Cours Tidjani

Théorie des opérateurs
T. Menacer
Université Mohammed kheider Biskra
Département de Mathématiques
March 8, 2020
Contents
Contents i
Introduction iii
Opérateurs linéaires bornés dans les espaces normés v
Dé…nitions............................... v
Opérateur liniéaire borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
Norme d’un opérateur borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
Convergence simple et convergence uniforme . . . . . . . . . . . . xi
Opérateur inverse, Opérateur adjoint et Théorie spectrale. xiii
Opérateur inverse, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Spectre d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
Opérateuradjoint........................... xix
i

ii CONTENTS
Opérateurs compacts xxiii
Opérateurs isométriques, normaux, unitaires, positifs auto-adjoints xxiv
Travaux Dirigés xxvii
Série1.................................xxvii
Série2 ................................xxviii
Bibliography xxxi

Introduction
iii

Opérateurs linéaires bornés
dans les espaces normés
Dé…nitions
Dé…nition 1 Soient Eet Fdeux Kespaces Vectoriels normés. Un
opérateur linéaire de Edans Fest une application Ade…nie sur E, à valeurs
dans Fet veri…ant
8x; y 2E,82K
A(x+y) = A(x) + A(y)et A (x) = A (x)
Généralement on utilise la notation Ax au lieu de A(x)
Dé…nition 2 Soit A:E!Fun opérateur linéaire. On de…nit l’image de
l’opérateur Apar:
Im (A) = fAx; x 2Eg
et le noyau de l’opérateur Apar :
Ker (A) = fx2E:Ax = 0g
Classement
Un opérateur linéaire est un homomorphise d’espaces vectoriels
A:E!F
Cas particulers
Si Aest bijectif alors Aest un isomorphisme
Si E=Falors, Aest un endomorphisme de E
v