de réponse ne rapporte pas de point et n’est pas pénalisée. 1. Soit f la fonction définie par : f (x) = sin²x cos 2x. a) f 3 3 3 d) f 2 3 3 3 b) f 8 3 3 3 3 e) f 2 3 4 3 c) f 3 2 1 ax si x 0;1 12 2. Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x) x ² 3 x 4 si x 1; x 3 4 x ² x 6 a) Si a = 1 , f est continue sur [0 ; + ∞ [ 3 c) Si a = ─ b) Si a = 1 , f est continue sur [0 ; + ∞ [ 12 5 , f est continue sur [0 ; + ∞ [ 12 d) a ∈ R, f est continue sur [0 ; + ∞ [ e) a ∈ R, f n’est pas continue en 1. 3. Soit f la fonction définie par : f (x) = a) lim f (x) = ─ ∞ π x 4 b) lim f (x) = 0 π x 4 e) f n’admet pas de limite en tan x ─ 1 π x─ 4 c) lim f (x) = 2 π x 4 d) lim f (x) = + ∞ π x 4 π . 4 π π 4. Soit l’équation sin ─ x = sin ─ x . 2 3 a) L’équation n’admet pas de solution. 70 b) L’ensemble des solutions est : S = { ─ π + 2kπ, k ∈ ℤ }. 12 c) L’ensemble des solutions est : S = { ─ π + kπ, k ∈ ℤ }. 12 d) L’ensemble des solutions est : S = { ─ π 11π ; }. 12 12 e) L’ensemble des solutions est : S = { x ∈ R , π π = + 2kπ, k ∈ ℤ }. 2 3 5. L’équation 2 sin²x ─ cos x ─ 1 = 0 admet dans [─ π ; π] : a) 1 solution b) 2 solutions c) 3 solutions d) 4 solutions e) une infinité de solutions. 6. Dans une urne, on a deux boules blanches, trois boules noires, quatre boules vertes et quatre boules rouges. On tire au hasard deux boules simultanément. Quelle est la probabilité d’avoir deux boules de même couleur ? a) 1 2 b) 16 4! c) 1 4 d) 8 39 e) 4 × 2! 4! 7. On considère la courbeC représentative de la fonction f définie par : f (x) = 1 a) A ; est centre de symétrie. 4 2 sin x sin x + cos x b) A ;1 est centre de symétrie. 2 c) La droite d’équation x = π est un axe de symétrie. 4 d) La droite d’équation x = π est un axe de symétrie. 2 e) La courbe n’admet aucune symétrie. 8. Soit f la fonction définie par : f (x) = a) lim f (x) = ─ ∞ b) lim x+ ∞ c) lim x+ ∞ x² ─ 3x + 4 ─ x² + 3x ─ 4 f (x) = ─ 6 x+ ∞ f (x) = ─ 3 d) lim f (x) = 0 x+ ∞ e) lim f (x) = + ∞ x+ ∞ 71 9. A partir des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6 combien peut-on former de nombres de trois chiffres (chaque chiffre pouvant être utilisé plusieurs fois), dont deux chiffres au moins sont identiques ? a) 20 b) 96 c) 120 d) 210 e) 216 | x² ─ 1 | pour x ∈ R ∖ {0}. x x 10. On considère la fonction f définie par : f (x) = 2 ─ a) f est dérivable au point x = 1. b) La courbe représentative de f possède un axe de symétrie. c) La droite d’équation y = x est asymptote à la courbe représentative de f. 2 d) L’équation f (x) = 0 possède 4 solutions. 11. Soit f la fonction définie par : tan (1 + x²) a) f '(x) = 2x(1 + tan²x) b) f '(x) = x [1 + tan²(1 + x²)] c) f '(x) = 2x cos²(x² + 1) 12. cos4x est égal à : a) cos 4x + 4cos 2x + 3 8 d) sin 4x + 4sin 2x + 3 16 b) cos 4x ─ 4cos 2x + 6 16 13. Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = c) sin 4x + 4cos 2x + 6 8 x + sin (πx) . 2 a) La fonction f est périodique, de période 2. b) La fonction f est impaire. c) Pour tout x réel : f(x + 2) = f (x) + 2 d) f '(x) = 1 + cos (πx) . 2 14. Dans un lycée, tous les élèves pratiquent au moins un des deux sports proposés : le football et le basket. 145 élèves pratiquent le football, 192 pratiquent le basket et 69 pratiquent les deux sports. 72 Quel est l’effectif de ce lycée ? a) 69 b) 199 c) 268 d) 337 e) 406 15. Une salle de classe contient 40 chaises. De combien de façons différentes peut-on y installer 40 élèves ? a) 240 b) 402 c) 40 ! 40 d) C40 e) 4040 DUREE : 4h 73 EXERCICE 1 On considère la fonction f définie par : f (x) = (x ─ 1)² ─ 4 (x + 1)² 1°) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 1. 2°) Montrer que la courbe représentative de f , C f , a trois droites asymptotes que l’on précisera. 3°) Etudier les variations de f. 4°) Construire la courbe représentative C f dans un repère orthonormé. 5°) a) Montrer que la restriction de f à ] ─ 1 ; + ∞ [ , désignée par g, est une bijection de I sur un intervalle J que l’on précisera. b) Donner l’ensemble de dérivabilité de g. 5 c) Calculer g (on observera que 2 est une racine du polynôme 9a3 + 4a² ─ 19 a ─ 50) . 9 5 En déduire g ' . 9 EXERCICE 2 1°) Montrer que la fonction f définie sur [ ─ 1 ; 1] par : f (x) = x3 ─ 3x + 1 est une bijection de [ ─ 1 ; 1] sur un intervalle de R que l’on précisera. En déduire que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α dans ] ─ 1 ; 1 [. 2°) a) Etablir l’identité : sin 3a = 4 sin3 a ─ 3 sin a , pour tout réel a. b) Calculer f(sin 2a) (on l’exprimera en fonction de sin 3a). c) Résoudre dans R l’équation : 1 ─ 2 sin 3a = 0. 3°) En utilisant la question 2°, donner la valeur exacte de α (solution de f (x) = 0 dans ] ─ 1 ; 1 [. 4°) Prouver que la fonction f a une réciproque f─ 1 dérivable en 0. Sans calculer la dérivée de f─ 1, donner la valeur exacte de f─ 1 ' (0). EXERCICE 3 → → Le plan P est rapporté à un repère orthonormé ( O, u , v ). A tout point M de P , on associe son affixe z (nombre complexe). On considère l’application F qui au point M d’affixe z associe le point M ' d’affixe z ' telle que: z ' = z² ─ z. 1°) Quels sont les points M de P invariants par F ? 2°) Quels sont les points A antécédents du point A ' d’affixe 2 ? 3°) Quels sont les points B antécédents du point B ' d’affixe ─ 1 + 4i ? 4°) F est-elle injective ? est-elle surjective ? 5°) a) Que peut-on dire de la disposition des deux point M1 et M2 ayant la même image ? b) Quels sont les points de P qui n’ont qu’un seul antécédent ? 6°) Déterminer l’ensemble des points M tels que le triangle O, M, M ' soit : a) isocèle ? b) équilatéral ? c) rectangle en O ? DUREE : 3h 74 (LCG 2006) EXERCICE 1 (5 points) Un sac contient cinq jetons portant le chiffre 5, trois jetons portant le chiffre 1 et deux jetons portant le chiffre 2. On tire successivement et sans remise quatre jetons. S est la somme des nombres indiqués sur les quatre jetons tirés. Déterminer le nombre de tirages tels que : a) S = 20 ; b) S = 10 ; c) S = 5 ; d) 5 < S < 20 e) on ait au moins un jeton marqué 5. EXERCICE 1 (7 points) π 1°) Soit la fonction g définie sur [0 ; 2 ] par : g (x) = cos x ― x sin x . a) Etudier les variations de g. b) Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution xo, et que : 0,86 < xo < 0,87 . c) En déduire le signe de g. 1 π 2°) Soit la fonction f définie sur [0 ; 2 ] par : f (x) = x cos x ― . 2 On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormé. a) Etudier les variations de f. (Utiliser les résultats du 1° ) b) Construire (C ) ( unité : 10 cm) . EXERCICE 1 (8 points) 1°) Etudier les variations de l’application f de R dans R telle que : f (x) = x ― 1 + x² . Tracer la courbe représentative de f dans le plan P muni d’un repère orthonormé. 2°) Montrer que f admet une application réciproque f―1 . Tracer la courbe représentative de f―1 dans le plan P . Calculer x + 1 + x² en fonction de f (x). En déduire l’expression de f―1 (x) . DUREE : 2h 75 (LCG 2006) EXERCICE 1 Soit f (x) = (x + 1)n . 1°) a) En utilisant la formule du binôme, développer f (x) . 0 1 2 n b) En déduire que : C n C n C n ......... C n 2n . 1 2 n 2°) a) En utilisant f ' (x) , montrer que : 1C n 2C n ........ nC n n2n 1 . 2 3 n b) En utilisant f '' (x) , montrer que : 1 2C n 2 3C n ........ (n 1)nC n n(n 1)2n 2 . EXERCICE 1 Une urne contient 3 boules noires , 4 boules rouges et 5 boules vertes. On tire successivement sans remise 3 boules de l’urne. Calculer le nombre de tirages : 1°) possibles 2°) tricolores 3°) unicolores 4°) multicolores 5°) contenant au moins une verte. EXERCICE 1 x²(x ― 4) . x―1 1°) Déterminer son domaine de définition Df . 2°) a) Etudier la dérivabilité de f sur Df . b) Déterminer sa fonction dérivée. c) Déterminer le tableau de variation de f. 3°) Montrer que C f , courbe représentative de f , admet deux demi-tangentes T1 et T2 dont on donnera les équations. 4°) a) Déterminer les asymptotes obliques de f, D 1 en ― ∞ et D 2 en + ∞ . b) Etudier la position de C f par rapport à D 1 et D 2 . 5°) Tracer C f . Soit la fonction f définie par : f (x) = EXERCICE 1 Soit la fonction f définie par : f (x) = sin x + cos x sin x ― cos x 1°) Déterminer Df . 2°) Montrer que π est une période de f , puis que A ; 0 est centre de symétrie de C f . 4 3°) Montrer que ∀ x ∈ Df , f (x) = ― tan x 4 4°) Etudier la dérivabilité de f et déterminer f ' (x) . 3 5°) Etudier les variations de f sur ; . 4 4 DUREE : 2h 76 EXERCICE 1 cos x 3 Soit h l’application de ; dans R définie par : h (x) = 1 + sin x 2 2 1°) Calculer lim h( x ) et lim h( x ) (on pourra faire un changement de variable) et x 2 x 3 2 interpréter géométriquement ces deux limites. 2°) Etudier les variations de h. 3°) Montrer que C h admet un point d’inflexion A dont on donnera les coordonnées. Donner une équation de la tangente en A à C h . 4°) Montrer que h admet une fonction réciproque dont on précisera l’ensemble de définition et l’ensemble d’arrivée ainsi que les propriétés (continuité, variation, dérivabilité) . N.B. On ne cherchera pas à expliciter h―1(x). 5°) Calculer h―1( 3 ) et h―1 ' ( 3 ) . EXERCICE 2 1 ― 1 ― x4 Soit f : x ↦ . x 1°) Déterminer Df . 2°) a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f . f (x) ― f (1) b) Calculer lim ― . Interpréter géométriquement le résultat obtenu. x―1 x→1 3°) a) Montrer qu’il existe une fonction g définie et continue sur [―1 ; 1] , et telle que : ∀ x ∈ [― 1 ; 0 [ ∪ ]0 ; 1] : g (x) = f (x) b) g est-elle dérivable en 0 ? EXERCICE 3 Le morse utilise deux signaux : le point ∙ et le trait ― . On forme avec ces deux signaux des séquences de longueurs différentes. Par exemple, ∙ ∙ ― ― ∙ est une séquence de longueur 5. 1°) a) Déterminer le nombre de séquences de longueur n que l’on peut former, avec n entier strictement positif. b) Déterminer la plus petite valeur de n permettant de coder les 26 lettres de l’alphabet et les 10 chiffres avec des séquences toutes de longueur n . 2°) a) Déterminer le nombre de séquences de longueur au plus n (n ∈ ℕ) . b) Déterminer la plus petite valeur de n permettant de coder les 26 lettres de l’alphabet et les 10 chiffres avec des séquences de longueur au plus n . EXERCICE 1 On désigne par A, B et C respectivement, l’ensemble des lecteurs de trois hebdomadaires À , B et C . Une enquête a permis d’estimer le nombre de lecteurs de ces trois hebdomadaires. Les résultats sont désignés dans le tableau ci- dessous : 77 ensemble Nombre d’éléments (en milliers) A 2180 B 2050 C 1460 A∩B 930 A∩C 430 B∩C 330 A∩B∩C 110 1°) a) Combien de personnes lisent au moins un des trois hebdomadaires ? b) Combien de personnes lisent exactement deux de ces hebdomadaires ? c) Décrire en langage ensembliste à l’aide des symboles ∩ , ∪ , et des ensembles A, B, C, A , B et C , l’ensemble des lecteurs des hebdomadaires B ou C , non lecteurs de l’hebdomadaire À . Calculer ensuite le cardinal de cet ensemble. 2°) Une campagne publicitaire pour cet article est lancée dans l’hebdomadaire À . L’annonceur désire la compléter par une diffusion dans un deuxième hebdomadaire. Lequel doit-il choisir pour bénéficier du maximum de lecteurs supplémentaires ? 3°) Les coûts d’une campagne publicitaire pour un annonceur dans les journaux À , B et C sont respectivement : 4 500 000 F, 4 000 000 F et 3 200 000 F. On sait d’autre part que 10% des lecteurs d’un hebdomadaire contenant une publicité pour cet article l’achètent . Ce fabricant réalise un bénéfice de 80F par article vendu. Il décide d’engager une campagne publicitaire dans deux de ces hebdomadaires, dont À . Quel second hebdomadaire doit-il choisir pour espérer réaliser le profit maximal ? DUREE : 4h 78 (SANKORE 2005) EXERCICE 1 On donne la fonction f définie sur R par : f (x) = 15 cos x + 6 cos 2x + cos 3x. 1°) Calculer la dérivée de f. 2°) Vérifier que : sin 3x = sin x (4 cos² x ― 1) . Utiliser cette relation pour établir que : f ' (x) = ― 12 sin x (1 + cos x)² . 3°) en déduire que : f (x) = 4(1 + cos x)² + k , k étant un réel que l’on déterminera. EXERCICE 2 π Soit f la fonction définie sur [0 ; 2 ] par f (x) = 1 . cos x π 1°) Démontrer que f réalise une bijection de [0 ; 2 ] sur un intervalle I que l’on déterminera. 2°) Déterminer l’ensemble J sur lequel f―1 est dérivable et montrer que : 1 ∀ x ∈ J , (f―1 ) ' (x) = . x x² ― 1 EXERCICE 3 Soit g : x ↦ x + 1 + x² + 4x . 1°) Déterminer Dg , les limites aux bornes de Dg et les asymptotes de la courbe (C g ) . Préciser la position de (C g ) par rapport à chacune de ces asymptotes. 2°) Etudier la dérivabilité de g en 0 et ― 4 . Interpréter graphiquement ces résutats. 3°) Etudier les variations de g . 4°) a) Soit h la restriction de g à [0 ; + ∞ [ . Montrer que h admet une bijection h―1 dont on précisera l’ensemble de définition et les variations. b) Etudier la dérivabilité de h―1 sur J \ {1} . c) Démontrer que l’équation h (x) = 5 admet une solution unique. d) Déterminer h―1 (y) pour y ∈ J. DUREE : 2h 79 (LCOFT 2001) EXERCICE 1 Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = | x2 + x | + 1 et C sa courbe représentative dans |x|+1 le plan muni d’un repère orthogonal. 1°) Suivant les valeurs de x, exprimer f (x) sans le symbole de « valeur absolue ». 2°) Etudier la dérivabilité de f en 0 et ─ 1. Quelles sont les conséquences graphiques de cette étude ? 3°) Etudier la fonction f (limites, variations). 4°) Montrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe C droite D ' d’équation y = ─ x ─ 2 est asymptote à la courbe C en ─ ∞. en + ∞ et que la Préciser la position de la courbe C par rapport à D et D ' . 5°) Tracer les droites D et D ', ainsi que les demi-tangentes aux points d’abscisse ─ 1 et 0 et la courbe C . EXERCICE 2 1°) Déterminer l’ensemble des primitives, sur un intervalle I que l’on précisera, de chacune des fonctions: cos 2x 3x 1 a) f : x ↦ 3 b) f : x ↦ c) f : x ↦ sin 2x (3x + 2)² 1 ─ x² 2°) a) Démontrer que la fonction f : x ↦ cos x est une bijection de [0 ; π] sur un intervalle J que l’on précisera. b) Soit f─ 1 la bijection réciproque de f. ( f─ 1 : J → [0 ; π]) . Déterminer une équation de la tangente à Γ , courbe représentative de f─ 1, au point d’abscisse 2 x0 = ─ . 2 EXERCICE 1 Un sac contient neuf jetons numérotés respectivement de 1 à 9. On suppose que tous les jetons ont la même probabilité d’être tirés. 1°) On tire successivement, sans remise, trois jetons du sac. On forme ainsi un nombre de trois chiffres. Le premier jeton tiré donne le chiffre des unités, le second le chiffre des dizaines et le troisième donne le chiffre des centaines. Calculer la probabilité pour que : a) le chiffre des unités du nombre obtenu soit 9. b) le chiffre 9 figure dans le nombre obtenu. c) la somme des chiffres du nombre obtenu soit 9. 80 2°) On tire cette fois, successivement trois jetons du sac, mais en remettant à chaque fois dans le sac le jeton tiré. Calculer la probabilité pour que le chiffre 9 figure exactement une fois dans le nombre obtenu. EXERCICE 1 Une urne contient 12 boules noires et 2 boules blanches . 1°) On tire simultanément boules . On suppose l’hypothèse d’équiprobabilité . Quelle est la probabilité d’avoir deux boules blanches ? d’avoir au moins une boule blanche ? 2°) Combien de boules faut-il tirer, au minimum, pour que la probabilité d’avoir au moins une 5 boules blanche soit supérieure à ? 6 DUREE : 3h 81 (LCG 2006) EXERCICE 1 Calculer les limites suivantes : 1 a) lim x ln 1 x 0 x ex 1 b) lim x 0 x c) lim 7 x x 99 x→+∞ EXERCICE 2 Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = e― x ln (1 + ex) . a) Calculer lim f (x) . x→―∞ b) Démontrer que f (x) = x e― x + e― x ln (1 + e― x) ∀ x ∈ R , et en déduire lim f (x) . x→+∞ c) Déterminer les équations des asymptotes D et D ' à la courbe C f . EXERCICE 3 2 3 1 3 Soit f la fonction définie par : f (x) = x x . a) Déterminer son domaine de définition Df et les limites aux bornes de Df . b) Déterminer f ' (x) et en déduire les variations de f sur Df . EXERCICE 4 Pour un examen, 10 enseignants ont préparé chacun 2 sujets. On dispose donc de 20 sujets que l’on place dans des enveloppes identiques. 2 candidats se présentent : chacun choisit au hasard 2 sujets ; de plus, on suppose que les sujets choisis par le premier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxième. On note A1 l’événement : « les deux sujets obtenus par le premier candidat proviennent du même examinateur » et A2 l’événement : « les deux sujets obtenus par le deuxième candidat proviennent du même examinateur » . On note A l’événement contraire de A. 1 1°) Montrer que la probabilité de l’événement A1 est égale à . 19 2°) a) Calculer directement la probabilité conditionnelle p (A2 /A1) . b) Montrer que la probabilité que les deux candidats obtiennent chacun deux sujets 1 provenant d’un même examinateur est égale à . 323 3°) a) Calculer p (A2 / A1 ) . b) En remarquant que A2 = (A2 ∩ A1) ∪ (A2 ∩ A1 ), calculer p (A2) , puis en déduire 33 que p (A2 ∪ A1) = . 323 82 EXERCICE 5 Un sac contient 4 jetons rouges numérotés 1, 2, 3, 4 et 4 jetons noirs numérotés 1, 2, 3, 4. Un joueur tire au hasard et simultanément deux jeton sdu sac. On convient de la règle suivante : ― S’il tire les deux jetons numérotés 1, il gagne 600 F. ― S’il tire deux jetons de couleurs différentes, il gagne 200 F. ― Dans tous les autres cas, il perd 200 F . Après le premier tirage, le joueur remet les deux jetons tirés dans le sac et procède à un deuxième tirage de deux jetons en convenant de la même règle. Soit X la variable aléatoire qui à deux tirages successifs associe le « gain » du joueur (positif ou négatif) . a) Déterminer la loi de probabilité de X. b) Déterminer son espérance et sa variance. c) En déduire la probabilité pour que le gain du joueur soit au moins égal à 400 F. DUREE : 2h 30 83 (SANKORE 2006) EXERCICE 1 Coumba et Amadou font partie d’une assemblée de 15 hommes et 10 femmes . Cette assemblée doit choisir six de ses membres pour constituer un comité . 1°) Dénombrer les choix possibles pour constituer ce comité . 2°) Dénombrer les comités : a) contenant Coumba; b) contenant Amadou ; c) contenant Coumba et Amadou d) contenant Coumba et Amadou 3°) Si Coumba et Amadou refusent de siéger dans un même comité, déterminer le nombre de choix possibles. EXERCICE 2 → → Le plan est rapporté à in repère orthonormé ( O, i , j ) . Soit la fonction f définie par : f (x) = 1 si x ≤ 1 . x 1 ― (ln x) 2 si x > 1 . x―1+ 1°) a) Démontrer que f est continue en 1 . b) f est-elle dérivable en 1 ? c)Calculer les limites de f aux bornes de Df et préciser les branches infinies de C f . d) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation . e) Démontrer que le point d’abscisse 1 est un point d’inflexion de C f . f) Tracer C f et son asymptote . 2°) Soit h la restriction de f à ] 1 ; + ∞ [ . a) Démontrer que h réalise une bijection de ] 1 ; + ∞ [ vers un intervalle à préciser . b) En déduire que h admet une fonction réciproque dont on précisera le sens de variation . c) Tracer la courbe de h―1 dans le même repère . DUREE : 2h 84 EXERCICE 1 (07 points) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, I, J) d’unité 2 cm. A (1 + i) et B (― 1 + i 3 ) sont deux points du plan. 1°) Les points O, A et B sont-ils alignés ? Justifier la réponse. 2°) Déterminer le rapport et l’angle orienté de la similitude directe S de centre O qui transforme A en B. 3°) Quelle est l’écriture complexe de S ? 1 4°) Déterminer et construire l’image par S de la droite D d’équation : y = x ― 1. 2 5°) Déterminer et construire l’image par S du cercle C de centre O (2i) et de rayon r = 1 . EXERCICE 1 (06 points) 1°) Linéariser A (x) = sin5x cos²x . 2°) Résoudre dans ℂ l’équation : z3 ― 2 z2 + z ― 2 = 0 . 3 2 z 1 z 1 z 1 En déduire les solutions dans ℂ de l’équation : 2 2 0 . z 1 z 1 z 1 EXERCICE 1 (07 points) Soit la fonction f : 0; 2 1 x sin 2 x 1°) Calculer les limites de f aux bornes de 0; . 2 2°) Calculer la fonction dérivée f ' de f. En déduire le tableau de variation de f . 3°) Soit g la restriction de f à ; . Montrer que g est une bijection de ; sur un 4 2 4 2 ensemble J à préciser. 4°) Déterminer le domaine de dérivabilité de la bijection réciproque g―1. 5°) Calculer g―1 ' (2) . DUREE : 2h 85 (LCOFT 2006) EXERCICE 1 (5 points) 1°) Démontrer que l’expression ln (x + x² + 1 ) est définie pour tout réel x. 2°) Soit f la fonction de R vers R définie par f (x) = ln (x + x² + 1 ) . a) Montrer que ∀ x ∈ R , (x + x² + 1 ) ( ― x + x² + 1 ) = 1 . b) En déduire que f est impaire. c) Etudier les variations de f . → → d) Tracer la courbe représentative (C ) de f dans un repère orthonormé ( O, i , j ) (unité : 1cm). Préciser les branches infinies et la tangente au point d’abscisse 0 . 3°) Montrer que f admet une application réciproque f―1. Expliciter f―1et tracer C 1 dans le même repère (utiliser une couleur différente) . f EXERCICE 2 (4 points) Une urne contient douze boules indiscernables au toucher : m boules blanches et n boules noires. 1°) On tire successivement deux boules de l’urne , la boule tirée n’étant pas remise dans l’urne après le premier tirage. Déterminer le couple (m , n ) pour que la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs 16 différentes soit égale à . 33 2°) On prend désormais m = 8 et n = 4. On tire successivement trois boules de l’urne, la boule tirée étant remise dans l’urne après chaque tirage. a) Calculer la probabilité d’obtenir exactement une boule blanche. b) Calculer la probabilité d’obtenir au moins une boule blanche et au moins une boule noire N.B. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles . EXERCICE 3 (11 points) I. On considère la fonction u : [0 ;+ ∞ [ → R x ↦ ln x+1 x―1 ― 2x x ―1 2 1°) Déterminer l’ensemble de définition de u ; Calculer u (0) et lim u (x) . x→+∞ 2°) Etudier les variations de u. Dresser son tableau de variations (il n’est pas nécessaire de calculer la limite de u en 1 ). 86 3°) Déduire des résultats précédents que : a) ∀ x ∈ [0 ;1 [ , u (x) ≥ 0 . b) ∀ x ∈ ] 1 ; ;+ ∞ [ , u (x) < 0 . II. Soit h la fonction définie par : h : [0 ;+ ∞ [ → R x ↦ x ln x+1 x―1 ―1. 1°) Déterminer Dh ; puis étudier la limite de g en 1 . 2°) a) Vérifier que : x+1 2 =1+ x―1 x―1 Montrer que : lim x→+∞ b) En déduire que (x ― 1) 2 ln 1 + =1. 2 x ― 1 lim h (x) = 1. x→+∞ Interpréter géométriquement ce résultat. c) Dresser le tableau de variations de h . d) Montrer qu’il existe un réel α unique appartenant à ] 0 ;1 [ tel que g (α) = 0. Donner un encadrement d’ordre 1 de α . 3°) Tracer la courbe C h de h dans le plan rapporté à un repère orthonormé (unité : 2 cm) . DUREE : 4 h 87 (LCG 2006) EXERCICE 1 (7 points) Une enquête a montré que : ― Avant de passer l’épreuve du bac, 75 % des candidats ont travaillé très sérieusement. ― lorsqu’un candidat a travaillé très sérieusement, il réussit au bac dans 80 % des cas ; ― lorsqu’un candidat n’a pas beaucoup travaillé, il échoue au bac dans 70% des cas . Après la proclamation des résultats, on interroge au hasard un candidat. On note T l’événement : « le candidat a travaillé très sérieusement » ; R l’événement : « le candidat a réussi au bac » . Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies éventuellement au millième. 1°) Traduire les données à l’aide d’un arbre pondéré. 2°) a) Calculer la probabilité de l’événement : «le candidat a travaillé très sérieusement et il a réussi au bac » b) Montrer que la probabilité p (R) qu’un candidat réussisse au bac est égale à 0,675 . 3°) Le candidat interrogé vient d’échouer. Quelle est la probabilité qu’il ait travaillé très sérieusement ? 4°) Toujours après la proclamation des résultats, on interroge au hasard et de façon indépendante 3 candidats (on notera que cette expérience peut être assimilée à un tirage successif avec remise). Calculer la probabilité p3 d’interroger au moins une personne ayant échoué à l’épreuve. 5°) On interroge désormais au hasard et de façon indépendante n candidats. Quelle est la probabilité pn d’interroger au moins une personne ayant échoué à l’épreuve ? EXERCICE 2 (7 points) On définit deux suites (Un) et (Vn) par : U0 = 1 , V0 = 5 et pour tout n ∈ ℕ, 7Un ― Vn 15Un ― Vn Un + 1 = + 1 et Vn + 1 = +3. 4 4 1°) Calculer U1, U2, V1 et V2 . 2°) Soit la suite (Wn) telle que pour tout n ∈ ℕ, Wn = 5Un ― Vn . Montrer que la suite (Wn) est arithmétique et exprimer Wn en fonction de n . 3°) Soit la suite (Tn) telle que pour tout n ∈ ℕ, Tn = Vn ― 3Un . Montrer que la suite (Tn) est arithmétique et exprimer Tn en fonction de n . 4°) Déduire des questions précédentes les expressions de Un et Vn en fonction de n puis étudier leur convergence. n n 5°) Calculer Sn = U p et S 'n = V p . p 0 p 0 EXERCICE 3 (6 points) x² f ( x ) exp Soit la fonction f définie par : x ² 1 si x ∈ R \ {― 1} f (1) f (1) 0 Etudier f et tracer sa courbe représentative C f . DUREE : 2h30 88 (SANKORE 2004) EXERCICE 1 Les élèves de Sankoré (∗) décident de choisir au hasard un président du foyer, son adjoint et un trésorier. Parmi les candidats, se trouvent 7 filles, dont 4 en terminale, et 8 garçons, dont 5 en terminale. Calculer la probabilité des événements suivants : A : « les trois personnes choisies sont des filles » B : « les trois personnes choisies sont en terminale» C : « le président est un garçon » D : « le président et le trésorier sont de sexes différents » E : « parmi les trois, se trouvent une seule fille et un seul élève de terminale » . EXERCICE 2 On considère le nombre complexe Z défini par : Z = z―2+i et le point A d’affixe z + 1 +2i zA = ― 1 ― 2i . 1°) Trouver l’ensemble des points M d’affixe z tels que : a) Z soit un réel b) Z soit un réel positif c) Z soit un imaginaire pur d) Représenter ces trois ensembles dans un même repère. 2°) Trouver l’ensemble des points M d’affixe z tels que : a) | Z | = 1 b) | Z | = 4 3°) Calculer | 1 + cos θ + i sin θ | . Discuter suivant les valeurs de θ ∈ [0 ; 2π [ . PROBLEME 1 A. On considère la fonction g définie par : g (x) = 1 ― x + ln x . 1°) Etudier les variations de g puis dresser son tableau de variation . 2°) Calculer g (1) et en déduire le signe de g (x) suivant les valeurs de x . B. On considère la fonction f définie par : f (x) = ex ― 1 ― 1 si x < 1 f (x) = (x ― 1) ln x si x ≥ 1 1°) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 1. 2°) a) Calculer la dérivée de f pour x < 1, puis en déduire le signe de f ' (x) sur ] ― ∞ ; 1 [. b) Montrer que sur ] 1 ; + ∞ [ , f ' (x) = g (x) puis déduire de a question (2-A) le signe de f ' (x) sur ] 1 ; + ∞ [ . c) Calculer lim f , lim f puis dresser le tableau de variation de f . x→―∞ x→+∞ 3°) a) Montrer que C f admet une asymptote horizontale. f (x) b) Calculer lim . Qu’en déduire? x x→+∞ 89 c) Démontrer que f réalise une bijection de R vers un ensemble à déterminer. 4°) Représenter C f et C f 1 dans un même repère. 5°) a) Calculer f―1 (0) . Montrer que f―1 est dérivable en 0 , calculer f―1 ' (0) et donner une équation de la tangente à C f 1 au point d’abscisse 0 . (∗) Etablissement privé de la ville de Saint-Louis DUREE : 3h 90 (LCOFT 2005) EXERCICE Une entreprise en matériel informatique fabrique des disquettes de 3,5 pouces. 4% des disquettes fabriquées sont défectueuses. A l’issue de cette fabrication, les disquettes sont contrôlées et triées en trois lots : ─ disquettes marquées, celles-ci portent la marque de l’entreprise ; ─ disquettes démarquées ; ─ disquettes à détruire. 1°) L’unité de contrôle rejette 3% des bonnes disquettes et 95% des disquettes défectueuses. a) Quelle est la probabilité p1 pour qu’une disquette soit défectueuse et acceptée? b) Quelle est la probabilité p2 pour qu’une disquette soit bonne et refusée ? c) Quelle est la probabilité p3 pour qu’ il y ait erreur de contrôle? d) Montrer que la probabilité p4 pour qu’une disquette soit acceptée est égale à 0,9332. 2°) Le contrôle s’effectue par cinq tests successifs. Une disquette reçoit la marque de l’entreprise si elle subit avec succès cinq contrôles successifs, détruite si elle est refusée au moins deux fois, démarquée sinon. a) Quelle est la probabilité p5 pour qu’une disquette soit démarquée? b) Quelle est la probabilité p6 pour qu’une disquette reçoive la marque de l’entreprise ? c) Quelle est la probabilité p7 pour qu’une disquette soit détruite? (Dans la question 2°, les résultats seront donnés à 10― 4 près). PROBLEME A. On considère la fonction g définie par : g (x) = ln 1 + 1 1 ─ . x x+1 1°) Etudier la dérivabilité de g et en déduire les variations de g. 2°) Soit g1 la restriction de g à l’intervalle I = ] ─ 1 ; 0 [. Démontrer que g1 est une bijection de I sur un intervalle J à préciser. En déduire que l’équation g (x) = 0 admet une solution unique a. (On ne cherchera pas à 1 calculer a). Montrer que a > ─ . 2 3°) Calculer les limites de g aux bornes de son ensemble de dséfinition. 4°) Des résultats précédents, déduire le signe de g (x) sur son ensemble de définition. 1 B. On considère la fonction f définie par : f (x) = x ln 1 + x . 1°) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en énonçant les théorèmes utilisés, puis vérifier que f '(x) = g (x) pour tout x ∈ R ∖ { ─ 1 ; 0}. 2°) Etudier soigneusement les limites de f aux bornes de son ensemble de définition, puis a dresser le tableau de variation de f. Montrer que f (a) = . 1+a 3°) Montrer que f admet un prolongement par continuité en 0. Soit F ce prolongement. Etudier la dérivabilité de F en 0. 91 → → 4°) Construire la courbe représentative C de F dans un repère orthonormal ( O, i , j ) du plan. C. 1°) On considère la suite (Un) n ∈ ℕ*définie par Un = e f ( n ) ; Démontrer qu’elle est convergente de limite e. n n xf x 2°) Vérifier que, pour tout x strictement positif, et pour tout entier n, on a : 1 e x n n .3°) Démontrer que pour tout x ≥ 0, x lim 1 e x . n+ ∞ n DUREE : 4h 92 EXERCICE 1 (5 points) On teste un médicament parmi un ensemble d’individus ayant un taux de glycémie anormalement élevé. Pour cela 60% des individus prennent le médicament, les autres recevant un placebo1,et l’on étudie à l’aide d’un test la baisse du taux de glycémie. Chez les individus ayant pris le médicament, on constate une baisse de ce taux avec une probabilité de 0,8 ; on ne constate aucune baisse de taux pour 90% des personnes ayant le placebo. On appelle : M l’événement « avoir pris le médicament », M l’événement contraire. B l’événement « avoir une baisse du taux de glycémie » ; B l’événement contraire. 1°) Utiliser l’égalité B = (M ∩ B) ∪ ( M ∩ B) pour montrer que la probabilité P(B) de l’événement B est 0,52. 2°) On soumet au test un individu pris au hasard. Quelle est la probabilité pour qu’il ait pris le médicament si on ne constate pas de baisse de son taux de glycémie ? 3°) On contrôle cinq individus au hasard. Quelle est la probabilité d’avoir au moins un individu dont le taux n’a pas baissé ? Le résultat sera donné sous forme décimale à 10― 3 près. EXERCICE 2 (5 points) → → Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé ( O, e1 , e2 ) (unité graphique :0,5 cm). Soit (Un) n ∈ ℕ la suite géométrique de raison 2 et de premier terme U0 = 1 et (Vn) n ∈ ℕ la π suite arithmétique de raison et de premier terme V0 = 0. 4 On désigne par zn le nombre complexe de module Un et d’argument Vn et par Mn le point d’affixe zn. → → 1°) Représenter dans le repère ( O, e1 , e2 ) les points M0, M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8. zn + 1 2°) a) Donner sous forme trigonométrique et sous forme algébrique. zn b) En déduire qu’il existe une transformation T du plan complexe, dont on précisera la nature et les éléments caractéristiques, telle que, pour tout n ∈ ℕ , T (Mn) = Mn + 1. zn + 1 ─ zn 3°) a) Donner la forme algébrique de . zn b) Calculer la distance Mn Mn + 1 en fonction de Un. c) Calculer la longueur, en cm, de la ligne brisée (M0, M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8) . 1 On donnera la réponse sous la forme (a + b 2 ) , avec a et b entiers. 2 1 Substance que l’on substitue à un, médicament (sans que la personne testée le sache ) pour tester les effets de celui-ci par comparaison. 93 EXERCICE 3 (3 points) Un sac contient six boules rouges numérotées de 1 à 6 et trois boules blanches numérotées de 1 à 3. On extrait simultanément deux boules ; on note a et b les numéros portés sur ces deux boules. On admet l’équiprobabilité de toutes les paires de boules. 1°) Quelle est la probabilité pour que l’on ait a = b ? 2°) Quelle est la probabilité pour que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ? 3°) A chaque tirage de deux boules, on associe la variable aléatoire X définie par : ─ si les deux boules sont blanches, X prend la valeur a + b ─ si les deux boules sont rouges, X prend la valeur | a ─ b | ─ si les deux boules sont de couleurs différentes, X prend la valeur 0. a) Définir la loi de probabilité de X. b) Calculer l’espérance mathématique de X. c) Représenter graphiquement la fonction de répartition de X. EXERCICE 4 (3 points) Afin de mieux gérer ses stocks, une entreprise décide d’estimer son besoin en matières premières par l’intermédiaire d’une grandeur dont la valeur peut être connue rapidement (chiffre d’affaires ou total des salaires). on note X la quantité, en tonnes de matières premières ; Y le chiffre d’affaires en milliers de francs. Dans tout l’exercice on pourra donner directement les résultats fournis par la calculatrice. Le relevé des mopis précédents est le suivant : Numéro du mois 1 2 3 4 5 6 X 0,9 1,2 0,6 0,5 1,4 1 Y 37 40 33 33 41 35 Z 3,9 3,7 3,2 3,3 3,6 3,7 1°) a) Calculer les coefficients de corrélation linéaire r1 entre X et Y et r2 entre X et Z . b) Est-ce un ajustement entre Y et X ou entre Z et X qui permettra la meilleure estimation de X ? 2°) Déterminer une équation de la droite de régression de Y en X et en déduire une estimation du besoin en matières premières pour Y = 39 . EXERCICE 5 1°) Déterminer la solution de l’équation différentielle 9y '' + 6 y ' + y = 0 vérifiant les conditions initiales y (0) = 6 et y '(0) = 0. x 3 2°) Dresser le tableau de variation de f : x ↦ 2(x + 3) e . 3°) Soit g la restriction de f à l’intervalle I = ] ─ ∞ ; 0] . a) Montrer que g réalise une bijection de I vers un intervalle J que l’on précisera. b) Prouver que la bijection réciproque g─ 1 est dérivable en 0 et calculer g─ 1'(0) . → → 4°) Construire la courbe représentative C de f dans un repère orthonormé ( O, i , j ) . → 5°) Déterminer l’aire S (λ) du domaine compris entre la courbe C , la droite ( O, i ) et les droites d’équations x = 0 et x = λ . (N.B. On sera amené à faire une intégration par parties). Déterminer la limite de cette aire lorsque λ tend vers + ∞. DUREE : 4h 94 EXERCICE 1 Les questions 1°, 2° et 3° sont indépendantes. Tous les résultats de calcul de probabilité seront donnés sous forme d’une fraction irréductible. Une classe de Terminale S2 d’un lycée compte 3 élèves dont 10 filles. 1°) A chaque séance, du cours de mathématiques, le professeur interroge au hasard trois élèves. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : A : « exactement deux des trois élèves interrogés sont des garçons ». B : « les trois élèves interrogés sont du même sexe ». C : « il y a au plus une fille parmi les trois élèves interrogés ». 2°) Parmi les 19 passants de la classe, on compte 4 filles. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : D : « les deux délégués sont des passants ». E : « un seul des délégués est passant ». 3°) A la fin de chaque séance, le professeur désigne au hasard un élève qui effacera le tableau. Un même élève peut être désigné plusieurs fois. a) Déterminer la probabilité Pn pour que le tableau soit effacé au moins une fois par une fille à l’issue de n séances. b) Déterminer le nombre minimum de séances pour que Pn ≥ 0,9999. EXERCICE 2 Une urne contient trois pièces équilibrées. Deux d’entre elles sont normales : elles possèdent une face « FACE » et une face « PILE ». La troisième, truquée, possède deux faces « FACE ». On prend une pièce au hasard dans l’urne et on effectue de manière indépendante des lancers successifs de cette pièce. On considère les événements suivants : B : « La pièce prise est normale ». B : « La pièce prise est truquée ». P : « on obtient PILE au premier lancer ». Fn : « on obtient FACE pour les n premiers lancers ». 1°) Calculer la probabilité de l’événement P ∩ B et la probabilité de l’événement P ∩ B . En déduire la probabilité de l’événement P. 2°) En remarquant que Fn = (Fn ∩ B) ∪ (Fn ∩ B ) , montrer que la probabilité de 1 1 l’événement Fn est égale à : 1 3 2 n1 . 3°) a) Sachant que l’on a obtenu « FACE » pour les n premiers lancers, quelle est la probabilité d’avoir pris la pièce truquée ? b) Quelle est la limite de cette probabilité quand n tend vers + ∞ ? PROBLEME A) On considère la fonction numérique g définie sur [0 ; + ∞ [ par : 95 g (x) = ln (x²) + 4 2 ─ x x² 1°) Etudier les limites de g en 0 et en + ∞.(Pour l’étude en 0, on pourra mettre 1 en facteur). x On rappelle que lim+ x ln x = 0. x0 2°) a) Soit g ' la dérivée de la fonction g. Calculer g ' (x). b) Etudier le sens de variation de g et dresser son tableau de variations. 3°) a) Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet dans [0 ; + ∞ [ une solution unique α . b) Justifier l’encadrement 0,1 < α < 1. c) Donner une valeur approchée à 10― 2 près par excès de α. 4°) Déduire de l’étude précédente le signe de g (x) suivant les valeurs de x. B) On considère la fonction numérique f, définie sur [0 ; + ∞ [ par : f (x) = ex 2 ln( x ²) . x 1°) a) Calculer lim f (x) . x+ ∞ b) Déterminer la limite e f en 0 (on pourra mettre ex en facteur). x 2°) a) Calculer la dérivée de la fonction f. b) Déterminer, en utilisant la partie A, le sens de variation de f. → → 3°) a) Construire avec soin, dans le plan muni d’un repère orthogonal ( O, i , j ) la courbe représentative de la fonction f en prenant comme unités 4 cm sur l’axe des abscisses et 0,5 cm sur l’axe des ordonnées. b) Calculer la dérivée de la fonction numérique h, définie sur ] 0 ; + ∞ [ par h (x) = ex ln (x²). c) En déduire les primitives de la fonction f. DUREE : 4h 96 EXERCICE Les différentes questions sont indépendantes. 1°) Résoudre l’équation log(x ─ 2) + log(x + 3) = 2 (où log désigne le logarithme de base 10) 2°) Résoudre l’équation : 34x ─ 2 ─ (5 × 32x + 1) + 4 = 0 3°) Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : x 1 f:x↦ g : x ↦ xx 2 après avoir précisé leur ensemble de dérivabilité. h : x ↦ 2x² + x ─ 2 PROBLEME Le but de ce problème est d’utiliser l’étude d’une fonction pour démontrer qu’une suite est convergente. PREMIERE PARTIE 5x 9 Soit la fonction numérique f définie par f (x) = ln x5 1°) Etudier la fonction f (ensemble de définition, limites aux bornes de cet ensemble, sens de variation). 2°) On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé → → → → ( O, i , j ) (║ i ║ = ║ j ║ = 2 cm) Construire C ; préciser les points d’intersection de C avec les axes du repère. DEUXIEME PARTIE On note Φ la fonction définie sur l’intervalle 1; par Φ(x) = f (x) ─ x. 1°) Etudier les variations de Φ. 2°) Démontrer que Φ est une bijection de 1; sur un intervalle que l’on précisera 3°) En déduire qu’il existe un unique réel α, qu’on ne calculera pas, appartenant à 1; , 1 tel que Φ(α) = 0, c’est-à-dire f (α) = α. Montrer que < α < 1. 2 TROISIEME PARTIE 1°) Montrer que x ≥ 0 f (x) ≥ 0. En raisonnant par récurrence, en déduire l’existence d’une suite (un) définie par u0 = 0 et pour 5u 9 tout entier naturel n par : un+1 = ln n . u 5 n 2°) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : un ≤ un+1 et un ≤ α (on pourra remarquer que f est croissante sur 0; . 3°) Démontrer que la suite (un) est convergente ; quelle est sa limite ? DUREE : 4h 97 Ce devoir consiste en un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, il y a plusieurs réponses proposées dont une seule est exacte. L’élève devra cocher au crayon la réponse qui lui semble correcte. Toute réponse correcte rapporte 1 point. Toute réponse erronée ou multiple sera sanctionnée par le retrait d’un quart de point (0,25 pt). Une absence de réponse ne rapporte pas de point et n’est pas pénalisée. cos(n ) (1)n b) lim un = + ∞ 1. Soit (un) la suite définie par : un = a) lim un = ─ ∞ n+ ∞ 2 2. I = 1 d) lim un n’existe pas n+ ∞ n+ ∞ 6x2 4x dx x3 x2 1 a) I = 2 ln 11 3. I = c) lim un = 0 n+ ∞ 2 b) I = ─ 1 11 c) I = ln 11 d) I = 1 ln 11 2 e) une autre réponse x cos(2 x) dx 0 a) I = ─ 1 2 b) I = ─ 1 c) I = 1 2 d) I = 1 4 e) I = ─ 8 4 3 i i 2 2 4. Soit z = 2 2 i 2 2 a) z = e i 12 i b) z = e 17 12 c) z = e i 7 12 i d) z = e 12 i e) z = e 11 12 5. Soit z = (1 + cos θ) ─ i sin θ avec θ ∈ ] ─ π ; π [ a) arg z = ─ θ + 2kπ , k ∈ ℤ 2 c) arg z = θ + 2kπ , k ∈ ℤ b) arg z = θ + 2kπ , k ∈ ℤ 2 d) arg z = 2kπ , k ∈ ℤ e) arg z = ─ θ + 2kπ , k ∈ ℤ. 6. On tire au hasard une boule dans une urne contenant N boules numérotées de 1 à N., avec N ≥ 2.On note X la variable aléatoire prenant pour valeur le numéro de la boule tirée. Soit E(X) l’espérance mathématique de X. N+1 a) E(X) = 1 b) E(X) = c) E(X) = N + 1 2 98 d) E(X) = 1 N e) E(X) prend une autre valeur. 7. f est la fonction définie par : f (x) = etan 2x . a) f 4 e 6 e) f 8 e 3 6 b) f e 6 3 3 c) f 2 e 6 3 d) f 4 e 6 3 8. Soit X la variable aléatoire de loi de probabilité : xi 1 pi 1 2 a 1 4 b 1 4 On note E(X) l’espérance mathématique de X et V(X) sa variance. Déterminer les réels a et b tels que E(X) = 1 et V(X) = 2. a) a = ─ 1 et b = 3 b) a = ─ 3 et b = 1 c) a = ─ 2 et b = 4 d) a = 1 et b = 1 2 cos ²x 4 9. I = a) I = π 1 ─ 8 2 dx b) I = π 1 ─ 8 4 c) I = π 1 + 8 4 d) I = ─ 2 12 e) I = 2 12 10. Un groupe de 500 personnes est constitué de 200 hommes et 300 femmes. Parmi les hommes, 150 ont plus de 30 ans et parmi les femmes, 200 ont plus de 30 ans. On choisit au hasard une personne du groupe. Sachant que cette personne est un homme, quelle est la probabilité pour qu’il ait plus de 30 ans ? 3 2 3 7 3 a) b) c) d) e) 4 5 7 10 10 11. Les suites de termes général un suivantes convergent vers 3. 3 a) un = 3n ln 1 + n n 1 9n 1 b) un = 4 3n 4 c) (─ 3)n + 3. 12. La somme définie par S = a2 + a3 + …..+ an + 2 (a ≠ 1) vaut : a) 1 ─ an + 2 1─a b) a2(an + 1 ─ 1) a─1 c) a(1 ─ an) 1─a 13. La somme définie par S = 2 + 3 + ….+ (n + 1) vaut : n(n + 3) (n + 1)(n + 3) n(n + 2) a) b) c) 2 2 2 99 1 1 14. Soit la fonction f définie par : f (x) = 1 ─ 4x ─ 2 a) f est paire b) f est impaire c) f n’est ni paire impaire 15. Résoudre dans ℂ l’équation suivante : iz² + (1 ─ 5i)z + 6i ─ 2 = 0 a) (z1 = ─ 2 ; z2 = ─ 3 ─ i) x 16. I = t ²e t a) (z1 = ─ 2 ; z2 = ─ 3 + i) a) (z1 = 2 ; z2 = ─ 3 ─ i) dt 0 a) I = ─ x² e― x ─ 2x e― x ─ 2 + 2e― x b) I = ─ x e― x ─ 2x e― x + 2 ─ 2e― x c) I = ─ x² e― x ─ 2x e― x ─ 2 ─ 2e― x 17. Soit le nombre complexe z = (3 + 2i) + i(2 + 3i) a) z = (3 + 2i) ─ i(2 + 3i) b) z = (3 ─ 2i) ─ i(2 ─ 3i) c) z = z 18. f est la fonction définie sur R par f (x) = 3─ x . a) f '(x) = ─ x 3─ x ─ 1 b) f '(x) = (─ ln 3) f (x) c) lim f (x) = + ∞ x+ ∞ π 1 19. Soit la fonction définie sur ] 0 ; 2 [ par f (x) = ln sin3x ─3 a) f '(x) = tan x 1 b) f '(x) = ─ sin3x c) f '(x) = ─ 3 tan x (─ 1)n 20. Soit la suite (un) telle que un = n ! a) (un) est divergente b) (un) est convergente c) (un) est monotone DUREE : 4h 100 101 EXERCICE 1 On appelle concentration molaire d’une espèce en solution le nombre de moles de cette espèce dissoutes dans un litre de solution. Elle s’exprime en mol/l. Les ions H3O+ définissent l’acidité ; plus une solution en contient, plus elle est acide. On notera c la concentration en ions H3O+ et on appellera PH le réel ─ log c. 1°) Déterminer le sens de variation du PH en fonction de c. 2°) On mesure le PH du coca-cola : PH = 2,6. (Très acide mais très sucré). a) Quelle est la concentration en ions H3O+ ? b) On le dilue 100 fois avec de l’eau de Volvic (PH = 7). Quel est le nouveau PH ? c) Dans quel rapport doit-on le diluer pour avoir un PH supérieur à l’eau de pluie(PH = 6,2) ? 102