Programmation Linéaire : Simplexe - Cours Recherche Opérationnelle

Chapitre 1
Programmation lin´ eaire :Simplexe
Recherche op´erationnelle Chapitre 1 Programmation lin´eaire 1/55

Introdution
La recherche op´erationnelle est une discipline dont le but est de
fournir des m´ethodes pour r´epondre `a un type pr´ecis de probl`eme, c’est-
`a-dire `a ´elaborer une d´emarche universelle pour un type de probl`eme
qui aboutit `a la ou les solutions les plus efficaces. La particularit´e
de la recherche op´erationnelle est que les m´ethodes propos´ees sont des
d´emarches rationnelles bas´ees sur des concepts et outils math´ematiques
et/ou statistiques.
G´en´eralement les d´emarches propos´ees par la recherche op´erationnelle
peuvent ˆetre traduites en programmes informatiques exacte.
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Introdution
La programmation lin´eaire est un outil tr`es puissant de la recherche
op´erationnelle. C’est un outil g´en´erique qui peut r´esoudre un grand nombre
de probl`emes. En effet, une fois un probl`eme mod´elis´e sous la forme
d’´equations lin´eaires, des m´ethodes assurent la r´esolution du probl`eme de
mani`ere exacte.
Une des m´ethodes les plus connues pour r´esoudre des programmes lin´eaires
en nombre r´eels est la m´ethode du Simplexe. En th´eorie, elle a une
complexit´e non polynˆomiale et est donc suppos´ee peu efficace. Cependant,
en pratique, il s’av`ere au contraire qu’il s’agit d’une bonne m´ethode.
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Pr´ esentation th´ eorique d0un programme lin´ eaire
On cherche `a maximiser ou minimiser la fonction objectif :
z=c1x1+c2x2+. . . +cnxn
o`u les variables de d´ecision xjv´erifiant les min´egalit´es suivantes appel´ees
contraintes :
a11x1+a12 x2+. . . +a1nxn≤b1
a21x1+a22 x2+. . . +a2nxn≤b2
.
.
..
.
..
.
..
.
.
am1x1+am2x2+. . . +amnxn≤bm
xi≥0,i= 1,2, . . . n.
Les coefficients aij ,biet cjsont des r´eels donn´es. Si on cherche le maximum
de zalors cette forme est appel´ee la forme canonique du programme
lin´eaire (PL).
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Pr´ esentation th´ eorique d0un programme lin´ eaire
On peut ´ecrire le programme lin´eaire sous la forme matricielle suivante :
Trouver x∈Rnqui v´erifie
max (z=cTx)
Ax≤b
x≥0
(1)
avec
A=
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
..
.
..
.
.
am1am2. . . amn
,x=
x1
x2
.
.
.
xn
,b=
b1
b2
.
.
.
bm
c=
c1
c2
.
.
.
cm
Lorsque les contraintes sont des ´egalit´es (=) alors le programme lin´eaire
est sous forme standard. Chaque PL canonique peut se transformer en
un PL standard et inversement.
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