1 Fonctions Usuelles Rappel Remarques

1 Fonctions Usuelles
Rappel
Th´eor`eme 1. Soit fune fonction continue et strictement croissante sur un intervalle I.
Alors:
1. f(I) est un intervalle de mˆeme nature que I
2. f´etablit une bijection de Isur f(I)
3. La fonction r´eciproque f−1est continue et strictement croissante sur f(I)
Remarques
1. On a un ´enonc´e analogue avec fstrictement d´ecroissante
2. Dans un rep`ere orthonormale, les graphes de fsur Iet de f−1sur f(I) sont sym´etriques
par rapport `a la premi`ere bissectrice.
Th´eor`eme 2.
Soit fune fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ouvert I. Elle
admet donc une fonction r´eciproque f−1d´efinie sur f(I). Si fest d´erivable en x0et
f′(x0)̸= 0, alors f−1est d´erivable en y0=f(x0) et on a
(f−1)′(y0) = 1
f′(x0)=1 f′(f−1(y0))
D´emonstration.
Soit y∈f(I) avec y̸=y0, on a alors y=f(x) avec x̸=x0et on peut ´ecrire:
f−1(y)−f−1(y0)
y−y0
=x−x0
f(x)−f(x0)
Lorsque ytend vers y0, alors x=f−1(y) tend vers x0=f−1(y0) car f−1est continue.
Comme de plus f′(x0)̸= 0, x−x0
f(x)−f(x0)tend vers 1 f′(x0)) ce qui d´emontre le th´eor`eme.
2 Fonction logarithmique.
On appelle fonction logarithme n´ep´erien, la fonction not´ee log, qui est la primitive de
x→1
xqui s’annule pour x= 1.
log est continue, d´erivable sur ]0,+∞[ et v´erifie log 1 = 0, pour tout x > 0, on a
(log x)′=1
x
La fonctionlog est strictement croissante sur ]0,+∞[
1. ∀x > −1,log(1 + x)≤x
2. ∀x > 0,∀y > 0,log(xy) = log(x) + log(y)
1

3. ∀x > 0,log( 1
x) = −log x
4. ∀x > 0,∀y > 0,log( x
y) = log x−log y
lim
x→+∞log x= +∞,lim
x→0+log x=−∞
lim
x→+∞
log x
x= 0,lim
x→0+xlog x= 0
log(1 + x)≈0x
L’image log([0,+∞[) est Rtout entier.
3 Fonction exponentielle.
On appelle fonction exponentielle la fonction d´efinie sur Rqui est la r´eciproque de la
fonction logarithme.
log x=y
x∈]0,+∞[
est ´equivaut `a
x=ey
y∈R
1. a=b⇔log a= log b⇔ea=eb
2. ∀x∈R, ex>0
3. ∀x∈R, e−x=1
x
4. ∀x∈R∀y∈R, ex−y=ex
ey
5. ∀x∈R,∀r∈R, erx = (ex)r
6. ∀x∈R,∀y∈R, ex+y=exey
lim
x→+∞ex= +∞,lim x→−∞ ex= 0,lim x→+∞
ex
x= +∞,lim
x→+∞xe−x= 0
lim
x→+∞
ex
x= +∞,lim
x→+∞xe−x= 0,(1 + x)≤ex
4 Fonctions circulaires et leurs r´eciproques.
y= sin x
x∈[−π
2,π 2]est ´equivaut `a x= arcsin y
y∈[−1,1]
y= cos x
x∈[0, π]est ´equivaut `a x= arccos y y∈[−1,1]
y= tan x
x∈]−π
2,π 2[´equivaut `a x= arctan y
y∈R
Remarque: arcsin x+ arccos x=π
2
2

5 Fonctions hyperboliques
Pour tout r´eel x, on pose:
cosh x=ex+e−x
2,sinh x=ex−e−x 2
tanh = sinh x
cosh x
cosh est paire, sinh et tanh sont impaires.
1. cosh x+ sinh x=ex
2. cosh x−sinh x=e−x
3. cosh2x−sinh2x= 1
Quelques propri´et´es.
cosh′x= sinh x
sinh′x= cosh x
tanh′(x) = 1
cosh2x= 1 −tanh2x
ex= cosh x+ sinh x
Pour plus, voir apendice.
6 Fonctions hyperboliques r´eciproques.
1) La restriction de la fonction ch `a [0,+∞[ ´etablit une bilection entre [0,+∞[ et
[1,+∞[ puisqu’il s’agit d’une fonction continue strictement croissante. Elle ad-
met donc une fonction r´eciproque appel´ee argument cosinus hyperboliques et not´ee
argch. C’est une fonction d´efinie et continue sur [1,+∞[
y=chx
x∈[0,+∞[
´equivaut `a
x=argchy
y∈[1,+∞[
3

2) La fonction sh est une bijection de Rdans Rcar elle est continue et strictement crois-
sante. Elle admet donc une fonction r´eciproque not´ee argsh et appel´ee argument
sinus hyperbolique
y=shx
y∈R
est ´equivaut `a
x=argshy
x∈R
3) La fonction th ´etant continue et strictement croissante, est une bijection de Rsur
]−1,1[ . Elle admet donc une fonction r´eciproque not´ee argth et appel´ee argument
tangente hyperbolique.
y=thx
y∈R
´equivaut `a
x=argthy
x∈]−1,1[
7 D´eriv´ees des fonctions r´eciproques.
7.1 D´eriv´ees des fonctions circulaires r´eciproques.
1) On sait que:
(f−1)′(y0) = 1
f′(x0)=1 f′(f−1(y0))
En prenant:
y=f(x) = sin x, x ∈[−π
2,π 2]
on trouve:
(arcsin)′(y) = 1
sin′(x)=1 cos(x)
et on sait que:
cos2x+ sin2x= 1 =⇒cos x= +1−sin2xcar cos x≥0,(x∈[−π
2,π 2])
donc
(arcsin)′(y) = 1
sin′(x)=1
1−sin2x
Sachant que sin x=y, on obtient:
(arcsin)′(y) = 1
1−y2
2) De mˆeme:
y=f(x) = cos x, x ∈[0, π]
4

on trouve:
(arccos)′(y) = 1
−sin(x)
et on sait que:
cos2x+ sin2x= 1 =⇒sin x= +1−cos2xcar sin x≥0,(x∈[0, π])
donc
(arccos)′(y) = −1
√1−cos2x
Sachant que cos x=y, on obtient:
(arccos)′(y) = −1
1−y2
De mˆeme
(arctan x)′=1
1 + x2
7.2 D´eriv´ees des fonctions hyperbliques r´eciproques.
On a:
(argch)′(y) = 1
(chx)′=1 shx =1
√ch2x−1=1 y2−1
et on a aussi :
(argsh)′(y) = 1
(shx)′=1 chx =1
√1 + sh2x=1 1 + y2
et on a aussi :
(argth)′(y) = 1
(thx)′=1 1−th2x=1
1−y2
En utilisant le Th´eor`eme de composition de d´erivation, on obtient
(arcsin f)′=f′
1−f2,(arccos f)′=−f′ 1−f2,(arctan f)′=f′
1 + f2
(argshf )′=f′
1 + f2,(argchf )′=f′ f2−1,(argthf)′=f′
1−f2
Exercice.
1. R´esoudre dans Rl’´equation shx=2
2. R´esoudre dans Rl’´equation chx=2
R´eponse.
5