3 REDUCTION DES ENDOMORPHISMES & SYSTEMES DIFFERENTIELS (1)

Universite Hassan 1er
Faculté des Sciences et Techniques - Settat
Département de Mathématiques & Informatique
MIP - Module D'algèbre 2
Fiche de TD n◦ 7 ; Réduction des endomorphisme ; Systèmes diérentiels"
Montrer que les matrices réelles d'ordre 3 suivantes A1 et A2 ont le même polynôme
caractéristique, et que A1 est diagonalisable sur R et A2 ne l'est pas.
Exercice 7.1.




2 −5 −3
4 1 1
A1 =  −1 −2 −3  ; A2 =  2 4 1  .
3 15 12
0 1 4
Diagonaliser dans R, lorsque c'est possible, les matrices suivantes:
Exercice 7.2.






1
1
0
4 1 1
3 −2 2
1
2  ; M2 =  1 4 1  et M3 =  1
0 2 .
M1 =  0
0 −1 −1
1 1 4
1 −1 3
On considère les matrices:
Exercice 7.3.



3 −1 1
0
m m2
0
m  , (m ∈ R∗ ).
M =  −1 3 1  et Nm =  m−1
2
2 2
m−2 m−1 0

Diagonaliser les matrices M et Nm , puis calculer leur nieme puissance, où n est un entier ≥ 1.
Exercice 7.4
On considère dans M2 (R) la matrice
A=
3 −4
2 −3
et soit f : M2 (R) → M2 (R) l'application dénie par: M 7→ f (M ) = M.A − A.M .
1.
Calculer le noyau de f .
2.
En remarquant que A2 = I2 , montrer que f 3 − 4f = 0. En déduire que f est diagonalisable
sur R.
On considère E = R3 muni de sa base canonique B = {e1 , e2 , e3 }, et soit f
l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base canonique B est:
Exercice 7.5.


−2 4 1
A =  −2 4 1  .
0 0 2
1.
Déterminer le polyn. caract. Pf (X) de f , la (ou les) vp de f et le (ou les) sev propres associés.
2.
Donner la forme de Jordan de la matrice A. Déterminer le polynôme minimal Qf (X) de f .
3.
Calculer J 2 , puis J n , pour tout entier n ≥ 2. Déterminer la matrice An , où n ∈ N.
Exercice 7.6.
Résoudre le système diérentiel linéaire :
(S) :
Exercice 7.7.
x0 (t) = 2x(t) − y(t)
y 0 (t) = 3x(t) − 2y(t)
Résoudre le système diérentiel linéaire :

 −x(t) + y(t) + z(t) = x0 (t)
x(t) − y(t) + z(t) = y 0 (t) .
(S) :

x(t) + y(t) − z(t) = z 0 (t)
où x, y et z sont des fonctions de t.
Exercice 7.8.
On considère dans M3 (R) la matrice


−2
3 −3
1 .
A =  1 −3
1 −4
2
1.
Jordaniser la matrice A, puis calculer An , où n ∈ N.
2.
Résoudre le système diérentiel :

 −2x(t) + 3y(t) − 3z(t) = x0 (t)
x(t) − 3y(t) + z(t) = y 0 (t) ,
(S) :

x(t) − 4y(t) + 2z(t) = z 0 (t)
où x, y et z sont des fonctions de t.
Exercice 7.9.
On considère le système diérentiel linéaire avec second membre :
(S) :
x0 (t) = 4x(t) − 3y(t) + t + 12
y 0 (t) = 6x(t) − 5y(t) + 3t + 19
1.
Déterminer la solution générale du système homogène (Sh ) associé au système (S).
2.
Déterminer une solution particulière du système diérentiel (S), (prendre des polynômes de
degré 1). En déduire la solution générale du système diérentiel (S).
3.
Déterminer la solution générale du système diérentiel linéaire (S) pour les conditions initiales:
x(0) = 1 et y(0) = 2.
Exercice 7.10.
Résoudre le système diérentiel suivant:
(S) :
x0 (t) = x(t) + 8y(t) + et
y 0 (t) = 2x(t) + y(t) + e−3t