364 A1 Poly Lambert

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6)
Licence de Mathématiques L3
UE LM364 Intégration 1
Année 2012–2013
Théorie de la Mesure et Intégration
Amaury Lambert 1
1. Auteur du polycopié (2010 à 2012), responsable des UE LM364 et LM365 pour les années 2009 à 2012,
responsable actuel (2012-2013) de l’UE LM365.

Table des matières
I LM364 – Intégration 1 4
1 Suites, ensembles et suites d’ensembles 5
1.1 Ladroiteachevée............................... 5
1.2 Rappels sur les suites et séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Ensembles................................... 6
1.3.1 Terminologie ............................. 6
1.3.2 Opérations classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Suites de parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.4 Fonctions et fonctions indicatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Théorie des cardinaux 11
2.1 Cardinaux, équipotence, dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Cardinaux classiques et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Tribus de parties d’un ensemble 16
3.1 Définitionsetexemples............................ 16
3.2 Tribuengendrée................................ 17
3.3 Tribus image et image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Fonctions mesurables 20
4.1 Définitions................................... 20
4.2 Exemples et opérations stables pour la mesurabilité . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Fonctions étagées, en escalier, réglées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Le cas borélien 25
5.1 (Rappelsde)Topologie............................ 25
5.2 Tribu borélienne et fonctions boréliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.3 L’ensemble triadique de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.4 Une partie de Rnonborélienne ....................... 31
6 Mesures 33
6.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2 MesuredeLebesgue.............................. 36
6.3 Autres définitions et autres propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2

TABLE DES MATIÈRES 3
7 Intégrale des fonctions positives 40
7.1 Intégrale des fonctions étagées positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2 Intégrale des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8 Intégrale des fonctions de signe quelconque 48
8.1 Intégrale des fonctions mesurables de signe quelconque . . . . . . . . . . 48
8.2 Les grands théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3 Intégrale des fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9 Applications 55
9.1 Intégrale de Lebesgue et intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2 Dérivéesetprimitives............................. 57
9.3 Intégrales dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.4 Applications.................................. 61
9.4.1 Dérivation sous la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.4.2 Convolution.............................. 61
9.4.3 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10 Inégalités et espaces Lp62
10.1InégalitédeJensen .............................. 62
10.2 Inégalités de Hölder et de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.2.1 Semi-normes Lp,p∈[1,+∞].................... 63
10.2.2 Inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.2.3 Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10.3 Espace Lpet espace Lp........................... 65
II LM365 – Intégration 2 68

Première partie
LM364 – Intégration 1
4

Chapitre 1
Suites, ensembles et suites d’ensembles
1.1 La droite achevée
Définition 1.1 On appelle droite achevée l’ensemble ¯ R:= R∪ {−∞} ∪ {+∞}.
On considérera toujours la droite achevée comme l’espace métrique associé à l’une des
distances du type d(x, y) := |f(x)−f(y)|où f(x) = x
√x2+1 si x∈Ret f(±∞) = ±1.
Autrement dit, ¯ Rest muni de la topologie usuelle de R, complétée avec les notions
usuelles de convergence vers +∞et vers −∞.
La droite achevée est munie d’un ordre total que le lecteur aura deviné : pour tous
x≤y∈R,
−∞ < x ≤y < +∞.
La droite achevée est également munie des opérations algébriques usuelles, avec les
conventions suivantes :
+∞+∞= +∞,−∞ − ∞ =−∞, a +∞= +∞, a − ∞ =−∞,
pour tout a∈R, ainsi que
0× ∞ = 0,
et
a∈]0,∞]⇒a× ∞ = +∞, a ∈[−∞,0[ ⇒a× ∞ =−∞.
Remarque 1.2 Tout au long de ce cours, il faudra acquérir le réflexe de NE JAMAIS
ÉCRIRE aucune des opérations interdites suivantes : (+∞)−(+∞), ainsi que (−∞)−
(−∞), et encore (±∞)/(±∞).
Une suite numérique est une suite à valeurs dans Rou dans ¯ R.
1.2 Rappels sur les suites et séries numériques
Définition 1.3 On dit que a∈¯ Rest une valeur d’adhérence de la suite (un)s’il existe
une suite extraite (uϕ(n))qui converge vers a.
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