Cinématique CHAPITRE II : Cinématique I) Définition d’un solide Nous appellerons solide, un domaine d'un espace affine euclidien à trois dimensions. Cette définition mathématique est pratiquement réalisée par des objets dont la substance est assez dure pour que les déformations qu'ils subissent au cours de leur utilisation soient négligeables. Il y a ainsi équivalence entre la notion de solide et celle d'objet indéformable. ks Ms js OS (S) is Les axes définis par le point Os et les vecteurs Une particule du solide est située en un point trois vecteurs de base sont liés au solide de . Avec un point fixes dans l'espace vectoriel de et associé à l'espace affine , nous constituons un repère d'espace lié au solide . Tout point du solide a des coordonnées , et constantes dans ce repère. La position et l'orientation du solide sont donc déterminées par celles du repère d'espace qui lui est lié. II) La position et l’orientation Nous utilisons un espace affine de référence muni d’un repère d’espace d’origine de base . L’espace affine lié au solide étudié est mobile par rapport à son mouvement est celui de par rapport à . 28 et : Mécanique du Solide Indéformable Cinématique z k i O j y x Pour situer dans placer le point , et il faut successivement : de , c’est-à-dire choisir les coordonnées , en un point de de ce point dans le repère ; orienter la base par rapport à la base dans l’espace vectoriel commun aux espaces affines et , c’est-à-dire choisir les trois angles d’Euler et qu’on va définir. La connaissance des valeurs des trois paramètres de position , , et et des trois paramètres d’orientations et qu’on détermine complètement la situation du solide dans . On dit que le solide possède six degrés de liberté. Remarques : A l’espace affine qui définit les positions, il faut associer un espace affine à une dimension dont les points sont les dates (où le temps). Ainsi la position d’un solide est déterminée par les six paramètres : , , , 29 et Mécanique du Solide Indéformable Cinématique Les angles d’Euler : Ce sont les angles nécessaires pour orienter la base dans l’espace vectoriel commun aux espaces affines Trois rotations successives transforment la base la rotation autour de transforme la rotation autour de transforme la rotation autour de transforme par rapport à la base et . en la base : en une base en , appelée base de Résal, en . Ces trois angles sont les angles d’Euler : est l’angle de précession, est l’angle de nutation, est l’angle de rotation propre. 30 Mécanique du Solide Indéformable Cinématique Représentation plane des rotations successives respectivement autour de , et j v u i k Os k ks w v u Os w js is u ks Os 31 Mécanique du Solide Indéformable Cinématique Exemple : Angles d'Euler relatifs à une toupie III) Le champ des vitesses d’un solide De la définition du solide on déduit qu’un solide peut être vu comme un système de points dont les distances mutuelles ne varient pas au cours du temps. Soient et deux points quelconques d’un solide . Comme la norme du vecteur est une constante au cours du mouvement, il vient relativement à c'est à dire Ainsi, les vitesses de deux points d’un solide satisfont à la propriété d’équiprojectivité des champs de vecteurs antisymétriques Cette propriété d’équiprojectivité entraîne l’existence d’un vecteur 32 tel que Mécanique du Solide Indéformable Cinématique Où encore Ce qui permet d’introduire la notion de torseur cinématique. rotation du solide par rapport à , qu'on notera étant le vecteur vitesse de Le champ des vitesses d’un solide est donc le moment du torseur cinématique ou bien La dérivation de la vitesse permet d’établir le champ des accélérations d’un solide On notera que ce champ n’est pas antisymétrique. Exemple : v u On considère le système ci-dessous, formé de deux barres articulées longueurs et se déplaçant dans le plan du référentiel Cherchons et . Trouvons la relation entre et et la relation entre Peux-on écrire le même type de relation simple entre et et de mêmes et ? . La barre a un mouvement de rotation autour de l'axe est . Ainsi, le vecteur rotation instantanée de la barre est . Sa vitesse angulaire La barre a un mouvement de rotation autour de l'axe est . Ainsi, le vecteur rotation instantanée de la barre est . Sa vitesse angulaire 33 Mécanique du Solide Indéformable Cinématique et et appartiennent au même solide appartiennent au même solide , le torseur cinématique permet d'écrire , le torseur cinématique permet d'écrire On ne peux pas écrire le même type de formule entre points et n'appartiennent pas au même solide. et car les IV) Changement de référentiel Dans le calcul du vecteur vitesse ou du vecteur accélération d'un point d'un solide par rapport à un repère il est souvent plus facile de passer par l'intermédiaire d'autres repères. Le but est d'établir les relations qui existent entre les différents mouvements de repères les un par rapport aux autres. A k i B k2 j j2 O2 O (S) i2 k1 j1 i1 O1 Soit un solide référentiels l'autre. associé aux référentiel et en mouvement par rapport aux eux même en mouvement l'un par rapport à IV-1) Dérivation cinématique On voudrait trouver les relations entre les caractéristiques cinématique, vitesse et accélération, relatives à et . Soient et deux point de . On a par projection sur et . 34 Mécanique du Solide Indéformable Cinématique La dérivée du vecteur donnée par exprimé dans Et la dérivée du même vecteur relativement à par rapport au temps, relativement à exprimé cette fois dans est par rapport au temps, est donnée par Dérivons à présent le vecteur exprimé dans par rapport au temps, relativement à . Or les dérivées des vecteurs par rapport à sont données par On déduit que Retenons que le terme complémentaire provient de la modification de la direction des vecteurs unitaires de la base de du fait du mouvement de rotation de par rapport à R. 35 Mécanique du Solide Indéformable Cinématique IV-2) Loi de composition des vitesses de rotation Soient et deux point de qui est en rotation par rapport aux référentiels et . Notant et , respectivement les vecteurs vitesses de rotation de par rapport à et , et le vecteur vitesse de rotation de par rapport à , il vient D’autre part, on a on déduit l’égalité soit, puisque les points et de sont quelconques Cette addition vectorielle des vitesses angulaires se généralise à un nombre quelconque de repères en particulier Exemple : Angles d'Euler relatifs à une toupie O Le vecteur vitesse de rotation de par rapport à 36 est donc donné par Mécanique du Solide Indéformable Cinématique IV-3) Loi de composition des vitesses Soit un point du solide en mouvement par rapport aux deux référentiels et eux mêmes en mouvement l'un par rapport à l'autre. Cherchons la relation entre et . Pour cela calculons La loi s’écrit où est appelé vecteur vitesse absolue est appelé vecteur vitesse relative est appelé vecteur vitesse d'entrainement. Remarque : La vitesse d’entraînement est la vitesse du point invariablement lié à et qui, à l’instant considéré, coïncide avec , aussi dit-on que c’est la vitesse du point coïncidant avec . En effet, le point coïncident est le point qui a la même position que à l'instant mais qui est fixe dans le référentiel relatif, c'est à dire ainsi Donc 37 Mécanique du Solide Indéformable Cinématique IV-4) Loi de composition des accélérations Cette loi est obtenue en dérivant des vitesses dans l’équation traduisant la loi de composition où est appelé vecteur accélération absolue est appelé vecteur accélération relative est appelé vecteur accélération d'entrainement. est appelé vecteur accélération de Coriolis Attention : V) Différents mouvements d’un solide V-1) Translation d’un solide Un solide a un mouvement de translation par rapport à un repère un vecteur quelconque associé à un couple de points de même au cours du mouvement de . si, et seulement si reste égale à lui- B B A A C’est-à-dire Donc à chaque instant, le champ des vitesses sur uniforme. D’autre part le vecteur vitesse de rotation cinématique défini sur est un couple. 38 par rapport à est un champ est nul. Ainsi, le torseur Mécanique du Solide Indéformable Cinématique Exemple : Translation rectiligne : Tout vecteur du solide se déplace en restant parallèle à lui même et le mouvement de chaque point est rectiligne. Translation curviligne : Tout vecteur du solide se déplace en restant parallèle à lui même et le mouvement de chaque point est curviligne. Translation circulaire : Tout vecteur du solide se déplace en restant parallèle à lui même et le mouvement de chaque point est un cercle. 39 Mécanique du Solide Indéformable Cinématique V-2) Rotation d’un solide autour d’un axe Un solide possède un mouvement de rotation autour d’un axe fixe si tous les points du solide décrivent des trajectoires circulaires centrées sur l’axe de rotation, sauf les points qui appartiennent à cet axe. Ces points ont une vitesse nulle. Considérons par exemple le mouvement d’un solide autour de l’axe de Exemple : Une porte en rotation autour de la verticale. z VR (A) H A u O x La vitesse d’un point P de y u s’écrit décrit un cercle de rayon tandis que est la projection de , est la projection de sur le plan . On remarque que le torseur cinématique défini sur support l’axe de rotation. 40 sur l'axe de rotation est un glisseur, ayant comme Mécanique du Solide Indéformable Cinématique V-3) Mouvement hélicoïdal d’un solide Exemple : Translation et rotation combinées comme une vis à bois. R P C’est un mouvement dans lequel une droite (axe de mouvement) du solide reste fixe en pouvant glisser sur elle-même et un point du solide non situé sur l’axe de rotation décrit une hélice circulaire autour de cet axe. L'hélice est dessinée sur un cylindre de rayon . Sachant que ( projection de où ( projection de sur l'axe du mouvement) et que sur le plan ), alors on peut déduire que et On remarque que le torseur cinématique défini sur Cherchons donc son axe central . Soit , on a alors n'est ni couple ni glisseur. or , d'où Cette égalité ne peux être vrai que si . On en déduit que . L'axe central du torseur cinématique défini sue le solide en mouvement hélicoïdal est l'axe de glissement et de rotation de : dans notre cas c'est l'axe . 41 Mécanique du Solide Indéformable Cinématique V-4) Mouvement le plus général d’un solide On a vu que, quels que soient les points et d’un solide, on a Si, à un instant donné, , et on dira alors, qu’à cet instant, le mouvement du solide est tangent à une translation. Si, à un instant donné, , on dira alors, qu’à cet instant, le torseur cinématique admet un axe central . Soit on a: Si d'axe Si ayant , on dira que le mouvement du solide est tangent à une rotation . , le mouvement du solide est dit tangent à un mouvement hélicoïdal comme axe instantané de rotation. Définition de l'axoïde fixe et l'axoïde mobile : Lorsque varie, l'axe instantanée de rotation décrit dans et dans deux surfaces appelées respectivement axoïde fixe et axoïde mobile du mouvement de par rapport à . VI) Cinématique des solides en contact Considérons deux solides et en mouvement par rapport à un référentiel de telle sorte que leurs surfaces soient en contact. On suppose que le contact est ponctuel. Aux solides et on associe respectivement les référentiels et . On suppose que les surfaces des solides admettent un plan tangent , à chaque instant, au point de contact N R1 R (P) R2 42 Mécanique du Solide Indéformable Cinématique Par ailleurs en ce point on distingue le point appartenant à en contact avec le point appartenant à en contact avec le point géométrique de contact . , et sont donc confondu à l'instant trajectoire du point au cours du temps, à l’instant , même instant , mais ils ont des trajectoire differentes. celle de et celle de . est la VI-1) Vitesse de glissement Par définition, on appelle vitesse de glissement de par rapport , à un instant donné, la vitesse du point appartenant à par rapport à qui coïncide à cette instant avec et En utilisant la loi de composition des vitesses entre les référentiels Car , et , on a est le point coïncident. On en déduit la vitesse de glissement Remarque : Cette vitesse de glissement est soit dans le plan tangent 43 , soit nulle. Mécanique du Solide Indéformable Cinématique VI-2) Roulement, pivotement et glissement Le mouvement de par rapport par rapport est décrit à l’instant par le torseur cinématique de peut toujours être décomposé en deux composantes l’une normale au plan : l’autre contenue dans ce plan : Ainsi le mouvement de par rapport d’une rotation de vecteur d’une rotation de vecteur , . peut être considéré comme résultant : représentant le pivotement de par rapport , représentant le roulement de par rapport , d’un glissement caractérisé par la vitesse de glissement . Remarque : Si la vitesse de glissement est nulle à tout instant on dira alors que le solide roule et pivote sans glissement sur . Exemple : Un disque homogène de centre , de rayon et d’épaisseur négligeable, roule sans glisser en sur une couronne circulaire de rayon . La couronne est supposée fixe dans un repère . Soit le repère lié au disque S tel que : Le vecteur est unitaire. On pose et 44 Mécanique du Solide Indéformable Cinématique 1) Le torseur cinématique du mouvement de par rapport à au point , est 2) La condition de roulement sans glissement au point du disque couronne , permet de déterminer une relation entre et . En effet par rapport à la c'est à dire 3) Définissons le plan tangent commun en à et et déterminons les vecteurs rotation de roulement et de pivotement de par rapport à : le plan tangent commun en suite on a à et est de normal le vecteur unitaire . Par le vecteur rotation de pivotement le vecteur rotation de roulement . 4) Déterminons les surfaces axoïdes de mouvement. Le mouvement de par rapport est décrit à l’instant par le torseur cinématique en C'est un glisseur d'axe instantané de rotation . Si on suppose que le solide est fixe et lorsque varie, le mouvement de par rapport à est tangent à une rotation autour de l’axe . Par suite, la surface engendrée par dans est un cylindre d’axe et de rayon . Si on suppose que le solide est fixe et lorsque varie, le mouvement de par rapport à est tangent à une rotation autour de l’axe . Par suite, la surface engendrée par dans est un cylindre d’axe et de rayon . 45 Mécanique du Solide Indéformable Cinématique VII) Mouvement plan sur plan On considère un solde solide lié au repère et en mouvement par rapport à un repère lié à un solide . On suppose qu’au cours du mouvement de par rapport à , les deux plans et restent confondus . Alors le mouvement de par rapport à est dit mouvement plan sur plan. Exemple : Mouvement d’un fer à repasser L'orientation de la base du repère par rapport à la base du repère est définie par un seul paramètre On considère le torseur cinématique du mouvement de (ou ) par rapport à (ou ) On remarque que L'invariant scalaire étant nul, on déduit que le torseur est un glisseur, d'axe de direction . Soit l'intersection de avec les plans et , ce qui implique que le vecteur vitesse en ce point est nul. Remarque : existe si Le point est unique. . 46 Mécanique du Solide Indéformable Cinématique Définition : Centre Instantané de Rotation C.I.R Le point est appelé Centre Instantané de Rotation C.I.R à la date , du mouvement plan sur plan de par rapport à . Au cours du mouvement, le point I change de position dans et . Définition : Base et Roulante La trajectoire du Centre Instantané de Rotation dans le plan appelée la Base du mouvement plan sur plan de par rapport à . est La trajectoire du Centre Instantané de Rotation dans le plan appelée la Roulante du mouvement plan sur plan de par rapport à . est Détermination analytique du C.I.R, de la Base et de la Roulante Pour déterminer analytiquement la position du C.I.R, il suffit de projeter, par exemple le point sur puis de calculer le vecteur Pour déterminer l'équation cartésienne de la Base, il suffit d'exprimer le vecteur position sous la forme , ensuite déterminer la relation entre les coordonnées et . Pour déterminer l'équation cartésienne de la Roulante, il suffit d'exprimer le vecteur position sous la forme , ensuite déterminer la relation entre les coordonnées et . Recherche géométrique du Centre Instantané de Rotation Soit d’un la trajectoire dans le plan point lié au plan vitesse à la date . et sa est tangent en à . D’après la relation entre les vitesses de deux point du même solide, nous avons: Or est le C.I.R , d'où 47 Mécanique du Solide Indéformable Cinématique On en déduit que trajectoire . , et que le point se trouve sur la normale en à la Ainsi, si l'on connait les trajectoires dans le plan de deux point et du plan , on détermine le C.I.R par l'intersection des normales aux trajectoires de ces point. (voir figure). Application : Etude du glissement d’une échelle On considère une échelle , notée par de longueur . est un repère lié au mûr et au sol modélisés par le même solide est un repère lié à tel que . On pose . 1) Déterminons le torseur cinématique du mouvement de où . au point et 2) Trouvons le C.I.R. par la méthode analytique puis par la méthode graphique. Analytiquement 48 Mécanique du Solide Indéformable Cinématique Graphiquement Le point se déplace suivant l'axe est suivant et le point et se déplace suivant l'axe est suivant Or et d'intersection des deux normales en Sur la figure on a et . Ainsi . (voir figure). Alors le C.I.R respectivement à leur trajectoire. 3) Déterminons la Base et la Roulante du mouvement plan sur plan de est le point . La Base Elle est la trajectoire du C.I.R dans le plan . Exprimons alors le vecteur position sous la forme entre les coordonnées et . On a , ensuite nous déterminons la relation On peux alors déduire la relation qui n'est autre que l'équation du cercle de centre figure) et de rayon (le grand cercle sur la La Roulante Elle est la trajectoire du C.I.R dans le plan position sous la forme les coordonnées et . On a . Exprimons alors le vecteur , ensuite nous déterminons la relation entre et On peux alors déduire la relation la forme suivante , qu'on peux réécrire sous C'est l'équation du cercle de centre et de rayon . (le petit cercle sur la figure) 49 Mécanique du Solide Indéformable
