Examen Réparti 1

UPMC UE COMPLEX (4I900)
M1 Informatique 2014-2015
Examen R´eparti 1
Novembre 2014
Dur´ee : 2 heures
Seuls les documents de cours et de TD/TME sont autoris´es.
Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif et peut donc ˆetre sujet `a modifications.
Toute r´eponse devra ˆetre correctement justifi´ee.
Exercice 1 (4 points)
Question 1 (2/4) — On consid`ere la machine de Turing suivante, o`u q0est l’´etat initial, qal’´etat
d’acceptation et qrl’´etat de rejet. Quel est le langage reconnu (l’alphabet ´etant {a, b}pour les
mots) ? Une justification rapide suffit.
a, b →D
a, b →D
a, b →D
q0
q1
q2
qa
qr
→D→D
→D
Figure 1 – Machine de Turing
1

Question 2 (2/4) — Dire pour chacune des deux affirmations suivantes si elles sont vraies ou
fausses : les r´eponses devront ˆetre justifi´ees.
1. Soient Aet Bdeux probl`emes NP-complets. Il existe n´ecessairement une r´eduction polyno-
miale de A`a B, et une r´eduction polynomiale de B`a A.
2. Soient Aet Bdeux probl`emes appartenant `a la classe P (probl`emes polynomiaux). Il existe
n´ecessairement une r´eduction polynomiale de A`a B, et une r´eduction polynomiale de B`a A.
2

Exercice 2 (10 points)
Etant donn´e un graphe non orient´e G= (V, E), une couverture de ce graphe est un sous-ensemble
de sommets V′tel que toute arˆete a au moins une extr´emit´e dans V′:
∀(i, j)∈E, i ∈V′ou j∈V′
Par exemple, sur le graphe de la figure 2, V′={1,3,4,6}est une couverture, mais V′′ ={3,6,7}
n’en est pas une car l’arˆete (4,5) n’est pas couverte.
6
4
3
5
7
2
1
Figure 2 – Exemple
On consid`ere alors le probl`eme suivant : ´etant donn´e un graphe G= (V, E), trouver une cou-
verture de Gde taille minimale.
Question 1 (1/10) — Donner une solution optimale sur le graphe de la figure 2 (on ne demande
pas de justification).
3

Question 2 (1/10) — De mani`ere g´en´erale, dans un graphe `a nsommets, donner un majorant du
nombre de solutions r´ealisables.
Question 3 (1.5/10) — Montrer que le probl`eme de d´ecision associ´e (´etant donn´es un graphe Get
un entier k, d´eterminer s’il existe une couverture de taille au plus k) est NP-complet. On suppose
que l’on sait que le probl`eme STABLE est NP-complet.
4

On consid`ere l’algorithme AP P ROXV C suivant :
———— AP P ROXV C ———————————————————–
C← ∅
Tant qu’il existe dans Gune arˆete e= (i, j) non couverte par C, faire :
C←C∪ {i, j}
Fin Tant Que
Renvoyer C
——————————————————————————————–
Question 4 (1.5/10) — Appliquer l’algorithme sur le graphe de la figure 2. On donnera simplement
`a chaque ´etape l’arˆete dont les deux extr´emit´es sont ajout´ees, ainsi que la solution renvoy´ee.
Question 5 (0.5/10) — De mani`ere g´en´erale, soit (i1, j1),(i2, j2),...,(ik, jk) les arˆetes dont les
deux extr´emit´es sont ajout´ees `a chaque ´etape.
Exprimer |C|en fonction de k.
Question 6 (1.5/10) — Minorer la valeur optimale OP T (G) en fonction de k, et en d´eduire que
l’algorithme AP P ROXV C est 2-approch´e.
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