Exercices corrigés sur problèmes NP-complets

Exercices corrig´es sur probl`emes NP-complets
Johanne Cohen
12 septembre 2018

Table des mati`eres
1 Rappel succinct de cours 1
2 Enonc´ es des exercices 5
I) Probl`emeded´ecisions ............................... 6
a) Grapheeul´erien............................... 6
b) Formulation des probl`emes de d´ecisions . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
c) Probl`emes dans NP ou dans P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II) R´eduction polynomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
a) Propri´et´es sur l’ordre ≤.......................... 7
b) R´eduction.................................. 7
III) Probl`emesdelogique................................ 8
a) Le probl`eme 2-SAT est dans P...................... 8
b) Variante du probl`eme 3-SAT : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
c) Le probl`eme Max2SAT est NP-complet. . . . . . . . . . . . . . . . . 9
d) Le probl`eme k-SAT NAE est NP-complet . . . . . . . . . . . . . . . . 10
IV) Diff´erentes Variantes du probl`eme cycle hamiltonien ............ 11
a) Le probl`eme Chaine Hamiltonien est NP-complet . . . . . . . . . . 11
b) Le probl`eme Chaine est NP-complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
c) Chevaliers de la table ronde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
d) Le probl`eme Voyageur de Commerce est NP-complet . . . . . . . 11
V) Probl`emesdegraphe................................ 13
a) Les probl`emes coloration de graphe ................. 13
b) Le probl`eme de la clique maximum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
c) Probl`eme du Set Cover ......................... 15
d) Le probl`eme Stable est NP-complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
VI) Le probl`eme du k-centre.............................. 17
a) Le probl`eme Ensemble dominant est NP-complet . . . . . . . . . . 17
b) Le probl`eme k-centre est NP-Complet . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
c) Le probl`eme k-centre est in-approximable . . . . . . . . . . . . . . . 18
VII) Probl`emes encodant les entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
a) Le probl`eme SOMME DE SOUS-ENSEMBLE est NP-complet . . . . 19
b) Le probl`eme SOMME-DES-CARRES est NP-complet . . . . . . . . . 19
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TABLE DES MATI ` ERES 3
3 Corrections des exercices 21
I) Probl`emeded´ecisions ............................... 22
a) Grapheeul´erien............................... 22
b) Formulation des probl`emes de d´ecisions . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
c) Probl`emes dans NP ou dans P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II) R´eduction polynomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
a) Propri´et´es sur l’ordre ≤.......................... 25
b) R´eduction.................................. 25
III) Probl`emesdelogique................................ 27
a) Le probl`eme 2-SAT est dans P...................... 27
b) Variante du probl`eme 3-SAT : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
c) Le probl`eme Max2SAT est NP-complet. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
d) Le probl`eme k-SAT NAE est NP-complet . . . . . . . . . . . . . . . . 33
IV) Diff´erentes Variantes du probl`eme cycle hamiltonien ............ 34
a) Le probl`eme Chaine Hamiltonien est NP-complet . . . . . . . . . . 34
b) Le probl`eme Chaine est NP-complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
c) Chevaliers de la table ronde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
d) Le probl`eme Voyageur de Commerce est NP-complet . . . . . . . 36
V) Probl`emesdegraphe................................ 38
a) Les probl`emes coloration de graphe ................. 38
b) Le probl`eme de la clique maximum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
c) Probl`eme du Set Cover ......................... 43
d) Le probl`eme Stable est NP-complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
VI) Le probl`eme du k-centre.............................. 47
a) Le probl`eme Ensemble dominant est NP-complet . . . . . . . . . . 47
b) Le probl`eme k-centre est NP-Complet . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
c) Le probl`eme k-centre est in-approximable . . . . . . . . . . . . . . . 49
VII) Probl`emes encodant les entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
a) Le probl`eme SOMME DE SOUS-ENSEMBLE est NP-complet . . . . 51
b) Le probl`eme SOMME-DES-CARRES est NP-complet . . . . . . . . . 52

4TABLE DES MATI ` ERES

Partie 1: Rappel succinct de cours
Probl`eme de d´ecision.
Un probl`eme de d´ecision Π=(DΠ, OUIΠ) correspond
`a un ensemble d’instances DΠ
et `a un sous-ensemble OUIΠ⊂DΠd’instances positives.
Instance du probl`eme Π.
OUIΠ.
NONΠ.
Les classes de complexit´e.
— La classe Pest la classe des probl`emes de d´ecision qui admettent un algorithme de
complexit´e polynomiale.
— La classe NP est form´ee des probl`emes de d´ecision Π qui poss`edent un v´erificateur
polynomial.
— Par d´efinition P⊂N P .
— Un v´erificateur Vest un algorithme qui prend une information en plus (certificat)
pour v´erifier qu’une instance est positive.
Exemple : Graphe Hamiltonien
— Probl`eme de d´ecision : Donn´ ees : un graphe non-orient´e G= (V, E).
Question :Ga-il un cycle hamiltonien ?
— Le certificat correspond `a une suite Sde sommets. Le v´erificateur Vv´erifie que S
est un cycle et qu’il transverse chaque sommet une unique fois. Vfonctionne bien en
temps polynomial.
—Graphe Hamiltonien est dans NP.
Comment comparer les probl`emes
Soient Aet Bdeux probl`emes de d´ecision.
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