relations d`incertitude d`heisenberg

RELATIONS D’INCERTITUDE D’HEISENBERG
1) Introduction
La mécanique quantique nous enseigne que les particules qu’on trouve dans la nature ont des
propriétés ondulatoires. Les propriétés ondulatoires et corpusculaires sont des manifestations
différentes de la nature intrinsèque de chaque particule. Par exemple les lois de De Broglie
montrent qu’une particule ayant une quantité de mouvement bien définie ppeut se comporter
comme une onde de longueur d’onde . L’état quantique d’une particule est donnée
par une fonction d’onde dont l’amplitude a une interprétation probabiliste. On a plus de chance
de trouver la particule dans les régions où l’amplitude est grande. Si cette amplitude est non
nulle seulement dans une petite région de l’espace, alors la position la particule est bien con-
nue. Mais dans ce cas la longueur d’onde (et donc la quantité de mouvement) sera mal connue.
Une relation d’incertitude position-quantité de mouvement découle de la nature ondulatoire de
la particule comme on peut le comprendre à partir du schéma ci-dessous (source: Cours de
Physique, Berkeley, Tome 4).
λhp⁄=
La règle d’incertitude position-quantité de mouvement a été formulée par Heisenberg en 1927.
Il est possible de démontrer que des relations d’incertitude apparaissent automatiquement entre
quantités physiques liées à des opérateurs qui ne commutent pas entre eux. Le but de ce TD est
de démontrer de manière rigoureuse ces relations d’incertitudes.
2) Arguments intuitifs. Relation position-quantité de mouvement
On considèrera une particule dont la fonction d’onde est formée par un segment de sinusoïde
(comme sur la figure). Nous considérerons que l’incertitude sur la position est liée à la lon-
gueur du paquet d’onde. L’incertitude sur la longueur d’onde (et donc sur la quantité de
mouvement) est d’autant plus faible que le nombre nd’oscillations est grand. En déduire que
∆x
∆λ
Position mal définie - quantité de mouvement bien définie
Position mieux définie - quantité de mouvement moins bien définie
Position bien définie - quantité de mouvement mal définie

(ordre de grandeur).
3) Démonstration générale
On considère deux opérateurs Aet Bqui ne commutent pas. Il est toujours possible d’écrire le
commutateur sous la forme suivante:
où Cest un opérateur défini par cette relation. Considérons un système dans un état quantique
représenté par un ket normé. On définit la valeur moyenne d’un opérateur Odans l’état
et l’incertitude sur la mesure de la quantité physique représentée par cet opérateur:
et
a) Montrer que si A et B sont hermitiens, C l’est également.
b) Montrer que l’incertitude sur l’opérateur est la même que celle sur A.
c) Montrer que où .
d) Partant du fait que quelque soit réel, montrer que:
e) En déduire la relation d’incertitude .
3) Relation position-quantité de mouvement
Appliquer cette relation au cas et .
Liens
http://www.honors.unr.edu/~fenimore/wt202/close/
http://www.aip.org/history/heisenberg/
∆x∆p1∼
AB,[]iC=
ψ|〉
ψ|〉 ∆O
O〈〉 ψ〈|Oψ|〉=∆OO
2
〈〉 O〈〉
2
–=
aAA〈〉–=
ab,[]iC=bBB〈〉–=
aiαb+()ψ|〉
20≥ α
∆a()
2∆b() 2C〈〉
2
4
------------
≥
∆A∆B⋅C〈〉
2
------------
≥
Ap ih
d
dx
------
–== Bx=