Algèbre linéaire (R. Cairoli) (z-lib.org)

Algèbre linéaire
R.Cairoli
Presses polytechniques et universitaires romandes

L'auteur et l'éditeur remercient l'Ecole polytechnique fédérale de Lausanne
dont le soutien financier a rendu possible la publication de cet ouvrage.
DANS LA MÊME COLLECTION DIRIGÉE PAR LE PROFESSEUR ROBERT C. DALANG
Analyse
Recueil d'exercices et aide-mémoire vol. 1 et 2
Jacques Douchet
Recherche opérationnelle pour ingénieurs 1
Dominique de Werra, Thomas M. Liebling, Jean-François Hêche
Recherche opérationnelle pour ingénieurs II
Jean-François Hêche, Thomas M. Liebling, Dominique de Werra
Introduction à l'analyse numérique
Jacques Rappaz et Marco Picasso
Algèbre linéaire
Aide-mémoire, exercices et applications
Robert C. Dalang et Amel Chaabouni
Analyse avancée pour ingénieurs
Bernard Dacorogna et Chiara Tanteri
Initiation aux probabilités
Sheldon M. Ross
Cours d'Analyse
Srishti D. Chatterji
1 Analyse vectorielle
2 Analyse complexe
3 Equations différentielles
DANS LA COLLECTION «MÉTHODES MATHÉMATIQUES POUR L'INGÉNIEUR»
Introduction à la statistique
Stephan Morgenthaler
Aide-mémoire d'analyse
Heinrich Matzinger
Les Presses polytechniques et universitaires romandes sont une fondation
scientifique dont le but est principalement la diffusion des travaux
de l'Ecole polytechnique fédérale de Lausanne ainsi que d'autres
universités et écolesd'ingénieurs francophones.
Le catalogue de leurs publications peut être obtenu par courrier aux
Presses polytechniques et universitaires romandes,
EPFL - Centre Midi, CH-1015 Lausanne, par E-Mail à [email protected],
par téléphone au (0)21 693 41 40, ou par fax au (0)21 693 40 27.
www.ppur.org
Première édition, en deux tomes, 1987
ISBN 2-88074-187-4
© 1991 2e édition, 2004 réimpression. Presses polytechniques et universitaires romandes,
CH-1015 Lausanne
Imprimé en Italie
Tous droits réservés.
Reproduction, même partielle, sous quelque forme
ou sur quelque support que ce soit, interdite sans l'accord écrit de l'éditeur.

Préface
L'enseignement de l'algèbre linéaire s'est considérablement développé au
cours des deux dernières décennies. De nos jours, presque toutes les sections
d'études scientifiques et techniques, et notamment les sections d'ingénieurs,
incluent l'algèbre linéaire dans la formation de base de leurs étudiants. Un ouvrage
qui s'ajoute aux nombreux déjà existants dans la littérature peut donc encore se
justifier et prétendre répondre à des exigences restées insatisfaites.
A l'exception de quelques-uns, les sujets développés dans ce livre sont
classiques et servent normalement de base à la réalisation de tout livre d'algèbre
linéaire de même niveau. Ce qui distingue celui-ci des autres réside dans l'arrange-
ment de la matière et surtout dans sa présentation, qui emprunte beaucoup à la
géométrie ordinaire et vise à développer chez le lecteur une compréhension intui-
tive. Un autre élément distinctif est certainement la place accordée à la notion
d'espace affine et à l'étude de la géométrie affine à plusieurs dimensions.
Dans l'élaboration de la matière, l'auteur s'est prévalu de l'expérience de
plusieurs années d'enseignement à des sections d'ingénieurs de l'Ecole polytechni-
que fédérale de Lausanne. C'est à travers cette expérience que l'exposition pure-
ment formelle conçue initialement a cédé la place à un discours plus parlé et,
oserait-on dire, plus humain.
Conscient du fait que les concepts abstraits ne deviennent clairs qu'à travers
les exemples, l'auteur s'est constamment soucié de favoriser la compréhension par
des motivations, des commentaires et des illustrations.
Outre créer les conditions propices à une meilleure assimilation des théorè-
mes et des techniques de calcul de l'algèbre linéaire, cet ouvrage veut inciter le
lecteur à un travail de recherche personnel. Quelques-uns des nombreux exercices
placés à la fin de chaque chapitre ont pour but d'encourager une telle activité.
Ce livre a été écrit à l'intention des étudiants du premier cycle d'études des
écoles d'ingénieurs de niveau universitaire, mais il s'adresse également aux étu-
diants en mathématique et en physique orientés vers les applications. Il peut en
outre venir en aide aux scientifiques à la recherche de méthodes algébriques leur
permettant d'apporter des éléments de réponse aux problèmes qu'ils rencontrent,
ainsi qu'aux maîtres du degré secondaire désireux de savoir vers quels programmes
conduit leur enseignement.

Remerciements
Je remercie vivement Monsieur Jean-Claude Evard de l'intérêt constant qu'il
a apporté à la réalisation de cet ouvrage. Ses critiques et ses suggestions m'ont
permis d'améliorer la présentation de nombreux points délicats du texte.
Je remercie Monsieur Laurent Perruchoud d'avoir lu plusieurs parties du
manuscrit et de m'avoir signalé quelques imprécisions.
Je remercie également Monsieur Claude El-Hayek d'avoir contrôlé la ver-
sion définitive du manuscrit. Monsieur Klaus-Dieter Semmier d'avoir réalisé les
figures représentant les quadriques, Monsieur Jean-François Casteu d'avoir effec-
tué les dessins et Madame Pascale Deppierraz pour la compétence avec laquelle
elle s'est occupée des problèmes d'édition.

Conventions
1. Découpage du texte
Ce livre est composé de dix chapitres numérotés de 1 à 10 et d'un appendice
repéré par la lettre A. Chaque chapitre est divisé en sections et chaque section en
paragraphes. Les sections sont repérées par une double numérotation et les para-
graphes par une triple numérotation. Par exemple, 7.2 renvoie à la deuxième
section du septième chapitre et 7.2.4 au quatrième paragraphe de cette section. La
dernière section de chaque chapitre rassemble les exercices sur la matière traitée
dans le chapitre. Ces exercices sont numérotés de la même façon que les para-
graphes. Ainsi, 7.4.11 désigne le onzième exercice de la quatrième section du
septième chapitre. Les figures sont repérées par l'abréviation Fig. suivie de deux
nombres, le premier indiquant le chapitre et le deuxième la figure. Par exemple,
Fig. 7.3 désigne la troisième figure du septième chapitre.
2. Conventions sur les nombres
Les lettres IR et C désigneront respectivement le corps des nombres réels et
le corps des nombres complexes. Tout au long des dix chapitres de ce livre, le terme
«nombre» aura le sens de «nombre réel». Dans l'appendice consacré à l'extension
de certains résultats aux nombres complexes, il sera précisé dans quelles circons-
tances le terme «nombre» prendra la signification de «nombre complexe».
Les nombres seront généralement désignés par des lettres grecques minuscu-
les telles que a, /?, y, 2, fi, v, ou par des lettres latines minuscules telles que a, b,
c, d. Les nombres entiers seront appelés plus simplement entiers. Ils seront désignés
par des lettres latines minuscules telles que n, k, i, j, l, m.
Nous dirons qu'un nombre est positif (négatif) s'il est supérieur (inférieur)
à zéro. Nous dirons qu'il est non négatif s'il est supérieur ou égal à zéro.
3. Avertissement concernant l'emploi des adjectifs numéraux
Tout au long de ce livre, par deux, trois, ,.., n objets, nous entendrons (sauf
mention explicite du contraire) deux, trois, ..., n objets distincts.
4. Familles d'éléments d'un ensemble
Dans ce livre, nous accéderons famille finie d'éléments d'un ensemble E tout
n-uplet (ordonné) d'éléments de E, c'est-à-dire tout élément du produit cartésien