Wondershare PDFelement Remove Watermark Chapitre 1 Fonctions trigonométriques I ] Les fonctions sinus et cosinus ( rappels ) 1) Définitions et valeurs remarquables Définitions : Soit M un point du cercle ! = x rad . trigonométrique tel que IOM Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M. Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M. La tangente de x , noté tan x , est donné par l'abscisse de T sur l'axe ( I T ) Propriétés : Pour tout x réel, -1 ≤ cos x ≤ 1 ; -1 ≤ sin x ≤ 1 ; cos² x + sin² x = 1 ; tan x !! Valeurs remarquables x 0 cos x 1 sin x 0 tan x 0 π 6 π 4 3 2 1 2 1 2 2 2 2 3 1 π 3 1 2 π 2 3 2 1 3 N'existe pas 2π 3 1 2 0 3 2 - 2) La fonction cosinus 3 3π 4 - 2 2 2 2 -1 5π 6 - - 3 2 1 2 1 3 π -1 0 0 cos : ! [ -1 ; 1 ] x cos x Ensemble de définition = ! . (rappel de 1er : cos ' x = - sin x ) Quel que soit le réel x, cos(x + 2π) = cos x ; On dit que la fonction cosinus est périodique de période 2π . Quel que soit le réel x, cos(-x) = cos x La fonction cosinus est paire . On peut donc étudier la fonction cosinus sur [ 0 ; π ] , puis faire la symétrie par rapport à l'axe des abscisses (parité) , puis des translations (période). Tableau des variations : π π -π 0 π x 2 2 1 cos 0 0 -1 -1 1 Wondershare PDFelement Remove Watermark Courbe représentative de la fonction cosinus : -3 π - 5π 2 -2 π - 3 π 2 -π - π 1 π O 2 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π -1 3) La fonction sinus sin : ! [ -1 ; 1 ] x sin x (rappel de 1er : sin ' x = cos x ) Ensemble de définition = !. Quel que soit le réel x, sin(x + 2π) = sin x ; On dit que la fonctions sinus est périodique de période 2π. Quel que soit le réel x, sin(-x) = -sin x La fonction sinus est impaire . On peut donc étudier la fonction sinus sur [ 0 ; π] , puis faire la symétrie par rapport à l'origine du repère (parité) , puis des translations (période). Tableau des variations : x sin -π - π 2 π 2 1 0 0 π 0 0 -1 Courbe représentative de la fonction sinus : 1 -3 π - 5π 2 -2 π - 3 π 2 -π - π 2 π O 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π -1 II] La fonction tangente Définition : tan x = sin x cos x , donc tan x existe si et seulement si cos x ≠0 c'est-à-dire si x ≠ k ∈ !. On note D l'ensemble de définition de la fonction tangente : D = !− { Propriétés : La fonction tangente est πpériodique et impaire. π π Conséquence : on réduit l'intervalle d'étude à ] ;+ [ 2 2 2 π + k π avec 2 π + k π avec k∈ ! } 2 Remove Watermark Propriétés: la fonction tangente est dérivable en tout x de D et tan ' x = 1 + tan²x = Wondershare PDFelement 1 >0 donc la cos 2 x fonction tangente est strictement croissante sur D. III ] Equations trigonométriques 1) Résolution des équations cos x = a et sin x = a (x ∈ !) • Si a ∉[ -1 ; +1 ] alors ces équations n'ont pas de solutions. • Si a ∈[ -1 ; +1 ] alors ces équations ont une infinité de solutions dans !: Pour sin x = a , on cherche une solution particulière α sur [ 0 ; π ] telle que sin α = a = sin x , on obtient toutes les solutions sous la forme : $ x = ! + 2 k" avec k ∈ ! . % & x = " # ! + 2 k" Pour cos x = a , on cherche une solution particulière α sur [ 0 ; π ] telle que cos α = a = cos x , on obtient toutes les solutions sous la forme : $ x = ! + 2 k" avec k ∈ ! . % & x = # ! + 2 k" Exercice : Résoudre les équations suivantes : 3 cos x = - 0,5 dans ! ; sin x = − sur [ 0 ; 2 π] ; 2 sin(3x) = 1 pour x ∈ [0 ; 6 π ]. 2 2) Résolution de l'équation tan x = a , x ∈ D π π ; ] telle que tan α = a = tan x, 2 2 avec k ∈ ! . Pour a réel quelconque, on cherche une solution particulière α sur [ on obtient toutes les solutions sous la forme x= α +k π 3 Remove Watermark Wondershare PDFelement Chapitre 2 Fonctions hyperboliques et applications, reciproques A Fonctions hyperboliques directes A.1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique On va définir de nouvelles fonctions inspirées notamment par les formules d’Euler concernant les fonctions sinus et cosinus. A.1.1 Définition On appelle fonction sinus hyperbolique la fonction sh : R → R, x 7→ sh x = ex − e−x . 2 On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction ch : R → R, x 7→ ch x = ex + e−x . 2 A.1.2 Remarques I La fonction sh est impaire. En effet, elle est définie sur R et, pour tout x ∈ R, on a sh(−x) = e−x − e−(−x) −e−x + ex =− = − sh x. 2 2 Le graphe de la fonction sh admet donc l’origine pour centre de symétrie ; en particulier, on a sh 0 = 0. I La fonction ch est paire. En effet, elle est définie sur R et, pour tout x ∈ R, on a ch(−x) = e−x + e−(−x) e−x + ex = = ch x. 2 2 4 Remove Watermark Wondershare PDFelement Le graphe de la fonction ch admet donc l’axe des ordonnées pour axe de symétrie. I Pour tout x ∈ R, on a ch2 x − sh2 x = 1. En effet, pour tout x ∈ R, on a ch2 x − sh2 x = ex + e−x 2 2 − ex − e−x 2 2 = ex 2 d’où ch2 x − sh2 x = + 2ex e−x + e−x 4 2 − ex 2 − 2ex e−x + e−x 4 2 4ex e−x = 1. 4 I Pour tout x ∈ R, on a ch x > 1. En effet, soit x ∈ R, on a ex > 0 et e−x > 0 donc ch x > 0. D’autre part, la relation ch2 x = 1 + sh2 x donne ch2 x > 1 donc ch x > 1 ou ch x 6 −1. Comme ch x > 0, c’est donc que ch x > 1. A.1.3 Proposition La fonction sh est dérivable sur R et sa dérivée est ch. La fonction ch est dérivable sur R et sa dérivée est sh. Démonstration La fonction exponentielle est dérivable sur R, de même que la fonction x 7→ e−x , donc les fonction ch et sh sont dérivables sur R (ce sont des sommes de fonctions dérivables). Pour tout x ∈ R, on a h ex − e−x i0 ex − − e−x ex + e−x 0 sh x = = = = ch x 2 2 2 i.e. sh0 = ch. De même, pour tout x ∈ R, on a ch0 x = h ex + e−x i0 2 ex + − e−x ex − e−x = = = sh x 2 2 i.e. ch0 = sh. Passons à l’étude des variations de ces deux fonctions. I Pour la fonction sh, il suffit de l’étudier sur [0, +∞[ puisqu’il s’agit d’une fonction impaire. La dérivée de sh est ch et on a vu que ch x > 1 > 0 pour tout x ∈ R donc sh est strictement croissante sur R. On a ch 0 = 1 donc le graphe de sh admet la droite ∆ d’équation y = x pour tangente en 0. Étudions la position du graphe par rapport à cette tangente. Il convient donc d’étudier le signe de la fonction f (x) = sh x − x, cette fonction est dérivable, de dérivée f 0 (x) = ch x − 1 > 0. La fonction f est donc croissante sur R or f (0) = 0 donc f (x) > 0 pour tout x > 0 i.e. le graphe de sh est situé au-dessus de la droite ∆ pour x > 0 et en-dessous de ∆ pour x 6 0. En ce qui concerne les limites, on a ex −−−−→ +∞ et e−x −−−−→ 0 donc sh x −−−−→ +∞. Cherchons x→+∞ x→+∞ x→+∞ maintenant si le graphe admet une asymptote en +∞ ; pour tout x > 0, on a sh x ex − e−x = = x 2x ex e−x − −−−−→ +∞. x→+∞ 2x 2x |{z} |{z} −x→+∞ −−−→+∞ −−−−→0 x→+∞ On dit que le graphe de sh admet en +∞ une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées. 5 Remove Watermark Wondershare PDFelement A - Fonctions hyperboliques directes On peut préciser ce résultat puisque sh x − ex e−x =− −−−−→ 0− 2 2 x→+∞ i.e. le graphe de sh et celui de la courbe C d’équation y = étant 0− , le graphe de sh est situé en-dessous de C . ex 2 sont asymptotes en +∞ ; de plus, la limite On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction sh et tracer son graphe. x 0 −∞ 0 sh x = chx + +∞ + +∞ shx 0 −∞ C 0 ∆ I Pour la fonction ch, il suffit là aussi de l’étudier sur [0, +∞[ puisqu’il s’agit d’une fonction paire. La dérivée de ch est sh et on a vu que sh x > 0 pour x > 0 donc ch est strictement croissante sur ]0, +∞[. On a sh 0 = 0 donc le graphe de sh admet la droite ∆0 d’équation y = 1 pour tangente en 0. Comme ch x > 1 pour tout x, le graphe de ch est situé au-desus de ∆0 . En ce qui concerne les limites, on a ex −−−−→ +∞ et e−x −−−−→ 0 donc ch x −−−−→ +∞. De même x→+∞ x→+∞ x→+∞ que pour la fonction sh, le graphe de ch admet en +∞ une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées ; plus précisément, on a ch x − ex e−x = −−−−→ 0+ 2 2 x→+∞ 6 Remove Watermark i.e. le graphe de ch et celui de la courbe C d’équation y = graphe de ch est situé au-dessus C . ex 2 Wondershare PDFelement sont asymptotes en +∞ ; de plus, le On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction ch et tracer son graphe. x 0 −∞ 0 ch x = shx +∞ + − +∞ +∞ chx 1 ∆0 C 0 A.2 Tangente hyperbolique Le fait que la fonction cosinus hyperbolique ne s’annule pas permet d’introduire la fonction suivante : A.2.1 Définition On appelle fonction tangente hyperbolique la fonction th : R → R, x 7→ th x = sh x ex − e−x = x . ch x e + e−x A.2.2 Remarques I La fonction th est impaire. En effet, elle est définie sur R et, pour tout x ∈ R, on a th(−x) = sh(−x) − sh x = = − th x. ch(−x) ch x Le graphe de la fonction th admet donc l’origine pour centre de symétrie ; en particulier, on a th 0 = 0. 1 I Pour tout x ∈ R, on a 1 − th2 x = 2 . ch x En effet, pour tout x ∈ R, on a 1 − th2 x = 1 − sh2 x ch2 x − sh2 x 1 = = 2 . 2 2 ch x ch x ch x 7 Remove Watermark Wondershare PDFelement A - Fonctions hyperboliques directes I On rencontre parfois la fonction cotangente hyperbolique qui est la fonction x 7→ pas définie en 0). 1 th x (mais qui n’est A.2.3 Proposition La fonction th est dérivable sur R et sa dérivée est donnée par : th0 (x) = 1 − th2 x = 1 . ch2 x Démonstration Les fonctions sh et ch sont dérivables sur R et la fonction ch est définie sur tout R donc le quotient sh th = ch définit bien une fonction dérivable sur R. Pour tout x ∈ R, on a th0 x = h sh x i0 ch x sh0 x ch x − sh x ch0 x ch2 x − sh2 x 1 = = 2 . 2 2 ch x ch x ch x = Passons à l’étude des variations. Il suffit d’étudier th sur [0, +∞[ puisqu’il s’agit d’une fonction impaire. 1 2 La dérivée de th est ch donc th est strictement croissante sur R. On a ch 0 = 1 donc le graphe de th admet la droite ∆ d’équation y = x pour tangente en 0. Étudions la position du graphe par rapport à cette tangente. Il convient donc d’étudier le signe de la fonction g(x) = th x−x, cette fonction est dérivable, de dérivée g 0 (x) = 1−th2 x)−1 6 0. La fonction g est donc décroissante sur R or g(0) = 0 donc g(x) 6 0 pour tout x > 0 i.e. le graphe de th est situé en-dessous de la droite ∆ pour x > 0 et au-dessus de ∆ pour x 6 0. En ce qui concerne les limites, on a : th x = ex − e−x ex 1 − e−2x 1 − e−2x = = ex + e−x ex 1 + e−2x 1 + e−2x mais e−2x −−−−→ 0 donc le numérateur et le dénominateur du quotient ci-dessous tendent tous deux x→+∞ vers 1. Donc lim th x = 1. Il s’ensuit que le graphe de th admet la droite d’équation y = 1 pour x→+∞ asymptote en +∞ (donc, par imparité, il admet la droite d’équation y = −1 pour asymptote en −∞). On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction th et tracer son graphe. x th0 x = 0 −∞ 1 ch2 x + +∞ + 1 thx 0 −1 1 0 ∆ −1 8 Remove Watermark - Fonctions hyperboliques et applications reciproques Wondershare PDFelement ´ B Fonctions hyperboliques réciproques B.1 Réciproque de la fonction sinus hyperbolique I La fonction sh est continue et strictement croissante sur R, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image R et on peut définir son application réciproque. B.1.1 Définition On appelle fonction argument sinus hyperbolique, et on note Argsh : R → R, x 7→ Argsh x , l’application réciproque de la fonction sinus hyperbolique. B.1.2 Remarque Pour tout x ∈ R, on a sh Argsh x = x et Argsh sh x = x. Les variations de la fonction Argsh sur R sont les mêmes que celles de la fonction sh sur R. x −∞ 0 +∞ 0 +∞ Argsh x 0 −∞ ∆ B.1.3 Proposition La fonction Argsh est dérivable sur R et pour tout x ∈ R , Argsh0 (x) = √ 1 . 1 + x2 Démonstration En effet, pour tout x ∈ R, on a Argsh0 (x) = 1 1 = . ch(Argsh x) sh (Argsh x) 0 Mais la fonction ch est positive donc on peut écrire 1 1 Argsh0 (x) = q =q ch2 (Argsh x) 1 + sh2 (Argsh x) et la conclusion vient du fait que sh(Argsh x) = x. 9 Remove Watermark Wondershare PDFelement B - Fonctions hyperboliques réciproques B.2 Réciproque de la fonction cosinus hyperbolique I La fonction ch est continue et strictement croissante sur [0, +∞[, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image [1, +∞[ et on peut définir son application réciproque. B.2.1 Définition On appelle fonction argument cosinus hyperbolique, et on note Argch : [1, +∞[→ [0, +∞[, x 7→ Argch x , l’application réciproque de la restriction de la fonction cosinus hyperbolique à l’intervalle [0, +∞[. B.2.2 Remarques I Pour tout x > 1, on a ch Argch x = x. I Pour tout x > 0, on a Argch ch x = x. Il faut, de nouveau, prendre garde au fait que l’expression Argch ch x est définie pour tout x ∈ R mais ne vaut exactement x que lorsque x > 0. Les variations de la fonction Argch sur [1, +∞[ sont les mêmes que celles de la fonction ch sur [0, +∞[. x 1 +∞ +∞ Argch x 0 0 1 B.2.3 Proposition La fonction Argch est dérivable sur ]1, +∞[ et pour tout x ∈ R , Argch0 (x) = √ 1 x2 −1 . Démonstration En effet, pour tout x ∈ R, on a Argch0 (x) = 1 1 = . sh(Argch x) ch (Argch x) 0 Mais Argch x > 0 et la fonction sh est positive sur [0, +∞[ donc sh(Argch x) > 0 et on peut écrire 1 Argch0 (x) = q sh2 (Argch x) 1 =q et la conclusion vient du fait que ch(Argch x) = x. 10 ch2 (Argch x) − 1 Remove Watermark - Fonctions hyperboliques et applications reciproques B.3 Wondershare PDFelement ´ Réciproque de la fonction tangente hyperbolique I La fonction th est continue et strictement croissante sur R, elle réalise donc une bijection de cet intervalle sur son image ] − 1, 1[ et on peut définir son application réciproque. B.3.1 Définition On appelle fonction argument tangente hyperbolique, et on note Argth :] − 1, 1[→ R, x 7→ Argth x , l’application réciproque de la fonction tangente hyperbolique. B.3.2 Remarques I Pour tout x ∈] − 1, 1[, on a th Argth x = x. I Pour tout x ∈ R, on a Argth th x = x. Les variations de la fonction Argth sur ] − 1, 1[ sont les mêmes que celles de la fonction th sur R. x 0 −1 1 +∞ Argth x 0 −∞ −1 ∆ B.3.3 Proposition La fonction Argth est dérivable sur ] − 1, 1[ et pour tout x ∈] − 1, 1[ , Argth0 (x) = 1 . 1 − x2 Démonstration En effet, pour tout x ∈] − 1, 1[, on a Argth0 (x) = 1 1 = . 2 th (Argth x) 1 − th (Argth x) 0 et la conclusion vient du fait que th(Argth x) = x. 11 0 1 Remove Watermark Wondershare PDFelement C - Identités et relations C Identités et relations C.1 Quelques formules de trigonométrie hyperbolique Les formules de trigonométrie classiques ont des analogues en « trigonométrie hyperbolique ». Outre la formule ch2 a − sh2 a = 1, on a par exemple ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b ch(a − b) = ch a ch b − sh a sh b sh(a + b) = sh a ch b + ch a sh b sh(a − b) = sh a ch b − ch a sh b th(a + b) = th a + th b 1 + th a th b th(a + b) = th a − th b 1 − th a th b d’où l’on déduit ch(2a) = ch2 a + sh2 a = 2 ch2 a − 1 = 1 + 2 sh2 a sh(2a) = 2 sh a ch a th(2a) = 2 th a . 1 + th2 a Notons en outre le lien suivant entre les fonctions trigonométriques et les fonctions hyperboliques : ch a = cos(ia) C.2 et sh a = −i sin(ia). Expression des fonctions hyperboliques réciproques avec le logarithme népérien C.2.1 Proposition p x2 + 1 . p (b) Pour tout x > 1, on a : Argch x = ln x + x2 − 1 . 1 1 + x (c) Pour tout x ∈] − 1, 1[, on a : Argth x = ln . 2 1−x (a) Pour tout x ∈ R, on a : Argsh x = ln x + Démonstration (a) La relation y = sh x signifie 2y = ex − e−x i.e. ex ( X = ex y = sh x ⇐⇒ X 2 − 2yX − 1 = 0 2 ⇐⇒ − 2yex − 1 = 0, d’où ( X = ex X= 12 2y± √ 4y 2 +4 2 =y± p y2 + 1 Wondershare PDFelement Remove Watermark Fonctions hyperboliques et applications reciproques mais X = ex > 0 alors que y − - ´ p y 2 + 1 < 0 donc p p y = sh x ⇐⇒ ex = y + y 2 + 1 ⇐⇒ x = ln y + y 2 + 1 donc Argsh y = ln y + p 1 + y2 . (b) La relation y = ch x signifie 2y = ex + e−x i.e. ex ( X = ex y = ch x ⇐⇒ X 2 − 2yX + 1 = 0 2 ⇐⇒ − 2yex + 1 = 0, d’où ( X = ex X= 2y± √ 4y 2 −4 2 =y± p y2 − 1 mais on a ln y − p y2 − 1 = ln y− p p y2 − 1 y + y2 − 1 1 p p = ln −−−−→ −∞ y + y2 − 1 y + y 2 − 1 y→+∞ alors que la limite devrait être +∞ donc cette solution est exclue. Ainsi, on a p y = ch x ⇐⇒ x = ln y + y 2 − 1 ce qui signifie que Argch y = ln y + (c) On pose f (x) = p y2 − 1 . 1 1 + x ln pour tout x ∈] − 1, 1[ alors 2 1−x f 0 (x) = 1 2 1 1 1 = = 2 (1 − x)2 1+x (1 − x)(1 + x) 1 − x2 1−x donc f 0 (x) = Argth0 (x) pour tout x ∈] − 1, 1[. On en déduit que les deux fonctions f et Argth diffèrent d’une constante sur l’intervalle ] − 1, 1[ or on a f (0) = 1 1 + 0 ln = 0 = Argth(0) 2 1−0 donc les fonctions f et Argth sont égales sur ] − 1, 1[. 13