Cours Ondulatoire

Cours d'optique ondulatoire
H
C
O
D
A
MP, PSI
Hassan ADOCH
Professeur agrégé au Lycée Ibn Timiya
Classes préparatoires aux grandes écoles, Marrakech
TABLE DES MATIÈRES
H
C
O
D
A
1 Polarisation des ondes lumineuses
1
2
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Présentation . . . . . . . . . . . . . .
1.2
États de polarisation . . . . . . . . .
Etude pratique de la polarisation . . . . . .
2.1
Polarisation aléatoire . . . . . . . . .
2.2
Polariseur-Analyseur . . . . . . . . .
2.3
Lame biréfringente . . . . . . . . . .
2.4
Polarisation et analyse d'une lumière
2 Modèle scalaire des ondes lumineuses
1
2
Lumière émission et réception . .
1.1
Lumière . . . . . . . . . .
1.2
Sources de lumière . . . .
1.3
Récepteur de lumière . . .
Théorème de Malus . . . . . . . .
2.1
Vibration lumineuse . . .
2.2
Théorème de Malus-Dupin
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3 Interférences des ondes lumineuses
1
2
3
4
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Interférence à deux ondes . . . . . . . . . . . . .
1.1
Présentation . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Conditions d'interférence . . . . . . . . .
Étude de la gure d'interférence . . . . . . . . .
2.1
Figure d'interférence . . . . . . . . . . .
2.2
Calcul de diérence de marche . . . . . .
2.3
Localisation de la gure d'interférence .
Systèmes interférentielles . . . . . . . . . . . . .
3.1
Présentation . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Trous de Young . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Miroir de Lloyd . . . . . . . . . . . . . .
Eet de la cohérence sur la gure d'interférence
4.1
Cohérence temporelle . . . . . . . . . . .
i
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1
1
1
2
3
3
3
4
5
7
. 7
. 7
. 7
. 9
. 10
. 10
. 10
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12
12
12
12
14
14
15
17
17
17
18
19
20
20
TABLE DES MATIÈRES
4.2
Cohérence spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Diraction des ondes lumineuses (MP/PSI)
1
2
3
Phénomène de diraction . . . . . . . .
1.1
Présentation . . . . . . . . . . .
1.2
Principe de Huygens-Fresnel . .
1.3
Caractérisation d'une pupille . .
Exemples d'application . . . . . . . . .
2.1
Cas d'une fente rectangulaire .
2.2
Cas d'une fente ne . . . . . . .
2.3
Fentes de Young . . . . . . . .
2.4
Cas d'une fente circulaire (MP)
Diraction par un réseau plan . . . . .
3.1
Présentation . . . . . . . . . . .
3.2
Formule de réseau . . . . . . . .
3.3
Interférence à N ondes (MP) . .
H.ADOCH
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H
C
O
D
A
ii / 36
24
24
24
25
26
26
26
28
29
31
32
32
33
34
[email protected]
CHAPTER 1
POLARISATION DES ONDES LUMINEUSES
H
C
O
D
A
1 Généralités
1.1 Présentation
−
→
− →
− →
→
−
La lumière est une onde électromagnétique qu'on peut décrire par le trièdre directe ( E , B , k ) avec k est
→
−
le vecteur d'onde. La polarisation c'est l'étude de la variation de la direction de champ électrique E d'une
lumière dans un plan d'onde.
→
−
On dit alors qu'une lumière est polarisée si l'extimité de champ électrique E décrit une courbe invariante
dans le temps.
Dans ce chapitre, on se limite à l'étude d'une OPPM (onde plane progressive monochromatique). On
−
considérons que la direction de propagation est →
e z . Alors le champ électrique associé à la lumière étudiée
s'écrit dans le cas général sous la forme :
→
−
E (M ) =

 E0x cos (ωt − kz)

E0y cos (ωt − kz + ϕ)
−
Suivant →
ex
−
Suivant →
ey
ϕ est la déphasage entre les deux composantes.
Remarques :
• On dénit la polarisation par le champ électrique car la connaissance de celui-ci permet de déterminer le
champ magnétique (par les équations de Maxwell). D'autre part, les récepteurs de lumière sont généralement
sensibles au champ électrique.
• Dans certains ouvrages, on trouve l'écriture :
→
−
E (M ) =

 Ex = E0x cos (ωt − kz + ϕx )
−
Suivant →
ex
Ey = E0y cos (ωt − kz + ϕy )
−
Suivant →
ey

Cette écriture est équivalente à l'écriture précédente, il sut de redénir l'origine des temps (t0 = ωt + ϕx ).
Ce qui donne :
ϕ = ϕy − ϕx
1
CHAPTER 1.
POLARISATION DES ONDES LUMINEUSES
1.2 États de polarisation
1.2.1 Polarisation rectiligne
On dit que la polarisation est rectiligne si l'extrémité du champ électrique décrit un segment dans le plan
d'onde. Ceci correspond à deux cas à savoir ϕ = 0 ou ϕ = π :
E0y
Ey
=
Ex
E0x
ou
Ey
E0y
=−
Ex
E0x
En représentant ceci dans un schéma, on obtient les deux types de polarisation rectiligne qu'on nomme
classiquement polarisation rectiligne I et polarisation rectiligne II.
H
C
O
D
A
Y
Y
X
X
Polarisation rectiligne I Polarisation rectiligne II
1.2.2 Polarisation circulaire
Une lumière est polarisée circulairement si l'extrémité du champ électrique décrit un circle. L'équation générale
de ce circle est alors :
Ex2 + Ey2 = R2
Donc on doit avoir :
Ex = R cos(α) et Ey = R sin(α)
π
Pour ce faire, il sut que ϕ = ± et E0x = E0y = E0 ce qui donne :
2
Ex2 + Ey2 = E02
Le champ électrique décrit alors un circle de rayon E0 qui est l'amplitude de ce champ. La direction de
rotation de champ électrique au cours du temps permet de dénir une polarisation gauche et une polarisation
droite. En eet, une lumière polarisée circulairement gauche est une lumière dont le champ électrique tourne
dans le sens trigonométrique pour un observateur qui regarde l'onde venir vers lui. Dans le cas inverse (champ
tournant dans le sens horaire) la lumière est polarisée circulairement droite.
Y
Y
X
X
Polarisation circulaire gauche
H.ADOCH
2 / 36
Polarisation circulaire droite
[email protected]
CHAPTER 1.
POLARISATION DES ONDES LUMINEUSES
Remarque : On peut déterminer le sens du parcours (droite ou gauche) à partir du champ électrique,
en calculant le produit vectoriel :
→
−
→
−
→
−
d E (M, t)
E (M, t) ∧
=αk
dt
La polarisation est gauche lorsque le coecient α est négatif. Sinon, la polarisation est droite.
1.2.3 Polarisation elliptique
Cette polarisation correspond au cas général d'une lumière plane polarisée. Elle généralise les états précédents
π
mais on obtient une ellipse lorsque ϕ 6= 0, ϕ 6= π , ϕ 6= ± . De façon similaire à la polarisation circulaire, on dit
2
qu'une lumière polarisée elliptiquement est gauche si le champ électrique tourne dans le sens trigonométrique
pour un observateur qui regarde l'onde venir vers lui et inversement pour une lumière polarisée droite.
H
C
O
D
A
Y
Y
X
X
Polarisation elliptique gauche
Polarisation elliptique droite
2 Etude pratique de la polarisation
2.1 Polarisation aléatoire
La lumière naturelle (soleil, lampe à incandescence...etc) est généralement non polarisée, on dit que sa
polarisation est aléatoire. Cette lumière peut être modélisée par une onde électromagnétique plane progressive
monochromatique dont le champ électrique peut s'écrire sous la forme :
→
−
E (M ) =

 E0x cos (ωt − kz)

E0y cos (ωt − kz + ϕal )
−
Suivant →
ex
−
Suivant →
ey
Avec ϕal est un déphasage aléatoire (dépend du temps alors). Cette phase aléatoire peut prendre n'importe
quelle valeur ce qui signie que l'extrémité du champ électrique décrit une courbe variable au cours du temps
d'où l'origine de l'appellation lumière non polarisée.
2.2 Polariseur-Analyseur
Un polariseur est un instrument optique dichroïque c'est-à-dire qu'il absorbe sélectivement le champ électrique
qui lui traverse le long d'une direction. Un polariseur permet alors de ltrer une lumière quelconque en
sélectionnant un état de polarisation généralement rectiligne, la direction de cette polarisation est généralement
mentionner par un axe sur le polariseur.
H.ADOCH
3 / 36
[email protected]
CHAPTER 1.
Lumière non polarisée
POLARISATION DES ONDES LUMINEUSES
Lumière polarisée
Polariseur
Un tel instrument permet aussi d'analyser une lumière pour savoir son état de polarisation. Logiquement,
l'intensité de la lumière à la sortie de chaque polariseur est plus faible que l'intensité de la lumière à son entré.
La relation entre les deux c'est la loi de Malus. Pour l'établir considérons le montage suivant :
H
C
O
D
A
I0
Lumière non polarisée
Iav
Polariseur
θ
Iav
Lumière
polarisée
I
Analyseur
Lumière
polarisée
Le polariseur initial ltre la lumière incidente non polarisée et fait sortir une lumière polarisée rectilignement
selon l'axe de ce polariseur. Le deuxième polariseur qui joue le rôle d'analyseur projette le champ électrique
de cette lumière (polarisée) et fait sortir une lumière polarisée rectilignement aussi mais dans la direction
de l'axe de l'analyseur (inclinée par θ par rapport au premier état rectiligne). La relation entre le champ
électrique nal et le champ électrique avant l'analyseur est donné par :
→
−
→
−
E f = cos(θ) E av
L'intensité lumineuse est proportionnelle au carré de champ électrique donc :
I = Iav cos2 (θ)
π
C'est la loi de Malus. On remarque que pour θ = l'intensité à la sortie est nulle I = 0. Ce qui constitue
2
une méthode de vérication qu'une lumière est polarisée rectilignement.
2.3 Lame biréfringente
Une lame est un parallélépipède transparent caractérisée par un indice optique n. On dit que la lame est
biréfringente si elle est caractérisée par deux indices chacun selon un axe nx et ny c'est alors un milieu
anisotrope (l'indice dépend de la direction). Lorsque la lumière traverse une telle lame, cette dernière introduit
→
−
un déphasage entre les deux composantes de champ électrique E associée à la lumière. Ce déphasage est
donné par :
∆ϕ =
2π
(ny − nx )e
λ0
e est l'épaisseur de la lame et λ0 est la longueur d'onde de la lumière dans le vide.
c
c
Si nx > ny l'axe OX est dit axe lent et OY axe rapide car vx =
< vy = .
nx
ny
H.ADOCH
4 / 36
[email protected]
CHAPTER 1.
POLARISATION DES ONDES LUMINEUSES
Le champ à la sortie s'écrit alors :
→
−
E (M ) =
−
Suivant →
ex

 E0x cos (ωt − kz)

E0y cos (ωt − kz + ϕ + ∆ϕ)
−
Suivant →
ey
On peut écrire aussi ce champ sous la forme :

2π



 E0x cos ωt − kz + λ0 nx e
→
−
E (M ) =

2π


ny e
 E0y cos ωt − kz + ϕ +
λ0
−
Suivant →
ex
H
C
O
D
A
−
Suivant →
ey
Avec ϕ est déphasage entre les composantes du champ avant le passage par la lame. L'intérêt d'une telle lame
consiste à construire et analyser une lumière polarisée.
En pratique, on trouve deux types de lame à savoir :
π
2π λ0
. = .
λ0 4
2
2π λ
dont le déphasage introduit est donné par ∆ϕ = . 0 = π .
λ0 2
•
Lames quart d'onde : dont le déphasage introduit est donné par ∆ϕ =
•
Lames demi-onde :
2.4 Polarisation et analyse d'une lumière
2.4.1 Polarisation d'une lumière naturelle
A partir d'un lumière non-polarisée, on peut construire une lumière polarisée en utilisant une association de
polariseurs et lames biréfringentes selon la polarisation voulue. En eet, pour obtenir une lumière :
• Polarisée rectilignement selon une direction donnée : il sut d'utiliser un polariseur dont l'axe
correspond à la direction de polarisation qu'on veut.
• Polarisée elliptiquement : on utilise un polariseur qui rend la lumière non-polarisée une lumière polarisée
rectiligne dont le champ électrique s'écrit par exemple sous la forme :
→
−
E (M ) =

 E0x cos (ωt − kz)
−
Suivant →
ex
E0y cos (ωt − kz)
−
Suivant →
ey

π
Puis on ajoute une lame quart d'onde qui introduit un déphasage de alors le champ électrique à la sortie
2
de la lame est :


 E0x cos (ωt − kz)
→
−
E (M ) =

 E0y cos ωt − kz + π = E0y sin (ωt − kz)
2
Alors cette lumière est alors polarisée elliptiquement car les composantes de champ vérient l'équation d'une
ellipse :
Ey2
Ex2
+
=1
2
2
E0x
E0y
• Polarisée circulairement : C'est le même montage d'une précédent (qui permet d'obtenir une polarisation
elliptique) il sut juste de choisir l'axe de polariseur de telle sorte qu'il fait 45o avec l'axe OX ce qui permet
d'avoir E0x = E0y et donc :
Ex2 + Ey2 = E02
H.ADOCH
5 / 36
[email protected]
CHAPTER 1.
POLARISATION DES ONDES LUMINEUSES
2.4.2 Analyse d'une lumière polarisée
Maintenant, on possède une lumière dont l'état de polarisation est inconnu :
H
C
O
D
A
H.ADOCH
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CHAPTER 2
MODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES
H
C
O
D
A
1 Lumière émission et réception
1.1 Lumière
En optique, la lumière est une onde électromagnétique (cf. cours des ondes) c'est-à-dire qu'elle résulte d'une
→
−
→
−
propagation d'un champ électrique E et d'un champ magnétique B . Cette propagation est régit par une
équation d'ondes de type :
→
−
→
−
1 ∂2 S
→
−
∆S − 2 2 = 0
c ∂t
→
−
→
−
→
−
Avec S représente l'un des champs ( E ou B ). Alors que c est la célérité de cette onde dans le milieu de
propagation.
Généralement en optique, on étudie des ondes non polarisées ou des ondes dont les directions de polarisation
sont voisines. Dans ce cadre, on utilise le modèle scalaire de la lumière. Ce modèle consiste à décrire
la lumière par une fonction scalaire notée s(t, M ) appelée vibration lumineuse. Cette fonction représente
→
−
généralement le module du champ électrique E associé à l'onde. La vibration lumineuse se propage alors
selon la direction des rayons lumineux.
1.2 Sources de lumière
1.2.1 Présentation
Une source lumineuse est un système capable d'émettre de la lumière. Les sources de lumière se divisent en
deux catégories à savoir :
• Les sources primaires : ce sont des systèmes qui produisent de l'énergie lumineuse, et donc ils sont
visibles dans l'obscurité. Exemples : le soleil, Laser, lampes...etc.
• Les sources secondaires : ce sont des objets qui diusent une partie de la lumière qu'ils reçoivent. Une
source secondaire n'est donc pas visible dans l'obscurité. Exemples : la Lune, planètes, le catadioptre d'un
vélo...etc.
Il existe diverses possibilités pour produire de la lumière. Les sources lumineuses sont classées selon le
principe d'émission de lumière en :
• Sources thermiques : qui contient des corps chaués (par électricité ou réactions nucléaires...etc)
7
CHAPTER 2.
MODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES
généralement à des grandes températures ce qui permet de générer une lumière dite rayonnement thermique
(cf. Thermodyamique II ). Exemples : feu, étoiles, lampes à incandescence.
• Sources spectrales : dont la lumière émise dépend de la structure de l'objet émetteur. Exemples : Lampes
spectrale, Laser, Diode électroluminescentes...etc.
Chaque onde électromagnétique est caractérisée par une longueur d'onde λ. Une telle onde est dite onde
lumineuse si cette longueur d'onde appartient au domaine visible [0, 4 nm; 0, 8 nm]. Une lumière peut alors
contenir une ou plusieurs longueurs d'onde. En eet, toute lumière polychromatique peut être décomposée
en ondes électromagnétiques monochromatiques à l'aide de l'analyse de Fourier. Cette décomposition est dite
spectre. Ce spectre peut être discret ou continu selon la source de lumière.
H
C
O
D
A
1.2.2 Intensité de lumière et densité spectrale
Une source lumineuse émit une lumière qui est une onde électromagnétique donc elle est caractérisée par un
→
− →
−
champ électromagnétique ( E , B ). La puissance rayonnée associée à cette onde est quantiée par le vecteur
de Poynting (dans le vide) :
→
− →
−
→
−
E∧B
Π =
µ0
Généralement en optique, on parle sur la notion de l'intensité lumineuse (ou l'éclairement) qui est dénie par
la relation :
→
−
I(M ) = A <
>
Π
A c'est une constante multiplicative. Généralement, on trouve que :
I(M ) = B < E 2 >
Avec E le champ électrique associé à l'onde et B c'est constante multiplicative.
D'autre part, on caractérise une source lumineuse par sa densité spectrale Iν (ou Iλ ) qui est dénie par
la relation :
dI
dν
Iν =
resp.
Iλ =
dI
dλ
Cette grandeur permet d'obtenir une représentation fréquentielle. On représente ci-dessous les trois prols
classiques modélisant une source quasi-monochromatique.
Iν
Iν
∆ν
Iν
∆ν
∆ν
ν
ν
ν
ν0
ν0
ν0
Prol rectangulaire
Prol gaussien
Prol lagrangien
L'intensité résultante émise par une source est alors :
ˆ
I=
H.ADOCH
Iν dν =
8 / 36
ˆ
Iλ dλ
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CHAPTER 2.
MODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES
Remarques :
• L'éclairement est proportionnelle à l'intensité lumineuse mais dans le cadre du programme on ne s'intéresse
pas à la relation entre eux.
• ∆ν est appelée largueur spectrale. Elle correspond
à l'intervalle des fréquences donc la densité spectrale est
√
supérieure ou égale à la densité maximale sur 2 :
∆ν
∆ν
, ν0 +
ν ∈ ν0 −
2
2
alors :
Iν,max
Iν (ν) ≥ √
2
• Pour des sources polychromatiques, on obtient une d'a
H
C
O
D
A
1.2.3 Notion de train d'onde
Une source lumineuse -même "monochromatique"- émet la lumière sous forme de paquets sinusoïdales de
phases diérentes chaque paquet est appelés trains d'onde dont longueur est notée lc . Cette distance c'est
ce qu'on appelle la longueur de cohérence temporelle de la source.
lc
X
lc
lc
Pour une lumière quasi-monochromatique de fréquence centrale ν0 et de largueur spectrale ∆ν , la longueur
de cohérence lc vérie :
τc .∆ν = 1 avec :
τc est appelée
lc = cτc
temps de cohérence temporelle.
Source
Longueur de cohérence
Laser HeN e
qlq m
Lampe spectrale
qlq mm
Lampe quartz-iode
qlq µm
1.3 Récepteur de lumière
1.3.1 Présentation
Pendant longtemps, le seul détecteur de lumière en optique a été l'÷il. Aujourd'hui, on trouve plusieurs types
de détecteurs de lumière. On mentionne ici quelques uns :
• La rétine de l'÷il : c'est une membrane qui tapisse le fond du globe oculaire. Elle contient des cellules (les
cônes et les bâtonnets) qui reçoivent et analysent les signaux lumineux. L'information est ensuite transmise
par le nerf optique au cerveau qui reconstitue l'image.
• La photorésistance : c'est un dipôle passifs, linéaire et symétrique, dont la conductance G augmente
presque proportionnellement avec l'éclairement auquel elle est exposée.
• La photodiode : c'est une diode dont la caractéristique courant-tension dépend de l'éclairement. Un
capteur CCD (Charge-Coupled Device) contient généralement une matrice de photodiode.
H.ADOCH
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CHAPTER 2.
MODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES
1.3.2 Caractéristiques d'un récepteur de lumière
On caractérise un photodétecteur par plusieurs propriétés, on mentionne ici :
• Domaine de réponse spectrale : c'est intervalle des longueurs d'onde de fonctionnement de détecteur.
• La sensibilité : C'est l'intervalle des puissances lumineuses dont l'instrument est capable de détecter de
la lumière.
• Temps de réponse : c'est la durée nécessaire pour que la réponse atteigne 63% de sa valeur maximale
lorsqu'on l'éclaire.
Répecteur
La rétine Photodiode Photorésistance
temps de réponse
0, 1
10 ns
0, 1 µs à 100 ms
H
C
O
D
A
2 Théorème de Malus
2.1 Vibration lumineuse
Considérons une source lumineuse S qui émet une lumière monochromatique de pulsation ω à un instant
t = 0, la vibration lumineuse associée à cette onde à un point M s'écrit alors :
s(M, t) = A(M ) cos(ω(t − τ (M )) + ϕs )
ϕs est la phase de cette à l'émission (c'est ce qu'on appelle la phase aléatoire) de l'onde alors que A(M )
c'est l'amplitude de l'onde en M et τ (M ) c'est la durée de propagation de l'onde de S à M . Cette durée peut
s'écrire sous la forme :
τ (M ) =
SM
SM
2π nSM
2π (SM )
= 2π
=
=
v
λω
λ0 ω
λ0 ω
Telle que v est la célérité de propagation de la vibration dans le milieu d'indice n. Alors que λ0 est la
longueur d'onde de la vibration dans le vide alors que (SM ) est le chemin optique de S à M . L'expression
de la vibration est alors :
2π
s(M, t) = A(M ) cos ωt −
(SM ) + ϕs = A(M ) cos (ωt + ϕ(M ))
λ0
ϕ(M ) est le déphasage entre la source S et le point M . Dans le cas général, le déphasage entre deux points
A et B est donnée par :
ˆ
2π
2π B
n(M )dl =
(AB)
ϕ(B) − ϕ(A) =
λ0 A
λ0
On ajoute π dans trois cas à savoir la réexion métallique, la réexion vitreuse et le passage par un
point de convergence.
2.2 Théorème de Malus-Dupin
On dénit une surface d'onde relative à une source S comme étant l'ensemble des points M dont la vibration
lumineuse est constante s(M, t) = cte. Or d'après le paragraphe précédent ceci correspond à une phase
constante ϕ(M ) = cte d'où l'appellation surface équiphase.
Le théorème de Malus-Dupin : Entre deux surfaces d'onde, le chemin optique est constante pour tous
les rayons lumineux issue de la même source (même λ0 ).
H.ADOCH
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CHAPTER 2.
MODÈLE SCALAIRE DES ONDES LUMINEUSES
Remarques :
• Ce théorème relie la notion de surface d'onde dénie en optique ondulatoire, et la notion de rayon lumineux
utilisée en optique géométrique.
• Pour une onde plane les surfaces d'onde sont des plans perpendiculaires à la direction de propagation, les
rayons lumineux sont alors parallèles entre eux et perpendiculaire aux plans d'onde.
• Pour une onde sphérique (onde émise par une source ponctuelle dans un milieu homogène), les surfaces
d'onde sont des sphères donc les rayons lumineux sont perpendiculaires à ces rayons.
• Dans le cadre des condition de Gauss, une lentille convergente permet de transformer une onde sphérique
en une onde plane en plaçant la source dans le plan focal de la lentille.
H
C
O
D
A
Rayon lumineux
Rayon lumineux
Surface d'onde
Surface d'onde
a.o
F
H.ADOCH
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CHAPTER 3
INTERFÉRENCES DES ONDES LUMINEUSES
H
C
O
D
A
1 Interférence à deux ondes
1.1 Présentation
Considérons deux sources lumineuses S1 et S2 qui produisent en un point M deux vibrations lumineuses telles
que :
2π
s1 (M, t) = A1 (M ) cos ω1 t −
(S1 M ) + ϕ1
λ0
2π
(S2 M ) + ϕ2
et s2 (M, t) = A2 (M ) cos ω2 t −
λ0
L'interférence est un phénomène qui résulte de la superposition de radiations lumineuses (sous certains
conditions) pour donner une répartition non homogène de la lumière. Historiquement, on le représente par
l'équation symbolique :
Lumière + Lumière = Obscurité
On se propose de déterminer l'expression de l'intensité de lumière résultante dans un écran dans les conditions
d'interférence qu'on précisera.
1.2 Conditions d'interférence
L'amplitude résultante en M est donnée alors par :
2π
2π
s(M, t) = A1 (M ) cos ω1 t −
(S1 M ) + ϕ1 + A2 (M ) cos ω2 t −
(S2 M ) + ϕ2
λ0
λ0
L'intensité lumineuse en M est alors :
I(M ) = s2 (M, t) = (s21 (M, t) + s22 (M, t) = s21 (M, t) + s22 (M, t) + 2 hs1 (M, t)s2 (M, t)i
Or hs21 (M, t)i = I1 (M ) est l'intensité lumineuse produite par S1 en M et hs22 (M, t)i = I2 (M ) est l'intensité
lumineuse produite par S2 en M . Ce qui donne :
I(M ) = I1 (M ) + I2 (M ) + 2 hs1 (M, t)s2 (M, t)i
On dite qu'on à une interférence si il existe des positions M où le terme hs1 (M, t)s2 (M, t)i est non-nul. Ce
terme est le terme d'interférence. Or :
2π
2π
2 hs1 (M, t)s2 (M, t)i = 2 A1 (M ) cos ω1 t −
(S1 M ) + ϕ1 A2 (M ) cos ω2 t −
(S2 M ) + ϕ2
λ0
λ0
12
CHAPTER 3.
INTERFÉRENCES DES ONDES LUMINEUSES
Ce qu'on peut écrire sous la forme :
2π
hs1 (M, t)s2 (M, t)i = A1 (M )A2 (M ) cos (ω1 + ω2 )t −
((S1 M ) + (S2 M )) + ϕ1 + ϕ2
λ0
2π
+ A1 (M )A2 (M ) cos (ω1 − ω2 )t −
((S1 M ) − (S2 M )) + ϕ1 − ϕ2
λ0
On remarque alors que :
2π
((S1 M ) + (S2 M )) + ϕ1 + ϕ2
=0
cos (ω1 + ω2 )t −
λ0
H
C
O
D
A
Alors le terme d'interférence devient :
2π
hs1 (M, t)s2 (M, t)i = A1 (M )A2 (M ) cos (ω1 − ω2 )t −
((S1 M ) − (S2 M )) + ϕ1 − ϕ2
λ0
Pour que ce terme soit non-null, la première condition c'est la condition de synchronisation c'est à dire
que ω1 = ω2 . Alors le terme devient :
2π
((S2 M ) − (S1 M )) + ϕ1 − ϕ2
2 hs1 (M, t)s2 (M, t)i = A1 (M )A2 (M ) cos
λ0
D'autre part, ϕ1 et ϕ2 sont les phases aléatoires des sources S1 et S2 . Ces phases changent aléatoirement avec
le temps donc pour avoir un terme d'interférence non null il faut que ∆ϕ0 = ϕ1 − ϕ2 = cte pendant τr le
temps de réponse de récepteur utilisé. C'est la condition de cohérence mutuelle des sources. Alors le
terme d'interférence dans ce cadre est :
2 hs1 (M, t)s2 (M, t)i = A1 (M )A2 (M ) cos
2π
((S2 M ) − (S1 M )) + ∆ϕ0
λ0
Ce terme est constante donc l'expression se simplie pour donner :
2 hs1 (M, t)s2 (M, t)i = A1 (M )A2 (M )cos
2π
((S2 M ) − (S1 M )) + ∆ϕ0
λ0
= A1 (M )A2 (M )cos
2π
δ + ∆ϕ0
λ0
δ est appelée diérence de marche ou diérence de chemin optique entre S2 M et S1 M . Or :
p
p
A1 (M ) = 2I1 (M ) et A2 (M ) = 2I2 (M )
Donc l'expression de l'intensité lumineuse en M s'écrit sous la forme :
p
I(M ) = I1 (M ) + I2 (M ) + 2 I1 (M )I2 (M ) cos
2π
δ + ∆ϕ0
λ0
C'est la formule d'interférence à deux ondes appelée aussi Formule de Fresnel.
Remarques :
• Le phénomène d'interférence est un phénomène caractérisant les ondes non seulement de lumière mais tout
les types des ondes (électromagnétiques, mécanique, de matière...etc).
2π
δ + ∆ϕ0 c'est le déphasage entre les deux ondes.
λ0
• En pratique, on utilise généralement, une seule source lumineuse S et un dispositif qui permet de construire
deux sources (secondaires) S1 et S2 . Dans un tel cas :
• On note ∆ϕ =
∆ϕ0 = ϕ1 − ϕ2 =
H.ADOCH
2π
2π
2π
(SS1 ) + ϕalea −
(SS2 ) − ϕalea =
((SS1 ) − (SS2 ))
λ0
λ0
λ0
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CHAPTER 3.
INTERFÉRENCES DES ONDES LUMINEUSES
ϕalea est la phase aléatoire au niveau de la source S . Ce qui permet d'écrire le déphase entre les deux ondes
sous la forme :
∆ϕ =
2π
δ
λ0
Tel que δ = (SM )2 − (SM )1 c'est la diérence de phase entre les deux trajets suivis par la lumière ((SS1 M )
et (SS2 M )).
• Généralement, l'un des rayons interférent subis une réexion lors de sa propagation. Dans un tel cas, on
ajoute un déphasage dite supplémentaire de π à la phase de ce rayon (ou ajouter une diérence de marche
λ0
δsup = ).
2
• On dit qu'une interférence est constructive en un point si I(M ) > I1 (M ) + I2 (M ) alors que c'est destructive
si I(M ) < I1 (M ) + I2 (M )
• Généralement, la propagation se fait dans un milieu homogène d'indice n (souvent l'air) donc δ = n(S2 M −
S1 M ).
• Généralement en pratique, l'écran de projection est loin par rapport à la distance entre les sources alors
:I1 (M ) = cte = I1 et I2 (M ) = cte0 = I2 .
• Une autre condition d'interférence très importante, résulte du fait que les sources utilisées ne sont pas
parfaitement monochromatiques mais possède une longueur de cohérence temporelle lc . Pour obtenir alors un
phénomène d'interférence il faut que la diérence de marche δ entre les rayons interférents soit inférieur à la
longueur de cohérence lc . C'est la condition de cohérence temporelle.
H
C
O
D
A
2 Étude de la gure d'interférence
2.1 Figure d'interférence
La gure d'interférence est constitué de l'ensemble de point M dont l'intensité lumineuse est donnée par :
I(M ) = I1 + I2 + 2
p
I1 I2 cos
2π
δ
λ0
On dénit le contraste (ou facteur de visibilité) d'une gure par :
√
Imax − Imin
2 I1 I2
C=V=
=
Imax + Imin
I1 + I2
Pour avoir un contraste maximal, il faut avoir I1 = I2 c'est-à-dire utiliser des sources de même intensité
lumineuse.
Dans la gure d'interférence, on trouve deux types de régions à savoir des régions brillants et des régions
sembles. On dénit l'ordre d'interférence par :
p=
∆ϕ
2π
en général, ceci correpond à :
Les régions brillantes sont caractérisées par cos
2π
δ
λ0
p=
δ
λ
= 1 ce qui correspond à un ordre d'interférence entier
p ∈ Z . Alors que si p est demi-entier alors la frange est semble.
Pour un milieu homogène (généralement assimilable au vide n ' 1), la relation devient :
S2 M − S1 M = pλ
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CHAPTER 3.
INTERFÉRENCES DES ONDES LUMINEUSES
Pour chaque valeur de p, on obtient une hyperboloïde dont l'axe est la droite S1 S2 . La projection de ces
hyperboloïde sur un plan donne la gure ci-dessous
S1
H
C
O
D
A
S2
On donc deux positions intéressantes pour l'écran d'observation à savoir :
• Un écran parallèle à l'axe S1 S2 ce qui donne des segments brillants sur l'écran c'est les franges d'interférence.
• Un écran perpendiculaire sur l'axe S1 S2 ce qui donne des cercles concentriques c'est ce qu'on appelle des
anneaux d'interférence.
2.2 Calcul de diérence de marche
Dans cette partie, on se propose d'étudier les deux situations obtenues précédemment ce qui permet d'avoir
plus d'information sur la distribution de lumière sur l'écran. On commence par la première position de l'écran
sachant que les deux sources S1 et S2 sont synchrones et cohérentes entre elles :
X
S1
M
a
Y
S2
D
Ecran
Pour déterminer explicitement l'expression de l'intensité I(M ) en M , il sut de déterminer l'expression de
la diérence de marche entre le rayon S2 M et S1 M (on considérons que le milieu est l'air). Alors :
δ = S2 M − S1 M
Pour ce faire, on a plusieurs méthodes, on représente ici la méthode directe qui utilise les coordonnées. On a
alors :
r
r
S1 M =
H.ADOCH
a
(x − )2 + D2
2
et S2 M =
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a
(x + )2 + D2
2
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CHAPTER 3.
INTERFÉRENCES DES ONDES LUMINEUSES
Généralement en pratique D >> a et x >> D alors on peut eectuer un développement limité ce qui donne :

 21



a 2
a 2
r
x
−
x
−
a
a
1
1


2  + 1
2 
(x − )2
S1 M = (x − )2 + D2 = D = 
 ' D 1 + 
=D+
2
D
2
D
2D
2
De même on trouve que :
S2 M ' D +
1
a
(x + )2
2D
2
Alors la diérence de marche est :
H
C
O
D
A
δ = S2 M − S1 M =
Ce qui donne :
1
a
1
a
ax
(x − )2 −
(x + )2 =
2D
2
2D
2
D
p
ax
I(M ) = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos 2π
Dλ0
√
Alors les franges brillantes correspond à I(M ) = I1 + I2 + 2 I1 I2 c'est-à-dire x = cte
alors c'est des segments parallèles à l'axe des y (gure ci-contre).
On dénit l'inter-frange (qu'on note i) comme étant la diérence entre deux franges
brillantes/sombres successives. Mathématiquement ceci correspond à :
⇒
∆p = 1
∆x = i
Dans ce cas on aura un inter-frange i :
p=
ax
∆ϕ
=
2π
Dλ0
⇒
i=
λD
a
Maintenant, on met l'écran dans le plan perpendiculaire à l'axe S1 S2 :
X
M
O
S1
C
a
Z
S2
Y
On pose ρ = OM , D = OC et θ = Md
CO On a alors :
r
a
S1 M = (D + )2 + ρ2
2
H.ADOCH
r
a
et S2 M = (D − )2 + ρ2
2
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CHAPTER 3.
INTERFÉRENCES DES ONDES LUMINEUSES
En pratique, D >> a et D >> ρ alors un développement limité permet d'avoir :
ρ2
δ = S2 M − S1 M ' a 1 − 2 = a cos(θ)
D
Les régions d'égale intensité sont alors donnée par l'équation ρ = cte ou θ = cte ce qui correspond à des
cercles concentriques (anneaux).
H
C
O
D
A
2.3 Localisation de la gure d'interférence
Le champ d'interférences correspond à tout le volume de l'espace où les ondes diractées par les deux
trous se recouvrent. Expérimentalement, on constate que les franges d'interférences sont visibles sur l'écran
d'observation quelle que soit sa position au-delà des deux trous. On dit que les interférences sont non localisées.
Cette propriété est propre aux dispositifs interférentiels fonctionnant par division du front d'onde. On admet
sa généralisation. On peut dire aussi que :
• Dans le cas d'une source primaire ponctuelle,les interférences sont non localisées
• Dans le cas d'une source primaire non ponctuelle (étendue) les interférences sont localisées.
3 Systèmes interférentielles
3.1 Présentation
L'expérience courante montre que deux sources lumineuse indépendantes ne produisent pas de phénomène
d'interférence observable, contrairement à ce que prédit la théorie précédente. Il apparaît donc nécessaire
d'utiliser des systèmes qui permettent de construire d'une seule source primaire deux (ou plusieurs) sources
secondaires. Un tel système est appelé système interférentiel ou interféromètre. Ces systèmes se divisent en
deux types à savoir :
• Système à division du front d'onde : Dans un tel dispositif l'onde émise par la source primaire est
séparée géométriquement en deux (ou plusieurs) parties, qui suivent ensuite des trajets diérents pour arriver
en un point M où on observe le phénomène d'interférence. Exemples : trous de Young, miroirs de Fresnel,
bi-prisme de Fresnel, bi-lentilles de Billetn, Miroir de Lloyd...etc.
• Système à division d'amplitude : Dans ce cas, un même rayon issu d'une source S est séparé en deux
parties ( division énergétique), par exemple grâce à l'utilisation d'une lame semi-rééchissante. Exemples
: interféromètre de Michelson, interféromètre de Mach-Zehnder, interféromètre de Fizeau, interféromètre de
Fabry-Perot...etc.
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CHAPTER 3.
INTERFÉRENCES DES ONDES LUMINEUSES
3.2 Trous de Young
Le dispositif des trous de Young est constitué de deux petites ouvertures S1 et S2 percées dans un diaphragme
D qu'on l'on éclaire par une source primaire S ponctuelle et monochromatique. On note a la distance entre
les deux trous et D la distance entre le diaphragme et un écran d'observation E . Pour simplier, on considère
que la source S est placée sur la droite médiatrice des tous S1 et S2 . Ceci signie que :
(SS1 ) = (SS2 )
Alors le chemin optique est donné par :
H
C
O
D
A
δ = (SM )2 − (SM )1 = S2 M − S1 M '
ax
D
tel que x est la coordonnée du point M . L'intensité lumineuse est alors :
2π ax
I(M ) = 2I0 1 + cos
λ0 D
En utilisant les dénitions, on trouve que :
Caractéristique
Forme
Localisation
Inter-frange Frange centrale Contraste
Résultat obtenu Franges rectilignes Interférence non localisée
(1)
i=
λ0 D
a
Brillante
(1)
M
S
C=1
M
a
a
S
(2)
θ
(2)
f0
D
Trous de Young à distance nie
Trous de Young à l'inni
Maintenant, on se propose d'étudier la conguration de Fraunhofer des trous de Young, qui consiste à ajouter
deux lentille convergentes ce qui permet d'éclairer les trous de Young par une onde lumineuse plane, l'autre
permet de former l'image sur l'écran. Dans cette conguration, on a toujours (SS1 ) = (SS2 ) mais la diérence
de marche ne dépend pas de la distance D entre les trous et l'écran. On montre facilement d'après la gure
que :
tan(θ) =
x
'θ
f0
et δ = a sin(θ)
⇒
δ'
ax
f0
Donc la gure obtenue est similaire à la gure obtenue par trous de Young à distance nie, il sut de remplacer
la distance D par la distance focale f 0 .
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CHAPTER 3.
INTERFÉRENCES DES ONDES LUMINEUSES
I
4I0
λ0 f 0
−
a
X
λ0 f 0
a
0
H
C
O
D
A
3.3 Miroir de Lloyd
Le dispositif à miroir de Lloyd est un montage simple constitué d'un miroir plan, une source lumineuse S et
un écran.
X
X
D
M
S
d
S
I
ecran
O
ecran
Y
O
Y
L
Miroir de Lloyd : schéma de principe
Miroir de Lloyd : champ d'interférence
En traçant l'image S 0 de S par le miroir, on remarque que le dispositif est équivalent à un dispositif à trous
de Young, le déphasage entre ces deux rayons est alors :
δ=
2dx
D
Cette diérence de marche est dite géométrique. En eet, il faut qu'on ajoute une diérence de marche
supplémentaire car l'un des rayons subit une réexion donc la déférence de marche totale est :
δtot =
2dx λ0
+
D
2
L'intensité résultante en M s'écrit alors :
2π 2dx λ0
2π 2dx
2dx
I(M ) = 2I0 1 + cos
+
= 2I0 1 − cos
= 2I0 1 − cos 4π
λ0
D
2
λ0 D
Dλ0
λD
Les franges alors sont rectilignes (x = cte), séparés par un interfrange i = 0 et les interférences sont non
2d
localisées à cause de leurs existence dans tout le volume correspondant au champ d'interférence.
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CHAPTER 3.
INTERFÉRENCES DES ONDES LUMINEUSES
4 Eet de la cohérence sur la gure d'interférence
4.1 Cohérence temporelle
Les sources lumineuses sont - en général - polychromatique c'est-à-dire que la lumière émise par ces sources est
une superposition d'ondes monochromatiques. On se propose dans cette partie d'étudier l'eet de l'étendue
spectrale de la source sur la gure d'interférence. Pour ce faire, on s'intéresse à deux exemples classiques.
4.1.1 Cas d'une source bi-chromatique
considérons une source mère ponctuelle émettent une lumière bi-chromatique caractérisée par deux longueurs
d'onde λ1 et λ2 . Un dispositif interférentiel (trous de Young par exemple) permet de réaliser le phénomène
d'interférence. Chaque longueur d'onde donne une gure d'interférence dont l'intensité en un point M est
donnée :
H
C
O
D
A
I1 (M ) = 2I0
2π
δ
λ1
1 + cos
et I2 (M ) = 2I0
1 + cos
2π
δ
λ2
L'intensité résultante en M est la somme des intensités car les deux ondes monochromatiques sont asynchrones
dont on ne peut pas avoir une interférence entre elles.
2π
2π
I(M ) = I1 (M ) + I2 (M ) = 2I0 2 + cos
δ + cos
δ
λ1
λ2
Cette intensité peut s'écrire sous la forme :
1
1
1
1
I(M ) = 4I0 1 + cos π
+
−
δ .cos π
δ
λ2 λ1
λ2 λ1
Généralement ∆λ = |λ2 − λ1 | << λ1 etλ2 . Alors :
1
1
λ1 − λ2
∆λ
−
=
'± 2
λ2 λ1
λ1 λ2
λm
et
1
2
1
λ1 + λ2
2λm
+
=
' 2 =
λ2 λ1
λ1 λ2
λm
λm
avec :
λm =
λ1 + λ2
2
Dans ce cas, l'intensité résultante devient :
I(M ) = 4I0
2π
∆λ
δ .cos
δ
1 + cos π
λm
λm
En comparent avec l'expression de l'intensité d'une source monochromatique, on remarque l'apparition d'un
terme en cosinus. Pour comprendre l'eet de ce terme, on calcul le contraste dénit par :
∆λ
∆λ
1 + cos π
δ − 1 − cos π
δ
∆λ
λm
λm
= cos π
=
δ = |V|
∆λ
∆λ
λm
1 + cos π
δ + 1 − cos π
δ
λm
λm
C=
Imax − Imin
Imax + Imin
Donc le terme additionnel représente donc la visibilité. On peut vérier bien que pour une source monochromatique
(∆λ = 0) la visibilité est maximale V = 1. Les positions δn correspondantes à un contraste nulle sont dites
position de brouillage. Et la diérence de marche entre deux brouillage successives permet de mesurer ∆λ
(exemple doublet de sodium).
∆λ
cos π
δ
λm
=0
→
∆λ
π
π
δn = (2n + 1)
λm
2
→
δn =
1
n+
2
λ2m
∆λ
D'autre part, l'intensité résultante contient alors un produit de deux fonctions sinusoïdales de même variable
δ , mais qui varient à des périodes très diérentes. Ce qui signie que le cos dont la période est la plus grande
joue le rôle de l'enveloppe. La gure obtenue correspond en faite à un phénomène de battement appelé
battement optique.
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CHAPTER 3.
INTERFÉRENCES DES ONDES LUMINEUSES
I(δ)
4I0
δ
H
C
O
D
A
4.1.2 Cas d'une source à prol spectral rectangulaire
Maintenant, considérons une source lumineuse ponctuelle dont l'intensité spectrale possède un prol rectangulaire
centrée sur ν0 de largeur δν . Un dispositif interférentiel permet d'obtenir deux sources secondaires, ce qui
permet de réaliser les interférences. Dans un premier temps, on donne l'intensité dI(M ) en M correspondante
à une bande très ne dν :
dI(M ) = 2dI0 1 + cos
2π
δ
λ
= 2Iν dν 1 + cos
2π
δ
λ
L'intensité résultante est la somme (intégral) de tout les intensités correspondante à tout les fréquence de
ν = 0 à ν → +∞ :
ˆ
ˆ
ˆ +∞
2π
2π
δ
=
2Iν (ν) 1 + cos
νδ
dν
I(M ) =
dI(M ) =
2Iν dν 1 + cos
λ
c
0
0
0
∆ν
∆ν
Or d'après le prol Iν = Iν0 =
6 0 seulement pour ν ∈ ν0 −
, ν0 +
alors l'intégral devient :
2
2
+∞
+∞
∆ν
ν0 + ∆ν
2π
2πδ
2π
2
2
I(M ) =
dν = 2Iν0 ν +
sin
νδ
∆ν
∆ν 2Iν (ν) 1 + cos c νδ
c
c
ν0 −
ν0 −
2
2
ˆ
H.ADOCH
ν0 +
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CHAPTER 3.
INTERFÉRENCES DES ONDES LUMINEUSES
Ce qui donne :
2πδ
2πδ
∆ν
2πδ
∆ν
I(M ) = 2Iν0 ∆ν +
sin
ν0 +
− sin
ν0 −
c
c
2
c
2
Ce qu'on peut mettre sous la forme :
∆ν
2
I0 =
∆ν Iν dν = Iν0 ∆nu
ν0 −
2
ˆ
πδ
2πδ
I(M ) = 2I0 1 + sinc
∆ν cos
ν0
c
c
avec :
ν0 +
H
C
O
D
A
Donc on obtient une forme similaire à la forme précédente, le seule changement est le facteur de visibilité qui
est maintenant un sinus cardinal au lieu d'un cosinus:
V = sinc
πδ
∆ν
c
L'intensité résultante varie sinusoïdalement (avec δ ) à l'intérieur d'un enveloppe possédant la forme d'un sinus
cardinal.
I(M )
δ
4.2 Cohérence spatiale
Les sources primaires utilisées généralement en optique, ne sont pas constituées d'un seul point lumineux,
mais d'un ensemble de points Si qui émettent des ondes lumineuses de façons totalement indépendante. On
dit qu'elles sont spatialement incohérentes. Pour étudier une telle source, on place généralement, une fente
de largeur b devant cette source ce qui permet de considérer la fente comme source. Ceci permet d'écrire que
l'intensité lumineuse sous la forme :
Isource =


 I0


pour
−b
b
≤x≤
2
2
0 ailleurs
Pour Mettre en équation d'inuence d'une telle incohérence, on considère dans un premier temps que la source
primaire S (ponctuelle) est déplacée par rapport à sa position initial par x0 parallèlement à l'axe des fentes.
On peut montrer facilement que la diérence de marche entre les deux chemins est :
δ=
H.ADOCH
ax ax0
+
D
d
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CHAPTER 3.
INTERFÉRENCES DES ONDES LUMINEUSES
d
(1)
(1)
S
M
S
M
x0
a
(2)
a
(2)
H
C
O
D
A
D
D
Trous de Young symétriques
Trous de Young asymétriques
Maintenant, on modélise la fente par un ensemble continue de sources ponctuelles sur une plage entre −
b
2
b
2
jusqu'à . Chaque source possède une intensité dI0 qui est proportionnelle à sa largeur dx0 telle que :
ˆ
I0 =
ˆ b
dI0 = 2b I0x dx0 = I0x b
−
2
D'autre part, l'intensité résultante en M est la somme des intensités car les sources ne sont pas cohérentes :
ˆ
I(M ) =
Alors :
ˆ b
2π ax ax0 2π ax ax0 2
dI0 1 + cos
+
=
dx0
b I0x 1 + cos λ D + d
λ D
d
−
2
2π ax ab
2π ax ab
λd
I(M ) = I0x b +
sin
+
− sin
−
2πa
λ D
2d
λ D
2d
Ce qu'on peut écrire sous la forme :
2λd
2π ab
2π ax
π ab
2π ax
I(M ) = I0 1 +
sin
cos
= I0 1 + sinc
cos
2πab
λ 2d
λ D
λ d
λ D
Remarques :
• A partir de l'expression, le terme sinc
π ab
λ d
représente la visibilité de la gure d'interférence.
• Pour
unevaleur quasi-nulle de b, on autre des interférences avec une visibilité presque égale à l'unité (car
π ab
sinc
' 1) mais avec une luminosité faible (car I0 est proportionnelle à b). En ouvrant la fente source
λ d
λd
(b alors augmente) la luminosité augmente mais le contraste diminue jusqu'à avoir b = bs =
où on a plus
a
d'interférence c'est le brouillage, la distance bs est appelée longueur de cohérence spatial du système.
Si on continue à augmenter b, les interférences réapparaît mais avec une inversion de contraste c'est-à-dire
que les franges brillantes devient sombres et vis-versa.
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CHAPTER 4
DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES (MP/PSI)
H
C
O
D
A
1 Phénomène de diraction
1.1 Présentation
La lumière est une onde électromagnétique caractérisée par une longueur d'onde λ et qui résulte de l'oscillation
du champ électromagnétique dans l'espace et dans le temps.
→
−
→
−
L'approximation de l'optique géométrique consiste à négliger la variation des champs E et B sur la
distance caractéristique de l'obstacle. Par contre, si on ne néglige pas cette variation, on aura le phénomène
de diraction. Cette un phénomène qui révèle la nature ondulatoire de la lumière.
La diraction est le phénomène d'éparpillement de la lumière que l'on observe lorsqu'une
onde est matériellement limitée.
Pratiquement, on utilise un Laser, une fente réglable de largeur a et une écran. pour une fente large on
obtient une tache quasi-ponctuelle. On diminue progressivement la largeur a, on remarque l'apparition de la
gure de diraction.
a
Fente
Ecran
La diraction a été observée et étudiée pour la première fois par un italien, F.Grimaldi, vers les années 1660.
Ce phénomène joue un rôle essentiel dans la formation des images,puisque tout système limite l'étendue d'une
onde incidente. Alors la diraction est toujours présent.
24
CHAPTER 4.
DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES (MP/PSI)
1.2 Principe de Huygens-Fresnel
L'interprétation quantitative de la diraction s'appuie sur une théorie ondulatoire dont les précurseurs sont
C. Huygens et A.Fresnel. Leurs contribution, qui datent respectivement de 1678 et 1818, sont rassemblées
sous le nom de principe de Huygens-Fresnel :
• Contribution de Huygens : La lumière se propage de proche en proche. Chaque élément de surface
atteint par elle se comporte comme une source secondaire qui émet des ondelettes sphériques dont l'amplitude
est proportionnelle à cette élément.
• Contribution de Fresnel : L'amplitude complexe de la vibration lumineuse en un point est la somme
des amplitudes complexes des vibrations produites par toutes les sources secondaires cohérentes.
H
C
O
D
A
La traduction mathématique de ce principe est l'intégrale de Kirchho qui donne l'amplitude de la
vibration lumineux en un point M (généralement de l'écran) connaissant l'amplitude en un point P (généralement
du diaphragme):
i
A(M ) = −
λ
¨
Σ
→
− −−→
A(P )
exp(i k .P M ) Q dS
PM
y
Y
A(P )
: l'amplitude en M de la vibration
PM
(sphérique) en un point P.
→
− −−→
exp(i k .P M ) : représente la déphasage de
l'onde en M par rapport à P.
Q : est un facteur numérique appelée
facteur d'inclinaison. Donc toute la
suite, on considère Q ' 1
Σ est une surface (fermée) quelconque qui
entoure le point M.
D'après le schéma :
X
M
x
P
O0
O
D
Objet diractant
Ecran
Schéma du principe de diraction
→
−−→ −→ −−→0 −−
−
−
−
−
−
P M = P O + OO + O0 M = −X →
ex−Y→
e y + D→
e z + x→
e x + y→
ey
Alors :
r2 = P M 2 = (x − X)2 + (y − Y )2 + D2
Expérimentalement, on se limite aux conditions suivantes :
• On choisit une surface Σ fermé qui comporte l'objet diractant et une surface dont l'amplitude complexe est
très faible. L'intégration sur la surface Σ se réduite en une intégration sur l'objet diractant qu'on caractérise
par une fonction T (X, Y ) appelée fonction de transparence ou transmittance pupillaire.
• La source est à l'inni c'est à dire que l'onde incidente est plan donc A(P ) = A0 = cte
• Approximation de Fraunhofer qui consiste à supposer que D >> x, y . Dans ce cadre on trouve que :
x2 + y 2 xX + yY
PM ' D 1 +
−
+
2D2
D2
L'intégrale de Kirchho devient alors :
¨
iA0
2πD
x2 + y 2
2π
A(M ) = −
exp −i
(1 +
)
T (X, Y )exp −i
(xX + yY ) dXdY
λD
λ
2D2
λD
objet dif f ractant
L'intensité lumineuse en M est dénie par :
I(M ) = KA.A∗
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avec K = cte
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CHAPTER 4.
DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES (MP/PSI)
1.3 Caractérisation d'une pupille
On appelle pupille toute surface matérielle qui agit sur les ondes lumineuses. Elle inue sur l'amplitude et la
phase d'une onde. Elle est caractérisée par la fonction de transparence qui est une fonction complexe qu'on
peut écrire sous la forme :
T (X, Y ) = |T (X, Y )| exp(jϕ) avec :
On dit que la pupille :
• Absorbante : si |T (X, Y )| < 1.
0 ≤ |T (X, Y )| ≤ 1
Transparente : si |T (X, Y )| = 1. • Opaque : si |T (X, Y )| = 0.
Deux pupilles sont dites complémentaires si la somme de leurs fonctions de transparence est égale à un, et
•
H
C
O
D
A
leur produits est nul tout point P du plan.
T1 (P ) + T2 (P ) = 1 et T1 (P ).T2 (P ) = 0
Pour deux pupilles complémentaires, on peut montrer le Théorème de Babinet qui dit que : La gure
de diraction de deux pupilles complémentaires est la même sauf en image géométrique de la
source :
A1 (M ) + A2 (M ) = Ageo (M )
Ce théorème se traduit par le faite que la gure de diraction d'une ouverture de largeur a et la même gure
de diraction d'un objet opaque de même forme et de même largeur a.
2 Exemples d'application
2.1 Cas d'une fente rectangulaire
Considérons une source ponctuelle qui envoie une lumière monochromatique sur un fente rectangulaire transparente
caractérisée par a et b (gures ci-dessous).
Y
M
Source
Z
b
X
D
L
H.ADOCH
Fente
L2
Ecran
26 / 36
a
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CHAPTER 4.
DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES (MP/PSI)
L'amplitude complexe de la vibration lumineuse en un point M sur l'écran est donnée par :
¨
2πD
x2 + y 2
iA0
2π
exp −i
(1 +
(xX + yY ) dXdY
A(M ) = −
)
T (X, Y )exp −i
λD
λ
2D2
λD
objet dif f ractant
Pour cette fente on a :

 1 si |X| ≤ a
2
T (X, Y ) =

0 sinon
et |Y | ≤
b
2
Alors l'amplitude complexe devient :
H
C
O
D
A
ˆ a ˆ b
2πD
x2 + y 2
2π
iA0
2
2
exp −i
(1 +
A(M ) = −
)
a
b exp −i λD (xX + yY ) dXdY
λD
λ
2D2
−
−
2
2
Or :
ˆ a ˆ b
ˆ a
ˆ b
2π
2π
2π
2
2 exp −i
2
2
(xX + yY ) dXdY = a exp −i
xX dX
a
b
b exp −i λD yy dY
λD
λD
−
−
−
−
2
2
2
2
Ces deux intégrales sont similaires, on se limite alors à la résolution de l'un. On a :
ˆ a
2
a
−
2
a
2π
2
exp −i
xX 
πa πa 
2π
iλD λD


exp −i
xX dX = 
=
exp −i
x − exp i
x

2π
λD
2πx
λD
λD
−i
x
a
λD
−
2

Ce qui peut s'écrire sous la forme :
ˆ a
2 exp −i 2π xX dX = λD sin( πa x) = a sinc( πa x)
a
λD
πx
λD
λD
−
2
De même on obtient :
ˆ b
2 exp −i 2π yy dY = b sinc( πb y)
b
λD
λD
−
2
Alors l'amplitude complexe en M devient :
iA0 ab
2πD
x2 + y 2
πa
πb
A(M ) = −
exp −i
(1 +
)
sinc(
x)sinc(
y)
λD
λ
2D2
λD
λD
L'intensité lumineuse en M est alors :
I(M ) = KAA∗ = I0
a2 b2
πa
πb
sinc2 (
x) sinc2 (
y)
2
2
λD
λD
λD
Remarques :
• La lentille L permet de construire une source à l'inni. La distance entre la source et la lentille est alors
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CHAPTER 4.
DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES (MP/PSI)
égale à la distance focale f 0 de la lentille.
• En pratique, pour avoir un écran à l'inni (diraction de Fraunhofer), on utilise une deuxième lentille L0
convergente telle que l'écran et dans le plan focal image de la lentille. Ce qui revient à remplacer la distance
D par f 0 dans tout l'intensité lumineuse.
• La représentation de l'intensité en fonction des coordonnées x et y donne la gure ci-dessous :
I
H
C
O
D
A
x ou y
• Si on tourne la fente, la gure tourne dans la même direction.
• La première annulation (tache semble) correspond à un sinus nulle donc :
pour x :
πa
xmin,1 = π
λD
⇒
xmin,1 =
λD
a
pour y :
πb
ymin,1 = π
λD
⇒
ymin,1 =
λD
b
• Le deuxième maxima d'intensité correspond à :
πa
3π
xmax,2 =
λD
2
⇒
xmax,2 =
3λD
2a
de même :
ymax,2 =
3λD
2b
• Les dimensions de la tache centrale sont alors :
2λD
2λD
4λ2 D2
∆x =
et ∆y =
La surf ace est : S =
a
b
ab
• Le rapport d'intensité entre deux maximas successives (non diagonales) est de 4%. Alors en éloignant du
centre l'intensité lumineuse décroît rapidement.
• Lorsqu'on allonge la fente en augmentant a (ou b), le sinus cardinale évolue plus vite avec x (resp. y ) ce
qui signie que les taches vont être plus resserrés. Alors que pour une fente innie (a, b → ∞), la diraction
sera invisible (pratiquement pas de diraction).
2.2 Cas d'une fente ne
Une fente ne est une fente rectangulaire dont l'un des cotés (b par exemple) est très grande devant la longueur
d'onde. Or l'expression de l'intensité lumineuse est :
a2 b2
2 πa
2 πb
sinc
(
x)
sinc
(
y)
λ2 D 2
λD
λD
πb
Pour une fente ne (b >> λ), le terme sinc2 ( y) devient nul sauf en y=0 ou il égal l'unité.Donc l'expression
λD
I(M ) = I0
de l'intensité lumineuse devient :
I(M ) ' I(x, y = 0) = I0
a2 b 2
2 πa
sinc
(
x)
λ2 D 2
λD
Ce qui donne la gure de diraction ci-dessous :
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CHAPTER 4.
3
DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES (MP/PSI)
λD
2a
2
λD
a
Déplaçant la source S vers le haut ou vers le bas, on remarque le déplacement de la gure de diraction dans
le sens inverse. Si on utilise une fente source au lieu de la source ponctuelle (gure ci-dessous). On obtient
une gure de diraction constituée d'un ensemble de frange rectiligne (gure ci-dessous).
H
C
O
D
A
M
Z
f
Fente
source L
Fente
0
Ecran
L2
2.3 Fentes de Young
Les fentes de Young est un dispositif constitué de deux fentes nes de même largeur a, séparée par une distance
b.
Y
M
Z
f
Fente
source L
0
X
b
Fente
L2
Ecran
a
a
l'amplitude de la vibration lumineuse en M est la somme de l'amplitude des deux fentes alors :
A(M ) = A1 (M ) + A2 (M )
Avec :
H.ADOCH
ˆ a+ b
2π
2
2
A1 (M ) = f (x, y) a b exp −i
xX dX
λD
− +
2 2
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CHAPTER 4.
DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES (MP/PSI)
ˆ a− b
2π
2
2
xX dX
A2 (M ) = f (x, y) a b exp −i
λD
− −
2 2
πa
πb
πb
A(M ) = f (x, y) a sinc
x
exp(i 0 x) + exp(−i 0 x)
λf 0
λf
λf
Ce qui donne :
L'intensité résultante est alors :
πb
πa
2
I(M ) = I0 sinc
x cos
x
λf 0
λf 0
πb
πa
2
2
On obtient alors une gure de d'interférence (I0 cos
x ) modulée par la diraction (sinc
x ).
λf 0
λf 0
πb
πa
2
2
cos
sinc
x
I
λf 0
λf 0
2
H
C
O
D
A
x
x
Remarques :
• Pour des fentes très nes (c'est-à-dire a → 0), on retrouve la formule d'interférence de deux sources
cohérentes espacées par b.
• Pour une fente source au lieu d'une source ponctuelle, on obtient la même gure mais avec des franges
rectilignes.
• La largeur de la tache centrale est donnée par le terme de diraction. On trouve qu'elle est donnée par
λf 0
L=2
.
a
• A l'intérieur d'une tache de diraction, l'inter-frange de la gure d'interférence est dicté par le terme
λf 0
d'interférence. En eet, i =
b
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CHAPTER 4.
DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES (MP/PSI)
2.4 Cas d'une fente circulaire (MP)
Considérons maintenant une fente circulaire de rayon R. Pour étudier la diraction par une telle fente il faut
utiliser les coordonnées cylindriques (r,ϕ, z ). L'amplitude complexe est alors :
ˆ
R
ˆ
A(M ) = G
0
0
2π
2πsin(θ)
exp i
r cos(ϕ) rdrdϕ avec :
λ
sin(θ) =
x
D
La résolution d'une telle intégrale fait intervenir les fonctions de Bessel (hors programme). Le résultat nal
donne une gure similaire à celle représentée ci-dessous.
H
C
O
D
A
Représentation de l'intensité lumineuse sur l'écran
Figure de diraction obtenue
La gure de diraction par une fente circulaire est à symétrie circulaire, l'essentielle de la lumière est centrée
dans la tâche centrale appelée tâche d'Airy dont le rayon angulaire vaut :
θ = 1, 22
λ
λ
= 1, 22
2R
d
avec :
d = 2R : le diamètre de la fente
Remarques :
• Les dispositifs utilisées en optique (lentille, diaphragme...etc) ont généralement une ouverture circulaire et
donc ils donnent des gures de diraction. L'ordre de grandeur de cette tache est donnée par :
λ ∼ 500 nm ;
d ∼ 10 cm alors :
θ = 6 10−6 rad
• La diraction existe toujours, mais dans la majorité des cas en optique géométrique c'est négligeable.
• Soit deux sources ponctuelles A et B (incohérentes), l'image de ces deux objets avec un système optique
donne deux gures de diraction. Pour être capable de distinguer les deux images, on utilise un critère appelée
critère de Rayleigh :
es deux images géométriques seront résolues (séparables) lorsque le maximum de l'une des
deux taches de diraction coïncide avec le premier minimum de l'autre tache (la limite de
résolution):
∆x
λ
= 1, 22
D
d
∆x est la distance entre les images géométriques de objets et D la distance entre l'écran et l'ouverture (D
peut être remplacer par f 0 si on utilise une lentille de projection).
θlim =
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DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES (MP/PSI)
I
I
H
C
O
D
A
x
Pour l'÷il :
λ ∼ 500 nm d ∼ 5mm
⇒
x
θlim = 1, 22 10−4 rad ' 1 0 (minuted0 arc)
c'est la taille angulaire de Jupiter.
3 Diraction par un réseau plan
3.1 Présentation
Un réseau est un système présentant une structure périodique selon un ou plusieurs axes. La période spatiale
- notée a - est appelée pas de réseau. On trouve deux types de réseaux :
• Réseau par transmission : constitué d'un nombre N de fentes nes.Alors a est la distance entre ces
fentes.
• Réseau par réexion : constitué d'un nombre N de motifs (atomes, molécules...etc) qu'on modélise par
des miroirs rectangulaires nes.
Dans le cadre du programme, on se limite à des réseaux plans par transmission dont les fentes ont la même
largeur b. On caractérise un réseau par le nombre de traits par millimètre trait/mm) qu'on note n :
n=
1
(traits/mm)
a
Par exemple n = 1000 traits/mm donne que le pas est a = 0, 001 mm = 1 µm.
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Les réseaux sont utilisés pour caractériser des systèmes optiques, pour graver des données sur des CD/DVD.
Ils constituent aussi une modélisation très réaliste dans l'étude des structures cristallines par rayons X .
3.2 Formule de réseau
Considérons un réseau plan du pas a éclairé par une onde plane monochromatique d'intensité I0 .
La diérence de marche entre deux ondes successives
est donnée selon le schéma par :
H
C
O
D
A
δ = a (sin(θ) − sin(θi ))
Pour que les interférences entre ces deux ondes soient
constructives (tache brillante), il faut que :
δ = pλ
⇒
p est appelé l'ordre.
réseaux.
sin(θ) − sin(θi ) =
θ
θi
a
θ
pλ
= pnλ
a
θi
C'est la formule générale des
Réseau
Remarques :
• Pour une incidence normale sur le réseau on a θi = 0.
• Le réseau est un système dispersif car l'angle de sortie θ dépend de la longueur d'onde. Un réseau permet
alors d'obtenir le spectre d'une lampe.
• La formule de réseau permet de mesurer le minimum de déviation dont l'intérêt est de mesurer le pas d'un
réseau ou de déterminer une longueur d'onde inconnue. La déviation est d'après le schéma D = θ − θi .
• Pour p = 0, on retrouve le résultat de l'optique géométrique. C'est-à-dire qu'on n'a pas de diraction (ni
de dispersion pour cet ordre).
• Lorsque l'ordre p augmente c'est-à-dire on s'éloigne de l'image géométrique la dispersion est importante
et donc les couleurs de spectre sont plus écartées mais à partir d'un certain ordre on commence à avoir un
recouvrement.
• On dénit alors le pouvoir dispersif d'un réseau par la relation :
Pd = D =
dθ
p
=
dλ
a cos(θ)
Donc la dispersion est plus forte lorsque l'ordre est élevé et le pas faible
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3.3 Interférence à N ondes (MP)
Considérons maintenant, un réseau à transmission de pas a éclairé par une onde plane monochromatique
d'intensité I0 . On utilise une lentille convergente de distance focale f 0 pour projeter la gure d'interférence
obtenue sur un écran.
L'amplitude complexe de la vibration en M est donnée par :
X
A(M ) =
N
−1
X
Aj (M ) =
j=0
N
−1
X
j=0
2π
A0 exp i δj
λ
I0
Avec A0 est l'amplitude complexe en M due à la première
fente. δj c'est la diérence de marche entre le rayon issu de
la fente j par rapport au rayon issu de la première fente. Or
:
H
C
O
D
A
δ1 = a (sin(θ) − sin(θi )) = a sin(θ) et δ2 = 2a sin(θ)
Et donc :
I0
a
I0
I0
δj = ja sin(θ)
I0
M
O
δ
Ce qui donne :
A(M ) =
N
−1
X
j=0
2π
A0 exp i δj
λ
= A0
N
−1
X
j=0
2πa
exp i
sin(θ) j
λ
Ce qu'on peut écrire sous la forme :
A(M ) = A0
N
−1
X
j=0
I0
θ
I0
I0
j
2πa
exp i
sin(θ)
λ
f0
On obtient alors une série géométrique dont la formule peut
être obtenue simplement :
L
E
2πa
j
1 − exp i
sin(θ) N
N
−1
X
2πa
λ
A(M ) = A0
exp i
sin(θ)
= A0
2πa
λ
j=0
1 − exp i
sin(θ)
λ
Pour calculer l'intensité lumineuse en M , il sut de multiplier cette formule par son conjugué ce qui donne :
2πa
2πa
1 − exp i
sin(θ) N 1 − exp −i
sin(θ) N
λ
λ
∗
∗
.
I(M ) = A(M ).A (M ) = A0 A0
2πa
2πa
1 − exp i
sin(θ)
1 − exp −i
sin(θ)
λ
λ
Ceci se simplie pour donner :
2πa
2πa
2
1 − cos
sin(θ)N
sin
sin(θ)N
λ
λ
∗
∗
= A0 A0
I(M ) = A0 A0
2πa
2πa
2
1 − cos
sin(θ)
sin
sin(θ)
λ
λ
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D'autre part, le terme A0 A∗0 représente l'intensité lumineuse due à une seule fente c'est l'intensité obtenue
par diraction (paragraphe 2.2) :
A0 A∗0 = I0 sinc2
πb
sin(θ)
λ
Avec b la largeur de la fente ne. Alors l'expression globale de l'intensité à un point M de l'écran est :
2πa
sin
sin(θ)N
πb
λ
2
I(M ) = I0 sinc
sin(θ) .
2πa
λ
2
sin
sin(θ)
λ
2
H
C
O
D
A
On s'intéresse à la diraction à l'inni (d'où l'utilisation de la lentille convergente) alors l'angle θ est faible
donc :
x
sin(θ) ' θ ' tan(θ) =
f0
Avec x la coordonnée de M sur l'écran. Donc l'intensité résultante devient :
2πaN
sin2
x
πb
λf 0
2
I(M ) = I0 sinc
x .
2πa
λf 0
2
sin
x
λf 0
Cette fonction possède l'allure suivante :
I0 sinc
2
πb
x
λf 0
I(M )
x
2λf 0
a
−
λf 0
a
0
λf 0
a
2λf 0
a
Représentation graphique de l'intensité lumineuse obtenue par un réseau de diraction
Figure de diraction expérimentale obtenue par un réseau
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Remarques :
• Pour une fente N = 1, on retrouve bien l'expression obtenue lors de l'étude de la diraction par une fente
ne.
2πaN
sin
x
λf 0
• L'expression de l'intensité lumineuse obtenue est le produit d'un terme d'interférence de N ondes
2πa
2
sin
x
λf 0
πb
par le terme de diraction par une fente rectangulaire ne sinc2
x .
λf 0
• Pour deux fentes N = 2, on retrouve l'expression obtenue pour les bi-fentes de Young :
2πa
2
sin 2 0 x
2πa
4sin2 (X)cos2 (X)
sin2 (2X)
λf
2
2
=
=
= 4 cos (X) = 4 cos
x
2πa
sin2 (X)
sin2 (X)
λf 0
2
sin
x
λf 0
2
H
C
O
D
A
• Dans le cas de N fente la première annulation de l'intensité correspond à N
λf 0
λf 0
2πa
x
=
π
alors
à
x
=
0
λf 0
2aN
d'où la largueur des tache de diraction ∆x =
.
aN
• On appelle la fonction réseau, la fonction :
2πa
sin N 0 x
λf
R(x) =
2πa
2
x
sin
λf 0
2
• La réseau est un système dispersif, la gure obtenue pour une lumière blanche sera alors la superposition
des gures des couleurs ce qui donne une gure de type :
• On caractérise alors un réseau de diraction par une grandeur appelée
le pouvoir de résolution. Il
est dénit comme étant l'aptitude du réseau à séparer deux longueurs d'onde. Il est déni par le critère de
Rayleigh qui considère que deux longueurs d'onde λ et λ+∆λ sont séparables si le maximum de l'une (λ+∆λ)
est à la position du premier minimum nul de l'autre (λ). Le pouvoir de résolution vaut alors :
R=
λmoy
∆λ
Pour le réseau, il faut que le maximum d'un pic de λ correspond au minimum d'un pic (de même ordre p) de
λ + ∆λ. Ce qui permet de montrer que :
R=
λmoy
= pN
∆λ
Avec p est l'ordre.
On remarque bien que pour des ordres plus élevé la séparation des couleurs est plus grande.
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