Cours d'Algèbre L2 : Diagonalisation et Applications

Université Cheikh Anta Diop de Dakar
Faculté des Sciences et Techniques
(UCAD-FST)
Département de Mathématiques et Informatique
(DMI)
COURS D’ALGÈBRE L2
Chargé du cours : Pr Amadou Lamine FALL
Assistants TD : Dr Moussa SALL
Dr Mame Abdou DIAW
Dr Gilbert NOLAN
Dr Cheikh Tidiane GUEYE
Dr Andre DIABANG

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Table des matières
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4TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1
Diagonalisation et Applications
Dans tout le cours , Esera un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K.
1.1 Diagonalisation d’endomorphisme
1.1.1 Valeurs propres et Sous espaces propres
Définition : Soient f∈ L (E)et u∈E
λ∈Kest une valeur propre de fs’il existe u6= 0 tel que f(u) = λu.
Définition : Soient f∈ L (E)et u∈Eet λ∈Kune valeur propre de f.
uest un vecteur propre de fassocié à la valeur propre λsi u6= 0 et f(u) = λu.
Remarque : f∈ L (E)et λ∈Kune valeur propre de f, il existe u∈Enon nul tel que
f(u) = λu, c’est à dire (f−λidE)(u)=0. On en déduit que si λ∈Kune valeur
propre de falors l’endomorphisme (f−λidE)n’est pas bijectif.
Soit A= matB(f)la matrice frelativement à une Bune base de E,λ∈Kune
valeur propre de fsi et seulement si det(A−λI)=0où Iest la matrice unité.
Définition : f∈ L (E)et λune valeur propre de f.
Le sous espace propre de fassocié à la valeur propre λest
Eλ={u∈E / f (u) = λu}= ker (f−λidE).
Le sous espace propre de f,Eλest constitué du vecteur nul et de l’ensemble des
vecteurs propres de fassocié à la valeur propre λ.
Définition : f∈ L (E),Bune base de Eet A= matB(f)la matrice frelativement à
la base B, le polynôme Pf(X) = det(A−XI)est appelé polynôme caractéristique
de f.
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