Groupes, Anneaux, Corps: Notes de cours sur l'algèbre abstraite

Groupes, Anneaux, Corps
François DE MARÇAY
Département de Mathématiques d’Orsay
Université Paris-Saclay, France
« Le plagiat est nécessaire. Le progrès l’implique. Il serre de près la phrase d’un auteur, se
sert de ses expressions, efface une idée fausse, la remplace par l’idée juste. »
Isidore DUCASSE, dit Comte de Lautréamont
« Copier sur un seul, c’est du plagiat. Copier sur deux, c’est de la recherche. »
Alban DU PLESSIS DE LA ROQUENTIÈRE

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Méthodologie de travail pour le cours « Structures Algébriques »
Licence 2 Double Diplôme
Joël MERKER alias François DE MARÇAY
Département de Mathématique d’Orsay
Université Paris-Saclay, France
•Notes de cours. Des notes de cours seront régulièrement transmises par courriel sous forme pdf.
La référence principale utilisée pour ce cours sera le livre de Grégory BERHUY,Algèbre, le grand
combat.
•Modalités de contrôle. Les 100 % de la note finale complète comprendront :
15 % contrôle continu =les 2devoirs à la maison (DMs) et les 2interrogations écrites en TD.
35 % examen partiel.
50 % examen terminal.
•Devoirs à la maison. Deux devoirs à la maison seront à rendre. Ils seront établis et visés par le
professeur responsable, Joël Merker.
!Chaque devoir non rendu se verra attribuer une note de 0
20 qui contribuera à hauteur de 7,5 % de
la note finale!
Pour chaque DM, entre 16 et 18 points sur 20 seront facilement accessibles.
•Méthode classique : Obligation impérative d’écrire à la main!
Pourquoi? Parce qu’un document sur ordinateur peut facilement être échangé par mail entre
étudiants et être récopié en entier ou par morceaux via Control-C puis Control-V.
Quel est le but? Que les étudiants apprennent et assimilent des mathématiques par la lecture.
Mieux vaut un vrai travail personnel formateur qu’une dilapidation de son temps sur internet, ou
devant la télévision.
•Transmission des devoirs à la maison : Par mail, sous forme scannée (ou photographiée). Docu-
ment pdf unique apprécié.
•Examens. Les sujets de l’examen partiel et de l’examen terminal seront établis par le professeur
responsable, Joël Merker. Les copies seront intégralement corrigées par ledit professeur.
•Règle d’or pendant les cours :
Interdiction absolue d’utiliser et de consulter
smartphones, téléphones et ordinateurs portables
et tous autres gadgets électroniques contraires au travail.

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•Modalités d’application de cette règle d’or. Les étudiants qui contreviendront à cette règle seront
exclus sur le champ de la salle de cours. Le cours ne reprendra que lorsque les étudiants en question
seront sortis de la salle de cours.
•Lecture régulière du cours. Chaque étudiant s’imposera de lire, relire et étudier régulièrement
le cours. Ce travail s’effectuera occasionnellement, même sur des courtes périodes d’une dizaine de
minutes, à la maison, à la bibliothèque ou dans les transports en commun. C’est en lisant qu’on
développe son intelligence, car on absorbe les intelligences variées d’autres personnes sans rester
confiné en soi-même, voire infiniment pire : confiné à l’abrutissement total du tripotage crétinisant
de smartphone!
•Assiduité au cours. C’est principalement le cours oral au tableau qui permettra de transmettre les
idées informelles et les intuitions importantes. Aussi, lecture du cours et présence au cours seront-
elles deux activités complémentaires et indispensables pour une préparation optimale au métier
de scientifique. De plus, on lit beaucoup plus facilement les notes de cours après avoir écouté le
professeur.De toute façon, une bonne prise de notes manuscrites personnelles a plus de valeur
que les polycopiés.
•Prise de notes pendant les séances de cours. L’existence de documents écrits transmis par les
professeurs ne dispense absolument pas de prendre des notes manuscrites complètes et soignées.

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Table des matières
I. Arithmétique sur Zet dans ZnZ.......................... 10
1. Introduction.................................................... 10
2. Ensemble Ndesentierspositifs.................................. 10
3. Relation d’ordre sur les entiers naturels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4. Élément minimal et élément maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5. Anneau Zdesentiersrelatifs.................................... 18
6. Divisionàl’Écoleélémentaire................................... 23
7. Divisibilité dans Z............................................... 24
8. Idée de congruence et de périodicité dans le monde réel . . . . . . . . . . . 27
9. Congruencemodulounentier................................... 28
10. Anneaux Z/nZ,+,×.......................................... 31
11. Multiplication modulaire et exponentiation modulaire . . . . . . . . . . . . 37
12. Exemples de calculs modulo un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
13. Contraction de calculs avec des grands nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
14. Carrésmodulounentier........................................ 40
15. NombresdeFermat............................................. 41
16. Exponentiationrapide.......................................... 46
17. Division euclidienne générale dans Z............................. 47
18. Algorithme d’Euclide : Histoire et Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
19. Algorithme d’Euclide : Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) . . . 53
20. ThéorèmedeBézout............................................ 58
21. Théorème de Gauss et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
22. Équations linéaires à coefficients entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
23. Plus Petit Commun Multiple ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
24. Décomposition des entiers en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
25. ThéorèmedeFermat............................................ 75
26. ThéorèmedeWilson............................................ 78
27. Intégrité et non-intégrité de ZnZ............................... 80
28. Théorèmedesresteschinois..................................... 85