coursMPSI-algebre

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2020/2021
Cours de mathématiques
Partie III – Algèbre
MPSI 4
Alain TROESCH
Version du:
24 janvier 2021

Table des matières
18 Fang cheng, ou l’élimination de Gauss-Jordan... 7
I Position du problème et reformulation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.2 Rappels sur les matrices et transcription matricielle du système . . . . . . . . . . . 9
I.3 Structure de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II Échelonnement d’une matrice par la méthode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.1 Opérations sur les lignes d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.2 Échelonnement de la matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
III Résolution d’un système échelonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III.1 Inconnues principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III.2 Recherche d’une solution particulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III.3 Recherche de la solution générale de l’équation homogène associée . . . . . . . . . 15
19 Structures algébriques 17
I Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.2 Propriétés d’une loi de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.3 Ensembles munis de plusieurs lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I.4 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.2 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II.3 Catégories (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
III Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
III.1 Axiomatique de la structure groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
III.2 Exemples importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
III.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
III.4 Sous-groupes engendrés par une partie, sous-groupes monogènes . . . . . . . . . . 33
III.5 Sous-groupes de Zet R................................. 34
III.6 Congruences modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
III.7 Les groupes Z/nZ, groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
IV Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
IV.1 Axiomatiques de la structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
IV.2 Sous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
IV.3 Calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Table des matières
IV.4 Éléments inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
IV.5 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
IV.6 Idéaux d’un anneau (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
20 Groupes symétriques 49
I Notations et cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
II Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
III Décomposition cyclique d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
IV Cycles et signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
21 Arithmétique des entiers 59
I Divisibilité, nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
I.1 Notion de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
I.2 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
I.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
II PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
II.1 PGCD et PPCM d’un couple d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
II.2 Identité de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
II.3 PGCD et PPCM d’une famille finie d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
III Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
III.1 Couple d’entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
III.2 Famille finie d’entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III.3 Fonction indicatrice d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
IV Décomposition primaire d’un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
IV.1 Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
IV.2 Valuations p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
IV.3 PGCD et PPCM vus sous l’angle de la décomposition primaire . . . . . . . . . . . 76
V Théorème des restes chinois (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
V.1 Cas de modulo premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
V.2 Résolution d’un système quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
22 Polynômes et fractions rationnelles 79
I Polynômes à coefficients dans un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
I.1 Polynômes formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
I.2 Opérations arithmétiques sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
I.3 Indéterminée formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
I.4 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
I.5 Degré et valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
II Arithmétique dans K[X]..................................... 86
II.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
II.2 Idéaux de K[X]...................................... 87
II.3 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
II.4 PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
II.5 Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
II.6 Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
III Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
III.1 Spécialisation, évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
III.2 Racines et multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
III.3 Majoration du nombre de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
III.4 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
III.5 Polynômes scindés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
IV Polynômes irréductibles dans C[X]et R[X].......................... 99

Table des matières 3
IV.1 Factorisations dans C[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
IV.2 Facteurs irréductibles dans R[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
V Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
V.1 Définition des fractions rationnelles formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
V.2 Degré, racines, pôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
V.3 Décomposition en éléments simples sur un corps quelconque . . . . . . . . . . . . . 104
V.4 Décomposition en éléments simples dans C(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
V.5 Décomposition en éléments simples dans R[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
VI Primitivation des fractions rationnelles réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
23 Espaces vectoriels 109
I Notion d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
I.2 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
I.3 Un exemple important : espace de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
I.4 Produits d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
I.5 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
I.6 Intersections et unions de sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
I.7 Sous-espace vectoriel engendré par un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
I.8 Sommes de sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
I.9 Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
II Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
II.1 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
II.2 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
II.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
III Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
III.1 Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
III.2 Dimension, liberté et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
III.3 Dimension de sous-espaces et de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
24 Applications linéaires 131
I Généralités sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
I.1 Définitions et propriétés de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
I.2 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
I.3 Endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
I.4 Automorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
II Projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
III Applications linéaires et familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
III.1 Détermination d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
III.2 Caractérisations de l’injectivité et de la surjectivité par l’image de bases . . . . . . 143
IV Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
IV.1 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
IV.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
V Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
V.1 Formes linéaires, espace dual, hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
25 Matrices 149
I Matrice d’une application linéaire et opérations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
I.1 L’ensemble des matrices de type (n, p). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
I.2 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
I.3 Structure d’espace vectoriel de Mn,p(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
I.4 Définition du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154