anneau et corps

Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux et Corps
7 novembre 2017
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
Soit
A
un ensemble
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
Soit
A
un ensemble muni de deux lois de composition internes
×.
Anneaux et Corps
+
et
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
Soit
A
un ensemble muni de deux lois de composition internes
×.
On dit que
(A, +, ×)
est un anneau ou
A
est un anneau si les
propriétés suivantes sont vériées :
Anneaux et Corps
+
et
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
Soit
A
un ensemble muni de deux lois de composition internes
×.
On dit que
(A, +, ×)
est un anneau ou
A
est un anneau si les
propriétés suivantes sont vériées :
1
(A, +)
est un groupe abélien.
Anneaux et Corps
+
et
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
Soit
A
un ensemble muni de deux lois de composition internes
×.
On dit que
(A, +, ×)
est un anneau ou
A
est un anneau si les
propriétés suivantes sont vériées :
1
(A, +)
2
La multiplication de
est un groupe abélien.
A
est associative.
Anneaux et Corps
+
et
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
Soit
A
un ensemble muni de deux lois de composition internes
+
et
×.
On dit que
(A, +, ×)
est un anneau ou
A
est un anneau si les
propriétés suivantes sont vériées :
1
(A, +)
2
La multiplication de
A
est associative.
3
La multiplication de
A
est distributive par rapport à l'addition
de
est un groupe abélien.
A
Anneaux et Corps
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
(R, +, ×),
Anneaux et Corps
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
(R, +, ×),(C, +, ×), (Z, +, ×)
sont des anneaux.
Anneaux et Corps
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
(R, +, ×),(C, +, ×), (Z, +, ×)
2
(R[X ], +, ×)
sont des anneaux.
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
(R, +, ×),(C, +, ×), (Z, +, ×)
2
(R[X ], +, ×)
sont des anneaux.
est un anneau, appelé anneau de polynômes.
Anneaux et Corps
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Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
(R, +, ×),(C, +, ×), (Z, +, ×)
2
(R[X ], +, ×)
3
(RR , +, ×)
sont des anneaux.
est un anneau, appelé anneau de polynômes.
Anneaux et Corps
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
(R, +, ×),(C, +, ×), (Z, +, ×)
2
(R[X ], +, ×)
3
(RR , +, ×)
sont des anneaux.
est un anneau, appelé anneau de polynômes.
est un anneau.
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
(R, +, ×),(C, +, ×), (Z, +, ×)
2
(R[X ], +, ×)
3
(RR , +, ×)
4
√
sont des anneaux.
est un anneau, appelé anneau de polynômes.
est un anneau.
√
Z[ 2] = {a + b 2/a, b ∈ Z}
Anneaux et Corps
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
(R, +, ×),(C, +, ×), (Z, +, ×)
2
(R[X ], +, ×)
3
(RR , +, ×)
4
√
sont des anneaux.
est un anneau, appelé anneau de polynômes.
est un anneau.
√
Z[ 2] = {a + b 2/a, b ∈ Z}
est un anneau.
Anneaux et Corps
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénitions
On note par A∗ l'ensemble A∗ = A − {0A }.
Anneaux et Corps
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénitions
On note par A∗ l'ensemble A∗ = A − {0A }.
Si A = {0A } on dit A est nul.
Anneaux et Corps
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénitions
On note par A∗ l'ensemble A∗ = A − {0A }.
Si A = {0A } on dit A est nul.
Si la multiplication de A est commutative on dit que (A, +, ·)
est un anneau abélien ou commutative.
Anneaux et Corps
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénitions
On note par A∗ l'ensemble A∗ = A − {0A }.
Si A = {0A } on dit A est nul.
Si la multiplication de A est commutative on dit que (A, +, ·)
est un anneau abélien ou commutative.
Si A admet un élément neutre pour la multiplication de A on
dit que A est un anneau unitaire.
Anneaux et Corps
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénitions
On note par A∗ l'ensemble A∗ = A − {0A }.
Si A = {0A } on dit A est nul.
Si la multiplication de A est commutative on dit que (A, +, ·)
est un anneau abélien ou commutative.
Si A admet un élément neutre pour la multiplication de A on
dit que A est un anneau unitaire.
Si A est un anneau unitaire alors l'élément neutre pour la
multiplication de A est appelé l'unité de A et noté 1A ou 1.
Anneaux et Corps
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
On dit que
A
est intègre si :
∀a, b ∈ A : ab = 0A =⇒ [a = 0A ou
Anneaux et Corps
b = 0A ]
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
On dit que
A
est intègre si :
∀a, b ∈ A : ab = 0A =⇒ [a = 0A ou
Exemple
1
Z
Anneaux et Corps
b = 0A ]
Anneaux et corps :
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
On dit que
A
est intègre si :
∀a, b ∈ A : ab = 0A =⇒ [a = 0A ou
Exemple
1
Z
est intègre.
Anneaux et Corps
b = 0A ]
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
On dit que
A
est intègre si :
∀a, b ∈ A : ab = 0A =⇒ [a = 0A ou
Exemple
1
2
Z
est intègre.
Z/6Z
Anneaux et Corps
b = 0A ]
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
On dit que
A
est intègre si :
∀a, b ∈ A : ab = 0A =⇒ [a = 0A ou
Exemple
1
2
Z
est intègre.
Z/6Z
n'est pas intègre.
Anneaux et Corps
b = 0A ]
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
On dit que
A
est intègre si :
∀a, b ∈ A : ab = 0A =⇒ [a = 0A ou
Exemple
1
Z
est intègre.
2
Z/6Z
3
Z/nZ × Z/nZ
n'est pas intègre.
n'est pas intègre.
Anneaux et Corps
b = 0A ]
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
On dit que
A
est intègre si :
∀a, b ∈ A : ab = 0A =⇒ [a = 0A ou
Exemple
1
Z
est intègre.
2
Z/6Z
3
Z/nZ × Z/nZ
n'est pas intègre.
4
(P (E ) , ∆, ∩)
n'est pas inègre si
n'est pas intègre.
|E | ≥ 2.
Anneaux et Corps
b = 0A ]
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
On dit que
A
est intègre si :
∀a, b ∈ A : ab = 0A =⇒ [a = 0A ou
Exemple
1
Z
est intègre.
2
Z/6Z
3
Z/nZ × Z/nZ
n'est pas intègre.
4
(P (E ) , ∆, ∩)
n'est pas inègre si
5
(RR , +, ×)
n'est pas intègre.
|E | ≥ 2.
n'est pas intègre.
Anneaux et Corps
b = 0A ]
Anneaux et corps :
Anneaux-Corps
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Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
1
Si
A
est un anneau unitaire alors les éléments inversibles de
sont appelés les unités de
A
.
Anneaux et Corps
A
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Anneaux-Corps
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Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
1
Si
A
est un anneau unitaire alors les éléments inversibles de
sont appelés les unités de
2
Si
A
A
.
est un anneau unitaire alors l'ensemble des unités de
est noté
U (A).
Anneaux et Corps
A
A
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Anneaux-Corps
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Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
1
Si
A
est un anneau unitaire alors les éléments inversibles de
sont appelés les unités de
2
Si
A
Si
A
A
.
est un anneau unitaire alors l'ensemble des unités de
est noté
3
A
A
U (A).
est un anneau unitaire et si
U (A) = A∗
un corps.
Anneaux et Corps
on dit que
A
est
Anneaux et corps :
Anneaux-Corps
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
Z est un anneau abélien unitaire et
U (Z) = {−1, 1} =
6 Z∗ Donc Z n'est
2
Q,R
3
Si
E
et
Csont
pas un corps .
des corps abéliens .
est un ensemble quelconque alors
(P (E ) , ∆, ∩)
est un
anneau abélien unitaire.
1P(E ) = E
4
(R[X ], +, ×)
et
U (P (E )) = {E }.
n'est pas un corps.
Proposition
Si A est un corps alors A est intègre. La réciproque n'est pas
toujours vériée.
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
Z est un anneau abélien
U (Z) = {−1, 1} =
6 Z∗
unitaire et
Anneaux et Corps
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
Z est un anneau abélien unitaire et
U (Z) = {−1, 1} =
6 Z∗ Donc Z n'est
pas un corps .
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
2
Z est un anneau abélien unitaire et
U (Z) = {−1, 1} =
6 Z∗ Donc Z n'est
pas un corps .
Q
Anneaux et Corps
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Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
2
Z est un anneau abélien unitaire et
U (Z) = {−1, 1} =
6 Z∗ Donc Z n'est
pas un corps .
Q,R
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
2
Z est un anneau abélien unitaire et
U (Z) = {−1, 1} =
6 Z∗ Donc Z n'est
Q,R
et
pas un corps .
C
Anneaux et Corps
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Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
Z est un anneau abélien unitaire et
U (Z) = {−1, 1} =
6 Z∗ Donc Z n'est
2
Q,R
3
Si
E
et
Csont
pas un corps .
des corps abéliens .
est un ensemble quelconque alors
(P (E ) , ∆, ∩)
anneau abélien unitaire.
Anneaux et Corps
est un
Anneaux et corps :
Anneaux-Corps
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
Z est un anneau abélien unitaire et
U (Z) = {−1, 1} =
6 Z∗ Donc Z n'est
2
Q,R
3
Si
E
et
Csont
pas un corps .
des corps abéliens .
est un ensemble quelconque alors
(P (E ) , ∆, ∩)
anneau abélien unitaire.
1P(E ) = E
4
et
U (P (E )) = {E }.
(R[X ], +, ×)
Anneaux et Corps
est un
Anneaux et corps :
Anneaux-Corps
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
Z est un anneau abélien unitaire et
U (Z) = {−1, 1} =
6 Z∗ Donc Z n'est
2
Q,R
3
Si
E
et
Csont
pas un corps .
des corps abéliens .
est un ensemble quelconque alors
(P (E ) , ∆, ∩)
est un
anneau abélien unitaire.
1P(E ) = E
4
(R[X ], +, ×)
U (P (E )) = {E }.
et
n'est pas un corps.
Proposition
Si A est un corps alors A est intègre. La réciproque n'est pas
toujours vériée.
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
Soient
A
un anneau et
sous-anneau de
A
ou
A
B
une partie de
A.
On dit que
est une extention de
B
B
est un
si les propriétés
suivantes sont vériées :
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
Soient
A
un anneau et
sous-anneau de
A
ou
A
B
une partie de
A.
On dit que
est une extention de
B
suivantes sont vériées :
1
B
est stable pour l'addition de
B
est un
si les propriétés
A.
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
Soient
A
un anneau et
sous-anneau de
A
ou
A
B
une partie de
A.
On dit que
est une extention de
B
suivantes sont vériées :
1
B
est stable pour l'addition de
2
B
est stable pour la multiplication de
B
est un
si les propriétés
A.
A.
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
Soient
A
un anneau et
sous-anneau de
A
ou
A
B
une partie de
A.
On dit que
est une extention de
B
B
est un
si les propriétés
suivantes sont vériées :
1
B
est stable pour l'addition de
2
A.
B
est stable pour la multiplication de
3
B
est un anneau pour les réstrictions des lois de
A.
Anneaux et Corps
A
.
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Théorème
Soient
A
A
un anneau et
B
une partie de
A. B
est un sous anneau de
si et seulement si on a les deux propriétés suivates :
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Théorème
Soient
A
A
un anneau et
B
une partie de
A. B
est un sous anneau de
si et seulement si on a les deux propriétés suivates :
1
B
est sous groupe de
(A, +).
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Théorème
Soient
A
A
un anneau et
B
une partie de
A. B
est un sous anneau de
si et seulement si on a les deux propriétés suivates :
1
B
est sous groupe de
(A, +).
2
B
est stable pour la multiplication de
A.
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
Z
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
Z
est un sous-anneau de
Q.
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
2
Z
est un sous-anneau de
√
Z[ 2]
Q.
est un sous-anneau de
R.
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
2
3
Z
est un sous-anneau de
√
Q.
Z[ 2] est un sous-anneau de R.
√
Z[i 2] est un sous-anneau de C.
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
2
3
4
Z
est un sous-anneau de
√
Q.
Z[ 2] est un sous-anneau de R.
√
Z[i 2] est un sous-anneau de C.
Les sous anneaux de
telle que
Z
sont les parties de
Z
n ∈ N.
Anneaux et Corps
de la forme
nZ
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
Soit
A
un anneau.
A
et
{0 A }
sont des sous anneaux de
appelés les sous anneaux triviaux de
A
Anneaux et Corps
A
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
Soit
A
un anneau.
A
et
{0 A }
sont des sous anneaux de
appelés les sous anneaux triviaux de
2
{0A }
A
est appelé le sous anneau nul de
A
Anneaux et Corps
A
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
Soit
A
un anneau.
A
et
{0 A }
sont des sous anneaux de
appelés les sous anneaux triviaux de
2
{0A }
3
Si
B
est appelé le sous anneau nul de
et
C
sont des sous anneaux de
sous anneau de
A
A
A
A
A
alors
.
Anneaux et Corps
B ∩C
est aussi un
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Exemple
1
Soit
A
un anneau.
A
et
{0 A }
sont des sous anneaux de
appelés les sous anneaux triviaux de
2
{0A }
3
Si
B
est appelé le sous anneau nul de
et
C
sont des sous anneaux de
sous anneau de
4
A
A
A
A
alors
B ∩C
est aussi un
.
Toute intersection de sous anneaux de
de
A
A
A
est un sous anneau
.
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Remarque
Si
A
est unitaire et si
général on a :
B
est un sous anneau unitaire de
1B 6= 1A .
Anneaux et Corps
A
alors en
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Remarque
Si
A
est unitaire et si
général on a :
B
est un sous anneau unitaire de
1B 6= 1A .
Exemple
Soit
A = Z × Z.
A est un anneau unitaire
Anneaux et Corps
A
alors en
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Remarque
Si
A
est unitaire et si
général on a :
B
est un sous anneau unitaire de
A
alors en
1B 6= 1A .
Exemple
Soit
A = Z × Z.
A est un anneau unitaire et
B = Z × { 0}
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Remarque
Si
A
est unitaire et si
général on a :
B
est un sous anneau unitaire de
A
alors en
1B 6= 1A .
Exemple
Soit
A = Z × Z.
A est un anneau unitaire et
B = Z × {0}est
sous-anneau unitaire de A
Anneaux et Corps
un
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Remarque
Si
A
est unitaire et si
général on a :
B
est un sous anneau unitaire de
A
alors en
1B 6= 1A .
Exemple
Soit
A = Z × Z.
A est un anneau unitaire et
sous-anneau unitaire de A et on a :
1A =
B = Z × {0}est
Anneaux et Corps
un
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Remarque
Si
A
est unitaire et si
général on a :
B
est un sous anneau unitaire de
A
alors en
1B 6= 1A .
Exemple
Soit
A = Z × Z.
A est un anneau unitaire et
sous-anneau unitaire de A et on a :
B = Z × {0}est
1A = (1, 1) 6=
Anneaux et Corps
un
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Remarque
Si
A
est unitaire et si
général on a :
B
est un sous anneau unitaire de
A
alors en
1B 6= 1A .
Exemple
Soit
A = Z × Z.
B = Z × {0}est un
1A = (1, 1) 6= 1B = (1, 0).
A est un anneau unitaire et
sous-anneau unitaire de A et on a :
Anneaux et Corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Remarque
Si
A
est unitaire et si
général on a :
B
est un sous anneau unitaire de
A
alors en
1B 6= 1A .
Exemple
Soit
A = Z × Z.
B = Z × {0}est un
1A = (1, 1) 6= 1B = (1, 0).
A est un anneau unitaire et
sous-anneau unitaire de A et on a :
Remarque
Si
A
est unitaire intègre alors tous les sous anneaux unitaires non
nuls de
A
ont le même élément unité que celui de
Anneaux et Corps
A.
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
Soient
A
un anneau et
sous-corps de
A
si
B
B
une partie de
A.
B est un
(B, +, ·) est
On dit que
est un sous-anneau de
A
et si
corps.
Exemple
1
Q
est un sous-corps de
R
qui est un sous-corps de
Anneaux et Corps
C.
un
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux-Corps
Sous-anneaux - Sous-corps
Dénition
Soient
A
un anneau et
sous-corps de
A
si
B
B
une partie de
A.
B est un
(B, +, ·) est
On dit que
est un sous-anneau de
A
et si
corps.
Exemple
1
2
Q
est un sous-corps de
{a + ib/a, b ∈ Q}
R
qui est un sous-corps de
est un sous-corps de
C.
Anneaux et Corps
C.
un
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Dénition
A un anneau et I une partie de A. On dit que I est un idéal
A, si I est un sous groupe de (A, +) et si on a : ∀a ∈ A et
∀x ∈ I : ax, xa ∈ I .
Soient
de
Anneaux et Corps
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux quotients
Anneaux et corps :
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Exemple
1
Les idéaux de
Z
sont les parties de
Z
de la forme
nZ
telle que
n∈N
2
{0A }
A
3
{0A }
4
Si
A
et
A
sont des idéaux de
est appelé l'idéal nul de
est unitaire et si
seulement si
A
I
A
appelés les idéaux triviaux de
A.
est un idéal de
Si
est un corps, les seuls idéaux de
6
Les idéaux de
7
Les seuls idéaux de
8
Z
est un sous-anneaux de
9
Si
I
et
J
A
I =A
A
sont
{0A }
sont tous des sous-anneaux de
Q
sont
{0}
Q
sont des idéaux de
A.
alors
si
1 ∈ I.
5
idéaux de
A
et
et
A.
Q
qui n'est pas un idéal de
A
A.
alors
I ∩J
et
Anneaux et Corps
I +J
Q.
sont des
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Dénition
Soient
1
Si
B
f
un autre anneau
f
une application de
homomorphisme
vers
B
.
(A, +) vers (B, +) et si f
de (A, ·) vers (B, ·) on dit que f est
d'anneaux de A vers B .
est homomorphisme de
homomorphisme
A
Anneaux et Corps
est un
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Dénition
Soient
1
Si
B
f
un autre anneau
homomorphisme
Si
A
une application de
A
vers
B
.
(A, +) vers (B, +) et si f
de (A, ·) vers (B, ·) on dit que f est
d'anneaux de A vers B .
est homomorphisme de
homomorphisme
2
f
et
B
sont unitaires et si
f (1A ) = 1B on dit que f
A vers B .
homomorphisme d'anneaux unitaire de
Anneaux et Corps
est un
est un
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Dénition
Soient
1
Si
B
f
un autre anneau
homomorphisme
Si
A
une application de
A
vers
B
.
(A, +) vers (B, +) et si f
de (A, ·) vers (B, ·) on dit que f est
d'anneaux de A vers B .
est homomorphisme de
homomorphisme
2
f
et
B
sont unitaires et si
f (1A ) = 1B on dit que f
A vers B .
est un
est un
homomorphisme d'anneaux unitaire de
3
Si
A
et
B
sont des corps on dit que
f
est un homomorphisme
de corps.
Anneaux et Corps
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Exemple
1
La conjugaison de
C
vers
C
est un automorphisme d'anneaux.
Anneaux et Corps
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Exemple
1
La conjugaison de
2
Soit A un anneau. L'application
C
vers
C
est un automorphisme d'anneaux.
Z
/ A, k
homomorphisme d'anneaux.
Anneaux et Corps
/ k 1A
est un
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Image et Image directe
Soit A0 un autre anneau et f est un homomorphisme d'anneaux de
A vers A0 .
Anneaux et Corps
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Image et Image directe
Soit A0 un autre anneau et f est un homomorphisme d'anneaux de
A vers A0 .
Si B est un sous anneau de A alors f (B) est un sous anneau
de A0 .
Anneaux et Corps
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Image et Image directe
Soit A0 un autre anneau et f est un homomorphisme d'anneaux de
A vers A0 .
Si B est un sous anneau de A alors f (B) est un sous anneau
de A0 .
Si B 0 est un sous anneau de A0 alors f −1 (B 0 ) est un sous
anneau de A.
Anneaux et Corps
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Image et Image directe
Soit A0 un autre anneau et f est un homomorphisme d'anneaux de
A vers A0 .
Si B est un sous anneau de A alors f (B) est un sous anneau
de A0 .
Si B 0 est un sous anneau de A0 alors f −1 (B 0 ) est un sous
anneau de A.
ker f est un sous anneau de A
Anneaux et Corps
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux quotients
Anneaux et corps :
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Anneaux quotients
Dénition
Soient
A
un anneau,
I
un idéal de
A
groupe additif vers le groupe additif
1
AI
noté multiplicativement tel que
homomorphisme de
3
surjection canonique du
Il exite une loi de composition interne et une seule dans
l'ensemble
2
π la
AI .
et
(A, .)
vers
π
soit un
(AI , .).
∀x, y ∈ A : xy = xy .
(AI , +, .) est un anneau appelé l'anneau quotient AI ,
π est un homomorphisme d'anneaux de (A, +, .) vers
(AI , +, .).
Anneaux et Corps
et
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux quotients
Anneaux et corps :
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Proposition
Soient
A
un anneau et
I
un idéal de
1
Si
A
est abelien alors
2
Si
A
est unitaire alors
AI
AI
A.
est abelien.
est unitaire dont l'unité est
p (1A ) = 1A .
Exemple
Pour tout entier naturel
n, ZnZ
est un anneau commutatif
unitaire.
Anneaux et Corps
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux quotients
Anneaux et corps :
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Proposition
Soit
vers
A un anneau, I
AI .
J est
AI .
1
Si
2
si
3
Soient
I ⊂J
alors
un idéal de
un idéal de
alors
J et K
J = K.
JI
A
alors
A
et
π
la surjection canonique de
(J + I ) I = π (J)
est un idé al de
deux id éaux de
A
A
est un idéal de
AI .
contenants
Anneaux et Corps
I.
Si
JI = K I
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Dénition
Soit
1
A
un anneau commutatif unitaire intègre.
a∈A
2
I de A
I = aA.
On dit qu'un idéal
tel que
Si les idéaux de
A
est principal s'il existe un élément
sont tous principaux, on dit que l'anneau
est pricipal.
Exemple
1
Les corps sont des anneaux principaux.
2
Z
est un anneau principal.
Anneaux et Corps
A
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Dénition
Soient
A
un anneau et
I
un idéal de
A.
On dit que :
I est un idéal premier de A, si on a :
∀x, y ∈ A : xy ∈ I =⇒ x ∈ I ou y ∈ I .
I est un
I =
6 A.
idéal maximal de
pour tout idéal
J
de
A
A,
on a :
si :
I ⊂ J =⇒ J = I
Anneaux et Corps
ou
J = A.
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux quotients
Anneaux et corps :
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Exemple
Soit
A
un anneau.
A
est un idéal premier de
idéal maximal de
{0A }
A
lui même, mais
A
n'est pas un
A.
est un idéal premier de
A
si et seulement si
A
est un
anneau intègre.
Si
A
est un corps alors
{0A }
est un idéal maximal de
A est commutatif unitaire alors {0A }
de A si seulement si A est un corps.
Si
A.
est un idéal maximal
Anneaux et Corps
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Exemple
Les idéaux premiers de Z sont {0}, Z et les idéaux de la forme
pZ tels p soit un nombre premier.
Les idéaux maximaux de Z sont les idéaux pZ tels p soit un
nombre premier.
Soit B un autre anneau et f est un homomorphisme d'anneaux
de A vers B .
Si J est un idéal premier de B alors f −1 (J) est un idéal
premier de A.
Anneaux et Corps
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux quotients
Anneaux et corps :
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Théorème
Soient
A
un anneau et
premier de
A
I
A. Pour que I soit
AI soit intègre.
un idéal de
il faut et il sut que
un idéal
Exemple
1
Si
p
est un entier naturel alors
seulement si
2
p=0
ou
p=1
ZpZ est un intègre si
p est un nombre premier.
ou
Z0Z = Z {0}, ZZ, Z2Z, Z3Z, Z5Z
et
Z7Z
sont des anneaux intègres.
3
Z4Z
,
Z6Z, Z8Z, Z9Z, Z10Z
sont pas des anneaux intègres.
Anneaux et Corps
et
Z12Z
ne
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Théorème
Soient
A
un anneau et
I
est un idéal maximal de
un idéal de
A.
Si
AI
est un corps alors
A.
Théorème
Soient
A
I un idéal de A. I
AI est un corps.
un anneau commutatif unitaire et
un idéal maximal de
A
si et seulement si
Anneaux et Corps
est
I
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Exemple
1
Si
p
est un entier naturel alors
seulement si
2
3
p
ZpZ
est un corps si et
est un nombre premier.
Z2Z, Z3Z, Z5Z
et
Z7Z
sont des corps.
Z0Z = Z {0}, ZZ, Z4Z, Z6Z, Z8Z, Z9Z
Z10Z ne sont pas des corps.
Anneaux et Corps
et
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Corollaire
Si
A
est un anneau commutatif unitaire alors tous les idéaux
maximaux de
A
sont des idéaux premiers de
A.
Anneaux et Corps
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Anneau euclidien
Dénition
Soit
A
un anneau commutatif unitaire intègre.
A est un anneau euclidien s'il existe une application f
de
vers N telle que pour tout élément a de A et pour tout
?
élément non nul b de A il existe deux éléments q et r tels que :
a = bq + r
.
r = 0 ou (r 6= 0 et f (r ) ≺ f (b))
On dit que
A?
Exemple
1
Les corps sont tous des anneaux euclidiens.
2
Z
est un anneau euclidien.
Anneaux et Corps
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Théorème
Les anneaux euclidiens sont principaux.
Contre-exemple
√
1 + i 19
Z[
]
2
Anneaux et Corps
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Caractéristique
Dénition
Soient
1
A
un anneau et
si le sous-groupe
carctéristique
p
a ∈ A.
hai
de
A
est d'ordre ni
et on note :
p
cara (a) = p
Anneaux et Corps
on dit que
a
est de
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Caractéristique
Dénition
Soient
1
A
un anneau et
si le sous-groupe
carctéristique
2
p
0
hai
de
A
est d'ordre ni
et on note :
si le sous-groupe
carctéristique
a ∈ A.
hai
de
A
p
on dit que
est de
cara (a) = p
est d'ordre ini on dit que
et on note :
a
cara (a) = 0.
Anneaux et Corps
a
est de
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Caractéristique
Dénition
Soient
1
A
un anneau et
si le sous-groupe
carctéristique
2
p
0
hai
de
A
est d'ordre ni
et on note :
si le sous-groupe
carctéristique
a ∈ A.
hai
de
A
p
est d'ordre ini on dit que
et on note :
Soit
A
un anneau alors
a
est de
cara (a) = p
cara (a) = 0.
Exemple
1
on dit que
cara (0) = 1
Anneaux et Corps
a
est de
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Caractéristique
Dénition
Soient
1
A
un anneau et
si le sous-groupe
carctéristique
2
p
0
hai
de
A
est d'ordre ni
et on note :
si le sous-groupe
carctéristique
a ∈ A.
hai
de
A
p
est d'ordre ini on dit que
et on note :
2
Soit
A
∀a ∈
un anneau alors
Z∗
a
est de
cara (a) = p
cara (a) = 0.
Exemple
1
on dit que
cara (0) = 1
: cara (a) = 0
Anneaux et Corps
a
est de
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Caractéristique
Dénition
Soient
1
A
un anneau et
si le sous-groupe
carctéristique
2
p
0
hai
de
A
est d'ordre ni
et on note :
si le sous-groupe
carctéristique
a ∈ A.
hai
de
A
p
on dit que
est de
cara (a) = p
est d'ordre ini on dit que
et on note :
a
a
est de
cara (a) = 0.
Exemple
1
Soit
A
2
∀a ∈
3
Soit
un anneau alors
Z∗
cara (0) = 1
: cara (a) = 0
n ∈ N∗ :
Dans
ZnZ
on a :
∀k ∈ Z : cara k =
Anneaux et Corps
n
k ∧n
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Proposition
Soit
a∈A:
les propriétés suivantes sont équivalentes :
1
cara (a) = 0
2
∀k ∈ Z∗ : ka 6= 0
3
∀k ∈ N∗ : ka 6= 0
Anneaux et Corps
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Proposition
Soit
a∈A:
les propriétés suivantes sont équivalentes :
1
cara (a) 6= 0
2
∃k ∈ N∗
tq : ka = 0
3
Z∗
tq : ka = 0
∃k ∈
Proposition
Soit
1
a ∈ A.
Si
cara (a) 6= 0
cara (a) est le
tq : ka = 0 .
alors :
plus petit entier naturel non nul
Anneaux et Corps
k ∈ N∗
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Proposition
Soit
a∈A:
les propriétés suivantes sont équivalentes :
1
cara (a) 6= 0
2
∃k ∈ N∗
tq : ka = 0
3
Z∗
tq : ka = 0
∃k ∈
Proposition
Soit
1
2
a ∈ A.
Si
cara (a) 6= 0
cara (a) est le
tq : ka = 0 .
alors :
plus petit entier naturel non nul
∀k ∈ Z : ka = 0 ⇐⇒ cara (a)| k .
Anneaux et Corps
k ∈ N∗
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Théorème
Si
A
A
ont la même caractéristique qui est soit
est anneau intègre non nul alors tous les éléments non nuls de
0 soit un nombre premier.
Exemple
1
cara (Z) = cara (Q) = cara (R) = cara (C) = 0.
2
Si
p
est un nombre premier alors :
cara (ZpZ) = p .
Remarque
Si
A
est anneau intègre non nul de caractéristique
multiple de
p
alors :
∀x ∈ A : kx = 0.
Anneaux et Corps
p
et si
k
est un
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Théorème
Aun anneau intègre non nul de caractéristique p 6= 0 et
a, b ∈ A deux éléments quelconques de A. Si ab = ba alors :
(a + b)p = ap + b p .
Soient
Corollaire
A un anneau intègre non nul de caractéristique p 6= 0
a, b ∈ A deux éléments quelconques de A. Si ab = ba alors :
n
n
n
∀n ∈ N : (a + b)p = ap + b p .
Soient
Anneaux et Corps
et
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Corollaire
A est un anneau commutatif intègre non nul de caractéristique
p=
6 0 alors pour tout entier naturel n ∈ N l'application suivante :
Si
fn : A
/ A, a
/ fn (a) = ap n
est un homomorphisme d'anneaux de
A
vers
A
qui est unitaire si
est unitaires.
Anneaux et Corps
A
Idéaux
Homomorphisme d'anneaux- Homomorphisme de corps
Anneaux et corps :
Idéux-Homomorphismes-Anneaux quotients
Anneaux quotients
Idéal premier-Idéal maximal-Idéal principal
Anneaux euclidiens
Caractéristique
Proposition
Soient
A
un anneau commutatif unitaire intègre non nul de
0.
∀n ∈ Z? : n1A =
6 0.
caractéristique
Pour tout entier relatif
n, on
A.
confond
n
devient un élément de
Z
devient un sous-anneau unitaire de
n 1A
avec
A.
Anneaux et Corps
n.
C'est à dire