Support cours et TD dynamique en translation

Dynamique des solides en translation
Eléments de cours
1. Rappels de cinématique : position, vitesse, accélération d’un solide dans un repère
galiléen
1.1 Positions successives d’un point
Soit (S) un solide en mouvement dans un
repère R0.
Soit M un point appartenant au solide (S),
de coordonnées x(t), y(t) et z(t) à l’instant
t.
Soit TM
S/R0 la trajectoire de M.
Sur cette trajectoire, choisissons par
convention :
• une origine M0 ;
• un sens positif : de M0 vers M1;
• une unité de longueur, le mètre (m).
On relève, aux instants t0, t1, t2, les positions du point M appartenant à S dans le repère R0.
Instants
t0
t1
t2
Position sur TM
S/R0
M0
M1
M2
Abscisse curviligne s = f(t)
s0 = 0
s1 = M0M1
s2 = M0M2
s=M0M
= valeur algébrique, à l’instant t, de l’arc orienté
M0M
1.2 Vitesse algébrique moyenne
Entre les instants t1 et t2 :
vmoy =s2-s1
t2-t1=Ds Dt
Unités :
✓ m/s ou m.s-1
✓ km/h ou km.h-1. Conversion :
km/h1
3,6
¾ ®¾ m/s,m/s´3,6 ¾ ®¾ km/h
O
R0
z
y
x
M2
M1
M0
(S)
TM
Î
S/R0

1.3 Vitesse algébrique instantanée
Si t2 proche de t1, alors
Dt®0
:
v(t)=ds
dt =s'(t)
dérivée de l’abscisse curviligne
1.4 Vecteur vitesse instantanée
Le vecteur vitesse du point M dans son mouvement par rapport au repère fixe R0, est égal
à la dérivée vectorielle (par rapport au temps) du vecteur position
OM
, dans le repère R0.
Le vecteur position du point M dans R0 :
VMÎS/R0=limDt®0MM'
Dt
Le vecteur vitesse du point M dans R0 :
1.5 Accélération tangentielle moyenne
Si le point M se situe en M1 à l’instant t1 et qu’il possède une vitesse instantanée v1 ; s’il passe à
l’instant t2 en M2 à la vitesse v2, son accélération tangentielle moyenne entre t1 et t2 s’écrit :
Unité : m/s2
1.6 Accélération tangentielle
instantanée
A l’instant t quelconque, elle correspond à la limite du rapport lorsque t
→
0.
at(t)=dv
dt
or
v(t)=ds
dt
d’où
at(t)=d2s
dt2
atmoy =v2-v1
t2-t1
Dv
Dt
OM
x(t)
y(t)
z(t)
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
R0
VMÎS/R0=dOM
dt
é
ë
êù
û
ú
R0
O
R0
z
y
x
M2
M1
M0
(S)
TM
Î
S/R0

Récapitulatif :
Dérivée /temps
Dérivée/temps
s(t)
v(t)
at(t)
Primitive / temps
Primitive / temps
at(t)
v(t)
s(t)
1.7 Vecteur accélération
Le vecteur accélération du point M dans son mouvement par rapport au repère fixe R0,
est égal à la dérivée vectorielle (par rapport au temps) du vecteur vitesse
VMÎS/R0
, dans
le repère R0.
aMÎS/R0=GMÎS/R0=dVMÎS/R0
dt
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
úR0
Or
VMÎS/R0=dOM
dt
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
úR0
Donc
GMÎS/R0=d2OM
dt2
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
úR0
1.8 Coordonnées du vecteur accélération
Les coordonnées du vecteur accélération peuvent s’écrire :
GMÎS/R0
dVMx
dt
dVMy
dt
dVMz
dt
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
avec VMÎS/R0
VMx
VMy
VMz
æ
è
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷

Autre forme faisant intervenir les coordonnées du vecteur
position :
OM x(t);y(t);z(t)
( )
GMÎS/R0
d2x
dt2
d2y
dt2
d2z
dt2
æ
è
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ö
ø
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
2. Equations horaires
On étudiera dans ce chapitre deux mouvements particuliers, le mouvement de translation rectiligne et
le mouvement de rotation d’axe fixe, dans deux situations particulières, le mouvement uniforme où la
vitesse (tangentielle ou angulaire) est constante et le mouvement uniformément varié où
l’accélération (tangentielle ou angulaire) est constante.
Ces différents cas permettent d’étudier la plupart des problèmes rencontrés dans les exemples traités
en TD ou dans les projets que vous aurez à étudier en deuxième année.
2.1. Mouvement de translation rectiligne
Rappel : le champ des vecteurs vitesse dans le cas d’une translation rectiligne est uniforme. Tous les
vecteurs vitesse ont même direction (la direction du mouvement), même sens et même norme.
Grandeurs physiques :
• x: déplacement (position, abscisse, distance…) suivant la direction de la translation en
m
• v : vitesse en m/s
• a : accélération tangentielle en m/s2 (l’accélération normale est nulle R→)
• t : temps en s.
2.1.1. MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE UNIFORME
C’est le mouvement le plus simple, sans accélération (at=0) et avec une vitesse constante au cours du
temps.

Instant t
x
Instant t0
x
x0
O
Origine du repère
Conditions initiales
Equations horaires ou du mouvement
À t0, x0 et v0.
• a = 0
• v = v0 = constante
• x(t) = v0 .(t-t0) + x0
Graphe du déplacement
Graphe des vitesses
x = v0.t + x0
0
t
x0
x
v = v0
0
t
v0
v
Remarques :
• Pour ce cas, on peut utiliser la formule de la vitesse moyenne
v=x-x0
t-t0
.
• Le déplacement x est proportionnel au temps.
Exemple :
Un chariot se déplace sur un rail de longueur 12m, dans un mouvement de translation rectiligne
uniforme, à la vitesse de v =3m/s.
Déterminer le temps mis pour parcourir la totalité du rail.