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CHAPITRE III : FORMALISME MATHEMATIQUE DE LA
MECANIQUE QUANTIQUE
VI- Exemples de représentations et d’observables
1- Représentation et
(
a- Définition
On :
constiespace des fonctions F.
Par conséquent les
(transformées de Fourier de
sont les composantes de
suivant .
De même on peut écrire :
Où
sont les composantes de
suivant la base
.
on fait correspondre le ket de Dirac
tel que si on pose :
étant la projection du ket
dans ce qui
montre que constitue une base de Er. Par conséquent :, étant la
relation de fermeture associée à la base continue .
En effet :
2
De même :
part :
Or
En résumé :
Relations de fermeture :
Relations d’orthonormalisation
b- Changement de représentations
Soit A un opérateur linéaire. Les éléments de matrice de A dans la représentation sont
définis par :
=
De même pour en fonction :
3
2- Les Observables
et
Dans la base des coordonnées cartésiennes, les opérateurs position
et impulsion
possèdent,
chacun, trois composantes :
;
Où X, Y et Z sont les opérateurs position qui ont pour rôle de mesurer la position de la
particule suivant les axes :
,
et , respectivement.
On note :
et
a- Action de l’opérateur
en représentation
Calculons les actions de X, Y et Z sur en représentation :
(x,y,z)R3
Où les x, y et z sont les valeurs propres de X, Y et Z, respectivement.
De même pour
en représentation
.
(,,)R3
, et sont les valeurs propres de , et , respectivement.
b- Action de l’opérateur
en représentation
Cas de :
4
; de même pour et
Réciproquement on peut vérifier que
agit en
comme suit :
c-à-d :
En effet :
il suffit de calculer la projection de
sur
c-à-d :
5
; d
en représentation
.
c- Calcul des commutateurs
en représentation
Pour ce faire, considérons le scalaire
Or en représentation
De même pour : et
On peut montrer de la même manière :
6
1
/
6
100%
