Bac-blanc-2SM (1)

MATHÉMATIQUES PR. ABDELLAH AIT-CHEIKH 2SM-SIBM
SUJET :
BAC BLANC 1

MATHÉMATIQUES PR. ABDELLAH AIT-CHEIKH 2SM-SIBM
Niveau : 2SM-SIBM PAGE MATHSLY PR. ABDELLAH AIT-CHEIKH
EXERCICE 1.
À tout entier naturel nnon nul, on associe la fonction fndéfinie sur Rpar : fn(x)=4enx
enx +7.
On désigne par Cnla courbe représentative de la fonction fndans un repère orthonormal (O;⃗ i;⃗ j).
Les courbes C1,C2et C3sont données en annexe.
Partie A : Étude de la fonction f1définie sur Rpar f1(x)=4ex
ex+7.
1 Vérifier que pour tout réel x,f1(x)=4
1+7e−x.
2 a Démontrer que la courbe C1admet deux asymptotes dont on précisera des équations.
b Démontrer que la fonction f1est strictement croissante sur R.
c Démontrer que pour tout réel x, 0 <f1(x)<4.
3 a Montrer que l’équation ex=7 admet une seule solution αdans R, et déterminer un enca-
drement de αà 10−2près.
bVérifier que f1(α+x)=4ex
1+exet que f1(α−x)=4 1+ex.
Démontrer que le point I1de coordonnées (α;2) est un centre de symétrie de la courbe C1.
c Déterminer une équation de la tangente (T1) à la courbe C1au point I1.
Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction fn.
1 Démontrer que pour tout entier naturel nnon nul le point A0; 1
2appartient à la courbe Cn.
2 a Montrer que pour tout nde N, l’équation enx =7 admet une seule solution βdans R.
b Démontrer que pour tout entier naturel nnon nul la courbe Cnet la droite d’équation
y=2 ont un unique point d’intersection dont on précisera l’abscisse. On note Ince point
d’intersection.
c Placer les points I1,I2et I3sur le graphique donné en annexe.
d Démontrer que la tangente (Tn) à la courbe Cnau point Ina pour coefficient directeur n.
e Tracer les droites (T1), (T2) et (T3).
ANNEXE
1
2
3
4
−1
1234567−1−2−3−4
2

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EXERCICE 2.
Partie A :
Soit gla fonction définie sur ]0;+∞[ par : g(x)= − 1
1+x+2lnx+1 n
1 Déterminer les limites de gen 0 et +∞ .
2 Étudier les variations de get dresser son tableau de variation.
3 En déduire le signe de g(x).
Partie B :
On considère la fonction fdéfinie sur [0;+∞[ par : f(x)=
x2lnx+1
xsi x>0
0 si x=0
1 Démontrer que fest continue en 0.
2 Démontrer que fest dérivable en 0 et f′(0) =0. Interpréter graphiquement ce résultat.
3aMontrer que pour tout x>0, f′(x)=xg (x) .
b En déduire le sens de variation de f, puis dresser son tableau de variation.
4 Calculer la limite de fen ∞.
5 On considère la fonction φdéfinie par : φ(x)=f(x)−x+1
2.
a Vérifier que : φ(x)=x21
x
01
1+t−1+tdt
bxétant strictement positif : on pose I(x)=x21
x
01
1+t−1+tdt.
Démontrer que pour tout réel t>0 on a : 0 ≤1
1+t−1+t≤t2
cEn déduire que 0 ≤I(x)≤1
3x. Et conclure que lim
x→+∞φ(x)=0.
d Que peut-on déduire?
Partie C :
1 Tracer soigneusement la courbe de f.
2 On pose A(λ)=λ
1f(x)dx . Calculer A(λ).
3 Calculer lim
λ→+∞ A(λ).
3

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EXERCICE 3.
On considère la suite des nombres complexes définie par : 
z0=4
zn+1=1+i
2zn
on note Mnle point d’affixe zndans le plan complexe (O,⃗ i,⃗ j).
1 a Écrire sous forme algébrique puis sous forme exponentielle les nombres complexes z1,z2,
z3et z4.
bPlacer les points M0,M1,M2,M3,M4les points d’affixes respectives z0,z1,z2,z3et z4.
2 Calculer zn+1−zn
zn+1.
En déduire que, pour tout entier naturel nle triangle OMnMn+1est rectangle et isocèle en Mn+1
3 Pour tout entier naturel n, on pose dn=|zn+1−zn|
a Montrer que dnest une suite géométrique de raison p2
2et de premier terme 2p2 .
bInterpréter graphiquement chacune des nombres dn.
c Exprimer en fonction de nla longueur Lnde la ligne brisée (Mo,M1,., Mn) .
d Déterminer la limite lim
n→+∞Ln.
EXERCICE 4.
Soit l’équation différentielle (E) : y"+3y′+2y=cos(3x)+x2+x
1 Donner la solution de l’équation sans second membre associée à (E).
2 Soit g(x)=αx2+βx+γet h(x)=acos(3x)+bsin(3x).
Déterminer les réels α,β,γd’une part; aet bd’autre part pour que :
—gsoit solution de l’équation différentielle : y"+3y′+2y=x2+x(1)
— et hsolution de l’équation différentielle y"+3y′+2y=cos(3x) (2)
3 En déduire que h+gest une solution particulière de (E).
4 Déterminer la solution générale de (E), puis la solution fde (E) qui vérifie :
f(0) =1 et f′(0) =1.
4

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SUJET :
BAC BLANC 2