Rotationnel — Wikipédia

Rotationnel
opérateur différentiel, qui, appliqué à un
champ vectoriel tridimensionnel, exprime
la tendance du champ à tourner autour
un point
L'opérateur rotationnel est un opérateur différentiel aux dérivées partielles qui, à un champ
vectoriel tridimensionnel, noté ou , fait correspondre un autre champ noté au choix:
ou bien ou bien ou bien ou bien
selon les conventions de notations utilisées pour les vecteurs[1].
Exemple d'un champ de vecteurs ayant un rotationnel uniforme, analogue à un fluide tournant autour d'un point
central.

Plus difficile à se représenter aussi précisément que le gradient et la divergence, il exprime la
tendance qu'ont les lignes de champ d'un champ vectoriel à tourner autour d'un point: sa
circulation locale sur un petit lacet entourant ce point est non nulle quand son rotationnel ne
l'est pas. Par exemple:
dans une tornade, le vent tourne autour de l'œil du cyclone et le champ vectoriel vitesse du
vent a un rotationnel non nul autour de l'œil. Le rotationnel de ce champ de vitesse
(autrement dit le champ de vorticité ou encore champ tourbillon) est d'autant plus intense
que l'on est proche de l'œil. La vitesse instantanée de rotation d'un élément de volume
dans un tourbillon est la moitié du rotationnel en ce point.
le rotationnel du champ des vitesses d'un solide qui tourne à la vitesse angulaire
est dirigé selon l'axe de rotation et orienté de telle sorte que la rotation ait lieu, par rapport
à lui, dans le sens direct et vaut simplement .
La notion de rotationnel de la vitesse est essentielle en mécanique des fluides. Elle décrit une
rotation de la particule fluide. Si l'écoulement est irrotationnel (son rotationnel est nul en tout
point), en termes mathématiques, le vecteur vitesse est alors le gradient du potentiel (on dit
alors que les vitesses «dérivent d'un potentiel»). Si le fluide peut être considéré comme
incompressible, la divergence de ce vecteur s'annule. Le laplacien du potentiel est donc nul:
il s'agit d'un potentiel harmonique qui satisfait l'équation de Laplace.
Le rotationnel est un opérateur qui transforme un champ de vecteurs en un autre champ de
vecteurs.
Dans un espace à 3 dimensions et en coordonnées cartésiennes (donc en base orthonormée
directe), on peut définir le rotationnel d'un champ F(Fx, Fy, Fz) par la relation
,
où désigne l'opérateur nabla. L'analogie formelle avec un produit vectoriel justifie la
notation (on trouve aussi la notation dans la littérature anglo-saxonne,
conformément à la notation de Gibbs pour le produit vectoriel).
Cela peut aussi s'écrire, par abus de notation, à l'aide d'un déterminant:
Définition

où i, j, k correspondent aux vecteurs de la base orthonormée considérée. Cette dernière
expression est en apparence un peu plus compliquée que la précédente, mais elle se
généralise facilement à d'autres systèmes de coordonnées (voir plus bas).
La définition ne dépend pas de la base dans laquelle on écrit F. Pour expliciter cette
indépendance on peut préférer une définition qui ne fait pas référence aux coordonnées de F.
Ainsi, une définition intrinsèque (parmi d'autres) du rotationnel est la suivante. À partir d'un
vecteur constant X0 et du champ F, on peut construire le champ dont la divergence
est une forme linéaire vis-à-vis de X0, et donc exprimable sous la forme d'un produit scalaire
K·X0, où K s'avère être l'opposé du rotationnel de F:
Une autre définition possible, plus générale mais plus difficile à formaliser, consiste à définir
le rotationnel d'un champ de vecteurs en un point comme la circulation locale du champ
autour de ce point[2]. Le sens précis de cette définition découle du théorème de Green qui,
pour une surface de frontière , implique
À l'instar de ce qu'il se passe pour le produit vectoriel de deux vecteurs, le rotationnel d'un
champ de vecteurs vrai en un point est un pseudovecteur.
Tenseur rotationnel
En réalité, le rotationnel ne peut se décrire rigoureusement que dans le cadre du formalisme
des tenseurs. Dans ce contexte, le rotationnel est appliqué sur une forme linéaire ƒ pour
former un tenseur d'ordre 2. Ses composantes s'écrivent
.
Cette expression ne fait intervenir que des dérivées ordinaires et non des dérivées
covariantes. La différence qui intervient est la même que l'on considère des dérivées
ordinaires ou des dérivées covariantes[3]. Cette expression peut être par construction vue
comme une matrice antisymétrique. En dimension 3, il existe une correspondance avec les
vecteurs (possédant trois composantes) et les matrices antisymétriques (possédant trois
composantes indépendantes). On peut donc assimiler cette matrice à un vecteur.
Techniquement, la correspondance est faite à l'aide du tenseur de Levi-Civita ε, qui permet de

construire le vecteur dual d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2. Le rotationnel d'un champ de
vecteurs a tridimensionnel est défini comme le dual du tenseur rotationnel:
.
À partir du moment où est définie une métrique g, on peut sans difficulté construire le
rotationnel d'un vecteur, en utilisant la métrique pour transformer le vecteur en sa forme
linéaire associée puis en utilisant la formule ci-dessus. Ainsi, pour un vecteur a de
composantes ab, on a
.
C'est bien sûr cette expression-là qui doit être utilisée pour le calcul du rotationnel dans un
système de coordonnées non cartésiennes (par exemple cylindriques ou sphériques, voir
plus bas).
Vocabulaire
Un champ vectoriel dont le rotationnel est nul, est un champ irrotationnel ou champ
conservatif.
Linéarité
Pour toute constante c réelle et pour tous champs vectoriels A et B
,
.
Composition avec une autre quantité
Pour tout champ scalaire u[4],
,
,
où la notation représente un opérateur scalaire sur chaque coordonnée du
vecteur auquel il s'applique: [5].
Composition avec plusieurs opérateurs
Règles de calcul

, i.e. le rotationnel du gradient est toujours nul,
, i.e. la divergence du rotationnel est toujours nulle,
(Voir rotationnel du rotationnel)
Expression dans d'autres systèmes de coordonnées
En coordonnées cylindriques
.
En coordonnées sphériques
En choisissant pour convention les notations physiques (conformément au standard ISO 31-
11), soit :
.
Dans le cas usuel où les coordonnées de la base représentent des longueurs, l'unité du
rotationnel est alors l'unité du champ considéré divisée par une unité de longueur. Par
exemple, l'unité du rotationnel d'un champ de vitesse est le radian par unité de temps,
comme une vitesse angulaire.
1. En écriture manuscrite où les caractères gras sont difficiles à réaliser, on préfère l'une des
deux dernières notations, mais dans un ouvrage on trouve le plus souvent la première
notation.
2. Sciences.ch (calcul vectoriel) (http://www.sciences.ch/htmlfr/algebre/algebreclcvectoriel
01.php#rotationnelchampvecteurs)
3. Ceci n'est en toute rigueur vrai que si l'on se restreint au cas où la torsion est nulle. Mais
même en présence de torsion non nulle, l'expression avec des dérivées ordinaires reste un
tenseur.
Unité
Notes et références