1 Fonctions Usuelles Rappel Théorème 1. Soit f une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle I. Alors: 1. f (I) est un intervalle de même nature que I 2. f établit une bijection de I sur f (I) 3. La fonction réciproque f −1 est continue et strictement croissante sur f (I) Remarques 1. On a un énoncé analogue avec f strictement décroissante 2. Dans un repère orthonormale, les graphes de f sur I et de f −1 sur f (I) sont symétriques par rapport à la première bissectrice. Théorème 2. Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ouvert I. Elle admet donc une fonction réciproque f −1 définie sur f (I). Si f est dérivable en x0 et f ′ (x0 ) ̸= 0, alors f −1 est dérivable en y0 = f (x0 ) et on a (f −1 )′ (y0 ) = 1 f ′ (x0 ) = 1 f ′ (f −1 (y 0 )) Démonstration. Soit y ∈ f (I) avec y ̸= y0 , on a alors y = f (x) avec x ̸= x0 et on peut écrire: f −1 (y) − f −1 (y0 ) x − x0 = y − y0 f (x) − f (x0 ) Lorsque y tend vers y0 , alors x = f −1 (y) tend vers x0 = f −1 (y0 ) car f −1 est continue. x−x0 1 Comme de plus f ′ (x0 ) ̸= 0, f (x)−f (x0 ) tend vers f ′ (x0 )) ce qui démontre le théorème. 2 Fonction logarithmique. On appelle fonction logarithme népérien, la fonction notée log, qui est la primitive de x → x1 qui s’annule pour x = 1. log est continue, dérivable sur ]0, +∞[ et vérifie log 1 = 0, pour tout x > 0, on a (log x)′ = x1 La fonctionlog est strictement croissante sur ]0, +∞[ 1. ∀x > −1, log(1 + x) ≤ x 2. ∀x > 0, ∀y > 0, log(xy) = log(x) + log(y) 1 3. ∀x > 0, log( x1 ) = − log x 4. ∀x > 0, ∀y > 0, log( xy ) = log x − log y lim log x = −∞ lim log x = +∞, x→+∞ x→0+ log x = 0, lim x log x = 0 x→+∞ x x→0+ log(1 + x) ≈0 x lim L’image log([0, +∞[) est R tout entier. 3 Fonction exponentielle. On appelle fonction exponentielle la fonction définie sur R qui est la réciproque de la fonction logarithme. { log x = y x ∈]0, +∞[ est équivaut à { x = ey y∈R 1. a = b ⇔ log a = log b ⇔ ea = eb 2. ∀x ∈ R, ex > 0 3. ∀x ∈ R, e−x = 1 x 4. ∀x ∈ R ∀y ∈ R, ex−y = ex ey 5. ∀x ∈ R, ∀r ∈ R, erx = (ex )r 6. ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, ex+y = ex ey lim ex = +∞, x→+∞ lim ex = 0, x→−∞ ex = +∞, x→+∞ x lim 4 { { { ex = +∞, x→+∞ x lim lim xe−x = 0, x→+∞ lim xe−x = 0 x→+∞ (1 + x) ≤ ex Fonctions circulaires et leurs réciproques. y = sin x x ∈ [− π2 , { π 2] est équivaut à y = cos x est équivaut à x ∈ [0, π] y = tan x x ∈] − π2 , π 2[ équivaut à { { x = arcsin y y ∈ [−1, 1] x = arccos y y ∈ [−1, 1] x = arctan y y∈R Remarque: arcsin x + arccos x = π 2 2 5 Fonctions hyperboliques Pour tout réel x, on pose: cosh x = ex + e− x ex − e− x , sinh x = 2 2 tanh = sinh x cosh x cosh est paire, sinh et tanh sont impaires. 1. cosh x + sinh x = ex 2. cosh x − sinh x = e−x 3. cosh2 x − sinh2 x = 1 Quelques propriétés. cosh′ x = sinh x sinh′ x = cosh x 1 = 1 − tanh2 x tanh′ (x) = 2 cosh x ex = cosh x + sinh x Pour plus, voir apendice. 6 Fonctions hyperboliques réciproques. 1) La restriction de la fonction ch à [0, +∞[ établit une bilection entre [0, +∞[ et [1, +∞[ puisqu’il s’agit d’une fonction continue strictement croissante. Elle admet donc une fonction réciproque appelée argument cosinus hyperboliques et notée argch. C’est une fonction définie et continue sur [1, +∞[ { y = chx x ∈ [0, +∞[ équivaut à { x = argchy y ∈ [1, +∞[ 3 2) La fonction sh est une bijection de R dans R car elle est continue et strictement croissante. Elle admet donc une fonction réciproque notée argsh et appelée argument sinus hyperbolique { y = shx y∈R est équivaut à { x = argshy x∈R 3) La fonction th étant continue et strictement croissante, est une bijection de R sur ] − 1, 1[ . Elle admet donc une fonction réciproque notée argth et appelée argument tangente hyperbolique. { y = thx y∈R équivaut à 7 7.1 { x = argthy x ∈] − 1, 1[ Dérivées des fonctions réciproques. Dérivées des fonctions circulaires réciproques. 1) On sait que: (f −1 )′ (y0 ) = En prenant: 1 1 = ′ −1 f ′ (x0 ) f (f (y0 )) π π y = f (x) = sin x, x ∈ [− , ] 2 2 on trouve: (arcsin)′ (y) = 1 1 = sin′ (x) cos(x) et on sait que: cos2 x + sin2 x = 1 =⇒ cos x = + √ donc (arcsin)′ (y) = π π 1 − sin2 x car cos x ≥ 0, (x ∈ [− , ]) 2 2 1 1 =√ ′ sin (x) 1 − sin2 x Sachant que sin x = y, on obtient: (arcsin)′ (y) = √ 1 1 − y2 2) De même: y = f (x) = cos x, x ∈ [0, π] 4 on trouve: (arccos)′ (y) = 1 − sin(x) et on sait que: cos2 x + sin2 x = 1 =⇒ sin x = + √ 1 − cos2 x car sin x ≥ 0, (x ∈ [0, π]) donc 1 (arccos)′ (y) = − √ 1 − cos2 x Sachant que cos x = y, on obtient: (arccos)′ (y) = − √ De même (arctan x)′ = 7.2 1 1 − y2 1 1 + x2 Dérivées des fonctions hyperbliques réciproques. On a: (argch)′ (y) = 1 1 1 1 =√ =√ = ′ (chx) shx ch2 x − 1 y2 − 1 (argsh)′ (y) = 1 1 1 1 =√ = =√ ′ (shx) chx 1 + sh2 x 1 + y2 et on a aussi : et on a aussi : (argth)′ (y) = 1 1 1 =√ = ′ 2 (thx) 1 − th x 1 − y2 En utilisant le Théorème de composition de dérivation, on obtient (arcsin f )′ = √ f′ 1 − f2 , (arccos f )′ = − √ f′ 1 − f2 f′ f′ (argshf )′ = √ , (argchf )′ = √ , 1 + f2 f2 − 1 Exercice. 1. Résoudre dans R l’équation shx=2 2. Résoudre dans R l’équation chx=2 Réponse. 5 , (arctan f )′ = (argthf )′ = f′ 1 + f2 f′ 1 − f2 √ 5) √ √ 2. cosh x = 2 =⇒ x = log(2 + 3), x = log(2 − 3) 1. sinh x = 2 =⇒ x = log(2 + Exercice. On considère la fonction f définie sur I = [ π2 , π[ par f (x) = 1 sin x 1 Démontrer que f réalise une bijection de I dans un intervalle J que l’on précisera. 2 Sans déterminer f −1 , déterminer le plus grand intervalle K ⊂ I sur lequel f −1 est dérivable. Démontrer que: ∀x ∈ K, (f −1 )′ (x) = x√x12 −1 Réponse. f (x) = 1 sin x cos x π ≥ 0, I = [ , π[ 2 2 sin x ′ ainsi la fonction f (.) est strictement croissante car f (x) = 0 ssi x = π2 , donc réalise une bijection de [ π2 , π[ dans f ([ π2 , π[) = [1, +∞[, f −1 est dérivable sauf en f ( π2 ) et f ′ (x) = − (f −1 )′ (x) = 1 f (f −1 (x)) =− sin2 (f −1 (x)) cos(f −1 (x)) (f ◦ f −1 )(x) = x 1 1 1 =x⇒ = x2 ⇒ sin2 (f −1 (x)) = 2 sin(f −1 (x)) x sin2 (f −1 (x)) √ f −1 (x) ∈] π2 , π[⇒ − cos(f −1 (x)) ≥ 0 ⇒ − cos(f −1 (x)) = cos2 (f −1 (x)) − cos(f ainsi −1 √ (x)) = √ 1 − sin 2 (f −1 (x)) = 1 ∀x ∈ K, (f −1 )′ (x) = √ x x2 − 1 6 1− 1 x2