CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE 1

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CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
RAPHAËL ROUQUIER
Trois exposés à la semaine « Géométrie algébrique complexe » au CIRM, Luminy, décembre 2003
1. Introduction
On étudie dans un premier temps les propriétés internes à la catégorie dérivée d’une variété
(et ses variantes). On suit pour l’essentiel des idées de Thomason. Le premier chapitre concerne
le problème d’extension de fibrés vectoriels à partir d’un ouvert au niveau des catégories de
complexes parfaits et des applications en K-théorie. Ensuite, on explique comment caractériser
les sous-catégories correspondant aux objets de support contenu dans un fermé donné et en
déduire une reconstruction de la variété (vue comme espace annelé) à partir d’une structure
catégorique. Notre approche pour ces deux parties est de commencer par des résultats analogues
pour les catégories abéliennes de faisceaux (dans la lignée de Gabriel). Nous présentons ensuite
la démarche parallèle dans le cas triangulé, avec les difficultés supplémentaires qui surgissent.
Ces résultats permettent de déduire facilement le théorème de Bondal et Orlov qui affirme
qu’une variété projective lisse à fibré canonique ample ou anti-ample est déterminée par sa
catégorie dérivée.
Dans la dernière partie, nous abordons la possibilité d’équivalences entre catégories dérivées
de variétés projectives lisses non isomorphes. Nous considérons aussi le cas plus général de
foncteurs pleinement fidèles, ce qui nous amène à évoquer les décompositions semi-orthogonales
et les suites exceptionnelles. Cette partie est dans une large mesure consacrée à des conjectures,
le thème principal étant le lien avec le programme minimal de Mori.
On appelle variété un schéma séparé de type fini sur un corps k. Soit X une variété. On note
X-coh (resp. X-qcoh) la catégorie des faisceaux cohérents (resp. quasi-cohérents) sur X.
Tous les foncteurs entre catégories triangulées considérés seront implicitement supposés triangulés.
On note Z(C) le centre d’une catégorie C (=endomorphismes du foncteur identité).
Pour R un anneau, on note R-mod la catégorie des R-modules de type fini.
2. Localisation
2.1. Cas abélien. Soit X une variété. Etant donné un fermé Z de X, on note X-coh Z la souscatégorie pleine de X-coh des faisceaux cohérents dont le support est contenu dans Z. C’est
une sous-catégorie de Serre de X-coh.
On rappelle qu’une sous-catégorie pleine I d’une catégorie abélienne A est une sous-catégorie
de Serre si pour toute suite exacte 0 → F → G → H → 0 de A, alors F, H ∈ I si et seulement
si G ∈ I. On dispose alors d’une catégorie abélienne quotient A/I et d’un foncteur A → A/I
de noyau I et solution du problème universel de passage au quotient (pour les catégories
Date: 16 janvier 2004.
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abéliennes). On dit alors qu’on a une suite exacte de catégories abéliennes 0 → I → A →
A/I → 0.
Soit j : U = X − Z → X l’immersion ouverte.
∼
Proposition 2.1. Le foncteur j ∗ : X-coh → U -coh induit une équivalence X-coh /X-cohZ →
U -coh, i.e., on a une suite exacte de catégories abéliennes
0 → X-cohZ → X-coh → U -coh → 0.
Démonstration. Dans le cas des faisceaux quasi-cohérents, on dispose du foncteur j∗ adjoint à
∼
droite du foncteur j ∗ . Le morphisme canonique j ∗ j∗ → 1U -qcoh est un isomorphisme et le noyau
de j ∗ est X-qcohZ . On déduit du lemme 2.2 l’existence d’une suite exacte
0 → X-qcohZ → X-qcoh → U -qcoh → 0.
Nous allons maintenant déduire la proposition de la caractérisation des faisceaux cohérents
comme les objets de présentation finie de la catégorie des faisceaux quasi-cohérents. Le lemme
2.3 montre que le foncteur canonique X-coh /X-cohZ → U -coh est pleinement fidèle. Il reste à
montrer que le foncteur j ∗ : X-coh → U -coh est essentiellement surjectif. Soit G un faisceau
cohérent sur U et F = j∗ G. On a j ∗ F ' G. Le faisceau quasi-cohérent
F est réunion croissante
S
(limite inductive
filtrante)
de
ses
sous-faisceaux
cohérents,
F
=
E cohérent ⊂F E. On en déduit
S ∗
∗
∗
que j F = E j E. Puisque j F est cohérent et qu’il est réunion croissante d’une famille
de sous-faisceaux, un des sous-faisceaux j ∗ E de la famille est égal à j ∗ F (la limite inductive
filtrante se stabilise après un nombre fini de termes). Donc, j ∗ F = j ∗ E ' G pour un sousfaisceau cohérent E de F .
¤
Lemme 2.2. Soit F : A → B un foncteur exact entre catégories abéliennes. On suppose
can
que F admet un adjoint à droite G et que G est pleinement fidèle (i.e., F G −−→ 1B est un
isomorphisme).
Alors, ker F est une sous-catégorie de Serre de A et on a une suite exacte
0 → ker F → A → B → 0.
Lemme 2.3. Soit A une catégorie abélienne, A0 une sous-catégorie abélienne pleine de A et
I une sous-catégorie de Serre de A. On suppose que pour M ∈ A0 et N ∈ I un sous-objet ou
un quotient de M , alors N ∈ A0 .
Alors, le foncteur canonique A0 /(I ∩ A0 ) → A/I est pleinement fidèle.
2.2. Cas triangulé.
2.2.1. Commençons par énoncer quelques propriétés des catégories dérivées de faisceaux et
comment en déduire la construction de foncteurs dérivés à droite.
Rappelons que le foncteur canonique D(X-coh) → D(X-qcoh) est pleinement fidèle, i.e.,
D(X-coh) est équivalente à la sous-catégorie pleine de D(X-qcoh) des complexes dont les
faisceaux de cohomologie sont cohérents. On identifiera souvent ces deux catégories.
Soit X-inj la catégorie des faisceaux quasi-cohérents injectifs et K(X-inj) la catégorie homotopique des complexes d’objets de X-inj. Considérons le foncteur canonique K(X-qcoh) →
D(X-qcoh). Ce foncteur admet un adjoint à droite ρ (“résolution homotopiquement injective”).
Soit K(X-qcoh)hi son image essentielle (complexes homotopiquement injectifs). Le foncteur ρ
∼
est pleinement fidèle, le foncteur canonique K(X-qcoh)hi → D(X-qcoh) est une équivalence,
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d’inverse ρ. L’intersection de K(X-qcoh)hi avec D+ (X-qcoh) est K + (X-inj), i.e., ρ se restreint
∼
en une équivalence D + (X-qcoh) → K + (X-inj) : on retrouve les résolutions injectives classiques.
Voyons maintenant comment dériver un foncteur exact à gauche F : X-qcoh → A, où A est
une catégorie abélienne. On étend F en un foncteur K(F ) : K(X-qcoh) → K(A). On restreint
ce foncteur à K(X-qcoh)hi . On obtient alors le foncteur dérivé à droite
ρ
K(F )
can
RF : D(X-qcoh) −
→ K(X-qcoh)hi −−−→ K(A) −−→ D(A).
∼
Le foncteur RF est triangulé, en particulier envoie triangle distingué sur triangle distingué,
alors que F n’envoie à priori pas suite exacte sur suite exacte. L’exactitude à gauche de F
∼
montre que H 0 (RF (M )) → F (M ) pour M ∈ X-qcoh.
2.2.2. Le foncteur j∗ se dérive en un foncteur Rj∗ : D(U -qcoh) → D(X-qcoh). C’est un adjoint
à droite du foncteur j ∗ : D(X-qcoh) → D(U -qcoh). Le noyau du foncteur j ∗ est DZ (X-qcoh),
la sous-catégorie pleine de D(X-qcoh) des complexes dont les faisceaux de cohomologie sont
supportés par Z. C’est une sous-catégorie épaisse.
On rappelle qu’une sous-catégorie pleine I d’une catégorie triangulée T est épaisse si les
conditions suivantes sont remplies
– pour F → G → H Ã un triangle distingué de T dont deux des termes sont dans I, alors
le troisième terme est dans I
– pour F, G ∈ T tels que F ⊕ G ∈ I, alors F, G ∈ I.
On dispose alors d’une catégorie triangulée quotient T /I et d’un foncteur T → T /I de noyau
I, solution du problème universel de quotient (parmi les catégories triangulées). On dira qu’on
a une suite exacte de catégories triangulées 0 → I → T → T /I → 0.
Le lemme 2.4 fournit une suite exacte de catégories triangulées
0 → DZ (X-qcoh) → D(X-qcoh) → D(U -qcoh) → 0
Lemme 2.4. Soit F : T → T 0 un foncteur entre catégories triangulées. On suppose que F
admet un adjoint à droite G et que G est pleinement fidèle.
Alors, ker F est une sous-catégorie épaisse de T et on a une suite exacte
0 → ker F → T → T 0 → 0.
2.2.3. Passons maintenant aux choses sérieuses : on rappelle la notion d’objet parfait et les
premières propriétés.
On dit qu’un objet de D(X-qcoh) est parfait s’il est localement (quasi)-isomorphe à un
complexe borné de fibrés vectoriels. On note X-parf la sous-catégorie pleine de D(X-qcoh) des
objets parfaits. C’est une sous-catégorie épaisse de D b (X-coh). Si X est quasi-projective, alors
un complexe est parfait si et seulement si il est quasi-isomorphe à un complexe borné de fibrés
vectoriels. La variété X est régulière si et seulement si D b (X-coh) = X-parf.
Soit T une catégorie triangulée admettant des sommes directes infinies. On dit qu’un objet
canonique
L tout ensemble E d’objets de T , le morphisme
L X ∈ T est compact si pour
c
la sous-catégorie
E∈E E) est un isomorphisme. On note T
E∈E Hom(C, E) → Hom(C,
pleine de T des objets compacts. C’est une sous-catégorie épaisse.
Un point clef dans l’approche de Thomason est la caractérisation des objets parfaits comme
les objets compacts de D(X-qcoh) :
Lemme 2.5. Soit C ∈ D(X-qcoh). Alors, C est parfait si et seulement si il est compact.
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RAPHAËL ROUQUIER
Démonstration. Commençons par prouver le lemme dans le cas affin X = Spec R. Puisque R
est compact, on déduit que tout objet parfait est compact. Soit C un complexe de R-modules
et i tel que H i C 6= 0. Alors, Hom(R, C[i]) 6= 0. On déduit du lemme 2.9 que les objets parfaits
coı̈ncident avec les objets compacts.
On prend maintenant pour X une variété quelconque. Soit X = U1 ∪ U2 avec U1 ouvert
affine et U2 ouvert tel que le nombre minimal d’ouverts affines dans un recouvrement de U2
est strictement inférieur au nombre minimal d’ouverts affines dans un recouvrement de X. Par
récurrence, on peut supposer le lemme établi pour U2 et U12 = U1 ∩ U2 . On note jr : Ur → X
et j12 : U12 → V les immersions ouvertes. Pour D ∈ D(X-qcoh), on a un triangle distingué de
« Mayer-Vietoris » :
∗
D → Rj1∗ j1∗ D ⊕ Rj2∗ j2∗ D → Rj12∗ j12
DÃ
∗
Soit C ∈ D(X-qcoh). On déduit du triangle précédent que C est compact si j1∗ C, j2∗ C et j12
C
sont compacts. La réciproque est claire. Par récurrence, on obtient le lemme.
¤
L’importance de la catégorie X-parf tient aussi au fait qu’elle permet de définir les “bons”
groupes de K-théorie, pour une variété qui n’a pas assez de fibrés vectoriels amples. On définit
ainsi K0 (X) = K0 (X-parf).
On rappelle que l’on définit K0 (T ), pour une catégorie triangulée T , comme le quotient du
groupe abélien libre de base les classes d’isomorphisme d’objets de T par la relation [M ] =
[L] + [N ] pour tout triangle distingué L → M → N Ã.
Cette définition de K0 (X) coı̈ncide avec la définition classique (groupe de Grothendieck de
la catégorie exacte des fibrés vectoriels) lorsque X a une famille ample de fibrés en droite, en
particulier dans le cas d’une variété quasi-projective.
2.2.4. On note X-parf Z = X-parf ∩DZ (X-qcoh).
Théorème 2.6 (Thomason-Trobaugh). Le foncteur j ∗ induit un foncteur pleinement fidèle
X-parf /X-parf Z → U -parf. Un objet de U -parf est la restriction d’un objet de X-parf si et
seulement si sa classe dans K0 (U ) est la restriction d’un élément de K0 (X).
L’apparition de K0 dans le théorème 2.6 provient du lemme suivant de Thomason (la preuve
est astucieuse).
Lemme 2.7. Soit T une catégorie triangulée. L’application qui a une sous-catégorie triangulée
pleine I de T engendrant T comme sous-catégorie épaisse associe l’image de K 0 (I) dans K0 (T )
est une bijection vers l’ensemble des sous-groupes abéliens de K0 (T ).
L’existence d’un calcul des fractions fournit un critère simple pour la pleine fidélité :
Lemme 2.8. Soit T une catégorie triangulée, I une sous-catégorie épaisse de T et T 0 une
sous-catégorie triangulée pleine de T .
Supposons que tout morphisme C → D avec C ∈ T 0 et D ∈ I se factorise par un élément de
I ∩ T 0 . Alors, le foncteur canonique T 0 /(I ∩ T 0 ) → T /I est pleinement fidèle.
Pour I une sous-catégorie pleine d’une catégorie triangulée T , on note Ī la plus petite souscatégorie épaisse de T stable par sommes directes infinies et contenant I.
Soit I une sous-catégorie épaisse d’une catégorie triangulée T . L’orthogonal à droite I ⊥ de
I dans T est la sous-catégorie pleine de T formée des D tels que Hom(C, D) = 0 pour tout
C ∈ I. C’est une sous-catégorie épaisse.
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Le lemme suivant est lié au théorème de représentabilité de Brown-Neeman et sa preuve n’est
pas immédiate.
Lemme 2.9. Soit T une catégorie triangulée admettant des sommes directes infinies. Soit I
une sous-catégorie épaisse de T c . Alors, toute flèche d’un objet de T c vers un objet de Ī se
factorise par un objet de I. En particulier, T c ∩ Ī = I.
On a Ī = T si et seulement si l’orthogonal à droite I ⊥ de I dans T est nul.
Lemme 2.10. Soit Y un fermé de X. Alors, on a DY (X-qcoh) = X-parf Y .
Pour Z 0 un fermé de X, on pose K0 (X sur Z 0 ) = K0 (X-parf Z 0 ). On va en fait démontrer une
version « à supports » du théorème 2.6 :
Théorème 2.11. Soit Z 0 un fermé de X. Le foncteur j ∗ induit un foncteur pleinement fidèle
X-parf Z 0 /X-parf Z∩Z 0 → U -parf U ∩Z 0 . Un objet de U -parf U ∩Z 0 est l’image d’un objet de X-parf Z 0
si et seulement si sa classe dans K0 (U sur U ∩ Z 0 ) est l’image d’un élément de K0 (X sur Z 0 ).
Démonstration du théorème 2.11 et du lemme 2.10. Prouvons tout d’abord que le lemme pour
X implique le théorème pour X. La combinaison des lemmes 2.8, 2.9 et 2.10 montre que j ∗
induit un foncteur pleinement fidèle X-parf Z 0 /X-parf Z∩Z 0 → U -parf U ∩Z 0 . Soit I l’image de ce
foncteur : c’est une sous-catégorie triangulée pleine. Puisque X-parf Z 0 = DZ 0 (X-qcoh) (lemme
2.10), on a Ī = DU ∩Z 0 (U -qcoh). On déduit alors du lemme 2.9 que U -parf Z 0 ∩U est la souscatégorie épaisse engendrée par I. Le théorème résulte alors du lemme 2.7.
Le lemme 2.9 montre qu’il suffit de vérifier que (X-parf Y )⊥ = 0 pour démontrer le lemme
2.10.
Commençons par démontrer le lemme lorsque X est affine. Soit {y1 , . . . , yr } une famille de
générateurs de l’idéal de définition de Y et
r
O
yi
(0 → OX −
→ OX → 0)
Gr =
i=1
le complexe de Koszul (les termes non nuls sont en degrés −r, . . . , 0). On montre par récurrence
sur r qu’un objet C ∈ DY (X-qcoh) est nul si Gr ⊗ C = 0 est nul. On en déduira le lemme,
puisque Hom(G∨r , C[i]) ' H i (Gr ⊗ C), où G∨r = R Hom(Gr , OX ) est le dual de Gr . Le cas r = 0
est clair.
Prenons r > 0 et soit C ∈ DY (X-qcoh) non nul. Par récurrence, il existe i tel que H i (Gr−1 ⊗C)
est non nul. Le triangle distingué
yr
→ Gr−1 ⊗ C → Gr ⊗ C Ã
Gr−1 ⊗ C −
yr
→ H i (Gr−1 ⊗ C). Puisque H i (Gr−1 ⊗
fournit une suite exacte H i−1 (Gr ⊗ C) → H i (Gr−1 ⊗ C) −
C) est supporté par le fermé yr = 0, la multiplication par yr y a un noyau non nul, donc
H i−1 (Gr ⊗ C) 6= 0. Ceci complète la preuve du lemme 2.10 dans le cas affine.
On prouve maintenant le lemme par récurrence sur le nombre minimal d’ouverts affines
nécessaires pour recouvrir X.
Soit X = U1 ∪ U2 avec U1 ouvert affine et U2 ouvert vérifiant le lemme. On pose Zi = X − Ui .
Soit C ∈ DY (X-qcoh) tel que Hom(D, C) = 0 pour tout D ∈ X-parf Y .
Soit D ∈ U1 -parf Y ∩Z2 . Le foncteur Rj1∗ : D(U1 -qcoh) → D(X-qcoh) se restreint en des
∼
∼
équivalences DY ∩Z2 (U1 ) → DY ∩Z2 (X) et U1 -parf Y ∩Z2 → X-parf Y ∩Z2 . Par conséquent, on a
6
RAPHAËL ROUQUIER
can
Hom(Rj1∗ D, C) = 0. Soit C 0 le cocône du morphisme d’adjonction C −−→ Rj2∗ j2∗ C. On a
Hom(Rj1∗ D, Rj2∗ j2∗ C) ' Hom(j2∗ Rj1∗ D, j2∗ C) = 0, donc Hom(Rj1∗ D, C 0 ) ' Hom(Rj1∗ D, C) =
0. Puisque C 0 est supporté par Y ∩ Z2 , il existe C 00 ∈ DY ∩Z2 (U1 -qcoh) tel que C 0 = Rj1∗ C 00 . On
a alors Hom(D, C 00 ) = Hom(Rj1∗ D, C 0 ) = 0. Par le cas affine du lemme, on déduit que C 00 = 0,
donc C ' Rj2∗ j2∗ C.
Soit E 0 ∈ U2 -parf Y ∩U2 , E = E 0 ⊕ E 0 [1] et G = E|U1 ∩U2 . La cas affine du théorème montre
∼
qu’il existe F ∈ U1 -parf Y ∩U et un isomorphisme F|U1 ∩U2 → G. Soit maintenant D le cocône du
morphisme somme des morphismes d’adjonction Rj2∗ E ⊕ Rj1∗ F → Rj12∗ G. Alors, j1∗ D ' F et
j2∗ D ' E, donc D ∈ X-parf Y . On a Hom(E, j2∗ C) ' Hom(D, Rj2∗ j2∗ C) = 0. Par récurrence, on
¤
en déduit que j2∗ C = 0, donc que C = 0. On a donc démontré le lemme 2.10 pour X.
Exercice 2.1.
L tout ensemble I d’objets de X-qcoh, le morphisme
L Soit C ∈ X-qcoh tel que pour
Hom(C,
D)
→
Hom(C,
canonique
D∈I D) est un isomorphisme. Montrer que C est
D∈I
cohérent.
Un cas particulier utile du théorème 2.6 est fourni par le corollaire suivant.
Corollaire 2.12. Soit L un fibré vectoriel sur U . Alors, il existe un complexe parfait sur X
dont la restriction à U est quasi-isomorphe à L ⊕ L[1].
Remarque 2.13. Montrons, suivant Serre, que le théorème 2.6 n’est pas correct au niveau des
fibrés vectoriels.
Soit X = A3 et U = X − {0}. Soit F le fibré vectoriel sur U image inverse du fibré tangent
sur P2 . Le morphisme de restriction K0 (X) → K0 (U ) est un isomorphisme. Puisque F n’est
pas la somme directe de deux fibrés en droite, il n’est pas restriction d’un fibré vectoriel sur X.
Soit G un faisceau cohérent sur X étendant U. Alors, le deuxième syzygy Ω2 G de G est
localement libre (donc libre) et ceci fournit un complexe parfait étendant F : on a un complexe
de faisceaux libres
0 → Ω2 G → P −1 → P 0 → 0
d’homologie concentrée en degré 0 et isomorphe à G.
Remarque 2.14. On montre de manière analogue à la proposition 2.1 qu’on a une suite
exacte 0 → DZb (X-coh) → D b (X-coh) → D b (U -coh) → 0. Lorsque X est lisse, alors X-parf =
Db (X-coh), donc le théorème théorème 2.6 découle de cette suite exacte — dans ce cas, le
morphisme K0 (X) → K0 (U ) est surjectif.
2.2.5. Thomason déduit du théorème 2.6 une suite exacte longue pour la K-théorie supérieure,
via la théorie de Waldhausen :
Théorème 2.15. On a une suite exacte longue
· · · → Ki (X sur Z) → Ki (X) → Ki (U ) → Ki−1 (X sur Z) → · · ·
Cette suite exacte longue est fondamentale pour déduire d’autres propriétés des K i .
Thomason obtient ainsi un résultat d’excision.
Théorème 2.16. Si X = U ∪ V avec V ouvert et Z ⊂ V , alors on a un isomorphisme
∼
Ki (X sur Z) → Ki (V sur Z).
Il en déduit ensuite un théorème de Mayer-Vietoris.
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Théorème 2.17. Soient U et V deux ouverts de X. Alors, on a une suite exacte longue
· · · → Ki (U ∪ V ) → Ki (U ) ⊕ Ki (V ) → Ki (U ∩ V ) → Ki−1 (U ∪ V ) → · · ·
Ces suites se prolongent en les i négatifs, via une version du théorème fondamental de Bass :
Théorème 2.18. On a une suite exacte
0 → Ki (X) → Ki (X[T ]) ⊕ Ki (X[T −1 ]) → Ki (X[T, T −1 ]) → Ki−1 (X) → 0
Les méthodes classiques utilisant des catégories exactes n’avaient permis de démontrer de tels
énoncés que sous des hypothèses restrictives (par exemple, pour des variétés lisses). Thomason
déduit aussi un principe local-global pour les Ki .
3. Reconstruction
3.1. Classification des sous-catégories de Serre. Commençons par voir le cas classique
des faisceaux cohérents.
3.1.1. On dit qu’une sous-catégorie de Serre I d’une catégorie abélienne A est de type fini si
elle est engendrée par un objet (i.e., la plus petite sous-catégorie épaisse de A contenant l’objet
est la catégorie I). On dit qu’une sous-catégorie de Serre I est irréductible si elle n’est pas
réduite à 0 et si elle n’est pas engendrée par deux sous-catégories de Serre propres de I.
Théorème 3.1 (Gabriel). L’application Z 7→ X-cohZ , de l’ensemble des fermés de X vers
l’ensemble des sous-catégories de Serre de type fini de X-coh est une bijection.
Les fermés irréductibles correspondent aux sous-catégories de Serre irréductibles.
Ce résultat est conséquence immédiate du lemme suivant :
Lemme 3.2. Tout faisceau cohérent de support Z engendre X-cohZ comme sous-catégorie de
Serre.
Démonstration. Soit F un faisceau cohérent de support Z et I la sous-catégorie de Serre de
X-coh engendrée par F . Soit i : Y → X une immersion fermée. Tout faisceau cohérent sur X
supporté par Y est extension de faisceaux de la forme i∗ G. Soit J la sous-catégorie de Serre de
Y -coh engendrée par i∗ F . Puisque i∗ i∗ F est dans I, alors i∗ (J ) ⊂ I. Si J = Y -cohY ∩Z , alors
X-cohY ∩Z ⊂ I. Si en outre Z ⊂ Y , alors I = X-cohZ .
On en déduit qu’il suffit d’établir le lemme lorsque X est réduit et Z = X. On prouve ceci
par récurrence sur la dimension n de X puis sur le nombre de composantes irréductibles de
X de dimension n, puis sur le nombre de composantes irréductibles de X de dimension n − 1,
etc...
Soit Y un fermé de X distinct de X. On déduit par récurrence de l’étude précédente que
X-cohY ⊂ I.
Soit M un faisceau cohérent sur X. Soit U un ouvert affine irréductible de X et j : U → X
l’immersion ouverte correspondante. Quitte à rapetisser U , les faisceaux j ∗ M et j ∗ F sont libres,
∼
de rangs respectifs r et s > 0. Soit alors f : j ∗ F r → j ∗ M s un isomorphisme. D’après la
proposition 2.1, il existe M 0 faisceau cohérent sur X, ψ : F r → M 0 et φ : M s → M 0 tels
que j ∗ (ψ) = j ∗ (φ)f et j ∗ (φ) est un isomorphisme. Les noyaux et conoyaux de φ et ψ ont leur
support inclus dans le fermé X − U de X, donc sont dans I. Par conséquent, M ∈ I.
¤
8
RAPHAËL ROUQUIER
3.1.2.
Lemme 3.3. Pour R un anneau, le morphisme canonique Z(R) → Z(R-mod) est un isomorphisme.
Démonstration. L’évaluation en R fournit un inverse à gauche. Soit α ∈ Z(R-mod) tel que
α(R) = 0. Tout R-module étant quotient d’un R-module libre, on en déduit que α = 0.
¤
Corollaire 3.4. La catégorie abélienne X-coh détermine la variété X.
Démonstration. On définit un espace annelé E. Ses points sont les sous-catégories de Serre
irréductibles de type fini de X-coh. Les ouverts sont les D(I), ensemble des J qui ne sont pas
contenues dans une sous-catégorie de Serre I donnée.
D’après le théorème 3.1, l’application qui a un point x de X associe X-coh{x} définit un
homéomorphisme X → E.
On considère le préfaisceau d’anneaux sur E donné par OE0 (D(I)) = Z(X-coh /I). Si D(I 0 ) ⊂
D(I), alors le foncteur quotient X-coh /I → X-coh /I 0 induit un morphisme Z(X-coh /I) →
Z(X-coh /I 0 ). On note OE le faisceau associé. Le morphisme canonique Γ(U ) → Z(U -coh)
induit un morphisme d’espaces annelés X → E. Pour vérifier que c’est un isomorphisme, il
suffit de le faire sur des ouverts affines et le lemme 3.3 l’affirme dans ce cas.
¤
Remarque 3.5. En fait, le lemme 3.3 est vrai pour des variétés non affines : le morphisme
canonique Γ(OX ) → Z(X-coh) est un isomorphisme d’anneaux. On le déduit de la construction
de la catégorie X-coh comme recollement des catégories abéliennes Ui -coh le long des catégories
quotients (Ui ∩ Uj )-coh, lorsque les Ui forment un recouvrement ouvert fini de X.
Par conséquent, le préfaisceau de la preuve du corollaire 3.4 est déjà un faisceau.
3.2. Classification des sous-catégories épaisses.
3.2.1. Inspirés par les travaux sur la catégorie homotopique stable (description de la tour
chromatique), Hopkins et Neeman établissent une classification des sous-catégories épaisses
de la catégorie des complexes parfaits sur un schéma affine. Thomason généralise ensuite ces
résultats.
Soit I une sous-catégorie épaisse de X-parf. On dit que I est de type fini si elle est engendrée
par un objet (i.e., si I est la plus petite sous-catégorie épaisse de X-parf contenant l’objet). On
dit que I est un idéal si elle est épaisse et si pour tous C ∈ I et D ∈ X-parf, alors C ⊗ L D ∈ I.
On dit que en outre que I est irréductible si elle est est non nulle et n’est pas engendrée par
deux idéaux propres.
Théorème 3.6. L’application Z 7→ X-parf Z , de l’ensemble des fermés de X vers l’ensemble
des idéaux de type fini de X-parf, est une bijection.
Les fermés irréductibles correspondent aux sous-catégories irréductibles.
Le premier point à vérifier est fourni par le lemme suivant
Lemme 3.7. Soit Z un fermé de X. Alors, il existe un complexe parfait sur X de support Z.
Démonstration. Supposons pour commencer Z irréductible et X = Spec R affine. Alors, Z est
N
fi
→ R → 0) est Z, ce qui résoud la
définie par f1 = 0, . . . , fn = 0. Le support de i (0 → R −
question dans ce cas.
CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
9
On suppose toujours Z irréductible mais on ne suppose plus X affine. Soit U un ouvert affine
de X contenant le point générique de Z. Alors, il existe C ∈ U -parf de support U ∩ Z. D’après
la version « à supports » du théorème de localisation (théorème 2.11), il existe D ∈ X-parf Z
tel que D|U ' C ⊕ C[1]. On a Supp(D) ∩ U = Z ∩ U , d’où finalement Supp(D) = Z.
Passons au cas général. Soit Z = Z1 ∪ · · · ∪ Zr la décomposition en L
composantes irréductibles
et Ci ∈ X-parf de support Zi . Alors le support du complexe parfait
Ci est Z.
¤
Le théorème 3.6 résulte alors du lemme suivant.
Lemme 3.8. Un complexe parfait sur X de support Z engendre X-parf Z comme idéal.
Démonstration. Soit C ∈ X-parf de support Z et I l’idéal de X-parf engendré par C. D’après
les lemmes 2.9 et 2.10, on a I = X-parf Z si et seulement si DZ (X-coh) ⊂ Ī.
Notons que pour i : Y → X une immersion fermée, alors i∗ Li∗ C ' C ⊗L OY ∈ Ī car OY ∈
D(X-qcoh) = X-parf (lemme 2.9). En outre, Li∗ C ∈ Y -parf Y ∩Z . Tout objet de DYb ∩Z (X-coh)
est extension finie (=cône itéré) d’objets i∗ G avec G ∈ DYb ∩Z (Y -coh). Soit J la sous-catégorie
épaisse de Y -parf Y ∩Z engendrée par Li∗ C. Puisque i∗ (Li∗ C ⊗L M ) ' C ⊗L i∗ M pour tout
M ∈ D(Y -qcoh), on a i∗ (J¯) ⊂ Ī. Si J¯ = DY ∩Z (Y -qcoh), alors DYb ∩Z (X-coh) ⊂ i∗ (J¯). Si en
outre Z ⊂ Y , alors I = X-parf Z .
On en déduit qu’il suffit d’établir le résultat lorsque X est réduit et Z = X. On prouve ceci
par récurrence sur la dimension n de X puis sur le nombre de composantes irréductibles de
X de dimension n, puis sur le nombre de composantes irréductibles de X de dimension n − 1,
etc...
Soit Z un fermé de X distinct de X. On déduit par récurrence de l’étude précédente que
X-parf Z ⊂ I.
Soit M ∈ X-parf. Il existe un ouvert affine non vide j : U → X tel que j ∗ M et j ∗ C sont
des sommes de OU [r]. Par conséquent, il existe des espaces vectoriels gradués de dimension
finie (vus commes complexes de k-espaces vectoriels à différentielle nulle) V 6= 0 et W et
∼
un isomorphisme f : j ∗ (C ⊗k W ) → j ∗ (M ⊗k V ). Le théorème 2.6 montre l’existence de
M 0 ∈ X-parf, de ψ : C ⊗k W → M 0 et φ : M ⊗k V → M 0 tels que j ∗ (ψ) = j ∗ (φ)f et j ∗ (φ) est
un isomorphisme. Les cônes de φ et ψ ont leur support inclus dans le fermé X − U de X, donc
sont dans I par récurrence. Par conséquent, M ∈ I.
¤
Remarque 3.9. La preuve classique du théorème 3.6 passe par le résultat suivant.
Soit C ∈ X-parf, D ∈ D(X-qcoh) et f : C → D. On suppose que pour tout point x de X,
on a f ⊗ k(x) = 0 dans D(k(x)-mod).
Alors, il existe un entier n tel que ⊗n f : ⊗n C → ⊗n D est nulle dans D(X-qcoh).
3.2.2. On procède alors comme dans le §3.1 pour obtenir un théorème de reconstruction (cf
Balmer et l’auteur).
Lemme 3.10. Soit X une variété, Z(X-parf)lnil le sous-anneau de Z(X-parf) formé des α
tels que α(C) est nilpotent pour tout C ∈ X-parf et Z(X-parf)lred = Z(X-parf)/Z(X-parf)lnil .
∼
Alors, le morphisme canonique Γ(OX ) → Z(X-parf) induit un isomorphisme Γ(OX )red →
Z(X-parf)lred .
Démonstration. L’évaluation en OX fournit un inverse à gauche au morphisme canonique
Γ(OX ) → Z(X-parf).
10
RAPHAËL ROUQUIER
Supposons pour commencer X = Spec R. Soit α ∈ Z(R-parf) tel que α(R) = 0. Un complexe
parfait est quasi-isomorphe à un complexe borné C de R-modules projectifs de type fini. Soit
n = max{i|C i 6= 0} − min{i|C i 6= 0}. On vérifie par récurrence sur n que α(C)n+1 = 0, d’où le
lemme dans le cas affine.
Prenons maintenant X une variété quelconque et α ∈ Z(X-parf) tel que α(OX ) = 0. Soit
U un ouvert affine de X et αU ∈ Z(U -parf) induit par α. Alors, αU (OU ) = 0, donc pour tout
C ∈ U -parf, l’endomorphisme αU (C) est nilpotent. Soit X = U1 ∪ · · · ∪ Ur un recouvrement par
des ouverts affines et V = U2 ∪ · · · ∪ Ur . On montre le lemme par récurrence sur r. Soit C ∈
X-parf et n > 0 tel que αU1 (C|U1 )n = 0. Alors, α(C)n se factorise par un objet C 0 ∈ X-parf Z ,
où Z = X − U1 et α(C)(d+1)n se factorise par α(C 0 )dn pour tout d ≥ 0. Puisque Z ⊂ V , le
0
foncteur de restriction X-parf Z → V -parf Z est pleinement fidèle. Par récurrence, αV (C|V
) est
0
nilpotent, donc α(C ) est nilpotent et finalement α(C) est nilpotent.
¤
Théorème 3.11 (Balmer, R.). Si X est réduite, alors la catégorie X-parf, vue comme catégorie
triangulée tensorielle, détermine X.
Ce résultat n’est pas satisfaisant, on aimerait ne pas utiliser la structure tensorielle. Le
problème est qu’il y a trop de sous-catégories épaisses en général.
Exemple 3.12. Soit X = P1 . Alors, la sous-catégorie épaisse de X-parf engendrée par O est
équivalente à D b (k-mod). Elle n’est pas de la forme X-parf Z .
Remarque 3.13. Pour R = k[x]/(x2 ), on montre que le centre de Z(R-parf) est plus gros
que R. Est-ce qu’un tel phénomène peut se passer pour X lisse (ou même seulement réduite),
éventuellement affine ?
Remarque 3.14. Une autre différence entre les cas triangulés et abéliens est que la catégorie
des complexes parfaits sur X ne s’obtient pas comme recollement des catégories de complexes
parfaits sur les ouverts d’un recouvrement.
3.2.3. Si L est un fibré ample sur X, alors X-parf est engendrée par les L⊗−i pour i > 0,
comme sous-catégorie épaisse (cf Lemme 2.9). On en déduit qu’une sous-catégorie épaisse I est
un idéal si pour tout C ∈ I, on a C ⊗ L−1 ∈ I.
Par conséquent, si X est affine, alors toute sous-catégorie épaisse de X-parf est un idéal.
D’où le corollaire suivant du théorème 3.11 (en fait, le lemme 3.10 donne une preuve directe
dans ce cas).
Corollaire 3.15. Si X est affine et réduite, alors la catégorie triangulée X-parf détermine X.
3.2.4. Pour traiter des cas plus intéressants, introduisons le foncteur de Serre, suivant Bondal
et Kapranov.
Soit C une catégorie k-linéaire. Un foncteur de Serre pour C est une équivalence de catégories
∼
S : C → C telle que pour tous X, Y ∈ C, on a un isomorphisme bifonctoriel
∼
Hom(X, Y )∗ → Hom(Y, S(X)).
S’il existe, un foncteur de Serre est unique à isomorphisme près.
Lemme 3.16. Soit X une variété projective lisse purement de dimension n. Alors, S = ω X [n]⊗
− est un foncteur de Serre pour D b (X-coh).
CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
11
Démonstration. On peut supposer X irréductible. Pour C ∈ D b (X-coh), on a un accouplement
Hom(O, C) × Hom(C, ωX [n]) → H n (X, ωX ) ' k. Lorsque l’homologie de C est concentrée en
un degré, le théorème de dualité de Serre affirme que cet accouplement est parfait. Puisque
le sous-catégorie des C tels que l’accouplement est parfait est une sous-catégorie épaisse, on
déduit que l’accouplement est parfait pour tout C.
∼
Via les isomorphismes canoniques Hom(C, D) → Hom(O, RHom(C, D)) et Hom(D, C ⊗
∼
ωX [n]) → Hom(RHom(C, D), ωX [n]), on déduit un accouplement parfait
Hom(C, D) × Hom(D, C ⊗ ωX [n]) → k.
¤
−1
Théorème 3.17 (Bondal-Orlov). Soit X une variété projective lisse telle que ω X ou ωX
est
ample. Alors, la catégorie triangulée D b (X-coh) détermine X.
Si Y est une variété projective lisse et si on a une équivalence de catégories triangulées
Db (X-coh) ' D b (Y -coh), alors X ' Y .
Démonstration. Le point crucial est que le foncteur de Serre est intrinsèque à la catégorie
Db (X-coh). Il suffit alors de noter que les sous-catégories épaisses invariantes par les itérés
(négatifs et positifs) du foncteur de Serre sont des idéaux (cf §3.2.3 et lemme 3.16) pour obtenir
une reconstruction de X à partir de D b (X-coh).
∼
On se donne maintenant F : D b (X-coh) → Db (Y -coh). Notons que F commute avec les
foncteurs de Serre : F SX ' SY F .
Soit Z un fermé de Y . Puisque F −1 (DZb (Y -coh)) est une sous-catégorie épaisse D b (X-coh)
i
b
stable par SX
pour tout i, elle est de la forme DΦ(Z)
(X-coh) et on obtient donc une injection
Φ entre ensembles de fermés de Y et X.
Supposons Z irréductible. Soit V un ouvert affine de Y . Alors, F −1 induit une équivalence
∼
∼
Db (V -coh) → Db ((X − Φ(Y − V ))-coh) qui se restreint en une équivalence DZb (V -coh) →
b
DΦ(Z)
((X − Φ(Y − V ))-coh). Puisque DZb (V -coh) est une sous-catégorie épaisse irréductible
b
(§3.2.3 et théorème 3.6), alors DΦ(Z)
((X − Φ(Y − V ))-coh) est une sous-catégorie épaisse
b
irréductible de D ((X − Φ(Y − V ))-coh), donc Φ(Z) ∩ (X − Φ(Y − V )) est irréductible. Si
Y = V1 ∪ · · · ∪ Vr est un recouvrement par des ouverts affines, alors les X − Φ(Y − Vi ) forment
un recouvrement ouvert de X, donc finalement Φ(Z) est irréductible.
On définit φ : Y → X une injection entre points par φ(y) = Φ(y). Si y est un point
b
fermé, alors, d’après le lemme 3.19, la sous-catégorie épaisse D{y}
(Y -coh) de D b (Y -coh) est
b
(Y -coh)) =
minimale parmi les sous-catégories épaisses non nulles. Par conséquent, F −1 (D{y}
b
i
Dφ(y) (X-coh) est une sous-catégorie épaisse minimale de D (X-coh) et elle est stable par SX
pour tout i. On en déduit que φ(y) est un point fermé.
Soit x un point fermé de X qui n’est pas dans l’image de φ. Alors, Hom(O{x} , C[i]) = 0 pour
b
tout i ∈ Z et tout C ∈ D{φ(y)}
(X-coh). Par conséquent, Hom(F (O{x} ), O{y} [i]) = 0 pour tout y
point fermé de Y et i ∈ Z. On déduit du lemme 3.18 que F (O{x} ) = 0, d’où une contradiction,
i.e., φ est bijective.
b
Soit Z un fermé de Y . Alors, un point fermé y de Y est dans Z si et seulement si D{y}
(Y -coh) ⊂
b
b
b
DZ (Y -coh). On a donc x ∈ Φ(Z) si et seulement si D{x} (X-coh) ⊂ DΦ(Z) (X-coh), donc
φ(Z) = Φ(Z) est un fermé de X. Ceci montre que ψ = φ−1 : X → Y est continue.
12
RAPHAËL ROUQUIER
Soit U = Y − Z un ouvert de Y . On a une suite d’isomorphismes canoniques (cf lemme 3.10)
∼
∼
∼
Γ(U ) → Z(Db (U -coh))lred −−−1
→ Z(Db (φ(U )-coh))lred → Γ(φ(U )).
F
Ceci étend ψ : X → Y en un isomorphisme d’espaces annelés.
¤
Lemme 3.18. Soit X une variété et C ∈ D b (X-coh) tel que Hom(C, O{x} [i]) = 0 pour tout
point fermé x de X et tout i ∈ Z. Alors, C = 0.
Démonstration. Soit i maximal tel que Hi (C) 6= 0 et x un point fermé. Le morphisme canonique
Hom(Hi (C), O{x} ) → Hom(C, O{x} [−i]) est injectif. Pour x dans le support de Hi (C), on a
Hom(Hi (C), O{x} ) 6= 0, donc Hom(C, O{x} [−i]) 6= 0.
¤
Lemme 3.19. Soit X une variété algébrique et x un point fermé de X. Alors, X-parf {x} est
minimale parmi les sous-catégories épaisses non nulles de X-parf.
Démonstration. Soit U un ouvert affine de X contenant x. Alors, le foncteur de restriction
X-parf {x} → U -parf {x} est pleinement fidèle. D’après le théorème 3.6 et §3.2.3, la sous-catégorie
épaisse U -parf {x} de U -parf est minimale parmi les sous-catégories épaisses non nulles, d’où le
résultat.
¤
Remarque 3.20. Bondal et Orlov démontrent en fait que la structure de catégorie graduée
(i.e., on oublie les triangles distingués) suffit pour le théorème 3.17. Leur preuve consiste à
caractériser les faisceaux gratte-ciel à l’aide du foncteur de Serre, puis à retrouver les fibrés
inversibles et enfin à utiliser l’algèbre graduée correspondant au fibré ample ω ±1 .
Bondal et Orlov décrivent aussi le groupe des auto-équivalences. Nous l’obtiendrons (théorème
4.8) à partir du théorème de représentabilité d’Orlov.
4. Comparaison de catégories dérivées
On suppose dans la suite que le corps k est algébriquement clos.
4.1. Introduction. Commençons par énoncer des problèmes centraux sur les catégories dérivées
de variétés.
Conjecture 4.1 (Bondal-Orlov). Si X et Y sont deux variétés projectives lisses K-équivalentes,
i.e., s’il existe une variété projective lisse Z et des morphismes birationnels f : Z → X et
g : Z → Y tels que f ∗ ωX ' g ∗ ωY (« flop généralisé »), alors D b (X-coh) ' D b (Y -coh).
La réponse est positive en dimension ≤ 3 (Bridgeland).
Kawamata conjecture que la réciproque est vraie : deux variétés projectives lisses birationnelles avec des catégories dérivées équivalentes sont K-équivalentes.
Pour des variétés de Calabi-Yau (ω trivial), on s’attend donc à ce que birationnalité et Déquivalence coı̈ncident. Ceci est attendu comme conséquence de la conjecture de Kontsevich de
symétrie miroir.
Si les catégories dérivées sont équivalentes, alors les dimensions de X et Y sont égales (utiliser
l’égalité des adjoints à gauche et à droite du foncteur qui donne l’équivalence, calculés à l’aide
de la dualité de Serre).
Kawamata conjecture aussi qu’il n’existe qu’un nombre fini de variétés projectives lisses dont
la catégorie dérivée est équivalente à la catégorie dérivée d’une variété projective lisse donnée
(c’est vrai en dimension ≤ 2).
CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
13
Conjecture 4.2 (Bondal-Orlov). Soient f : Z → X et g : Z → Y des morphismes birationnels
entre variétés projectives lisses tels que f ∗ ωX −g ∗ ωY est un diviseur effectif (« flip généralisé »).
Alors, il existe un foncteur pleinement fidèle D b (Y -coh) → D b (X-coh).
Le programme de Mori devrait alors s’interpréter comme une minimisation de la catégorie
dérivée, un modèle minimal pour une variété X devant être construit comme un espace de
module d’objets de la catégorie dérivée de X.
Remarque 4.3. Soit F : D b (Y -coh) → D b (X-coh) pleinement fidèle. Alors, Y est un espace
de modules fin (en un sens à préciser) pour {F (Oy )}y∈Y .
4.2. Foncteurs pleinement fidèles et décompositions semi-orthogonales.
4.2.1. Soit I une sous-catégorie épaisse d’une catégorie triangulée T . On dit que hI ⊥ , Ii est
une décomposition semi-orthogonale de T lorsque pour tout object C de T , il existe un triangle
distingué C1 → C → C2 Ã avec C1 ∈ I et C2 ∈ I ⊥ . Ceci revient à demander que le foncteur
canonique I ⊥ → T /I soit une équivalence ou à demander que le foncteur d’inclusion I → T
ait un adjoint à droite.
Lorsque I ⊥ = hK, J i, on écrit T = hK, J , Ii et on généralise aux décompositions T =
hI1 , . . . , Im i.
Remarque 4.4. Soit X une variété projective lisse connexe de Calabi-Yau purement de dimension n. Alors, il n’y a pas de décomposition semi-orthogonale non triviale de D b (X-coh).
En effet, si hI ⊥ , Ii est une telle décomposition, alors Hom(C, D) ' Hom(D, C[n])∗ = 0 pour
C ∈ I ⊥ et D ∈ I. On en déduit que T = I ⊕ I ⊥ , ce qui force I = 0 ou I ⊥ = 0 car X est
connexe.
4.2.2. Voyons le cas particulier des suites exceptionnelles d’objets. C’est une suite (C 1 , . . . , Cm )
d’objets de T telle que
– Hom(Ci , Cj [r]) = 0 si i > j
– Hom(Ci , Ci [r]) = 0 si r 6= 0
– End(Ci ) = k.
On dit que la suite est complète si la plus petite sous-catégorie pleine triangulée de T contenant les Ci est T .
Soit (C1 , . . . , Cm ) une suite exceptionnelle complète. Notons Ii la sous-catégorie triangulée de
∼
T engendrée par Ci . On a une équivalence Ci ⊗k − : Db (k-mod) → Ii . On a une décomposition
semi-orthogonale T = hI1 , . . . , Im i. Réciproquement, toute décomposition semi-orthogonale
en des catégories équivalentes à D b (k-mod) provient d’une suite exceptionnelle d’objets. L’ensemble {[Ci ]} forme une base de K0 (T ).
L
Supposons maintenant que T est localement de type fini, i.e., que dim i Hom(X, Y [i]) < ∞
pour tous X, Y ∈ T — par exemple, T = D b (X-coh) pour X projective
La base {[Ci ]} est
P lisse.
i
semi-orthogonale pour la forme d’Euler (donnée par h[C], [D]i = i (−1) dim Hom(C, D[i])),
i.e., la matrice de la forme d’Euler dans cette base est triangulaire supérieure.
On définit une action du groupe de tresses d’Artin
Bd = hσ1 , . . . , σd−1 |σi σj = σj σi si |i − j| > 1 et σi σi+1 σi = σi+1 σi σi+1 }
sur l’ensemble des suites exceptionnelles de longueur d par « mutations ».
14
RAPHAËL ROUQUIER
Soit (C1 , C2 ) une suite exceptionnelle. On définit L(C1 , C2 ) par le triangle distingué suivant
M
can
L(C1 , C2 ) →
Hom(C1 [i], C2 ) ⊗ C1 [i] −−→ C2 Ã .
i
Alors, on vérifie aisément que (L(C1 , C2 ), C1 ) est une suite exceptionnelle.
Soit (C1 , . . . , Cd ) une suite exceptionnelle. On pose alors
σi (C1 , . . . , Cd ) = (C1 , . . . , Ci−1 , L(Ci , Ci+1 ), Ci , Ci+2 , . . . , Cd )
et on vérifie que l’on obtient une action de Bd sur l’ensemble des classes d’isomorphisme de
suites exceptionnelles de longueur d.
Exemple 4.5. Pour X = Pn , alors (O, O(1), . . . , O(n)) est une suite exceptionnelle complète.
Par mutation, les nouvelles suites exceptionnelles obtenues sont encore formées de faisceaux.
Kapranov a construit des suites exceptionnelles complètes pour les quadriques projectives
lisses et les variétés de drapeaux de type A.
Pour P2 , tous les faisceaux exceptionnels sont obtenus par mutation à partir de la suite
élémentaire (O, O(1), O(2)) d’après Gorodentsev et Rudakov. Si (E1 , E2 , E3 ) est une suite exceptionnelle de faisceaux pour P2 , alors les ri = rg Ei sont solution de l’équation de Markov :
r12 + r22 + r32 = 3r1 r2 r3 .
4.2.3. Mentionnons quelques problèmes importants, suivant Rudakov.
Question . Est-ce que Bn+1 agit transitivement sur l’ensemble des suites exceptionnelles
complètes sur Pn , à décalages près ?
Ceci impliquerait en particulier que, à décalages près, toute suite exceptionnelle complète est
formée de faisceaux.
Question . Est-ce qu’il n’y a qu’un nombre fini d’orbites de suites exceptionnelles complètes
(à décalages près) sur une variété de Fano ?
Question . Est-ce que tout faisceau exceptionnel sur Pn fait partie d’une suite exceptionnelle
complète ?
Ces questions ont des réponses positives en dimension ≤ 2.
4.2.4. La catégorie dérivée d’un éclatement admet une décomposition semi-orthogonale :
Théorème 4.6 (Orlov). Soit X une variété projective lisse, E une sous-variété lisse de codimension r et X̃ l’éclatée de X en E. Alors, on a une décomposition semi-orthogonale de
Db (X̃-coh) en r − 1 termes équivalents à D b (E-coh) et un terme équivalent à D b (X-coh).
4.3. Transformations de Fourier-Mukai.
4.3.1. L’idée des transformations à noyau est la suivante : on se donne une fonction φ :
X × Y → C. On
R a alors une application des fonctions sur Y vers les fonctions sur X donnée
par f 7→ (x 7→ Y f (y)φ(x, y)dy).
CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
15
Cette construction a un analogue pour les faisceaux. Soient X et Y deux variétés algébriques
et p : X × Y → X, q : X × Y → Y les deux projections.
X
X × YG
GG q
GG
GG
GG
#
ww
ww
w
ww
w{ w
p
Y
Soit K ∈ D((X × Y )-qcoh). On définit alors le foncteur (dit de « Fourier-Mukai ») Φ K :
D(Y -qcoh) → D(X-qcoh) par ΦK (C) = Rp∗ (q ∗ C ⊗L K). Les mêmes constructions pour les
faisceaux constructibles ou les D-modules sont classiques.
4.3.2. L’imperfection des axiomes des catégories triangulées rend la première partie du résultat
suivant délicate.
Théorème 4.7 (Orlov). Soient X et Y projectives et lisses. Soit F : D b (Y -coh) → D b (X-coh)
pleinement fidèle. Alors,
– il existe un unique K ∈ D b ((X × Y )-coh) tel que F ' ΦK
– on a une décomposition semi-orthogonale D b (Y -coh) = h(im F )⊥ , im F i.
∼
Pour α : X → Y un isomorphisme de graphe Z, alors ΦOZ = α∗ est une équivalence. Soit L
un fibré en droites sur X et i : X → X × X le plongement diagonal. Alors, Φi∗ L = L⊗? est une
auto-équivalence. On dispose en outre de l’auto-équivalence Φi∗ OX [n] =?[n] pour n ∈ Z.
On obtient ainsi un morphisme de Z × (Pic X o Aut(X)) vers le groupe Aut(D b (X-coh)) des
(classes d’isomorphisme) d’auto-équivalences de D b (X-coh).
−1
Théorème 4.8 (Bondal-Orlov). Soit X une variété projective lisse connexe avec ω X ou ωX
∼
ample. Alors, le morphisme Z × (Pic X o Aut(X)) → Aut(D b (X-coh)) est un isomorphisme.
Démonstration. Soit F une auto-équivalence de D b (X-coh). On construit, comme dans la preuve
du théorème 3.17, un automorphisme ψ de X tel que F (DZ (X-coh)) = Dψ(Z) (X-coh) pour tout
fermé Z de X. Quitte à remplacer F par F ψ ∗ , on peut supposer que DZ (X-coh) est stable par
F pour tout fermé Z de X. En outre, F induit par restriction une auto-équivalence F x de
Db (Ox -mod) pour tout point fermé x de X.
Soit C = F (OX ). Alors, Hom(Cx , Cx [i]) ' Hom(Ox , Ox [i]) = 0 pour i 6= 0. Soit D un
complexe borné de Ox -modules projectifs de type fini quasi-isomorphe à Cx et tel que pour
i minimal (resp. maximal) tel que di 6= 0, alors diD n’est pas une injection (resp. une surjection) scindée. Soient r et s ces entiers minimaux et maximaux. Le morphisme canonique
Hom(Dr , Ds ) → HomD(Ox -mod) (D, D[s−r]) est non nul. Par conséquent, on a r = s, i.e., H i (Cx )
est concentré en un degré i = rx et H rx (Cx ) est libre. En outre, End(Cx ) ' End(Ox ) = Ox ,
donc H rx (Cx ) est libre de rang 1. L’ensemble des x tels que H i (Cx ) 6= 0 est un fermé de X.
Puisque X est connexe, on en déduit que rx = r est constant. Par conséquent, C ' Hr (C)[−r]
et L = Hr (C) est un fibré en droites sur X. Quitte à remplacer F par (L−1 ⊗ −) ◦ F , on peut
supposer que F (OX ) ' OX .
Il faut maintenant voir que F est isomorphe au foncteur identité. On utilise pour cela le
théorème 4.7. Soit K ∈ D b ((X × X)-coh) tel que F ' ΦK . Pour x1 , x2 points fermés de X, on a
Hom(K, O{(x1 ,x2 )} [i]) ' Hom(ΦK (O{x1 } ), O{x2 } [i]). Ceci est nul si x1 6= x2 , donc K est supporté
par ∆X, la diagonale dans X × X. On a Rp∗ K ' ΦK (OX ) ' OX , donc O{x} ⊗L K ' O{x}
16
RAPHAËL ROUQUIER
pour tout point fermé x. Par conséquent, K ' i∗ M, où M est un fibré en droites sur X et
i : X → X × X est le plongement diagonal. Finalement, Rp∗ K ' M, donc M ' OX .
¤
Proposition 4.9 (Bondal-Orlov). Supposons X et Y projectives et lisses et soit K ∈ D b ((X ×
Y )-coh). Le foncteur ΦK est pleinement fidèle si et seulement si pour tous points fermés y, y 0
de Y , on a
(
0 sauf si y = y 0 et 0 ≤ i ≤ dim Y
HomD(X) (ΦK (O{y} ), ΦK (O{y0 } )[i]) =
k si y = y 0 et i = 0
C’est une équivalence si en plus ΦK (O{y} ) ⊗ ωX ' ΦK (O{y} ) pour tout point fermé y de Y .
Le résultat suivant de Mukai est le point de départ des travaux sur les équivalences entre
catégories dérivées de faisceaux cohérents.
Théorème 4.10 (Mukai). Soit A une variété abélienne, A∨ sa variété duale et P le fibré de
∼
Poincaré. Alors, ΦP : Db (A∨ -coh) → Db (A-coh) est une équivalence.
Démonstration. On vérifie d’abord le critère de pleine fidélité de la proposition 4.9. Pour x
point fermé de A∨ , alors ΦK (O{x} ) est un fibré en droites Lx de degré 0 sur A. Il suffit alors
d’utiliser que H ∗ (L) = 0 pour un fibré en droites L non trivial de degré 0 sur A pour déduire
la pleine fidélité de ΦP . Puisque ωA ' OA , alors ΦK est une équivalence.
¤
En s’appuyant sur le théorème 4.6, on démontre :
Théorème 4.11 (Orlov). Soit X une variété projective lisse, E une sous-variété fermée isomorphe à Pd telle que NE/X ' OE (−1)l+1 avec l ≤ d. Soit f : X̃ → X l’éclatée de X en E.
Le diviseur exceptionnel est isomorphe à Pd × Pl et soit g : X̃ → Y la contraction dans l’autre
direction. On suppose que Y est algébrique.
Alors, Rf∗ Lg ∗ : Db (Y -coh) → D b (X-coh) est pleinement fidèle et c’est une équivalence si
l = d.
4.3.3. Nous terminons par la correspondance de McKay. Soit X une variété quasi-projective
lisse connexe de dimension n, munie de l’action d’un groupe fini G d’ordre inversible dans k.
On considère la variété Y = G-Hilb(X) des G-clusters sur X. Soit Z le fibré universel sur
G-Hilb(X).
On suppose que le stabilisateur Gx d’un point fermé x de X agit trivialement sur Λmax Tx X.
Alors, X/G est de Gorenstein.
Théorème 4.12 (Bridgeland-King-Reid). Si dim Y ×X Y ≤ n + 1, alors Y est une résolution
∼
b
(X-coh) → Db (Y -coh) est une équivalence.
crépante de X et ΦOZ : DG
La preuve établit en même temps la lissité de Y et la propriété d’équivalence. L’estimation
sur la dimension permet de conclure grâce au « nouveau » théorème d’intersection.
Le théorème s’applique en particulier pour n ≤ 3. En dimension 3, il n’y a pas d’autre preuve
de la lissité de Y .
Remarque 4.13. Suivant Van den Bergh, ceci doit être vu comme une version non-commutative
de la conjecture selon laquelle si Y1 → X et Y2 → X sont deux résolutions crépantes d’une
variété X, alors D b (Y1 -coh) ' D b (Y2 -coh).
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