Dynamique des solides en translation Eléments de cours 1. Rappels de cinématique : position, vitesse, accélération d’un solide dans un repère galiléen 1.1 Positions successives d’un point Soit (S) un solide en mouvement dans un repère R0. TM S/R0 Î M2 z R0 Soit TMS/R0 la trajectoire de M. O Sur cette trajectoire, choisissons par convention : • • • (S) M1 Soit M un point appartenant au solide (S), de coordonnées x(t), y(t) et z(t) à l’instant t. M0 y x une origine M0 ; un sens positif : de M0 vers M1; une unité de longueur, le mètre (m). On relève, aux instants t0, t1, t2, les positions du point M appartenant à S dans le repère R0. Instants t0 t1 t2 Position sur TMS/R0 M0 M1 M2 Abscisse curviligne s = f(t) s0 = 0 s1 = M0M1 s2 = M0M2 s= M0M = valeur algébrique, à l’instant t, de l’arc orienté M0M 1.2 Vitesse algébrique moyenne Entre les instants t1 et t2 : vmoy = s2 - s1 Ds = t 2 - t1 Dt Unités : ✓ m/s ou m.s-1 ✓ km/h ou km.h-1. Conversion : 1 3,6 km/ h ¾¾® m/ s, m/ s ¾´3,6 ¾® km/ h 1.3 Vitesse algébrique instantanée Si t2 proche de t1, alors Dt ® 0 : v(t) = ds = s'(t) dérivée de l’abscisse curviligne dt 1.4 Vecteur vitesse instantanée Le vecteur vitesse du point M dans son mouvement par rapport au repère fixe R0, est égal à la dérivée vectorielle (par rapport au temps) du vecteur position OM , dans le repère R0. æ x(t) ö ç ÷ OM ç y(t) ÷ ç z(t) ÷ è øR0 Le vecteur position du point M dans R0 : VM Î S / R0 = limDt®0 MM' Dt é dOM ù VM Î S / R0 = ê ú ë dt ûR0 Le vecteur vitesse du point M dans R0 : 1.5 Accélération tangentielle moyenne Si le point M se situe en M1 à l’instant t1 et qu’il possède une vitesse instantanée v1 ; s’il passe à l’instant t2 en M2 à la vitesse v2, son accélération tangentielle moyenne entre t1 et t2 s’écrit : TM S/R0 Î atmoy = v2 - v1 t 2 - t1 M2 M1 (S) z R0 Unité : m/s 2 O y 1.6 Accélération tangentielle instantanée x Dv lorsque t → 0. Dt dv ds d2s or v(t) = d’où at (t) = 2 at (t) = dt dt dt A l’instant t quelconque, elle correspond à la limite du rapport M0 Récapitulatif : Dérivée /temps Dérivée/temps s(t) v(t) at(t) Primitive / temps Primitive / temps at(t) v(t) s(t) 1.7 Vecteur accélération Le vecteur accélération du point M dans son mouvement par rapport au repère fixe R0, est égal à la dérivée vectorielle (par rapport au temps) du vecteur vitesse VM le repère R0. aM Î S / R0 = GM Or VM Î S / R0 Î S / R0 Donc GM é dVM Î S / R0 ù ú =ê dt êë úûR0 é dOM ù ú =ê êë dt úûR0 Î S / R0 é d 2 OM ù ú =ê 2 êë dt úûR0 1.8 Coordonnées du vecteur accélération Les coordonnées du vecteur accélération peuvent s’écrire : æ dVMx ö ç ÷ ç dt ÷ æ VMx ö ç dVMy ÷ ç ÷ GM Î S / R0 ç ÷ avec VM Î S / R0 ç VMy ÷ ç dt ÷ ç VMz ÷ è ø ç dVMz ÷ ç ÷ è dt ø Î S / R0 , dans Autre forme faisant intervenir les coordonnées du vecteur position : ( OM x(t); y(t); z(t) ) æ ç ç ç GM Î S / R0 ç ç ç ç ç è d2 x dt 2 d2 y dt 2 d2z dt 2 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø 2. Equations horaires On étudiera dans ce chapitre deux mouvements particuliers, le mouvement de translation rectiligne et le mouvement de rotation d’axe fixe, dans deux situations particulières, le mouvement uniforme où la vitesse (tangentielle ou angulaire) est constante et le mouvement uniformément varié où l’accélération (tangentielle ou angulaire) est constante. Ces différents cas permettent d’étudier la plupart des problèmes rencontrés dans les exemples traités en TD ou dans les projets que vous aurez à étudier en deuxième année. 2.1. Mouvement de translation rectiligne Rappel : le champ des vecteurs vitesse dans le cas d’une translation rectiligne est uniforme. Tous les vecteurs vitesse ont même direction (la direction du mouvement), même sens et même norme. Grandeurs physiques : • • • • x: déplacement (position, abscisse, distance…) suivant la direction de la translation en m v : vitesse en m/s a : accélération tangentielle en m/s2 (l’accélération normale est nulle R→) t : temps en s. 2.1.1. MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE UNIFORME C’est le mouvement le plus simple, sans accélération (at=0) et avec une vitesse constante au cours du temps. x x0 Origine du repère O Instant t0 Conditions initiales x Instant t Equations horaires ou du mouvement • a=0 • v = v0 = constante • x(t) = v0 .(t-t0) + x0 À t0, x0 et v0. Graphe du déplacement Graphe des vitesses v x x = v0.t + x0 v = v0 v0 x0 0 t 0 t Remarques : • Pour ce cas, on peut utiliser la formule de la vitesse moyenne v = • Le déplacement x est proportionnel au temps. x - x0 . t - t0 Exemple : Un chariot se déplace sur un rail de longueur 12m, dans un mouvement de translation rectiligne uniforme, à la vitesse de v =3m/s. Déterminer le temps mis pour parcourir la totalité du rail. 2.1.2. MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE Il sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements, accélérés (a>0) ou décélérés (a<0), l’accélération reste constante au cours du temps. x x0 v v0 O Instant t0 x Instant t Conditions initiales Equations horaires ou du mouvement • a =a0 = constante • v (t)= a0 (t - t0) + v0 1 • x(t) = × a0 × (t - t 0)2 + v0 × (t - t 0) + x0 2 À t0, x0, v0 et a0. Graphe du déplacement Graphe des vitesses x v v(t) =a0 (t-t0)+ v0. x = f(t) (Branche de parabole) x0 0 v0 t 0 t Autre relation : On a v = a(t - t 0) = v0 et x = t - t0 = 1 × a0 × (t - t 0)2 + v0(t - t 0) + x0 2 v - v0 a Il vient x = x- x0 = 1 (v - v0)2 (v - v0) × a0 × + v0 + x0 2 2 a0 a0 1 1 2 1 2 × ( v + v0 - v.v0 + v.v0 - v0 2 ) a0 2 2 1 (v - v0)2 (v- v0) x - x0 = × + v0 2 a0 a0 x - x0 = 1 1 2 1 2 × ( v - v0 ) a0 2 2 Si on sort a0 : v2 - v0 2 a0 = 2(x - x0) Remarques : • • Pour ce cas, on ne peut pas utiliser la formule de la vitesse moyenne. On peut par contre utiliser la relation donnant l’accélération tangentielle moyenne atmoy = • v2 - v1 t 2 - t1 Le déplacement n’est pas proportionnel au temps. Exemple : Un dragster participe à une course, départ arrêté, sur une distance 402m. Il franchit la ligne après 4,5s. On fait l’hypothèse que le mouvement est du type translation rectiligne uniformément accélérée. Déterminer l’accélération du véhicule ainsi que sa vitesse en fin de parcours. Donner les équations du mouvement du véhicule. Tracer les courbes correspondantes. 3. Principe fondamental de la dynamique Hypothèses : - Le référentiel de mouvement est un référentiel galiléen R0 Le solide étudié S1 est indéformable Le mouvement étudié est un mouvement rectiligne (pas de rotation) On note : - ⃗⃗𝐹𝑖 les forces extérieures appliquées au solide S1 ⃗⃗⃗⃗ Γ𝐺 l’accélération du centre de gravité du solide S1 La masse m1 du solide S1 La deuxième loi de Newton, ou principe fondamental de la dynamique, donne : ∑ ⃗⃗𝐹𝑖 = 𝑚1 × ⃗⃗⃗⃗ Γ𝐺 On peut aussi l’exprimer sous la forme : ∑ ⃗⃗𝐹𝑖 = 𝑑𝑝 ⃗⃗⃗⃗1 𝑑𝑡 Où ⃗⃗⃗⃗ 𝑝1 = 𝑚1 × 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺1 , quantité de mouvement du solide S1, où 𝑣 𝐺1 est la vitesse du centre de gravité du solide dans le référentiel galiléen R0. 4. Théorème de l’énergie cinétique Dans un référentiel galiléen R0, pour un corps S1 de masse m1 constante parcourant un chemin reliant un point A à un point B, la variation d’énergie cinétique est égale à la somme des travaux W des forces (extérieures et intérieures) qui s’exercent sur le corps considéré : 𝐴𝐵 ∆𝐸𝐶 𝐴𝐵 = 𝐸𝐶 𝐵 − 𝐸𝐶 𝐴 = ∑ 𝑊(𝐸𝑥𝑡 𝐼𝑛𝑡) où : • EcA et EcB sont respectivement l’énergie cinétique du solide aux points A et B. • L’énergie cinétique a pour expression 𝐸𝐶 = × 𝑚1 × (𝑣𝐺 𝑆1 /𝑅0 )2 1 2 5. Exercices 5.1. Equations horaires simples 5.1.1. Exercice 1 On définit les équations paramétriques de la trajectoire d’un mobile M évoluant dans le champ de la pesanteur par rapport à un repère (O; x , y , z ): x(t ) = 20.t 2 OM = y (t ) = −5.t + 20.t + 2 z (t ) = 0 Q1 Définir l'équation cartésienne de la trajectoire On donne les points : A( x A = 0, y A ) ; B( x B , y B ) altitude maximale; point de chute C(xC , yC = 0) . Déterminer les coordonnées y A , xB , yB , xC . Tracer la courbe dans le plan (O; x , y ) et positionner ces points. Q2 Déterminer la vitesse VM / R , en déduire VM / R . Q3 Déterminer l’accélération aM / R , en déduire a M / R . Q4 Déterminer le rayon de courbure R, on utilisera la relation a M / R = dVM / R V + M /R n dt R 5.1.2. Saut cascadeur Un cascadeur à moto prend de la vitesse sur un tremplin [ AB] pour effectuer un saut de trajectoire [ BCD] , la vitesse d’impulsion Vo est inclinée d’un angle a par rapport à l’horizontale. Le cascadeur et sa moto assimilable à un point matériel M évolue dans le champ de la pesanteur par rapport à un repère (O; x , y , z ). Les équations paramétriques de la trajectoire du point M sont : Q1 Définir l’équation cartésienne de la trajectoire. En déduire les coordonnées du point de chute D. Q2 Déterminer la vitesse VM / R , en déduire VM / R . Définir les coordonnées du point C ( xC , yC ,0) , pour lequel le cascadeur atteint la hauteur maximale du vol. Q3 Déterminer la vitesse à la réception, au point D, on la notera VD / R . Q4 Déterminer l’accélération aM /R , en déduire aM /R . Q5 Le cascadeur désire améliorer la distance L et la passer à 40 m, déterminer la vitesse d’impulsion Vo . 5.1.3. Tir obus Un canon tire un obus verticalement. On supposera que l’obus n’est soumis qu’à l’accélération de la pesanteur (g=9,81 m.s-2). Conditions initiales du mouvement : v0 = 400m/s, x0 = 0. Q1 Quelle altitude atteint l’obus ? Q2 Au bout de combien de temps touchera-t-il le sol ? Q3 A quelle vitesse initiale aurait-il fallu tirer pour atteindre une altitude de 50 km ? MOUVEMENTS SPECIFIQUES 5.1.4. Exercice 4 : Mouvement hélicoïdal Un mouvement hélicoïdal est la combinaison d’un mouvement de translation rectiligne uniforme et d’un mouvement circulaire uniforme. On suppose qu’on visse une vis M30 avec une fréquence de rotation constante N = 150 tr.min-1. Dans un repère cartésien R (O, x , y , z ), le point M d’une hélice en rotation ascensionnelle a les équations paramétriques suivantes : x(t) = R cos ωt , y(t) = R sin ωt , z(t) = h ωt avec R = 15 mm, h = 0,55 mm et ω constants Q1 - Montrer que les normes des vecteurs vitesse et accélération du point M sont constantes au cours du temps. Les calculer. Q2 - On appelle pas de l’hélice (p) la variation de l’altitude de M sur un tour d’hélice. Exprimer p en fonction de h (pas restreint de l’hélice). Vérifier que le pas de la vis est normalisé p = 3,5mm. Q3 - Dans un repère de Frenet, exprimer les vecteurs vitesse et accélération du point M. En déduire le rayon de courbure de la trajectoire. Q4 - Quelles seraient les composantes des vecteurs vitesse et accélération du point M dans un repère cylindrique ? 5.1.5. Exercice 5 : Mouvement de rotation en spirale Soit le repère cartésien R0 (O, x , y , z ),, le point M décrit une spirale dans le plan (O, x , y ). Dans le repère cylindrique (ou polaire) R (O, ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑟 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝜃 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑧 ) associé au mouvement, un point M se déplace sur une spirale logarithmique d’équation polaire : r = r0 e θ avec θ = ω t r0 = 10mm et ω = 52 rad.s-1 Q1 – Après avoir placé le repère polaire sur la figure, déterminer les composantes du vecteur vitesse du point M dans ce repère. Quel est l’angle entre ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑀/𝑅 et ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑟 ? En déduire la norme de cette vitesse en fonction du temps t. La calculer à t = 1s. Q2 - Déterminer les composantes du vecteur accélération ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀/𝑅 du point M dans le repère polaire. Calculer les composantes à t = 1s. Q3 - Déterminer les composantes du vecteur accélération du point M dans un repère de Frenet. En déduire le rayon de courbure de la trajectoire. Le calculer à t = 1s. 5.1.6. Exercice 6 : Mouvement cycloïdal Une roue de rayon R et de centre C roule sans glisser sur l’axe (Ox) à vitesse angulaire ω constante tout en restant dans le plan (Oxy). Soit M un point lié à la roue situé sur la circonférence. Les mouvements sont étudiés dans le référentiel R0 associé au repère (O, ex, ey, ez ) A l’instant t=0, M se trouve en M0 (x=0, z=2R). Q1 – Déterminer une relation traduisant le fait que « la roue ne glisse pas ». Q2 – Déterminer les coordonnées xC et zC du point C à l’instant t. Q3 – Déterminer les coordonnées xM et zM du point M à l’instant t. Q4 – Etudier la trajectoire définie par le système d’équations paramétriques (x(θ), z(θ)) avec θ = ωt. La tracer pour θ є [-4Π ; 4Π]. Q5 – Calculer la vitesse ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑀/𝑅0 du point M à l’instant t. Exprimer sa norme en fonction de Icos θ/2I. Q6 – Calculer l’accélération ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑀/𝑅0 du point M à l’instant t. Exprimer sa norme en fonction de R et de V. Calculer numériquement cette norme de l’accélération dans le cas d’un point périphérique d’un pneu de voiture de rayon R = 35 cm, roulant à 130 km.h-1 sur une autoroute. Q7 – Déterminer les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉𝑀/𝑅0 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑀/𝑅0 lorsque le point M est en contact avec l’axe (Ox) 5.1.7. Etude d’un Free-Fall Lifeboat Un tanker connaissant une avarie est contraint d’évacuer l’équipage à l’aide d’embarcations de survie à chute par gravité - free-fall-lifeboat - tel que le modèle présenté ci-contre. Il s’agit d’embarcations étanches et motorisées afin de protéger l’équipage en cas de nappe de pétrole et s’éloigner rapidement du bateau de façon autonome. Le mouvement de l’embarcation se décompose en 3 temps : - une translation rectiligne le long de la rampe de lancement, - une chute libre jusque dans le milieu aquatique, - une immersion et éloignement du navire en détresse. y1 Partie 1 : étude du lancement du free-fall-lifeboat Objectif : on souhaite déterminer l’accélération en fin de rampe de lancement. G l Données : - longueur de la rampe, l=13m, - vitesse en bout de rampe, v=12m·s-1. Hypothèses : - on étudiera le mouvement du cdg G du free-falllifeboat dans le repère R 1 lié au davit - le mouvement est supposé uniformément accéléré Le pilote de l’embarcation déclenche la rupture de l’attache afin d’évacuer l’équipage. 1 - Donner les conditions initiales et finales du mouvement. Déterminer la valeur de l’accélération tangentielle du point G. Donner les équations du mouvement de cette phase. Que peut-on dire de l’accélération normale du point G dans ce mouvement ? 2 - Quelle est la durée du mouvement ? Partie 2 : étude de la chute libre du free-fall-lifeboat Objectif : on cherche à définir les paramètres cinématiques au point de chute pour vérifier que le point d’impact est suffisamment éloigné du navire. x1 y y1 G x O x1 h b Niveau mer A Hypothèses : - on étudiera le mouvement du cdg G dans le repère R lié au navire, - le mouvement est supposé plan dans , - le point O est aligné verticalement avec le bord de coque du navire. Données : - On donne les coordonnées du point G au cours de la chute libre jusqu’au niveau de la mer, - accélération du champ de pesanteur, g=10m·s -2 , angle , vitesse du point G en O, v0 =12m·s -1, hauteur du point O à la surface de la mer, h=40m. 3 – Donner l’expression littérale de l’équation cartésienne de la trajectoire du point G, y = f ( x )dans R. Pour les questions 4 et 5 on prendra comme équation : y = -0,05× x2 - 0,07× x 4 - Déterminer la coordonnée x A sur l’axe du point A, point de contact avec la surface de la mer. Quelle est la durée t A de la chute du point O au point A ? On considère que l’angle de rentrée dans l’eau minimal doit être de 60°, pour limiter les contraintes sur la structure de l’embarcation. 5 - Quel est l’angle que fait la tangente en A à la trajectoire du point G avec l’axe ? La consigne est-elle respectée ? 6 - Donner l’expression littérale des coordonnées du vecteur vitesse du point G, dans R ainsi que l’expression de sa norme. Donner la valeur de la norme du vecteur vitesse en A en m·s -1 et en km·h -1. 7 - Donner les coordonnées du vecteur accélération du point G, norme. 8- Exprimer le vecteur accélération du point G, au point A. dans R ainsi que sa dans un repère de Fresnet En déduire le rayon de rotation r au point A. Partie 3 : étude de l’impact dans la mer Objectif : on cherche à définir l’accélération subie par les membres de l’équipage lors de l’entrée dans le milieu aquatique. On fera l’hypothèse que le déplacement du free-fall-lifeboat dans le milieu aquatique se décompose en deux phases : - phase d’immersion : assimilée à un mouvement de translation rectiligne uniformément décéléré jusqu’à immersion complète et arrêt. - phase de remontée en surface (Archimède) – non étudiée. Les normes maritimes recommandent que l’accélération subie par les passagers au cours de la chute ne dépasse pas 15·g. Hypothèses : - on étudiera le mouvement du cdg G dans le repère spatial R - le mouvement est supposé plan dans , Données : - vitesse du point G au niveau de la mer (en A), - distance parcourue pendant l’immersion complète : d=15m. , 9 - Déterminer la valeur de l’accélération tangentielle, donner les équations du mouvement et conclure par rapport aux recommandations. 6. Application du théorème de l’énergie cinétique 6.1.1. Catapultage sur le Charles de Gaulle Le porte-avion Charles de Gaulle de la Marine nationale peut catapulter un avion toutes les 30 secondes à l’aide de ses deux catapultes à vapeur. On étudie le cas du catapultage d’un E-2C Hawkeye, un avion de surveillance et de commandement aéroporté. La vitesse du porte avion, vent debout, est de 10 nds. La vitesse de l’avion, en sortie de catapulte est Va=270 km/h. La masse du E-2C Hawkeye est 17090 kg. La distance de catapultage est Lc=75m. On note Fc l’intensité de la force d’une catapulte. On suppose que la force Fc est constante au cours du catapultage. Déterminer la nature du mouvement de l’avion au décollage, puis déterminer l’accélération que doit subir le pilote au décollage Faire le bilan des actions mécaniques appliquées au E-2C lors du décollage. Ecrire le théorème de l’énergie cinétique. Que doit-on négliger pour calculer une approximation de Fc ? Calculer l’approximation de Fc Estimer la section des deux conduits de la catapulte à vapeur. Applications du PFD Accélération moto Zero SR/S Cas particulier des frottements
