Cours de Maths Terminale : Limites, Dérivées, Intégrales

DOCUMENT DU PROFESSEUR
Nom et Prénom(s) :……………………………………………..……
Etablissement :……………………………………………………
x
x0
e1
lim 1
x
22
1
1xx
00
1 e 1
xe dx e
22
x
2
f(x) x ln4 e1
ii
ee
sin 2i
CB
CA
zz
Arg Mes CA,CB
zz

2
SOMMAIRE
I- COMPLEMENTS SUR LES FONCTIONS……………… 3
II- PRIMITIVES ET FONCTION LOGARITHME NEPERIEN.. 25
III- FONCTIONS EXPONENTIELLES ET FONCTIONS
PUISSANCES…………………………………………….. 40
IV- CALCUL INTEGRAL……………………………………….49
V- SUITES NUMERIQUES…………………………………. 56
VI- PROBABILITES………………………………………….. 64
VII- NOMBRES COMPLEXES………………………………… 77
VIII- NOMBRES COMPLEXES ET TRANSFORMATION……...
88
IX- STATISTIQUES………………………………………….. 96

3
X- EQUATIONS DIFFERENTIELLES…………………………..103
SUJETS TYPE BACCALAUREAT…………………………….108
CHAPITRE I : COMPLEMENTS SUR LES FONCTIONS
A- LIMITES ET CONTINUITES
I- LIMITES ET CONTINUITE EN UN POINT a
1- Limites d'une fonction en a
2- Limite d'une fonction composée
3- Limites et formes indéterminées
4- Continuité d'une fonction en a
II- CONTINUITE SUR UN INTERVALLE
1- Définition – Propriétés
2- Fonctions continues strictement monotones
B- DERIVEES
I- DERIVABILITE SUR UN INTERVALLE
1- Dérivabilité en un point a
2- Dérivabilité sur un intervalle
II- DERIVEE D'UNE FONCTION COMPOSEE
1- Propriétés
2- Dérivée de la réciproque d'une fonction continue strictement monotone
3- Fonctions puissances d'exposants rationnels
III- TABLEAU RECAPITULATIF
C- GENERALITES SUR LES FONCTIONS
I- PROPRIETES GEOMETRIQUES D'UNE REPRESENTATION
GRAPHIQUE
1- Parité d'une fonction
2- Eléments de symétrie
II- BRANCHES INFINIES D'UNE REPRESENTATION GRAPHIQUE
1- Asymptotes
2- Branches paraboliques

4
III- ETUDE DE FONCTION
1- Plan d'étude d'une fonction
2- Exemples d'études de fonctions
COMPLEMENTS SUR LES FONCTIONS
A- LIMITES ET CONTINUITE
I. LIMITES ET CONTINUITE EN UN POINT a
1- Limites d'une fonction en a
a) Limites de référence
x a x x
lim c lim c lim c c a , c
.
nn
xa
lim x a
;
n*
xlim x a , n
et
n
x
si n est impair.
lim x si n est pair.
nn
xx
11
lim lim 0 (n *)
xx
 Si n est pair
n
x0
1
lim x
Si n est impair
n
x0
1
lim x
et
n
x0
1
lim x
 Si n est pair
n
xa
1
lim xa
Si n est impair
n
xa
1
lim xa
et
n
xa
1
lim xa
xlim x
x
1
lim 0
x
x0
sinx
lim 1
x
x0
cosx 1
lim 0
x
x0
tanx
lim 1
x
b) Limites et opérations
l et l' sont des nombres réels; a désigne soit un nombre réel, soit ou ; f et g deux fonctions.
 Limite d'une somme de fonctions
lim ( )
xa
fx
l
l
l
lim ( )
xa
gx
l'
lim ( ) xa
f g x
l + l'
?
 Limite d'un produit de fonctions
lim ( )
xa
fx
l
l (l ≠ 0)
l (l ≠ 0)
0
lim ( )
xa
gx
l'
lim ( )
xa
fg x
ll'
si l > 0
si l < 0
si l < 0
si l > 0
?

5
 Limite d'un inverse
NB : le point d'interrogation (?) signifie que l'on ne peut conclure.
 Limite d'un quotient (on remarquera que
f1
f
gg
)
c) Limites de fonctions polynômes et rationnelles à l'infini
 La limite d'une fonction polynôme à l'infini est égale à la limite à l'infini du monôme de plus haut degré.
 La limite d'une fonction rationnelle à l'infini est égale à la limite à l'infini du quotient des monômes de
plus haut degré.
 Exemples : Calculer les limites suivantes:
1.
3
lim 4
x
xlim 139
x 10
lim k
2.
8
x1
lim x
6
xlim x
3
xlim x
19
xlim x
3.
 26 x
1
lim x
14 x0
1
lim x
5
x0
1
lim x
5
x0
1
lim x
4.
2 x2
1
lim x2
7
x3
1
lim x3
5
x1
1
lim 1x
5.
3
xlim (x +5)
 7 xlim ( 2x )
2
x5
lim(x 2x 6)
x1
lim( 7x+1)( x 2)
4
x2
5
lim (2x 4)
9
x1
6
lim (x 1)
5
x3
2
lim (3 x)
6.
x0
3sinx
lim 5x
x0
1 cosx
lim 3x
x0
3tanx
lim 2x
7.
3
xlim (5x x 1)
4
xlim ( 3x x 2)
3
4
x
2x x 2
lim x 5x 3
5
5
x
5x 2x 3
lim 2x 3x 1
d) Limites à gauche, limites à droite
Soit a et l deux nombres réels, f une fonction d'ensemble de définition
f
D
.
Définition:
 f admet une limite à gauche en a égale à l si
; ; lim
fxa
x D a f x l
 f admet une limite à droite en a égale à l si
; ; lim
fxa
x D a f x l
Propriétés
Soit a et l deux nombres réels et f une fonction définie sur un intervalle K de .
 Si
aK
, alors f admet une limite en a si et seulement si
lim lim
x a x a
f x f x f a
 Si a est une borne de K, alors f admet une limite en a si et seulement si
lim lim
x a x a
f x f x
.
 Exemple :
Etudier la limite de f en a dans chacun des cas suivants :
1.
3
x ;2 , f x x 1
x 2; , f x 5x 1
(a = 2)
lim ( )
xa
gx
l' (l' ≠ 0)
0 (
g(x) 0
)
0 (
g(x) 0
)
ou
1
lim ( )
xa x
g
1
l'
0