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Cours Calcul vectoriel dans le plan avec Exercices avec solutions PROF : ATMANI NAJIB
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I) Vecteurs du plan
II) L’égalité de deux vecteurs
III) Somme de deux vecteurs
IV) La multiplication d’un vecteur par un réel
V) La colinéarité de deux vecteurs
VI) Milieu d’un segment
I) Vecteurs du plan
Soient A et B deux points du plan
P
Un vecteur
AB
est défini par trois données :
 une direction : celle d'une droite
AB
 Un sens de parcours (dans la direction de la droite);
 une norme (ou longueur ) et on note :
AB AB
Exemple :
 Les vecteurs
AB
,
EF
ont même
direction
AB
et
EF
sont de sens
contraire.
 Les vecteurs
AB
,
v
n’ont pas la
même direction
II) L’égalité de deux vecteurs
Deux vecteurs
AB
et
CD
sont
égaux s’ils ont même direction,
même sens et même norme
Remarques :
 Si
...AB CD EF  
,
on note ce vecteur
u
.
AB
,
CD
et
EF
sont des
représentants du même vecteur
u
.
0AB 
si et seulement si
AB
.
BA AB
(L’opposé du vecteur)
 pour tout point A du plan
0AA 
( le vecteur nul)
Propriété1 : Soient A ; B; C ; D des points du plan
P
tel que
AB
et
CD
AB CD
Ssi ABDC est un parallélogramme
Propriété2 : Soient A ; B ; C ; D des points du plan
P
AB CD
SSI
AC BD
Propriété3 : Etant donné un point A et un vecteur
u
il existe un point M unique tel que
uAM 
.
III) Somme de deux vecteurs
1) Relation de Chasles : Soit A, B, C trois points du plan.
On a la relation suivante :
AC AB BC
(Relation de
Chasles)
Remarque :
Cette relation de Chasles s’utilise de trois manières
différentes :
- Tout d’abord, c’est cette relation qui définit la somme de
deux vecteurs.
- Cette relation permet de réduire des sommes vectorielles
(« factorisation »).
- Cette relation permet dans les démonstrations d’intercaler
des points dans des écritures vectorielles
(« développement »).
Exemple :on considére les vecteurs :
et
Simplifier les vecteurs :
U
et
V
Solution :
U BC AC BA AB BC CA AB AB       
0U BA AB AB BB AB AB AB       
V BE DF EF AB ED FA BE EF FA AB ED DF           
0V BF FB EF BB EF EF EF       
Exercice : Soient A ; B; C ; D des points du plan
P
1)construire les points M et N tels que :
et
2)comparer les vecteurs et
Solutions :1)
2)
MN MA AN MB BA AC AD     
MN BM BA AD AC BM BD AC        
Donc :
MN AC BD AC BD    
2) Règle du parallélogramme :Soient les vecteurs
u
et
v
deux vecteurs du plan et A un point du plan
il existe un point B unique tel que
AB u
et il existe un
point C unique tel que
AC v
U BC AC BA AB   
V BE DF EF AB ED FA     
BM AC
AN AC AD
BD
MN
Calcul vectoriel dans le plan

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la somme des vecteurs
u
et
v
est le vecteur
AD AB AC
tel que ABDC est un parallélogramme
Application1 : Soient A, B, C trois points du plan non
alignés et on considère D et E du plan tel que :
AD BC
et
0AE AD
1)Faire un schéma
2)Quelle est la nature du quadrilatère EACB justifier votre
réponse
Réponse : 1) on a :
0AE AD
donc
AE AD
2) on a :
BC AD
et
AD AE
donc
BC AE EA  
Donc le quadrilatère EACB est un parallélogramme
Application2 :
Soit
u
et
v
et
w
des vecteurs du plan et A, B, C, D, O , E
des points du plan tel que :
u OA
et
v OB
et
w OC
et
OD u v
et
OE v w
1)Faire une figure
2)Montrer que ACEB est un parallélogramme et justifier
votre réponse
Réponse : 1)
2) on a :
AD AO OD AO OA OB OB     
donc ①
AD OB
Et on a :
CE CO OE CO OB OC CO OC OB OB        
donc
②
CE OB
D’après ① et ② on a :
AD CE
Donc : ACEB est un parallélogramme
Remarque :Soit
u
et
v
deux vecteurs du plan
La différence de
u
et
v
est égale à la somme de
u
et
v
on écrit :
u v u v   
Application3 :
Soit ABCD est un parallélogramme ;
on pose :
AB i
et
AC j
écrire les vecteurs
AD
et
BD
en fonction de
i
et
j
Réponse : ABCD est un parallélogramme donc :
AB AD AC
alors
AD AC AB j i   
Donc :
AD j i
on a :
BD BA AD AB AD i j i        
Donc :
2BD j i
IV) La multiplication d’un vecteur par un réel
1. Définition
u
un vecteur non nul et un nombre non nul k, on appelle
produit du vecteur
u
par le nombre k est le vecteur
ku
ayant les caractéristiques suivantes:
ku
et
u
ont même direction, même sens si
0k
et de
sens contraire si
0k
2. remarques :
00k
et
1uu
,
1uu  
-Si
0ku
alors k=0 ou
0u
Application1 :
Soit A, B, C trois points du plan non alignés
On considère M , N , P et Q du plan tel que :
2AM BC
et
2AN AC
et
AM AN AP
et
1
2
AQ AP
1)Faire une figure 2)En déduire que :
2AB AP
et
BQ
Réponse : 1)
2) on a :
2 2 2 2AP AM AN BC AC BC CA BA      
Donc
2AB AP
Et on a :
12
2
AQ AP AP AQ
Donc
22AB AQ AB AQ  
Donc
BQ
AD AB AC
u
2u
3u

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3. Propriétés :
Quels que soient les vecteurs
u
et
v
et les nombres a et b
dans :1)
a u v au av  
2)
a b u au bu  
3)
a bu a b u
4)
1uu
5)
a u v au av  
6)
a b u au bu  
Application 1: soient les vecteurs
u
et
v
Simplifier l’écriture des vecteurs suivants :
11
24
2
W u v u v
et
211
3 9 2 6 2
32
W u v u v u    
Réponse :
11
24
2
W u v u v
1
2 2 4 4
2
u v u v    
12 2 2 4 6 0 6W u v u v u u      
211
3 9 2 6 2
32
W u v u v u    
23 3 2 2 0 2 0 0 0W u v u v u u u          
Application2 :Soit ABC est un triangle
on pose :
AB i
et
AC j
construire le vecteur
Réponse :
V)La colinéarité de deux vecteurs
1.Définition : Deux vecteurs
u
et
v
sont colinéaires si et
seulement s’il existe une constante
k
telle que
u kv
.
Remarque :
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires ssi ils ont la même
direction.
2. Propriété
1) Trois points A, B et C du plan sont alignés si et seulement
s’il existe
k
telle que
AB kAC
.
2) Soit
()AB
une droite. Alors
()MD
ssi
AM
et
AB
sont
colinéaires.
3) Deux droites
()AB
et
()CD
sont parallèles si et
seulement si
AB
et
CD
sont colinéaires.
Application 1 : soit ABC est un triangle. Les points E et F
sont tels que :
4
3
AF AC
et
1
4
CE AB
1)Faire une figure
2)montrer que : Les points E , F et B sont alignés
Réponse : 1)
2) On a :
1
4
CE AB
donc
4AB CE
donc
4BA EC
41
44
33
BF BA AF EC AC EC AC
Or on a :
1
3
CF AC
car :
4
3
AF AC
donc
4
3
AC CF AC
c a d
41
33
CF AC AC AC  
Alors :
4BF EC CF
donc
4BF EF
Donc
BF
et
EF
sont colinéaires
D’où Les points E , F et B sont alignés
Application 2: soit ABC est un triangle. Les points E et F
sont tels que : et
1)Faire une figure
2)écrire les vecteurs et en fonction de :
et
3) montrer que deux droites et sont parallèles
Réponse : 1)
2) on a : donc
Donc
D’où
et on a : donc
3) on a : donc
Donc
D’où les droites et sont parallèles
32ij
3
4
AE AB
4
3
AF AC
EC
BF
AB
AC
EC
BF
EC EA AC
EC AE AC  
3
4
EC AB AC  
3
4
EC AB AC  
BF BA AF
4
3
BF AB AC  
3
4
EC AB AC  
34
43
EC AB AC
3
4
EC BF
EC
BF

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VI) Milieu d’un segment
Propriété1 : Soient A, B et I trois points du plan.
Les quatre assertions suivantes sont équivalentes :
1) I est le milieu du segment [AB].
2)
AI IB
3)
1
2
AI AB
4)
0IA IB
Propriété2 : Caractérisation du milieu :
Soient A, B et I trois points du plan.
I est le milieu du segment [AB] ssi pour tout point M on a :
2MA MB MI
.
Démonstration : supposant que I est le milieu du segment
[AB] donc :
2 2 0 2
MA MB MI MA MI MB
MI MA MB MI MI
supposant que pour tout point M on a :
2MA MB MI
on prend :M=I donc
20IA IB II  
D’où I est le milieu du segment [AB]
Application : soit ABC est un triangle. Les points E et F
sont tels que :
AF AB AC
et
BE BA BC
1)Faire une figure
2)montrer que : C est le milieu du segment [EF]
Réponse : 1)
2) On a :
BE BA BC
donc
BC CE BA BC  
donc ①
CE BA
Et on a :
AF AB AC
Donc
AC CF AB AC  
donc ②
CF AB
0CE CF BA AB AA    
Donc : C est le milieu du segment [EF]
C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un
proverbe.
C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices
Que l’on devient un mathématicien