les fonction

Fonctions trigonométriques
I ] Les fonctions sinus et cosinus ( rappels )
1) Définitions et valeurs remarquables
Définitions : Soit M un point du cercle
trigonométrique tel que
IOM
!
= x rad .
Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M.
Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M.
La tangente de x , noté tan x , est donné par
l'abscisse de T sur l'axe ( I T )
Propriétés : Pour tout x réel,
-1 ≤ cos x ≤ 1 ;
-1 ≤ sin x ≤ 1 ;
cos² x + sin² x = 1 ;
tan x
!!
Valeurs remarquables
x 0 π
6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π
cos x 1 3
2 2 2 1
2 0 - 1 2 - 2
2 - 3 2 -1
sin x 0 1
2 2
2 3 2 1 3 2 2 2 1
2 0
tan x 0
1
3
1 3 N'existe
pas - 3 -1 -
1
3
0
2) La fonction cosinus cos :
! [ -1 ; 1 ]
x cos x
Ensemble de définition =
!. (rappel de 1er : cos ' x = - sin x )
Quel que soit le réel x, cos(x + 2π) = cos x ; On dit que la fonction cosinus est périodique de période 2 π .
Quel que soit le réel x, cos(-x) = cos x La fonction cosinus est paire .
On peut donc étudier la fonction cosinus sur [ 0 ;
π
] , puis faire la symétrie par rapport à l'axe des
abscisses (parité) , puis des translations (période).
Tableau des variations :
x -π - π
2 0 π 2 π
cos
1
0 0
-1 -1
Chapitre 1
1

Courbe représentative de la fonction cosinus :
3) La fonction sinus sin :
!
[ -1 ; 1 ]
x sin x
Ensemble de définition =
!.
(rappel de 1er : sin ' x = cos x )
Quel que soit le réel x, sin(x + 2π) = sin x ; On dit que la fonctions sinus est périodique de période 2π. Quel
que soit le réel x, sin(-x) = -sin x La fonction sinus est impaire .
On peut donc étudier la fonction sinus sur [ 0 ; π ] , puis faire la symétrie par rapport à l'origine du repère (parité) ,
puis des translations (période).
Tableau des variations :
x -π - π
2 0 π 2 π
sin
1
0 0 0
-1
Courbe représentative de la fonction sinus :
II] La fonction tangente
Définition : tan x =
sin x
cos x
, donc tan x
existe si et seulement si cos x ≠ 0 c'est-à-dire si x ≠
π
2 + k
π avec
k ∈
!
. On note D l'ensemble de définition de la fonction tangente : D =
!
− {
π
2 + k
π avec k∈
!
}
Propriétés : La fonction tangente est π périodique et impaire.
Conséquence : on réduit l'intervalle d'étude à ] -
π
2 ; +
π
2 [
O
1
-1
π
2
π
-
π
-2
π
3
π
2
π
2
-
π
2
-3
π
2
3
π
-3
π
5
π
2
-5
π
2
O
1
-1
π
3
π
2
π
2
-
π
2
-3
π
2
3
π
5
π
2
-5
π
2
-
3
π
-2
π
-
π
2
π
2

Propriétés: la fonction tangente est dérivable en tout x de D et tan ' x = 1 + tan² x =
1
cos2x
>0 donc la
fonction tangente est strictement croissante sur D.
III ] Equations trigonométriques
1) Résolution des équations cos x = a et sin x = a ( x ∈
!)
• Si a ∉ [ -1 ; +1 ] alors ces équations n'ont pas de solutions.
• Si a ∈ [ -1 ; +1 ] alors ces équations ont une infinité de solutions dans
! :
Pour sin x = a , on cherche une solution particulière α sur [ 0 ; π
] telle que sin α = a = sin x , on obtient
toutes les solutions sous la forme :
x=!+2k"
x=" # ! +2k"
$
%
&
avec k ∈
!
.
Pour cos x = a , on cherche une solution particulière α sur [ 0 ; π ] telle que cos α = a = cos x , on
obtient toutes les solutions sous la forme :
x=!+2k"
x=#! +2k"
$
%
&
avec k ∈
!
.
Exercice : Résoudre les équations suivantes :
cos x = - 0,5 dans
! ; sin x =
3
2
−
sur [ 0 ; 2 π ] ; 2 sin(3x) = 1 pour x ∈ [0 ; 6 π ].
2) Résolution de l'équation tan x = a , x ∈ D
Pour a réel quelconque, on cherche une solution particulière α sur [ -
2
π
;
2
π
] telle que tan α= a = tan x,
on obtient toutes les solutions sous la forme x = α + k π avec k ∈
!
.
3

Fonctions hyperboliques et applications,
A Fonctions hyperboliques directes
A.1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique
On va d´efinir de nouvelles fonctions inspir´ees notamment par les formules d’Euler concernant les fonc-
tions sinus et cosinus.
A.1.1 D´efinition
On appelle fonction sinus hyperbolique la fonction
sh : R→R, x 7→ sh x=ex−e−x
2.
On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction
ch : R→R, x 7→ ch x=ex+e−x
2.
A.1.2 Remarques
ILa fonction sh est impaire.
En effet, elle est d´efinie sur Ret, pour tout x∈R, on a
sh(−x) = e−x−e−(−x)
2=−−e−x+ex 2=−sh x.
Le graphe de la fonction sh admet donc l’origine pour centre de sym´etrie ; en particulier, on a sh 0 = 0.
ILa fonction ch est paire.
En effet, elle est d´efinie sur Ret, pour tout x∈R, on a
ch(−x) = e−x+e−(−x)
2=e−x+ex 2= ch x.
reciproques
Chapitre 2
4

Le graphe de la fonction ch admet donc l’axe des ordonn´ees pour axe de sym´etrie.
IPour tout x∈R, on a ch2x−sh2x= 1.
En effet, pour tout x∈R, on a
ch2x−sh2x=ex+e−x
22−ex−e−x 22=ex2+ 2exe−x+e−x2 4−ex2−2exe−x+e−x2 4
d’o`u
ch2x−sh2x=4exe−x
4= 1.
IPour tout x∈R, on a ch x>1.
En effet, soit x∈R, on a ex>0 et e−x>0 donc ch x > 0. D’autre part, la relation ch2x= 1 + sh2x
donne ch2x>1 donc ch x>1 ou ch x6−1. Comme ch x > 0, c’est donc que ch x>1.
A.1.3 Proposition
La fonction sh est d´erivable sur Ret sa d´eriv´ee est ch.
La fonction ch est d´erivable sur Ret sa d´eriv´ee est sh.
D´emonstration
La fonction exponentielle est d´erivable sur R, de mˆeme que la fonction x7→ e−x, donc les fonction
ch et sh sont d´erivables sur R(ce sont des sommes de fonctions d´erivables). Pour tout x∈R, on a
sh0x=hex−e−x
2i0=ex−−e−x 2=ex+e−x 2= ch x
i.e. sh0= ch. De mˆeme, pour tout x∈R, on a
ch0x=hex+e−x
2i0=ex+−e−x 2=ex−e−x 2= sh x
i.e. ch0= sh.
Passons `a l’´etude des variations de ces deux fonctions.
IPour la fonction sh, il suffit de l’´etudier sur [0,+∞[ puisqu’il s’agit d’une fonction impaire. La d´eriv´ee
de sh est ch et on a vu que ch x>1>0 pour tout x∈Rdonc sh est strictement croissante sur R.
On a ch 0 = 1 donc le graphe de sh admet la droite ∆ d’´equation y=xpour tangente en 0. ´ Etudions
la position du graphe par rapport `a cette tangente. Il convient donc d’´etudier le signe de la fonction
f(x) = sh x−x, cette fonction est d´erivable, de d´eriv´ee f0(x) = ch x−1>0. La fonction fest donc
croissante sur Ror f(0) = 0 donc f(x)>0 pour tout x>0i.e. le graphe de sh est situ´e au-dessus de
la droite ∆ pour x>0 et en-dessous de ∆ pour x60.
En ce qui concerne les limites, on a ex−−−−→
x→+∞+∞et e−x−−−−→ x→+∞0 donc sh x−−−−→ x→+∞+∞. Cherchons
maintenant si le graphe admet une asymptote en +∞; pour tout x > 0, on a
sh x
x=ex−e−x 2x=ex 2x
|{z}
−−−−→
x→+∞+∞
−e−x
2x
|{z}
−−−−→
x→+∞0
−−−−→
x→+∞+∞.
On dit que le graphe de sh admet en +∞une branche parabolique de direction l’axe des ordonn´ees.
5