ANNEE 2007-2008 SESSION DE JANVIER 2008 ETAPE : LST2 (EEA3)/ IMA (MEC3) UE : EEA 301 EXET Examen d’électrotechnique Date : 03 Janvier 2008 Durée : 1h30 Documents non autorisés Epreuve de Mr Luc Lasne Nombre de pages : 1 recto/verso Cette épreuve est constituée de deux exercices indépendants. Il est inutile de les rédiger sur des copies séparées, en revanche il est impératif de les repérer correctement. La présentation générale et la qualité de la rédaction entreront dans la notation. Exercice 1 : Circuit Magnétique et approche du transformateur Dans cet exercice, on s’intéresse à un circuit magnétique homogène sur lequel sont bobinés deux enroulements. Le bobinage 1 comporte N1 spires et est placé sous la tension sinusoïdale v 1 , le bobinage 2 comporte N 2 spires et est considéré comme ouvert dans un premier temps. Une coupe du circuit magnétique et la disposition des bobinage sont représentés sur la figure 1. L’objectif de l’exercice est de déterminer les relations existant entre les tensions et les courants des deux bobinages. φ i1 N1 bobinage 2 v1 bobinage 1 ~ i2 N2 v2 Figure 1 On donne les dimensions et caractéristiques suivantes : Longueur moyenne du circuit magnétique : l =50 cm , Section : S =20 cm² , perméabilité relative : µr =1500 . 1) Rappeler la formule « tension / induction / fréquence » énoncée dans le cours. 2) On souhaite placer le bobinage 1 sous une tension alternative sinusoïdale de valeur efficace V1 =230 V à la fréquence f =50 Hz . Calculer le nombre minimal de spires N1 permettant de ne pas dépasser la valeur d’induction maximale Bmax =1,8 T dans le matériau magnétique. Dans toute la suite du problème on considèrera la valeur fixe : N1 =300 spires. 3) Calculer la réluctance ℜ du circuit magnétique. 4) Ecrire l’expression du flux circulant dans le circuit magnétique : φ en fonction de ℜ , N1 et i1 . 5) Préciser l’expression et la valeur de l’inductance que représente le bobinage 1 : L1 . 6) Quelle relation vérifie cette inductance ? 7) Calculer l’expression et la valeur de l’inductance mutuelle M existant entre les deux bobinages sachant qu’elle vérifie la relation : φ 2 T =M.i1 où φ 2 T est le flux total intercepté par le bobinage 2. 8) En écrivant la loi de Lenz pour chacun des bobinages, écrire les expressions des tensions v1 et v2 en fonction de di1 . dt 9) En déduire l’expression du rapport v 2 . Calculer alors le nombre de spires N2 permettant à la v1 tension v2 de présenter une valeur efficace V2 =127 V . On considère maintenant que le bobinage 2 est connecté à une résistance R =50 Ω . 10) En supposant la tension v2 de valeur efficace V2 =127 V , calculer la valeur efficace du courant i2 : I 2 . Examen d’électrotechnique EEA301 EXET 03/01/2008 Sujet de Luc Lasne 1 11) Représenter le schéma équivalent du circuit magnétique faisant apparaître la réluctance et les diverses forces magnétomotrices. On portera une attention particulière aux sens conventionnels des flux et des « fmm ». 12) En écrivant la relation de maille sur ce schéma équivalent, écrire l’équation qui relie i1 , i2 et φ . 13) En supposant que le terme ℜφ est négligeable dans cette relation, quelle est l’expression du quotient i2 ? Quelle relation existe t’il entre les puissances instantannées v1.i1 et v2.i2 ? i1 Exercice 2 : Triphasé, charges étoiles (Y) et triangle (∆) On considère une charge triphasée équilibrée constituée de trois impédances identiques Z =Z.e jϕ =10+ j.20 câblées en étoile sur un système de tensions triphasées 230 V / 400 V . 1) Représenter le schéma électrique correspondant à ce système. Repérer sur ce schéma les tensions simples ( V 1 , V 2 , V 3 ) et les tensions composées ( U 12 , U 23 , U 31 ). 2) Quelle relation relie les valeurs efficaces U et V de ces tensions ? 3) Calculer l'expression littérale et la valeur du courant efficace I absorbé par chaque phase. 4) Préciser la valeur du déphasage courant / tension sur chaque phase. Préciser alors les expressions et les valeurs des puissances active et réactive consommées par cette charge. On considère à présent trois impédances Z '= Z'.e jϕ' =30+ j.60 câblées en triangle sur le 5) 6) 7) 8) 9) même système de tensions triphasées. On appellera J' le courant de phase efficace circulant dans les impédances Z' . On appellera I' la valeur efficace du courant de ligne. Représenter le schéma électrique correspondant à ce système. Repérer sur ce schéma les tensions composées ( U 12 , U 23 , U 31 ). Quelle relation relie I' et J' ? Calculer alors les expressions et les valeurs de I' et J'. Préciser l'expression et les valeurs des puissances active et réactive absorbées par cette charge. Ces résultats auraient ils pu être prévisibles étant donnés les valeurs de Z et Z' ? Représenter sur un diagramme de Fresnel les tensions simples ( V 1 , V 2 , V 3 ), les tensions composées ( U 12 , U 23 , U 31 ) ainsi que les trois courants de ligne : ( I 1 , V 2 , V 3 ) . Il n’est pas nécessaire de respecter d’échelle précise mais en revanche de préciser sur le diagramme les grandeurs nécessaires à la compréhension. Fin de l'énoncé Examen d’électrotechnique EEA301 EXET 03/01/2008 Sujet de Luc Lasne 2 Correction Exercice 1 : Circuit Magnétique 1) V =4,44.N.Bmax.S.f 230 2) N1 mini = =288 spires 4,44.×1,8×20.10−4×50 0 ,5 =132629 H-1 3) ℜ= l = µ.S 1500×4π.10−7×20.10−4 4) N1.I =ℜφ ⇒ φ = N1.i1 ℜ 5) L1 = N1² = 300² =0,68 H ℜ 132629 6) Cette inductance vérifie la relation : φT = N1.φ = L1.i1 7) φ 2 T = N 2.φ = N 2.N1.i1 comme φ 2 T =M.i1 on en déduit : M = N 2.N1 . ℜ ℜ dφ1 d φ 2 = M. di1 8) v1 = N1 . = L1. di1 et v2 = N 2. dt dt dt dt N v2 =V2 = 127 =0,55= N 2 ⇒ N 2 =166 spires 9) v2 = M = 2 v1 V1 230 N1 v1 L1 N1 10) I 2 =V2 =2,54 A R ℜ φ N1.i1 N2.i2 11) 12) N1.i1− N2.i2 =ℜ.φ 13) N1.i1− N2.i2 =ℜ.φ ≈0 d’où N1.i1= N2.i2 et i2 = N1 . Ainsi v2 ×i2 = N2 × N1 =1 et v1.i1=v2.i2 v1 i1 N1 N2 i1 N2 Exercice 2 : Triphasé, charges étoiles (Y) et triangle (∆) N V1 I1 Z V2 U12 I 2 Z I3 Z V3 1) 2) U = 3.V 3) I =V = 230 =10,28 A Z 10²+20² 4) ϕ = Arctan 20 =1,107 rad=63,4 ° 10 P=3.V.I.cosϕ =3172 W Examen d’électrotechnique EEA301 EXET 03/01/2008 Sujet de Luc Lasne Q=3.V.I.sinϕ =6340 VAR 3 N V1 I1’ V2 U12 I ’ 2 Z’ V3 I3’ Z’ J’ Z’ 5) 6) I'= 3.J' et J'=U = 400 =5,96 A ainsi : I'= 3.J'=10,3 A Z' 30²+60² 7) P=3.Re( Z).J'²=3×30×(5,96²)=3190 W Q=3.Im( Z).J'²=3×60×(5,96²)=6394 VAR 8) Les puissances associées aux charges sont les mêmes aux arrondis de calcul près. C’est normal car ces deux charges sont les équivalents étoile / triangle (Ztriangle = 3*Zétoile) 9) V1 U31 U12 ϕ I3 I1 V3 10,28A / 63° par rapport à V1 I2 V2 U23 Examen d’électrotechnique EEA301 EXET 03/01/2008 Sujet de Luc Lasne 4
