cours flot

Chapitre 5: flot d’une ´ equation diff´ erentielle ordinaire
Philippe Chartier
23 octobre 2014
1 D´
efinition du flot et propri´ et´ es ´ el´ ementaires
Dans ce chapitre, Dd´esigne un ouvert connexe de Rd. On consid`ere le probl`eme de Cauchy sous
forme autonome :
˙y(t) = f(y(t))
y(t0) = y0,(1)
o`u fest une fonction d´efinie sur Det (t0, y0)un point de R×D. On suppose en outre que fest
continue et localement Lipschitzienne, de sorte que pour tout (t0, y0)∈R×D, le syst`eme (1) admet
une solution maximale unique sur un intervalle ouvert J(t0, y0)⊂R. Alors, l’application
(t, t0, y0)7→ y(t;t0, y0)
qui associe la valeur en tde la solution de (1) est bien d´efinie sur l’ouvert
Ω = {(t, t0, y0)∈R×R×D;t∈J(t0, y0)}.
On note en outre
Ω0={(t, y0)∈R×D;t∈J(0, y0)}
D´ efinition 1.1 On appelle flot de l’´ equation diff´ erentielle (1) l’application :
Ω0→Rd
(t, y0)7→ ϕt(y0) = y(t; 0, y0)
Il est clair que ϕt(y0)satisfait l’´equation suivante :
d
dt ϕt(y0) = f(ϕt(y0))
ϕ0(y0) = y0
,(2)
et qu’on a en outre, pour tout (t, t0, y0)∈Ω,(t−t0, y0)∈Ω0et y(t;t0, y0) = ϕt−t0(y0), ce qui justifie
la d´efinition de ϕtcomme une application ind´ependante de t0.
1

Remarque 1.2 On peut aussi d´ efinir le flot d’un syst` eme non-autonome, mais on rappelle que tout
syst` eme non-autonome peut se r´ e´ ecrire comme un syst` eme autonome par l’adjonction de la variable
t. L’hypoth` ese d’autonomie ne constitue donc pas une restriction.
Proposition 1.3 L’application (t, y)7→ ϕt(y)de Ω0dans Rdest continue. En particulier, pour tout
(t, y)∈Ω0, il existe un voisinage Vde ytel que l’application ϕt(·)soit d´ efinie et continue sur V.
Proposition 1.4 On suppose que D=Rdet que fest C1et globalement Lipschitzienne. Alors le
flot est d´ efini sur tout R×Rd(c’est-` a-dire que Ω0=R×Rd), et l’application
R→Diff(Rd)
t7→ ϕt(·)
est un homomorphisme du groupe (R,+) dans le groupe (Diff(Rd),◦), o` u Diff(Rd)est l’ensemble des
diff´ eomorphismes de Rddans lui-mˆ eme.
Preuve. Pour tout (s, t)∈R2, on a ϕs◦ϕt=ϕt◦ϕs=ϕs+t, en vertu de l’unicit´e de la solution
de (1) (Theor`eme de Cauchy-Lipschitz). En cons´equence ϕtest une bijection, (ϕt)−1=ϕ−tet son
inverse est continue. En anticipant sur le paragraphe suivant, on a en outre que ϕtest continˆument
diff´erentiable d’inverse continˆument diff´erentiable.
2 Diff´ erentiabilit´ e par rapport ` a la condition initiale
Dans cette partie, nous nous int´eressons `a la d´ependance de la solution en la condition initiale, et
plus pr´ecis´ement `a la
diff´erentiabilt´e du flot ϕt(y)par rapport `a la variable y. En admettant provisoi-
rement que cette diff´erentiabilit´e est assur´ee et que les d´erivations par rapport `a tet ycommutent, on
obtient, en d´erivant l’´equation diff´erentielle satisfaite par ϕt:
∂
∂y0
∂
∂tϕt(y0) = ∂ ∂y0
(f(ϕt(y0))) = ∂f
∂y (ϕt(y0)) ∂ ∂y0
ϕt(y0),
c’est-`a-dire encore d
dt ∂ϕt ∂y0
(y0)=∂f
∂y (ϕt(y0))∂ϕt ∂y0
(y0).
En posant Ψt=∂ϕt
∂y0(y0), il apparaˆıt que Ψtest solution de l’´equation diff´erentielle matricielle
˙
Ψt=∂f
∂y (ϕt(y0)) ·Ψt
Ψ0=Id
,(3)
dite ´ equation variationnelle associ´ee `a (1). Il s’agit d’un syst`eme lin´eaire du type
˙
Y(t) = A(t, y0)Y(t)
2

o`u A(t, y0) = ∂f
∂y (ϕt(y0)) ne d´epend pas seulement du temps tmais aussi d’un “param`etre” y0. La
r´esolvante exhibe donc elle-mˆeme une d´ependance en y0, mais aucune en t0(seul t−t0compte), et
on la note pour cette raison S(t;y0). D’apr`es la discussion pr´ec´edente, on a alors
S(t;y0) = ∂ϕt
∂y0
(y0).
Nous allons maintenant justifier rigoureusement cette ´egalit´e dans la preuve du th´eor`eme suivant :
Th´ eor` eme 2.1 Soit fune fonction de Ddans Rdcontinue et localement Lipschitzienne, telle que
∂f
∂y (y)existe et soit continue sur D. Alors, le flot de (1) est une application continˆ
ument diff´ erentiable
par rapport ` ayet sa d´ eriv´ ee Ψt(y0) = ∂ϕt
∂y0(y0)v´
erifie l’´ equation variationelle associ´ ee ` a (1) :
(˙
Ψt(y0) = ∂f
∂y (ϕt(y0))Ψt(y0)
˙
Ψ0(y0) = Id
(4)
Preuve. Dans un premier temps, nous allons montrer que ∂ϕt
∂y0(y0)existe pour tout (t, y0)∈Ω0: pour
ce faire, il suffit d’´etablir, pour (t, y0)fix´e, qu’il existe une fonction ǫ(·)de R+dans R+et un rayon
r > 0tels que
∀∆y0∈Br(0),kϕt(y0+ ∆y0)−ϕt(y0)−S(t;y0)∆y0k=k∆y0kǫ(k∆y0k)(5)
avec
lim
k∆y0k→0ǫ(k∆y0k) = 0.
Pour s∈[0, t], on d´efinit donc z(s) = ϕs(y0) + S(s;y0)∆y0:z(·)n’est pas solution du syst`eme
diff´erentiel (1), mais peut-ˆetre vue comme une solution “approch´ee”
˙z(s) = f(z(s)) −δ(s)
z(0) = y0+ ∆y0,
avec
δ(s) = fϕs(y0) + S(s;y0)∆y0−f(ϕs(y0)) −∂f
∂y (ϕs(y0))S(s;y0)∆y0.
La r´esolvante S(s;y0)´etant continue en la variable s∈[0, t], elle est born´ee par une constante M > 0,
de sorte que si r≤ρ/M, la fonction z(s)ne sort pas du cylindre compact
K={y∈Rd;∃s∈[0, t],ky−ϕs(y0)k ≤ ρ}
qui est lui-mˆeme contenu dans Ω0pour ρsuffisamment petit (l’intervalle [0, t]est en effet compact).
3

ρ
ρ
ϕs(y0)
y0
K
L’id´ee principale de la preuve est d’appliquer le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction
G(∆z) = f(z+ ∆z)−f(z)−f′(z)∆z
c’est-`a-dire
kG(∆z)−G(0)k ≤ sup
0≤µ≤1
kG′(µ∆z)kk∆zk
puis d’utiliser l’uniforme continuit´e de f′(z)sur le compact K. Il vient alors
sup
0≤µ≤1
kG′(µ∆z)k= sup
0≤µ≤1
kf′(z+µ∆z)−f′(z)k
=β(k∆zk)
o`u β(k∆zk)est une fonction qui peut ˆetre choisie monotone en escalier, ind´ependante de z, et qui
tend vers 0lorsque k∆zktend vers 0. Finalement, f´etant Lipschitzienne (au moins localement et
donc sur K) de constante de Lipschitz L, on a d’apr`es le lemme de Gronwall :
kz(s)−ϕs(y0+ ∆y0)k ≤ βMk∆y0kMk∆y0keLt −1
L
ce qui prouve la validit´e de (5) avec ǫ(x) = β(Mx)MeLt−1
L.
Il reste alors `a montrer que S(t;y0)est continue par rapport `a (t, y0)1. Pour (t, y0)∈Ω0, soit Dun
voisinage compact de y0tel que [0, t]× D ⊂ Ω0. On d´efinit
L= sup
s∈[0,t],y∈D
kf′(ϕs(y))k.
Alors, pour tout ˜y0∈ D, on a
˙
S(s; ˜y0)−˙ S(s;y0) = f′(ϕs(˜y0)) ·S(s; ˜y0)−S(s;y0)+ ∆(s)
o`u
∆(s) = f′(ϕs(y0)) −f′(ϕs(˜y0))·S(s;y0)
1. On ne peut pas conclure directement car y0n’est pas une valeur initiale pour S(s;y0)mais un param`etre : le
second membre du syst`eme obtenu par l’adjonction de l’´equation ˙y=f(y)`a l’´equation variationnelle n’est donc pas
Lipschitzien, sauf `a supposer que fest de classe C2.
4

de sorte que si sups∈[0,t]k∆(s)k ≤ δ, alors (d’apr`es le th´eor`eme de Gronwall)
sup
s∈[0,t]
S(s; ˜y0)−S(s;y0) ≤δ(etL−1)
L.
Par composition, f′(ϕs(y0)) est continue en y0et on peut donc conclure `a la continuit´e de S(t;y0)par
rapport `a y0, puis par rapport `a (t, y0).
Th´ eor` eme 2.2 Si fest de classe Cksur D, alors (t, y)7→ ϕt(y)est ´ egalement de classe Cksur Ω0.
Preuve. Par r´ecurrence.
3 Propri´ et´ es g´ eom´ etriques du flot
Dans cette partie, nous ´enonc¸ons quelques propri´et´es g´eom´etriques du flot : il s’agit de r´esultats
de conservation de quantit´es dont l’interpr´etation physique est pertinente dans de nombreuses appli-
cations.
3.1 Conservation du volume
Suposons que f, de classe C1, soit de divergence nulle, c’est-`a-dire que
∀y∈D, div (f)(y) = Tr∂f
∂y (y)=
d
X
i=1
∂fi
∂yi
(y) = 0
Consid´erons alors un ensemble mesurable Ade Rdpour la mesure dy et
Vol(A) = ZA dy
son volume. Le flot ϕt(·)consid´er´e comme application de Rddans Rdenvoie chaque point yde A
sur un point ϕt(y)de ϕt(A)et il est naturel de consid´erer le volume de l’ensemble image ϕt(A), `a
savoir : Zϕt(A)
dy
On a alors :
Th´ eor` eme 3.1 Pour un syst` eme diff´ erentiel de la forme ˙y=f(y), avec fde classe C1sur Dtelle
que divf≡0, alors
Vol(ϕt(A)) = Vol(A)
pour tout ensemble mesurable A⊂Rd.
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