ENPEI – BADJI Mokhtar / Div. E/ DEST/ Département de Technologie – 2021-2022
TD de MDF
Série N°3: Cinématique des fluides
Exercice N°1
On considère l’écoulement défini en variable de Lagrange ( X0, Y0, Z0 et t) où la position d’une particle
est donnée par le vecteur position :
X0 + αt
⃗⃗⃗⃗⃗ = {
Y0 + βt 2
OP
avec𝛼, 𝛽 𝑒𝑡 𝛾 sont des constantes.
3
Z0 (1 + αt) + γt
Déterminer le vecteur vitesse de la particule en variables d’Euler.
Exercice N°2
Le champ de vitesses d’un écoulement plan est donnée par :
⃗ = 2 𝑥 2 𝑥 − 4𝑥𝑦𝑦, x et y en m.
𝑉
1. Cette écoulment est-il permanent ?
2. Calculer la vitesse au point A (2, 1/2).
3. Déterminer l’éqauation des lignes de courant sous la forme y = f(x). Trace la ligne de courant
tangeante à la vittesse A.
Exercice 3 (https://slideplayer.fr/slide/11737123/) exo identique
On considère un écoulement défini par le champ des vitesses suivant, en variables d’Euler :
v𝑥 = 0
⃗ = {v𝑦 = 2𝑦 − 𝑧.
𝑉
v𝑧 = 𝑦 − 2𝑧
1. Montrer que l’écoulement est stationnaire, incompressible et plan.
2. Calculer le champ des vecteurs accélérations.
3. Déterminer les équations du réseau des lignes de courant.
4. Déterminer les champs des vecteurs tourbillons et les lignes tourbillons.
5. Calculer le tenseur des taux de déformation ̿
D.
̿ ) avec la div v
6. Comparer la trace(D
⃗ , que peut-on dire ?
Exercice 4
On considère le champ des vitesses suivant :
⃗ = 𝛼 𝑦 𝑥 − (𝛼𝑥 − 𝛽𝛼 2 𝑡) 𝑦 où 𝛼 et 𝛽 sont des constantes positives.
𝑉
1. De quelle décription s’agit-il ? sous quel condition l’écoulement est-il stationnaire ?
2. Déterminer l’équation des lignes de courant. Monter que ce sont des cercles de centre C et de
Rayon R et indiquer les coordonnées du point C.
3. Dans quelle sens tournes les particules ?
⃗ . Existe -t-il un potentiel des vitesses ?
4. Calculer le Rot 𝑉
5. Déterminer l’équation des trajectoires sous forme paramétrique ( c’est-à-dire x(t) et y(t)).
6. Déterminer l’acélération en representation Lagrangienne et Eulérienne. Montrer que ces résultats
sont bien équivalent.
7. Monter que ce mouvement est la composition d’une translation pure et une rotation pure.
Exercice N°5
Le champ des vitesses d’un écoulement dans un conduite fermé verticale, suivant la direction des 𝑧,
est donné en coordonnées cylindriques sous la forme suivante :
2𝛼𝑟
⃗𝑉 = { 0 avec 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 sont des constantes.
𝛽𝑧
1. Détrminer la relation que doit vérifier 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 pour que l’écoulement soit incompressible.
Pour la suite représenter les résulatst en fonction de 𝛼.
2. Déterminer le champ des des accélérations.
3. Déterminer l’équation des lignes de courant et tracer leur allure.
4. Montrer que l’écoulement considéré est rotationnel et déterminer la fonction potentiel des
vitesses.
5. Déterminer l’équation des lignes de courant. Tracer ces lignes de courant dans le plan (r,z).
Exercice 6
Chaque figure ci-dessous représente la carte de champ d’un écoulement stationnaire et
bidimensionnel. Ces écoulements, sont-ils irrotationnels ou tourbillonnaires ? Le cas échéant,
indiquer l’orientation du vecteur tourbillon. Que peut-on dire de l’incompressibilité ?
Exercice N°7
Dans une conduite cylindrique (Figure ci-contre) de rayon R, le
champ de la vitesse d’un écoulement laminaire est donné par le profil
de Poiseuille :
𝑟2
⃗ = 𝑉° (1 − ) 𝑥
𝑉
𝑅2
Représenter le profil de vitesse sur une section droite (S) de
l’écoulement, et calculer le débit volumique.
S
𝑥
Exercice N°8
Un circuit hydraulique est composé d’une conduite AB, de diamètre dAB=1.5m, reliée à une conduite
BC, de diamètre dBC=1.2 m. Au point C, la conduite BC est relié à deux conduites CD, de diamètre
dCD=0.8 m, et CE de diamètre dCE. De l’eau (fluide incompressible) s’écoule à vitesse uniforme 𝑉 =
2 𝑚/𝑠 dans la conduite AB.
1. Calculer le débit dans la conduite AB.
2. Déterminer la vitesse dans la conduite BC.
3. Déterminer le diamètre dCE pour que un tiers de l’écoulement total soit transporté par la conduite
CD et la vitesse dans la conduite CE soit de 2.5 𝑚/𝑠.
NB : Toutes les conduites sont considérées de forme circulaire.
Exercice N°9
Un réservoir sous forme cylindrique (figure ci-contre), de diamètre D et de hauteur suffisamment
grande, se rempli d’eau (fluide incompressible) par un robinet et se vide par deux sortie 1 et 2 de
diamètres d1=10 cm et d2=10 cm.
1. Déterminer la variation de niveau de la surface libre (dh/dt) en fonction des débits
volumiques (Débit d’entré Qv,e, débit de sortie 1 Qv,s1 et débit de sortie 2 Qv,s2 ) et le diamètre de D.
2. Si on suppose que la surface libre reste au même niveau (h constant), déterminer la vitesse V 1 de
l’écoulement de l’eau de la sortie 1. On donne Qv,e = 0.05 m3 /s et V2 = 2 m/s la vitesse de
l’écoulement de l’eau par la sortie 2.
