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EXERCICES D’ELECTROTECHNIQUE
Prépa CAPES Physique
Luc Lasne, 29/10/2008
Partie 1 : Régime alternatif sinusoïdal monophasé
I L=20mH
Exercice 1 : Charge monophasée
On considère la charge monophasée représentée sur la figure ci
V
R1=20Ω
contre, placée sous une tension sinusoïdale de valeur efficace
V=230 V et de fréquence 50 Hz.
1) Calculer la valeur efficace I1 du courant circulant dans la résistance R1 .
2) Calculer la valeur efficace I 2 du courant circulant dans la résistance R2 .
3) Calculer la valeur efficace I du courant absorbé par l'ensemble de ce circuit.
4) Calculer la valeur des puissances active P, réactive Q et apparente S relatives à ce circuit.
5) En déduire la valeur du facteur de puissance de cette charge.
R2=10Ω
I1 1/j0,002 4 Ω
Exercice 2 : Diviseur de courant
I
Du circuit représenté ci-contre, on ne connaît que la valeur du courant
I2 j.40 Ω 10 Ω
total absorbé : I=2,5 A ainsi que les valeurs des impédances notées sur la
figure.
V
1) Calculer la valeur de la tension efficace V appliquée à cette charge.
2) En déduire les valeurs de I1 et I 2 .
3) Retrouver ces valeurs par l’application de la formule du diviseur de courant (les admittances seront
directement calculées à la calculatrice en calcul complexe).
4) Représenter l’intégralité des grandeurs sur un diagramme de Fresnel.
5) Ecrire l'expression littérale de la puissance active P et de la puissance réactive Q consommées par cette
charge. Faire l’application numérique.
6) Calculer les éléments du circuit le plus simple équivalent à cette charge.
Exercice 3 : Charge monophasée et calcul d’impédances complexes
Dans cet exercice, on s’intéresse à la détermination des grandeurs
électriques relatives au récepteur monophasé représenté sur la figure cicontre.
Le générateur est une source de tension sinusoïdale idéale. La grandeur
complexe V représente ainsi une tension sinusoïdale de valeur efficace
V =130 V et de fréquence f =50 Hz .
A
I
2Ω
B
30 Ω
60 Ω
VBM
V
j.15 Ω
j.30 Ω
M
I1 M
I2
7) Calculer la valeur numérique de l’impédance complexe Z BM équivalente aux deux branches de sommets B
et M.
8) Calculer alors l’impédance complexe Z AM équivalente à l’ensemble de la charge.
9) Calculer la valeur efficace du courant I .
10) Calculer ainsi les valeurs de la puissance active et réactive totales consommées par le circuit. NB : Ce
calcul peut être mené de plusieurs manières différentes. Toutes les démarches seront acceptées à condition
que le résultat soit juste.
11) Calculer le facteur de puissance global de ce récepteur (préciser si le déphasage est « arrière » ou « avant »).
12) En utilisant les question 1 et 3, calculer également la valeur efficace de la tension V BM .
13) En déduire les valeurs de I1 et I 2 .
14) Peut on dire de façon générale que I = I1+ I 2 ? Cette égalité est elle vérifiée ici ? Pourquoi ?
15) Ecrire l’équation de maille qui relie V , I et V BM .
16) Représenter alors sur un diagramme de Fresnel sans échelle particulière les vecteurs
I2 .
V , I , V BM , I 1 et
Exercice 4 : Puissances et facteur de puissance associés à un dipôle non linéaire
On considère dans cet exercice un dipôle récepteur « non
linéaire ». Alimenté sous la tension sinusoïdale du réseau
v(t)
électrique, il consomme un courant non sinusoïdal représenté sur
la figure ci-contre. Les angles caractérisant l’allure de ce courant
représentent la grandeur θ=ωt qui apparaît dans l’expression de la
i(t)
Récepteur
Non Linéaire
400
tension du réseau électrique : Vr =V. 2.sin(ωt) (supposée à
l’origine des phases, avec V=230 V,ω=2π×50 rad/s).
i(t)
I0=10 A
θ
17) Déterminer l’expression du courant et de la tension efficaces
(deg)
consommés par ce récepteur.
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450
18) En déduire l’expression de la puissance apparente S
associée.
19) Calculer l’expression littérale de la puissance active
consommée.
20) En déduire le « facteur de puissance » : k=P/S associé. Quel
peut être l’intérêt de ce facteur ?
21) A t’on alors intérêt de véhiculer des courants non sinusoïdaux sur les réseaux électriques ?
300
v(t)
200
100
0
-100
-200
-300
-400
Exercice 5 : Tracés dans le plan complexe et compensation de puissance réactive
Un atelier monophasé est constitué de trois ensembles de machines, constituant les charges 1, 2 et 3, mises en
parallèle sur la même tension sinusoïdale à 50 Hz de valeur efficace V=230 V. On récapitule dans le tableau cidessous les mesures faites sur chacune de ces charges.
Charge 1
Charge 2
Charge 3
P1=20kW
Q1=15kVAR
S2 =45kVA
cosϕ2 =0,6 AR
S3 =10 kVA
Q3 =−5 kVAR
1) Calculer pour chaque charge l'ensemble des grandeurs électriques la caractérisant : courant absorbé,
puissances actives réactives et apparente, facteur de puissance. On notera ces grandeurs I1 , I 2 , I3 , P1 , P2 ,
etc.
2) En déduire la valeur de la puissance active totale P et de la puissance réactive totale Q consommées par la
charge totale. calculer également la puissance apparente totale S , le facteur de puissance global ainsi que le
courant total absorbé : I.
3) Représenter dans le plan complexe les courants I 1 , I 2 , I 3 et I . On réalisera un diagramme sans échelle
mais sur lequel les amplitudes et déphasages des vecteurs seront notés. On prendra comme référence de
phase la tension V .
4) Représenter la construction du triangle des puissances de l'ensemble de ces charges.
5) On désire, en plaçant un condensateur C' en parallèle sur l'installation relever le facteur de puissance à la
valeur : cosϕ'=0,9 AR . Calculer la valeur de C'.
6) Calculer également la valeur C'' d'un condensateur permettant d'obtenir un facteur de puissance
cosϕ''=0,9 AV .
7) Le facteur de puissance ayant la même valeur dans les deux cas, quel condensateur choisit on en pratique ?
Partie 2 : Circuits triphasés
Exercice 1 : Triphasé , Charges Y et ∆ .
On considère une charge triphasée équilibrée constituée de trois impédances identiques
Z = Z.e jϕ =10+ j.20
câblées en étoile sur un système de tensions triphasées 230 V / 400 V.
1) Représenter le schéma électrique correspondant à ce système. Repérer sur ce schéma les tensions simples
( V 1 , V 2 , V 3 ) et les tensions composées ( U 12 , U 23 , U 31 ).
2) Quelle relation relie les valeurs efficaces U et V de ces tensions ?
3) Calculer l'expression littérale et la valeur du courant efficace I absorbé par chaque phase.
4) Préciser la valeur du déphasage courant / tension sur chaque phase. Préciser alors les expressions et les
valeurs des puissances active et réactive consommées par cette charge.
On considère à présent trois impédances
Z '= Z'.e jϕ' =30+ j.60 câblées en triangle sur le même système de
tensions triphasées. On appellera J' le courant de phase efficace circulant dans les impédances Z' . On appellera
I' la valeur efficace du courant de ligne.
5) Représenter le schéma électrique correspondant à ce système. Repérer sur ce schéma les tensions composées
( U 12 , U 23 , U 31 ).
6) Quelle relation relie I' et J' ? Calculer alors les expressions et les valeurs de I' et J'.
7) Préciser l'expression et les valeurs des puissances active et réactive absorbées par cette charge.
8) Ces résultats auraient ils pu être prévisibles étant donnés les valeurs de Z et Z' ?
9) Représenter sur un diagramme de Fresnel les tensions simples ( V 1 ,
( U 12 ,
V 2 , V 3 ), les tensions composées
U 23 , U 31 ) ainsi que les trois courants de ligne : ( I 1 , V 2 , V 3 ) . NB : Il n’est pas nécessaire de
respecter d’échelle précise mais en revanche de préciser sur le diagramme les grandeurs nécessaires à la
compréhension.
V1
Z1
I1
Exercice 2 : Circuits triphasés déséquilibrés
On considère le système triphasé 230/400 V représenté sur la
V1N' Z2 N'
V2 U12
N
figure ci contre.
On donne la valeur des impédances :
I2
V2N' Z3
V3
Z 1 = j30 (Ω) , Z 2 =−j10 et Z 3 = j20 .
I3
V2N'
10) Le neutre étant relié, calculer rapidement les valeurs
efficaces des courants de ligne : I1 , I 2 et I3 .
11) Représenter, sur un diagramme sans échelle dans le plan complexe, les tensions simples sur les charges
V 1N' , V 2N' et V 3N' ainsi que les courants de ligne
V1
I
1
complexes. A quel type de déséquilibre a t’on
affaire (courant, tension , …) ?
V2 U12
N
12) Par accident le conducteur de neutre et la « phase 3 » sont
I2
rompus ; on représente le schéma correspondant sur la
V3
figure ci contre. Quelle relation relie alors les courants I1 et
I2 ?
13) Ecrire la relation complexe qui relie la tension U 12 au
courant I1.
14) Calculer alors la valeur efficace I1 ainsi que le déphasage de I1 par rapport à U 12 .
Z1
V1N' Z2
V1N'
N'
Z3
V 1N' et V 2N' en fonction du courant I1.
16) Calculer alors les valeurs efficaces V1N' et V2N' ainsi que leurs déphasages par rapport à U 12 .
17) Représenter dans le plan complexe les grandeurs suivantes : U 12 , U 23 , U 31 , V 1N' , V 2N' , I 1 et I 2 . Pour
15) Ecrire les expressions littérales complexes des tensions
cette question, on ne prendra pas d’échelle particulière, cela dit les angles remarquables devront être
respectés et les amplitudes relatives à peu près respectées.
Exercice 3 : Installation électrique de la tour Eiffel
Dans cet exercice on s’intéresse à l’installation électrique de la tour Eiffel qui, avec ses 5 ascenseurs, ses 10000
ampoules, son relais radio, ses restaurants et boutiques, représente un lieu important de consommation
électrique. Pour en faire l’étude, on considère le schéma électrique simplifié, correspondant à l’installation
triphasée, représenté sur la figure ci dessous.
V1
I1
1
Attention :
On
considère
dans Triphasé
V2
U12 I
2
2
l’exercice que toutes équilibré N
fourni par
V3
les
charges
sont
3
I3
EDF
équilibrées.
Par
ailleurs,
les
V1=V2=V3=V=230V
Circuits
Antenne
Moteurs
puissances indiquées
Radio/TV
divers
correspondent
au
fonctionnement
en
Eclairage 1
Eclairage 2
plein
régime
des
7000 ampoules 3000 ampoules Ascenseurs Circuits Divers
Relais
5 Ascenseurs Pcd=700 kW
simples :
diverses charges.
flash :
Radio/TV
de 100kW
Pe1=140 kW
Pe2=60 kW
cosϕ=0,8 AR
cosϕ=0,5 AR
cosϕ=0,9
Pr=72 kW
cosϕ=0,7 AR
1) Quelle relation relie la valeur efficace des tensions simples V à celle des tensions composées U ? Quelle est
alors la valeur des tensions composées U ?
2) Calculer les puissances active et réactive totales correspondant au fonctionnement simultané des 5
ascenseurs (de 100 kW chacun) : Pa et Qa .
3) Les 3000 ampoules flash sont tributaires d’un facteur de puissance de 0,5. Calculer alors la puissance
réactive Qe2 qu’elles consomment en plein régime.
4) Calculer également les puissances réactives Qcd et Qr consommées respectivement par les circuits divers
(cosϕ=0,9) et par l’antenne Radio (cosϕ=0,7) en plein régime.
5) Calculer alors la puissance active totale Pt et la puissance réactive totale Qt correspondant au
fonctionnement en plein régime de la tour Eiffel.
6) En déduire la valeur du courant de ligne I consommé en tête de l’installation et la valeur du facteur de
puissance global.
7) Calculer l’énergie (en kWh) consommée en une journée par cette installation en considérant les points
suivants (NB : 1 kWh = 1kW consommé pendant 1h.) :
Eclairages : plein régime Ascenseurs : plein régime Circuits divers : plein
Antenne Radio/TV : plein
8h/24h
12h/24h
régime 16h/24h
régime 24h/24h
8) Calculer alors le prix d’une journée d’alimentation électrique sachant que 1kWh = 0,1€.
R=10mΩ
En raison de la hauteur de l’édifice, les diverses charges sont distantes des
Charge
transformateurs d’une distance moyenne de 150 m. Le schéma monophasé équivalent
230V équivalente
de l’ensemble de l’installation, représenté sur la figure ci contre fait alors apparaître
cosϕ=0,8
VEDF
une résistance R, équivalente aux câbles, qui s’interpose entre la tension d’EDF et la
charge équivalente à l’installation.
9) Calculer le courant de ligne correspondant à la puissance en régime moyen P=1MW . Attention : cette
puissance est la puissance totale du système triphasé.
10) Calculer alors les puissances active et réactives produites par EDF dans ce cas. En déduire la valeur de la
tension produite par EDF permettant de fournir 230 V à la charge.
Exercice 4 : Circuits triphasés et problématiques liées aux réseaux électriques
On considère un tronçon de réseau électrique de 100 km de long reliant une centrale de production à une région
de consommation. La centrale est représentée par un générateur triphasé équilibré direct (TED), supposé parfait,
de tension entre phase U ' . La ligne est
V’1
jlω
r
I
1
1
modélisée par une résistance et une inductance à
jlω
U’
r
U
12
12 2
déterminer. L’ensemble des consommateurs est
2
N
N
jlω
U23 3
représenté par une « charge » supposée équilibrée
r
3
consommant au maximum 300 MégaWatts. Le
V’3
Charge
schéma électrique correspondant est représenté
Centrale de
Ligne (100km)
P=300 MW
sur la figure ci contre.
production
Q=100 MVAR
1) La tension « entre phases » au niveau de la charge vaut : U =400 kV . En déduire la valeur des tensions
simples correspondantes : V .
2) La charge consomme, au maximum, les puissances P=300 MW et Q=+100 MVAR . Calculer les
valeurs correspondantes de la puissance apparente S et du facteur de puissance associés à cette charge.
3) Calculer alors la valeur du courant de ligne I consommé sur chaque phase par la charge.
4) La ligne présente, sur chaque phase, une résistance linéique de 0,05 Ω/km et une réactance linéique de 0,3
Ω/km. Calculer alors les valeurs de la résistance de ligne r et de la réactance de ligne lω . NB : le terme
« linéique » signifie « par unité de distance ».
5) En déduire, par un bilan de puissance, les valeurs de la puissance active totale Pt et de la puissance réactive
totale
Qt fournies par la centrale de production.
6) Calculer alors la valeur de la puissance apparente totale
7)
8)
9)
10)
St . En déduire la valeur de la tension simple V ' et
de la tension composée U ' que la centrale doit fournir.
Représenter le schéma monophasé équivalent de ce système triphasé (c’est à dire le circuit que représente
une des phases). Préciser la relation de maille relative à ce schéma.
Réaliser alors un diagramme de Fresnel sans échelle représentant les vecteurs V , I , r.I , j.lω.I et V ' (on
pourra organiser les différents vecteurs de façon à réaliser la construction vectorielle correspondant à la loi
des mailles).
La puissance active consommée par la ligne de transport représente une perte. Calculer alors la valeur du
rendement du système (on considèrera que la puissance utile est P ).
Calculer alors la valeur maximale de la longueur de la ligne permettant au rendement de rester supérieur à
90%.
Partie 3 : Circuits magnétiques et Transformateurs
Exercice 1 : Circuit magnétique
Dans cet exercice, on s’intéresse à un circuit magnétique très commun, représenté en coupe sur la figure ci
contre, pouvant servir à réaliser des inductances ou des transformateurs monophasés. L’objectif de l’exercice est
de déterminer le nombre de
φ1
φ3
φ1 ℜ1
spires N à bobiner pour en
I
ε
φ3
faire
une
inductance
φ2
L=20 mH .
φ2
N
ℜ2
ℜ3
V
On donne les dimensions et
caractéristiques suivantes :
l1=30 cm , l2 =10 cm , l3 =30 cm ,
1) Que représente la grandeur notée
ε
S1=S2 =S3 =20 cm² , perméabilité relative : µr =1500 .
sur le schéma équivalent ?
2) Donner les expressions et calculer les valeurs des réluctances ℜ1 , ℜ2 et ℜ3 .
3) Calculer la réluctance ℜ équivalente au circuit magnétique (on s’aidera du schéma équivalent représenté
sur la figure 1).
4) Calculer alors le nombre de spires N à bobiner pour réaliser une inductance L=20 mH .
Cette inductance est destinée à être utilisée en régime alternatif sinusoïdal, à la fréquence f =400 Hz On
cherche à déterminer le courant efficace maximal qu’elle pourra supporter sans saturer.
5) Enoncer la « relation Tension/Fréquence/Induction » qui relie la tension efficace V (aux bornes du
bobinage) à la valeur maximale Bmax de l’induction et à la fréquence f .
V et courant complexe I ? En passant aux modules, quelle
relation relie alors V à la valeur efficace du courant I ?
7) En se servant des deux dernières questions calculer la valeur efficace du courant I permettant de ne pas
dépasser Bmax =1,5 T au sein du bobinage.
8) Pour pouvoir augmenter la valeur de ce courant, on pratique un entrefer d’épaisseur e=1mm dans la
6) Quelle relation relie la tension complexe
branche « 1 » du circuit magnétique. Calculer alors la nouvelle valeur de la réluctance équivalente.
9) Calculer ainsi la nouvelle valeur de l’inductance obtenue et le nouveau courant efficace maximal.
(permettant toujours de ne pas dépasser Bmax =1,5 T au sein du bobinage).
Exercice 2 : Circuit magnétique et approche du transformateur
Dans cet exercice, on s’intéresse à un circuit magnétique homogène sur lequel sont bobinés deux enroulements.
Le bobinage 1 comporte N1 spires et est placé sous la tension
φ
Bmax =1,8 T dans le matériau magnétique.
Dans toute la suite du problème on considèrera la valeur fixe : N1 =300 spires.
3) Calculer la réluctance ℜ du circuit magnétique.
bobinage 2
bobinage 1
sinusoïdale v 1 , le bobinage 2 comporte N 2 spires et est
i1
i2
considéré comme ouvert dans un premier temps. Une coupe du
~ v1 N1
circuit magnétique et la disposition des bobinage sont
N2
v2
représentés sur figure ci contre. L’objectif de l’exercice est de
déterminer les relations existant entre les tensions et les
courants des deux bobinages.
On donne les dimensions et caractéristiques suivantes :
Longueur moyenne du circuit magnétique : l=50 cm, Section : S=20 cm², perméabilité relative : µr=1500 S.I.
1) Rappeler la formule « tension / induction / fréquence » énoncée dans le cours.
2) On souhaite placer le bobinage 1 sous une tension alternative sinusoïdale de valeur efficace V1 =230 V à la
fréquence f =50 Hz . Calculer le nombre minimal de spires N1 permettant de ne pas dépasser la valeur
d’induction maximale
4) Ecrire l’expression du flux circulant dans le circuit magnétique :
φ
en fonction de
ℜ , N1 et i1 .
5) Préciser l’expression et la valeur de l’inductance que représente le bobinage 1 : L1 .
6) Quelle relation vérifie cette inductance ?
7) Calculer l’expression et la valeur de l’inductance mutuelle M existant entre les deux bobinages sachant
qu’elle vérifie la relation : φ 2 T =M.i1 où φ 2 T est le flux total intercepté par le bobinage 2.
8) En écrivant la loi de Lenz pour chacun des bobinages, écrire les expressions des tensions
v1 et v2 en
di1 .
fonction de
dt
v 2 . Calculer alors le nombre de spires N2 permettant à la tension v2
v1
de présenter une valeur efficace V2 =127 V .
On considère maintenant que le bobinage 2 est connecté à une résistance R =50 Ω .
10) En supposant la tension v2 de valeur efficace V2 =127 V , calculer la valeur efficace du courant i2 : I 2 .
9) En déduire l’expression du rapport
11) Représenter le schéma équivalent du circuit magnétique faisant apparaître la réluctance et les diverses forces
magnétomotrices. On portera une attention particulière aux sens conventionnels des flux et des « fmm ».
12) En écrivant la relation de maille sur ce schéma équivalent, écrire l’équation qui relie i1 , i2 et φ .
ℜφ est négligeable dans cette relation, quelle est l’expression du quotient i2 ?
i1
Quelle relation existe t’il entre les puissances instantanées v1.i1 et v2.i2 ?
13) En supposant que le terme
Exercice 3 : Transformateurs en cascade
Un ensemble de distribution d'énergie électrique sous tension sinusoïdale à 50 Hz est représenté, en schéma
monophasé équivalent, sur la figure ci dessous. Les transformateurs représentés sont considérés comme parfaits
et les rapports de transformations connus : m=2.10−3 et m'=100 .
Les éléments d'imperfection des
transformateurs et de la ligne sont
ramenés à la résistance r et à
l'inductance l. La charge consomme,
par phase, une puissance de 500 kW
sous 230 V et avec un facteur de
puissance cosϕ =0,8 arrière.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
r=100 Ω lω=300 Ω
I
~
V
Générateur
I2
V1
V'
m'
I1
Ligne
V2
m
Charge
Calculer la valeur du courant I 2 .
En déduire la valeur du courant I1 et calculer la valeur de V1 .
Représenter un diagramme de Fresnel faisant apparaître toutes les grandeurs de la maille centrale.
Calculer alors la valeur de la tension V' en faisant une hypothèse de colinéarité des tensions V 1 et V' .
En déduire la valeur de la tension V nécessaire à assurer 230 V en bout de ligne.
Reprendre les deux dernières questions en faisant un bilan de puissances actives et réactives. Conclure sur
l'hypothèse faite à la question 4.
Partie 4 : Moteur à courant continu
Exercice 1 : Moteur à excitation réglable
On considère une machine à courant continu utilisée en moteur. Le bobinage inducteur est alimenté par la source
de tension de 110 V qui alimente également l'induit, à la différence que le courant inducteur est limité par la
résistance Re1 . L'installation est représentée sur la figure ci dessous.
I
C , N (tr/min)
U
U=110 V
Re1
Ie
R =0,5 Ω , Résistance de l'inducteur : Re =400 Ω
1) Le moteur fonctionnant à vide consomme le courant I =1,2 A . Calculer alors la valeur des pertes
mécaniques Pm . Calculer également la valeur de la force électromotrice interne E.
2) Toujours à vide, et pour Re1 =0 , le moteur tourne à la vitesse de 1620 tr/min. Calculer le couple de pertes
mécaniques Cm .
3) En déduire le coefficient k tel que C =k.I e.I . Vérifier que ce coefficient vérifie également la relation
E =k.I e.Ω .
On donne : Résistance de l'induit
4) On charge à présent le moteur en le faisant entraîner une dispositif mécanique (treuil, roue, ou autre…) qui
représente un couple résistant de 10 Nm s'ajoutant au couple de pertes (supposé constant). Calculer alors le
courant absorbé.
5) En déduire la valeur de la force électromotrice E et de la vitesse de rotation du moteur N (tr/min).
6) On souhaite que cette charge soit entraînée à 1800 tr/min. Calculer alors la valeur de la résistance Re1
permettant d'obtenir cette vitesse.
Exercice 2 : Machine utilisée en génératrice
Une machine à courant continu à aimants permanents est utilisée en génératrice, entraînée par un ensemble
mécanique à la vitesse N n =3000 tr/min . La tension nominale de la génératrice est U n =220 V , la puissance
nominale Pn =20 kW et le rendement nominal : η =0,8 .
1) Représenter un schéma équivalent de la génératrice et de sa charge (utiliser une convention adaptée).
2) Calculer la valeur du courant nominal de la génératrice.
3) En déduire la valeur de la résistance d'induit si on néglige les pertes mécaniques de la machine.
4) Calculer alors la valeur de la tension à vide et de la tension à demi-charge, c'est à dire pour une puissance
fournie
P= Pn .
2
5) Calculer le rendement de la machine à demi-charge.
Corrections
Luc Lasne, 29/10/2008
Partie 1 : Régime alternatif sinusoïdal monophasé
L=20mH
I
Exercice 1 : Charge monophasée
I1 = V = 230 =11, 5 A
R1 20
230
V
2) I 2 =
=
=19,5 A
R2² +(L.ω)² 10² +(20.10−3×2π ×50)²
1)
V
R1=20Ω
R2=10Ω
3) Impossible ici d'ajouter les valeurs efficaces calculées. Il est nécessaire de calculer l'impédance équivalente :
R1 //(R2 + jLω)=
20.(10+ j(20.10−3×100π)) 200+ j.125,6
=
(20+10)+ j(20.10−3×100π) 30+ j.6,28
V
230
=
=29,85 A
R1 //(R2 + jLω)
200² +125,6²
30² +6,28²
5) P = R1.I1² + R2.I 2²=20×11,5²+10×19,5² =6,44 kW
4) On en déduit :
I=
6)
Q= Lω.I 2² =20.10−3×100π ×19,5² =2,39 kVAR d'où S = P²+Q² =6,86 kVA
7)
cosϕ= P = P =0,93
S P² +Q²
Exercice 2 : Diviseur de courant
1) On
calcule
par
exemple
l’impédance
équivalente
au
circuit :
Z eq =(4− j.(1/0,002))//(40+ j.10)=11,8+ j.43,2 . Ainsi : V =Zeq.I = 11,8²+43,2² ×2,5=112 V .
V
V
I1
2) I1 =
=0,22 A , I 2 =
=2,7 A
V
4²+500²
10²+40²
ϕ I
3) La formule donne bien sur le même résultat…
4) Voir schéma.
5) P =4.I1²+10.I 2²=73 W , Q=−500.I1²+40.I 2²=267 VAR
6) Cette charge est équivalente à un circuit R-L
I2
I1
(Q>0) dont les valeurs sont :
X = L.ω =Q / I²=42,7 Ω .
R= P / I²=11,7 Ω et
Exercice 3 : Charge monophasée et calcul d’impédances complexes
Z =30+ j.15 , Z BM = Z // 2.Z = 2.Z =20+ j.10 Z BM =20+ j.10
3
Z AM =22+ j.10
I = V = 130 =5,38 A
Z AM
22²+10²
P =22.I²=636,7 W et Q=10.I² =289,4 VAR
I1
I
cosϕ = P =0,91 AR
I2
S
VBM = Z BM .I = 20² +10² ×5,38=120,3 V
I1 = VBM =1,79 A et I 2 = VBM =3,58 A
60²+30²
30²+15²
1) si
2)
3)
4)
5)
6)
7)
VBM
ϕ
V
8) De façon générale il n’y a pas égalité. Ici ça marche car les deux courants sont en phase.
9) V =2.I +V BM
10) Voir schéma ci dessus.
2.I
Exercice 4 : Puissances et facteur de puissance associés à un dipôle non linéaire
π
1)
Veff =V , Ieff = 1 ∫i(θ)².dθ = 1 .I0².π = I0
π0
π
3 3
2)
S =Veff .Ieff =V.I0
3
3)
P= 1 ∫v(θ).i(θ).dθ = 1
π
4)
π0
π
2π / 3
∫ I . V.
π
0
2.sinθ.dθ = I0.V. 2
π
/3
k = P = 6 =0,78
S π
5) On n’a pas intérêt a faire circuler les courants non sinusoïdaux sur le réseau car ils sont l’origine de mauvais
facteurs de puissance. Ici, le courant n’est pas déphasé par rapport à la tension, malgré cela le facteur de
puissance n’est pas unitaire. Ceci est du à une forme de puissance appelée « puissance déformante »…
Exercice 5 : Tracés dans le plan complexe et compensation de puissance réactive
1) On détaille dans le tableau 1.2 ci-dessous l'ensemble des grandeurs électriques pour chaque charge, les
valeurs données dans l'énoncé étant encadrées.
Charge 1
Charge 2
Charge 3
P1=20 kW
Q1=15 kVAR
S2 =45 kVA
cosϕ2 =0,6 AR
S3 =10 kVA
Q3 =−5 kVAR
S1 = P1 +Q1 =25 kVA
I1 = S1 =108,7 A
V
cosϕ1= P1 =0,8 AR car Q>0
S1
ϕ2 =36,8°
P2 =S2.cosϕ2 =27 kW
Q1=S2.sinϕ2 =36 kVAR
P3 = S3 −Q3 =8,66 kW
I3 = S3 =43,5 A
V
cosϕ3 = P3 =0,86 AV car Q<0
S3
ϕ3 =−30,7°
2
2)
2
2
I 2 = S2 =195,7 A
V
ϕ2 =53,1°
P= P1 + P2 + P3 =55,66 kW ,
Q=Q1 +Q2 +Q3 =46 kVAR ,
2
S = P +Q =72,2 kVA ,
2
cosϕ= P =0,77 , I = S =314 A
S
V
3) On représente le tracé ci dessous
Im
I3 : 43,5 A / 30°
ϕ3
ϕ1
Re
V : 230 V / 0°
I= I1+ I2+ I3
ϕ2
I2
I1 : 108 A / 36,8°
I1
I2 : 197,7 A / 53,1°
I3
4) Le triangle des puissances de l'ensemble de ces charges est représenté ci dessous :
Réactif
P3
Q
S
ϕ
P1
Q3
Q2
P2
Q1
Actif
P
2
Q=Q1+Q2 +Q3 = P.tanϕ . Après avoir placé le condensateur C',
cosϕ''=0,9 AR d'où : Q =Q1 +Q2 +Q3 +QC = P.tan(ϕ')= P tan ϕ+QC ' .
− P(tan(ϕ')− tanϕ)
6) On en déduit : QC' =−C'ωV² = P(tan(ϕ')− P tan ϕ) , d'où C'=
=1,2 mF
ω V²
5) Avant de placer le condensateur :
7) Si on désire un cosϕ arrière, le signe de la tangente de l'angle final change, on écrit donc :
8)
C''=
− P(−tan(ϕ'')−tanϕ)
=4,2 mF
ω V²
9) On choisit en pratique le condensateur de valeur la plus faible par économie et afin d'éviter un
surdimensionnement inutile.
Partie 2 : Circuits triphasés
Exercice 1 : Triphasé : Charges Y et ∆ .
1) Voir schéma étoile ci contre :
U = 3.V
3) I =V = 230 =10,28 A
Z 10²+20²
4) ϕ = Arc tan 20 =1,107 rad=63,4 °
10
P=3.V.I.cosϕ =3172 W
Q=3.V.I.sinϕ =6340 VAR
N
V1
I1
Z
V2
U12 I
2
Z
I3
Z
V3
2)
V1
I1’
V2
U12 I ’
2
Z’
I3’
Z’
N
V3
J’
Z’
5) Voir schéma triangle ci contre :
6)
I'= 3.J'
et
J'=U = 400 =5,96 A ainsi :
Z' 30²+60²
I'= 3.J'=10,3 A
7) P =3.Re( Z).J'²=3×30×(5,96²)=3190 W
V1
ϕ
U31
I3
I1
Q=3.Im( Z).J'²=3×60×(5,96²)=6394 VAR
8) Les puissances associées aux charges sont les mêmes aux
arrondis de calcul près. C’est normal car ces deux charges sont
les équivalents étoile / triangle (Ztriangle = 3*Zétoile)
9) Voir schéma ci contre :
U12
10,28A / 63° par rapport à V1
I2
V3
V2
U23
Exercice 2 : Circuits triphasés déséquilibrés
1) Le neutre étant relié, on écrit : V 1=Z 1.I 1 ,
V 2 =Z 2.I 2 et V 3 = Z 3.I 3 . En passant aux modules :
I1 = V = V =7,66 A , I 2 = V = V =23 A et I3 = V = V =11,5 A
Z2 10
Z3 20
Z1 30
2) On représente les tensions et les courants sur la figure ci contre.
On notera que l'impédance de la phase 1 est une inductance, celle de la
phase 2 un condensateur et celle de la phase 3 encore une inductance.
Les déphasages entre les courants correspondants et les tensions
simples sont alors immédiats.
Déséquilibre en courant
3) I 1=−I 2
V1
I2
I3
I1
.U 12 =Z 1.I 1−Z 2.I 2 =(Z 1.+ Z 2.).I 1= j20.I 1
V3
V2
U
5) I1 = =20A I1 est déphasé de –90° par rapport à .U 12 .
20
Z1
Z2
6) .V 1N' = Z 1.I 1 =
.U12 .V 2N' = Z 2.I 2 =−
.U donc : .V 1N' = 3U 12 et .V 2N' = 1 Z 2.I 2
2
2
Z 1+ Z 2
Z 1 + Z 2 12
4)
7) V1N’=600 V
et
V1N’=200 V les déphasages sont tous les deux nuls…
V1N’
8) Voir figure. La charge 1 est en surtension, la charge 2 en
sous-tension
V1
U23
U12
Exercice 3 : Installation électrique de la tour Eiffel
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
V2N’
U = 3.V =400 V
I1=- I2
V3
V2
Pa =500 kW , Qa = Pa.tanϕ =375 kVAR
U31
Qe2 = Pe2.tanϕ =103,9 kVAR
Qcd = Pcd.tanϕ =339 kVAR Qr = Pr.tanϕ =73,4 kVAR
Pt =1472 kW Qt =891,3 kVAR
S = Pt ²+Qt ² =1720 kVA=3V.I I = S =2,49 kA cosϕ = P =0,85
3V
S
E =(140+60)×8+500×12+700×16+72×24=20528 kWh en une journée
Une journée représente : 2052,8 € d’alimentation électrique
S = P =1,25 MW =3V.I d’où : I = S =1,81 kA
cosϕ
3V
PEDF = P+3.R.I²=1,098 MW
QEDF =PEDF.tanϕ =0,75 MVAR SEDF =1,32 MVA , ainsi :
VEDF = SEDF =244,8 V
3I
Exercice 4 : Circuits triphasés et problématiques liées aux réseaux électriques
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
V = U =230 kV
3
S = P²+Q² =316,22 kVA d’où : cosϕ = P =0,94 AR
S
S
S =3.V.I d’où : I = =458,3 A
3V
r =0,05×100=5 Ω et lω =0,3×100=30 Ω
Pt = P+3.r.I²=303,15 MW et Qt =Q+3.lω.I²=118,9 MVAR
St = Pt ²+Qt ² =325,6 MVA et St =3.V'.I d’où V'= St =236,8 kV et U '= 3.V'=410,2 kV
3.I
Voir schéma , Relation de maille : V '=r.I + jlω I +V
I
N
r
V’
jlω
V’
P/3 , Q/3
V
jlω.I
I
ϕ
V
r.I
8) Voir schéma
9)
η = Putile = P =0,98
Ptotale Pt
P =0,9 d’où : P( 1 −1)=3.r.I² et rmax = P ( 1 −1)=53,36 Ω d’où la longueur
10) ηmin i =
P+3.r.I²
0 ,9
3.I² 0,9
maximale de la ligne : lmax = rmax =1067 km .
0,05
Partie 3 : Circuits magnétiques et Transformateurs
Exercice 1 : Circuit magnétique
1) ε : Force magnéto motrice. ε = N.I
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
ℜ1 =
l1
µ0 µ r S
=79577=ℜ2 , ℜ3 =26525
ℜ=ℜ1 + ℜ2.ℜ3 =99470
ℜ2 +ℜ3
N = ℜ.L.=45 spires
V =4,44.N.Bmax.S.f
V = j.Lω.I càd V = Lω.I
4,44.N.Bmax.S.f
I=
=4,76 A
Lω
ℜ1 = l1 + e =477464 ℜ=ℜ1 + ℜ2.ℜ3 =497358
µ0 µ r S µ 0 S
ℜ2 +ℜ3
4,44.N.Bmax.S.f
L= N² =4 mH et I =
=23,8 A
Lω
ℜ
Exercice 2 : Circuit magnétique et approche du transformateur
1) V =4,44.N.Bmax.S.f
230
=288 spires
4,44.×1,8×20.10−4×50
2)
N1 min i =
3)
0 ,5
ℜ= l =
=132629 H-1
µ.S 1500×4π.10−7×20.10−4
N1.I =ℜφ ⇒ φ = N1.i1
ℜ
N
1²
300
²
=
=0,68 H
5) L1 =
ℜ 132629
4)
6) Cette inductance vérifie la relation :
7)
φT = N1.φ = L1.i1
φ 2 T = N 2.φ = N 2.N1.i1 comme φ 2 T =M.i1 on en déduit : M = N 2.N1 .
ℜ
ℜ
dφ1
d
φ
2
8) v1 = N1 .
= L1. di1 et v2 = N 2.
= M. di1
dt
dt
dt
dt
N
v2 =V2 = 127 =0,55= N 2 ⇒ N 2 =166 spires
9) v2 = M = 2
v1 L1 N1
v1 V1 230
N1
10) I 2 =V2 =2,54 A
R
φ
ℜ
N1.i1
N2.i2
11) Voir schéma.
12) N1.i1− N2.i2 =ℜ.φ
13)
N1.i1− N2.i2 =ℜ.φ ≈0 d’où N1.i1= N2.i2 et i2 = N1 . Ainsi v2 ×i2 = N2 × N1 =1 et v1.i1=v2.i2
i1 N2
v1 i1 N1 N2
Exercice 3 : Transformateurs en cascade
1) La puissance consommée par phase par la charge s'écrit :
I2 =
2) Les
P=500 kW =V2.I 2.cosϕ . D'où :
P =2717 A .
V2.cosϕ
transformateurs
I1 =m.I 2 =2.10
considérés
×2717=5,43 A .
−3
sont
comme
parfaits,
c'est-à-dire
qu'on
peut
écrire
:
Par
ailleurs
les
tensions
son
aussi
reliées
par
le
rapport
de
transformation
:
V1= 1 .V2 = 1 −3 ×230=115 kV .
m
2.10
3) Le courant I 2 et la tension V 2 sont déphasés de l'angle ϕ. Les transformateurs étant parfaits, les courants
et tensions primaires sont colinéaires aux courants et tensions
secondaires. On représente donc le courant I 1 et la tension V 1
V'
jlω.I1
sur la figure ci contre. Par ailleurs, la loi de maille de la maille
V1
centrale s'écrit : V '=r.I 1 + jlω.I 1 +V 1 , d'où les autres vecteurs
ϕ
I1
r.I1
complétant l'égalité vectorielle.
4) Les hypothèses classiques de la maille de sortie d'un
transformateur sont applicables ici et on néglige l'angle entre les vecteurs V 1 et V' . On écrit alors :
V'=V1+r.I1.cosϕ +lω.I1.sinϕ . L'application numérique donne : V'=116411 V .
5) On déduit la tension V du rapport de transformation m'=100=V' : V = V' =1164 V
V
m'
6) On peut résoudre les deux questions précédentes sans 'approximation par un bilan de puissances :
La puissance active totale fournie par le générateur est :
Ptotal = P + r.I1 =502,95 kW
2
Qtotal = P.tanϕ +lω.I1 =383,84 kVAR
Par ailleurs, la valeur du courant fourni par le générateur est : I =m'.I1 =543 A . Il ne reste plus qu'à écrire
la puissance apparente S que représente le générateur : S =V.I = P²total +Q²total =632,69 kVA Ce qui
donne : V = S =1165 V . Ce résultat qui ne souffre d'aucune approximation autre que celles des décimales,
I
La puissance réactive totale fournie par le générateur est :
2
prouve le bien fondé de l'approximation réalisée à la question 4.
Partie 4 : Moteur à courant continu
Exercice 1 : Moteur à excitation réglable
1) Les pertes à vide se composent des pertes mécaniques et de la puissance dissipée dans la résistance d'induit.
Ainsi : Pm =U.I − R.I² =110×1,2−0,5×1,2²=131,3 W . La relation de maille d'induit s'écrit, le moteur
U = R.I + E . Ainsi : E =U − R.I =110−0,5×1,2=109,4 V
Les pertes mécaniques s'écrivent : Pm =Cm.Ω =Cm. 2πN d'où : Cm = 60.Pm =0,77 Nm .
60
2πN
U
110
Comme Re1 =0 , le courant inducteur vaut : I e = =
=0,275 A . A vide : C =Cm =k.Ie.I donc :
Re 400
k = Cm =2,33 Nm/A² et par ailleurs : k.Ie.Ω =k.Ie 2πN =109 V≈ E .
Ie.I
60
10+0,77
En régime permanent : C =10+Cm =k.I e.I . C'est à dire : I =
=16,8 A .
2,33×0,275
101,6
E =U − R.I =110−0,5×16,8=101,6 V et Ω = E =
=158,6 rad/s
soit :
k.I e 2,33×0,275
N = 60.Ω =1514 tr/min
2π
On cherche ici la valeur de I e telle que la charge de 10 Nm tourne à N=1800 tr/min. On écrit donc :
E =U − R.I =U − R. C =k.Ie.Ω =k.Ie. 2πN . On en retire l'équation du second degré :
k.Ie
60
−U.Ie + R.C + k.Ie².2πN =0 . Soit donc : 439,2.Ie ²−110.Ie + 2,14=0 La résolution donne la valeur
k
60
étant en convention récepteur,
2)
3)
4)
5)
6)
(choisie naturellement dans l'ordre de grandeur le plus cohérent) :
choisir sera donc telle que :
I e =0,229 A . La résistance Re1 à
U = Ie =0,229 A D'où : Re1 =U − Re =80,3 Ω
Re + Re1
Ie
Exercice 2 : Machine utilisée en génératrice
1) On représente le schéma équivalent de la génératrice, naturellement en convention générateur, sur la figure
4.8.
R
I
Charge
Rch
U
E
Machine
2) La puissance nominale de la machine s'écrit :
Pn =20 kW =U n.I n . C'est à dire : I n = Pn =90 A .
Un
3) Si on néglige les pertes mécaniques de la machine, les pertes représentées par la valeur du rendement
η =0,8 sont dissipées dans la résistance de l'induit R.
On écrit donc :
Soit donc :
1−η
PR = R.I n²= Pn − Pn = Pn.
η
1−η
=61,7 mΩ
η .I n ²
η
R = Pn.
4) Pour calculer la tension à vide, qui est également la force électromotrice
point nominal : U n = E − R.I n , c'est à dire: E =U n + R.I n =225,55 V
E , on écrit l'équation de maille au
Pn =10 kW =U.I où U et I sont des inconnues.
2
La relation de maille s'écrit : U = E − R.I = E − R Pn c'est à dire : U² − E.U + R Pn =0
2
2.U
La résolution de ce polynôme du second degré en U donne : U n / 2 =222,8 V
5) Avant de calculer le rendement, on calcule le courant à mi-charge : I n / 2 = Pn =44,8 A .Le rendement
2.U n / 2
Pn / 2
de la machine à mi charge s'écrit alors : η =
=0,45
Pn / 2+ R.I n / 2²
Pour calculer la tension à demi-charge, on écrit :