Chapitre III-Formalisme Mathématique-semaine du 06 Avril (1)

CHAPITRE III : FORMALISME MATHEMATIQUE DE LA
MECANIQUE QUANTIQUE
VI- Exemples de représentations et d’observables
1-
Représentation
a-
Définition
et
(
On rappelle que la fonction d’onde décrivant l‘état quantique d’une particule s’écrit :

constitue une base de l’espace des fonctions d’onde F.
Par conséquent les
(transformées de Fourier de
sont les composantes de
.
suivant
De même on peut écrire :
Où
sont les composantes de
A la fonction d’onde
on fait correspondre le ket de Dirac
étant la projection du ket
montre que
suivant la base
dans
.
tel que si on pose :
ce qui
constitue une base de Er. Par conséquent :
relation de fermeture associée à la base continue
En effet :
1
.
, étant la



De même :
D’autre part :

Or

En résumé :
 Relations de fermeture :
 Relations d’orthonormalisation
b-
Changement de représentations
Soit A un opérateur linéaire. Les éléments de matrice de A dans la représentation
définis par :
=

De même pour
en fonction
:
2
sont
2-
Les Observables
et
Dans la base des coordonnées cartésiennes, les opérateurs position
et impulsion
possèdent,
chacun, trois composantes :
;
Où X, Y et Z sont les opérateurs position qui ont pour rôle de mesurer la position de la
particule suivant les axes :
On note :
,
, respectivement.
et
Action de l’opérateur
a-
et
en représentation
Calculons les actions de X, Y et Z sur
en représentation
:


(x,y,z)R3
Où les x, y et z sont les valeurs propres de X, Y et Z, respectivement.
De même pour l’action de l’opérateur
en représentation

( ,
,
bCas de
et
sont les valeurs propres de
Action de l’opérateur
,
,
et
)R3
, respectivement.
en représentation
:
3
.


; de même pour
et
Réciproquement on peut vérifier que

agit en
comme suit :
c-à-d :
En effet :
il suffit de calculer la projection de
sur
c-à-d :
4

c-
; d’où l’action de
en représentation
.
Calcul des commutateurs
Calculons l’action du commutateur
agissant sur l’état
Pour ce faire, considérons le scalaire
Or en représentation



De même pour :
et
On peut montrer de la même manière :
5
en représentation
6