Exercice 4
1. On présente deux preuves assez voisines, l’une faisant uniquement appel à la théorie des intégrales
généralisées et la seconde utilisant l’intégrale de Lebesgue.
Preuve 1 : La fonction g:t7→ tα
(1+t2)2est continue sur R∗
+. Il suffit donc de faire une étude aux voisinage
des bornes impropres 0et +∞. Or g(t) ∼
t→+∞tα−4et t7→ tα−4est de signe constant (positif). D’après
le critère d’équivalence pour les intégrales généralisées, l’intégrale de gest convergente en +∞si et
seulement si α−4<−1, c’est-à-dire α < 3. De même g(t) ∼
t→0+tαqui est aussi de signe constant donc
l’intégrale de gest convergente en 0si et seulement si α > −1. L’intégrale de gest donc convergente sur
R∗
+si et seulement si αappartient à l’intervalle ] − 1,3[. Enfin, comme gest positive, la convergence et
l’absolue convergence de l’intégrale sont équivalentes donc +∞
0
g(t)dt est convergente (ou absolument
convergente) si et seulement si αappartient à ] − 1,3[.
Preuve 2 : La fonction g:t7→ tα
(1+t2)2est continue sur R∗
+donc localement intégrable sur R∗
+. On dispose
des équivalents g(t) ∼
t→+∞tα−4et g(t) ∼
t→0+tα. On en déduit que gest intégrable (au sens de Lebesgue) sur
R+si et seulement si les deux fonctions t7→ tα−4et t7→ tαsont intégrables dans des voisinages respectifs
de 0et de +∞dans R+. La fonction gest donc dans L1(R+)si et seulement si α∈] − 1,3[.
Enfin,
I(1)=+∞
0
t
(1+t2)2dt =−1
21
1+t2+∞
0
=1/2.
2. a. Soit Log: C\R−→Cla détermination principale du logarithme et posons pour zdans C\R−
L(z)=Log(−iz)+iπ/2. Comme (−iz∈R−⇔z∈iR−),Lest bien définie et holomorphe. De plus,
exp(L(z)) =exp (Log(−iz)+iπ/2)=−izeiπ/2=z
donc Lest une détermination du logarithme. Enfin, comme la partie imaginaire de la fonction Log est
à valeurs dans ] − π, π[, la partie imaginaire de la fonction Lest à valeurs dans ] − π/2,3π/2[. Ceci
établit l’existence de L. Pour démontrer l’unicité, on fournit deux preuves.
Preuve 1 : soit
Lune autre solution du problème. Pour tout zdans C\iR−,L(z)et
L(z)diffèrent
d’un multiple entier de 2iπ(remarque : ce multiple est indépendant de zcar C\iR−est connexe et
L−
Lest continue, mais ce fait est inutile ici car la preuve s’effectue à zfixé). Or L(z)et
L(z)ont
leur partie imaginaire dans le même intervalle ouvert ] − π/2,3π/2[de longueur 2π. On en déduit que
|Im(L(z) −
L(z))| <2πet par suite L(z)=
L(z).
Preuve 2 : Les logarithmes de 1étant les multiples entiers de 2iπ, seul 0a sa partie imaginaire dans
] − π/2,3π/2[d’où L(1)=0. Comme Lest une détermination du logarithme, c’est donc une primitive
de la fonction z7→ 1/zsur C\iR−(théorème 3.19 du cours). Une telle primitive est uniquement
déterminée par sa valeur en 1car C\iR−est connexe.
b. Posons U=C\iR−. Comme z7→ 1+z2est holomorphe et s’annule en iet −iet que Lest holomorphe,
la fonction fest holomorphe sur U\ {i}.
3. a. La demi-droite verticale i+R−®
voù ®
v=−icoupe le contour une seule fois au point iR. Plus précisément,
paramétrons ∆R,ε par l’intervalle [0,4]de la manière suivante :
[0,1] ∋ t7→ Reiπt
[1,2] ∋ t7→ −ε(t−1) − R(2−t)
[2,3] ∋ t7→ εeiπ(3−t)
[3,4] ∋ t7→ ε(4−t)+R(t−3)
Le point iRcorrespond à une seule valeur du paramètre, t=1/2et le vecteur tangent correspondant
est ®
w=iπRexp(iπ/2), à savoir −R. On a Im ®
w
®
v
=Im−πR
−i=−πR<0donc en utilisant le lemme 4.14
du cours, Ind(∆R,ε,i)=1.