Chapitre 2 2021-2022

Cinématique
Mécanique du Solide Indéformable
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CHAPITRE II : Cinématique
I) Définition d’un solide
Nous appellerons solide, un domaine  d'un espace affine euclidien  à trois
dimensions. Cette définition mathématique est pratiquement réalisée par des objets dont
la substance est assez dure pour que les déformations qu'ils subissent au cours de leur
utilisation soient négligeables. Il y a ainsi équivalence entre la notion de solide et celle
d'objet indéformable.
Les axes définis par le point Os et les vecteurs 
 sont liés au solide 
Une particule  du solide est située en un point  de . Avec un point de  et
trois vecteurs de base 
 fixes dans l'espace vectoriel  associé à l'espace affine
, nous constituons un repère d'espace lié au solide 
. Tout point  du
solide a des coordonnées ,  et  constantes dans ce repère. La position et l'orientation
du solide  sont donc déterminées par celles du repère d'espace qui lui est lié.
II) La position et l’orientation
Nous utilisons un espace affine de référence  muni d’un repère d’espace d’origine  et
de base  . L’espace affine  lié au solide étudié est mobile par rapport à  :
son mouvement est celui de  par rapport à .
(S)
OS
Ms
is
js
ks

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Pour situer  dans  il faut successivement :
 placer le point de  en un point de , c’est-à-dire choisir les coordonnées ,
, et  de ce point dans le repère  ;
 orienter la base 
 par rapport à la base 
 dans l’espace vectoriel 
commun aux espaces affines  et , c’est-à-dire choisir les trois angles
d’Euler et  qu’on va définir.
La connaissance des valeurs des trois paramètres de position , , et  et des trois
paramètres d’orientations et  qu’on détermine complètement la situation du
solide dans . On dit que le solide possède six degrés de liberté.
Remarques :
A l’espace affine  qui définit les positions, il faut associer un espace affine à une
dimension dont les points sont les dates  (où le temps). Ainsi la position d’un solide est
déterminée par les six paramètres :
, , , et 
x
y
z
i
j
k
O

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Les angles d’Euler :
Ce sont les angles nécessaires pour orienter la base 
 par rapport à la base 
dans l’espace vectoriel  commun aux espaces affines  et .
Trois rotations successives transforment la base   en la base 
 :
 la rotation  autour de  transforme   en une base  ,
 la rotation  autour de  transforme   en 
 appelée base de Résal,
 la rotation  autour de 
 transforme   en  .
Ces trois angles sont les angles d’Euler :
  est l’angle de précession,
  est l’angle de nutation,
  est l’angle de rotation propre.

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Représentation plane des rotations successives respectivement
autour de  ,  et 
j
v
u
i
Os
k
k
u
v
Os
w
ks
w
Os
ks
is
js
u

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Exemple : Angles d'Euler relatifs à une toupie
III) Le champ des vitesses d’un solide
De la définition du solide on déduit qu’un solide peut être vu comme un système de
points dont les distances mutuelles ne varient pas au cours du temps.
Soient  et  deux points quelconques d’un solide . Comme la norme du vecteur 
est une constante au cours du mouvement, il vient relativement à 
c'est à dire
Ainsi, les vitesses de deux points d’un solide satisfont à la propriété d’équiprojectivité
des champs de vecteurs antisymétriques
Cette propriété d’équiprojectivité entraîne l’existence d’un vecteur  tel que