Notes de cours de Mécanique analytique

Université Chouaïb Doukkali
Faculté des Sciences
cours
Mécanique
analytique
Mrani I.
2014
1
mrani I. 2014
2
17/09/2014
Plan du cours
› Chap
›
›
›
›
›
›
I : Fondements de la mécanique rationnelle
- Description primaire de la configuration d’un système
- Vitesses généralisées.
- Liaisons
- Degrés de liberté d’un système
- Paramètres de configuration
- Mouvements virtuels
› Chap
II : Principe des puissances virtuelles (PPV)
› - Forces de liaison
›
›
- Puissances virtuelles
- Principe des puissances virtuelles (P.P.V)
mrani I. 2011
3
17/09/2014
Chap III : Formulation lagrangienne
- Equations de Lagrange
- Intégrales premières
Chap IV : Principe de Hamilton
-Hypothèses
-Calcul de H
-Espace des phases
-Intérêt de la formulation Hamiltonienne
-Equation de Hamilton-Jacobi
Livres à consulter :
-P.Brousse « Mécanique analytique »
BRO 531
-M.Kerroum « Mécanique analytique »
KER 531
-Y.Bamberger « Méca de l’ingénieur I » BAM 531
mrani I. 2011
Chap I : Fondements de la mécanique
rationnelle
17/09/2014
4
mrani I. 2010
5
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mrani I. 2010
III.1 Exemples de liaisons :
a) Liaison par contact ponctuel

z

Le point A2 de (S2) reste dans
le plan π1 de (S1).
Le mouvement de (S2)/(S
) se décompose

 :
! 1

-rotation autour de (O, x) ,(O , y)et (O , z )
- translation suivant (O , x ),(O , y )
R (S1 → S 2 )

y
A2

O
x
π1
(S1)
Liaison rotule

f p (S1 → S 2 )
S1


z
A1
O A2
p
(S2)

y
Un point A2 de (S2) reste confondu
avec un point A1 de (S1).
Le mouvement se décompose
: 



(
O
,
y
)
(
O
,
z
)
(
O
,
x
)
- rotations autour de
,
et
Liaison pivot

z

f p (S1 → S 2 )

x
O
(S2)
p
S1
Deux points A2 et B2 de (S2)
Distants d’une longueur L restent
Confondus avec deux points A1 et
B1 de (S1) distants de la même
longueur L ( ≠ 0). Le mouvement de 
(S2)/(S1)est une rotation d’axe (O , x )
Liaison encastrement
(S1)
(S2)
Le mouvement de (S2)/(S1)
Est bloqué dans toutes les
directions
mrani I. 2010
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Liaison pivot glissant
Le mouvement de (S2)/(S1) se
décompose en :

- rotation autour de (O , x
)
- translation suivant (O , x )

f p (S → S )
1
2

y
O
(S2)

x
(S1)
D2
Liaison glissière

z
(S2)
D2
 D1
x
(S1)
π2
π1

y
Un plan π1 de (S1) reste
confondu avec un plan π2
de (S2) et une droite D2 liée
à (S2) et située dans π2 reste
confondue avec une droite
D1 liée à (S1) et située dans π1.
Le mouvement de (S2)/(S1) est

Une translation d’axe (O , x )
mrani I. 2010
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17/09/2014
Ces relations sont la traduction d’une liaison géométrique :
(contact unilatéral entre deux solides …)
q = ( x, y, z )
z
O
F (q, t ) = x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 : Liaison hlonome unilatérale
P
y
x
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b) Système de 3 corps liés
3
1
2
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Ces relations traduisent une liaison cinématique
(roulement sans glissement en un pt de contact …)
§ Paramètres de configuration :
(D)
yG
§
Equations de liaison :
G
xG

(O , x )
Condition géométrique de
Contact (liaison holonome)
CRSG :Condition cinématique
(liaison non holonome)
mrani I. 2010
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17/09/2014
Remarques :
• Toute liaison holonome peut être rendue non holonome par
dérivation par rapport à t,
• Certaines liaison non holonomes peuvent être rendues holonomes
par intégration (liaisons semi-holonomes):
x!G + Rψ! = 0 ⇒ xG + Rψ = cte
• Une liaison peut être indépendante du temps (scléronome), c’est
le cas de la plus part des liaisons usuelles (pivot, rotule, …),
• La rigidité d’un système de particule (particules fixés par rapport à
d’autres) s’exprime par des liaisons holonomes,
• Une liaison peut être dissipative (le travail des forces de liaisons est
non nul) ou parfaite (sans jeu et sans frottement),
• On suppose que les liaisons non-holonomes pourront toujours se
mettre sous la forme :
N
6
a0 (q , t ) + ∑ ∑ ak (q j , t )q! j = 0 (cas de N solides)
k =1 j =1
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14
h : liaisons holonomes
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p : liaisons non holonomes
Dérivation de s liaisons
s : liaisons non holonomes
h-s : liaisons holonomes
(liaisons principales)
p+s : liaisons non holonomes
(liaisons supplémentaires)
mrani I. 2010
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Remarques :
• Dans les liaisons principales sont toujours représentées les
conditions qui maintiennent la rigidité du système.
• Le choix des liaisons principales et supplémentaires ne modifie
pas le nombre de degrés de liberté NDL.
• Le choix des liaisons principales et supplémentaires modifie le
nombre n+p paramètres de configuration.
• Par la suite le nombre h représente les liaisons principales
(holonomes) et le nombre p les liaisons supplémentaires (nonholonomes)
Exemple :
Dans le cas du disque rigide roulant sur un plan, on peut choisir
de rendre la liaison holonome de contact non-holonome.
yG* ≠ 0 : mvt virtuel
y G = R ⇒ y! G = 0
On dit qu’on respecte plus la liaison holonome ce qui revient à
imaginer un mouvement virtuel dans lequel le disque peut
pénétrer le plan en restant rigide.
mrani I. 2010
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
V R (M )
M (t )
M (t0 )
R
S à t
S à t0
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
V * (M )
R
M (u )
M (u0 )
R
S à t
0
Position réelle
S après mvt virtuel
Position virtuelle
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21
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- Si les liaisons principales incluent des liaison exprimant la
rigidité de S, on dit que le champ de vitesses est rigidifiant. Le
mouvement virtuel est un mouvement de corps solide rigide.
C’est un champ de moments équiprojectif caractérisé par :
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- On peut définir un C.V.V rigidifiant une partie seulement ou plusieurs parties
de (S). On parle alors de C.V.V rigidifiant par morceaux.
y
O
O
A’
A
x
B
A’
A
B’
x
y
C’
B’
B
C
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mrani I. 2010
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Exemple :
y
(D)
G
x
Un C.V.V compatible avec cette liaison est :
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Exemple :
P
mrani I. 2010
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Exemple :
-(P) plateau horizontale en translation
(Σ)
GG
rectiligne à la vitesse VG.
-(S) disque roulant et pivotant sans
glisser sur (P) tout en restant vertical
I
(P)
h
O
-Liaison holonome (Σ)-(P)
Σ est paramÈtrÈ par q = (xG , yG , zG , ψ , ϕ )
Èquation de la liaison : zG = R + h(t)
équation de liaison :
zG = R + h(t)
(1)
-Liaison non holonome de contact (S)/(P), sans glissement :


VR (I ∈ Σ) = VR (I ∈ P)
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17/09/2014
On a trois équations de liaisons non holonomes :
x!g + Rϕ! cosΨ = V(x t ) (2) ; y!g + Rϕ! sinΨ = V(y t ) (3) ; z!g = V(z t ) (4)
- Un C.V.V compatible avec l’équation de liaisons holonome (1) est tel
que :
*
zg = 0 - Un C.V.V compatible avec les équations de liaisons non holonomes (2),
(3) et (4) est tel que :
x*G + Rϕ* cos Ψ = 0 ;
y*G + Rϕ* sin Ψ = 0 ;
z*g = 0 Remarque :
- Le champ de vitesse réelles de (S) est un C.V.V particulier. Mais le
champs de vitesses réelles n’est pas forcément un C.V.V compatible
avec les liaisons imposées à (S).
Sauf dans le cas particulier où toutes ces liaisons sont scléronomes
(indépendante de t) alors le C.V.R est un C.V.V compatible.
mrani I. 2009
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17/09/2014
Exemple :
Paramétrage : q = (r, θ , φ )
Equations de liaison : r = R
φ = ωt



Champ de vitesse réelle : V (M ) = rθeθ + rφeφ
M
ϕ
;
C.V.V compatible avec la liaison (M)-(C):
θ
r * = 0 et φ * = 0
*

C.V.R compatible avec la liaison (M)-(C) : V (M ) = rθ *eθ
Cependant si (C) est fixe, la liaison (M/C) est scléronome et le
C.V.R est un C.V.V compatible.
mrani I. 2004
30
17/09/2014
Chap II : Principe des puissances
virtuelles P.P.V
I. Forces de liaison
Pour un système S isolé par rapport à son environnement on fait la
distinction fondamentale entre :
- forces intérieures à S et
- forces extérieures à S.
I.1 Forces intérieures
Les forces intérieures sont des forces qui s’exercent entre soussystèmes de S.
I.2 Forces extérieures
On distingue les forces à distance (champs magnétiques et
gravitationnels) et les forces de contact (représentés par le torseur
des actions mécaniques de contact) entre deux systèmes S1 et S2.
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31
Travail virtuel des
Forces d’accélération
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Travail virtuel des
Forces appliquées
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32
Puissance virtuelle des
Forces d’accélération
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Puissance virtuelle des
Forces appliquées
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rotation virtuelle
Vitesse de rotation virtuelle
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II.3 Puissance virtuelle des actions intérieures
II.3.1 Système discret de points matériels
Les actions intérieures sont schématisées par des forces concentrées :
a) Cas de deux points matériels
:




Pint* = F21. "#VR* (M1 ) −.VR* (M 2 )$%
b) Cas du système discret de N particules
N N 

 " *
*
Pint = ∑ ∑ Fij . #VR (M j ) −.VR* (M i )$%
j=1 i= j+1
M2

F21
M1
*
Propriétés : si le C.V.V est un C.V.V.R alors : Pint = 0
*
Si le C.V.V est rigidifiant alors il est équiprojectif, donc : Pint = 0
II.3.2 Cas d’un système matériel quelconque
Nous admettrons que quelque soit le système matériel utilisé :
∀ C .V .V .R (S) Pint* = 0
*
int
∀ C.V.V (S) P indépendante du repère choisi
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mrani I. 2010
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La puissance virtuelle développée par toutes les forces
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40
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mrani I. 2010
Application : Pendule pesant :
A
y
a
ϕ
G
45
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- R(O,x,y,z) repère galiléen
- Liaison Σ-Oz parfaite
But : déterminer l’équation
du
!"
Mvt de la réaction R de Oz su Σ
Par application du PPV.
x
a) Paramétrage choisi : q = ϕ
 " −aϕ * sin ϕ %
 ! a cos ϕ $


*
*
OG #
VR (G) $$
'
&
V
(A)
=
0
*
'
R
" asin ϕ %
# aϕ cos ϕ &
  *
*
Pd = P.V R (G) = −mgaϕ * sin ϕ ⇒ Q1 = −mgasin ϕ
  *
 *
*
Pl = R.V R (A) + m A Ω = mzϕ * ⇒ L1 = mz
  *
 *
*
Pa = A.V R (A) + h A Ω = J ozϕϕ * ⇒ Γ1 = J ozϕ
PPV ⇒ J ozϕ + mgasin ϕ = mz
liaison parfaite Σ-oz ⇒ Pl* = mzϕ * = 0 ⇒ J ozϕ + mgasin ϕ = 0
mrani I. 2010
46
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b) Paramétrage choisi :
Pd* = mgxG* ⇒ Q1 = mg ; Q2 =0 ; Q3 = 0 ; Q4 = 0
  *
 *
*
Pl = R.V R (A) + m A Ω
  $ x * + aϕ * sin ϕ
 *
 *
V R (A) = V R (G) + Ω* ∧GA = && *G
*
% yG − aϕ cos ϕ
'
))
(
⇒ Pl* = Rx xG* + Rx yG* + #$a(Rx sin ϕ − Ry cos ϕ ) + mz %&ϕ *



L1
L2
L3
P = m
xG x + m
yG y + [ a(m
xG sin ϕ − m
yG cos ϕ ) + J ozϕ] ϕ *



*
a
*
G
Γ1
*
G
Γ2
Γ3
" mg + R = m
xG
(1)
x
$
PPV ⇒ # Ry = m
yG
(2)
$ J ϕ + mgasin ϕ = m (3)
z
% oz
La liaison S-Oz est parfaite
⇒ Pl* = 0 ∀ CVVC
mrani I. 2004
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17/09/2014
Ici le CVV est compatible avec la liaison en A si :
 *

V R (A) = O ⇒ ∀ CVVC Pl* = 0 ⇒ mz = 0 (4)
Les équations de liaison sont telles que :
⎪⎧xG = a cos ϕ (5)
⎨y = a sin ϕ (6)
⎪⎩ G
On a 6 équations pour 6 inconnues (xG , yG , ϕ, R x , R y , mz )
Donc l’utilisation du paramétrage q=(xG, yG,ϕ) permet de

Déterminer l’équation du mouvement et la réaction R
mrani I. 2010
48
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Chap III : Formulation Lagrangienne
mrani I. 2010
49
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mrani I. 2010
50
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P.P.V ⇒ ∀ C.V.V : Pd* + Pl* = Pa*

=0
∀q *
∑ Q q = ∑ Γ q
*
i i
*
i i
⇒ Qi = Γ i
mrani I. 2010
51
17/09/2014
I.4 Toutes les liaisons sont parfaites.
" Fk (q, t) = 0
k =1 à p
$ n
#
$ ∑ ali qi + bl =0 l = 1 à p'
% i=1
Equations de liaison
complémentaires
mrani I. 2010
52
∀C .V .V .C avec ces liaisons on a :
#
%
%
$
%
%&
n
∂Fk
∑ ∂q
qi* = 0 k = 1 à p
∑ a q
=0
i=1
n
i
*
li i
17/09/2014
q* ⊥
(1)
l = 1 à p'
i=1
∂Fk
et q* ⊥ al
∂q
n
∀C.V.V.C le P.P.V donne :
∑(Γ − Q )q
i
i
*
i
=0
(2)
q* ⊥ (Γ − Q )
i=1
Soient les vecteurs :
⎛ ∂Fk ⎞
⎛ q1* ⎞
⎛ Γ1 − Q 1 ⎞
⎜ ∂q ⎟
al 1 ⎞
⎛
⎜ . ⎟
⎜
⎟
⎜ . 1 ⎟
.
. ⎟
⎜
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜ . ⎟
∂Fk
*
.
⎜
⎟
.
.
(
Γ
−
Q
)
=
(q ) = ⎜ ⎟
(al ) =
(
) = ⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
.
∂q
.
.
.
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ Γn − Q n ⎟
⎜ a ln ⎟
⎜ q * ⎟
⎜ ∂Fk ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ n ⎠
⎜
⎟
⎝ ∂qn ⎠
(Γ − Q) ∈ au sous-espace vectoriel engendré
par les p vecteurs
∂Fk
et les p' vecteurs al :
∂q
mrani I. 2010
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17/09/2014
∃λk ∈  (k = 1, p) et ∃pl ∈  (l = 1, p') tels que :
p
p'
p
p'
∂F
∂F
(Γ − Q) = ∑ λk k + ∑ pl al ⇒ (Γ i − Qi ) = ∑ λk k + ∑ pl ali
∂q l=1
∂qi l=1
k=1
k=1
Or on a :
d # ∂T & ∂T
Γi = % ( −
dt $ ∂qi ' ∂qi
Equations de Lagrange avec multiplicateurs
λk et pl : multiplicateurs de Lagrange
mrani I. 2004
54
17/09/2014
Cas particulier :
∂U
∃U (q, t ) / Q i =
∂qi
d ⎛ ∂L
⎜
dt ⎝ ∂qi
p
⎞ ∂L
∂Fk p '
= ∑ λk
+ ∑ pa
l li
⎟ −
∂
q
∂
q
k =1
l =1
i
i
⎠
mrani I. 2010
55
17/09/2014
o Calcul du premier membre des équations de Lagrange :
o Calcul du second membre
o 1er cas : le C.V.V est compatible est compatible
uniquement avec les E.L non-holonômes
mrani I. 2010
56
17/09/2014
mrani I. 2010
57
17/09/2014
mrani I. 2010
58
17/09/2014
- Les équations de Lagrange avec multiplicateurs :
mrani I. 2010
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17/09/2014
mrani I. 2010
60
17/09/2014
mrani I. 2010
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mrani I. 2010
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17/09/2014
mrani I. 2010
63
17/09/2014
II.4 Intégrale première de Painlevé (I.P.P)
T 2 − T 0 + V = C te (I.P .P )
mrani I. 2010
64
17/09/2014
Démonstration :
T = T 2 + T 1 + T 0 ⇒ L = T 2 + T 1 + T 0 −V
T2 : forme quadratique en q j
T1 : forme linéaire homogène en q j
T0 : fonction des q j et de t
#
% ∑ ∂T2 q j = 2T2
% j ∂q j
%
∂T
Relations d'Euler : $ ∑ 1 q j = T1
% j ∂q j
%
∂T0
q j = 0
∑
%

j ∂q j
&
⇒∑
j
∂L
qi = 2T2 + T1 + 0.(T0 − V )

∂qi
mrani I. 2010
65
17/09/2014
+ ∂L
d " ∂L % ∂L
d " ∂L %
∂L .
$$
'' −
= 0 ⇒ $$ ∑
q j '' − ∑qj +
q j 0 = 0



dt # ∂q j & ∂q j
dt # j ∂q j & j , ∂q j
∂q j /
Comme :
dL
∂L
∂L
∂L
=∑
q j +∑
qj +

dt
∂t
j ∂q j
j ∂q j
d
dL ∂L
d
∂L
(2T2 + T1 ) − + = 0 ⇒ (T2 − T0 + V ) + = 0
dt
dt ∂t
dt
∂t

T 2 − T 0 +V = C
=0
te
Remarque :
Si les liaisons sont scléronomes : T 1 = T 0 = 0 ⇒ T = T 2 ⇒ T + V = C te (I.P .E c )
mrani I. 2010
66
17/09/2014
Chap IV : Principe de Hamilton
I.1 Hypothèses
1)
2)
3)
Liaisons parfaites,
Paramétrage complet
Il existe une fonction de force U(q,t)
d $ ∂L ' ∂L
1), 2) et 3) ⇒ ∃ L = T +U ⇒ & ) −
=0
dt % ∂qi ( ∂qi
∂L
Soit : p i =
(q.d.m ou impulsion généralisée )
∂qi
 t)
Soit : H (q, p, t) = ∑ pi qi − L(q, q,
H : Fonction d’Hamilton ou Hamiltonien
i
I.2 Calcul de H
dH = ∑ ( qi dpi − p i dqi ) −
i
∂L
dt
∂t
mrani I. 2004
67
Comme H est fonction de 2n+1 variables q,p et t, on a :
# ∂H
" ∂H
%
∂H
∂H
= qi
%
dH = ∑$
dqi +
dpi ' +
dt
% ∂pi
∂pi
& ∂t
i # ∂qi
% ∂H
= − p i
$
% ∂qi
∂L
dH = ∑ ( qi dpi − p i dqi ) − dt
% ∂H
∂L
=
−
∂t
% ∂t
i
∂t
&
17/09/2014
(4)
Equations canoniques de Hamilton
Remarques :
- Le système (4) représente les équations canoniques ou d’Hamilton.
- pi, qi : variables canoniques
- (4) est un système de 2n équations différentielles de 1er ordre.
- Les équations de Lagrange sont un système de n équations
différentielles de 2nd ordre.
- H = T 2 − T 0 +V
- L’I.P.P s’écrit : H = C te
mrani I. 2004
68
17/09/2014
I.3 Espace des phases
L’état de (Σ) est décrit à t donné par :
- qi , q, i le mvt de (Σ) est régit par les équations de Lagrange.
A cet état correspond un point dans un espace multi-dimensionnel de
dimension n appelé espace des configurations.
- pi , q,i le mvt de (Σ) est régit par les équations de Hamilton.
A cet état correspond un point dans un espace multi-dimensionnel de
dimension 2n appelé espace des phases.
mrani I. 2004
69
17/09/2014
II Intérêt de la formulation Hamiltonienne
II.1 Transformation canonique
Soit q,p les variables canonique du système ;
Définition :
G
Une transformation (q, p, t ) →(Q , P , t ) est dite canonique si elle vérifie
l’équation suivante :
n
dG
K = H + ∑ (PiQ i − pi qi ) +
dt
i=1
K : le nouveau Hamiltonien du système.
(5)
G : appelée fonction génératrice de la transformation.
- On montre que si (q,p) sont des variables canoniques et si la
G
transformation (q, p, t ) →(Q , P , t ) est canonique, alors (Q,P) sont
canoniques.
- Les équations d’Hamilton en fonction de (P,Q) :
mrani I. 2004
#
%
%
$
%
%&
70
∂K
Q i =
∂Pi
∂K
Pi = −
∂Qi
17/09/2014
Nouvelles équations canoniques
- La résolution du problème en fonction de (P,Q) est parfois plus simple
qu’avec (p,q).
II.2 Fonctions génératrices
-Il y a quatre classes de fonctions génératrices :
G 1 = G 1(q, Q , t ) ; G 2 = G 2(q, P , t ) ; G 3 = G 3(p, Q , t ) ; G 4 = G 4(p, P , t ) - Pour G = G1 (q,Q, t) L’équation (5) implique :
mrani I. 2004
71
n
Kdt = Hdt + ∑ (Pi dQi − pi dqi ) +
i=1
dG1
dt
dt
%
%
∂G1 (
∂G (
⇒ ∑' pi −
*dqi + ' K − H − 1 * dt −
&
∂qi )
∂t )
i=1 &
n
On en déduit :
Posons :
pi =
17/09/2014
%
∂G1 (
∑'& Pi + ∂Q *)dQi = 0
i
i=1
n
∂G1
∂G
∂G
; Pi = − 1 ; K = H + 1
∂qi
∂Qi
∂t
n
G2 (q, P, t) = G1 (q,Q, t) + ∑ PiQi
n
G3 ( p,Q, t) = G1 (q,Q, t) − ∑ pi qi
i=1
i=1
n
G4 ( p, P, t) = G1 (q,Q, t) + ∑ (PiQi − pi qi )
i=1
On montre que :
pi =
qi = −
∂G2
∂G
∂G
∂G
; Q i = 2 ; Pi = − 3 ; qi = − 3
∂qi
∂Pi
∂Qi
∂pi
∂G4
∂G
; Qi = 4
∂pi
∂Pi
K=H+
∂Gk
; k = 1, 4
∂t
mrani I. 2004
72
17/09/2014
II.3 Exemples de transformations canoniques
1) Transformation identité :
n
G 2(q, P , t ) = ∑ qi Pi
pi =
∂G 2
∂G 2
∂G 2
= Pi ; Q i =
= qi ; K = H +
=H
∂qi
∂Pi
∂t
pi =
∂G 1
∂G
= Q i ; Pi = − 1 = −qi ; K = H
∂qi
∂Q i
i =1
2) Echange de rôle :
n
G 1(q, Q , t ) = ∑ qQ
i i
i =1
II.4 Etude d’un cas simple : Pendule 1D
Ecriture de l’Hamiltonien :
Le potentiel est égal à :
V = −mgl cosθ
1
L = ml 2θ 2 + mgl cosθ
2
La coordonnée généralisée : q = θ
∂L
p
=
= ml 2θ
Le moment conjugué :
∂θ
Le Lagrangien est :
mrani I. 2004
73
17/09/2014
p2
g
Le Hamiltonien est : H =
− ω 2I cosq ; I = ml 2 ; ω 2 =
2I
l
2) Le portrait de Phase
- Le système est conservatif, car H ne dépend pas explicitement du
temps. On donc une I.P : H = E = C
Soit : p = ±ωI 2 cosq +
te
E
ω 2I
Dans l’espace des phase (p,q) à 2 dimensions, on a 3 cas :
E
- 0 < E < ω 2:I pas de solution que pour cosq ≤ 2
ωI
ce qui correspond à un mouvement oscillatoire dans un domaine
borné de q appelé mvt de Libration. Les pts p=0 sont appelés pt
tournant.
mrani I. 2004
74
17/09/2014
- E > ω 2I : Il y a une solution ∀q ; mais p est borné. Ce qui correspond à
un mvt de rotation. La courbe p(q) est périodique de période 2p
- E = ω 2I : Correspond au cas limite entre les 2 régimes précédents. La
courbe décrite par : p = ±ω I 2 cosq +1 s’appelle la séparatrice.
mrani I. 2010
75
17/09/2014
II.4bis Crochets de poisson
Définition
Soit une fonction f(q, p, t) définie dans l’espace des phases. Sa
dérivée par rapport au temps est :
df
∂f
⎛ ∂f
⎞ ∂f
= ∑ ⎜
q!k +
p! k ⎟ +
dt k ⎝ ∂qk
∂pk ⎠ ∂t
q!k =
∂H
∂H
; p!k = −
∂pk
∂qk
Equations canonique
df
∂f
= { f , H} +
dt
∂t
⎛ ∂f ∂H ∂f ∂H ⎞
−
⎟
k ⎝ ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk ⎠
{ f , H} = ∑ ⎜
: Crochet de poisson pour H et f
mrani I. 2010
76
Propriétés :
Si f est une intégrale première alors :
17/09/2014
df
=0
dt
{ f , H} +
∂f
=0
∂t
{f , H} = 0
{ f , g}
∂f ∂g ⎞
⎛ ∂f ∂g
−
⎟
k ⎝ ∂qk ∂pk ∂pk ∂qk ⎠
{f , g} = ∑ ⎜
mrani I. 2010
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17/09/2014
On peut construire des crochets dits fondamentaux, en prenant pour
fonctions f et g les variables qk et pk , on obtient :
{pi , p j } = 0
{qi , q j } = 0
{qi , p j } = δ ij
{Pi , Pj }q,p = 0 {Qi , Q j }q,p = 0
{f , H}q,p = {f , H}Q,P
{Qi , Pj }q,p = δ ij
mrani I. 2010
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17/09/2014
mrani I. 2010
79
17/09/2014
G
(q, p, t)→(Q, P, t)
#
%
%
$
%
%&
∂K
Q i =
=0
∂Pi
∂K
Pi = −
=0
∂Qi
n
dG
=0
dt
i=1
G = G2 (q, P, t)
H (q, p, t) − ∑ pi qi +
pi = ∂G2 / ∂qi
(6)
H (q, p, t) +
∂G
=0
∂t
(7)
mrani I. 2010
II.5.2 Action Hamiltonienne
80
17/09/2014
En remarquant que :
t2
dG n ∂G
∂G n
= ∑ qi +
= ∑ pi qi − H (q, p, t) = L
dt i=1 ∂qi
∂t i=1
S (q, t; P ) = G = ∫ Ldt t1
L est le Lagrangien du système,
S (q, t; P ) est l’action Hamiltonienne. On a les équations :
n
#
∂S
% dS = ∑ pi dqi + dt = Ldt
∂t
%
i=1
n
%
∂S
$ L = ∑ pi qi +
∂t
%
i=1
%
∂S
∂S
H
(q,
,
t)
+
=0 (Equation de Hamilton-Jacobi)
%
∂q
∂t
&
III.5.3 Applications
a)
Particule libre 1D
2
p2
1 ⎛ ∂S ⎞ ∂S
H =
⇒
+
= 0 (HJ )
⎜
⎟
2m
2m ⎝ ∂q ⎠
∂t
mrani I. 2010
Le système est conservatif
H = E = C te ⇒ S(q, P) = S0 (q) − Et
(HJ) ⇒
81
17/09/2014
dS0
= ± 2mE ⇒ S(q; P) = ± 2mEq − Et
dq
La fonction principale S engendre des transformations canoniques ou
toutes les variables sont cycliques c’est-à-dire :
P = 0 ; Q = 0 ⇒ P = C te ; Q = C te
2E
(t ± Q )
m
∂L
∂S ∂S0
p=
= mq =
=
= ± 2mE
∂q
∂q ∂q
q=
q = ± 2mE t + q0
mrani I. 2010
82
17/09/2014
x i2 ⎞
⎛ pi2
H = ∑ ⎜
+ ki ⎟
2 ⎠
i =1 ⎝ 2m
3
⎡ 1 ⎛ ∂S ⎞2
x i2 ⎤
⎢
∑
⎜
⎟ + ki ⎥ = E
2 ⎥⎦
i =1 ⎢ 2m ⎝ ∂x i ⎠
⎣
3
3
On cherche une solution de la forme : S 0 = ∑ S i (x i )
i =1
D’après l’équation H-J : F1(x 1) + F2(x 2 ) + F 3(x 3) = E ∀x i
dS i
x i2 ⎞
⎛
Donc : Fi (x i ) = αi = C et ∑ αi = E ⇒
= ± 2m ⎜ αi − ki ⎟
dx i
2 ⎠
i =1
⎝
te
3
mrani I. 2010
83
a) Soit : u = sin θ =
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ki
α
k
x i ⇒ S i = ± i (2θ + sin 2θ ) ; ω i2 = i
2αi
2ωi
m
Soit les nouvelles variables : Pi = αi
On obtient :
∂S
∂S
∂E
⎫
Qi =
= i −
t
⎪
∂αi ∂αi ∂αi
2αi
⎪
⇒
x
=
±
sin ωi (t + Q i )
⎬
i
1
ki
ki
= ± arc sin
x i − t ⎪
⎪⎭
ωi
2αi
b) Autrement, soit L le Lagrangien :
#
∂L
∂S dSi
xi2 &
pi =
= mxi =
=
= ± 2m %α i − ki (
∂xi
∂xi dxi
2'
$
du
⇒
= ±ω i dt ⇔ θ = ±ω i t + θi
2
1− u
mrani I. 2010