EXERCICES Exercice 1.1 Soit la distribution de charges (de l’ordre du microcoulomb) ci-dessous ; AB = d = 0, 2m ; Les deux charges placées en A et B sont fixes; par contre la charge placée en C est mobile sur la droite AB . Quelle est la position d'équilibre de la charge placée en C , si elle existe ? 1.1 ) ' () # $ * +$, - % +2q Exercice 1.2 Aux deux extrémités d’un fil de longueur 2l , sont attachés deux ballons sphériques gonflés avec de l’hélium (l’hélium étant plus léger que l’air), et portent la même charge + q . On suspend au milieu du fil une masse m . Le système abandonné à lui même dans l’atmosphère occupe alors une position d’équilibre stable dans un même plan vertical, telle que chaque moitié du fil fait un angle avec l’horizontale (figure ci-dessous). En négligeant les masses du fil et des ballons , calculer la valeur de q . Application numérique : g = 10 N .kg 1 , l=1m , m=5g , = /6 rad ( " # $% & # $ C " % & B A $ . AB 1 A ! AB = d = 0, 2m " %& C # $ & C B q +q 0 / 234 #5 x 2.1 (# < )) # $; < 2l 6 7 8 9 : " 7) = > ) = > ?) # @ A # $ B C$ # $ ' < #FCG 1 (@ D E8 . +q " # $; K $ . m $ 7 H EI$ " J ( 3L M N O P $, " # +$, # < $$Q @ > JQR CN ST3 % 7 H ,L !$; @U4 V I W X U ( V ). 7 H V$ Y Z[) .q :\]3% J ^ g = 10 N .kg 1 , l=1m , m=5g , = /6 rad +q +q m Exercice 2.3 Une petite boule (supposée ponctuelle) électrisée de masse m et portant une charge q = 10 6 Ckg 1 est positive q telle que m placée entre deux plaques métalliques A et B verticales distantes de d = 4cm . Ces deux plaques soumises à une tension positive U AB = U créent un champ électrique supposé uniforme. A la date t = 0 , la boule est abandonnée sans vitesse initiale en un point M 0 de d et y0 = L = 1m . Soit coordonnées x0 = 2 g = 10ms 2 l’intensité du champ de pesanteur. 1/ Trouver l’équation de la trajectoire de la boule. 2/ Calculer la date de passage de la boule dans le plan horizontale y = 0 . 3/ Quelle valeur doit-on donner à U pour que la trajectoire de la boule passe par le point P de coordonnées ( d ,0 ) ? y 3.1 m D$ $ < q = 10 6 Ckg m ( ^+< & $ ) `a?b ` 1 WX T 3$) % x0 = # 3) ` d 2 V+L `3O 1 P $, .*h$ i $ jT ) D K $ 1t = 0 h " !$ B 3Lk g = 10ms " ` .` n l 2 M0 . ^+ y0 = L = 1m . )l m n , ] ( 34 /1 ho ,L /2 . y = 0 j+QR q rL U d 0p ^%5 4 C + j0 /3 ` n, 2 ( d ,0 ) !$ B 3Lk l ^+ L x d VCG !$ N O B A !$ <3( !$ b !) c(& ! 0 ef !L . d = 4cm d) ! 3% $ V+L g 4 U AB = U $ !$ I M0 O 4 q Exercice 1.4 Soient n charges ponctuelles 4.1 ( q p 0) " placées aux sommets Ai d’un polygone régulier de centre O , de côtés de longueur a . 1/ Déterminer le champ électrostatique r E ( z ) en un point M de l’axe Oz du polygone (orthogonal en O à son plan) r 2/ En déduire E ( z ) dans le cas : a/ d’un triangle équilatéral d’axe Oz , b/ d’un carré d’axe Oz . % & ( q p 0 ) ^+< O n $ \l 1 O sU *h$ tF&R ]3($ Ai *C+ . a > 6 tF& r M ^+< " E ( z ) jT ) D V+o !% /1 ]3($ P $, - % O " \] C( Oz n u .tF&R r . Oz Exercice 1.5 Des charges ponctuelles occupent les sommets A, B et C d’un losange de côté a , comme indiqué sur la figure ci-dessous ( il n’y a pas de charge en D ). 1/ Calculer le champ électrique produit par les trois charges au sommet D ; représenter graphiquement ce champ. 2/ Calculer le potentiel produit en D . 3/ On place la charge +2q au point D . Calculer la force électrique exercée par les autres charges sur cette charge. 4/ Calculer l’énergie potentielle de la charge +2q . C ") : L " E ( z ) v$ $ 5 /2 sn w tF&R \ ,$ W x / . Oz sn w ) /y z p - % ^+< B, A V O c(& "! 0 C 1 a ( & !( .( O 34 { D % v jT ) D V+o ,L /1 . < ) V+o S0 Vx D ^+ 3 % BFx . D ^+ " v (3Dm ) # C ,L /2 e< /3 ` + ,L D ^+ " +2q .P 8R | 6 D % +^ T) D . +2q A :5.1 N^ ,L /4 q B +q C +q D Exercice 1.6 On considère deux charges q et 2q situées respectivement aux deux points A ( a, 0,0 ) et A ' ( 4a, 0, 0 ) dans les 6.1 - % !$% & A ' ( 4a, 0, 0 ) !$ O }$(< $ A ( a, 0,0 ) !$^+ " 2q q coordonnées cartésiennes. 1/ Calculer le potentiel électrique en un point quelconque M ( x, y, z ) . 2/ Déterminer la surface équipotentielle V =0 . 3/ Montrer qu’en chaque point de cette surface le champ électrique passe par un point constant qu’il faudra déterminer. Exercice 1.7 On considère un segment AB électrisé positivement de densité linéique homogène de longueur 2a et de centre O . r 1/ Démontrer que la composante E y du champ électrostatique est nulle. 2/ Déterminer le champ électrostatique en un point M de l’axe de symétrie Ox . On pose OM = x . 3/ En déduire en ce point M le champ créé par un fil « infini ». Exercice 1.8 Un fil de longueur L porte une densité linéaire de charge f 0 (figure ci-dessous). 1/ Montrer que les composantes du champ électrique au point P situé à une distance R du fil sont données par : Ex = Ey = 4 4 0 0 R R ( sin ( cos 2 2 sin cos 1 ) 1 ) Où Ex et E y sont les composantes du champ, consécutivement parallèle et perpendiculaire au fil, et 1 et 2 les angles que font avec la perpendiculaire au fil les droites joignant le point P aux extrémités du fil. 2/ Trouver le champ quand le point P est équidistant des deux extrémités du fil. 3/ En déduire le champ en un point de l’axe de symétrie d’un fil infiniment long. . Un 3Dm ^+< " jT ) D B 3Lk " ,L5 /1 . M ( x, y , z ) . V = 0 # C \ ,$ ~^, ]3L /2 V+o q ~^, S0 ^+< V " < !) /3 . D ( • % 9 $) B ^+ ) jT ) D 7.1 l ) €5 ) D C +$, AB (^N }$(< . O D I$ 2a > 6 ,< •$ r D V+ E y # ^+< " M . V+o %v 6 Qx 0 ) /1 . 3( V+o ]3L /2 D e< . Ox ‚ $ n w ^+ sS0 " v$ $ 5 /3 ."j0 $ { " • OM = x M 8.1 ^8 Q x f0 P 6 • VC„ .(V R " V ) L ^+< " jT ) D V+o 9 :M $ - % Z • , Ex = Ey = 4 0 R 4 0 R ( sin ( cos 2 2 # 0 ) /1 R 3() - % (N sin cos 1 ) 1 ) M $ - %1 V+o $ Z E y Ex W L 1• , - % ] C( 2 1 ^+ #Fb # C +$, CD( I # $ # $ U .• , ] C( • , 9 D ) P ' < -% P ^+ + C L V+o 34 /2 Les signes des angles indiqués sur la figure. 1 et 2 .• , 9 : 3( ^+< " V+o `n % v$ $ 5 /3 Y ^ j0 $ { • sont ceux ‚ nw -%! 0 C Z 2 1 !$ U n O5 .V P + 2 1 x X O L Exercice 1.9 Une charge linéaire ( > 0 ) est répartie uniformément sur un fil en forme d’anneau de rayon R . ( figure ci-dessous). 1/ Calculer le champ électrique produit par le fil au point P situé sur l’axe OX à une distance x du centre O . 2/ Calculer le potentiel électrique produit au même point P . 3/ Déterminer par le calcul le point pour lequel le champ électrique est maximal. 9.1 " • - % = h$< ) ( > 0 ) ^8 O t $ (V R " V ). R 0 ^N EI< + L V O " • , % …O jT ) D V+o ,L /1 d) 3( 9 OX n u - % (N P ^+ .O U %x ' < " jT ) D V+o # (# C ) 3Dm D4 ,L /2 . P ^+ 9 ^+ ) ,L !% /3 . Ch% jT ) D R O Exercice 1.10 Une plaque métallique en forme de carré de côté a et de centre O est chargée uniformément d’une densité x P X 10.1 0U 1 a D( & ) V O - % <3( b surfacique f 0 . Ecrire l’expression du champ électrostatique crée au point M situé sur l’axe de symétrie perpendiculaire à la a plaque et telle que OM = z = 2 . ^ f0 ^+ " v - % \] C( Oz Q x ) = h$< ) < D V+o `n % ‚ $ n w - % (N . OM = z = a W L M •M O Exercice 1.11 Une rondelle métallique de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2 porte une charge répartie uniformément (densité surfacique de charge ). 1/ Calculer le champ électrostatique sur l’axe de la rondelle à la distance z de son centre. 2/ Retrouver le résultat à partir du calcul du potentiel. 3/ Etudier le cas particulier R1 = 0 . 4/ Quel est le champ créé par un plan chargé infini ? $ I 2 z O a 11.1 j 8 ] ^N EI< ) = h$< ) % O l <3( + L VCG R2 j4n 8 ^N EI< .( ^, Q x ,L /1 z 3( - % R1 +o n w -% y ,L # D V+o . 0U NF^< • $ 3 34 34 /2 .# C . R1 = 0 b H o zn] /3 P $, % v V+o 0 /4 2j0 $ { Exercice 1.12 Un anneau de centre O et de rayon R porte une densité linéique uniforme de charges sauf sur un arc d'angle au centre 2 . (Figure ci-dessous). Déterminer le champ électrostatique en O . 12.1 VCG R 0 ^N EI< - % P3% (V R " V ) .2 U .O" O 0U Ch$ +L 6 Qx " \l z N D V+o !% R 2 O Exercice 1.13 On considère une portion de cône, de demiangle au sommet et de rayons limites R1 13.1 n EI< \l 1 † ‡ @U4 }$(< . ( R1 p R2 ) R2 R1 ! 3L ^N j I< : Ch$ aˆ Q x ) ^ < Cm sS0 et R2 ( R1 p R2 ) . Ce système est chargé en surface avec la a densité non uniforme : = 0 = a est une constante homogène à une longueur et le rayon du cône en un point de son axe de symétrie. Déterminer le champ électrostatique au sommet O du cône. † ; ^N EI< O ( C+ ) z a 0 Y 6 '< •$ c) B a .s ‚ n w ^+< " " D V+o !% .† ;C R2 O R1 Exercice 1.14 Un nombre infini d’ions de charges alternativement positives et négatives ± q sont disposés à intervalle régulier a le long d’une droite (figure ci-dessous). Trouver l’énergie potentielle d’un ion. Application numérique : a = 2,8.10 10 m , q = 1, 6.10 18 C On rappelle : x 14.1 -% a l ]n j0 $ { ]3% & 4 ) $ *h$ 3() - % ± q .(V R " V ) * +$, Y 6 .`3L `]n N ^ 34 :\3% J ^ q = 1, 6.10 18 C 1 a = 2,8.10 10 m ln (1 + x ) = x x 2 x3 + 2 3 x4 xn + ......... 4 n ln (1 + x ) = x x 2 x3 + 2 3 a +q q +q +q q q Exercice 1.15 Une sphère S de rayon R porte une à charge surfacique ( ) = 0 cos symétrie de révolution autour d’un axe uuur diamétral OX . On demande de calculer le champ électrique aux points O et A de l’axe uuur OX . (Figure ci-dessous) +q x4 xn + ......... 4 n :a S n q +q 15.1 ^ O VCG R 0 ^N EI< S ` n u Y L ‰n ] ‚ l ( ) = 0 cos uuur " jT ) D V+o y ,L y ^ . OX \ ^+ uuur ( V ) . OX n u A O !$^+ M A O Exercice 1.16 Soit une demi sphère de centre O , de rayon R, chargée uniformément en surface avec la densité surfacique f 0 . 1/ Exprimer le potentiel et le champ électriques au point O . Expliquer pourquoi dans ce cas, l’expression du champ ne peut pas être déduite par dérivation de uuuuur r l’expression du potentiel E = gradV . ( ) 2/ Exprimer le potentiel V ( z ) en un point M ( z ) de l’axe de symétrie Oz de cette demi sphère. En déduire le champ E ( z ) et retrouver alors les expressions de 1/. X 16.1 1R 0 ^N EI< 1 O 0U ` EI< $ ^ Q x ) ~^, - % = h$< ) < . f0 " ! T ) D V+o # C % }% /1 q { o sS0 " l Š O5 . O ^+ #C `n % ‹ +$O ) V+o `n % Œ $ $ r (E = uuuuur gradV ) ^+< " V ( z ) # C % }% /2 V+o v$ $ 5 .sS0 ` EI OZ ‚ $ n w ./1 •n % 3 34 34 M (z) Z M• O Exercice 1.17 1/ Trouver une expression pour le champ et le potentiel électriques d’un plan portant une densité superficielle de charge uniforme f 0 : a/ en supposant qu’il est constitué d’une série de couronnes toutes concentriques de centre O , b/ en utilisant l’angle solide. 2/ Retrouver les mêmes résultats en appliquant le théorème de Gauss. Qu’observez-vous ? 3/ Une charge q de masse m est placée à une distance z du plan. La charge est libérée de sa position de repos. Calculer son accélération, la vitesse avec laquelle elle tombera sur le plan et le temps qu’elle mettra pour atteindre le plan. Exercice 1.18 Une sphère, de rayon R , porte une charge volumique qui est répartie uniformément dans tout le volume qu'elle occupe à l'exception d'une cavité de rayon . Le centre de cette cavité est à la distance d du centre de cette sphère. La cavité est vide de charges. En utilisant le théorème de Gauss et le principe de superposition, calculer le champ en tout point de la cavité. Que concluezvous ? 17.1 !T) D #C : f 0 Ch$ D V , V+ `n % 34 /1 ^ Q x VC„ P $, V < i $Q ) / l `U C$ 1O U . I U Y C($ ) /y .Ž ˆ h< Y C($ ) vT $ ' < 34 /2 2•LF l O & /3 z 3( - % m D$ $ q ,L . : & n G .P $, P $, - % • 7+, 9 % , 1 D%n , .P $, ‘ sS8g \S U 18.1 C•L O 1 R 0 ^N EI< 1` VCG @ x$ ) ? \S *•o V - % = h$< ) % % 3( E •$ U . s ^N EI< E ’ ‘n Q E •$ .d Q , ) ` U . ,L 1 $ 53 Ž ˆ h< Y C($ ) 2v$ $, l .E •$ ^+< V " V+o Exercice 1.19 Une sphère creuse de rayon R porte une densité de charge surfacique uniforme f 0 . 1/ Calculer le champ électrostatique produit en un point P , situé à une distance b du centre O , à l’extérieur, à l’intérieur puis à la surface de la sphère. 2/ En appliquant le théorème de Gauss, retrouver les résultats précédents. 3/ Calculer le potentiel électrique à l’intérieur, à l’extérieur et à la surface de la sphère. Que concluez-vous ? 3/ Partant des résultats de la question 3/, retrouver le champ à l’extérieur, à l’intérieur et à la surface de la sphère. 4/ Partant des résultats obtenus dans la question 3/, retrouver de nouveau le champ à l’intérieur , à l’extérieur et à la surface de la sphère. Exercice 1.20 Un cylindre plein de longueur infinie, de rayon R porte une densité de charge volumique f 0 . 1/ En utilisant le théorème de Gauss, calculer le champ électrostatique à l’intérieur, à la surface et à l’extérieur du cylindre. 2/ En déduire le potentiel à l’intérieur, à la surface et à l’extérieur du cylindre, en supposant V = 0 sur l’axe du cylindre. 19.1 0 ^N EI< Q “ ` ~^ . f 0 Ch$ ^, Q x ) R ^+ " v 1 Œn 8 1 O U vT $ 3 34 D V+o ,L /1 % b Q , - % (N 1 P .` ~^ - % ” V8 ] 34 Ž ˆ h< J ^$) /2 . +) , Œn 8 1V8 ] jT ) D # C ,L /3 2v$ $, l .` ~^ - % 3 34 34 /3 Y •, vT $< NF^< /4 .` ~^ - % Œn 8 1V8 ] V+o 20.1 EI< 1Y ^ O Qx V+o Œn 8 0 $ { $CI = h$< ) VCG . < ^ 1 R 0 ^N f 0 C•L ,L Ž ˆ h< Y C($ ) /1 ~^ - % 1V8 ] , jT ) D .< ^ R 1V8 ] jT ) D (3Dm ) # C v$ $ 5 /2 V = 0 i $Q ) 1 < ^ R Œn 8 ~^ - % . < ^ R n w-% Exercice 1.21 On considère deux sphères, s1 pleine et s2 creuse, concentriques au point O , de rayons R1 et R2 tel que ( R1 p R2 ) . La première porte une charge volumique de densité f 0 et la deuxième une charge surfacique de densité f 0 . 1/ En appliquant le théorème de Gauss calculer le champ électrostatique dans les 21.1 ! U C$ 1 Q “ s2 $CI s1 1! }$(< W X R2 R1 CD ^N EI< 1 O ^+ " D$Q x D$Q x C•L ^ O – R VCG . ( R1 p R2 ) O < x VCG f0 . f0 régions : r p R1 , R1 p r p R2 et r f R2 . On note par le rayon de la surface de Gauss. 2/ En déduire le potentiel électrique dans les mêmes régions à une constante prés. 3/ Représenter les fonctions E ( r ) et V (r ) . jT ) D ,L Ž ˆ h< J ^$) /1 , R1 p r p R2 1 r p R1 :J6 " v .Ž ˆ ~^ ^N EI< Vx— . r f R2 J6 V+o ' < " jT ) D .V ( r ) Exercice 1. 22 On considère deux cylindres coaxiaux infiniment longs, de rayons R1 et R2 , ( R1 p R2 ) , portant des charges respectives + et par unité de longueur. 1/ Montrer, en utilisant le théorème de Gauss, que le champ électrique est : a/ nul si r p R1 ou si r f R2 sachant que est le rayon de la surface de Gauss ( cylindre), b/ inversement proportionnel à pour R1 p r p R2 . 2/ En déduire le potentiel dans tout l’espace. Où sont rapprochées les surfaces équipotentielles le plus? #C v$ $ 5 /2 .˜ + c) x) E ( r ) !$ 3 * n /3 22.1 1 Y ^ 9 0 $ { ! n C$ !$< ^ #FCG 1 ( R1 p R2 ) 1 R2 R1 CD ^N EI< M $ -% .Y ^ `3L + !$ :# Ž ˆ h< = 3;$ ) !) /1 l5 = 3( jT ) D V+o / r p R1 # Ž ˆ ~^ ^N EI< 0 # C % r f R2 1( < ^ ) $ jT ) D V+o /y . R1 p r p R2 V4 , % .@ e V " jT ) D 2 )n + x # C Exercice 1.23 Soit le potentiel à symétrie sphérique suivant : e 1 V (r ) = k + exp ( 2kr ) (1) r 4 0 où désigne la distance entre l’origine O et un point M , où k désigne une constante et où e désigne la charge élémentaire : e = 1, 6.10 19 C . Ce potentiel est créé par une distribution de charges inconnue et que l’on cherche à caractériser. 1/ Quelle est la dimension de la constante k ? Quelle est son unité dans le système international ? 2/ Calculer l’expression du champ électrique }$(< # C v$ $ 5 /2 ,$ Š ^, # :23.1 :M $ \ V (r ) = e 4 ‚ $ \l # C k+ 0 1 exp ( 2kr ) r (1) WL 1 M ^+< O U !) Q , –5 U –5 U e c) B –5 U k W L % v < # C S0 . e = 1, 6.10 19 C : I ( .sU — % W < \S Y D“ Cm " 3L j0 2 k c) x 3() 0 /1 2 3 créé par la distribution de charges. On rappelle que le vecteur gradient en coordonnées sphériques s’écrit : uuuuur f r 1 f r 1 f r grad f = ur + u + u r r r sin 3/ En appliquant le théorème de Gauss à la sphère S de centre O et de rayon , montrer que la charge q ( r ) contenue dans cette sphère s’écrit : q ( r ) = e (1 + 2kr + 2k 2 r 2 ) exp ( 2kr ) ( 2 ) 4/ Montrer que la distribution étudiée contient une charge ponctuelle e placée en O. 5/ Calculer la lim q ( r ) et en déduire qu’en r outre la charge ponctuelle placée en O , il existe dans tout l’espace une densité volumique de charge non nulle. Expliquez pourquoi le potentiel donné par l’équation (1) peut être utilisé pour modéliser un atome d’hydrogène. 6/ A partir de la relation ( 2 ) , montrer que la densité volumique de charge (r ) = e ( r ) s’écrit : k 3 exp ( 2kr ) S0 % v jT ) D Œn3$ t (O # V+o `n % ,L /2 S< . $ : $ B 3Lk ) uuuuur f r 1 f r 1 grad f = ur + u + r r r sin l S` q (r ) ( f r u - % Ž ˆ h< J ^$) /3 # ™) 1 ^+ EI< O U : $ ` sS0 V8 ] `34 $ ) q ( r ) = e 1 + 2kr + 2k 2 r 2 exp ( 2kr ) e ^+< ( 2) $ # ™) /4 O \ $„ z n3 .O " % & lim q ( r ) : ,L /5 r Q &k ) < v$ $ V " 34 1 O" %& ^+ –5 Š O5 . 3( aˆ C•L Q x @ e C($ q (1) ] ( ) -^( # C l .!4 n3 0 `nl 4l C NF^< /6 Q x # ™) 1 ( 2 ) NF( : $ < (r ) (r ) = Exercice 1.24 On considère une distribution de charges à symétrie sphérique de centre O. Le potentiel en un point M de l'espace r/a q e avec OM = r et a est: V ( r ) = 4 0 r une constante positive. 1/ Déterminer le champ électrostatique en ce point M . 2/ Calculer le flux du champ à travers une sphère de centre O et de rayon . Faire vers O , puis vers tendre successivement l'infini. Conclure. 3/ Déterminer la densité volumique de charge . 4/ Etudier la fonction e C•o k 3 exp ( 2kr ) 24.1 #C c) B . O sU a \ OM = r ‚ \l ( : 0@e 1V ( r ) = M q e 4 0 }$(< ^+< " r/a r . 4 D V+o !% /1 . M ^+ sS0 " EI< O 0U ` }% JQ3$ ,L /2 š ” 1 O š M $ - % 3 3C$) *N . 0 ^N 2› ;$, l .jT :F z ( r ) = 4 r 2 ( r ) .Quelle est la signification de cette fonction? Exercice 1.25 r Soit un dipôle D , son moment étant p et a la distance entre ses deux charges q et + q . (Figure ci- dessous) 1/ Calculer le champ et le potentiel électriques produits par le dipôle D au point M en fonction de p, et , sachant que a pp . 2/ Trouver l’équation des surfaces équipotentielles ainsi que l’équation des lignes de champ. . 0 . z (r ) = 4 a r p 25.1 Q, ( !’ p, U% 1 D .# C 1 2 a q B ^N jT B V ) . +q q $ O !) b !T) D # C V+o ,L /1 {3) M ^+ 3 % D ^+ jT B % . a pp # C % \ , Š ^ ] ( 34 /2 M A +q C•o Q x ]3L /3 r 2 ( r ) 3 zn] /4 2 3 sS0 Y 3