03 generalitesfonction Med ELBOUCHAIRI

Parité d'une fonction
Fonction périodique
Fonction majorée, minorée, bornée
Comparaison de deux fonctions
Généralités sur les fonctions numériques
Mohammed ELBOUCHAIRI
DMEN Kelaa des Sraghna
31 décembre 2020
Mohammed ELBOUCHAIRI DMEN Kelaa des Sraghna
Généralités sur les fonctions numériques
Parité d'une fonction
Fonction périodique
Fonction majorée, minorée, bornée
Comparaison de deux fonctions
Table de matières
1
2
3
4
Parité d'une fonction
Fonction paire
Fonction impaire
Fonction périodique
Fonction périodique :
Fonction majorée, minorée, bornée
Fonction majorée :
Fonction minorée :
Fonction bornée :
Comparaison de deux fonctions
Egalité de deux fonctions
Comparaison de deux fonctions
Comparaison de deux fonctions
Résolution graphique des équations et des inéquations
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Généralités sur les fonctions numériques
Parité d'une fonction
Fonction périodique
Fonction majorée, minorée, bornée
Fonction paire
Fonction impaire
Comparaison de deux fonctions
Dénition 1 : Fonction paire
Soit f une fonction numérique et Df son domaine de dénition.
On dit que f est paire si et seulement si
Df est symétrique par rapport à l'origine.
C'est-à-dire : (∀x ∈ Df ); −x ∈ Df
(∀x ∈ Df ); f (−x) = f (x)
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Généralités sur les fonctions numériques
Parité d'une fonction
Fonction périodique
Fonction majorée, minorée, bornée
Fonction paire
Fonction impaire
Comparaison de deux fonctions
Interprétation graphique :
La représentation graphique d'une fonction paire est symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées.
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Généralités sur les fonctions numériques
Parité d'une fonction
Fonction périodique
Fonction majorée, minorée, bornée
Fonction paire
Fonction impaire
Comparaison de deux fonctions
Exemples des fonctions paires
1
2
3
4
La fonction cos est paire.
Les fonctions : x 7→ x2n , où n ∈ N, sont paires.
g : x 7→ |x − 1| + |x + 1| est une fonction paire.
Soit f la fonction numérique variable réelle x dénie par :
3x2 + 2
x2 − 4
Montrons que f est paire.
f (x) =
Df = {x ∈ R; x2 − 4 6= 0} = R − {−2; 2}
donc Df est symétrique par rapport à 0
3x2 + 2
3(−x)2 + 2
Soit x ∈ Df , on a f (−x) =
= 2
= f (x)
2
(−x) − 4
x −4
On a
Donc f est une fonction paire.
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Généralités sur les fonctions numériques
Parité d'une fonction
Fonction périodique
Fonction majorée, minorée, bornée
Fonction paire
Fonction impaire
Comparaison de deux fonctions
Dénition 2 : Fonction impaire
Soit f une fonction numérique et Df son domaine de dénition.
On dit que f est paire si et seulement si
Df est symétrique par rapport à l'origine.
C'est-à-dire : (∀x ∈ Df ); −x ∈ Df
(∀x ∈ Df ); f (−x) = −f (x)
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Généralités sur les fonctions numériques
Parité d'une fonction
Fonction périodique
Fonction majorée, minorée, bornée
Fonction paire
Fonction impaire
Comparaison de deux fonctions
Interprétation graphique :
La représentation graphique d'une fonction impaire est symétrique
par rapport à l'origine.
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Généralités sur les fonctions numériques
Parité d'une fonction
Fonction périodique
Fonction majorée, minorée, bornée
Fonction paire
Fonction impaire
Comparaison de deux fonctions
Exemples des fonctions impaires
1
2
3
4
Les fonctions sin et tan sont impaires.
Les fonctions : x 7→ x2n+1 , où n ∈ N, sont impaires.
u : x 7→ |x − 1| − |x + 1| est une fonction impaire.
Soit f la fonction numérique numérique variable réelle x
x + sin x
dénie par : f (x) =
2 + cos x
Montrons que f est une fonction impaire.
(∀x ∈ R); −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 2 + cos x ≥ 2
Df = R
D'où Df est symétrique par rapport à 0
Soit x ∈ R, on a
−x − sin x
−x + sin(−x)
=
= −f (x)
f (−x) =
2 + cos(−x)
2 + cos x
On a :
Donc
Donc la fonction f est une fonction impaire.
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Généralités sur les fonctions numériques
Parité d'une fonction
Fonction périodique
Fonction majorée, minorée, bornée
Fonction périodique :
Comparaison de deux fonctions
Dénition 3 : Fonction périodique
Soit f une fonction numérique de domaine de dénition Df et T
un nombre réel strictement positif.
On dit que f est périodique de période T (ou f est T -périodique si
et seulement pour tout réel x de Df ; x + T ∈ Df et
f (x + T ) = f (x)
Propriété
Soit f une fonction T-périodique ; Alors :
(∀x ∈ Df ); f (x − T ) = f (x).
(∀n ∈ Z)(∀x ∈ Df ); f (x + nT ) = f (x).
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Généralités sur les fonctions numériques
Parité d'une fonction
Fonction périodique
Fonction majorée, minorée, bornée
Fonction périodique :
Comparaison de deux fonctions
Interprétation graphique :
Pour tracer la courbe représentative d'une fonction périodique de
période T dans repère orthogonale (O,~i, ~j),
il sut de la tracer sur un intervalle de longueur T
et de la compléter par des translations successives de vecteur T.~i.
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Parité d'une fonction
Fonction périodique
Fonction majorée, minorée, bornée
Fonction périodique :
Comparaison de deux fonctions
Exemples des fonctions périodiques
1
2
3
Les fonctions sin et cos sont 2π -périodiques.
La fonction tan est π -périodique.
On considère la fonction f dénie par : f (x) = cos x sin x
Montrons que f est π -périodique
Df = R, donc pour tout x ∈ R; x + π ∈ R.
x ∈ R on a :
f (x + π) = cos(x + π) sin(x + π) = (− cos x)(− sin x) = f (x).
On a
Soit
donc f est π -périodique
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Parité d'une fonction
Fonction périodique
Fonction majorée, minorée, bornée
Comparaison de deux fonctions
Fonction majorée :
Fonction minorée :
Fonction bornée :
Dénition 4 :Fonction majorée
Soit f une fonction dénie sur un ensemble D
On dit que f est majorée sur D si et seulement s'il existe un réel M
tel que : pour tout réel x de D ; f (x) ≤ M . On note f ≤ M sur D
On dit que f est majorée si f est majorée sur Df .
Interprétation graphique : f ≤ M sur D si et seulement si (Cf ) est
au-dessous de la droite d'équation y = M sur D
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Fonction périodique
Fonction majorée, minorée, bornée
Comparaison de deux fonctions
Fonction majorée :
Fonction minorée :
Fonction bornée :
Exemples des fonctions majorées
1
2
Les fonctions cos et sin sont majorées par 1.
On considère la fonction f dénie sur R par :
f (x) = −x2 + 4x + 1
Montrons que f est majorée.
Soit x ∈ R on a :
f (x) = −x2 + 4x + 1 = −x2 + 4x − 4 + 5 =
f (x) = −(x2 − 4x + 4) + 5 = −(x − 2)2 + 5
donc f (x) ≤ 5
D'où f est majorée par 5.
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Fonction majorée, minorée, bornée
Comparaison de deux fonctions
Fonction majorée :
Fonction minorée :
Fonction bornée :
Dénition 5 : Fonction minorée
Soit f une fonction dénie sur un ensemble D
On dit que f est minorée sur D si et seulement s'il existe un réel m
tel que : pour tout réel x de D ; f (x) ≥ m. On note f ≥ m sur D
Interprétation graphique : f ≥ m sur D si et seulement si (Cf ) est
au-dessus de la droite d'équation y = m sur D
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Parité d'une fonction
Fonction majorée :
Fonction périodique
Fonction minorée :
Fonction majorée, minorée, bornée
Fonction bornée :
Comparaison de deux fonctions
Exemples des fonctions minorées
1
2
Les fonctions cos et sin sont minorées par -1.
On considère la fonction f dénie sur R par : f (x) = 2x2 + 6x
Montrons que f est minorée.
Soit x ∈ R on a :
f (x) = 2x2 + 6x = 2 x +
3
2
2
−
9
9
≥−
2
2
9
2
Donc f est minorée par − .
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Comparaison de deux fonctions
Fonction majorée :
Fonction minorée :
Fonction bornée :
Dénition 6 : Fonction bornée
Soit f une fonction dénie sur un ensemble D
On dit que f est bornée sur D si et seulement s'elle est minorée et
majorée sur D.
C'est-à-dire ∃(m, M ) ∈ R2 (∀x ∈ D); m ≤ f (x) ≤ M .
On note m ≤ f ≤ M sur D
Interprétation graphique : m ≤ f ≤ M sur D si et seulement si Cf )
est située entre les deux droites d'équations y = m et y = M sur D
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Fonction majorée, minorée, bornée
Comparaison de deux fonctions
Fonction majorée :
Fonction minorée :
Fonction bornée :
Fonction bornée
Propriété
Soit f une fonction dénie sur un ensemble D
Alors f est bornée sur D si et seulement s'il existe un réel positif
M tel que : pour tout réel x de D ; |f (x)| ≤ M .
Démonstration.
Si f est bornée sur D
Alors (∃(m, M ) ∈ R2 )(∀x ∈ D); m ≤ f (x) ≤ M
Donc (∀x ∈ D); |f (x)| ≤ max(|m|; M ).
Si (∀x ∈ D); |f (x)| ≤ M
Alors (∀x ∈ D); −M ≤ f (x) ≤ M
Donc f est bornée sur D.
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Fonction majorée, minorée, bornée
Comparaison de deux fonctions
Fonction majorée :
Fonction minorée :
Fonction bornée :
Exemples des fonctions bornées
1
2
Les fonctions cos et sin sont bornées.
x+3
On considère la fonction f dénie sur R par : f (x) = 2
x +1
Montrons que f est bornée.
x+3
x
3
Soit x ∈ R on a : f (x) = 2
= 2
+
x +1
x + 1 x2 + 1
On montre facilement que :
−1
x
1
3
≤ 2
≤ et que 0 < 2
≤3
2
x +1
2
x +1
1
7
Et donc − ≤ f (x) ≤
2
2
Donc f est bornée.
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Comparaison de deux fonctions
Fonction majorée :
Fonction minorée :
Fonction bornée :
Exemples des fonctions bornées
3
On considère la fonction g dénie sur R par :
g(x) = sin(x2 + 1) + 3 cos x
Montrons que f est bornée.
Soit x ∈ R on a : |f (x)| = | sin(x2 + 1) + 3 cos x|
Donc |f (x)| ≤ | sin(x2 + 1)| + 3| cos x|
d'où |f (x)| ≤ 4
Donc f est bornée.
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Egalité de deux fonctions
Fonction périodique
Comparaison de deux fonctions
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Comparaison de deux fonctions
Comparaison de deux fonctions
Résolution graphique des équations et des inéquations
Dénition 7 : Egalité de deux fonctions
Soient f et g deux fonctions numériques leurs domaines de
dénition Df et Dg .
On dit que f et g sont égaux et on écrit f = g si et seulement si
Df = Dg
(∀x ∈ Df ); f (x) = g(x)
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Fonction périodique
Comparaison de deux fonctions
Fonction majorée, minorée, bornée
Comparaison de deux fonctions
Comparaison de deux fonctions
Résolution graphique des équations et des inéquations
Exemples 1 : Soient f et g deux fonctions numériques de variable
réelle x dénies par :
f (x) = 1 − 2 cos x sin x et g(x) = (cos x − sin x)2
Montrons que f = g .
On a Df = R et Dg = R
donc Df = Dg .
Soit x ∈ R on a
g(x) = (cos x − sin x)2 = cos2 x − 2 cos x sin x + sin2 x
g(x) = 1 − 2 cos x sin x = f (x)
Donc f = g
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Comparaison de deux fonctions
Résolution graphique des équations et des inéquations
Comparaison de deux fonctions
Exemple 2 : Soient u et v deux fonctions numériques de variable
réelle x dénies par :
u(x) =
x
1
et v(x) =
x2 − x
x−1
On a : Du = R − {0; 1} et Dv = R − {1}
Donc Du 6= Dv .
D'où u 6= v
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Résolution graphique des équations et des inéquations
Dénition 8 : Comparaison de deux fonctions
Soient f et g deux fonctions numériques dénie sur un ensemble D.
On dit que f est inférieure ou égale à g sur D si et seulement si
(∀x ∈ D); f (x) ≤ g(x)
On note f ≤ g sur D.
Interprétation graphique : f ≤ g sur D si et seulement si (Cf ) est
au-dessous de (Cg ) sur D
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Résolution graphique des équations et des inéquations
Résolution graphique des équations et des inéquations
Soient f et g deux fonctions numériques dénie sur un ensemble D.
On note (Cf ) et (Cg ) leurs représentations graphiques dans repère
(O,~i, ~j)
Résolution graphique de l'équation f (x) = g(x)
L'ensemble des solutions de l'équation f (x) = g(x) sont les
abscisses des points d'intersections des courbes (Cf ) et (Cg )
Résolution graphique de l'inéquation f (x) ≤ g(x)
L'ensemble des solutions de l'inéquation f (x) ≤ g(x) sont les
abscisses des points de la courbe (Cf ) situées au-dessous (Cg )
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Comparaison de deux fonctions
Comparaison de deux fonctions
Résolution graphique des équations et des inéquations
Cas particuliers
Résolution graphique de l'équation f (x) = m
L'ensemble des solutions de l'équation f (x) = m sont les abscisses
des points d'intersections de la courbe (Cf ) et droite d'équation
y=m
Résolution graphique de l'inéquation f (x) ≤ m
L'ensemble des solutions de l'inéquation f (x) ≤ m sont les
abscisses des points de la courbe (Cf ) situées au-dessous de la
droite d'équation y = m
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Fonction périodique
Comparaison de deux fonctions
Fonction majorée, minorée, bornée
Comparaison de deux fonctions
Comparaison de deux fonctions
Résolution graphique des équations et des inéquations
Résolution graphique des équations et des inéquations
Exemple Soient f et g deux fonctions dénies sur R dont les
courbes sont représentées ci-dessous :
Déterminons graphiquement les solutions de l'équation
f (x) = g(x) et de l'inéquation f (x) ≤ g(x).
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Fonction périodique
Comparaison de deux fonctions
Fonction majorée, minorée, bornée
Comparaison de deux fonctions
Comparaison de deux fonctions
Résolution graphique des équations et des inéquations
Déterminons graphiquement les solutions de l'équation
f (x) = g(x).
L'ensemble des solutions de l'équation f (x) = g(x) sont les
abscisses des points d'intersection des courbes (Cf ) et (Cg )
Donc S = {−5, 2; −1, 5; 3, 5}
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Généralités sur les fonctions numériques
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Fonction périodique
Comparaison de deux fonctions
Fonction majorée, minorée, bornée
Comparaison de deux fonctions
Comparaison de deux fonctions
Résolution graphique des équations et des inéquations
Déterminons graphiquement les solutions de l'inéquation
f (x) ≤ g(x).
L'ensemble des solutions de l'inéquation f (x) ≤ g(x) sont les
abscisses des points de la courbe (Cf ) situées au-dessous (Cg )
Donc S = [−5, 2; −1, 5] sup[3, 5; +∞[
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