Travaux dirigés 2 : Notion de Probabilité Les exercices avec un astérisque sont tirés du polycopié de TD de DONGMEZO, BAKAR, ALEM Exercice 1. On suppose qu'il y 4 boules blanches et 2 boules rouges dans une urne. Trois boules sont tirées. Soient les événements A1 : la première boule est blanche A2 : la deuxième boule est blanche A3 : la troisième boule est blanche 1. Exprimer les événements suivants en fonction de B : la première boule est rouge C : toutes les boules sont blanches D : les deux premières boules sont blanches E : au moins une boule est blanche F : seulement la troisième boule est blanche G : exactement une boule est blanche H : au moins deux boules sont blanches I : aucune boule n'est blanche A1 , A2 et A3 2. Calculer les probabilités de événements précédents dans les cas suivants 1. le tirage est avec remise 2. le tirage est sans remise Exercice 2. On place dans un sac 5 billets de 500MRO, 7 billets de 1000MRO et 10 billets de 2000MRO. On choisit au hasard une poignée de 8 billets, chaque billet ayant la même probabilité d'être attrapé. 1. Quelle est la probabilité de n'avoir choisi aucun billet de 500? 2. Quelle est la probabilité d'avoir obtenu uniquement des billets de 2000? 3. Quelle est la probabilité d'avoir obtenu au moins un billet de chaque valeur ? Exercice 3. Quel est l'événement le plus probable : obtenir au moins 1 fois 1 as en lançant 4 fois un dé ou obtenir au moins 1 fois 1 double as en lançant 24 fois 2 dés? Exercice 4. Un client visitant le rayon des costumes d'un certain le magasin achètera un costume avec une probabilité de 0.22, une chemise avec probabilité 0.30 et une cravate avec probabilité 0.28. Le client achètera à la fois un costume et une chemise avec probabilité 0.11, à la fois un costume et un cravate avec probabilité 0.14, et à la fois une chemise et une cravate avec probabilité 0.10. Un client achètera les 3 éléments avec une probabilité de 0.06. Quelle est la probabilité qu'un client achète (a) aucun de ces éléments ? (b) exactement 1 seul de ces éléments ? Exercice 5. Démontrer les propriétés suivantes 1. P(Ac ) = 1 − P(A). 1 2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). 3. P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C). 4. P(A ∩ B c ) = P(A) − P(A ∩ B) 5. Propriété de la limite monotone. Pour toute suite (An )n≥1 croissante (resp. décroissante) au sens de l'inclusion alors P [ An = lim P(An ), n→+∞ n≥1 resp. P \ An = lim P(An ), n→+∞ n≥1 Exercice 6.* Dans un lot de 80 vaccins, 10 sont périmés. Si on en tire 2 au hasard, quelle est la probabilité en % : a) de tirer 0 vaccin périmé ? b) de tirer 1 vaccin périmé ? c) de tirer 2 vaccins périmés ? d) de tirer au moins un vaccin périmé ? e) de tirer au plus un vaccin périmé? Exercice 7.* Le système de sécurité dans un habitacle de voiture est formé de deux composants. Le composant A est un airbag et le composant B, une ceinture de sécurité. À la suite de tests statistiques, on sait que : le composant A fonctionne avec une probabilité de 0,8 ; le composant B fonctionne avec une probabilité de 0,7 ; le composant A et B sont simultanément en panne avec une probabilité de 0,1 ; le composant A fonctionne mais pas le composant B avec une probabilité de 0,2 ; déterminer la probabilité en de chacun des événements suivants : a) le composant A est en panne b) au moins un des deux composants fonctionne c) les deux composants fonctionnent d) le composant B fonctionne mais pas le composant A e) un seul des deux composants fonctionne ; Exercice 8. Un jeu ordinaire de 52 cartes est mélangé. Quel est la probabilité que les quatre premières cartes aient (a) des hauteurs diérentes ? (b) des couleurs diérents ? 2
