Bible of Physics French

Bible de la physique version 1.3
Jonathan Gagné
December 11, 2010

J.Gagné Bible de la physique v1.3
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Contents
1 PHY1651 Mécanique classique 12
1.1 Les trois lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Loi de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Résistance de l’air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Moment angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Énergie .......................................... 13
1.7 Équilibre dans un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Formalisme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Corps en orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.10 Référentiel inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.11 Référentiel non inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.12 Référentiel en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.13 Rotation de corps rigides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.14 Précession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.15 Équations d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.16 Tenseurs d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.16.1 Liste de tenseurs d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.16.2 Théorème des Axes Parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.16.3 Objets symétriques sous rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 MAT1400 Calcul 1 22
2.1 Points critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Optimisation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Valeur moyenne d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Centre de masse d’un corps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Changement de système de coordonnées et jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Convergence d’une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.1 Critère de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.2 Critère de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.3 Convergence des valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.4 Critère de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.5 Critère de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.6 Rayon de convergence d’une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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3 MAT1410 Calcul 2 26
3.1 Paramétrisation de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Longueur d’un arc sur une courbe paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Aire d’une surface paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Plan tangent à une surface de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Gradient  rf........................................ 27
3.6 Dérivée directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7 Dérivée du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.8 Dérivée en chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.9 Polynôme de Taylor d’une fonction à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.10 Intégrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.11 Théorème fondamental des intégrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.12 Champ vectoriel conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.13 Théorème de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.14 Intégrale de flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.15 Différenciation d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.15.1 Divergence  r· F................................. 30
3.15.2 Rotationnel  r⇥ F................................ 30
3.15.3 Dérivée seconde d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.16 Équations différentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.17 Méthodes de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 MAT1600 Algèbre linéaire 34
4.1 L’équation aux valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1.1 Ordre de multiplicité algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Équations lsinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.1 Définitions matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.2 Opérations élémentaires sur une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.3 Théorème de l’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.4 Matrice échelonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.5 Matrice échelonnée réduite (par rapport aux lignes) . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.6 Position pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.7 Algorithme de réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.8 Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.9 Les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.10 Les propriétés algébriques de Rn......................... 38
4.3.11 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.12 Lien entre combinaison linéaire et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.13 Sous-ensemble de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.14 Produit matrice-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.15 Équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.16 Propriétés des opérations matrice-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.17 Système d’équations linéaire et homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.18 Système d’équations linéaire et non homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.19 Indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.20 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
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4.3.21 Dégénérescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.22 Transformation linéaire T:V!W....................... 39
4.3.23 Propriétés nécessaires et suffisantes pour que T soit linéaire . . . . . . . . . . 40
4.4 Algèbre matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.1 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.2 Opérations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.3 Propriétés algébriques de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4.4 Définition du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4.5 Définition des puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4.6 Propriétés de la transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4.7 Propriétés du conjugué complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4.8 Inversion d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4.9 Propriétés de l’inversion d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.10 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.11 Théorème de l’inversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5 Sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5.1 L’espace des colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5.2 L’espace nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5.3 Colonne pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5.4 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5.5 Relations des sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6.1 Exemple de Calcul d’un Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6.2 Propriétés des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6.3 Règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6.4 Inverse d’une matrice par le déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6.5 Calcul d’un hypervolume à l’aide du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6.6 Calcul d’un hypervolume transformé à l’aide du déterminant . . . . . . . . . . 46
4.7 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.7.1 Exemples d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.8 Les bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.8.1 Théorème de l’Ensemble générateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9 Système de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9.1 Unicité de la représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.9.3 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.9.4 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.9.5 Matrice de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.10 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.10.1 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.10.2 Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.10.3 Norme euclidienne d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.10.4 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.10.5 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.10.6 Ensemble orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.10.7 Relations d’orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.10.8 Dépendance et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
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