DUNOD - Physique tout en un PSI- PSI (2014)

PSI | PSI*
TOUT-EN UN
Stéphane Cardini, eliSabeth Ehrhard,
annie GuErillot, thierry Guillot, bruno
Morvan, Marie-noëlle Sanz
Physique
tout-en-un
Préface de Jean-philippe BourGoin
Avec la collaboration de :
anne-eMManuelle BadEl
FrançoiS ClauSSEt
bernard SalaMito
P0I-IV-9782100713738.indd 3
16/07/2014 14:56:36
Conception et création de couverture : Atelier 3+
© Dunod, 2014
5 rue Laromiguière, 75005 Paris
www.dunod.com
ISBN 978-2-10-071997-
P0I-IV-9782100713738.indd 4
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C’est un plaisir et un grand honneur pour moi que de préfacer cet ouvrage remarquable de
clarté, présentant de façon simple, progressive et rigoureuse, les savoirs fondamentaux qui
accompagneront les futurs ingénieurs tout au long de leur carrière professionnelle.
Dans un récent rapport (« examens de l’OCDE des politiques d’innovation : France », 2014),
l’OCDE souligne que l’enjeu de dynamiser l’innovation en France est plus que jamais important ; il note aussi parmi les forces du système français sa capacité à former « des ingénieurs
de grande qualité, polyvalents et innovants pour l’industrie ». Or c’est bien par le biais d’une
démarche pédagogique telle que celle de ce livre que se pérennise cette force !
Les savoirs et les technologies évoluent aujourd’hui à un rythme particulièrement soutenu ce
que j’illustrerai par le fait qu’environ 1,5 millions d’articles scientifiques sont publiés chaque
année dans le monde.
Ces savoirs et technologies sont de plus en plus complexes :
• un processeur compte de l’ordre de 2 milliards de transistors ;
• un calculateur haute performance, nécessaire pour la conception des avions et des voitures, pour la génomique, pour la simulation des évolutions du climat. . . compte plusieurs
centaines de milliers de ces processeurs.
Paradoxalement, la technologie est de moins en moins « apparente », les interfaces d’utilisation se doivent en effet d’être parfaitement intuitives ce qui d’ailleurs augmente la complexité
des solutions techniques à mettre en place. Tout ceci concoure à renforcer l’importance pour
l’ingénieur de maîtriser les bases de culture générale scientifiques et techniques, condition
sine qua non du maintien dans la durée de sa pertinence technique et de sa capacité d’innovation.
Il s’agira aussi pour l’ingénieur de rester en permanence curieux et ouvert aux évolutions.
Ce livre l’y prépare par les exemples donnés, à la fois simples et judicieux, et les mises
en perspective, qui, dans une démarche indispensable de mon point de vue, permettent à
l’étudiant de comprendre la portée des concepts mis en équations.
J’y ajouterai un conseil pour les étudiants, futurs ingénieurs, qui liront ce livre : « prévoyez
dès maintenant de préparer une thèse de doctorat : d’une part le doctorat est le standard mondial pour les acteurs innovants de la technologie, et d’autre part la démarche de la recherche,
en construisant de nouveaux savoirs, complète tout naturellement les savoirs consolidés que
vous pourrez acquérir durant votre future formation d’ingénieur ».
Jean-Philippe B OURGOIN
Agrégé de Sciences Physiques
Directeur de la stratégie et des programmes du CEA
I
Electronique
25
1
Stabilité des systèmes linéaires
1
Systèmes linéaires, continus et invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Notion générale de système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Systèmes continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Systèmes invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Description d’un système électronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Représentation par équation différentielle . . . . . . . . . . . . .
2.2
Représentation par fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Lien entre l’équation différentielle et la transmittance . . . . . . .
3
Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Système du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Système du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
Critère de stabilité d’un système du premier ou du deuxième ordre
3.5
Lien avec la stabilité mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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34
35
Amplificateur linéaire intégré
1
Amplificateur linéaire intégré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Visite guidée d’une datasheet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Propriétés essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Étude d’un montage à rétroaction négative : l’amplificateur non inverseur
2.1
Présentation et schéma-bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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37
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2
TABLE DES MATIÈRES
3
4
5
3
4
4
2.3
Stabilité du montage bouclé . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Diagramme de Bode et fonction amplificatrice . . . . . . . . .
2.5
Produit gain-bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Complément : temps de réponse . . . . . . . . . . . . . . . . .
Étude d’un montage à rétroaction positive : le comparateur à hystérésis .
Complément : compétition de rétroaction . . . . . . . . . . . . . . . .
Limite du gain infini (régime linéaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Cadre de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Passage à la limite pour l’amplificateur non inverseur . . . . . .
5.3
Règle de calcul simplifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4
Suiveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5
Impédance d’entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6
Impédance de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7
Amplificateur inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8
Amplificateur non inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9
Intégrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Complément : intégrateur sur une zone limitée en fréquence . .
5.11 Mise en cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oscillateurs quasi-sinusoïdaux
1
Présentation d’un oscillateur quasi-sinusoïdal . .
1.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Montage étudié . . . . . . . . . . . . . .
2
Conditions théoriques d’auto-oscillation . . . . .
2.1
Condition sur le gain et la fréquence . . .
2.2
Énergie du signal . . . . . . . . . . . . .
3
Condition de démarrage des oscillations . . . . .
3.1
Condition d’instabilité du système bouclé
3.2
Complément : conditions initiales . . . .
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Oscillateurs à relaxation
1
Amplificateur opérationnel de gain infini en régime saturé .
1.1
Comparateur simple . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Enrichissement spectral . . . . . . . . . . . . . .
2
Comparateurs à hystérésis . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Comparateur « négatif » . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Comparateur « positif » . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Reconnaître un comparateur à hystérésis . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
3
5
6
Générateur de signal . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Schéma fonctionnel . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Montage et observation expérimentale . . . .
3.3
Description des séquences de fonctionnement
3.4
Période d’oscillation . . . . . . . . . . . . .
3.5
Choix des composants . . . . . . . . . . . .
3.6
Complément : filtrage . . . . . . . . . . . .
Électronique Numérique
1
Échantillonage . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Analyse stroboscopique . . . . . . . . .
1.3
Théorème de Nyquist-Shannon . . . . . .
2
Spectre d’un signal échantillonné . . . . . . . . .
2.1
Calcul du spectre . . . . . . . . . . . . .
2.2
Repliement du spectre . . . . . . . . . .
2.3
Cas d’un signal rectangulaire . . . . . . .
2.4
Stroboscopie . . . . . . . . . . . . . . .
3
Analyse spectrale expérimentale . . . . . . . . .
3.1
Choix de la fréquence d’échantillonnage .
3.2
Choix du nombre de points . . . . . . . .
3.3
Visualisation d’un spectre à l’oscilloscope
4
Traitement numérique du Signal . . . . . . . . .
4.1
Avantages de la numérisation . . . . . .
4.2
Filtrage Numérique . . . . . . . . . . . .
5
Mise en œuvre concrète . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Présentation générale . . . . . . . . . . .
5.2
Exemple : filtre passe-bas . . . . . . . .
5.3
Oscillateur à porte logique . . . . . . . .
Modulation − Démodulation
1
Modulation . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Historique . . . . . . . . . . .
1.2
Les trois types de modulation
1.3
Utilisations . . . . . . . . . .
2
Modulation d’amplitude . . . . . . .
2.1
Expression mathématique . .
2.2
Réalisation pratique . . . . .
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132
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135
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148
148
149
149
149
5
TABLE DES MATIÈRES
3
4
II
7
6
2.3
Taux de modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Spectre d’un signal modulé . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Cas d’un signal quelconque . . . . . . . . . . . . . . . .
Démodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Changement de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Démodulation synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analyse documentaire : les transmissions hertziennes . . . . . . .
4.1
Document 1 : la découverte des ondes électromagnétiques
4.2
Document 2 : modulation en tout ou rien . . . . . . . . .
4.3
Document 3 : attribution des fréquences . . . . . . . . . .
4.4
Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Thermodynamique
Diffusion de particules
1
Mouvement de particules . . . . . . . . . .
1.1
Diffusion . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Convection . . . . . . . . . . . . .
2
Vecteur densité de courant de particules #–
ȷ .
2.1
Définition . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Débit de particules . . . . . . . . .
2.3
Densité de particules n . . . . . . .
3
Loi de Fick . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Énoncé . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Limites de validité de la loi de Fick
4
Équations de continuité et de diffusion . . .
4.1
Géométrie cartésienne . . . . . . .
4.2
Terme source . . . . . . . . . . . .
4.3
Géométrie cylindrique . . . . . . .
4.4
Géométrie sphérique . . . . . . . .
4.5
Généralisation . . . . . . . . . . .
5
Remarques générales . . . . . . . . . . . .
5.1
Irréversibilité . . . . . . . . . . . .
5.2
Solution en ordre de grandeur . . .
5.3
Lien entre #–
ȷ conv et n . . . . . . . .
5.4
Complément : nombre de Péclet . .
6
Du microscopique au mésoscopique . . . .
150
150
151
152
152
154
155
155
156
157
158
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171
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173
174
176
178
179
179
180
181
181
182
TABLE DES MATIÈRES
6.1
6.2
8
9
Mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Exemple de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Écriture infinitésimale des principes de la thermodynamique
1
Calcul infinitésimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Notations d et δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Intégration des formes différentielles . . . . . . .
1.3
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Écriture des principes sous forme infinitésimale . . . . . .
2.1
Premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Deuxième principe . . . . . . . . . . . . . . . . .
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203
203
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204
205
207
207
208
Diffusion thermique
1
Mise en évidence expérimentale . . . . . . . . . . . .
1.1
Expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Les trois modes de transport de l’énergie . . .
2
Flux d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Flux thermique . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Loi de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Équilibre thermodynamique local . . . . . . . . . . . .
4
Équation de la diffusion thermique . . . . . . . . . . .
4.1
Géométrie cartésienne . . . . . . . . . . . . .
4.2
Terme source . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Géométrie cylindrique . . . . . . . . . . . . .
4.4
Géométrie sphérique . . . . . . . . . . . . . .
4.5
Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6
Analyse en ordre de grandeur . . . . . . . . .
4.7
Irréversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Continuité du flux thermique . . . . . . . . . .
5.2
Continuité de la température ou loi de Newton
5.3
Exemple de l’interface entre deux milieux . . .
5.4
Paroi calorifugée . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Régime stationnaire (sans terme source) . . . . . . . .
6.1
Flux conservatif . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Exemple cartésien . . . . . . . . . . . . . . .
6.3
Résistance thermique et analogie électrique . .
6.4
Expressions de la résistance thermique . . . . .
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214
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7
TABLE DES MATIÈRES
6.5
6.6
6.7
Associations de résistances thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . 231
ARQS thermique : définition et limite de validité . . . . . . . . . . . 232
Circuits RC thermiques dans l’ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
III Mécanique des fluides
267
10 Statique des fluides
269
1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
1.1
Les différentes échelles importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
1.2
Notion de particule de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
2
Forces dans un fluide au repos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
2.1
Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
2.2
Forces volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
2.3
Force de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
2.4
Résultante des forces de pression sur une particule de fluide . . . . . 274
2.5
Résultante des forces de pression s’exerçant sur une surface fermée
dans le cas d’une pression uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
2.6
Application pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3
Relation fondamentale de la statique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3.1
Expression générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3.2
Cas de la seule pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
4
Évolution de la pression au sein d’un fluide incompressible dans un champ
de pesanteur uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5
Évolution de la pression au sein d’un gaz parfait isotherme dans un champ de
pesanteur uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6
Poussée d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6.1
Notion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6.2
Théorème d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7
Complément : notion de poids apparent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
7.1
Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.2
Complément : cas d’un objet entouré de plusieurs fluides différents . 284
8
Différentes méthodes pour calculer la résultante des forces de pression s’exerçant sur une portion d’un objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
8.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
8.2
Première méthode : utilisation de la poussée d’Archimède . . . . . . 287
8.3
Deuxième méthode : utilisation d’un autre système que l’objet luimême . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
8.4
Troisième méthode : calcul direct, en exploitant au mieux les symétries289
8
TABLE DES MATIÈRES
9
Complément : notion de point d’application des forces de pression . . . . . . 291
9.1
Point d’application de la poussée d’Archimède . . . . . . . . . . . . 291
9.2
Point d’application de la résultante des forces de pression . . . . . . . 291
11 Débits et lois de conservation
1
Vitesse microscopique et vitesse mésoscopique . . . . . . . . . . . . .
2
Descriptions lagrangienne (complément) et eulérienne . . . . . . . . .
2.1
Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Description eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Lien entre trajectoires et lignes de courants . . . . . . . . . . .
3
Vecteur densité de courant de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Masse élémentaire traversant une surface dS par unité de temps
3.2
Expression du vecteur densité de courant de masse . . . . . . .
4
Débit massique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Équation locale de conservation de la masse en 1D . . . . . . .
5.2
Équations de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . .
6
Débit volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Écoulements particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1
Écoulements stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Écoulements homogènes et incompressibles . . . . . . . . . . .
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315
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317
317
318
321
12 Actions de contact sur un fluide en écoulement
1
Forces surfaciques normales et tangentielles . . . . . . . . .
2
Force normale de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Force tangentielle de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Notion de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Force de viscosité dans un écoulement parallèle . . .
4
Profils de vitesses de certains écoulements parallèles . . . .
4.1
Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Complément : écoulement de Couette plan . . . . .
4.3
Complément : écoulement de Poiseuille plan . . . .
4.4
Complément : écoulement de Poiseuille cylindrique .
5
Forces volumiques dans un fluide en écoulement . . . . . .
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13 Écoulements homogènes et incompressibles dans une conduite cylindrique
347
1
Vitesse débitante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
2
Écoulements laminaires et turbulents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
9
TABLE DES MATIÈRES
3
4
2.1
Approche descriptive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Les deux modes de transport de la quantité de mouvement . . . . . .
Nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Complément : définition à partir des flux surfaciques . . . . . . . . .
3.2
Définition à partir des temps caractéristiques . . . . . . . . . . . . .
3.3
Complément : définition à partir d’une analyse dimensionnelle . . . .
3.4
Transition entre régimes laminaire et turbulent dans une conduite . .
3.5
Écoulements similaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6
Transition entre régime laminaire et régime turbulent dans un cas plus
général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chute de pression dans une conduite horizontale . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Cas des écoulements stationnaires à faible nombre de Reynolds . . .
4.2
Cas des nombres de Reynolds élevés . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 Écoulement externe homogène et incompressible autour d’un obstacle
1
Notion de couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Écoulements autour d’un cylindre en fonction du nombre de Reynolds
3
Force de traînée subie par une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Évolution de la force de traînée avec le nombre de Reynolds .
4
Force de traînée subie par des objets de formes diverses . . . . . . . .
5
Traînée et portance d’une aile d’avion à haut nombre de Reynolds . .
5.1
Complément : caractéristiques d’une aile d’avion . . . . . . .
5.2
Définition de la traînée et de la portance d’une aile d’avion . .
5.3
Complément : polaire d’une aile . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4
Complément : notion de décrochage . . . . . . . . . . . . . .
5.5
Complément : notion de traînée induite . . . . . . . . . . . .
5.6
Complément : hélices tractrices et éoliennes . . . . . . . . . .
15 Bilans macroscopiques
1
Systèmes fermés en écoulement . . . . . . . . .
1.1
Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Définition du système . . . . . . . . . .
2
Bilans thermodynamiques d’énergie et d’entropie
2.1
Bilans d’énergie . . . . . . . . . . . . .
2.2
Bilans d’entropie . . . . . . . . . . . . .
3
Modèle de l’écoulement parfait . . . . . . . . . .
3.1
Notion d’écoulement parfait . . . . . . .
10
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409
409
409
409
410
410
415
416
416
TABLE DES MATIÈRES
3.2
3.3
4
5
6
IV
Lien entre énergie interne massique et enthalpie massique . . . . . .
Relation de Bernoulli pour les écoulements parfaits stationnaires homogènes et incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
Applications de la relation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . .
Écoulements réels : pertes de charge dans une conduite . . . . . . . . . . . .
4.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Perte de charge régulière dans une conduite de longueur L et de diamètre D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Perte de charge singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bilans macroscopiques d’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bilans de quantité de mouvement et de moment cinétique . . . . . . . . . . .
6.1
Loi de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Loi du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Électromagnétisme
16 Électromagnétisme en régime statique : le champ électrique
1
Charges électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Existence des charges électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Charge électrique au niveau microscopique . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Charge électrique à l’échelle mésoscopique . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Distribution volumique de charge électrique . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Distributions surfacique, linéique et ponctuelle de charges . . . . . .
1.6
Propriétés de la charge totale d’un système fermé . . . . . . . . . . .
2
Force électrique, définition du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Expérience historique de Coulomb et force de Coulomb . . . . . . .
2.2
Définition du champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Champ électrique créé par une charge ponctuelle . . . . . . . . . . .
3
Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Théorème de Gauss et calcul du champ électrique . . . . . . . . . . .
3.3
Théorème de Gauss pour le champ de gravitation . . . . . . . . . . .
4
Équations locales de l’électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Du théorème de Gauss à l’équation locale de Maxwell Gauss . . . . .
4.2
Équation de Maxwell Faraday en électrostatique, existence du potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Énergie potentielle électrique d’une charge . . . . . . . . . . . . . .
417
417
418
425
425
425
429
431
432
432
436
463
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465
465
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470
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473
474
474
475
475
476
476
478
480
11
TABLE DES MATIÈRES
5
6
7
8
9
4.4
Équations de Poisson et de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
4.5
Linéarité des équations locales de l’électrostatique et conséquence . . 482
Symétries du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
5.1
Principe de Curie, plan de symétrie ou d’antisymétrie . . . . . . . . . 482
5.2
Observation des lignes de champ du champ électrique généré par une
distribution de charges présentant un plan de symétrie et conséquences 485
5.3
Observation des lignes de champ du champ électrique généré par une
distribution présentant un plan d’antisymétrie et conséquences . . . . 486
5.4
Propriétés de symétries pour le champ électrostatique . . . . . . . . . 487
5.5
Symétrie élevée d’une distribution de charges . . . . . . . . . . . . . 487
Invariances de la distribution de charges par des transformations géométriques 488
6.1
Invariance par translation selon un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
6.2
Invariance par rotation autour d’un axe . . . . . . . . . . . . . . . . 488
Propriétés topographiques du champ électrique et du potentiel . . . . . . . . 488
7.1
Le champ électrique est orienté vers les potentiels décroissants . . . . 489
7.2
Extrema relatifs du potentiel et charges électriques . . . . . . . . . . 489
7.3
Intersection des lignes de champ électrique . . . . . . . . . . . . . . 490
7.4
Le champ électrique est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles 490
7.5
Conservation du flux électrique en un lieu vide de charge . . . . . . . 491
7.6
Valeur du champ et surfaces équipotentielles successives . . . . . . . 491
7.7
Exemples d’interprétation de cartes de lignes de champs . . . . . . . 492
Calculs de champs électriques ou de gravitation créés par des distributions de
symétrie élevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
8.1
Choix d’une surface de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
8.2
Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
8.3
Champ électrostatique et potentiel créé par un fil chargé . . . . . . . 495
8.4
Champ de gravitation d’une boule homogène . . . . . . . . . . . . . 497
8.5
Champ électrostatique et potentiel créé par un plan chargé . . . . . . 498
Calculs de champs électriques par application du principe de superposition . . 500
9.1
Distributions concernées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
9.2
Étude du champ électrique dans une cavité d’une distribution volumique de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
17 Courant-Conducteur électrique
1
Courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Cas où les porteurs de charge sont tous identiques . . . . . . . . . . .
1.2
Cas où plusieurs types de porteurs de charges contribuent au courant
total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
525
525
525
527
TABLE DES MATIÈRES
2
3
4
1.3
Vecteur densité de courant électrique et changement de référentiel . .
Équation de conservation de la charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Équation de conservation de la charge dans le cas d’un problème à
une dimension selon un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Équation de conservation de la charge dans le cas général . . . . . . .
2.3
Équation locale de conservation de la charge en régime stationnaire .
2.4
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courant dans un métal : modèle de Drüde . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Description microscopique du métal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Conduction dans un métal soumis à un champ électrique permanent :
modèle de Drüde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Conductivité d’un métal, loi d’Ohm locale, ordres de grandeur . . . .
3.4
Loi d’Ohm intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
Puissance cédée aux porteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6
Limite de validité du modèle de Drüde . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7
Approche documentaire : matériau semi-conducteur, application à la
conversion photovoltaïque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condensateur plan constitué de deux plaques métalliques conductrices à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Propriétés d’un conducteur en équilibre statique . . . . . . . . . . . .
4.2
Phénomène d’influence électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Calcul du champ électrique créé dans un condensateur chargé . . . .
4.4
Capacité du condensateur plan, et énergie contenue . . . . . . . . . .
4.5
Condensateur avec diélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 Électromagnétisme en régime statique : le champ magnétique
1
Définition du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Force magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Puissance de la force magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Unité du champ magnétique et ordres de grandeurs . . . . . . . . . .
2
Distribution de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Équations locales de la magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Équation de Maxwell Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Équation de Maxwell Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Propriétés des équations de Maxwell Ampère et de Maxwell Thomson, conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
Propriété topographique du champ magnétostatique . . . . . . . . . .
4
Théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
527
529
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564
564
564
565
566
566
13
TABLE DES MATIÈRES
5
6
7
4.1
Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Démonstration du théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Calcul du courant enlacé en présence d’une distribution linéique . . .
Symétries du champ magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Symétrie et antisymétrie de la distribution de courants . . . . . . . .
#–
5.2
Observation des symétries de B sur un cas particulier . . . . . . . . .
5.3
Propriétés de symétrie pour le champ magnétostatique . . . . . . . .
5.4
Symétrie élevée d’une distribution de courants . . . . . . . . . . . .
Calculs de champs magnétostatiques à l’aide du théorème d’Ampère . . . . .
6.1
Choix du contour d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
#–
6.2
Méthode de calcul du champ B créé par une distribution de courant
présentant de fortes symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3
Champ magnétostatique créé par un fil dans son voisinage : champ
d’un fil infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4
Champ magnétostatique créé par un fil épais infini . . . . . . . . . .
6.5
Champ magnétique créé par un solénoïde infini . . . . . . . . . . . .
6.6
Champ magnétique créé par une bobine torique . . . . . . . . . . . .
Force de Laplace exercée sur des conducteurs parcourus par des courants . .
7.1
Force de Laplace exercée sur une distribution volumique de courant .
7.2
Force de Laplace exercée sur un conducteur filiforme . . . . . . . . .
19 Équations de Maxwell
1
Les équations de Maxwell en régime variable . . . . . .
1.1
Insuffisances des équations du régime permanent
1.2
Équation de Maxwell-Gauss . . . . . . . . . . .
1.3
Équation de Maxwell-Thomson . . . . . . . . .
1.4
Équation de Maxwell-Faraday . . . . . . . . . .
1.5
Équation de Maxwell-Ampère . . . . . . . . . .
1.6
Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7
Lien avec la conservation de la charge . . . . . .
2
Propriétés de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Application du principe de Curie . . . . . . . . .
2.2
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Énergie cédée aux porteurs de charge . . . . . . . . . . .
3.1
Densité de force électromagnétique . . . . . . .
3.2
Puissance électromagnétique cédée au milieu . .
20 Approximation des régimes quasi-stationnaires
14
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605
606
606
606
621
TABLE DES MATIÈRES
1
2
3
4
5
V
Échelles spatiale et temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Définition des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Expression des ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . .
Hypothèses de l’ARQS magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Propriétés de l’ARQS magnétique . . . . . . . . . . . . . . .
Induction électromagnétique dans un conducteur massif . . . . . . . .
3.1
Induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Description du dispositif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
Calcul du champ électrique et du courant induits . . . . . . .
3.5
Bilan d’énergie et applications . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6
Complément : champ magnétique créé par les courants induits
3.7
Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Induction électromagnétique dans un circuit électrique filiforme . . .
Énergie magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Inductance propre et mutuelle inductance . . . . . . . . . . .
5.2
Densité volumique d’énergie magnétique . . . . . . . . . . .
5.3
Couplage parfait, couplage partiel . . . . . . . . . . . . . . .
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Conversion de puissance
21 Puissance électrique en régime sinusoïdal
1
Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Les différents régimes de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Valeur instantanée, valeur moyenne, valeur efficace . . . . . . . . .
2
Puissance reçue par un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Puissance instantanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Puissance moyenne en régime périodique . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Dipôles qui ne consomment pas de puissance en régime périodique
2.4
Dipôles qui consomment de la puissance en régime périodique . . .
3
Puissance en régime sinusoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Impédance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Puissance moyenne reçue par un dipôle en régime sinusoïdal . . . .
3.3
Diagramme de Fresnel et puissance moyenne reçue par un dipôle .
3.4
Étude du facteur de puissance d’une installation électrique . . . . .
3.5
Puissance et décomposition en série de Fourier . . . . . . . . . . .
621
621
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661
15
TABLE DES MATIÈRES
22 Milieux ferromagnétiques et transformateur
1
Moment magnétique d’un aimant permanent . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Champ créé par aimant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Modèle de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Actions subies par un dipôle magnétique . . . . . . . . . . . .
2
Équations de Maxwell dans un milieu magnétique, dans l’ARQS . . . .
2.1
Aimantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Vecteur excitation magnétique et équation de Maxwell-Ampère
2.3
Formes intégrées des équations de Maxwell . . . . . . . . . . .
3
Milieu ferromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Qu’est-ce qu’un matériau ferromagnétique ? . . . . . . . . . . .
3.2
Cycles d’hystérésis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Milieu doux, milieu dur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
Complément : comprendre le ferromagnétisme . . . . . . . . .
4
Circuit magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Tore ferromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Canalisation des lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Électroaimant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Transformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Constitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Loi de transformation des tensions (en alternatif) . . . . . . . .
5.3
Loi de transformation des courants (en charge) . . . . . . . . .
5.4
Loi de transformation des puissances . . . . . . . . . . . . . .
5.5
Transformateur idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6
Normalisation et orientation des courants . . . . . . . . . . . .
5.7
Pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8
Énergie stockée dans un transformateur . . . . . . . . . . . . .
5.9
Transfert d’impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Relevé expérimental d’un cycle d’hystérésis . . . . . . . . . . .
5.11 Utilisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 Introduction à la conversion électro-magnéto-mécanique
1
Exemple introductif : étude d’un contacteur électromagnétique
1.1
Description du dispositif . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Analyse énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Expression de la force électromagnétique . . . . . . .
1.4
Calcul de la force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
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712
TABLE DES MATIÈRES
2
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714
714
715
716
722
725
725
725
725
24 Machine synchrone
1
Organisation de la machine synchrone . . . . . . . . . . . .
2
Etude des circuits statoriques . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Organisation générale d’une phase . . . . . . . . . .
2.2
Modélisation d’une phase statorique . . . . . . . . .
2.3
Alimentation et organisation relative des deux phases
3
Étude du circuit rotorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Couple électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Énergie électromagnétique . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Calcul du couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Équation électrique du moteur synchrone . . . . . . . . . .
5.1
Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Schéma électrique d’une phase . . . . . . . . . . . .
5.3
Diagramme de Behn Eschenburg . . . . . . . . . . .
6
Rendement du moteur synchrone . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
Expression des puissances . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Calcul du rendement . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Moteur synchrone en vitesse variable . . . . . . . . . . . . .
8
Fonctionnement de la machine synchrone en alternateur . . .
8.1
Conditions de fonctionnement . . . . . . . . . . . .
8.2
Équations électriques . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3
Schéma électrique d’une phase . . . . . . . . . . . .
8.4
Diagramme électrique . . . . . . . . . . . . . . . .
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743
743
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751
751
753
756
756
759
759
760
760
762
763
764
764
765
766
766
3
Complément : géneralisation des échanges d’énergie
2.1
Définitions et notations . . . . . . . . . . . .
2.2
Bilan d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Dispositif à excitation simple . . . . . . . . .
2.4
Complément : dispositif à excitation double .
2.5
Complément : cas de N circuits . . . . . . .
Convertisseurs électromécaniques . . . . . . . . . .
3.1
Réversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Ordre de grandeur des puissances . . . . . .
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25 Machine à courant continu
777
1
Organisation de la machine à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . 777
2
Étude du circuit statorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778
2.1
Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778
17
TABLE DES MATIÈRES
3
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779
779
783
785
786
787
787
788
789
789
789
790
792
792
793
26 Conversion électronique de puissance
1
Les différentes présentations de l’énergie électrique . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Présentation alternative de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Présentation continue de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Généralités sur les convertisseurs électroniques statiques de puissance. . . . .
2.1
Structure générale d’un convertisseur . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Les diverses conversions nécessaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Exemple introductif : recherche d’un convertisseur continu/continu
convenable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Cahier de charges et structure d’un convertisseur . . . . . . . . . . .
3
Dipôles type source de tension ou de courant . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Dipôles type source de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Dipôles type source de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Réversibilité des sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
Conclusion et retour sur la structure d’un convertisseur . . . . . . . .
4
Règles d’association des sources et structure du convertisseur à deux interrupteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Règles de connexions des sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Structure d’un convertisseur direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Les interrupteurs électroniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Interrupteur idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
805
805
805
806
806
807
807
808
4
5
6
7
18
Étude du circuit rotorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Cas d’une spire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Cas de plusieurs spires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Calcul de la force électromotrice d’induction du circuit rotorique .
Bilan d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma électrique de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Fonctionnement moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Fonctionnement générateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3
Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rendement de la machine à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
Effets dissipatifs dans une machine réelle . . . . . . . . . . . . .
6.2
Bilan de puissance dans la machine à courant continu . . . . . . .
Moteur à courant continu en régime transitoire . . . . . . . . . . . . . . .
7.1
Démarrage du moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Moteur en régime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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808
811
811
811
813
815
815
816
816
817
818
818
TABLE DES MATIÈRES
5.2
5.3
6
7
8
VI
Diode idéale ou interrupteur à commutation spontanée . . . . . . . .
Transistor idéal ou interrupteur idéal commandé à l’amorçage et au
blocage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4
Réalisation d’un interrupteur à trois segments par association d’interrupteurs à deux segments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hacheur série ou hacheur dévolteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
Étude préliminaire : E et I sont des constantes . . . . . . . . . . . . .
6.2
Première application : hacheur série sur charge r − L . . . . . . . . .
6.3
Deuxième application : commande d’un moteur à courant continu par
l’induit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Redresseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1
Architecture et cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Nature des interrupteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3
Formes d’ondes dans le cas d’un redressement d’un tension sinusoïdale avec une charge r − L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Onduleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1
Cahier des charges et choix d’une architecture . . . . . . . . . . . .
8.2
Étude de la tension ur et détermination de la nature des interrupteurs .
Physique des ondes
27 Équation de d’Alembert unidimensionnelle
1
La corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Cadre de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Équation de propagation sur la position . . . . .
2
Solutions progressives de l’équation de d’Alembert . . .
2.1
Ondes progressives . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Ondes progressives harmoniques . . . . . . . . .
2.3
Équation de dispersion . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Vitesse de phase . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Génération d’une onde progressive . . . . . . . .
2.6
Superposition d’ondes progressives harmoniques
3
Solutions stationnaires de l’équation de d’Alembert . . .
3.1
Corde attachée à une extrémité . . . . . . . . . .
3.2
Corde attachée aux deux extrémités . . . . . . .
3.3
Analyse des solutions stationnaires . . . . . . .
3.4
Méthode des variables séparées . . . . . . . . .
3.5
Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . .
819
820
821
822
822
825
831
834
835
836
836
838
838
839
867
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869
869
869
870
872
872
872
874
874
875
875
876
876
879
881
882
883
19
TABLE DES MATIÈRES
4
3.6
Régime harmonique forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884
Équivalence ondes progressives – ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . 885
28 Ondes dans un câble coaxial sans perte
1
Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Impédance caractéristique . . . . . . . . . . . . . .
4
Réflexion en amplitude sur une impédance terminale
4.1
Court-circuit . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Circuit ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Résistance terminale . . . . . . . . . . . . .
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903
903
903
905
906
907
909
910
29 Ondes sonores dans les fluides
1
Le son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Approximation acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Principe fondamental de la dynamique . . . . . . . . . . .
2.3
Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Évolution isentropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Équation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Cas unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Complément : cas tridimensionnel . . . . . . . . . . . . .
3.3
Célérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Étude énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Vecteur densité de courant énergétique . . . . . . . . . . .
4.2
Densité volumique d’énergie sonore . . . . . . . . . . . .
4.3
Complément : démonstration de l’équation de continuité .
4.4
Intensité acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Ondes planes progressives harmoniques (OPPH) . . . . . . . . .
5.1
Notation des OPPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Équation de dispersion et vitesse de phase . . . . . . . . .
5.3
Caractère longitudinal de l’OPPH sonore . . . . . . . . .
5.4
Impédance acoustique pour des ondes planes progressives
5.5
Justification de l’évolution isentropique . . . . . . . . . .
5.6
Démonstration de |v1 | ≪ c et a ≪ λ . . . . . . . . . . . .
5.7
Validation numérique de l’approximation acoustique . . .
5.8
Vocabulaire musical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Ondes sphériques progressives harmoniques . . . . . . . . . . . .
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925
925
926
926
926
928
928
929
929
930
931
932
932
933
933
933
935
935
936
936
937
938
939
939
940
940
20
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TABLE DES MATIÈRES
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940
941
941
942
943
943
943
944
944
945
947
948
948
950
30 Ondes électromagnétiques dans le vide
1
Densité d’énergie électromagnétique et énergie transportée . . . . . . . . . .
1.1
Bilan de Poynting de l’énergie électromagnétique . . . . . . . . . . .
1.2
Vecteur de Poynting, densité volumique d’énergie électromagnétique
2
Domaines de fréquence des ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . .
2.1
Radiofréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Fréquences optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Rayonnements ionisants : X et γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Équations de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide . . . . .
3.1
Équations de Maxwell dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . .
#–
#–
3.2
Équation de propagation vérifiée par E ou B . . . . . . . . . . . . .
4
Onde électromagnétique progressive harmonique dans le vide . . . . . . . . .
4.1
Les vecteurs attachés à une onde électromagnétique progressive . . .
4.2
Onde sphérique et onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Structure des ondes électromagnétiques planes progressives et harmoniques
dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Transversalité des ondes électromagnétiques planes . . . . . . . . . .
5.2
Représentations réelle et complexe du champ électrique d’une onde
électromagnétique plane progressive et harmonique . . . . . . . . . .
5.3
Champ électrique d’une OEPPH polarisée rectilignement . . . . . . .
#–
#–
5.4
Couplage entre les champs E et B d’une OEPPH polarisée rectilignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5
Retour sur la transversalité des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . .
981
981
981
983
984
985
986
986
986
986
987
988
988
988
7
8
6.1
Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Ondes sphériques progressives . . . . . . . . . . . . . .
6.3
Ondes sphériques progressives harmoniques . . . . . . .
6.4
Ondes sphériques et ondes planes . . . . . . . . . . . .
Réflexion et transmission sur une interface plane . . . . . . . .
7.1
Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Modélisation et conditions aux limites . . . . . . . . . .
7.3
Justification des conditions aux limites en 0 . . . . . . .
7.4
Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude
7.5
Coefficients de réflexion et de transmission en puissance
7.6
Approche documentaire : l’échographie médicale . . . .
Mesure de vitesse par effet Doppler . . . . . . . . . . . . . . .
8.1
Effet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2
Détection hétérodyne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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989
990
990
991
992
993
21
TABLE DES MATIÈRES
6
7
5.6
Équation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7
Conclusion : structure d’une OEPPH . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8
Énergie transportée par une OEPPH . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Réflexion d’une OEPPH sur un plan conducteur parfait en incidence normale
6.1
Plan conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Conditions de passage pour le champ électromagnétique . . . . . . .
6.3
Existence et calcul du champ électrique de l’onde réfléchie . . . . . .
6.4
Expressions des champs totaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5
Description du champ total : onde stationnaire . . . . . . . . . . . . .
6.6
Mise en évidence d’un courant surfacique sur le plan conducteur . . .
Approche documentaire : le laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1
But de l’approche documentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
Document : extraits de C.S CHWOB, Le laser : principe de fonctionnement, Reflets de la Physique n°21, Octobre 2010 . . . . . . . . . .
7.3
Les mots clefs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
993
994
994
998
998
999
1002
1002
1003
1005
1006
1006
1006
1011
31 Onde thermique. Dispersion absorption
1033
1
Exemple introductif : onde thermique en géométrie unidirectionnelle . . . . . 1033
1.1
Équation de la diffusion thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034
1.2
Évolution de la température dans le sol . . . . . . . . . . . . . . . . 1034
1.3
Conclusion : interprétation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037
2
Dispersion et absorption dans les milieux régis par une équation de propagation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038
2.1
Équation de propagation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038
2.2
Forme générique des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038
2.3
Équation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039
2.4
Interprétation des parties réelle et imaginaire de k . . . . . . . . . . . 1039
3
Propagation d’un paquet d’onde dans un milieu dispersif non absorbant . . . 1040
3.1
Onde parfaitement monochromatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041
3.2
Paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041
32 Ondes électromagnétiques planes dans les milieux conducteurs
1067
1
Propagation d’une onde plane harmonique dans un conducteur ohmique . . . 1067
1.1
Retour sur le modèle de Drüde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067
1.2
Équation de propagation d’une onde plane harmonique dans un conducteur, en basse fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069
1.3
Métal parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073
2
Onde électromagnétique dans un plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073
22
TABLE DES MATIÈRES
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
VII
Qu’est-ce qu’un plasma ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ions et électrons du plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conductivité du plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Équation de propagation et équation de dispersion dans le plasma
Description des ondes dans le plasma . . . . . . . . . . . . . . .
.
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.
.
.
Annexe mathématique
33 Outils mathématiques
1
Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Différentielle d’une fonction d’une seule variable . . . . .
1.2
Différentielle d’une fonction de plusieurs variables . . . .
1.3
Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Intégration des différentielles et des formes différentielles
1.5
Intégration de l’expression d’une dérivée partielle . . . . .
2
Notions de quantité infinitésimale et d’infiniment petit . . . . . .
2.1
Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Interprétation physique de d et δ . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Infiniment petits d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . .
3
Analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Champ scalaire, champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Circulation et flux d’un champ vectoriel . . . . . . . . . .
3.3
Gradient d’un champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . .
#–
3.4
Divergence d’un champ vectoriel A (M,t) . . . . . . . . .
#–
3.5
Rotationnel d’un champ vectoriel A . . . . . . . . . . . .
3.6
Application des opérateurs à des produits de champs . . .
3.7
Opérateur Nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8
Combinaisons d’opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9
Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Équations trigonométriques de la physique des ondes . . . . . . .
5
Transformation géométrique du graphe d’une fonction . . . . . .
.
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1073
1074
1075
1076
1077
1101
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1103
. 1103
. 1103
. 1104
. 1106
. 1107
. 1107
. 1109
. 1109
. 1109
. 1109
. 1110
. 1110
. 1111
. 1112
. 1114
. 1115
. 1118
. 1118
. 1119
. 1122
. 1123
. 1125
. 1125
23
Première partie
Electronique
25
1
Un système est décrit de manière équivalente par son équation différentielle ou sa fonction
de transfert. Ce point, déjà abordé en première année, est ici affirmé. On cherche ensuite un
critère de stabilité. Le lecteur est invité à réviser les bases de l’électricité dans S ALAMITO ,
C ARDINI , J URINE , S ANZ, Physique, tout-en-un, PCSI ou MPSI-PTSI, Collection J’intègre,
Dunod, 2013.
1
1.1
Systèmes linéaires, continus et invariants
Notion générale de système
Un système est un dispositif qui traite un ou plusieurs signaux d’entrée afin de réaliser la fonction voulue par son concepteur ; le système produit ainsi à son tour un ou plusieurs signaux de
sortie. Par exemple, un téléphone portable est une suite de systèmes qui accomplissent successivement la transformation d’un signal sonore, la voix, en un signal électrique ; la conversion
du signal électrique en un autre signal électrique constitué de niveaux logiques ; sa modulation puis finalement son émission, c’est à dire la transformation du signal électrique codé en
un signal électromagnétique.
Un système associe finalement à un signal d’entrée e un signal de sortie s.
entrée e
système
sortie s
Figure 1.1 – Représentation symbolique d’un système monoentrée et monosortie.
La notion de système est très générale. Ce peut être une vanne, dont l’entrée est l’angle d’un
robinet et la sortie un débit ; un moteur électrique, dont l’entrée est une tension de commande
et la sortie une vitesse de rotation ; une puce électronique, dont l’entrée et la sortie sont deux
tensions électriques. . .
CHAPITRE 1 – S TABILITÉ DES SYSTÈMES LINÉAIRES
Remarque
Un système n’est pas nécessairement monovariable, c’est-à-dire qu’il peut fort bien
manipuler plusieurs entrées et produire plusieurs sorties.
1.2
Systèmes continus
Il existe deux classes de systèmes : les systèmes continus et les systèmes numériques.
Dans un système continu, les signaux d’entrée et de sortie sont définis à chaque instant, on
les note e (t) et s (t) et on les qualifie de continus ou d’analogiques. Dans le cas de signaux
électriques, on peut les afficher sur un oscilloscope.
Remarque
Un signal continu est décrit par une fonction mathématique continue.
Un système numérique manipule et produit des signaux numériques, suites binaires de niveaux logiques 0 et 1. Ce sont typiquement des puces électroniques qu’on trouve dans tous
les ordinateurs, téléphones, tablettes. . . Les signaux numériques sont transformés en signaux
continus avec un convertisseur numérique-analogique, connu sous l’acronyme CNA ; l’opération inverse, qui convertit un signal continu en un signal numérique, est assurée par un
convertisseur analogique-numérique, ou CAN.
1.3
Systèmes linéaires
Les systèmes étudiés sont des systèmes linéaires : la réponse à une combinaison linéaire
d’entrées est la combinaison linéaire identique des sorties associées à chaque entrée. Par
exemple, si une personne A parle dans un téléphone, le récepteur entend A. Il entend de
même B si B parle dans le même téléphone. Et si A et B sont côte à côte et parlent tous les
deux en même temps, alors le récepteur entend les voix de A et de B. Ceci se formalise de la
manière suivante :
⇒
e1
système
s1
e2
système
s2
λ e1 + µ e2
système
λ s1 + µ s2
Figure 1.2 – Linéarité d’un système.
1.4
Systèmes invariants
Les systèmes étudiés sont des systèmes invariants dans le temps : leurs propriétés ne
changent pas au cours du temps. Ce n’est vrai qu’approximativement, car tous les systèmes
vieillissent et doivent être remplacés lorsque leurs propriétés se sont dégradées. Ils restent
toutefois invariants pendant leur durée de vie.
Les systèmes linéaires et invariants dans le temps sont souvent indiqués par leur acronyme
anglais LTI systems, pour linear time-invariant systems.
28
D ESCRIPTION D ’UN SYSTÈME ÉLECTRONIQUE
Les systèmes étudiés dans le cadre de ce cours sont linéaires, temporellement invariants
et manipulent des signaux continus.
2
Description d’un système électronique
2.1
Représentation par équation différentielle
La loi entrée-sortie est sous la forme d’une équation différentielle. Par exemple pour le système électrique suivant :
uc
i
R1
e
C
R2
s
e
système
s
Figure 1.3 – Système étudié : schéma du montage et schéma-bloc.
Les tensions s et uc sont en convention récepteur. Attendu que le courant est le même dans
les deux dipôles :
duc
.
s = R2 i et i = C
dt
La loi des mailles mène à :
e = R2 i + uc + R1 i soit
de
di duc
= (R1 + R2 ) +
.
dt
dt
dt
En remplaçant i et uc par leur expression en fonction de s :
de
s
1 ds
= (R1 + R2)
+
,
dt
R2 dt R2C
On écrit finalement l’équation différentielle qui régit l’évolution du système sous forme canonique :
ds
de
(R1 + R2)C + s (t) = R2C .
dt
dt
Remarque
Tous les systèmes ne sont pas décrits par une équation différentielle. Par exemple, un
retard pur de τ est modélisé par s (t) = e (t − τ ), qui n’est pas une équation différentielle.
29
CHAPITRE 1 – S TABILITÉ DES SYSTÈMES LINÉAIRES
2.2
Représentation par fonction de transfert
En régime sinusoïdal, on note :
s (t) = S0 exp ( j (ω t + ϕ )) = S0 exp( jϕ ) exp( jω t) = S exp ( jω t) ,
la représentation complexe du signal s (t) = S0 cos (ω t + ϕ ).
La fonction de transfert harmonique, ou transmittance harmonique, d’un système,
est le lien entre le signal de sortie s (t) et celui d’entrée e (t), en régime permanent
sinusoïdal à la pulsation ω , imposée par l’entrée :
H ( jω ) =
S
.
E
On définit dans le cours de Sciences industrielles pour l’Ingénieur une fonction de transfert,
issue d’une transformée intégrale de Laplace. Cette opération ne relève pas du présent cours,
mais l’identité des résultats avec le régime harmonique doit être soulignée. La variable p de
Laplace correspond au terme jω du régime harmonique à la pulsation ω :
p ←→ jω
et
p2 ←→ ( jω )2 .
Remarque
L’identité des représentations n’est pas fortuite mais provient d’une identité formelle
des tranformées intégrales de Fourier et de Laplace. Ce point sera développé ultérieurement en École.
Ainsi :
La fonction de transfert de Laplace, ou transmittance de Laplace, d’un système, est
le lien entre la transformée de Laplace du signal de sortie S (p) et celle d’entrée E (p),
quel que soit le régime (harmonique ou autre) :
H (p) =
S (p)
.
E (p)
Afin de simplifier le lien avec le cours de Sciences industrielles pour l’Ingénieur, la notation
H (p) sera utilisée et nommée fonction de transfert ou transmittance, sans autre référence.
On propose un exemple de fonction de transfert pour le système de la figure 1.3. La formule
du diviseur de tension mène à :
S (p)
ZR2
=
=
E (p) ZR1 + ZC + ZR2
Finalement :
H (p) =
30
R2
R2Cp
.
=
1
R1Cp + 1 + R2Cp
+ R2
R1 +
Cp
R2Cp
.
1 + (R1 + R2 )Cp
STABILITÉ
Remarque
Le remplacement de jω par p simplifie aussi l’écriture des impédances : pour un
1
et pour une bobine d’inductance L, ZL = Lp.
condensateur de capacité C, ZC =
Cp
2.3
Lien entre l’équation différentielle et la transmittance
L’écriture de la fonction de transfert sous la forme d’un rapport de deux polynômes en p
permet une identification immédiate. On utilise les équivalences :
p ←→ jω ←→
d
dt
et
p2 ←→ ( jω )2 ←→
d2
dt 2
sur l’exemple précédent :
R2Cp
S (p)
=
E (p) 1 + (R1 + R2 )Cp
donc ((R1 + R2 )Cp + 1)S (p) = R2CpE (p)
donc (R1 + R2 )C
Équation différentielle
ds
de
(R1 + R2 )C + s = R2C
dt
dt
ds
↔ pS
dt
ds
↔ jω s
dt
ds
de
+ s (t) = R2C .
dt
dt
Fonction de transfert harmonique
s
jR2Cω
=
e 1 + j (R1 + R2 )Cω
Fonction de transfert de Laplace
S
R2Cp
=
E
1 + (R1 + R2 )Cp
p ↔ jω
Figure 1.4 – Liens entre équation différentielle, transmittance harmonique et
transmittance de Laplace.
Remarque
! "
ds
↔ pS (p)−s 0+ . La
L’équivalence entre la dérivée et la transformée de Laplace est
dt
transmittance est toutefois toujours écrite en supposant les conditions initiales nulles.
3
3.1
Stabilité
Définition
Qu’est-ce qu’un système stable en électronique ? C’est un système dont la sortie reste limitée,
ne s’accroît pas indéfiniment. On propose donc une définition intuitive de la stabilité d’un
système.
31
CHAPITRE 1 – S TABILITÉ DES SYSTÈMES LINÉAIRES
Un système linéaire est stable si, et seulement si, pour une entrée bornée, la sortie reste
bornée.
Aucun système physique ne peut toutefois présenter de sortie infiniment divergente. Par
exemple l’intensité sonore d’un système audio est-elle limitée, tout comme la température
de l’eau d’un système de chauffage. Un sytème qui atteint sa valeur maximale et y reste,
quelle que soit la valeur de l’entrée, est saturé. Un système instable ne diverge donc pas en
pratique ; l’amplitude de la sortie augmente jusqu’à la saturation, le système ne fonctionne
plus linéairement.
3.2
Système du premier ordre
Soit un système passe-bas du premier ordre, décrit par sa fonction de transfert, qui n’est pas
écrite sous forme canonique pour les besoins de la démonstration :
E (p)
H (p) =
H0
a + bp
S (p)
Figure 1.5 – Système passe-bas du premier ordre.
L’équation différentielle, qui modélise le comportement temporel du système, est issue de la
fonction de transfert :
S (p)
H0
=
E (p) a + bp
donc
(bp + a)S (p) = H0 E (p)
puis b
ds
+ as = H0 e.
dt
La sortie s (t), associée à l’entrée e (t), est la somme de deux termes :
• la solution particulière, notée s p (t) (indice p pour « particulière »), cherchée sous la
même forme que l’entrée (constante dans le cas d’un échelon, harmonique dans le cas
d’une entrée harmonique). Cette solution représente physiquement le régime permanent ;
• la solution homogène, notée sh (t) (indice h pour « homogène »), solution de l’équation
dsh
+ ash = 0 :
homogène b
dt
# at $
,
sh (t) = λ exp −
b
où λ est une constante d’intégration trouvée avec les conditions initiales. Cette solution
représente physiquement
# at $ le régime libre, obtenu dans le cas où e = 0.
+ s p (t). Avec une entrée bornée, la solution particulière est aussi
Ainsi, s (t) = λ exp −
b
bornée, car elle est de la même forme que l’entrée ; son amplitude reste limitée. Les cas
classiques de l’échelon et l’entrée harmonique illustrent ce point :
H0 E0
• s p (t) =
si e (t) = E0 ;
a
'
&
H0 E0
bω
si e (t) = E0 cos (ω t) et a > 0.
• s p (t) = %
cos ω t − arctan
a
a2 + (bω )2
32
STABILITÉ
Tel n’est pas toujours le cas pour la solution homogène, qui tend vers zéro quand t → ∞ si
a
a
> 0, mais qui diverge si < 0. Le système est donc stable si et seulement si les coefficients
b
b
du dénominateur de la fonction de transfert, a et b, pour les termes en p0 et p1 , sont de même
signe.
Exemple
Le système de transmittance H (p) =
mittance H (p) =
1
.
−1 − 2p
2
est stable. De même pour celui de trans2 + 3p
Et si le filtre ne présentait pas de caractère passe-bas ? Le résultat serait le même. En effet,
par exemple pour un passe-haut, la fonction de transfert et l’équation différentielle à laquelle
obéit le circuit sont :
S (p)
τp
= H0
E (p)
a + bp
donc
(bp + a)S (p) = H0 τ pE (p)
puis b
de
ds
+ as = H0 τ .
dt
dt
La solution particulière reste bornée si l’entrée est bornée. La stabilité est uniquement due à
dsh
la solution homogène, solution de l’équation homogène b
+ ash = 0, qui reste inchangée
dt
par rapport au cas précédent. La conclusion quant à la stabilité est donc identique.
Les termes différentiels caractéristiques de l’entrée, nuls dans l’équation homogène, ne jouent
aucun rôle dans la stabilité. Ils proviennent du numérateur de la fonction de transfert.
Le numérateur de la fonction de transfert ne joue aucun rôle dans la stabilité d’un système linéaire.
3.3
Système du deuxième ordre
Soit un système passe-bas du deuxième ordre, décrit par sa fonction de transfert, qui n’est
pas écrite sous forme canonique pour les besoins de la démonstration :
E (p)
H (p) =
H0
c + bp + ap2
S (p)
Figure 1.6 – Système passe-bas du deuxième ordre.
L’équation différentielle, qui modélise le comportement temporel du système, est :
S (p)
H0
=
E (p) c + bp + ap2
donc
puis
!
"
ap2 + bp + c S (p) = H0 E (p)
a
d2 s
ds
+ b + cs = H0 e.
2
dt
dt
Comme pour un système du premier ordre, la solution particulière, cherchée sous la même
forme que l’entrée, demeure bornée car l’entrée est bornée. Ce point reste acquis, quel que
33
CHAPITRE 1 – S TABILITÉ DES SYSTÈMES LINÉAIRES
soit le numérateur de la fonction de transfert, et donc le caractère passe-bas, passe-haut,
passe-bande, coupe-bande. . .
La stabilité n’est liée qu’à la solution homogène, solution de l’équation homogène :
a
d2 s
ds
+ b + cs = 0,
2
dt
dt
qui admet trois solutions suivant le signe du discriminant ∆ de l’équation réduite associée
ar2 + br + c = 0 : ∆ = b2 − 4ac.
√
−b ± j 4ac − b2
et :
Si ∆ < 0, alors les racines sont complexes r =
2a
)
))
(√
(√
'(
&
4ac − b2
4ac − b2
b
sh (t) = exp − t
s1 cos
t + s2 sin
t
,
2a
2a
2a
b
> 0, et donc si a et
2a
2
b sont de même signe. De plus, attendu que ∆ < 0, 0 < b < 4ac et ainsi a et c sont de même
signe. La solution homogène reste donc bornée si a, b et c sont de même signe.
b
Si ∆ = 0, alors r = − est racine double et :
2a
'
&
b
sh (t) = (s0 + µ t)exp − t ,
2a
qui reste borné dès que l’exponentielle ne diverge pas, c’est-à-dire si
et la conclusion de stabilité est la même que précédemment.
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
Si ∆ > 0 alors les racines sont réelles r1 =
, r2 =
et :
2a
2a
sh (t) = s1 exp (r1 t) + s2 exp (r2 t) ,
qui reste borné si r1 < 0 et r2 < 0, ce qui est équivalent à :
b
b
• leur somme est négative : r1 + r2 = − < 0, soit > 0 ;
a
a
c
• leur produit est positif : r1 r2 = > 0.
a
On en déduit donc que la solution homogène reste bornée si a, b et c sont de même signe.
3.4
Critère de stabilité d’un système du premier ou du deuxième ordre
On conclut des paragraphes précédents :
Un système est stable si, et seulement si, sa solution homogène, c’est à dire physiquement son régime libre, s’annule quand t → ∞.
Ainsi, un système stable s’amortit en absence d’entrée. Il existe de plus un critère opérationnel
de stabilité très simple.
34
STABILITÉ
Un système du premier ou du deuxième est stable si et seulement si tous les coefficients
de l’équation différentielle homogène ou du dénominateur de la fonction de transfert
sont de même signe.
!
Ce critère n’est plus suffisant pour un système d’ordre trois ou plus.
Exemple
On rappelle que seul le dénominateur de la fonction de transfert détermine la stabilité
du système :
3.5
Système stables
1
,
2+ p
Systèmes instables
1
,
2− p
1
,
−1 − 2p
p
,
−1 + p
1− p
,
1 + 3p + 4p2
1+ p
,
1 − 3p + 4p2
1 − p + 2p2
−4 − p − p2
1 − p + 2p2
4 + p − p2
Lien avec la stabilité mécanique
La définition de la stabilité, utilisée en mécanique, semble a priori différente. On lit ainsi
dans le Dictionnaire de l’Académie française, huitième édition, que le lecteur trouvera en
ligne sur internet, la définition de la stabilité :
En termes de mécanique, il désigne la propriété qu’un corps, écarté de son état
d’équilibre, a de revenir à cet état.
Quel est donc le lien avec la sortie bornée associée à une entrée bornée ? La réponse à cette
question passe par une autre interrogation : que signifie, pour un système électrique, être
écarté de son état d’équilibre ?
On étudie par exemple le circuit électrique de la figure 1.3. Sans alimentation, c’est-à-dire
pour une entrée nulle, la sortie est nulle, ce qui constitue sont état d’équilibre. Pour écarter le
système de cette position d’équilibre, on lui impose une tension E0 en entrée. Puis l’entrée est
remise à la masse et le système évolue en décrivant son régime libre. Le régime libre, pour
lequel l’entrée est nulle, est modélisé par l’équation différentielle homogène. Si celle-ci tend
vers zéro quand t → ∞, alors le système est stable et revient à son état d’équilibre de tension
nulle.
Si les termes employés sont différents, la définition « mécanique » de la stabilité est équivalente à celle énoncée dans le paragraphe 3.1.
35
CHAPITRE 1 – S TABILITÉ DES SYSTÈMES LINÉAIRES
SYNTHÈSE
SAVOIRS
• stabilité d’un système du premier ou du deuxième ordre en fonction des signes des
coefficients de l’équation différentielle ou du dénominateur de la fonction de transfert
SAVOIR-FAIRE
• transposer la fonction de transfert du domaine harmonique (ou de Laplace) au domaine
temporel, et vice versa
• discuter la stabilité d’un système du premier ou du deuxième ordre
MOTS-CLÉS
• système linéaire et invariant
• description d’un système
36
par équation différentielle
• description d’un système
par fonction de transfert
• stabilité
2
La rétroaction est couramment utilisée dans les circuits électroniques. Son étude théorique
relève du cours de Sciences industrielles pour l’Ingénieur, elle est ici menée en pratique sur
l’exemple de l’amplificateur linéaire intégré, plus connu sous le nom d’amplificateur opérationnel. Ce chapitre présente une première approche des circuits électroniques.
1
Amplificateur linéaire intégré
Un amplificateur linéaire intégré, plus connu sous le nom d’amplificateur opérationnel,
se présente sous la forme d’une puce électronique, de surface 11 mm × 6, 6 mm, représentée
sur le document constructeur, datasheet en anglais, de la figure 2.2, page 39. L’amplificateur
opérationnel utilisé en travaux pratique est celui du haut, emballé dans un boîtier DIP, pour
dual in-line package. Il comporte 8 pattes et une encoche semi-circulaire, qui permet de les
distinguer.
Il existe des centaines de types d’amplificateurs opérationnels. On présente leurs caratéristiques communes à travers un exemple.
1.1
Visite guidée d’une datasheet
Tout d’abord, figurent en haut le nom du fabricant, ici STMicroelectronics, et la référence
du circuit, ici TL081. Tous les constructeurs utilisent la même référence pour une même
fonction. Puis vient la fonction réalisée, ici amplificateur opérationnel, operationnal amplifier
ou Op Amp en anglais ; la technologie utilisée peut être précisée, ici J-FET, elle ne relève pas
du présent cours.
Les caratéristiques essentielles suivent, elles seront introduites au fur et à mesure, et finalement le brochage des pattes, pin connections en anglais.
Ce brochage est très important, il permet de savoir comment brancher la puce sur un circuit.
On repère d’abord la position de l’encoche semi-circulaire, qui permet d’identifier les pattes.
Dans l’ordre de numérotation du constructeur :
1. Offset null 1 permet de compenser les petits défauts en tension, dus à la construction.
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
Il ne sera pas utilisé dans ce cours ;
2. Inverting input est l’entrée inverseuse, repérée sur les schémas par le signe ⊖ ;
3. Non-inverting input est l’entrée non-inverseuse, repérée par le signe ⊕ ;
4. VCC− est la tension d’alimentation négative de la puce, en général −15 V. Cette valeur
est précisée en haut de la caractéristique électrique, sur la figure 2.3 ;
5. Offset null 2 est identique à la patte 1 ;
6. Output est la sortie ;
7. VCC+ est la tension d’alimentation positive de la puce, en général +15 V.
8. NC signifie non connecté. Cette patte ne sert à rien.
On en déduit que l’amplificateur opérationnel, comme toutes les puces électroniques, doit être
alimenté pour fonctionner. C’est un composant actif. L’alimentation est la première chose à
brancher sur un montage électronique, avant les signaux d’entrée.
Un amplificateur opérationnel doit être alimenté en −15 V, +15 V.
L’alimentation n’est toutefois pas représentée sur les schémas électriques, qui symbolisent
l’amplificateur opérationnel par un triangle, avec deux entrées et une sortie.
entrée inverseuse
ε
entrée non-inverseuse
−
sortie
+
Figure 2.1 – Schéma d’un amplificateur opérationnel.
1.2
Propriétés essentielles
Fonction de transfert La fonction de transfert de l’amplificateur opérationnel relie l’entrée
différentielle, notée ε , et la sortie, notée s. L’entrée différentielle est la différence entre les
potentiels des entrées non-inverseuse et inverseuse, notés respectivement v+ et v− :
ε = v+ − v − .
La fonction de transfert, aussi appelée gain différentiel car il opère sur la différence v+ − v− ,
est, en première approche, un passe-bas du premier ordre :
Ad (p) =
A0
S (p)
=
E (p) 1 + τ p
où
A0 ≃ 2.105
τ ≃ 5.10−2 s.
Les valeurs numériques sont précisées dans les caractéristiques électriques de la datasheet,
figure 2.3. A0 est le large signal voltage gain, de 200 V/mV : quand on présente une tension
de 1 mV en entrée, l’amplificateur présenterait une sortie de 200 V, soit une multiplication
par 2.105 . La valeur de τ est calculée à la fin du paragraphe 2.5, page 46.
38
A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
TL081
TL081A - TL081B
GENERAL PURPOSE J-FET
SINGLE OPERATIONAL AMPLIFIERS
■ WIDE COMMON-MODE (UP TO VCC+) AND
DIFFERENTIAL VOLTAGE RANGE
■ LOW INPUT BIAS AND OFFSET CURRENT
■ OUTPUT SHORT-CIRCUIT PROTECTION
■ HIGH INPUT IMPEDANCE J–FET INPUT
N
DIP8
(Plastic Package)
STAGE
■ INTERNAL FREQUENCY COMPENSATION
■ LATCH UP FREE OPERATION
■ HIGH SLEW RATE : 16V/µs (typ)
D
SO8
(Plastic Micropackage)
DESCRIPTION
ORDER CODE
The TL081, TL081A and TL081B are high speed
J–FET input single operational amplifiers incorporating well matched, high voltage J–FET and bipolar transistors in a monolithic integrated circuit.
The devices feature high slew rates, low input bias
and offset currents, and low offset voltage temperature coefficient.
Package
Part Number
Temperature Range
TL081M/AM/BM
-55°C, +125°C
TL081I/AI/BI
-40°C, +105°C
TL081C/AC/BC
0°C, +70°C
Example : TL081CD, TL081IN
N
D
•
•
•
•
•
•
N = Dual in Line Package (DIP)
D = Small Outline Package (SO) - also available in Tape & Reel (DT)
PIN CONNECTIONS (top view)
12345678-
Offset null 1
Inverting input
Non-inverting input
VCCOffset null 2
Output
VCC+
N.C.
April 2001
1/10
Figure 2.2 – Extrait de datasheet d’amplificateur opérationnel.
39
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
TL081 - TL081A - TL081B
ELECTRICAL CHARACTERISTICS
VCC = ±15V, Tamb = +25°C (unless otherwise specified)
Symbol
TL081I,M,AC,AI,AM,
BC,BI,BM
Parameter
Min.
Input Offset Voltage (Rs = 50Ω)
Tamb = +25°C
Vio
DVio
Typ.
Max.
3
3
1
10
6
3
13
7
5
TL081C
Unit
Min.
Typ.
Max.
3
10
mV
TL081
TL081A
TL081B
TL081
TL081A
TL081B
Tmin ≤ Tamb ≤ Tmax
13
µV/°C
Input Offset Voltage Drift
10
Iio
Input Offset Current - note 1)
Tamb = +25°C
Tmin ≤ Tamb ≤ Tmax
10
5
100
4
5
100
10
Iib
Input Bias Current -note 1
Tamb = +25°C
Tmin ≤ Tamb ≤ Tmax
20
200
20
20
400
20
nA
Avd
Large Signal Voltage Gain (RL = 2kΩ, Vo = ±10V)
Tamb = +25°C
Tmin ≤ Tamb ≤ Tmax
50
25
200
25
15
200
SVR
Supply Voltage Rejection Ratio (RS = 50Ω)
Tamb = +25°C
Tmin ≤ Tamb ≤ Tmax
80
80
86
70
70
86
ICC
Supply Current, no load
Tamb = +25°C
Tmin ≤ Tamb ≤ Tmax
Vicm
Input Common Mode Voltage Range
CMR
Ios
±Vopp
SR
V/mV
dB
mA
1.4
2.5
2.5
1.4
±11
+15
-12
±11
+15
-12
Common Mode Rejection Ratio (RS = 50Ω)
Tamb = +25°C
Tmin ≤ Tamb ≤ Tmax
80
80
86
70
70
86
Output Short-circuit Current
Tamb = +25°C
Tmin ≤ Tamb ≤ Tmax
10
10
40
10
10
40
RL = 2kΩ
RL = 10kΩ
RL = 2kΩ
RL = 10kΩ
10
12
10
12
12
13.5
10
12
10
12
12
13.5
Slew Rate (Tamb = +25°C)
Vin = 10V, RL = 2kΩ, CL = 100pF, unity gain
8
16
8
16
Output Voltage Swing
Tamb = +25°C
Tmin ≤ Tamb ≤ Tmax
V
mA
60
60
60
60
V
V/µs
µs
Rise Time (Tamb = +25°C)
Vin = 20mV, RL = 2kΩ, CL = 100pF, unity gain
0.1
0.1
Kov
Overshoot (Tamb = +25°C)
Vin = 20mV, RL = 2kΩ, CL = 100pF, unity gain
10
10
GBP
Gain Bandwidth Product (Tamb = +25°C)
Vin = 10mV, RL = 2kΩ, CL = 100pF, f= 100kHz
Input Resistance
2.5
2.5
dB
tr
Ri
pA
nA
%
MHz
2.5
4
1012
2.5
4
1012
Ω
3/10
Figure 2.3 – Extrait de datasheet d’amplificateur opérationnel. Les cadres gris sont
ajoutés par l’auteur.
40
A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
Saturations La tension maximale que délivre l’amplificateur opérationnel en sortie reste
limitée ; elle ne peut pas dépasser en valeur absolue la tension d’alimentation VCC . Cette
tension maximale en sortie est communément appelée tension de saturation, notée Vsat .
Elle est légèrement inférieure à la tension d’alimentation : Vsat ! VCC = 15 V ; on pourra
l’approximer à 15 V.
La tension de sortie est limitée à l’intervalle [−Vsat , +Vsat ], avec Vsat = 15 V.
L’intensité du courant délivré en sortie est, elle aussi, limitée. On lit sa valeur de 40 mA sur
la datasheet, au milieu de la figure 2.3 ; on la nomme output short-circuit current en anglais,
elle est expérimentalement obtenue en court-circuitant la sortie avec un ampèremètre, afin de
faire débiter une intensité maximale qu’on mesure.
Résistance d’entrée La résistance que présentent les deux entrées de l’amplificateur opérationnel, non-inverseuse et inverseuse, est de 1012 Ω, soit 1 T Ω, prononcé un téra ohm. Cette
valeur est lue sur la datasheet, en bas de la figure 2.3 ; on la nomme input resistance en anglais. On en déduit que l’intensité des courants d’entrée est quasi nulle, quels que soient les
potentiels des entrées.
i− = 0
Les intensités des courants d’entrée
d’un amplificateur opérationnel sont
nuls : i+ = i− = 0.
v−
i+ = 0
v+
−
+
is ̸= 0
s
Figure 2.4 – Nullité de l’intensité d’entrée
d’un amplificateur opérationnel.
Résistance de sortie On explique, au paragraphe 5.6, qu’un amplificateur opérationnel présente une résistance de sortie négligeable par construction.
Vitesse de balayage ou slew rate Un amplificateur opérationnel, comme toute autre puce
électronique, admet une limitation non linéaire en fréquence, nommée vitesse limite de balayage, plus connue sous l’appelation anglaise de slew rate. Son importance pratique explique la présence de sa valeur numérique parmi les caratéristiques essentielles, présentées
en première page d’une datasheet, sur la figure 2.2, ici 16 V.µ s−1 , et rappelée dans les caractéristsiques électriques, sur la figure 2.3.
Les unités du slew rate expliquent sa signification. Il représente la variation maximale de la
tension de sortie de l’amplificateur opérationnel en 1 µ s. Par exemple, la durée minimale pour
que la sortie varie de 12 V est de 0, 75 µ s.
Un exemple expérimental est présenté dans le chapitre 4, à la page 110.
41
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
2
2.1
Étude d’un montage à rétroaction négative : l’amplificateur
non inverseur
Présentation et schéma-bloc
Le montage amplificateur non inverseur est conçu afin d’amplifier la tension d’entrée.
L’amplificateur opérationnel est rétroactionné sur sa borne inverseuse.
u2
i2
u1
i1
R1
i−
−
ε
R2
i=0
s
+
e
Figure 2.5 – Amplificateur non inverseur.
Un montage réalisé avec un amplificateur opérationnel s’étudie avec deux équations :
• la fonction de transfert de l’amplificateur opérationnel ;
• une relation liant ε aux tensions d’entrée, de sortie et des impédances des dipôles du montage.
Celle-ci est obtenue au moyen de la loi des nœuds, écrite sous forme de potentiels. À l’entrée
inverseuse :
i1 = i2 + i− .
D’après la loi d’Ohm, en convention récepteur :
i1 =
u1
0 − v−
=
R1
R1
et i2 =
u2
v− − s
=
.
R2
R2
Attendu que i− = 0, la loi des nœuds devient :
0 − v − v− − s
=
R1
R2
soit v− =
R1
s.
R1 + R2
Avec v+ = e, on forme alors :
ε = v+ − v − = e −
R1
s.
R1 + R2
On aboutit donc finalement aux deux équations, écrites dans le formalisme de Laplace :
⎧
A0
⎪
⎨ S (p) =
E (p)
1+τp
R1
⎪
⎩ E (p) = E (p) −
S (p) ,
R1 + R2
42
É TUDE D ’UN MONTAGE À RÉTROACTION NÉGATIVE : L’AMPLIFICATEUR NON INVERSEUR
qui décrivent le schéma-bloc suivant :
E
+
−
E
A0
1+τp
S
R1
R1 + R2
Figure 2.6 – Schéma bloc associé à l’amplificateur non inverseur.
En effet, le ⊖ de E (p) = E (p)⊖
R1
S (p), est obtenu grâce au signe dans le comparateur.
R1 + R2
Un montage à amplificateur opérationnel se met sous la forme d’un système bouclé,
avec comparateur, chaîne directe et chaîne de retour.
2.2
Fonction de transfert
L’expression de la fonction de transfert du montage s’opère :
• soit en éliminant E (p) dans les deux équations du montage ;
• soit en utilisant la formule vue dans le cours de Sciences industrielles pour l’Ingénieur :
chaîne directe
H (p) =
=
1 + chaîne directe × chaîne de retour
A0
1+τp
.
A0
R1
1+
1 + τ p R1 + R2
Par exemple avec la première méthode :
&
(1 + τ p)S (p) = A0 E (p) = A0 E (p) −
'
R1
S (p) ,
R1 + R2
soit, en multipliant par R1 + R2 :
(R1 + R2 ) (1 + τ p)S (p) = A0 ((R1 + R2 ) E (p) − R1 S (p)) ,
au final :
( R1 + A0R1 + R2 + (R1 + R2) τ p ) S (p) = A0 (R1 + R2) E (p) .
à simplifier
Ce résultat se simplifie grandement avec A0 ≫ 1. En effet : R1 + A0R1 ≃ A0 R1 . De plus, R1
et R2 sont du même ordre de grandeur, ainsi R2 ≪ A0 R1 . On trouve ainsi un passe-bas du
premier ordre, écrit sous forme canonique en divisant par A0 R1 :
(A0 R1 + (R1 + R2 ) τ p) S (p) = A0 (R1 + R2) E (p)
R2
S (p)
R1'
&
=
.
R2 τ
E (p)
1+ 1+
p
R1 A0
1+
soit
43
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
La fonction de transfert d’un montage à amplificateur opérationnel, modélisé par un
passe-bas du premier ordre, se simplifie toujours compte tenu de A0 ≫ 1.
2.3
Stabilité du montage bouclé
Le premier enseignement que l’on tire de cette fonction de transfert, est la stabilité du montage. En effet, les coefficients du dénominateur de la fonction de transfert sont de même
signe : le système est donc stable.
La rétroaction sur la borne inverseuse, nommée rétroaction négative, est stabilisatrice.
2.4
Diagramme de Bode et fonction amplificatrice
On reconnaît la transmittance caractéristique d’un passe-bas du premier ordre :
H0
H (p) =
1 + τBF p
R2
où H0 = 1 +
R1
et τBF
'
&
R2 τ
= 1+
.
R1 A0
Avec les valeurs R1 = 103 Ω, R2 = 105 Ω, A0 = 2.105 et τ = 5.10−2 s, dont on justifie la
valeur numérique en remarque au paragraphe 2.5 suivant, on vérifie R2 ≪ A0 R1 . De plus,
la constante de temps du système, notée « τ boucle fermée », vaut τBF = 2, 5.10−5 s et son
gain statique H0 ≃ 102 ; son diagramme de Bode, sur lequel on a placé la bande passante,
introduite au paragraphe 2.5 suivant.
1
GdB
τBF
60
40
= 4, 0.104 rad.s−1
bande passante à −3 dB
−2
20
0d
0
−20
102
103
104
105
106
B/
d
éca
de
107
108
!
"
ω rad.s−1
Figure 2.7 – Gain de l’amplificateur non inverseur (les asymptotes sont en gris).
Les asymptotes y sont interprétées en simplifiant le dénominateur, en fonction de la valeur de
44
É TUDE D ’UN MONTAGE À RÉTROACTION NÉGATIVE : L’AMPLIFICATEUR NON INVERSEUR
ω par rapport à 1/τBF :
domaine de pulsations
ω≪
dénominateur ≃
1
H (p) ≃
1+
1
ω≫
τBF
1
τBF
τBF p
A0
τp
R2
R1
pente
nulle
phase
0
−20 dB/décade
−
π
2
ϕ
0
−π /4
−π /2
102
103
104
105
106
107
108
!
"
ω rad.s−1
Figure 2.8 – Phase de l’amplificateur non inverseur (les asymptotes sont en gris).
R1
≃ 102 dans toute la zone de pulsation ω ≪
R2
1/τBF = 4.104 rad.s−1 , c’est-à-dire ω < 4.103 rad.s−1 , soit f < 4.103 /2π Hz ≃ 6, 4.102 Hz.
Au delà de cette fréquence, le gain chute et le système intègre le signal d’entrée.
Ce montage multiplie le signal d’entrée par 1+
Un système électronique ne réalise la fonction pour laquelle il a été conçu que dans une
zone limitée de fréquence.
2.5
Produit gain-bande passante
Le montage précédent multiplie par 102 le signal d’entrée, soit un gain d’environ 40 dB,
sur un domaine restreint de fréquence. La contrainte sur la fréquence, f < 6, 4.102 Hz, paraît d’autant plus restrictive que les générateurs délivrent usuellement des signaux dont la
fréquence atteint 10 MHz. Peut-on repousser cette limitation en fréquence ?
La pulsation au-delà de laquelle le montage sort de la zone amplificatrice est :
ωlim =
1
1 A0
=
.
τBF
1 + RR21 τ
A0 et τ , caractéristiques des amplificateurs opérationnels, sont ici considérés comme des
constantes, ainsi ωlim est d’autant plus élevé que 1 + RR21 est faible, qui représente le facteur
45
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
d’amplification du montage ! On est donc amené à transiger : plus l’amplification est forte,
moins la gamme de fréquence utilisable est importante, et vice versa, moins l’amplification
est forte, plus la gamme de fréquence est étendue.
Il faut donc arbitrer entre une forte amplification et une gamme étendue de fréquence, ce qui
se traduit par un produit gain-bande passante constant. Dans cette expression, le gain doit
être compris comme le gain statique.
La bande-passante, bandwidth en anglais, représente la plage de fréquences utiles, effectivement amplifiées par le montage, conformément à son cahier des charges. On utilise la
définition, vue en cours de Sciences industrielles pour l’Ingénieur, de la bande passante à −3
dB (on rencontre aussi, bien que plus rarement, −6 dB) :
GdB (ω ) > GdB max − 3 dB.
Sachant que log (2) ≃ 0, 30 :
soit :
H0
H0
> 20 logH0 − 10 log2 = 20 log √ ,
20 log %
2
1 + (τBF ω )2
1
1
%
>√
2
1 + (τBF ω )2
d’où 2 > 1 + (τBF ω )2
puis ω <
.
1
1
.
τBF
/
, qu’on notera aussi
τBF
∆ω = 1/τBF . Plus la bande passante est étendue, plus la gamme de fréquences effectivement
amplifiées est large.
R2
Le gain du montage est H0 = 1 + . Le produit gain-bande passante vaut donc :
R1
'
&
R2
A0
1
H0 × ∆ω = 1 +
=
= constante.
R1 τBF
τ
La bande passante à −3 dB est donc l’intervalle de pulsations 0,
La conservation du produit gain bande-passante est caratéristique de tout système analogue à
l’amplificateur non inverseur, à savoir tout système du premier ordre, bouclé par une chaîne
directe de transmittance constante, comme le montre la figure 2.6.
Il faut donc consentir à un compromis entre importance du gain et largeur de la bande passante.
Le produit gain statique-bande passante, Gain Bandwidth Product en anglais, est constant pour un système du premier ordre, bouclé par un retour constant.
Exemple
On lit, en bas de la datasheet présentée à la page 40, que la valeur typique du produit
gain bande passante, pour le type d’amplificateur opérationnel considéré, est de 4 MHz.
Avec A0 = 2.105, on en déduit τ = 5.10−2 s.
46
É TUDE D ’UN MONTAGE À RÉTROACTION POSITIVE : LE COMPARATEUR À HYSTÉRÉSIS
Remarque
Le choix de l’amplificateur opérationnel, donc de A0 , de τ et de la valeur du produit
gain-bande, est une étape importante dans la conception des circuits électroniques.
2.6
Complément : temps de réponse
'
&
R2 τ
La constante de temps du montage amplificateur non inverseur est τBF = 1 +
. SouR1 A0
mis à un échelon de tension, le temps de réponse à 1% du système est de 4, 6τBF . Ainsi, plus
τBF est important, plus le système est lent. À l’inverse, plus τBF est faible, et donc plus la
bande passante est large, plus le système réagit rapidement. Bien que montré sur le cas particulier d’un passe-bas du premier ordre, bouclé par un retour constant, ce résultat revêt un
caractère général, en particulier pour les communications et internet.
Un système réagit d’autant plus rapidement que sa bande passante est large.
Ce point est lié au contenu spectral d’un signal, vu en première année, où il avait été expliqué
que :
• les basses fréquences (valeur moyenne, fondamental et premières harmoniques) contiennent la forme générale du signal ;
• les hautes fréquences contiennent les brusques variations et les détails du signal.
Le lecteur pourra se reporter au chapitre 12 Filtrage linéaire, section 2 Contenu spectral
d’un signal, paragraphe 2.1 Décomposition de Fourier, dans S ALAMITO , C ARDINI , J URINE ,
S ANZ, Physique, tout-en-un, PCSI ou MPSI-PTSI, Collection J’intègre, Dunod, 2013.
Ainsi, plus la bande passante du système est large, plus il y a de fréquences et donc d’harmoniques qui passent à travers et se retrouvent en sortie. Plus le signal de sortie est riche en
hautes fréquences, plus ses variations sont rapides, c’est-à-dire plus le système réagit rapidement.
3
Étude d’un montage à rétroaction positive : le comparateur
à hystérésis
Dans le montage comparateur à hystérésis, par rapport à l’amplificateur non inverseur, les bornes inverseuse et non inverseuse de l’amplificateur opérationnel
sont interverties. La mise en équation de
ce montage s’effectue donc comme au paragraphe 2.1, en échangeant les potentiels
v+ et v− :
v+ =
R1
s et v− = e.
R1 + R2
R2
R1
+
ε
e
−
s
Figure 2.9 – Comparateur à hystérésis.
47
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
Ainsi, en notation de Laplace :
A0
A0
E (p) =
S (p) =
1+τp
1+τp
&
'
R1
S (p) − E (p) .
R1 + R2
La fonction de transfert se calcule comme au 2.2 pour aboutir, compte tenu que A0 ≫ 1 et
que R1 et R2 sont choisies de telles manière que R2 ≪ A0 R1 :
S (p)
=−
E (p)
R2
1+
R
1 '
&
.
R2 τ
−1 + 1 +
p
R1 A0
Attendu que les signes des coefficients du dénominateur ne sont pas identiques, le montage,
bouclé sur l’entrée non inverseuse, est instable.
La rétroaction sur la borne non inverseuse, nommée rétroaction positive, est déstabilisatrice.
Que vaut alors la sortie ? Le système est instable, donc sa solution homogène diverge. La tension de sortie ne pouvant croître indéfiniment, elle augmente jusqu’à la tension de saturation
±Vsat et y reste, quel que soit le signal d’entrée.
On en déduit que le montage n’est pas linéaire. En effet, la sortie restant à ±Vsat , elle n’est
plus proportionnelle à l’entrée.
Un montage comparateur à hystérésis, montage instable, n’est pas un système linéaire.
Remarque
Attendu que la sortie n’est plus proportionnelle à l’entrée en régime permament, on
ne peut plus tracer son diagramme de Bode, qui suppose une proportionnalité entre
l’entrée et la sortie, écrite en notation complexe.
L’utilisation du montage comparateur à hystérésis est étudiée dans le chapitre 4, à la page
105.
4
Complément : compétition de rétroaction
Si la rétroaction négative est stabilisatrice et celle positive déstabilisatrice, que se passe-t-il
lorsqu’elles sont toutes deux présentes ? On raisonne sur l’exemple de la figure 2.10 suivante,
où l’on cherche les valeurs de k pour lesquelles le montage est stable.
La loi des nœuds, exprimée sous forme de potentiels, mène, à l’instar des paragraphes précédents, à :
e − v− v − − s
e+s
=
donc v− =
,
R
R
2
et :
s − v + v+ − 0
s
=
donc v+ =
.
kR
R
k+1
48
L IMITE DU GAIN INFINI (RÉGIME LINÉAIRE )
R
R
−
ε
+
e
kR
R
s
Figure 2.10 – Amplificateur opérationnel doublement rétroactioné.
L’équation différentielle qui régit l’évolution du système est donc :
τ
ds
+ s (t) = A0 ε (t) = A0
dt
soit :
τ
&
'
e (t) + s (t)
s (t)
−
,
k+1
2
&
'
ds
A0
A0
A0
+ 1+
−
s (t) = − e (t) .
dt
2
k+1
2
D’après le critère nécessaire et suffisant de stabilité, vu à la page 35, le montage est stable
dès que :
A0
A0
2A0
1+
−
" 0 soit k "
− 1.
2
k+1
A0 + 2
Attendu que A0 ≫ 1, A0 + 2 ≃ A0 et la condition de stabilité se simplifie en :
k " 1.
Si k " 1, alors la rétroaction stabilisatrice l’emporte. Dans le cas contraire, le montage est
instable et fonctionne en comparateur à hystérésis.
5
5.1
Limite du gain infini (régime linéaire)
Cadre de l’étude
Tous les montages étudiés sont ici stables, car les amplificateurs opérationnels utilisés sont
uniquement rétroactionnées sur la borne inverseuse. On ainsi définit une fonction de transfert
du montage. Le signal de sortie est alors proportionnel à celui d’entrée : le montage est
linéaire.
49
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
5.2
Passage à la limite pour l’amplificateur non inverseur
La montage amplificateur non inverseur, présenté page 42, est conçu pour amplifier la tension
R2
d’entrée d’un facteur 1 + . Toutefois, l’analyse du montage, menée page 44, montre que
R1
1
1 A0
=
.
cette fonction n’est plus assurée dès qu’on dépasse une pulsation ωlim =
τBF
1 + RR2 τ
1
R2
On observe que la fonction de transfert du montage tend vers 1 + , quand A0 tend vers
R1
l’infini :
R2
1+
R2
R1'
&
= 1+ .
lim
A0 →∞
R2 τ
R1
1+ 1+
p
R1 A0
Ce passage à la limite, légitimé par la valeur numérique de A0 , 2.105 ≫ 1, permet de retrouver très rapidement le comportement amplificateur attendu. Toutefois, la limite en fréquence
disparaît.
Un ALI idéal est un amplificateur opérationnel dont le gain statique A0 tend vers l’infini.
On rencontre parfois la représentation
d’un amplificateur opérationnel idéal par
un rectangle dans lequel figure le symbole ◃ ∞, qui signifie que le gain statique
A0 tend vers l’infini :
5.3
−
◃∞
+
Figure 2.11 – Amplificateur opérationnel idéal.
Règle de calcul simplifiée
Le passage à la limite pour le gain statique permet de grandement simplifier l’établissement
des fonctions de transfert. En effet, dans ce cas, ε tend vers zéro :
A0
S (p) =
E (p) n’est vérifié que si E (p) → 0.
0123 1 + τ p
borné 0 12 3
infini
L’égalité des potentiels des bornes inverseuse et non inverseuse de l’amplificateur opérationnel se substitue alors au lien entre la sortie et ε .
Dans le cas d’un amplificateur opérationnel de gain infini, en régime linéaire, l’équation
v+ = v− remplace la fonction de transfert de l’amplificateur opérationnel.
!
Ceci n’est valable que dans le cas d’un fonctionnement linéaire de l’amplificateur opérationnel,
c’est-à-dire quand la rétroaction négative l’emporte que qu’il ne sature pas.
Cette règle de calcul est maintenant utilisée afin d’établir les fonctions de transfert de montages classiques, tous bouclés sur la borne inverseuse de l’amplificateur opérationnel, afin
d’assurer la stabilité du montage.
50
L IMITE DU GAIN INFINI (RÉGIME LINÉAIRE )
5.4
Suiveur
Pour ce montage très simple, v+ (t) = e (t), v− (t) = s (t)
et v+ (t) = v− (t) implique donc :
−
s (t) = e (t) .
Sur la figure 2.13, on observe expérimentalement l’entrée et la sortie, dans le cas, à gauche, où la sortie ne
dépasse pas la tension de saturation Vsat de l’amplificateur opérationnel, et dans celui, à droite, où elle est
écrêtée par Vsat .
1
1
2
2
CH1 5V
CH2 5V
i+
e
CH1 10V
i=0
+
s
Figure 2.12 – Suiveur.
CH2 10V
Figure 2.13 – Formes d’ondes des tensions d’entrée (voie 1 en noir) et de sortie (voie
2 en gris). Entrée d’amplitude 10 V à gauche, 20 V à droite.
Ce montage suiveur sert à transmettre une tension sans préléver de puissance. En effet, la
puissance délivrée par le générateur qui impose la tension e, parcouru par le courant d’intensité i+ , vaut ei+ . Attendu que par construction de l’amplificateur opérationnel, i+ = 0, cette
puissance est nulle.
Cette conclusion est liée à l’impédance d’entrée du montage.
5.5
Impédance d’entrée
La notion d’impédance d’entrée recouvre le lien entre la tension d’entrée imposée à un montage et le courant qu’il appelle alors.
L’impédance d’entrée Ze d’un système est le rapport entre la tension d’entrée et l’intensité du courant d’entrée.
Ie
Is
E
système
Ze =
E
S
Ie
Figure 2.14 – Impédance d’entrée d’un système.
51
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
Dans le cas du suiveur, la tension d’entrée est e et le courant d’entrée est i+ = 0. On en déduit
que son impédance d’entrée est infinie.
5.6
Impédance de sortie
Un montage à amplificateur opérationnel n’est jamais utilisé seul ; un utilisateur prélève le
signal de sortie et un générateur l’alimente. On modélise l’utilisateur par une résistance Ru ,
qui représente un oscilloscope ou un autre montage électronique, comme le montre la figure
2.15.
−
i+
e
+
R1
s
i=
̸ 0
=
Ru
s
e
Ru
R2
s
Ru
Figure 2.15 – Suiveur avec résistance d’utilisation (à gauche) − Diviseur de tension
avec avec résistance d’utilisation (à droite).
La résistance Ru modifie-t-elle les propriétés du montage amont ?
Cette question est loin d’être anodine car, par exemple, la transmittance d’un pont diviseur de
tension est modifiée par la présence de Ru . Sans Ru , la sortie vaut :
s (t) =
R2
e (t) ,
R1 + R2
alors qu’en présence de Ru , avec la résistance
R2 Ru
, équivalente à Ru en parallèle de R2 :
R2 + Ru
R2 Ru
R2 Ru
R2
R2 + Ru
s (t) =
e (t) =
e (t) ̸=
e (t) .
R2 Ru
R1 R2 + R1 Ru + R2 Ru
R1 + R2
R1 +
R2 + Ru
Pour le montage à amplificateur opérationnel, on mesure expérimentalement que, quelle que
soit la valeur de Ru , la valeur de s reste inchangée, tant qu’on ne dépasse pas le courant limite
de sortie, output short-circuit current, introduit à la page 41.
La tension de sortie d’un amplificateur opérationnel ne dépend pas de l’intensité du
courant de sortie.
Cette observation est liée à l’impédance de sortie du montage. Vu de la sortie, un montage
électronique est équivalent à un générateur de tension avec, en série, une impédance de sortie,
comme le montre la figure 2.16, dans le cas simplifié où l’impédance est une résistance.
52
L IMITE DU GAIN INFINI (RÉGIME LINÉAIRE )
montage
électronique
i
Rs
s
s′
Ru
Figure 2.16 – Modèle d’un circuit électronique, vu de la sortie.
La formule du diviseur de tension mène à une tension de sortie du montage qui diminue à
cause de la résistance d’utilisation Ru . :
s=
Ru
s′ < s′ .
Ru + Rs
Dans le cas d’un amplificateur opérationnel, aucune chute de tension n’est observée. Il est
construit de manière à présenter une résistance de sortie quasi nulle. Cette observation est à
ce point systématique, que la valeur de la résistance de sortie ne figure pas une datasheet.
Ainsi, dans les montages suivants, la fonction de transfert reste la même, quelle que soit la
valeur de la résistance de sortie.
5.7
Amplificateur inverseur
Ce montage comporte un amplificateur opérationnel et deux résistances, R1 et R2 .
u2
i2
u1
i1
i−
R1
−
R2
i=0
e
+
s
Figure 2.17 – Amplificateur inverseur.
La loi des nœuds impose i1 = i2 + i+ , soit, en terme de potentiels :
u1
u2
=
+ 0 ou
R1 R2
e − v − v− − s
=
.
R1
R2
Attendu que v− = v+ = 0 :
s (t) = −
R2
e (t) .
R1
53
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
Ce montage amplificateur inverseur sert à amplifier
4 tension, en présentant un gain né4 une
4 R2 4
gatif. L’amplificateur opérationnel sature dès que 44 e44 > Vsat , comme le montre la figure
R1
2.18, à droite.
2
1
12
CH1 1V
CH2 5V
CH1 1V
CH2 5V
Figure 2.18 – Formes d’ondes des tensions d’entrée (voie 1 en noir) et de sortie (voie
2 en gris). R1 = 1 kΩ, R2 = 10 kΩ ; entrée d’amplitude 1, 2 V à gauche, 2 V à droite.
L’impédance d’entrée du montage est Ze =
et donc :
e
e
. Attendu que u1 = R1 i1 = e − v− = e, i1 =
i1
R1
Ze = R1 .
5.8
Amplificateur non inverseur
Ce montage comporte un amplificateur opérationnel et deux
résistances, R1 et R2 . La différence avec l’amplificateur inverseur réside dans le branchement de l’entrée, sur l’entrée
non-inverseuse.
Comme dans le paragraphe précédent, i1 = i2 + i− mène à,
avec i− = 0 :
u2
i1
R1
e
i−
−
R2
i=0
+
s
Figure 2.19 – Amplificateur non inverseur.
u1
u2
=
+ 0 ou
R1
R2
Attendu que v− = v+ = e :
i2
u1
0 − v − v− − s
=
.
R1
R2
'
&
R2
e (t) .
s (t) = 1 +
R1
On retrouve simplement le gain statique du montage amplificateur non inverseur, déjà observé page 45.
54
L IMITE DU GAIN INFINI (RÉGIME LINÉAIRE )
4&
' 4
4
4
R2
e 44 > Vsat , comme le montre la figure
L’amplificateur opérationnel sature dès que 44 1 +
R1
2.20 suivante, à droite.
2
1
12
CH1 1V
CH2 5V
CH1 1V
CH2 5V
Figure 2.20 – Formes d’ondes des tensions d’entrée (voie 1 en noir) et de sortie (voie
2 en gris). R1 = 1 kΩ, R2 = 10 kΩ ; entrée d’amplitude 1, 2 V à gauche, 2 V à droite.
L’impédance d’entrée du montage est Ze =
5.9
e
. Attendu que i+ = 0, Ze est infinie.
i+
Intégrateur
Ce montage comporte un amplificateur opérationnel, une résistance et un condensateur. Attendu la présence d’un condensateur de capacité C, toutes les grandeurs seront écrites avec la
notation de Laplace, en majuscules, et avec p = jω .
uC
iC
uR
iR
i−
R
−
C
i=0
e
s
+
Figure 2.21 – Intégrateur.
La loi des nœuds IR = IC + I − mène à, avec ZC =
UR
= CpUC + 0 ou
R
1
et I − = 0 :
Cp
!
"
E −V−
= Cp V − − S .
R
55
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
Attendu que V − = V + = 0 :
S (p) = −
1
E (p) .
RCp
Est ainsiˆ réalisée une intégration. En effet, dans le domaine temporel, avec l’équivalence
1
←→ dt :
p
ˆ
1
e (t) dt.
s (t) = −
RC
L’intégrateur est qualifié d’inverseur, à cause du signe moins. De plus, l’ensemble est homogène car le produit RC est en seconde, tout comme dt.
E
E
L’impédance d’entrée du montage est Ze = . Attendu que UR = RiR = E −V − = E, IR =
IR
R
et donc :
Ze = R.
On câble le montage avec R = 1 kΩ et C = 330 nF. On observe sur les figures 2.22 et 2.23
deux cas importants : l’entrée sinusoïdale et l’entrée en créneaux. On passe de l’une à l’autre
sans modifier ni l’amplitude, ni la période du signal d’entrée, juste en changeant la forme du
signal délivré par le GBF.
Si la fréquence ou la période du signal de sortie sont imposés par l’entrée, que valent les
amplitudes en sortie ?
On observe tout d’abord que le valeurs moyennes des signaux de sortie sont nuls. En effet, la
valeur moyenne du signal d’entrée est nul, il ne peut donc pas y en avoir en sortie.
E0
• Dans le cas où e (t) = E0 cos (ω0t + ϕ ), où E0 = 1 V, s (t) = −
sin (ω0t + ϕ ), avec
RCω0
une constante d’intégration nulle car sa valeur moyenne est nulle. L’amplitude crête-à-crête
E0
E0
= 0, 26 V.
du signal de sortie est donc 2 ×
=
RCω0
RCπ f
voie 1
freq
3.7 kHz
voie 1
C−C
2.0 V
voie 2
C−C
0.26 V
2
1
CH1 500mV CH2 50mV 100µ s
Figure 2.22 – Formes d’ondes des tensions d’entrée (voie 1 en noir) et de sortie
(voie 2 en gris). R = 1 kΩ, C = 330 nF.
56
L IMITE DU GAIN INFINI (RÉGIME LINÉAIRE )
• Dans le cas d’un signal d’entrée en créneaux, où e (t) = E0 = 1 V sur la première demipériode, puis e (t) = −E0 = −1 V sur la seconde demi-période, on intégre l’équation différentielle sur la première demi-période :
& '
& '
ˆ T /2
1
E0 T
T
T
− s (0) = −
− s (0) = −
.
s
E0 dt soit s
2
RC 0
2
2RC
La valeur crête-à-crête du signal de sortie est
E0 T
E0 T
= 0, 41 V, son amplitude
.
2RC
4RC
voie 1
période
270 µ s
voie 1
C−C
2.0 V
voie 2
C−C
0.41 V
2
1
CH1 500mV CH2 100mV 100µ s
Figure 2.23 – Formes d’ondes des tensions d’entrée (voie 1 en noir) et de sortie
(voie 2 en gris). R = 1 kΩ, C = 330 nF.
Remarque
Le montage intégrateur sature dès que le signal d’entrée présente une composante continue dans son spectre, aussi faible soit-elle. En effet, ce terme constant est intégré en un
signal proportionnel à t. Ainsi la tension de sortie atteint-elle nécessairement la saturation.
On observe dans les deux cas que l’amplitude du signal de sortie est proportionnelle à la période T ou inversement proportionnelle à la pulsation ω . L’amplificateur opérationnel sature
dans le cas de faibles pulsations ou de forte périodes. On limite ce phénomène en construisant
un intégrateur sur une zone limitée en fréquence.
5.10
Complément : intégrateur sur une zone limitée en fréquence
Afin de limiter l’amplification du signal en basse fréquence, on place une résistance R′ en
parallèle sur le condensateur, comme le montre la figure page suivante.
1
La loi des nœuds IR = IR′ + IC + I + mène à, avec ZC =
et I − = 0 :
Cp
UR UR′
= ′ + CpUC + 0,
R
R
ou :
!
"
E −V− V− − S
=
+ Cp V − − S .
′
R
R
57
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
Attendu
que V −
= V+
=0:
iR′
R′
1
S (p)
=−
.
E (p)
R 1 + R′Cp
On reconnaît un filtre passe-bas,
de constante de temps τ = R′C,
qui se comporte en intégrateur
dans une zone limitée en fréquence. Ce point est visible avec
un tableau asymptotique :
uC
R′
iC
uR
iR
i−
R
−
C
i=0
e
+
s
Figure 2.24 – Intégrateur limité en fréquence.
domaine de pulsations
ω≪
dénominateur ≃
1
T (p) ≃
−
1
τ
R′
R
pente
nulle
phase
0
ω≫
1
τ
R′Cp
−
1
RCp
−20 dB/décade
−
π
2
1
10
On retrouve le comportement intégrateur dans la zone ω ≫ ′ , soit ω > ′ . Dans la zone
RC
RC
1
ω ≪ ′ , le gain reste borné et ne diverge plus quand ω tend vers 0 ; toutefois, le montage
RC
n’y est plus intégrateur.
Remarque
Pourquoi ne pas utiliser l’amplificateur non inverseur, dans sa zone intégratrice pour
1
ω≫
, vue au paragraphe 2.4 ? La grande différence entre les deux montages est
τBF
la pulsation à partir de laquelle ils intègrent : pour l’amplificateur non inverseur, elle
dépend des paramètres internes de l’amplificateur opérationnel, A0 et τ , qu’on ne peut
pas régler ; pour l’intégrateur limité en fréquence, elle ne dépend que de R′ et C, dipôles
ajoutés par l’utilisateur et dont on peut choisir précisément les valeurs. On préfère donc
un véritable intégrateur limité, et non un montage détourné de son but originel par un
défaut de l’amplificateur opérationnel.
5.11
Mise en cascade
À quelle condition la mise en cascade de deux systèmes électroniques stables, de fonctions
de transfert H1 et H2 , est-elle équivalente à un unique système de fonction de transfert H1 H2 ?
58
L IMITE DU GAIN INFINI (RÉGIME LINÉAIRE )
H1
?
⇐⇒
H2
H1 H2
Figure 2.25 – Mise en cascade de deux systèmes.
Afin de comprendre que ce n’est pas toujours le cas, on expose d’emblée un contre exemple.
e1
R1
s1
C1
R2
e2
s2
C2
Figure 2.26 – Montages indépendants.
Avec les deux montages séparés de la figure 2.26, la formule du diviseur de tension mène à :
H1 (p) =
1
C1 p
1
R1 +
C1 p
=
1
1 + R1C1 p
et H2 (p) =
1
.
1 + R2C2 p
Mais si on les associe en cascade, la formule du diviseur de tension pour le premier montage
n’est plus applicable, à cause du courant de sortie i′ :
iR
e1
R1
i′
iC
C1
s1 = e2
R2
C2
s2
Figure 2.27 – Montage en cascade.
La loi des nœuds IR = IC + I ′ , mène à :
E1 − S 1
S1 − S2
+ Cp (S1 − 0) =
R1
R2
Et on a toujours :
donc S1 =
R2 E1 + R1 S 2
.
R1 + R2 + R1 R2C1 p
S2
S2
1
.
=
=
E2
S1 1 + R2C2 p
On remplace S1 dans la première expression :
(1 + R2C2 p) S2 =
R2 E1 + R1 S 2
,
R1 + R2 + R1 R2C1 p
qui devient, en éliminant les fractions :
"
!
R1 + R2 + R1 R2C1 p (1 + R2C2 p) S2 = R2 E1 + R1 S2 ,
59
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
puis en développant et en divisant par R2 :
!
"
1 + (R1C1 + R1C2 + R2C2 ) p + R1C1 R2C2 p2 S2 = E1 .
Finalement, pour le montage en cascade :
H (p) =
1
̸= H1 (p) H2 (p) .
1 + (R1C1 + R1C2 + R2C2 ) p + R1C1 R2C2 p2
Tout le problème provient du courant de sortie i′ du premier étage, qui est aussi le courant
d’entrée du second étage. On dit que le second étage charge le premier ; il modifie alors sa
fonction de transfert. Comment imposer un courant nul ? Il suffit que le second étage présente
une résistance d’entrée infinie ; il impose alors un courant nul, quelle que soit la tension. On
utilise alors un montage suiveur, étudié au paragraphe 5.4, comme le montre la figure 2.28
−
i+ = 0
e1
R1
C1
+
e2
R2
C2
s2
s1 = v+
Figure 2.28 – Montage en cascade avec suiveur.
Le suiveur impose i+ = 0 et donc la formule du diviseur de tension s’applique de nouveau
pour le premier étage. De plus, en régime linéaire, v+ = v− , soit s1 = e2 . Finalement :
H (p) = H1 (p) H2 (p) .
La fonction de transfert d’une mise en cascade de filtres d’impédances d’entrée infinies,
est le produit des fonctions de transfert de chaque filtre.
On opère de même quand on met en cascade des montages à amplificateur opérationnel, par
exemple un amplificateur inverseur et un intégrateur. Il est expliqué au paragraphe 5.6 que,
attendu la nullité de l’impédance de sortie de l’amplificateur opérationnel, la fonction de
transfert du montage ne dépend pas de l’étage suivant. La fonction de transfert totale est alors
le produit des fonctions de transfert de chaque bloc.
La fonction de transfert d’une mise en cascade de filtres d’impédances de sortie nulles,
est le produit des fonctions de transfert de chaque filtre.
60
L IMITE DU GAIN INFINI (RÉGIME LINÉAIRE )
SYNTHÈSE
SAVOIRS
• modèle de l’ALI :
– résistance d’entrée infinie
– résistance de sortie nulle
– passe-bas du premier ordre
– saturation de la tension de sortie
– saturation de l’intensité de sortie
• gain statique de l’ALI A0 = 2.105
• temps caractéristique de l’ALI τ = 5.10−2 s
• produit gain-bande
• rétroaction sur la borne inverseuse stabilisatrice
• absence de rétroaction ou rétroaction sur la borne non inverseuse déstabilisatrice
• cas limite de l’ALI de gain statique infini en régime linéaire
SAVOIR-FAIRE
• représenter le système par un schéma-bloc constitué :
– d’un comparateur
– d’une chaîne directe passe-bas du premier ordre
– d’une chaîne de retour
• analyser la stabilité du régime linéaire
• établir la conservation du produit gain-bande sur l’exemple de l’amplificateur non-inverseur
• établir les lois entrée-sortie pour les montages :
– suiveur
– amplificateur non inverseur
– amplificateur inverseur
– intégrateur
• exprimer l’impédance d’entrée des montages précédents
• expliquer l’intérêt d’une forte impédance d’entrée et d’une faible impédance de sortie
pour une association en série de systèmes
MOTS-CLÉS
• amplificateur linéaire
intégré ALI
• amplificateur
opérationnel
• produit gain-bande
• rétroaction
61
Exercices
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
S’ENTRAÎNER
2.1 Combinaisons linéaires
(⋆ )
Les deux montages suivant réalisent des opérations mathématiques très simples. Expliquer
lesquelles en calculant pour chacun l’expression de la sortie s en fonction des tensions d’entrée e1 et e2 .
R
−
R
−
R
R
+
+
e2 (t)
R
s (t)
e2 (t)
e1 (t)
R
R
s (t)
e1 (t) R
2.2 Dérivateur (d’après Mines)
(⋆ )
1. En considérant que l’amplificateur opérationnel a
un gain infini, établir la fonction de transfert du montage et montrer qu’il réalise une dérivation.
2. On alimente le montage avec la tension d’entrée
e (t) = E0 cos (ω t). À partir de quelle pulsation le
montage ne fonctionne-t-il plus linéairement ?
e
C
−
+
R
i=0
s
3. Que vaut l’intensité du courant d’entrée ie , qui traverse le condensateur de capacité C, si
e (t) = E0 cos (ω t) ? En déduire la puissance moyenne absorbée en entrée par le montage ?
Peut-on en conclure que le montage ne consomme rien ?
4. Tracer la sortie si l’entrée est de la forme :
e
E0
T
t
−E0
5. Sur la forme d’onde de la sortie, tracée à la question précédente, apparaissent deux valeurs
particulières de tension, nommés état haut et état bas. Quelle est la durée de passage de l’un
à l’autre ?
2.3 Dérivateur partiel (d’après Mines)
(⋆ )
1. Établir la fonction de transfert H (p) du montage présenté page suivante.
62
2. De quel type de filtre s’agit-il (passe-bas,
haut, bande. . .) ? Dans quelle zone de fréquence sert-il de dérivateur ? d’intégrateur ?
Que vaut alors la phase asymptotique dans
cette zone ?
3. Quelle est l’équation différentielle reliant
e à s?
4. On réalise un essai indiciel de hauteur E0 .
e
C
−
R
R
+
s
a. Que vaut s (0+ ) ?
b. Calculer et représenter graphiquement s (t).
c. Quelle est l’utilité d’un tel essai ?
2.4 Filtre passe-bande (d’après Mines)
(⋆ )
1. Établir la fonction de transfert du montage
(le démoninateur sera factorisé).
2. Le gain est tracé ci-dessous ; figurent le gain
réel et le gain asymptotique. En déduire les valeurs de R1C et de R2C.
3. Le montage peut-il être utilisé en dérivateur ? en intégrateur ?
4. Quelle est l’impédance d’entrée du montage ?
C2
C1
R
−
e (t)
+
R
s (t)
GdB
20
0
−20
−40
−20
1
2.5 Passe-tout
101
102
103
104
105
106
!
"
ω rad.s−1
(⋆ )
1. Pourquoi le montage est-il stable ? Établir la fonction de transfert.
2. Que vaut le gain ? Calculer explicitement la phase en ω = 1/RC. Identifier la valeur du
produit RC avec le graphe de la phase ci-dessous.
3. Quelle est l’utilité de ce montage ?
63
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
R′
−
4. On alimente le circuit avec un échelon de
hauteur E0 . Calculer et représenter la sortie
s (t). Commenter le phénomène observé en
t = 0 en liaison avec le contenu spectral d’un
signal.
R′
+
R
e (t)
s (t)
C
ϕ
0
−π /2
−π
102
103
104
105
107
106
108
!
"
ω rad.s−1
APPROFONDIR
2.6 Filtrage d’un signal en créneaux
(⋆⋆)
1. Établir la fonction de transfert du montage ci-dessous. Préciser ses éléments caractéristiques (pulsation propre ω0 , facteur d’amortissement ξ , gain statique H0 ).
2. On parle d’ajustage fonctionnel quand on peut régler les valeurs des paramètres caractéristiques du filtre, en partilculier ω0 et ξ . Expliquer comment on peut choisir les valeurs de
ces deux coefficients, indépendamment l’une de l’autre.
3. Le diagramme de Bode du filtre fait intervenir deux segments rectilignes, tant pour le gain
que pour la phase. Que valent les deux pentes ? les deux phases ? Dans quel domaines de
pulsation la fonction de transfert est-elle confondue avec ces segments rectilignes ?
4. On alimente le montage avec un signal d’entrée en créneaux, de période Te = 2, 5.10−5 s :
e
R
E0
t
64
e (t)
M
C1
R
R
−
+
C2
s (t)
Commment choisir la valeur R de la résistance pour que la sortie soit un signal constant, dans
le cas où C1 = 22 nF et C2 = 330 nF ? Que vaut alors la sortie ?
2.7 Simulateur d’inductance
(⋆ )
R
+
1. Établir la fonction de transfert du montage
ci-contre.
C
−
e (t)
2. Calculer l’impédance d’entrée du montage. Montrer que le circuit est équivalent à
une bobine réelle dont on déterminera l’inductance L et la résistance r.
2.8 Filtrage d’un signal en créneaux (2)
2R
Son diagramme de Bode est le suivant.
Les coordonnées des points A et B sont :
En déduire les valeurs de
chant R = 1, 0 kΩ.
R′
R′
s (t)
(⋆⋆)
1. Le montage ci-contre admet comme transmittance H (p) = −
GdB (A) = 28, 0
ωA = 4, 25.103 rad.s−1
GdB (B) = 14, 0
ωB = 4, 25.103 rad.s−1 .
2R′
1 ′
2 R Cp
.
1 + RCp + 12 RR′C2 p2
C
R′
C
R
−
e (t)
R
+
et C, sa-
GdB
40
s (t)
A
20
B
0
−20
−40
101
102
103
104
105
!
"
ω rad.s−1
Préciser la phase qui correspond aux deux segments horizontaux asymptotiques sur le diagramme page suivante.
65
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
ϕ
10
101
102
103
104
105
106
!
"
ω rad.s−1
2. On alimente le montage avec un signal d’entrée en créneaux, de période Te = 4, 4.10−3 s :
e
E0
e (t) =
t
'
&
E0 4E0
1
t
π
+
sin
n
×
2
∑ n
2
π n=1,3,5...
Te
Que vaut alors la sortie ?
2.9 Filtre accentuateur
(⋆ )
On considère le circuit ci-dessous, pour lequel R1C = 10−3 s et (R1 + R2)C = 10−1 s.
1. Pourquoi le système est-il stable ?
2. Établir la fonction de transfert sous la forme H (p) =
en fonction de R1 , R2 et C.
3. On propose deux tracés de gain en décibel. Préciser celui qui correspond au
filtre étudié ; les différentes pentes ; les
valeurs sur les axes ; conclure quant au
nom de « filtre accentuateur ». Quelle
sont les valeurs de la phase dans chaque
domaine asymptotique ?
GdB
66
1 + τ0 p
, où τ0 et τ1 sont à exprimer
1 + τ1 p
+
e (t)
−
R1
GdB
C
R2
s (t)
4. On alimentage le circuit avec e (t) = E0 + E1 cos (2π fet), où E0 = E1 = 1 V et fe =
1, 6 kHz. Que vaut la sortie s (t) en régime permanent ?
5. Lors du câblage du circuit, la valeur de R2 n’a pas été exactement respectée, c’est-à-dire
(R1 + R2)C ≈ 10−1 s, alors que les valeurs de R1 et C sont bien celles de l’introduction,
R1C = 1, 00.10−3 s. On observe expérimentalement à l’oscilloscope les signaux suivant, avec
e (t) (en gris) et s (t) (en noir).
voie 1
freq
30.0 Hz
voie 2
C−C
3.56 V
2
1
CH1 50mV
CH2 500mV
voie 1
C−C
200 mV
curseurs
∆t
7.0 ms
10ms
a. En déduire la valeur du produit R2C.
b. Que vaut le déphasage entre les deux signaux ? Quel est le signal en retard sur l’autre ?
c. Établir et tracer la réponse indicielle du circuit. On exprimera la solution en fonction
de R1 , R2 et C, sans application numérique. Sachant que R2 ≈ 102 R1 , à quelle condition
sur l’amplitude du signal d’entrée peut-on observer un tel signal en sortie de l’amplificateur
opérationnel ?
6. On tient dorénavant compte des défauts de l’amplificateur opérationnel, qui est modélisé
par un passe-bas du premier ordre, de constante de temps 10 ms.
a. Rappeler la fonction de transfert de l’amplificateur opérationnel, avec les valeurs numériques des constantes qui y apparaissent.
b. Montrer que la fonction de transfert du circuit se factorise sous la forme (on rappelle
que R1C = 10−3 s et R2C ≈ 10−1 s) :
H (p) =
1 + τ0 p
,
(1 + τ1 p) (1 + θ p)
où θ dépend de R1 , R2 , C et des caractéristiques internes de l’amplificateur opérationnel.
c. Expliquer pourquoi la tension de sortie n’est alors pas discontinue lorsque l’entrée passe
de 0 à E0 en t = 0.
ds ! + "
0 ? Conclusion ?
d. Quelle est la valeur de
dt
2.10 Dérivateur réel
(⋆ ⋆ ⋆)
1. Établir la fonction de transfert du montage ci-dessous dans le cas d’un amplificateur opérationnel réel.
67
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
2. On observe que la réponse au signal d’entrée triangulaire ci-dessous est adoucie par rapport
au prévisions obentues avec un amplificateur opérationnel idéal : pas de pente infinie et s’y
rajoute parfois une composante alternative de pulsation ω0 .
e
E0
T
−E0
t
e
C
−
+
R
0
s
a. Expliquer la suppression des pentes infinies.
b. Proposer un ordre de grandeur pour ω0 et une condition sur T pour que cette composante soit observée.
68
CORRIGÉS
2.1 Combinaisons linéaires
e 1 − v + e2 − v +
+
= i+ = 0, soit v+ =
R
R
e1 + e2 0 − v− v− − s − v− − s
s
et
=
+i =
, soit v− = . L’amplificateur est rétroactionné sur
2
R
R
R
2
sa borne inverseuse, le montage est stable. On supppose de plus que la tension de sortie ne
dépasse pas Vsat , alors v+ = v− et finalement s = e1 + e2 ; c’est un montage sommateur.
v− − s − v− − s
e2 − v−
=
+i =
, soit
Pour le montage de droite : la loi des nœuds impose
R
R
R
+
1
e2 + s
v
R
. Attendu que i+ = 0, un diviseur de tension mène à
= . Avec v+ = v− ,
=
v− =
2
e1
2R 2
on obtient s = e1 − e2 ; c’est un montage soustracteur.
Pour le montage de gauche : la loi des nœuds impose
2.2 Dérivateur
1. Attendu que i− = 0, le courant qui circule dans le dipôle C est le même que celui dans R.
Avec V − = V + = 0 :
Cp (E − 0) =
0−S
R
⇒
S (p) = −RCp E (p)
qui réalise bien une dérivation car p ←→
⇒
H (p) = −RCp,
d
de
: s = RC .
dt
dt
de
= −E0 RCω sin (ω t). L’amplificateur sature, et donc ne fonctionne plus lidt
néairement, dès que l’amplitude de s atteint Vsat , soit pour E0 RCω " Vsat , ou ω " Vsat /E0 RC.
Ie
. Avec un amplificateur qui ne sature pas, V − =
3. Aux bornes du condensateur, E −V − =
Cp
V + = 0 et Ie = CpE, soit ie (t) = jCω e (t) = jCω E0 exp ( jω t) = Cω E0 exp( j (ω t + π /2)).
D’où ie (t) = Cω E0 cos (ω t + π /2) = −Cω E0 sin (ω t).
La puissance appelée en entrée est p (t) = e (t) ie (t) = −Cω E02 sin (ω t) cos (ω t), de valeur
moyenne nulle. On en peut toutefois pas en conclure que le montage ne consomme rien, car
l’amplificateur consomme une certaine puissance pour fonctionner, au travers de son alimentation +15 V/ − 15 V, non représentée.
T
de
E0 − (−E0 )
4E0
4. De 0 à , la pente du signal d’entrée est constante, où
=
. Dès
=
T
2
dt
T
2
lors :
s
RC
4E0
T
T
t
RC0
−4E0
T
2. s (t) = RC
69
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
5. L’état haut vaut 4E0 RC/T et l’état bas l’opposé. Le passage de l’un à l’autre n’est pas
instantané à cause du slew rate. La sortie varie de 8E0 RC/T avec une vitesse de variation de
sr V.µ s−1 , ce qui prend une durée θ = 8E0 RC/T sr.
2.3 Dérivateur partiel
1. Attendu que i− = 0, le courant qui circule dans le dipôle CR est le même que dans le dipôle
R. Avec v− = v+ = 0 :
0−S
E −0
=
1
R
R + Cp
⇒
H (p) = −
RCp
.
1 + RCp
1
dont on simplifie la transmittance dans un
2. Passe-haut de pulsation caratéristique ω0 =
RC
tableau asymptotique :
ω≪
1
Dénom(p) ≃
H (p) ≃
−RCp
π
−
2
−π
+20 dB/décade
0
phase
pente
1
≪ω
RC
RCp
1
RC
−1
1
1
, soit ω <
, et n’est jamais intégrateur. La
Le filtre est dérivateur dans la zone ω ≪
RC
10RC
phase dans la zone dérivatrice vaut, avec p = jω :
ϕ = arg (−RC jω ) = arg(−1) + arg( jRCω ) = −π +
π
π
=− .
2
2
ds
de
+ s (t) = −RC .
dt
dt
! +"
E0
= H (∞) E0 = −E0 .
4.
a. s 0 = lim pS (p) = lim pH (p)
p→∞
p→∞
p
ds
b. Pour t > 0, e (t) = E0 et l’équation différentielle devient RC + s (t) = 0, dont la soludt #
# t $
t $
. Avec s (0) = −E0 = λ : s (t) = −E0 exp −
.
tion est s (t) = λ exp −
RC
RC
3. RC
s/E0
0
−0.5
−1.0
70
RC
2
0, 63 × s (0+ )
4
6
t
RC
c. Un essai indiciel sert à mesurer la constante de temps RC du système, avec la méthode
du temps de variation à 63%.
2.4 Filtre passe-bande
1. Attendu que i− = 0, le courant qui circule dans le dipôle C1 R est égal à la somme de cux
qui circulent dans C2 et dans R. Avec V − = V + = 0 :
E −0
0−S
+ C2 p (0 − S)
=
R
R + C11 p
soit
S
C1 p
E = − − C2 pS,
1 + RC1 p
R
soit en multipliant par R et 1 + RC1 p :
RC1 p E = − (1 + RC1 p) S − RC2 p (1 + RC1 p) S = − (1 + RC1 p) (1 + RC2 p) S,
RC1 p
.
(1 + RC1 p) (1 + RC2 p)
2. Deux pulsations apparaissent sur le diagramme de Bode en amplitude, aux cassures des
asymptotes. On lit graphiquement 104 rad.s−1 et 40 rad.s−1 . À ce stade, on ne sait pas si
104 rad.s−1 = 1/RC1 et 40 rad.s−1 = 1/RC2 ou l’inverse. On simplifie alors la transmittance
dans les deux cas. Les deux tableau sont en fin d’exercice, page suivante.
On voit dans les deux cas que les pulsations de cassure, observées sur le diagramme de Bode,
correspondent bien à 1/RC1 et 1/RC2 , donc que C1 ̸= C2 . La partie centrale, de pente nulle,
étant à 0 dB, seul le premier cas convient : 104 rad.s−1 = 1/RC1 et 40 rad.s−1 = 1/RC2 , donc
RC1 = 10−4 s et RC2 = 2, 5.10−2 s.
1
1
3. Le montage est dérivateur pour ω ≪
, c’est-à-dire ω <
; il est intégrateur pour
RC1
10RC1
1
10
ω≫
, c’est-à-dire ω >
.
RC2
RC2
4. Le courant
&
' d’entrée Ie est celui qui passe dans le dipôle RC1 . D’après la loi d’Ohm, E − 0 =
1
E
1
R+
Ie ; ainsi Ze = = R +
.
C1 p
Ie
C1 p
donc H (p) = −
1
1
≪ω ≪
RC1
RC2
1
≪ω
RC2
1
RC1 p
RC1 p
1
1
RC2 p
−RC1 p
−1
−
π
π
=−
2
2
+20 dB/décade
−1
−π −
ω≪
1 + R1Cp ≃
1 + R2Cp ≃
H (p) ≃
phase
pente
−π +
1
RC1
0
1
RC2 p
3π
π
=−
2
2
−20 dB/décade
71
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
1
1
≪ω ≪
RC2
RC1
1
≪ω
RC1
1
1
RC1 p
1
RC2 p
RC2 p
ω≪
1 + R1Cp ≃
1 + R2Cp ≃
H (p) ≃
phase
pente
1
RC2
−RC1 p
C1
C2
−
−1
−π −
−
π
π
=−
2
2
+20 dB/décade
−π +
1
RC2 p
3π
π
=−
2
2
−20 dB/décade
0
2.5 Passe-tout
1. Stable car rétroaction uniquement négative sur l’amplificateur opérationnel. Attendu que
1
V+
1
Cp
=
. Attendu que i− = 0, le
=
i+ = 0, on reconnaît un pont diviseur :
1
E
1 + RCp
R + Cp
courant qui circule dans les deux résistances R est identique :
E −V− V− − S
=
R′
R′
d’où V − =
E +S
.
2
Avec un amplificateur de gain infini, V + = V − et :
E +S
1
E=
1 + RCp
2
⇒
2E = (1 + RCp)E + (1 + RCp)S,
(1 − RCp)E = (1 + RCp)S
⇒
H (p) =
1 − RCp
.
1 + RCp
1 − jRCω
. Il vaut 1 car le numérateur et le dénomina1 + jRCω
teur sont
'
& module.
& des'complexes conjugués, de même
π π
1− j
1
1
=
, dont la phase est ϕ
= arg(1 − j) − arg(1 + j) = − − =
Et H j
RC
1+ j
RC
4 4
π
1
4
−1
−5
= 3.10 rad.s donc RC = 3, 3.10 s.
− . On en déduit par lecture graphique
2
RC
3. Ce montage laisse passer toutes les fréquences, d’où son nom de passse-tout, mais les
déphase ; c’est un passe-tout déphaseur.
ds
de
4. L’équation différentielle qui régit l’évolution du circuit est RC + s = −RC + e. Atdt
dt #
ds
t$
tendu que e (t > 0) = E0 , pour t > 0 : RC + s = E0 , qui s’intègre en : s (t) = µ exp − +
dt
τ
E0 .
On trouve la constante d’intégration µ avec la condition initiale :
2. Le gain est le module de H ( jω ) =
72
• la tension aux bornes du condensateur, initialement déchargé, est continue donc v+ (0+ ) =
E0 + s (0+ )
= 0 et donc s (0+ ) = −E0 ;
0 ; ainsi v− (0+ ) =
2
E0
pour un échelon :
• théorème de la valeur initiale, avec E (p) =
p
! "
E0
= H (∞) E0 = −E0 .
s 0+ = lim pS (p) = lim pH (p)
p→∞
p→∞
p
#
# t $$
.
Finalement s (0+ ) = µ + E0 = −E0 donc µ = −2E0 et s () = E0 1 − 2 exp −
RC
s/E0
1
2
4
6
t
RC
−1
La sortie est discontinue en 0 car le filtre laisse passer les hautes fréquences, c’est-à-dire
H (∞) ̸= 0. Ces hautes fréquences sont nécessaires pour construire de brusques variations du
signal.
2.6 Filtrage d’un signal en créneaux
1. La loi des nœuds en M, de potentiel VM , mène à :
E − VM VM − S VM − V −
=
+
+ C1 p (VM − 0).
R
R
R
Avec V − = V + = : VM (3 + RC1 p) = E + S. De même, à l’entrée inverseuse :
!
"
VM − V −
= C2 p V − − S + I − .
R
Avec V − = 0 et I − = 0 : VM = −RC2 pS ; et donc E + S = −RC2 p (3 + RC1 p) S :
"
!
E = − 1 + 3RC1 p + R2C1C2 p2 S
qui se met sous forme canonique H (p) =
1
6
⇒
H (p) = −
H0
1 + 2ξ ωp0
+
#
p
ω0
1
,
1 + 3RC1 p + R2C1C2 p2
$2 . On en déduit d’abord ω0 =
C1
5
, puis ξ = 3
et finalement H0 = −1.
C2
R2C1C2
2. On règle le coefficient d’amortissement ξ avec les valeurs de C1 et C2 , puis on fixe ω0 avec
celle de R. On peut donc facilement imposer ω0 et ξ indépendamment l’un de l’autre.
73
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
3. On simplifie la transmittance dans un tableau asymptotique. On y lit directement les valeurs des pentes et des phases des deux segments rectilignes :
Dénom(p) ≃
ω ≪ ω0
ω0 ≪ ω
R2C1C2 p2
1
H (p) ≃
−1
phase
−π
pente
0
1
R2C1C2 p2
π
−π − 2 × = −2π
2
−
−40 dB/décade
"
!
π
Phase pour ω0 ≪ ω : ϕ = arg (−1) − arg R2C1C2 − 2 arg( jω ) = −π − 0 − 2 × .
2
∞
4. Le signal créneau se décompose en série de Fourier : e (t) = ⟨e⟩ + ∑ En cos (nωet + ϕn ),
n=1
2π
. On souhaite un signal constant en sortie, c’est-à-dire que seule la valeur moyenoù ωe =
Te
E0
doit passer à travers le filtre : le fondamental de pulsation ωe et les harmoniques
ne ⟨e⟩ =
2
ωe
. Numéride pulsations nωe doivent être filtrées. C’est le cas dès que ω0 ≪ ωe , soit ω0 <
10
& '2
1
10
E0
quement, R >
.
= 2, 2.105 Ω. la sortie vaut alors
C1C2 ωe
2
2.11 Simulateur d’inductance
(⋆ )
1. Attendu que i+ et i− sont nuls, la formule du diviseur de tension mène à :
2R
V+
2RCp
=
=
1
E
1 + 2RCp
2R + Cp
De plus, V + = V − impose H (p) =
2. On cherche Ze =
et
V−
2R′
2
= ′
= .
S
2R + R′ 3
3RCp
.
1 + 2RCp
E
. On calcule l’intensité de chaque courant en fonction de E :
Ie
E −V+ =
2RCp
E
IC
=E−
E=
,
Cp
1 + 2RCp
1 + 2RCp
1 − RCp
CpE
3RCp
, et E − S = RIR = E −
E=
E.
1 + 2RCp
1 + 2RCp
1 + 2RCp
1 − RCp E
Ainsi : IR =
.
1 + 2RCp R
donc IC =
74
iC
ie
E
1
et :
Au final Ie = IC + IR =
1 + 2RCp R
R
+
C
−
Ze = R + 2R2Cp = R + Lp.
e (t)
Labobine présente donc une résistance
r = R et une inductance L = 2R2C.
2R
2R′
R′
s (t)
2.7 Filtrage d’un signal en créneaux (2)
1. C’est un passe-bande, de transmittance canonique H (p) = −H0
6
2ξ ωp0
1 + 2ξ ωp0
+
#
p
ω0
$2 , donc
2
. La transmittance est maximum en ω0 et vaut
RR′C2
& ′'
R′
R
car 12 RR′C2 p2 = −1 pour p = jω0 ; d’où un gain de dB de 20 log
. On
H ( ω0 ) = −
2R
2R
en déduit ω0 = ωA = 4, 25.103 rad.s−1 et :
& ′'
R
soit R′ = 50, 2 R = 50, 2 kΩ.
GdB (A) = 28, 0 = 20 log
2R
de pulsation caratéristique ω0 =
On simplifie la transmittance dans un tableau asymptotique. On y lit directement les valeurs
des pentes et des phases des deux segments rectilignes :
Dénom(p) ≃
H (p) ≃
ω ≪ ω0
1
− 12 R′Cp
π
π
=−
2
2
phase
−π +
pente
+20 dB/décade
ω0 ≪ ω
1
′ 2 2
2 RR C p
1
RCp
3π
π
−π − = −
2
2
−
−20 dB/décade
Les asymptotes se croisent en ω0 = ωB = 4, 25.103 rad.s−1 . Pour y connaître le gain, on
remplace p par jω0 dans une des deux expressions limites, par exemple :
4 6 4
6
& ′'
4
R′
2′ 44
2
1 ′
4
d’où un gain en dB de 20 log 4− j
.
− R C j ω0 = − j
4 = 10 log
4
2
2R
2R 4
2R
On obtient le même résultat que précédemment :
& ′'
R
GdB (B) = 14, 0 = 10 log
2R
soit R′ = 50, 2 R.
75
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
iR
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
Puis, avec ω0 =
6
2
= 4, 25.103 rad.s−1 : C = 47 nF.
RR′C2
∞
2. Le signal créneau se décompose en série de Fourier : e (t) = ⟨e⟩ + ∑ En cos (nωet + ϕn ),
n=1
2π
. Y a-t-il une harmonique qui soit de pulsation ω0 ? Il faut alors qu’il existe un
où ωe =
Te
2π
= ω0 , soit n = 3, 0. L’harmonique 3 passe à travers le filtre avec un
entier n tel que n
Te
gain H (3ωe ) = H (ω0 ) = −25, alors que la valeur moyenne (composante de pulsation nulle),
le fondamental et toutes les autres harmoniques sont absorbées. Cette harmonique s’écrit
4E0 1
100E0
e3 (t) =
× sin (3ωet). Il ne reste donc en sortie que s (t) = −
sin (3ωet).
π
3
3π
2.8 Filtre accentuateur
1. Amplificateur opérationnel rétroactionné sur son entrée inverseuse.
R1 + C11 p
V−
=
. Avec un amplificateur
2. D’après la formule du diviseur de tension,
S
R1 + C11 p + R2
1 + (R1 + R2)Cp
.
opérationnel idéal, E = V + = V − . Ainsi H (p) =
1 + R1Cp
1
et ω1 =
3. Deux constantes de temps donc deux pulsations caractéristiques ω0 =
(R1 + R2)C
1
> ω0 . On simplifie la transmittance :
R1C
ω≪
Num (p) ≃
Dénom(p) ≃
1
(R1 + R2)C
1
1
H (p) ≃
1
phase
0
1
1
≪ω ≪
(R1 + R2 )C
R1C
(R1 + R2)Cp
1
(R1 + R2)Cp
π
2
+20 dB/décade
1
≪ω
R1C
(R1 + R2 )C
R1Cp
R2
1+
R1
0
pente
0
0
'
'
&
&
! "
(R1 + R2 )C
R2
= 20 log 102 = 40 dB.
= 20 log
20 log 1 +
R1
R1C
Les asymptotes sont en gris sur les diagrammes page suivante.
Attendu l’étroitesse de la zone asymptotique à π /2, la phase ne parvient pas à son expression
asymptotique.
1
en les multipliant par 100.
Le montage accentue les pulsations ω ≫
R1C
4. L’entrée est composée de deux signaux, l’un à la pulsation nulle, l’autre à ωe = 2π fe =
76
GdB
60
40
20
+2
0
−20
10−1
ϕ
1
101
0
éc
/d
dB
ade
102
103
104
105
!
"
ω rad.s−1
105
!
"
ω rad.s−1
π /2
π /4
0
10−1
1
101
102
103
1, 0.104 rad.s−1 ≫ 1/R1C :
s (t) = H ( j0) E0 + H ( jωe ) E0 e jωet
0 12 3
0 12 3
1
100
⇒
104
s (t) = E0 + 100E1 cos (2π fet) .
5.
a. On utilise les valeurs des amplitudes des signaux. Avec les signaux complexes s (t) =
S0 exp ( jω t + ϕ ) et e (t) = E0 exp ( jω t) : s (t) = H ( jω ) e, soit :
7
1 + ((R1 + R2 )Cω )2
S0 exp ( jω t + ϕ ) =
exp( j arg H ( jω )) × E0 exp ( jω t) ,
1 + (R1Cω )2
7
1 + (R1Cω + R2Cω )2
dont le module est S0 =
E0 . On observe sur l’oscilloscope : ω =
1 + (R1Cω )2
2π × 30 rad.s−1 , E0 = 100 mV et S0 = 1, 78 V (le crête-à-crête est le double de l’amplitude).
Avec R1C = 1, 00.10−3 s, on trouve : R2C = 9, 50.10−2 s.
b. Écrivons que la sortie est déphasée d’un angle ϕ par rapport à l’entrée : si e (t) =
E0 cos (ω t) alors s (t) = S0 cos(ω t + ϕ ). La sortie s’écrit aussi :
# #
ϕ $$
s (t) = S0 cos ω t +
= S0 cos (ω (t + ∆t)) .
ω
77
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
Le déphasage ϕ correspond à un décallage temporel ∆t tel que : ϕ = ω ∆t = 1, 3 rad.
Autre méthode, avec une règle de proportionnalité :
⎧
1
⎨
∆t
T = ←→ 2π
⇒ ϕ = 2π = 1, 3 rad.
f
⎩
T
∆t ←→ ϕ
Le signal e (en gris) est en retard sur le signal s (en noir) car il passe après par 0.
S (p)
1 + (R1 + R2 )Cp
c.
=
donc (1 + R1Cp) S (p) = (1 + (R1 + R2)Cp) E (p). D’où
E (p)
1 + R1Cp
ds
de
l’équation différentielle R1C +s = (R1 + R2 )C +e, qui devient, pour t > 0 où e (t) = E0 :
dt
dt
'
&
ds
t
.
R1C + s = E0 ⇒ s (t) = E0 + λ exp −
dt
R1C
D’après le théorème de la valeur initiale, en sachant que pour un échelon de hauteur E0 ,
E0
:
E (p) =
p
! "
R1 + R2
s 0+ = lim pH (p) E (p) = H (∞) E0 =
E0 = E0 + λ
p→∞
R1
Finalement :
&
'
R2
1+
E0
R1
⇒
λ=
R2
E0 .
R1
s
''
&
&
R2
t
.
s (t) = E0 1 +
exp −
R1
R1C
E0
t
0
1
2
3
4
5
6
2
R1C
7
+
Le signal de sortie de l’amplificateur opérationnel vaut 10 E0 en t = 0 . Afin qu’il ne sature
pas, il convient de garder :
102 E0 < VSAT
6.
E0 <
VSAT
= 1, 5.10−1 V.
102
A0
E (p), où A0 = 2.105 et τ ≈ 10−2 s.
1+τp
! +
"
V (p) − V − (p) donc :
a. S (p) = Ad (p) E (p) =
b. S (p) =
A0
1+τp
S (p) =
78
⇒
&
'
1 + R1Cp
A0
E (p) −
S (p) .
1+τp
1 + (R1 + R2)Cp
D’où :
S (p) (1 + τ p)(1 + (R1 + R2)Cp) = A0 (1 + (R1 + R2)Cp) E (p)
− A0 (1 + R1Cp) S (p) ,
"
!
S (p) 1 + A0 + (τ + R1C + R2C + A0 R1C) p + (R1 + R2 )Cτ p2 =
A0 (1 + (R1 + R2)Cp) E (p) ,
!
"
Attendu que 1 ≪ A0 et τ = 10−2 s, R1C = 10−3 s, R2C = 10−1 s ≪ A0 R1C = 102 s :
"
!
S (p) A0 + A0 R1Cp + (R1 + R2 )Cτ p2 = A0 (1 + (R1 + R2 )Cp) E (p) ,
'
&
(R1 + R2)Cτ 2
p = (1 + (R1 + R2)Cp) E (p) ,
S (p) 1 + R1Cp +
A0
qui se factorise en :
&
'
(R1 + R2 ) τ
S (p) (1 + R1Cp) 1 +
p = (1 + (R1 + R2 )Cp) E (p) ,
R1 A0
car en effet, quand on développe, le terme en p est :
(R1 + R2) τ
= R1C.
R1C +
0123
R1 A0
0
12
3
10−3 s
5.10−6 s
1 + (R1 + R2 )Cp
&
'.
(R1 + R2) τ
(1 + R1Cp) 1 +
p
R1 A0
c. Lors d’un essai indiciel, s (0+ ) = H (∞) E0 = 0 et la sortie reste continue en t = 0.
!
! ""
A0
E0
ds ! + "
0 = lim p pS (p) − s 0+ = lim p2 H (p)
=
E0 .
d.
p→∞
p→∞
dt
p
τ
!
"
ds ! + "
R2
0 = 2.107 E0 V.s−1 : la pente est très élevée, la montée de 0 à
Numériquement,
E0
dt
R1
s’effectue en une durée très brève, on a l’impression visuelle de garder un signal discontinu.
Finalement : H (p) =
2.9 Dérivateur réel
A0
S (p)
=
, où
E (p) 1 + τ p
E (p) = V + (p) −V − (p) = −V − (p). Il faut recalculer V − (p) car avec un amplificateur réel,
V + (p) ̸= V − (p) :
1. La fonction de transfert de l’amplificateur opérationnel est Ad (p) =
" V− −S
!
Cp E − V − =
R
⇒
(1 + RCp)V − = RCpE + S
⇒
E =−
RCpE + S
.
1 + RCp
79
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 2 – A MPLIFICATEUR LINÉAIRE INTÉGRÉ
A0 RCpE + S
⇒ (1 + τ p)(1 + RCp)S = −A0 RCpE − A0S.
1 + τ p 1 + RCp
On en tire, avec A0 ≫ 1 : ( 1 + A0 + (τ + RC) p + τ RCp2 ) S = −RCpE.
0 12 3
Alors : S = −
= A0
−RCp
. On reconnaît un passeRC + τ
RCτ 2
1+
p+
p
A0
A0
bande d’ordre deux. De plus, si A0 → ∞, alors on tend vers H (p) = −RCp, qui est la fonction
de transfert dans le cas idéal.
2.
a. Le système ne laisse pas passer les hautes fréquences, car H (∞) = 0 ; il est donc
impossible d’obtenir de brusques variations en sortie. La sortie est donc adoucie.
2ξ ωp0
b. Le passe-bande, dont la fonction de transfert s’écrit H (p) = H0
# $2 sous
1 + 2ξ ωp0 + ωp0
6
A0
. C’est cette pulsation qui est la plus
forme canonique, est centré sur la pulsation ω0 =
RCτ
amplifiée et qui se voit, s’il y a résonance. C’est le cas si le coefficient d’amortissement ξ est
RC + τ
2ξ
RC + τ
=
donc ξ = √
< 1.
faible, c’est-à-dire ξ < 1. Or
A0
ω0
2 A0 RCτ
De plus, pour que la pusaltion soit amplifiée, il faut qu’elle existe, c’est-à-dire qu’une harmonique à ω0 existe dans le spectre de e. Or les harmoniques sont de pulsation multiple de celle
du fondamental, 2π /T . Il faut donc qu’il existe un entier n tel que n2π /T ≃ ω0 .
En divisant chaque terme par A0 : H (p) =
80
3
Il existe plusieurs grands types de montages électroniques qui délivrent des oscillations, sinsusoïdales pour la génération de fréquences, rectangulaires pour les signaux d’horloge des
ordinateurs. . . Dans un premier chapitre, des oscillateurs, qui délivrent conditionnellement
un signal sinusoïdal, sont étudiés.
1
1.1
Présentation d’un oscillateur quasi-sinusoïdal
Définition
Un oscillateur quasi-sinusoïdal est un système bouclé auto-oscillant, c’est-à-dire qui oscille
sans requérir de signal d’entrée. On étudie ici les oscillateurs constitués d’un amplificateur et
d’un passe-bande, bouclés car la sortie de l’un est l’entrée de l’autre, et vice versa.
amplificateur
∼
/
∼
∼
/
passe-bande
Figure 3.1 – Schéma général d’un oscillateur quasi-sinusoïdal.
1.2
Montage étudié
Les notions sont ici introduites sur un exemple expérimental, l’oscillateur de Wien 1 . Les
deux blocs, amplificateur et passe-bande, sont clairement identifiés sur le schéma du montage,
1. Nommé en l’honneur de Max Wien, 1866 − 1938, directeur du département de physique de l’Université d’Iéna
en Allemagne, pionnier de la télégraphie sans fil. Ses idées furent développées par William Hewlett, 1913 − 2001,
ingénieur américain, qui réalisa et commercialisa cet oscillateur en fondant la société HP avec David Packard, 1912−
1996.
CHAPITRE 3 – O SCILLATEURS QUASI - SINUSOÏDAUX
présenté sur la figure 3.2. Le montage est bouclé :
• la tension d’entrée de l’amplificateur est v+ , sa tension de sortie est s, tension de sortie de
l’amplificateur opérationnel ;
• la tension d’entrée du passe-bande est s, celle de sortie v+ .
R2
Passe-bande
Amplificateur
i2
R1
i1
v+
i−
−
i+
+
s
C
iC
iRC
iR
R
C
R
Figure 3.2 – Oscillateur de Wien.
La tension s n’est pas la tension de sortie du montage. En effet, ce circuit bouclé n’a ni entrée,
ni sortie définie. L’observation expérimentale montre que lorsqu’il oscille, tous les points du
circuit oscillent à la même pulsation. Le signal peut être prélevé en tout point du circuit ; une
étude ultérieure montre que la tension v+ est « plus sinusoïdale » que la tension s.
On étudie maintenant chaque bloc séparément.
a) Amplificateur
La loi des nœuds, i1 = i2 + i− , exprimée en terme de potentiels, mène à :
0 −V− V − − S −
=
+i
R1
R2
donc, avec i− = 0, V − =
R1
S.
R1 + R2
En considérant que l’amplificateur opérationnel a un gain statique infini et qu’il fonctionne
en régime linéaire, v+ = v− . Ce bloc est alors décrit par sa fonction de transfert, notée A :
S
R2
= 1+
= A.
V+
R1
Attendu que A = 1 +
82
R2
> 1, il s’agit bien d’un amplificateur.
R1
C ONDITIONS THÉORIQUES D ’AUTO - OSCILLATION
b) Passe-bande
La loi des nœuds, iC + iR + iRC = i+ = 0, exprimée en terme de potentiels, mène à :
!
D’où :
"
0 −V+ S −V+
+
0 − V + Cp +
= 0.
1
R
R + Cp
&
'
&
'
1
Cp
RCp
Cp
RCp
+
S = Cp + +
V soit
S = RCp + 1 +
V +,
1 + RCp
R 1 + RCp
1 + RCp
1 + RCp
ainsi :
#
$
RCp S = (1 + RCp)2 + RCp V +
soit
RCp
V+
=
.
S
1 + 3RCp + R2C2 p2
On reconnaît ici un passe-bande, dont la forme canonique est :
V+
= H0
S
p
ω0
& '2
p
p
1 + 2ξ
+
ω0
ω0
2ξ
où ω0 =
1
3
1
, ξ = , H0 = .
RC
2
3
c) Montage bouclé
Le montage se met sous la forme d’un schéma-bloc :
1+
V+
R2
R1
RCp
1 + 3RCp + R2C2 p2
S
Figure 3.3 – Schéma-bloc de l’oscillateur de Wien.
2
2.1
Conditions théoriques d’auto-oscillation
Condition sur le gain et la fréquence
On observe expérimentalement que le montage oscille à une certaine fréquence, pour un
certain choix de R1 et et de R2 , que l’on cherche théoriquement.
On suppose que le montage oscille. Alors, en notation complexe, où p = jω , les deux transmittances impliquent :
v+
= H0
s
ω
1
ω0
& '2 = .
A
ω
jω
1 + 2 jξ
+
ω0
ω0
2 jξ
83
CHAPITRE 3 – O SCILLATEURS QUASI - SINUSOÏDAUX
On en déduit :
& '2
ω
ω
ω
= 1 + 2 jξ
−
,
2H0 A jξ
ω0
ω0
ω0
soit, en ordonnant partie réelle et imaginaire :
& '2
ω
ω
1−
+ 2 jξ
(1 − H0A) = 0.
ω0
ω0
Le complexe est nul, donc sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. On tire de la
nullité de la partie réelle :
& '2
ω
1
1−
.
= 0 donc ω = ω0 =
ω0
RC
Le montage oscille à la pulsation caratéristique du passe-bande. C’est, en effet, la pulsation
la moins atténuée par le passe-bande. Il est donc normal que cette pulsation caractéristique
émerge. Quant à la partie imaginaire, avec ω ̸= 0 :
&
'
R2
1
1+
= 1 donc R2 = 2R1 .
H0 A = 1 soit
3
R1
La condition d’oscillation, R2 = 2R1 , est celle qui autorise les oscillations à la pulsation ω0 .
Un oscillateur quasi-sinusoïdal, constitué d’un passe-bande bouclé avec un amplificateur, oscille à la pulsation caratéristique du passe-bande, lorque la condition d’oscillation est assurée.
2.2
Énergie du signal
Lorsque le montage oscille, les oscillations possèdent une certaine énergie. Leur amplitude
ne diminue pas, malgré la présence d’éléments dissipatifs que sont les résistances. L’alimentation de l’amplificateur opérationnel délivre cette énergie au signal, qui est mis en forme par
le passe-bande.
3
Condition de démarrage des oscillations
La condition limite d’oscillation, R2 = 2R1 , est ardue à obtenir expérimentalement. On observe néanmoins que le montage peut osciller, même si cette relation n’est pas exactement
vérifiée.
3.1
Condition d’instabilité du système bouclé
a) Mise en équation
Afin d’étudier l’apparition des oscillations, on cherche une équation différentielle à laquelle
obéit une tension du montage. On part de la fonction de transfert du passe-bande :
V+
RCp
=
S
1 + 3RCp + R2C2 p2
84
donc
!
"
R2C2 p2 + 3RCp + 1 V + = RCpS,
C ONDITION DE DÉMARRAGE DES OSCILLATIONS
qui correspond à l’équation différentielle :
(RC)2
d 2 v+
dv+
ds
+ v+ (t) = RC .
+
3RC
dt 2
dt
dt
'
&
R2 +
v (t). Alors :
Puis on utilise le lien entre v+ et s qu’impose l’amplificateur, s (t) = 1 +
R1
(RC)2
soit finalement :
'
&
d 2 v+
dv+
R2 dv+
+
+
v
,
+
3RC
(t)
=
RC
1
+
dt 2
dt
R1
dt
'
&
d 2 v+
R2 dv+
+ v+ (t) = 0.
+ RC 2 −
(RC)
dt 2
R1
dt
2
Remarque
Attendu que les tensions v+ et s sont proportionnelles, via l’amplificateur, s obéit à la
même équation différentielle.
b) Instabilité et démarrage des oscillations
Avant la mise sous tension de l’amplificateur opérationnel, tous les points du circuit présentent une tension nulle par rapport à la masse. Après la mise sous tension, si le montage
bouclé est stable, attendu qu’il n’y a aucune entrée, le montage reste à la tension nulle. Il
n’oscille donc pas.
Les oscillations ne naissent donc que si le montage est instable.
Un oscillateur quasi-sinusoïdal n’oscille que si le montage bouclé est instable.
En appliquant le critère nécessaire et suffisant d’instablité, démontré à la page 35, au système
bouclé décrit par l’équation différentielle sur v+ , le montage est instable si :
2−
R2
< 0 soit R2 > 2R1 .
R1
La condition d’oscillation R2 = 2R1 apparaît donc être une condition limite.
!
Pris indépendamment, l’amplificateur et le passe-bande sont tous les deux stables. C’est leur
association qui forme un système bouclé instable.
On observe expérimentalement que le montage oscille pour R2 > 2R1 . Mais plus on s’éloigne
de la condition limite d’oscillation, R2 = 2R1 , moins les oscillations sont harmoniques et
d’une période plus grande que T0 = 2π /ω0, comme le montrent les relevés suivants, sur la
figure 3.4, où R = 1, 0 kΩ et C = 330 nF, soit T0 = 2π RC ≃ 2, 1 ms. L’amplitude des signaux
observés est analysée dans le paragraphe suivant.
85
CHAPITRE 3 – O SCILLATEURS QUASI - SINUSOÏDAUX
12
2
1
CH1 5V
CH2 5V
a
1 ms
12
CH1 5V
CH2 5V
1 ms
CH1 5V
CH2 5V
1 ms
b
2
1
CH1 5V
CH2 5V
c
1 ms
d
Figure 3.4 – Formes d’ondes des tensions s (voie 1 en noir) et v+ (voie 2 en gris).
On précise dans chaque cas le rapport des résistances R2 sur 2R1 , ainsi que la période mesurée.
Plus on s’éloigne du cas limite R2 = 2R1 , moins les oscillations sont sinusoïdales et plus la
période augmente :
cas
a
b
c
d
R2
2R1
1, 01
1, 03
1, 5
3
T (ms)
2, 1
2, 1
2, 4
3, 2
Les courbes peuvent être simulées grâce au programme suivant en langage Python, dans
lequel les tensions s et v+ sont notées s et v, où les caratéristiques H0 , ω0 et ξ du passe-bande
et A du l’amplificateur sont réglables. Le programme calcule les valeurs de s (t) et v+ (t),
en tenant compte de la saturation de l’amplificateur opérationnel à Vsat avec la commande
lineaire=abs(A*v)<Usat. Il affiche les résultats entre les dates tmin et tmax.
86
C ONDITION DE DÉMARRAGE DES OSCILLATIONS
Programme (python)
from pylab import *
from scipy.integrate import odeint
parametres=(A,H0,xi,w0,Usat,v0,tmin,tmax)=
(1.1,1/3,1.5,6,15,0.1,40,50)
Nmax=1000
t=linspace(0,tmax,Nmax)
Nmin=(tmin*Nmax)//tmax
def f(X,t):
s,v,sp,vp=X
lineaire=abs(A*v)<Usat
sp=A*vp*lineaire
vpp=2*xi*w0*(sp*H0-vp)-w0**2*v
spp=A*vpp*lineaire
return [sp,vp,spp,vpp]
X=odeint(f,[A*v0,v0,0,0],t)
(s,v)=transpose(X)[[0,1]]
subplot(211);title(’A=’+str(A)+’, xi=’+str(xi))
plot(t,v,t,s);xlim(tmin,tmax);grid()
show()
c) Amplitude des oscillations et pureté spectrale
Lorsque la condition de démarrage des oscillations est vérifiée, R2 > 2R1 , l’amplitude des oscillations croît exponentiellement, jusqu’à la saturation de l’amplificateur opérationnel. C’est
pourquoi la tension s de sortie de l’amplificateur opérationnel est limitée à Vsat sur les formes
d’onde de la figure sur la figure 3.4.
L’amplitude des oscillations est limitée par la tension de saturation de l’amplificateur
opérationnel.
Ainsi, les oscillations en sortie de l’amplificateur opérationnel sont légèrement aplaties à
cause de la saturation. Elles ne sont donc plus rigoureusement sinusoïdales, ce qui génère des
harmoniques, de pulsation multiple du fondamental à ω0 .
Remarque
Lorsque l’amplificateur opérationnel sature à ±Vsat , la modélisation linéaire du bloc
amplificateur, établie au paragraphe 1.2, n’est plus valable, car on y avait supposé une
fonctionnement linéaire idéal, avec l’égalité v+ = v− .
Ces harmoniques supplémentaires sont filtrées par le passe-bande, centré sur ω0 . La tension
prélevée à l’entrée non-inverseuse, v+ , apparaît donc « plus sinusoïdale » que celle en sortie
de l’amplificateur opérationnel, car moins riche en harmoniques.
87
CHAPITRE 3 – O SCILLATEURS QUASI - SINUSOÏDAUX
Ainsi, sur les cas a et b de la figure 3.4, alors que la tension s est légèrement écrêtée par Vsat ,
ce n’est pas le cas de v+ qui reste quasiment harmonique.
La tension la « plus sinusoïdale » est observée en sortie du passe-bande.
d) Condition limite d’oscillation sinusoïdale
Lorsque R2 tend vers 2R1 , par valeurs supérieures pour vérifier la condtion d’instabilité et
R2
donc d’oscillation, alors 2 −
tend vers zéro et l’équation différentielle sur v+ devient :
R1
(RC)2
d 2 v+
+ v+ (t) = 0.
dt 2
1
.
On reconnaît l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique de pulsation ω0 =
RC
Attendu que l’amplitude des oscillations est limitée par la tension de saturation Vsat de l’amplificateur opérationnel, et que s obéit à la même équation différentielle que v+ :
s (t) = Vsat cos (ω0t + ϕ ),
et donc, attendu que v+ (t) =
R1
s (t)
quand R2 = 2R1 :
s (t) =
R1 + R2
3
v+ (t) =
Vsat
cos(ω0t + ϕ ).
3
Remarque
On peut arbitraitement choisir ϕ = 0 par un choix judicieux de l’origine des temps. En
effet :
amplitude crête à crête
Vsat
= 2 × amplitude
3
origine des dates ici ⇒ v+ (t) =
1
Vsat
cos (ω0t)
3
Vsat
3
origine des dates ici ⇒ v+ (t) =
Vsat
sin (ω0t)
3
CH1 2V
Figure 3.5 – Diverses modélisations de la tension v+ .
1
, qui sont donc
On retrouve ainsi les enseignements du paragraphe 2, R1 = 2R2 et ω0 =
RC
entièrement contenus dans l’équation différentielle sur une tension du montage.
88
C ONDITION DE DÉMARRAGE DES OSCILLATIONS
3.2
Complément : conditions initiales
Avant la mise sous tension de l’amplificateur opérationnel, la tension est identiquement nulle
en tout point du circuit. Lors de la mise sous tension, le système est donc décrit par l’ensemble
{équation différentielle, conditions initiales} :
'
&
⎧
d 2 v+
R2 dv+
⎪
⎨ (RC)2
+ v+ (t) = 0
+
RC
2
−
dt 2
R1
dt
+
⎪
⎩ v+ (0) = 0 et dv (0) = 0.
dt
Or la solution v+ (t) = 0 vérifie les conditions initiales et l’équation différentielle. D’après
l’unicité de la solution, l’oscillateur ne devrait pas démarrer, ce qui est contraire à l’expérience.
Il convient donc de réexaminer les conditions initiales, à la lumière d’un défaut de l’amplificateur opérationnel, non étudié précédement : sa tension de décalage, appelée input offset
voltage en anglais.
Aucun circuit électronique intégré n’est parfait. En particulier, ils présentent tous une légère
tension en sortie, de l’ordre de quelques mV, alors qu’ils ne sont soumis à aucune entrée.
C’est la tension de décalage. On peut le voir aussi comme étant la tension à appliquer à
l’entrée pour assurer une tension nulle en sortie, ce qui justifie l’appelation anglaise. On lit sa
la valeur numérique sur la datasheet d’amplificateur opérationnel présentée sur la figure 2.3,
page 40, typiquement de 1 à 3 mV.
C’est ce défaut systématique de l’amplificateur opérationnel qui assure la naissance des oscillations. Le système bouclé est un système instable attaqué par un échelon de tension de
quelques mV, lors de la mise sous tension du montage.
On peut observer la naissance des
oscillations et leur croissante exponentielle sur un oscilloscope réglé en
mode MONOCOUP, comme sur la figure 3.6 ci-contre, pour laquelle le
rapport entre R2 et 2R1 vaut 1, 03.
Dans le programme, présenté à la
page 87, on tient compte de la tension
de décalage, qui est la valeur v0 des
paramètres. Elle est fortement majorée afin d’arriver plus rapidement en
régime permanent.
1
CH1 5V
Figure 3.6 – Forme d’onde de la tension s.
Remarque
On lit parfois qu’un oscillateur quasi-sinusoïdal démarre sur du bruit, c’est-à-dire que
les conditions initiales sont imposées par les petites fluctuations aléatoires des tensions
du circuit. Le défaut prépondérant en tension reste toutefois la tension de décalage.
89
CHAPITRE 3 – O SCILLATEURS QUASI - SINUSOÏDAUX
SYNTHÈSE
SAVOIRS
• réalisation d’un oscillateur en bouclant un passe-bande du deuxième ordre avec un amplificateur
SAVOIR-FAIRE
• exprimer les conditions théoriques (gain et fréquence) d’auto-oscillation sinusoïdale
d’un système linéaire boucle
• analyser sur l’équation différentielle la condition de démarrage des oscillations
• interpréter le rôle des non linéarités dans la stabilisation de l’amplitude des oscillations
MOTS-CLÉS
• oscillateur quasi-sinusoïdal
90
• condition d’oscillation
• pulsation d’oscillation
• amplitude d’oscillation
S’ENTRAÎNER
3.1 Oscillateur à filtre RLC
(⋆ )
On étudie le circuit RLC ci-dessous, avec R = 2, 5.102 Ω, C = 4, 7 nF et L = 740 mH.
1. Établir la fonction de transfert sous la forme :
C
L
2m ωp0
H (p) = H0
# $2 .
1 + 2m ωp0 + ωp0
e (t)
s (t)
R
Identifier numériquement les valeurs de H0 , m et ω0 .
De quel type de filtre s’agit-il ?
2. Calculer numériquement le facteur de qualité Q du circuit. Le filtre est-il sélectif ? Expliquer.
3. On boucle le filtre RLC par un circuit à amplificateur opérationnel ci-dessous.
a. À quelle condition sur x
le montage oscille-t-il spontanément ?
+
C
L
b. À quelle condition les oscillations sont-elles sinusoïdales ? À quelle pulsation ?
−
e (t)
s (t)
R
c. Quelle est l’amplitude des
oscillations sinusoïdales obserxR
(1 − x)R
vées au niveau de la tension
s (t) ?
d. Qui de e ou s est la tension la plus sinusoïdale ? Expliquer.
(⋆ )
3.2 Oscillateur Hartley (d’après CCP)
On réalise le montage ci-dessous, à gauche, nommé cellule de Hartley.
R2
R1
−
M
L
R
e
C
+
L
s
L
R
e
C
L
s
cellule de Hartley
91
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 3 – O SCILLATEURS QUASI - SINUSOÏDAUX
1. Établir sa transmittance H (p).
2. On insère la cellule de Hartley dans le montage à amplificateur opérationnel ci-dessus, à
droite. À quelle condition sur R1 et R2 le montage oscille-t-il ?
3. Comment obtenir des oscillations sinusoïdales ? Quelle est alors leur pulsation ωosc ?
4. Proposer dans ce dernier cas une expression mathématique pour e (t) puis s (t). Que valent
leurs amplitudes ?
3.3 Oscillateur de courant
(⋆ )
1. Le gain G est un bloc amplificateur, qui présente un gain
G constant, d’impédance entrée infinie et d’impédance de
sortie nulle. Qu’en déduire sur son courant d’entrée ?
2. Quelle équation différentielle régit l’évolution du courant d’intensité i (t) ?
3. Pour quelles valeurs de G le système oscille-t-il naturellement ?
4. Dans quel cas a-t-on des oscillations sinusoïdales ? De
quelle fréquence ?
R1
i
C1
G
C2
R2
APPROFONDIR
3.4 Oscillateur à 3 amplificateurs opérationnels
(⋆ )
Le montage suivant comporte trois blocs, autour de chaque amplificateur opérationnel.
X
AO3
R
−
+
R1
−
R1
AO1
R2
+
C
−
R2
AO2
+
C
R1
R2
1. Pourquoi chacun des trois blocs est-il stable ?
2. On note S1 , S2 et S3 les tensions de sortie des trois ALI. Établir les fonctions de transfert
de chacun des trois blocs : S1 /S3 , S2 /S1 et S3 /S2 .
3. Mettre le système complet sous forme d’un schéma-bloc. À quelle condition sur la résistance X le montage oscille-t-il ?
92
4. Par quoi l’amplitude des oscillations est-elle limitée ?
5. Pour quelle valeur X0 de X a-t-on des oscillations quasi-sinusoïdales ? À quelle pulsation ?
6. Dans le cas des oscillations quasi-sinusoïdales, les trois signaux de sortie des amplificateurs opérationnel ont-ils la même amplitude ? Sont-ils en phase ?
3.5 Oscillateur sinus/cosinus (d’après oral CCP)
(⋆ )
R1
C2
−
C1
R2
−
+
C3
+
R3
1. Mettre le circuit sous forme d’un schéma-bloc dans lequel apparaissent trois bloc, dont on
établira les transmittances.
2. À quelle(s) condition(s) sur les Ri et les Ci le système est-il un oscillateur sinusoïdal ?
Quelle est alors la pulsation ?
3. Quelle est la limite supérieure à cette pulsation ? On répondra avec une expression littérale
de ωmax .
4. Dans ce fonctionnement, quel est le déphasage entre les deux tensions de sortie des amplificateurs opérationnels ? Justifier alors le nom du montage.
5. Les résistances du montage dissipent de l’énergie mais l’amplitude des oscillations ne
diminue pas. Qui fournit cette énergie ?
3.6 Oscillateur à résistance négative (d’après Centrale)
(⋆⋆)
On étudie le dipôle ci-dessous, constitué d’un amplificateur opérationnel et de trois résistances.
1. Dans le cas où l’amplificateur opérationnel fonctionne
en régime linéaire, déterminer les relations donnant V en
fonction de I, puis VS en fonction de I.
2. Dans le cas où amplificateur opérationnel fonctionne régime saturé avec VS = +Vsat , déterminer la relation donnant
V en fonction de I. Faire de même si VS = −Vsat .
3. Tracer la caractéristique statique V en fonction de I du
dipôle étudié. Montrer que dans un intervalle donné de V ,
V ∈ [−V0 ,V0 ], ce circuit se comporte une résistance négative
de valeur −Rn (Rn > 0). Exprimer Rn et V0 en fonction de
R1 , R2 , R et Vsat .
I
R
−
+
V
R2
VS
R1
93
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 3 – O SCILLATEURS QUASI - SINUSOÏDAUX
4. On réalise un oscillateur par la mise en parallèle d’une boucle inductive (constituée de L,
Rb et Cb ), d’un condensateur de capacité Cs et du dipôle étudié à la question précédente. Ce
dernier est en régime linéaire, de sorte que l’on peut assimiler à une résistance négative −Rn .
On peut ainsi dessiner le schéma électrique équivalent de l’oscillateur ci-dessous.
L
R
Cb
U (t)
Cs
−Rn
Justifier que l’on puisse remplacer les deux condensateurs par un seul de capacité Ceq dont
on donnera l’expression en fonction de Cb et Cs .
5. Montrer que la tension U (t) aux bornes de la boucle verifie une équation différentielle de
d2U
dU
+ (1 − c)U = 0. Donner les expressions de a, b et c en fonction de L,
la forme a 2 + d
dt
dt
Ceq , Rb et Rn .
6. Quelle est la condition nécessaire sur b pour que les solutions de l’équation différentielle
soient
7 sinusoïdales ? En déduire la valeur à fixer à Rn en fonction de Rb et Q, avec Q =
1
L
.
Rb Ceq
7. Montrer que les solutions sont effectivement des sinusoïde des Q > Qlim . En pratique, la
condition Q > Qlim n’est pas suffisante pour assurer une bonne stabilité et une bonne fiabilité
du montage. La valeur de Q minimale recommandée est de l’ordre de 8.
1
1
5
8. En déduire dans ce cas que l’on peut écrire la relation approchée f =
avec une
2π LCeq
erreur relative inférieur à 1%.
9. On désire que la fréquence d’oscillation f soit de 50 kHz avec une boucle ayant une
inductance L = 150 µ H, une capacité C = 10 nF et une résistance Rb = 0, 7 Ω.
Calculer la valeur de la capacité Cs à intégrer dans le circuit oscillant. La valeur de Q est-elle
satisfaisante ?
10. En pratique, la condition b = 0 ne permet pas l’amorçage des oscillations. Quel est le
signe de b permettant l’amorçage des oscillation ? Rn doit-il être plus petit au plus grand que
Q2 R b ?
11. Par quoi est limité l’amplitude des oscillations générées par le circuit ?
94
CORRIGÉS
3.1 Oscillateur à filtre RLC
1. Diviseur de tension :
passe-bande :
⎧
1
⎪
⎪
⎨ LC = 2
ω0
2m
⎪
⎪
⎩ RC =
ω0
R
RCp
S (p)
=
=
. On reconnaît un filtre
1
E (p)
1
+
RCp
+ LCp2
R + Lp + Cp
⇒
1
ω0 = √
= 17.103 rad.s−1
LC
6
R C
= 1, 0.10−2
m=
2 L
et H0 = 1.
6
1 L
1
=
= 50 ≫ 1 : le filtre est sélectif, c’est-à-dire qu’il ne laisse passer que la
2. Q =
2m R C
fréquence ω0 et élimine toutes les autres.
3.
a. Pour un amplificateur opérationnel idéal en fonctionnement linéaire, la loi des nœuds
mène à, avec i− = 0 :
0−e
0 − v−
=
+ i−
xR
(1 − x)R
Ainsi :
S (p)
RCp
=
E (p) 1 + RCp + LCp2
⇒
donc LC
v− = xe = v+ .
de
d2 s
ds
+ RC + s = RC ,
dt 2
dt
dt
devient, avec s = v+ = v− = xe :
RC ds
ds
d2 s
LC 2 + RC + s =
dt
dt
x dt
'
&
d2 s
1 ds
soit LC 2 + RC 1 −
+ s = 0.
dt
x dt
1
Le montage du deuxième ordre oscille spontanément dès qu’il est instable, soit pour 1 − <
x
0 : x < 1.
1
b. Les oscillations sont sinusoïdales si x −→ 1, à la pulsation ω0 = √ .
<
LC
c. L’amplificateur opérationnel fixe l’amplitude des oscillations à VSAT , à un décallage
près de l’origine des temps pour éliminer le déphasage : e (t) = VSAT cos (ω0t). Ainsi :
s (t) = xe (t) = xVSAT cos (ω0t) ,
soit une amplitude VSAT pour x = 1.
d. La tension e est filtrée par le passe-bande. C’est donc s qui est la plus sinusoïdale, c’està-dire que son spectre ne contient qu’un fondamental à ω0 . Toutes les autres harmoniques
éventuellement présentent dans e sont filtrées.
95
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 3 – O SCILLATEURS QUASI - SINUSOÏDAUX
3.2 Oscillateur Hartley
1. Soit VM le potentiel du nœud M. Avec un diviseur de tension,
plus, la loi des nœuds en M mène à :
E − VM
VM − 0
= Cp (VM − 0) +
R
2Lp
1
S
Lp
= . De
=
VM
Lp + Lp
2
2Lp
E,
R + 2Lp + 2RLCp2
⇒
VM =
2LC
L de
d2 s
L ds
+s =
.
+2
dt 2
R dt
R dt
L
S
Rp
=
.
E
1 + 2 RL p + 2LCp2
2. La cellule de Hartley impose :
et ainsi :
L
S
Rp
=
L
E
1 + 2 R p + 2LCp2
⇒
Le loi des nœuds à l’entrée inverseuse de l’amplificateur opérationnel mène à, avec i− = 0 :
e − v−
v− − 0
= i− +
R2
R1
⇒
v− =
R2
e.
R1 + R2
Pour un amplificateur opérationnel en régime linéaire, v+ = v− , qui vaut ici s : s =
On élime une tension, par exemple e :
&
'
L
R1 ds
L ds
d2 s
+s =
1+
2LC 2 + 2
dt
R dt
R
R2 dt
R2
e.
R1 + R2
&
'
d2 s L
R1 ds
soit 2LC 2 +
1−
+ s = 0.
dt
R
R2 dt
Le montage oscille dès qu’il est instable, c’est-à-dire pour 1 −
R1
< 0, donc R1 > R2 .
R2
d2 s
3. Oscillations sinusoïdales si R1 −→ R2 . L’équation différentielle devient alors 2LC 2 +
>
dt
1
s = 0, qui est celle d’un oscillateur à la pulsation ωosc = √
.
2LC
On retrouve la pulsation du passe-bande. Toutes les autres fréquences sont filtrées, seule celle
à ωosc passe à travers le filtre.
4. L’amplitude des oscillations
est'limitée par la tension de saturation de l’amplificateur opé&
t
, où le déphasage est pris nul via un décalage de l’origine
rationnel : e (t) = Vsat cos √
2LC
des temps.
&
'
Vsat
t
R2
e
cos √
De plus, quand R1 −→ R2 , s =
e = , donc s (t) =
.
>
R1 + R2
2
2
2LC
3.3 Oscillateur de courant
1. Si l’impédance d’entrée du bloc de gain G est infinie, alors son courant d’entrée est nul.
96
2. Soit U la tension d’entrée du bloc de gain G ; celle de sortie vaut donc GU. La loi des
nœuds, en entrée du bloc de gain G, avec Ie = 0, mène à :
GU − U
U −0
= C2 p (U − 0) +
+ Ie
1
R2
R1 + C1 p
⇒
(G − 1)U
C1 p
U
= C2 pU + .
1 + R1C1 p
R2
En multipliant par R2 :
R2C1 p
= (1 + R2C2 p)U ⇒ (G − 1)R2C1 pU = (1 + R1C1 p) (1 + R2C2 p)U.
1 + R1C1 p
!
"
On ordonne les termes : 1 + (R1C1 + R2C2 − (G − 1)R2C1 ) p + R1C1 R2C2 p2 U = 0.
$
#
Attendu qu’aux bornes du dipôle R1C1 , GU −U = R1 + C11 p I, soit U = Zeq I, l’intensité du
courant I obéit à la même équation différentielle que la tension U :
(G − 1)U
R1C1 R2C2
d2 i
di
+ (R1C1 + R2C2 − (G − 1)R2C1 ) + i = 0.
dt 2
dt
3. Le montage est instable et oscille dès que (R1C1 + R2C2 − (G − 1)R2C1 ) < 0, soit 1 +
R1 C2
+
< G.
R2 C1
R1 C2
4. À la limite où G tend vers 1 +
+
par valeurs supérieures, on obtient un système
R2 C1
d2 i
décrit par R1C1 R2C2 2 + i = 0, c’est-à-dire un oscillateur sinusoïdal de pulsation ω =
dt
1
1
√
, donc de fréquence f = √
.
R1 R2C1C2
2π R1 R2C1C2
3.4 Oscillateur à 3 amplificateurs opérationnels
1. Chaque amplificateur opérationnel est rétroactionné sur sa borne inverseuse. Cette rétroaction est stablisatrice.
2. L’amplificateur opérationnel 3 sert d’amplificateur et les 1 et 2 de cellules oscillantes.
Pour l’amplificateur opérationnel 1, un diviseur de tension mène à :
V1+
τ1 p
R1
R1Cp
=
.
=
=
1
S3
1 + R1Cp 1 + τ1 p
R1 + Cp
La loi des nœuds à l’entrée inverseuse, avec I1− = 0, mène à :
V − − S1
S3 − V1−
= I1− + 1
R1
R1
⇒
V1− =
S1 + S3
.
2
Avec V1− = V1+ (à cause de la rétroaction négative et du démarrage linéaire des oscillations) :
τ1 p
τ1 p − 1
S1 + S3
S1
S3 =
⇒ 2τ1 pS3 = (1 + τ1 p) S3 + (1 + τ1 p) S1 ⇒
= H1 .
=
1 + τ1 p
2
S3
τ1 p + 1
97
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 3 – O SCILLATEURS QUASI - SINUSOÏDAUX
S2
τ2 p − 1
= H2 . Quant à l’amplificateur opérationnel 3, la loi des nœuds à
=
S1
τ2 p + 1
l’entrée inverseuse, avec I3− = 0 et V3− = V3+ , mène à :
De même :
V − − S2
S3 − V3−
= I3− + 3
X
R
S3
X
= − = H3 .
S2
R
⇒
3. Le système se formalise sous forme de schéma-bloc :
H3
S3
S2
H1
S1
H2
On Cherche à quelle équation différentielle obéissent les des trois tensions s1 (t), s2 (t) ou
s3 (t). Par exemple, pour s3 (t) :
S3 (p) = H1 (p) H2 (p) H3 (p) S3 (p)
⇒
S3 (p) = −
τ1 p − 1 τ2 p − 1 X
S3 (p) .
τ1Cp + 1 τ2 p + 1 R
Alors :
τ1 τ2 p2 S3 + (τ1 + τ2 )pS3 + S3 = −
"
X!
τ1 τ2 p2 S3 − (τ1 + τ2 )pS3 + S3 ,
R
En regroupant les termes :
'
'
'
&
&
&
X
X
X
2
p S3 + (τ1 + τ2 ) 1 −
pS3 + 1 +
S3 = 0.
τ1 τ2 1 +
R
R
R
L’équation différentielle à laquelle obéit le montage est alors :
'
'
&
'
&
&
X
X d2 s3
X ds3
+
1
+
s3 = 0.
τ1 τ2 1 +
+
(
τ
+
τ
)
1
−
1
2
R dt 2
R dt
R
X
< 0 soit X > R.
R
4. L’amplitude des oscillations est limitée par la tension maximale de sortie des amplificateur
opérationnel (tension de saturation).
d2 s3
5. À la limite où X tend vers R, l’équation différentielle devient τ1 τ2 2 + s3 = 0. D’où
dt
1
1
X0 = R et des oscillations sinusoïdales de pulsation ω0 = √
= √
.
τ1 τ2 C R1 R2
6. |H1 (p = jω0 )| = |H2 (p = jω0 )| = 1 et quand X = R, H3 (p = jω0 ) = −1. L’amplitude
des signaux reste identique pour chaque signal s1 , s2 et s3 : Vsat .
Toutefois ces trois signaux sont déphasés les uns par rapport aux autres. En effet, pour le bloc
3, arg (H3 (p = jω0 )) = −π et pour le 1 (idem pour le 2) :
Le montage complet est instable et oscille dès que 1 −
arg (H1 (p = jω0 )) = arg ( jτ1 ω0 − 1) − arg( jτ1 ω0 + 1) ̸= 0.
Chaque bloc déphase le signal d’entrée.
98
3.5 Oscillateur sinus/cosinus
1. Le premier bloc est constitué de R1 , C1 et de l’amplificateur opérationnel de gauche, le
deuxième de R2 , C3 et de l’amplificateur opérationnel de droite, le troisième de R3 et C3 . On
note S1 et S2 les tensions de sortie des deux amplificateurs opérationnels.
H1
V1+
S1
H2
S2
H3
Pour le premier bloc, la loi des nœuds à l’entrée inverseuse, avec I1− = 0 et V1− = V1+ , mène
à:
"
!
0 − V1−
S1
1 + τ1 p
(τ1 = R1C1 ) .
⇒ H1 = + =
= I1− + C1 p V1− − S1
R1
τ1 p
V1
De même pour le deuxième bloc, avec I2− = 0 et V2− = V2+ = 0 :
"
!
S1 − V2−
= I2− + C2 p V2− − S2
R2
⇒
H2 =
S2
1
=−
S1
τ2 p
(τ2 = R2C2 ) .
Quant au troisième bloc, c’est un pont diviseur de tension :
V1+
=
S2
1
C3 p
1
C3 p
+ R3
=
1
= H3
1 + τ3 p
(τ3 = R3C3 ) .
2. On établit l’équation différentielle à laquelle obésissent les tensions du circuit. Par exemple, pour s1 (t), S1 (p) × H2 (p) × H3 (p) × H1 (p) = S1 (p) mène à :
1
1 + τ1 p 1
S1 (p) = S1 (p) ⇒ − (1 + τ1 p) S1 (p) = τ1 τ2 p2 (1 + τ3 p) S1 (p) .
τ1 p τ2 p 1 + τ3 p
!
"
On ordonne les termes : 1 + τ1 p + τ1τ2 p2 + τ1 τ2 τ3 p3 S1 (p) = 0.
On obtient un sysème du troisième ordre, pour lequel il n’existe pas de critère nécessaire et
suffisant de stabilité sur le signe des coefficients (il faudrait utiliser un tableau de Routh). On
suppose que le montage oscille à la pulsation ω ; alors p = jω et, avec s1 ̸= 0 et ω̸ = 0 :
8
!!
"
!
""
1 − τ1 τ2 ω 2 = 0,
1 − τ1τ2 ω 2 + jτ1 ω 1 − τ2τ3 ω 2 s1 = 0 ⇒
1 − τ2 τ3 ω 2 = 0.
−
1
On déduit de la première équation ω = √
, qui implique dans la seconde équation τ1 = τ3
τ1 τ2
(on obtient les mêmes résultats en trouvant ω de la seconde équation).
3. La pulsation est limité par le slew rate de l’amplificateur opérationnel. L’amplitude des
oscillations est limité par la tension de saturation des amplificateurs opérationnels, donc
ds1
s1 (t) = Vsat cos (ω t + ϕ ) et
= −ω Vsat sin (ω t + ϕ ). Le slew rate sr limite la vitesse de
dt
variation de la tension de sortie de l’amplificateur opérationnel ; on majore donc son maximum :
sr
ω Vsat < sr ⇒ ωmax =
.
Vmax
99
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 3 – O SCILLATEURS QUASI - SINUSOÏDAUX
4. Il y a le deuxième bloc entre les deux tensions de sortie : H2 (p) = −
arg (H2 (p = jω )) = arg (−1) − arg( jτ2 ω ) = −π −
1
. Sa phase est :
τ2 p
3π
π
=− .
2
2
'
&
3π
3π
s2 est donc déphasé de −
par rapport à s1 . Or cos x −
= − sin (x) : si une tension
2
2
est modélisée par un cosinus, l’autre l’est par un sinus.
5. L’énergie est fournie par l’alimentation des amplificateurs opérationnels, qui n’est pas
représentée sur le schéma.
3.6 Oscillateur à résistance négative
1. Attendu que I − = 0, la loi d’Ohm stipule V − VS = RI. Puis on cherche à exprimer VS en
R1
V+
=
et, pour un amplificateur
fonction de V . On a un pont diviseur de tension
VS
R1 + R2
opérationnel en régime linéaire non saturé : V + = V − = V . Ainsi :
V−
R1 + R 2
V = RI
R1
⇒
−
R2
V = RI
R1
et
−
R2
VS = RI.
R1 + R2
2. En régime saturé, V + ̸= V − . Alors la loi d’Ohm RI = V − VS devient, si VS = +Vsat , V =
Vsat + RI, et si VS = −Vsat , V = −Vsat + RI.
R1 + R2
R1
RI. L’amplificateur opéarationnel sature
3. En régime linéaire, V = − RI et VS = −
R2
R2
R2 Vsat
; de même pour V = −Vsat :
dès que VS arrive à Vsat , c’est-à-dire pour I = −I0 = −
R1 + R2 R
R2 Vsat
.
I = I0 =
R1 + R2 R
V
V0
I0
−I0
0
12
V = Vsat + RI
I
−V0
30
12
30
12
3
RR1
I
V =−
V = −Vsat + RI
R2
En dehors de [−I0 , I0 ], l’amplificateur opérationnel est saturé.
RR1
R1
R1
V
On a V0 =
RI0 =
Vsat et pour V ∈ [−V0 ,V0 ] : = −
= −Rn .
R2
R1 + R2
I
R2
4. Condensateurs en parallèles : Ceq = Cb + Cs .
100
5. D’après la loi des nœuds, la somme des courants « descendants », qui traversent les dipôles
LR, Cb , Cs et −Rn , est nulle :
U
U
+ Cb pU + Cs pU +
=0
R + Lp
−Rn
⇒
(Rn + RnCeq p (Lp + Rb) − (Lp + Rb))U = 0.
Puis on ordonne et on divise par Rn :
&
'
&
''
&
Rb
L
LCeq p2 + RbCeq −
p+ 1−
U = 0,
Rn
Rn
d’où :
LCeq
&
'
'
&
d 2U
Rb
L dU
+
1
−
U = 0.
+
R
C
−
eq
b
dt 2
Rn dt
Rn
On identifie : a = LCeq , b = RbCeq −
L
Rb
et c = .
Rn
Rn
L
, soit Rn = Rb Q2 .
Rn
7. La condition précédente est nécessaire mais pas suffisante. Il faut aussi 1 − c > 0 pour
obtenir l’équation d’un oscillateur : c < 1, donc Rb < Rn , soit Q2 > 1 ; ou Q > 1 = Qlim .
'
&
LCeq d2U
d2U
1
+ U = 0. On a donc immédia8. Avec b = 0, LCeq 2 + 1 − 2 U = 0, ou
dt
Q
1 − Q12 dt 2
9
:
1
ω
1 :
; 1 − Q2
tement l’équation d’un oscillateur de fréquence f =
=
.
2π
2π
LCeq
6. Solutions harmoniques si b = 0 c’est-à-dire : RbCeq =
9. L’erreur relative sur f est, avec Q = 8 :
9
:
1
:
7
:1 − 2
6
1
1
1 ;
Q
1
−
1− 1− 2
2π LCeq 2π
LCeq
∆f
Q
9
=
= 6
= 7, 9.10−3 = 0, 79 % < 1 %
:
f
1
1
:
1− 2
:1 − 2
Q
1 ;
Q
2π
LCeq
1
10. f =
2π
7
1
L (Cb + Cs )
⇒
1
Cs = 57 nF et Q =
Rb
6
L
= 67 > Qlim .
Cb + Cs
11. Le montage doit être légèrement instable : b < 0, soit Rb < Rn Q2 .
12. L’amplitude des oscillations sur V est limitée par la tension V0 . En effet, la modélisation
n’est valable que dans la zone de résistance négative. Celle sur VS est limitée par Vsat .
101
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
4
La chapitre précédent décrit des oscillateurs qui délivrent un signal sinusoïdal sous certaines
conditions. Il existe d’autres oscillateurs, qui oscillent systématiquement, sans condition, et
délivrent des signaux créneau ou triangulaire : les oscillateurs à relaxation.
1
Amplificateur opérationnel de gain infini en régime saturé
La base d’un oscillateur à relaxation est un amplificateur opérationnel, qui fonctionne en
régime saturé, c’est-à-dire dont la sortie ne prend que deux valeurs, +Vsat et +Vsat . On présente d’abord un comparateur simple, puis les comparateurs à hystérésis, qui sont utilisés en
pratique dans les oscillateurs.
1.1
Comparateur simple
−
v−
ε
v+
+
s
Figure 4.1 – Comparateur simple.
Un comparateur simple utilise un amplificateur opérationnel sans rétroaction. L’équation
différentielle qui décrit l’évolution du système est obtenu avec la fonction de transfert de
l’amplificateur opérationnel :
S (p)
A0
=
E (p) 1 + τ p
donc τ
ds
+ s = A0 ε .
dt
Ce montage
systématiquement. Dans le cas d’une tension ε constante, notée ε0 , s (t) =
# sature
t$
+ A0 ε0 , qui tend vers A0 ε0 au bout de 5τ . Avec A0 = 2.105 , A0 ε0 atteint
cste × exp −
τ
CHAPITRE 4 – O SCILLATEURS À RELAXATION
Vsat = 15 V dès que ε0 dépasse 75 µ V, ce qui est toujours le cas en pratique, ne serait-ce
qu’avec le bruit électrique. On en déduit que l’amplificateur est saturé, avec s (t) = Vsat dès
que ε > 0, et s (t) = −Vsat dès que ε < 0.
Un amplificateur opérationnel sans rétroaction sature.
Si l’on branche l’entrée inverseuse à la masse, c’est-à-dire v− = 0, et qu’on délivre un signal
sinusoïdal e à l’entrée non inverseuse, c’est-à-dire v+ = E0 cos (ω0t + ϕ ), on observe donc,
sur la figure 4.2 à gauche, la loi entrée-sortie du comparateur :
8
+Vsat si ε > 0,
s (t) =
−Vsat si ε < 0.
2
1
2
CH1 1V
CH2 5V
1ms
CH1 1V
CH2 5V
1µ s
Figure 4.2 – Formes d’ondes des tensions d’entrée (voie 1 en noir) et de sortie (voie 2 en gris).
On change la base de temps sur la figure 4.2 à droite, afin d’élargir le passage de +Vsat à
−Vsat . Ce passage n’est pas immédiat à cause du slew rate de l’amplificateur opérationnel,
introduit à la page 41 ; avec sr = 16 V.µ s−1 et Vsat = 15 V, il prend environ 2 µ s.
Remarque
Le slew rate de l’amplificateur opérationnel en fait un piètre comparateur. Il existe des
composants électroniques, conçues pour remplir le rôle de comparateur, avec un temps
de commutation largement inférieur à la µ s.
1.2
Enrichissement spectral
Un comparateur est un système non linéaire pour lequel le principe de superposition est mis
en défaut. Si l’entrée double, alors la sortie n’est pas doublée. On ne peut dès lors plus utiliser
la notion de fonction de transfert.
Une caratéristique majeure d’un système non linéaire est, outre de ne pas respecter le principe
de superposition, d’enrichir spectralement le signal d’entrée, avec l’apparition de nouvelles
fréquences en sortie. Cet enrichissement est visible avec le comparateur, dans le cas simple
de la figure 4.2, où v+ (t) = v0 cos (ω0t + ϕ ) et v− (t) = 0, pour lequel les spectres des signaux
sont représentés sur la figure 4.3 suivante.
104
C OMPARATEURS À HYSTÉRÉSIS
spectre de ε (V)
spectre de s (V)
ω0
0
fondamental de pulsation ω0
10ω0
5 ω0
ω
15ω0
0
5 ω0
10ω0
15ω0
ω
Figure 4.3 – Spectres des signaux d’entrée et de sortie du comparateur.
Un système non linéaire enrichit le spectre du signal de sortie de fréquences absentes
du signal d’entrée.
2
Comparateurs à hystérésis
Il existe deux types de comparateurs, suivant le sens, trigonométrique positif ou négatif, dans
lequel est parcouru son cycle d’hystérésis.
2.1
Comparateur « négatif »
On étudie le montage présenté à la figure 4.4, alimenté par une tension sinusoïdale de 4 V
d’amplitude. On montre à la page 47 que ce montage est instable, qu’il sature systématiquement à cause de la rétroaction positive. On observe à l’oscilloscope la sortie s (branchée sur
la voie 1), en fonction de l’entrée e (branchée sur la voie 2), en mode XY. La courbe observée
est nommée cycle d’hystérésis.
R2 = 10 kΩ
R1 = 1 kΩ
+
e (t)
−
s (t)
CH1 5V
CH2 1V
XY
Figure 4.4 – Montage comparateur dont le cycle tourne dans le sens négatif.
L’étude de ce montage passe par 3 étapes :
• le calcul de ε = v+ − v− ;
• l’écriture de la condition pour avoir s = +Vsat ou s = −Vsat ;
• le tracé du cyle d’hystérésis.
La loi des mailles, écrite en terme de potentiel à l’entrée non-inverseuse, implique, avec
i+ = 0 :
0 − v+ v+ − s
R1
=
+ 0 d’où v+ =
s.
R1
R2
R1 + R2
105
CHAPITRE 4 – O SCILLATEURS À RELAXATION
Ainsi :
ε = v+ − v − =
R1
s − e.
R1 + R2
Pour un montage à amplificateur opérationnel saturé, la sortie vaut s = +Vsat si ε > 0, et vaut
s = −Vsat si ε < 0. Ainsi :
R1
R1
s − e > 0, soit e <
Vsat ;
• ε > 0 et donc s = +Vsat , pour
R1 + R2
R1 + R2
Vsat
R1
R1
s − e < 0, soit e > −
Vsat .
• ε < 0 et donc s = −Vsat , pour
R1 + R2
R1 + R2
−Vsat
s
Vsat
On peut donc interpréter les valeurs
lues sur le cycle d’hystérésis :
R1
Vsat
R1 + R2
e
−
R1
Vsat
R1 + R2
−Vsat
Figure 4.5 – Cycle d’hystérésis du comparateur « négatif ».
Sens de parcours des commutatrices Les commutatrices sont les segments verticaux du
cycle d’hystérésis.
R1
Si l’on part d’une tension e initialement supérieure à
Vsat dont on diminue la valeur,
R1 + R2
R1
Vsat , valeur pour laquelle ε passe
la sortie reste à −Vsat jusqu’à ce que e arrive à −
R1 + R2
par 0 et le montage bascule, ou commute, c’est-à-dire que s passe de −Vsat à +Vsat . La
commutatrice de gauche est donc parcourue de bas en haut.
R1
On raisonne de même en partant d’une tension e < −
Vsat qu’on augmente. Le monR1 + R2
R1
Vsat . La commutatrice
tage commute quand ε passe par 0, c’est-à-dire quand e atteint
R1 + R2
de droite est parcourue de haut en bas.
Les commutatrices ne sont parcourues que dans un seul sens, à la différence des segments horizontaux, qui peuvent être parcourus dans les deux sens, suivant que e augmente ou diminue.
D’où le sens des flèches sur la figure 4.5.
Sens de parcours du cycle Lorsque le montage est alimentée par une entrée variable, par
exemple e (t) = E0 sin (ω t), le cycle est parcouru dans le sens trigonométrique négatif. Un
moyen mnémotechnique pour s’en souvenir est que l’entrée e est branchée à la borne ⊖.
106
C OMPARATEURS À HYSTÉRÉSIS
Remarque
R1
Vsat , afin que le montage commute. Si ce n’est
R1 + R2
pas le cas, la sortie reste à ±Vsat .
Il faut s’assurer que E0 dépasse
Épaisseur à l’oscilloscope des commutatrices Elle est expérimentalement beaucoup plus
faible que celle des segments horizontaux. En effet, le passage de +Vsat à −Vsat n’est limité
que par le slew rate de l’amplificateur opérationnel. Si l’on note sr sa valeur en V.s−1 , la
durée τ de commutation est :
τ=
2Vsat
≃ 1, 9 µ s si Vsat = 15 V et sr = 16 V.µ s−1 .
sr
Cette durée est très inférieure à la période T du fonctionnement du montage, imposée par
l’entrée si :
τ≪T
soit τ <
1
T
=
10 10 f
donc
f<
1
≃ 53 kHz.
10τ
Pour des fréquences inférieures à 53 kHz, le parcours des commutatrices est presque instantané. Elle sont extrêmement fines, voire invisibles, sur un oscilloscope.
Fonction mémoire . La sortie du comparateur peut
/ prendre deux valeurs différentes, −Vsat
R1
R1
ou +Vsat , quand e ∈ −
Vsat ,
Vsat . Le montage conserve la valeur de la sorR1 + R2
R1 + R2
tie tant que e ne sort pas de cet intervalle. On parle alors de fonction mémoire.
2.2
Comparateur « positif »
On applique au montage de la figure 4.6 le même signal d’entrée qu’au paragraphe précédent.
R2 = 10 kΩ
R1 = 1 kΩ
+
e (t)
−
s (t)
CH1 5V
CH2 1V
XY
Figure 4.6 – Montage comparateur dont le cycle tourne dans le sens positif.
La méthode est identique à celle du paragraphe précédent. On commence par le valeur de ε :
e − v+ v+ − s
R2 e + R1 s
=
+ 0 donc v+ =
R1
R2
R1 + R2
d’où ε = v+ − v− =
R2 e + R1 s
− 0.
R1 + R2
107
CHAPITRE 4 – O SCILLATEURS À RELAXATION
Puis :
Vsat
• ε > 0 et donc s = +Vsat , pour
R2 e + R1 s
> 0, soit e >
R1 + R2
R1
Vsat ;
R2
−Vsat
• ε < 0 et donc s = −Vsat , pour
R2 e + R1 s
R1 + R2
< 0, soit e < −
R1
Vsat .
R2
s
D’où un cycle qui tourne dans le sens
trigonométrique positif (on s’en souvient en observant que l’entrée e est
branchée sur l’entrée ⊕) :
Vsat
R1
− Vsat
R2
e
R1
Vsat
R2
−Vsat
Figure 4.7 – Cycle d’hystérésis du comparateur « positif ».
2.3
Reconnaître un comparateur à hystérésis
On observe, sur les deux montages proposés aux figures 4.4 et 4.6, que l’amplificateur opérationnel est uniquement bouclé sur sa borne non-inverseuse avec des résistances, ce qui
assure l’instabilité du montage. La tension de sortie ne peut donc présenter que deux valeurs,
s = +Vsat ou s = −Vsat .
On reconnaît un comparateur à hystérésis à son bouclage uniquement résistif sur la
borne non-inverseuse.
3
3.1
Générateur de signal
Schéma fonctionnel
Un oscillateur à relaxation est un système bouclé qui comporte deux blocs :
• un comparateur à hystérésis, élément non
linéaire, conventionnellement repéré dans
un schéma bloc par une double barre à
gauche ;
• un intégrateur, étudié à la page 55.
Chaque bloc produit un signal de sortie, en créneaux pour le comparateur, triangulaire pour
l’intégrateur.
3.2
comparateur
v
CH
ˆ
u
intégrateur
Figure 4.8 – Schéma fonctionnel
d’un oscillateur à relaxation.
Montage et observation expérimentale
De nombreux exemples de montages existent ; le plus simple est présenté sur la figure 4.9.
108
G ÉNÉRATEUR DE SIGNAL
Le montage global n’a ni entrée, ni sortie. Mais le comparateur reçoit en entrée la tension
v (t) et délivre en sortie la tension u (t), alors que l’intégrateur reçoit en entrée la tension u (t)
et délivre en sortie la tension v (t).
R2 = 10 kΩ
Intégrateur
R1 = 1 kΩ
C = 470 nF
+
R = 1 kΩ
u
−
Comparateur
12
−
+
v
CH1 5V ; CH2 1V ; 50 µ s
Figure 4.9 – Montage oscillateur à relaxation et formes d’ondes des tensions de sortie
des amplificateurs opérationnels : u en noir, v en gris.
3.3
Description des séquences de fonctionnement
L’équation différentielle qui décrit le fonctionnement de l’intégrateur se trouve avec sa fonction de transfert :
H (p) =
V (p)
1
=−
U (p)
RCp
soit RCpV (p) = −U (p)
donc RC
dv
= −u.
dt
On part d’une commutation u de −Vsat à +Vsat ; u vaut alors +Vsat . L’intégrateur intègre cette
valeur, et, avec le signe moins dans l’équation différentielle, la tension v diminue, selon la loi
R1
t
v = −Vsat
+ constante. Elle diminue jusqu’à la valeur − Vsat , où le montage commute
RC
R2
t
+
et u passe à −Vsat . Alors la sortie de l’intégrateur augmente, selon la loi v = +Vsat
RC
R1
constante′ , jusqu’à la valeur de commutation
Vsat , où le montage commute et u repasse à
R2
+Vsat . Et ainsi de suite.
On en déduit les graphes de la figure 4.10 suivante, sur lesquels on indique clairement les
instants de commutation a et b.
u
u v
T
Vsat
u
Vsat
R1
R1
Vsat
− Vsat
R2
R2
b
a
v
t
a
R1
b
R1
v
V
sat
− Vsat
R2
R
2
−Vsat
τ
−Vsat
Figure 4.10 – Tensions de sortie des amplificateurs opérationnels : u en noir, v en
gris, et cycle d’hystérésis suivi.
109
CHAPITRE 4 – O SCILLATEURS À RELAXATION
Remarque
On prend garde à placer la date t = 0 lors d’une commutation, afin de simplifier l’étude
ultérieure.
3.4
Période d’oscillation
On intègre l’équation différentielle de l’intégrateur sur les intervalles où u est constant, égal
à +Vsat ou −Vsat :
ˆ τ
ˆ τ
dv
dt =
−Vsat dt d’où RC (v (τ ) − v (0)) = −Vsat (τ − 0).
RC
0
12
3
t=0 dt
t=0
lu sur le cycle d’hystérésis
Les valeurs de v en 0 et en τ sont celles des commutatrices :
v (0) =
De même :
RC
ˆ
T
t=τ
R1
Vsat
R2
dv
dt =
dt
et v (τ ) = −
ˆ
R1
Vsat
R2
T
t=τ
−Vsat dt
Finalement :
T =4
d’où τ = 2
R1
RC.
R2
implique T − τ = 2
R1
RC.
R2
R1
RC,
R2
et la date τ correspond à une demi période.
Remarque
La durée de commutation, c’est-à-dire la durée que met u à passer de +Vsat à −Vsat , est
2Vsat
, comme expliqué à la fin du parade
sr
graphe 2.1. Les graphes sont tracés dans le
cas où cette durée est négligeable devant la
période d’oscillation. Si tel n’était pas le cas,
on verrait la pente du slew rate lors de la
commutation, comme sur la figure 4.11 cicontre où sr = 16 V.µ s−1 et Vsat = 15 V.
3.5
1
CH1 5V
1µ s
Figure 4.11 – Forme d’onde de u si la
durée de commutation n’est pas
négligeable devant la période.
Choix des composants
R1
Vsat . Or v
R2
est la tension de sortie d’un amplificateur opérationnel, ainsi |v| < Vsat . On n’observe donc
R1
des oscillations que si
Vsat < Vsat , soit R1 < R2 .
R2
Le montage n’oscille que si la tension v atteint les valeurs de commutation, ±
110
G ÉNÉRATEUR DE SIGNAL
De plus, dans le cas de l’utilisation d’un comparateur « négatif », l’observation du cycle
d’hystérésis montre que la sortie de l’intégrateur doit augmenter pour que le montage commute et donc oscille. L’intégrateur utilisé au paragraphe 3 ne convient pas, il faut un inté1
grateur de fonction de transfert ⊕
, obtenu par exemple en ajoutant un inverseur de gain
RCp
−1.
3.6
Complément : filtrage
Il existe deux méthodes pour obtenir ensuite un signal sinusoïdal :
• filtrage des signaux par un passe-bande. Toutefois, cette méthode ne convient pas pour
créer un générateur de fréquence variable, car la pulsation caractéristique du passe-bande
devrait être variable ;
• utilisation d’un réseau de diodes, appelé conformateur sinus, qui fonctionne pour toute
fréquence. C’est la méthode utilisée dans les GBF analogiques. Toutefois, son étude dépasse les limites du programme.
Remarque
Les GBF numériques ne fonctionnent pas sur ce principe, mais utilisent une fonction
sinus tabulée.
SYNTHÈSE
SAVOIRS
• cas limite de l’ALI de gain statique infini en régime saturé
• lien entre la non linéarité du système et la génération d’harmoniques en sortie
SAVOIR-FAIRE
•
•
•
•
•
•
établir le loi entrée-sortie du comparateur simple
décrire le phénomène d’hystérésis en relation avec la notion de fonction mémoire
établir le cycle d’un comparateur à hystérésis
décrire les différentes séquences de fonctionnement d’un oscillateur
exprimer les conditions de basculement
déterminer la période d’oscillation
MOTS-CLÉS
• oscillateur à relaxation
• comparateur à hystérésis
• générateur de signaux
non sinusoïdaux
• intégrateur
111
Exercices
CHAPITRE 4 – O SCILLATEURS À RELAXATION
S’ENTRAÎNER
4.1 Oscillateur réglable
(⋆ )
Dans le schéma ci-dessous, les tensions u et v sont constantes. On note a (t) la tension de
sortie de l’amplificateur opérationnel de gauche et b (t) celle de celui de droite.
R2
R1
C
+
R
u
−
v
−
+
1. Pourquoi reconnaît-on un oscillateur à relaxation ?
2. Tracer le cycle d’hystérésis du comparateur.
3. Calculer l’équation différentielle qui régit l’évolution de l’autre bloc.
4. Établir la période de fonctionnement et l’utilité des tensions u et v.
5. Dans quel domaine doit-on choisir v afin que le montage oscille convenablement ? Y a-t-il
une condition similaire sur u ?
4.2 Oscillateur à pseudo-intégrateur
C
(⋆ )
C
R
+
−
+
R2
R1
R
−
R2
R1
1. Quel montage est un oscillateur à relaxation ? Celui de gauche ou celui de droite ? Expliquer sans calcul.
2. Identifier le comparateur à hystérésis et dessiner son cycle.
3. Identifier le pseudo-intégrateur ; établir sa fonction de transfert puis l’équation différentielle qui régit son évolution.
112
4. Dessiner a priori les formes d’onde des tensions de sortie de l’amplificateur opérationnel
et de l’entrée inverseuse.
5. Établir l’expression de la période T d’oscillation.
4.3 Oscillateur à cycle décallé
(⋆ )
V0 est une tension constante. On posera α =
R1
.
R2
R1
1. Tracer le cycle d’hystérésis s (e) du montage cicontre.
2. On boucle ce montage à hystérésis par un intégrateur pur de transmittance :
+
e (t)
−
V0
R2
s (t)
E
1
=−
(τ > 0) .
S
τp
Proposer un montage très simple à amplificateur opérationnel qui réalise cette fonction intégratrice.
3. Tracer les formes d’ondes de e (t) et s (t). Préciser l’amplitude et la période des signaux.
4. Attendu que la tension e est la sortie d’un amplificateur opérationnel, préciser les limites
de variation de V0 .
APPROFONDIR
4.4 Circuit d’alimentation d’un télémètre (d’après Centrale)
(⋆⋆)
Les amplificateurs opérationnels sont idéaux. Ils fonctionnent en régime de saturation. Les
tensions de sortie sont notées +E et −E (E > 0).
A – O SCILLATEUR COMMANDÉ
On considère le montage M1 ci-contre.
1. Préciser un ordre de grandeur de E.
2. Déterminer la tension u+ (t), entre l’entrée
non-inverseuse et la masse, en fonction de
e (t), s (t) et E.
3. Mode bloqué : e (t) = −E.
Montrer qu’en régime établi indépendant du
temps, où toutes tensions constantes, la tension de sortie s (t) conserve toujours la même
valeur que l’on déterminera.
4. Mode multivibrateur : e (t) = E.
E
R
R
+
R
−
e (t)
R
2R
C
s (t)
a. Montrer que la tension de sortie s (t) ne peut garder une valeur constante (± E) en
régime établi indépendant du temps. On pourra raisonner par l’absurde.
113
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 4 – O SCILLATEURS À RELAXATION
b. Déterminer l’équation différentielle liant u− (t), tension entre la borne inverseuse et la
2
masse, à s (t). On posera τa = RC.
3
c. Tracer le cycle d’hystérésis du comparateur : s = f (u− ).
E
d. On choisit l’origine des temps telle que u− (0) = − et s (0) = +E.
3
E
Résoudre l’équation différentielle et donner l’expression de u− (t) pour u− (t) < .
3
E
−
Que se passe-t-il à l’instant t0 où u (t0 ) = ? Que se passe-t-il après ?
3
e. Tracer soigneusement, pour une période du signal de sortie, les graphes de u− (t) et de
s (t).
f. En déduire la période T1 de s (t) en fonction de τa .
B – G ÉNÉRATEUR D ’ IMPULSIONS
On considère le montage M2 ci-contre.
5. La tension e (t) est constante. Montrer
que le montage possède, en régime établi
indépendant du temps, un seul état stable ;
donner la valeur de s (t) correspondante.
6. Déterminer, en régime variable, l’équation différentielle liant u+ (t) à e (t). On posera τm = 3RC′ .
+
C′
2R
−
e (t)
R
E
3
s (t)
7. Pour t < 0, e (t) = −E. Ainsi, à l’instant t = 0− , e (0− ) = −E ; le régime établi est atteint.
L’entrée bascule à t = 0 et e (t) prend la valeur e (0+ ) = +E.
Déterminer la valeur de la discontinuité ∆u+ = u+ (0+ )−u+ (0− ) de la tension u (t) à l’instant
t = 0.
8. Montrer : u+ (0− ) = 0.
9. Déterminer l’évolution de u+ (t) pour t > 0.
10. Examiner ε (t) pour t > 0 et préciser les valeurs de s (t) en fonction de t.
11. La tension d’entrée e (t) est un signal rectangulaire symétrique prenant les valeurs +E et
−E, de période Te .
Tracer soigneusement, sur la même graphe, pour Te = 10 τm et pendant une période de e (t),
les tensions e (t), u+ (t) et s (t).
12. On note T2 le temps pendant lequel s (t) = +E sur une période de e (t).
Calculer T2 en fonction de τm .
C – A SSOCIATION DES CIRCUITS PRÉCÉDENTS
13. Montrer comment, en plaçant en série un circuit M1 , un circuit M2 , puis un autre circuit
M1 , comme le montre la figure suivante :
114
1er M1
E
a (t)
M2
b (t)
2nd M1
c (t)
on peut réaliser les salves décrites sur la figure ci-dessous :
T1
T2
t
T3
Préciser quel circuit impose T1 , T2 et T3 .
14. On prend R = 1, 0 kΩ pour tous les circuits, T1 = 60 ms, T2 = 0, 40 ms et T3 = 25 µ s.
Déterminer les valeurs numériques à donner aux différentes capacités (C1 pour le premier
circuit M1 , C′ pour le circuit M2 et C2 pour le second circuit M1 ).
115
Exercices
A PPROFONDIR
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 4 – O SCILLATEURS À RELAXATION
CORRIGÉS
4.1 Oscillateur réglable
1. On reconnaît un comparateur à hystérésis formé d’un amplificateur opérationnel bouclé sur
le ⊕, R1 , R2 et u. L’autre élément est un intégrateur, stable car bouclé sur le ⊖. L’ensemble
forme donc un oscillateur à relaxation.
2. La loi des nœuds, appliquée à l’entrée non-inverseuse de l’amplificateur opérationnel de
gauche, mène, avec i+ = 0 :
b − v+
v+ − a
= i+ +
R1
R2
⇒
v+ =
aR1 + bR2
.
R1 + R2
aR1 + bR2
− u. L’amplificateur opérationnel commute lorsque ε passe
R1 + R2
R1
R1 + R 2
− a , avec a = ±Vsat . On en déduit directement le cycle
par 0, i.e. lorsque b = u
R2
R2
d’hystérésis (les commutatrices verticales, très rapidement parcourues, sont vues en traits
beaucoup plus fins sur un oscilloscope que les plateaux horizontaux) :
Puis ε = v+ − v− =
a
Vsat
R1 + R 2
R1
− Vsat
R2
R2
R1 + R 2
R1
β =u
+ Vsat
R2
R2
α =u
α
β
b
−Vsat
La tension constante u sert donc à décaler horizontalement le cycle d’hystérésis (vers la droite
si u > 0 et vers la gauche si u < 0).
3. Le second amplificateur opérationnel, entouré de la résistance R, du condensateur de capacité C et de la tension v, est bouclé sur sa borne inverseuse. Il est donc stable, c’est l’élément
intégrateur du montage.
La loi des nœuds, appliquée à l’entrée inverseuse, mène, avec i− = 0 :
!
"
A −V−
= I − + Cp V − − B
R
⇒
V− =
A + RCp B
.
1 + RCp
A + RCp B
= V . En
1 + RCp
posant τ = RC, A + τ pB = (1 + τ p)V , et dans le domaine temporel, sachant que v est une
db
dv
db v − a
= v + τ = v. Finalement :
=
tension constante : a + τ
, où a = ±Vsat .
dt
dt
dt
τ
La tension constante v sert donc à modifier la rapidité d’évolution de la tension de l’intégrateur. Elle aura un effet sur la période du signal.
L’amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire oùv+ = v− :
116
a
4. Traçons a priori les formes d’onde de a et
b pour que le montage oscille. b varie entre
α et β , conformément au cycle d’hystérésis.
Lors d’une commutation de −Vsat à +Vsat ,
b = β , et b = α lors d’une commutation de
+Vsat à −Vsat .
Les pentes de b sont différentes pour chaque
v − Vsat
v + Vsat
morceau de période :
et
.
τ
τ
Elles ne sont pas opposées.
Vsat
t
−Vsat
b
θ1
θ2
β
t
α
α −β
db v − a
v − Vsat
=
implique
=
. Soit θ2 la
dt
τ
θ1
τ
β −α
db v − a
v + Vsat
=
implique
=
.
durée pendant laquelle a = −Vsat .
dt
τ
θ2
τ
La période T du montage est T = θ1 + θ2 :
Soit θ1 la durée pendant laquelle a = Vsat .
2
Vsat
R1 Vsat
= 2RC
.
2
(Vsat + v) (Vsat − v)
R2 Vsat − v2
T = 2 (β − α ) τ
v sert donc à modifier la période (T est d’autant plus grande que |v| tend vers Vsat ) et u sert à
modifier les valeurs maximales et minimales de b.
5. Lorsque a = Vsat , la pente de b est bien négative si v − a < 0, c’est-à-dire v < Vsat . On
vérifie qu’alors la pente de b est bien positive quand a = −Vsat .
Lorsque a = −Vsat , la pente de b est bien positive si v − a > 0, c’est-à-dire v > −Vsat . On
vérifie qu’alors la pente de b est bien négative quand a = Vsat .
v est donc limité : −Vsat < v < Vsat .
La tension b est la sortie d’un amplificateur opérationnel, donc elle ne peut pas dépasser Vsat .
Ainsi ni α ni β de peuvent dépasser ±Vsat , sans quoi l’amplificateur opérationnel ne pourrait
pas commuter, le montage resterait saturé à ±Vsat . Quand u = 0 (cas classique), ce n’est
possible que si R1 < R2 . α > −Vsat implique :
u
R1
R1 + R2
− Vsat
> −Vsat
R2
R2
R1 − R2
R1 + R2
> Vsat
R2
R2
⇒
u > Vsat
R1 − R2
.
R1 + R2
R1 − R2
R1 + R2
< −Vsat
R2
R2
⇒
u < Vsat
R2 − R1
.
R1 + R2
u
⇒
Quant à β < Vsat :
u
R1
R1 + R 2
+ Vsat
< Vsat
R2
R2
⇒
u
On en déduit les bornes de variation de u (dans le bon sens car R1 < R2 ) :
Vsat
R1 − R2
R2 − R1
< u < Vsat
.
R1 + R2
R1 + R2
117
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
4.2 Oscillateur à pseudo-intégrateur
1. Un oscillateur à relaxation requiert un comparateur à hystérésis, constitué d’un amplificateur opérationnel déstabilisé par une rétroaction positive avec deux résistances. Seul le
montage de droite possède une rétroaction uniquement résistive sur la borne ⊕. Le montage de droite est un oscillateur à relaxation. Le montage de gauche est stable, à cause de la
rétroaction résistive stabilisatrice ; sans entrée, il ne présente aucune tension.
2. Les deux blocs sont séparés sur le schéma ciC
R
contre. On reconnaît un comparateur « négatif »,
−
étudié à la page 106, d’entrée v et de sortie s, sortie de l’amplificateur opérationnel. Son cycle est
ci-dessous.
−
s
Vsat
comparateur à hystérésis
intégrateur
pseudo-
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 4 – O SCILLATEURS À RELAXATION
R1
Vsat
R1 + R2
v−
−
R1
Vsat
R1 + R2
−Vsat
3. Le pseudo-intégrateur est un diviseur de tension :
V−
=
S
1
Cp
1
,
=
1
1 + RCp
Cp + R
+
R2
R1
s, v−
Vsat
R1
Vsat
R1 + R2
s
v−
t
R1
dv−
−
Vsat
+ v− = s.
R
1 + R2
dt
4. On a les formes d’onde ci-contre.
−Vsat
/
.
# t $
dv−
T
, RC
+ v− = s = Vsat implique v− (t) = Vsat + µ exp −
. On choisit
5. Sur 0,
2
dt
RC
arbitrairement l’origine des dates lors d’une commutation de −Vsat à +Vsat ; d’après le cycle
R1
d’hystérésis, v− = −
Vsat à cette date. On détermine ainsi la valeur de µ et v− (t) =
R
+
R
1
2
&
# t $'
T
2R1 + R2
. La commutation suivante, en t = , se produit quand v−
exp −
Vsat 1 −
R1 + R2
RC
2
R1
passe par
Vsat :
R1 + R2
''
& '
&
&
R1
2R1 + R2
T
− T
= Vsat 1 −
=
exp −
Vsat ,
v
2
R1 + R2
2RC
R1 + R2
'
&
R1
.
donc : T = 2RC ln 1 + 2
R2
donc RC
118
4.3 Oscillateur à cycle décallé
1. D’après la loi des nœuds à l’entrée non-inverseuse, avec i+ = 0 :
e − v+
v+ − s
= i+ +
R1
R2
⇒
v+ =
R2 e + R1 s
.
R1 + R2
Commutation quand (s passe de +Vsat à −Vsat et vice versa) quand ε passe par 0. La sortie
de l’amplificateur opérationnel vaut s = ±Vsat :
s
R2 e + R1 s
ε=
− V0 = 0,
R1 + R2
Vsat
donc e = (1 + α )V0 ∓ α Vsat . On en (1 + α )V0 − α Vsat
e
déduit le cyle d’hystérésis, que V0
(1 + α )V0 + α Vsat
sert à décaller.
2. On propose l’intégrateur ci-con−Vsat
1
E
.
tre, pour lequel = −
S
RCp
3. Le montage bouclé est un oscillaC
s
−
teur à relaxation. L’origine des dates
R
e
est prise lors d’une commutation de
s de −Vsat à Vsat . La tension s oscille
+
entre −Vsat et Vsat .
Quant à e, on lit sur le cycle d’hystérésis qu’elle vaVsat
(1 + α )V0 + α Vsat
rie entre (1 + α )V0 − α Vsat
et (1 + α )V0 + α Vsat .
T
Pour la période, on part de
(1 + α )V0 − α Vsat
la transmittance de l’intégrateur, RCp E = −S, qui im−Vsat
plique :
ˆ T /2
ˆ T /2
ˆ T /2
de
dt = −
RC
s (t) dt = −
Vsat dt,
dt
0
0
0
s
e
t
soit :
'
& & '
T
T
− e (0) = − Vsat
RC e
2
2
⇒
T
−2RCα Vsat = − Vsat
2
⇒
T = 4α RC.
4. e est la sortie d’un AO et ne peut dépasser ±Vsat . Donc :
⎧
1−α
⎪
⎪
Vsat
⎨ (1 + α )V0 + α Vsat < Vsat ⇒ V0 <
1+α
1−α
⎪
⎪
⎩ (1 + α )V0 − α Vsat > −Vsat ⇒ V0 > −
Vsat
1+α
Cet encadrement n’est possible que si α < 1.
119
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 4 – O SCILLATEURS À RELAXATION
4.4 Circuit d’alimentation d’un télémètre
1. E = Vsat ≈ 15 V.
2. La loi des nœuds implique, avec i+ = 0 :
−E − u+ e − u+ u+ − s +
e+s−E
+
=
+i
.
⇒ u+ =
R
R
R
3
−
3. La loi des nœuds implique, avec i = 0 :
!
"
0 −U−
U− − S
2S
+ Cp 0 − U − = I − +
⇒ U− =
.
2R
R
3 + 2RCp
du−
+ 3u− = 2s, qui devient en régime établi indépendant du
En notation temporelle, 2RC
dt
2
s + 2E
du−
= 0 : u− = s. Ainsi ε = u+ − u− = −
. Attendu que s = ± E, ε < 0
temps, où
dt
3
3
quelque soit la valeur de s donc : s = −E.
d
s
2
4.
a. En régime établi indépendant du temps où
= 0, u+ = et u− = s. Ainsi ε =
dt
3
3
s
− . Si s = +E alors ε < 0 et la sortie bascule à s = −E. Mais alors ε > 0 et on rebascule. s
3
n’a pas de valeur fixe, on a un oscillateur astable.
s
+E
du−
2
+ u− = s.
b. Déjà vu : τa
dt
3
E
s
−
c. ε = u+ − u− = − u− avec s = ± E. Le montage com3
3
u−
E
−
E
mute quand ε = 0, soit u = ± :
3
3
d. Les valeurs de s(t) et de u− (t) montrent que t = 0 correspond à une commutaion de −E à +E.
−E
# t$ 2
E
−
−
+ E. Attendu que u (0) = − , on obtient u− (t) =
Avec s = +E, u (t) = µ exp −
τ
3
3
&
&
''
t
2
− exp −
E
. Cette solution reste valable tant que s reste à +E, c’est-à-dire tant
3
τa
E
qu’on ne commute pas en passant par u− = . u− augmente donc jusqu’à E/3, moment où
3
le montage commute : s passe à −E et u− décroît jusqu’à −E/3 où l’on commute et ainsi de
suite.
s, u−
e. Formes d’onde classiques d’un oscillateur à
s
+E
relaxation : s en gras, u− en trait plus fin.
f. La demi-période est telle que :
&
&
& '
''
t
E
2
T1
− T
E
= =E
− exp −
,
u
u−
−
2
3
3
2τa
3
−E
donc T1 = 2τa ln 3.
5. Attendu que I + = 0, on reconnaît un diviseur de tension.
du+
de
R
RC′ p
E ⇒ 3RC′
+ u+(t) = RC′ .
E=
U+ =
1
′
1 + 3RC p
dt
dt
3R + C′ p
120
d
E
= 0, donc u+ = 0. Alors ε = u+ − u− = − < 0
En régime établi indépendant du temps
dt
3
et finalment s = −E.
du+
τm de
6. Déjà vu : τm
+ u+ (t) =
.
dt
3 dt
7. La tension aux bornes de C′ est continue. Donc si e(t) varie de +2E en t = 0, alors le
potentiel vM entre C′ et 2R augmente lui aussi de +2E. Avec un diviseur de tension :
u+ (t) =
R
vM (t)
R + 2R
⇒
∆u+ =
2
E.
3
Autre méthode : on considère que c’est un essai indiciel. On pose e′ = e + E, alors e′ passe
de 0 à 2E. Puis, avec le théorème de la valeur initiale, pour un échelon de hauteur 2E :
! "
2E
2
2E
RC′ p
= lim p
(p)
= E.
u+ 0+ = lim pS (p) = lim pH (p)
p→∞
p→∞
p→∞ 1 + 3RC′ p
p
p
3
8. On précise dans la question précédente que le régime établi est atteint en t = 0. u+ (0− )
vaut donc la solution particulière (solution en régime permanent) de l’équation différendu+
τm de
+ u+ (t) =
avec e (t < 0) = −E. Cette solution est u+ (t < 0) = 0, donc
tielle τm
dt
3 dt
u+ (0− ) = 0.
de
=0:
9. Pour t > 0, l’équation différentielle devient, avec e (t > 0) = +E, c’est-à-dire
dt
&
'
du+
t
2
+ u+(t) = 0 ⇒ u+ (t) = E exp −
.
τm
dt
3
τm
&
'
t
2
+
−
donc, sur t ∈ [0, τm ln 2], ε > 0 et s(t) = +E ;
10. ε (t) = u (t) − u (t) = E exp −
3
τm
pour t > τm ln 2, ε < 0 et s(t) = −E.
e, u+ , s
11. s est en trait gras noir, u+ en traits
noirs plus fin et e en tirets gris.
e
+E
12. T2 correspond à la durée pendant laquelle ε > 0 : T2 = τm ln 2.
E
13. Le permier M1 délivre une tension
u+
3
a (t) créneau.
t
Pendant une faible durée, M2 délivre
b (t) = E et b (t) = −E pendant le reste
de la période.
Lorsque b (t) = E, alors le second M1
−E
s
oscille. c (t) = −E lorsque b (t) = −E.
Ainsi le second M1 impose T3 , M2 impose T2 et le premier M1 impose T1 .
4
14. T1 = 2τa1 ln 3 = RC1 ln 3 donc C1 = 41 µ F, T2 = τm ln 2 = 3RC′ ln 2 donc C′ = 0, 19 µ F
3
4
et T3 = 2τa2 ln 3 = RC2 ln 3 donc C2 = 17 nF.
3
121
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
5
L’électronique vit depuis la fin du XXe siècle une révolution. Si la réalité physique continue
d’être appréhendée par l’intermédiaire de capteurs analogiques, qui transforment la grandeur
physique G (t) en un signal analogique uG (t), il n’en va plus de même de son traitement. À
l’aide d’un convertisseur analogique-numérique, le signal analogique est transformé en un
signal numérique. Celui-ci, qui n’est rien d’autre qu’un tableau de nombres, se prête alors à
un traitement informatique. Ce chapitre a pour but de préciser les conditions mathématiques
et expérimentales d’une bonne conversion, et de s’initier au traitement numérique du signal.
1
Échantillonage
1.1
Définition
L’échantillonnage est l’opération qui consiste à mesurer un signal en capturant des
valeurs à intervalles réguliers.
L’intervalle de mesure s’appelle la période d’échantillonnage. Se pose alors la question de
savoir si les échantillons sont représentatifs du signal initial.
1.2
Analyse stroboscopique
a) Les roues des chariots au cinéma
Tout le monde a pu constater, en regardant un film où les véhicules possèdent des roues à
barreaux, que les roues ne tournent pas à la bonne vitesse, voire dans le mauvais sens. Cela
est du à une inadéquation entre la fréquence de rafraichissement des images (24 images par
seconde en général), la vitesse de rotation et le nombre de barreaux des roues.
b) Une expérience
L’expérience suivante est menée avec un signal possédant une seule fréquence. Les signaux
réels possèdent en général une spectre plus étalé. Par exemple la voix humaine produit un
signal dont le spectre est compris entre fmin = 200 Hz et fmax = 2000 Hz.
CHAPITRE 5 – É LECTRONIQUE N UMÉRIQUE
Expérience
Pour analyser ce phénomène , on considère un disque blanc avec un secteur noir,
1
en rotation à vitesse constante, à la fréquence f = . On observe ce disque dans
T
1
l’obscurité. Un stroboscope éclaire le disque par éclairs, à la fréquence fe =
: Te
Te
représente la fréquence d’échantillonnage. Voilà ce que l’on observe :
T
• Pour Te = :
8
Figure 5.1 – 8 images d’un disque en rotation dans le sens horaire, Te =
T
.
8
On observe bien la rotation du disque dans le sens horaire. L’observation permet
de déterminer le sens et de mesurer la vitesse de rotation.
T
• Pour Te = :
2
Figure 5.2 – 4 images d’un disque en rotation dans le sens horaire, Te =
T
.
2
Cette fois, il est impossible de déterminer le sens de rotation du disque. On peut
encore déterminer la vitesse de rotation. Ce cas limite (2 éclairs par période) est
en relation avec le théorème de Nyquist Shannon abordé au paragraphe 1.3 de ce
chapitre.
3T
T
3
• Pour Te =
> , le disque fait de tour entre deux éclairs :
4
2
4
Figure 5.3 – 4 images d’un disque en rotation dans le sens horaire, Te =
3T
.
4
Sans connaissance préalable, le disque semble tourner dans le sens trigonométrique : il semble faire un tour en 4Te = 3T , soit une vitesse trois fois plus faible
que sa vitesse réelle. Il y a sous-échantillonnage : le signal échantillonné est sans
rapport avec le signal réel.
124
SPECTRE D ’UN SIGNAL ÉCHANTILLONNÉ
1.3
Théorème de Nyquist-Shannon
À la suite des constatations précédentes, on admet le théorème de Nyquist-Shannon 1 :
Un signal est correctement représenté à partir de ses échantillons, si la fréquence d’échantillonnage est supérieure à deux fois la fréquence maximale de son spectre.
Ce théorème s’énonce parfois à l’aide du critère de Shannon, qui est la condition nécessaire
à une bonne représentation :
Critère de Shannon : fe > 2 fmax .
Un exemple d’application de ce théorème est fourni par le format des CD musicaux. La fréquence d’échantillonnage a été fixée à 44 kHz, supérieure au double de la fréquence maximale
audible par une oreille humaine, qui est de l’ordre de 20 kHz.
2
Spectre d’un signal échantillonné
2.1
Calcul du spectre
Il a été vu en première année que tout signal temporel possède une représentation spectrale. À
l’aide des échantillons de ce signal, il existe un algorithme appelé FFT, acronyme de l’anglais
Fast Fourier Transform, qui permet d’avoir une représentation approchée de son spectre. Cet
algorithme, de complexité quasi-linéaire, est implanté par exemple dans les oscilloscopes numériques, les cartes graphiques des ordinateurs, les tableurs, et dans toutes les bibliothèques
de calcul numérique.
Le programme suivant permet de calculer et de représenter le spectre d’un signal de période
T à partir de ses échantillons, en fonction de la période d’échantillonnage Te , et du nombre
total de points de l’acquisition Ne .
Programme (python)
from pylab import *
T=1e-3;Te=T/16;Ne=1024;Tv=2*T # parametres
te=linspace(0,Ne*Te,Ne) # les instants d’echantillonnage
def s(t):return (sin(2*pi/T*t)) # le signal
spectre=(fft(s(te))/(Ne/2));f=fftfreq(Ne,Te)# le spectre
t=linspace(0,Tv,1000)
subplot(211);plot(t,s(t),lw=2,label =’s(t)’)
plot(te,s(te),’ro’,label =’s(kTe)’)
axis([0,Tv,-1.1,1.1]);grid();legend() # cadrage
subplot(212);plot(f,abs(spectre),label=’spectre’)
axis([0,max(f),0,1.2]);legend();grid()
show()
Ce programme permet de vérifier la validité du Théorème de Shannon.
Le critère est largement vérifié avec fe = 16 f , comme le montre le figure suivante.
1. Claude Shannon, 1916 − 2001, ingénieur et mathématicien américain
125
CHAPITRE 5 – É LECTRONIQUE N UMÉRIQUE
Figure 5.4 – Spectre d’un signal de fréquence 1 kHz échantillonné à f e = 16 f (copie d’écran).
fe
= 8 kHz ici : le spectre
Le spectre obtenu est cohérent, mais s’étend inutilement jusqu’à
2
est tassé sur la gauche.
Ce résultat est important lorsque l’on cherche à calculer un spectre numériquement :
L’étendue du spectre calculé par l’algorithme FFT s’étale de 0 à
fe
.
2
On peut donc réduire donc réduire le nombre d’échantillons, jusqu’à 2,1 points par période
par exemple, comme sur la figure suivante :
amplitude
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
200
400
600
800
1000
f (Hz)
Figure 5.5 – Spectre d’un signal de fréquence 1 kHz échantillonné à f e = 2, 1 f .
Le spectre est encore juste, mais on s’approche de la limite.
16
Dans l’exemple de la page suivante, fe =
f < 2 f , le critère de Shannon n’est plus respecté.
17
Les échantillons « dessinent » une sinusoïde de fréquence plus faible que celle du signal.
C’est celle que l’œil reconstitue à partir des échantillons, c’est aussi celle que détermine
l’algorithme FFT. L’information sur la fréquence initiale à disparue, il y a perte d’information.
126
SPECTRE D ’UN SIGNAL ÉCHANTILLONNÉ
amplitude
1.0
0.5
s(t)
0.0
s(kT e)
-0.5
-1.0
amplitude
0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
100
6
8
200
10
300
12
14
16 t(ms)
400
Figure 5.6 – Signal de fréquence 1 kHz échantillonné à Te =
f (Hz)
17
T.
16
Pire : l’information présente est fausse.
Remarque
La même mésaventure peut arriver avec un oscilloscope numérique. Le signal visualisé est bien sûr échantillonné. En contractant l’oscillogramme, on diminue le nombre
d’échantillons par période. Si la limite de Shannon est dépassée, apparait alors à l’oscilloscope un signal de plus basse fréquence, sans rapport avec le signal étudié.
2.2
Repliement du spectre
fe
est perçu
On constate sur la figure 5.6 que le signal sinusoïdal s(t) de fréquence f >
2
f
e
comme un autre signal sinusoïdal s′ (t) de fréquence f ′ telle que f ′ < , et de même ampli2
tude que s (t). Dans ce paragraphe, on cherche à déterminer la relation entre ces fréquences.
On pose s (t) = A cos(2π f t) avec un choix convenable de l’origine des temps et on cherche
s′ (t) sous la forme A cos (2π f ′t + ϕ ), ϕ ∈ [0, 2π [.
Les signaux devant être égaux en t = 0, on a immédiatement ϕ = 0.
Comme les échantillons des deux signaux coïncident pour chaque instant tk = kTe , où k est
un entier, on doit avoir :
"
!
∀k , A cos(2π f kTe ) − A cos 2π f ′ kTe = 0,
soit, à l’aide d’une formule de trigonométrie :
" " ! !
" "
! !
∀k, 2 sin kπ f − f ′ Te sin kπ f + f ′ Te = 0,
127
CHAPITRE 5 – É LECTRONIQUE N UMÉRIQUE
donc :
!
"
π f − f ′ Te ≡ 0 [π ]
Finalement, comme fe =
1
, on trouve :
Te
!
"
ou π f + f ′ Te ≡ 0 [π ] .
f = |m fe ± f ′ |,
où m est un entier naturel : Chaque fréquence f est perçue comme sa distance à la fréquence
multiple de fe la plus proche. Par exemple, si fe = 1 kHz, des signaux de fréquence 900 Hz,
1100 Hz, 1900 Hz, 2100 Hz, 2900 Hz, 3100 Hz,. . . seront tous perçus comme un signal de
fréquence 100 Hz. Cette formule s’interprète bien géométriquement : tout se passe comme si
l’on avait dessiné le spectre sur un papier calque, et qu’on l’avait plié en accordéon tous les
fe
, comme le montre la figure suivante.
2
−→
Figure 5.7 – Repliement du spectre.
Ainsi toutes les fréquences ne vérifiant pas le théorème de Shannon se retrouvent dans l’infe
tervalle [0, [. Ce phénomène s’appelle le repliement du spectre. Il est responsable de
2
l’apparition de raies dans le spectre du signal échantillonné qui n’existent pas dans le spectre
du signal réel.
16
Sur l’exemple de la figure 5.6, fe =
f = 941 Hz. f = 1 kHz se retrouve dans le troisième
17
′
« volet », et f = f − fe = 59 Hz, ce qui correspond bien au spectre calculé.
2.3
Cas d’un signal rectangulaire
Un signal rectangulaire périodique sr (t) d’amplitude A se décompose en série de Fourier.
Pour un signal impair de période T , on montre que
sr (t) =
#
1
4A +∞
t$
sin 2π (2k + 1)
,
∑
π k=0 (2k + 1)
T
Il est impossible de représenter rigoureusement le spectre d’un signal rectangulaire, car l’amplitude des harmoniques décroit lentement. On peut cependant en avoir une représentation
raisonnable en choisissant la fréquence d’échantillonnage fe très grande. Pour un signal d’
amplitude A = 1 et de fréquence 1 kHz, échantillonné à 256 kHz, on obtient :
128
SPECTRE D ’UN SIGNAL ÉCHANTILLONNÉ
amplitude
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
20000
40000
60000
80000
100000 120000
f (Hz)
Figure 5.8 – Spectre d’un signal rectangulaire de fréquence 1 kHz, f e = 256 f .
Ici fmax = 128 kHz. On peut être tenté de diminuer fe pour se concentrer sur les premières
harmoniques, en choisissant fe = 8192 Hz par exemple. On obtient alors le spectre suivant :
amplitude
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000 f (Hz)
Figure 5.9 – Spectre d’un signal rectangulaire de fréquence 1 kHz, Te =
(critère de Shannon non vérifié).
T
8, 192
fe
Les raies associées au fondamental et à l’harmonique 3 sont les seules vérifiant f < ,
2
donc sont bien positionnées dans le spectre. Par contre toutes les autres (repérables par leur
amplitude) sont là, mais mal positionnées : l’harmonique 5 est à f5′ = fe − f5 = 3192 Hz,
l’harmonique 7 est à f7′ = fe − f7 = 1192 Hz, et ainsi de suite.
Le non respect de la condition de Shannon peut conduire à des spectres difficilement interprétables.
Remarque
La pratique expérimentale conduit souvent à des situations où l’on doute de la nature
des raies. En augmentant la fréquence f du signal mesuré, on constate que certaines
raies se déplacent vers la gauche : ce sont des raies « repliées » qu’il ne faut pas prendre
en compte.
129
CHAPITRE 5 – É LECTRONIQUE N UMÉRIQUE
2.4
Stroboscopie
Il est cependant parfois utile de se placer hors condition du critère de Shannon. Cela permet
d’appréhender des phénomènes trop rapides pour être analysés directement en les transposant
à plus basse fréquence.
Le stroboscope a été inventé en 1917 à cet effet. Il s’utilise en général à des fréquences
proches de la fréquence du phénomène à observer.
Pour illustrer la méthode, on prend l’exemple d’un moteur asynchrone sur le rotor duquel on
a fixé un disque blanc possédant un secteur noir comme dans le paragraphe 1.2. Ces moteurs
tournent par conception à une vitesse n proche mais inférieure à leur vitesse de synchronisme
ns = 1500 tr/min. En éclairant ce disque à la cadence de ne = ns éclairs par minute (le critère
de Shannon n’est pas respecté), on verra le disque tourner au ralenti.
Si le disque semble faire n′ = 50 tours en une minute, ce qui se mesure aisément avec un
chronomètre, on en déduira sans peine que n = ne − n′ = 1450 tour/min, seule vitesse compatible ici : ne + n′ dépasse la vitesse de synchronisme. Par analogie avec la situation décrite
sur la figure 5.3, on peut même conclure que le sens réel de rotation est l’opposé du sens réel.
3
Analyse spectrale expérimentale
Ce paragraphe s’attache à déterminer les paramètres d’une bonne acquisition numérique, en
vue d’en déterminer le spectre par algorithme FFT.
3.1
Choix de la fréquence d’échantillonnage
La règle n° 1 est bien sûr de respecter le critère de Shannon : fe > 2 fmax .
Cela n’est malheureusement pas toujours possible. Dans ce cas on pourra placer avant le
dispositif d’échantillonnage un filtre anti-repliement, filtre analogique qui éliminera les fréfe
quences supérieures à
dans le signal initial.
2
3.2
Choix du nombre de points
Les spectres présentés dans ce chapitres ont tous été calculés avec un grand nombre de
points, bien plus que ceux présents dans la fenêtre temporelle visualisée. Pour une fréquence
d’échantillonnage fe donnée, le spectre est d’autant plus précis que la durée totale d’acquisition, autrement dit le nombre total Ne d’échantillons, est élevé :
Sur la figure 5.10 page suivante, réalisé avec un signal sinusoïdal de fréquence 1 kHz, et
une fréquence d’échantillonnage de 6 kHz, on peut constater l’amélioration de la qualité du
spectre en fonction du nombre total de points. La raie spectrale est de plus en plus précise, en
position et en amplitude.
Plus précisément, on montre qu’un spectre d’un signal réel calculé numériquement contient
deux fois moins de points que le nombre d’échantillons (ce facteur 2 peut se comprendre
ainsi : avec un seul échantillon, on ne peut calculer aucune fréquence : il en faut au moins 2).
fe /2
fe
Entre deux fréquences présentes dans le spectre, il y a donc un intervalle de ∆ f =
= .
Ne /2 Ne
130
A NALYSE SPECTRALE EXPÉRIMENTALE
Ne=20
Ne=100
Ne=1000
amplitude
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
500
1000
1500
2000
2500
3000 f (Hz)
Figure 5.10 – Influence du nombre d’échantillons.
∆ f est la résolution spectrale. Le produit Ne Te étant aussi le temps total d’acquisition Ta , On
1
a donc finalement : ∆ f = .
Ta
La durée d’aquisition fixe la résolution du spectre : ∆ f =
3.3
1
.
Ta
Visualisation d’un spectre à l’oscilloscope
a) Exemple
Sur l’oscillogramme ci-dessous, le signal temporel est dans la fenêtre supérieure, le spectre
dans la fenêtre inférieure. Le bord gauche du spectre correspond à la fréquence nulle. Le
spectre ne comportant que des harmoniques impairs, conformément à la formule du paragraphe 2.3. Le fondamental a été écrêté pour mieux voir les harmoniques. On constate également quelques petites harmoniques (paires) repliées à la fin du spectre ; ce sont des artefacts
à ne pas considérer.
Figure 5.11 – Spectre d’un signal rectangulaire de 100 kHz (copie d’écran).
Avec les échelles indiquées, on détermine :
• la fréquence maximale représentée (fin du spectre) : 10 carreaux ≡ 1,25 MHz ;
131
CHAPITRE 5 – É LECTRONIQUE N UMÉRIQUE
• la fréquence d’échantillonnage affichée : fe = 2,5 MSa (Mega Samples), qui est bien égale
au double de la précédente ;
• le temps d’acquisition : le nombre de points utilisé pour le calcul du spectre est Ne = 2048
Ne
d’après la notice de l’appareil. On en déduit le temps total d’acquisition : Ta =
≃
fe
900 µ s, soit environ 3,5 fois plus que le durée du signal affiché, qui vaut (12 carreaux ×
20 µ s = 240 µ s. Le pictogramme en haut de l’écran au centre fait apparaître le rapport
entre le contenu de la mémoire ( [∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼]), sur lequel le spectre est calculé,
et la partie visualisée ∼∼∼ . On retrouve bien approximativement le rapport 3,5.
b) Paramétrage d’un oscilloscope
Sur les oscilloscopes numériques, on accède au spectre par un menu nommé Math en général,
qui permet un certains nombre d’opérations mathématiques, dont le calcul de la FFT.
On ne fixe en général pas directement fe et Ne :
Ne est généralement imposé à 1024 ou 2048 points (Ne est une puissance de 2 pour que
l’algorithme FFT soit efficace). Il n’y a au final qu’un paramètre de réglage : le temps d’
acquisition Ta . Il est de l’ordre de la durée signal affiché à l’écran. Dés lors, comme Ta =
Ne
1
, il faut faire un compromis entre l’étendue spectrale et la résolution spectrale :
=
fe
∆f
• si l’on souhaite une grande étendue spectrale, on choisira Ta faible (peu de périodes visualisées).
• si l’on souhaite une bonne résolution spectrale, on choisira Ta grand (beaucoup de périodes
visualisées).
4
Traitement numérique du Signal
Si la numérisation du signal permet, comme on vient de le voir, de calculer son spectre, elle
présente bien d’autres applications.
4.1
Avantages de la numérisation
Citons-en trois :
• l’immunité au bruit. Une fois numérisée l’information n’est plus sensible aux perturbations, contrairement au signal analogique ;
• la mémorisation. Le signal numérique peut être stocké indéfiniment, contrairement au signal analogique ;
• la souplesse. Traiter des nombres informatiquement est beaucoup facile que de concevoir
des circuits électroniques. En particulier, la fonction de retard pur est très facile à réaliser
numériquement.
De plus en plus, l’électronique analogique est remplacée par une électronique numérique,
au fur et à mesure des progrès technologiques. Les opérations de traitement du signal sont
réalisées par des moyens numériques, jusqu’à des fréquences de 1 GHz.
132
T RAITEMENT NUMÉRIQUE DU SIGNAL
4.2
Filtrage Numérique
a) Définition
Un filtre numérique est un dispositif qui effectue des opérations mathématiques sur un
signal discret échantillonné.
Un filtre numérique n’est donc rien d’autre que l’implémentation d’un algorithme, travaillant
sur des nombres.
b) Exemple : conception d’un filtre numérique passe bas
En guise d’illustration, on souhaite concevoir un filtre numérique passe-bas de fréquence de
coupure fc = 1 kHz, et de gain unitaire.
Une méthode de synthèse courante est de s’inspirer d’un filtre analogique.
On part donc de la fonction de transfert harmonique :
H( jω ) =
1
1+
jω
ωc
,
associée à l’équation différentielle :
1 ds
(t) + s (t) = e (t) .
ω c dt
Il suffit alors de mettre exactement en œuvre la méthode d’Euler vu en Informatique pour
Tous en première année. En approximant dans l’équation différentielle dt par Te et ds par
sk+1 − sk , on obtient l’équation aux différences suivante :
sk+1 = sk + 2π fc Te (ek − sk ) .
On constate que la valeur des coefficients dépend de la fréquence d’échantillonnage.
Remarque
L’ équation aux différences joue le rôle de l’équation différentielle pour un système
discret. On peut également transposer dans le domaine discret la notion de transformée
de Laplace qui prend alors le nom de transformée en z. Chaque filtre linéaire se verra
S (z)
ainsi associé une fonction de transfert H (z), tel que
= H (z) . Ces notions sont
E (z)
hors du programme de PSI.
Pour vérifier le fonctionnement, on peut calculer les valeurs des différents échantillons, par
exemple avec une feuille de calcul. Ici on a choisi arbitrairement fe = 16 fc soit 2π fc Te =
π
, et un signal d’entrée unitaire de fréquence f = fc : e (t) = cos(2π fct) . On montre sans
8
peine que dans ces conditions, la réponse au filtre analogique en régime permanent est s (t) =
#
π$
1
√ cos 2π f t −
. elle est calculée dans la dernière colonne.
4
2
133
CHAPITRE 5 – É LECTRONIQUE N UMÉRIQUE
Avec ces paramètres, on obtient :
1
2
3
4
5
6
A
t(ms)
0
=A2+1/16
=A3+1/16
=A4+1/16
...
B
e_k
=COS(2*PI()*A2)
=COS(2*PI()*A3)
=COS(2*PI()*A4)
=COS(2*PI()*A5)
...
1
2
3
4
5
6
7
C
s_k
0
=C2+PI()/8*(B2-C2)
=C3+PI()/8*(B3-C3)
=C4+PI()/8*(B4-C4)
...
A
t(ms)
0
0,063
0,125
0,188
0,250
...
B
e_k
1
0,924
0,707
0,383
0,000
...
C
s_k
0
0,393
0,601
0,643
0,541
...
D
s_analogique
=COS(2*PI()*A2-PI()/4)/RACINE(2)
=COS(2*PI()*A3-PI()/4)/RACINE(2)
=COS(2*PI()*A4-PI()/4)/RACINE(2)
=COS(2*PI()*A5-PI()/4)/RACINE(2)
...
D
s_analogique
0,500
0,653
0,707
0,653
0,500
...
Figure 5.12 – Résolution de l’équation aux différences à l’aide d’une feuille de calcul.
Formules (en haut), puis valeurs (en bas).
On a représenté ci-dessous le signal d’entrée et les réponses analogique et numérique, en
supposant que le signal numérique de sortie garde sa dernière valeur calculée entre deux
instants : c’est ce que réalise un convertisseur numérique analogique, comme nous le verrons
dans le paragraphe 5.
amplitude
1.0
entree
sorties
0.5
0.0
−0.5
−1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0 t(ms)
Figure 5.13 – Comparaison des réponses de filtres analogique et numérique.
On constate des comportements assez similaire même avec une fréquence d’échantillonnage
faible. Lorsque celle-ci augmente, le signal numérique tend vers le signal analogique.
Ceci valide la méthode de synthèse, et montre qu’il est facile de remplacer un filtre analogique
par un filtre numérique.
134
M ISE EN ŒUVRE CONCRÈTE
c) Influence de l’échantillonnage
Il est important que le théorème de Shannon soit bien vérifié pour que le filtre se comporte
comme le filtre analogique correspondant. En effet, si tel n’est pas le cas, le signal d’entrée
e (t) sera confondu avec un signal de plus basse fréquence e′ (t). C’est la réponse à ce dernier
qui sera générée par le filtre, et le signal de sortie n’aura pas la même fréquence que le
signal d’entrée : le comportement n’est plus linéaire. Là encore la présence d’un filtre antirepliement est une garantie contre cet artéfact.
5
Mise en œuvre concrète
Le traitement numérique du signal est en général confié à des composants dédiés à cette tâche,
les DSP (Digital Signal Processor). On les trouve en particulier dans les cartes graphiques des
ordinateurs pour traiter rapidement les importants flux de données à destination de l’écran.
Pour interfacer ces processeurs avec le monde réel, analogique par nature, deux autres composants sont souvent nécessaire : un convertisseur analogique-numérique en entrée et un
convertisseur numérique-analogique en sortie, souvent abrégés en CAN et CNA.
5.1
Présentation générale
On peut se procurer facilement des cartes micro-contrôleur qui permettent de mettre en œuvre
cette chaîne de traitement. L’exemple ci-dessous utilise la carte Arduino Uno, représentée
figure 5.14.
Figure 5.14 – Carte Arduino Uno.
Cette carte possède des entrées analogiques qui permettent la conversion analogique numérique : le signal d’entrée est échantillonné à une fréquence fe qui peut aller jusqu’à 100 kHz,
avec un convertisseur numérique analogique 10 bits : la plage [0, 5V [ est convertie en un entier
de l’intervalle [0, 1023[.
135
CHAPITRE 5 – É LECTRONIQUE N UMÉRIQUE
Grâce à un logiciel dédié sous licence libre installé sur le micro ordinateur, on peut écrire des
programmes qui traitent ces données à l’envie et les télécharger sur la carte pour les exécuter
sur un processeur cadencé à 16 MHz, ce qui est très rapide à l’échelle de fe .
La carte possède également des sorties qui permettent la conversion numérique analogique,
sous la forme de modulation de largeur d’impulsion, notée PWM en anglais, acronyme de
Pulse Width Modulation. Le signal de sortie vs (t) de la carte est un signal haute fréquence fs ,
dont la valeur moyenne⟨vs (t)⟩ est proportionnelle à la valeur numérique de sortie. Un filtre
passe-bas de fréquence de coupure très inférieure à fs , placé à la sortie de la carte permet de
récupérer cette valeur moyenne. Ce filtre est sans rapport avec le filtre numérique.
Au final, un entier N tel que 0 $ N < 256 sera converti en une tension s (t) telle que :
s (t) =
5.2
N
× 5 V.
256
Exemple : filtre passe-bas
Dans l’application présentée, on échantillonne le signal d’entrée issu d’un générateur basse
fréquence, pour le filtrer et l’analyser à l’aide d’un oscilloscope comme le montre la figure
5.15 :
Ordinateur
Générateur
basse fréquence
entrée(s)
PWM → s(t)
Carte contrôleur
Oscilloscope
sortie(s)
Figure 5.15 – Mise en œuvre d’une carte microcontroleur.
On se propose de réaliser un filtre passe-bas de fréquence 62,5 Hz avec une fréquence d’échantillonnage de 1 kHz.
En tenant compte de l’étude du paragraphe 4.2, l’équation aux différences est, numériquement :
sk+1 = sk + 0, 393 (ek − sk ) .
Pour ne travailler qu’avec des entiers, on remplacera 0, 393 par 101/256.
La fréquence du signal PWM de sortie valant fs = 31 kHz, on prend par exemple R = 10 kΩ
1
≃ 720 Hz ≪ fs , afin de n’en recueillir
et C = 22 nF, pour une fréquence de coupure de
2π RC
136
M ISE EN ŒUVRE CONCRÈTE
que la valeur moyenne.
Grâce à l’environnement Arduino, une documentation complète et de nombreux exemples,
on arrive sans peine à écrire les quelques lignes ci-dessous.
Programme (C)
/* filtre passe bas numerique */
int e; // le signal d’entree
int s=0; // le signal de sortie
int entree = A0; //la broche d’entree
int sortie = 9; // la broche de sortie
void setup()
{TCCR1B = 1;}//initialisation (PWM a 31KHz sur broche 9)
void loop() {
e=analogRead(entree)/4; // entrée ramenee sur 8 bits
s=s+101*(e-s)/256;
// le fitre passe bas.
analogWrite(sortie,s);
delay(1); // Te = 1ms
}
Ci-dessous quelques observations :
Figure 5.16 – Réponses numériques d’un filtre passe-bas dont la fréquence de
coupure est égale à la fréquence du signal.
On observe des réponses conformes à celles obtenues dans le cas analogique. La forme hachée des signaux est due à une période d’échantillonnage faible : on peut l’élever au prix
d’une programmation plus élaborée.
On visualise pour finir un cas de repliement de spectre sur figure 5.17, sur laquelle le signal
d’entrée à 1033 Hz est pris pour un signal de 1033 − 1000 = 33 Hz. Ce dernier est dans la
bande passante du filtre, il est donc transmis sans atténuation.
137
CHAPITRE 5 – É LECTRONIQUE N UMÉRIQUE
Figure 5.17 – Réponse numérique avec repliement de spectre.
5.3
Oscillateur à porte logique
L’électronique numérique est une électronique qui requiert une horloge précise, pour générer
des signaux à la fréquence d’échantillonnage en particulier.
On en propose ici la réalisation d’un oscillateur avec des portes inverseuses. La tension d’entrée d’une telle porte doit appartenir à l’intervalle [0 V, 5 V]. Sa représentation et sa caractéristique entrée-sortie sont présentées ci-dessous.
s
e
s
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
e
Figure 5.18 – Schéma et caractéristique d’une porte inverseuse.
Lorsque l’entrée est au niveau bas, la sortie est au niveau haut et inversement. La sortie
bascule pour une tension de 2,5 V.
Un exemple simple d’oscillateur à
porte logique est présentée sur la figure 5.19. Les chronogrammes sont
représentés sur la figure 5.20, avec
RC = 1 µ s.
i
C
1
s1
R
e2
2
s2 = e1
Figure 5.19 – Oscillateur à porte inverseuse.
Le fonctionnement est le suivant : La sortie s2 ne peut prendre que deux valeurs, 0 V ou
5 V. On démarre avec e2 = 0 V. Alors s2 = 5 V et par conséquence, s1 = 0 V. Le courant i
circule uniquement dans R et C car les portes logiques ont des résistances d’entrée infinies.
Initialement, le signe de la tension au bornes de R impose i positif. C se charge donc, et e2
augmente. Lorsque e2 atteint 2,5 V, les portes basculent : s2 = 0 V et s1 = 5 V. Comme la
138
tension(V)
M ISE EN ŒUVRE CONCRÈTE
8
6
4
2
0
−2
e2
s1
0
1
2
3
4
5
6 t(µs)
Figure 5.20 – Chronogrammes de l’oscillateur à portes logiques.
tension au bornes du condensateur est continue, e2 et s1 augmentent simultanément de 5 V,
e2 atteignant 7,5 V. i comme e2 − s1 changent de signe, C se décharge, et ainsi de suite.
Une mise en équation permet de montrer que la période de fonctionnement vaut T = 2 RC ln 3,
soit T ≃ 2, 2 RC, ce que l’on constate sur le chronogramme de la figure 5.20.
Remarque
On peut, sur ce principe, réaliser un oscillateur à quartz, qui permet d’obtenir une fréquence d’oscillation beaucoup plus stable, mais dont l’étude et la mise en œuvre sont
plus délicates.
SYNTHÈSE
SAVOIRS
•
•
•
•
•
échantillonnage
théorème de Nyquist-Shannon
repliement du spectre
filtrage numérique
oscillateur à porte logique
SAVOIR-FAIRE
• choisir la fréquence d’ échantillonnage en fonction du signal étudié
• choisir la durée d’acquisition ou le nombre de points en vue d’obtenir un spectre de
qualité
• simuler un filtre numérique à l’aide d’une feuille de calcul
• mettre en œuvre un convertisseur numérique analogique
MOTS-CLÉS
• échantillonnage
• Shannon
• FFT
• repliement du spectre
• étendue spectrale
• résolution spectrale
• filtre numérique
• CAN, CNA
139
Exercices
CHAPITRE 5 – É LECTRONIQUE N UMÉRIQUE
S’ENTRAÎNER
5.1 Stroboscopie
(⋆)
On considère un disque disque blanc muni d’un secteur noir, en rotation à la vitesse N =
50 tr·s−1 dans le sens horaire. Dans l’obscurité, on observe ce disque à l’aide d’un stroboscope qui émet des éclairs à la fréquence N0 .
1. Décrire ce que l’on observe pour N0 = 50 Hz, puis N0 = 10 Hz, puis N0 = 5 Hz, sachant
que l’oeil ne voit qu’une image si celle-ci est rafraîchie à une fréquence supérieure à 25 Hz.
2. Même question pour N0 = 100 Hz, puis N0 = 150 Hz.
3. Même question pour N0 = 40 Hz, puis N0 = 60 Hz.
4. Même question pour N0 = 51 Hz, puis N0 = 49 Hz.
5.2 Détermination de la vitesse de rotation d’un moteur
(⋆)
Un moteur synchrone quadripolaire tourne par constitution à la vitesse Ns = 1500 tr·min−1 ,
dans le sens horaire. Un néon émet une lumière sous forme d’éclairs de fréquence fe =
100 Hz.
On fixe un disque disque blanc muni d’un secteur noir sur le rotor du moteur.
1. Décrire ce que l’on observe.
2. On remplace le moteur synchrone par un moteur asynchrone, dont la vitesse de rotation à
vide est Na = 1440 tr·min−1 , toujours dans le sens horaire.
Déterminer la vitesse de rotation apparente du disque, ainsi que son sens.
3. On freine le moteur en plaçant une charge sur l’arbre. Comment évolue la vitesse apparente
du disque ?
5.3 Analyse spectrale
(⋆ )
1. Rappeler le théorème de Shannon.
2. Déterminer la fréquence d’échantillonnage minimale à utiliser pour visualiser le spectre
des signaux suivants :
• s1 (t) = A sin(2π × 1000t).
• s2 (t) = A cos(2π × 1000t).
• s3 (t) = A cos2 (2π × 1000t).
• un signal triangulaire d’amplitude A dont la décomposition en série de Fourier est donnée
par
1
8A +∞
s4 (t) = 2 ∑
sin (2π × 1000 (2k + 1)t) ,
π k=0 (2k + 1)2
si l’on peut négliger les harmoniques dont l’amplitude est inférieure à 2% de celle du fondamental.
• s5 (t) = A cos(2π × 1000t) + cos(2π × 10t).
• s6 (t) = A cos(2π × 1000t) × cos(2π × 10t).
140
3. Pour s6 (t) , déterminer le temps d’acquisition minimum et le nombre d’échantillons minimal pour pouvoir distinguer toutes les composantes du spectre.
5.4 Repliement du spectre
(⋆⋆)
A l’aide d’un oscilloscope numérique, on visualise le spectre d’un signal rectangulaire de
fréquence 1 kHz, d’amplitude 5 V, dont la décomposition en série de Fourier est donnée par
s(t) =
20 +∞
1
sin (2π × 1000 (2k + 1)t) .
∑
π k=0 (2k + 1)
la fréquence d’échantillonnage est fixée à 7,5 kHz.
1. Le critère de Shannon est il vérifié pour ce signal ? Donner les harmoniques pour lesquels
le critère est vérifié.
2. Pour chaque fréquence fk ne vérifiant pas ce critère, déterminer la fréquence parasite f ′ k
qui lui sera substituée (pour k $ 11).
3. Représenter ce spectre.
5.5 Filtre numérique passe-bas
(⋆)
On considère un filtre numérique passe bas du premier ordre associé à l’équation aux différences sk+1 = sk + 2πβ (ek − sk ), qui donne le moyen de calculer la valeur de l’échantillon suivant de la sortie. On rappelle que cette équation peut s’interpréter comme sk+1 =
sk + 2π fc Te (ek − sk ) , ou fc et Te représentent respectivement la fréquence de coupure du
filtre et la période d’échantillonnage.
1. On prend β = 1/10. Déterminer la fréquence de coupure de ce filtre pour une fréquence
d’échantillonnage de 1 kHz, puis 10 kHz. Les filtres analogiques se comportent-t-ils ainsi ?
2. La fréquence d’échantillonnage est fixée à 10 kHz, ainsi que la fréquence du signal : e (t) =
A sin (2π fet) . On suppose de plus que s0 = 0. Calculer les valeurs des sk . Était-ce prévisible ?
Expliquer.
3. Même question pour e (t) = A cos (2π fet).
4. En pratique, comment doit-on choisir la fréquence d’échantillonnage pour éviter les problèmes de la question précédente ?
APPROFONDIR
5.6 Oscillogrammes
(⋆ ⋆ ⋆)
Ci-dessous sont représentés deux oscillogrammes correspondant au même signal. L’un des
oscillogrammes vérifie le critère de Shannon, l’autre non. Les fréquence d’échantillonnage
sont données en Sa/s : échantillons(Samples) par seconde.
141
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 5 – É LECTRONIQUE N UMÉRIQUE
Figure 5.21 – Oscillogrammes respectivemment acquis à 2.5 MSa/s et 2.5 kSa/s.
1. Quel est le « bon » oscillogramme ?
2. Déterminer à partir de ces oscillogrammes les fréquences possibles du signal, avec la précision requise, sachant que les précisions relatives en fréquence de l’oscilloscope et du générateur sont de l’ordre de 1.10−6 .
5.7 Filtre numérique passe-bande
(⋆⋆)
La méthode proposée dans ce chapitre pour réaliser un filtre passe-bas peut se généraliser à
tout type de filtre.
On considère donc un filtre passe bande, associé à l’équation différentielle :
d2 s (t) ω0 ds (t)
ω0 de (t)
+ ω02s (t) =
.
+
dt 2
Q dt
Q dt
La période d’échantillonnage est notée Te .
1. Montrer en reprenant la démarche adoptée pour le filtre passe bas dans ce chapitre, que
l’équation aux différences peut se mettre sous la forme :
!
" β
sk = 2sk−1 − sk−2 1 + β 2 + (ek−1 − ek−2 − sk−1 + sk−2 ) ,
Q
et préciser la valeur de β en fonction des paramètres.
ω0
2. La simulation, en haut de la page suivante, à été obtenue avec Te = 1 µ s, f0 =
= 5 kHz,
2π
pour un signal d’entrée rectangulaire de fréquence f = 1 kHz. Déterminer approximativement
la valeur de Q.
3. Il est délicat de réaliser des filtres passe bande de facteur de qualité Q élevée en électronique analogique, à cause entre autre du manque de précision des composants. On pourrait
penser que l’électronique numérique ne souffre pas de ce défaut. La simulation, en bas de la
page suivante, a été obtenue avec les même paramètre que précédemment, sauf Q = 50.
142
amplitude
1.0
0.5
0.0
−0.5
−1.0
0.0
0.5
1.0
2.0 t(ms)
1.5
amplitude
1.0
0.5
0.0
−0.5
−1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5 t(ms)
Comment qualifie-t-on le comportement de ce filtre ? Conclure quand à la validité de la méthode proposée.
143
Exercices
A PPROFONDIR
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 5 – É LECTRONIQUE N UMÉRIQUE
CORRIGÉS
5.1 Stroboscopie
1. Le disque fait respectivement 1, 5, 10 tours entre chaque éclair. Le secteur noir est donc
toujours en même position quand on l’observe. Dans le premier cas N0 = 50 Hz est supérieur
à 25 Hz : on a l’impression de voir un disque fixe. Dans les autre cas le secteur est clignotant.
1
1
2. Dans ce cas, le secteur fait respectivement tour puis de tour entre deux éclairs. on voit
2
3
donc respectivement 2, puis 3 secteurs fixes.
5
5
3. Dans ce cas, le secteur fait respectivement de tour puis de tour entre deux éclairs. Le
4
6
premier semble tourner dans le sens horaire, à 10 tr·s−1 . Le premier semble tourner dans le
sens anti-horaire, à 10 tr·s−1 .
50
50
de tour puis
de tour entre deux éclairs,
4. Dans ce cas, le secteur fait respectivement
51
49
soit un peu moins d’un tour dans le premier cas : le disque semble tourner à l’envers, dans
le sens anti-horaire. il revient à sa position initiale au bout de 51 éclairs, soit une vitesse de
rotation de 1 tr·s−1 . Dans le second cas : le disque semble tourner d’un peu plus d’un tour
entre deux éclairs. Il semble tourner dans le sens horaire. Il revient à sa position initiale au
bout de 49 éclairs, soit une vitesse de rotation de 1 tr·s−1 également.
5.2 Détermination de la vitesse de rotation d’un moteur
1. Ns = 1500 tr·min−1 correspond à fs = 25 tr·s−1 . le disque est donc éclairé 4 fois par le
néon lors d’une révolution. On voit donc un disque avec 4 secteurs (une croix fixe).
2. Na = 1440 tr·min−1 correspond à fa = 24 tr·s−1 . Entre deux éclairs, le disque tourne de
24
tour, soit un peu moins d’un quart de tour. la «croix» semble donc tourner dans le sens
100
1
24
1
anti-horaire de −
=
de tour. Donc la croix semble tourner à 1 tour par seconde.
4 100 100
3. En reprenant le raisonnement précédent, on constate que la croix semble accélérer !
5.3 Analyse spectrale
1. Voir cours.
2. • s1 (t) est de fréquence 1 kHz. Pour répondre au critère de Shannon, il faut deux échantillons par période, soit fe " 2 kHz.
• Même réponse pour s2 (t). La phase n’intervient pas.
A
• s3 (t) = (1 + cos(2π × 2000t)) . La fréquence maximale de ce signal vaut 2 kHz, il faut
2
donc fe " 4 kHz.
1
• Le dernier harmonique non négligeable est l’harmonique 7, dont l’amplitude vaut 2 de
7
celle du fondamental. il faut donc fe " 14 kHz.
• Seule la plus grande fréquence limite pour s5 (t) : fe " 2 kHz.
144
A
cos(2π × 1010t) × cos(2π × 990t) après linéarisation. Donc fe " 2020 Hz.
2
3. Pour s6 (t) , il faut une résolution spectrale ∆ f = 10 Hz pour distinguer les raies spectrales
à 990 Hz et 1010 Hz du minimum en ∆ f = 1000 Hz. ceci correspond à un temps d’acquisition
1
Ta
2020
Ta =
= 100 ms, et un nombre d’échantillons Ne =
= 202.
=
∆f
Te
10
• s6 (t) =
5.4 Repliement du spectre
1. Le critère de Shannon ne peut être vérifié en toute rigueur pour un signal ayant une infife
= 3,75 kHz
nité d’harmoniques. Seuls les harmoniques dons la fréquence est inférieure à
2
vérifient le critère de Shannon : il s’agit du fondamental et de l’harmonique 3.
2. On peut dessiner les fréquences sur un papier calque et les replier en accordéon pour voir
apparaitre le spectre. La méthode suivante conduit au même résultat : pour chaque fréquence,
fk
il faut calculer l’entier n le plus proche de . Ceci est récapitulé dans le tableau suivant :
fe
n◦
fk
fe
n
fk′ = | fk − n fe |
1
3
5
7
9
11
0,13
0,40
0,67
0,93
1,20
1,47
0
1000
0
3000
1
2500
1
500
1
1500
1
3500
amplitude
3. On observe :
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500 f (Hz)
Figure 5.22 – Spectre d’un signal rectangulaire de fréquence 1kHz, f e = 7.5 f .
Remarque : l’amplitude des raies n’est pas tout à fait exacte, car s’y ajoute l’amplitude des
raies des harmoniques de rang supérieur.
5.5 Filtre numérique passe-bas
1. D’après la relation donnée, on déduit immédiatement que la fréquence de coupure est dix
fois plus faible que la fréquence d’échantillonnage, soit respectivement fc = 100 Hz, puis
fc = 1 kHz. Les filtres analogiques ne se comportent pas ainsi : la fréquence de coupure est
constante.
145
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 5 – É LECTRONIQUE N UMÉRIQUE
2. On constate que ∀k, ek = 0, donc ∀k, sk = 0. Ce n’est pas étonnant, le critère de Shannon
n’étant pas respecté, tous les échantillons du signal d’entrée sont nuls, le filtre « voit » un
signal de fréquence nulle qu’il retransmet à la sortie.
3. Cette fois ∀k, ek = A. Après un régime transitoire, les échantillons de la sortie vérifient
s∞ = s∞ + 2πβ (A − s∞ ), soit s∞ = A. Le filtre « voit » un signal de fréquence nulle, mais de
valeur non nulle cette fois, qu’il retransmet également à la sortie.
4. Il faut utiliser une fréquence d’échantillonnage grande devant celle du signal.
5.6 Oscillogrammes
1. Lorsque le critère de Shannon n’est pas vérifié, on perçoit une fréquence plus faible que la
fréquence réelle. C’est donc le second oscillogramme qui est affecté par un mauvais réglage
de l’oscilloscope. La fréquence du signal est donc égale à fs ≃ 10,00 kHz, à la précision
de l’oscilloscope près. Le critère de Shannon impose fe > 2 fs = 20 kSa/s : Seul le premier
oscillogramme vérifie effectivement ce critère.
2. Pour le second oscillogramme, la fréquence perçue fs′ est différente de la fréquence réelle
fs . Les deux sont reliées par fs = n fe ± fs′ avec n entier. Ici fe = 2500 Sa/s et fs′ = 9,843 kHz.
soit fs = 2500 n ± 9, 843. Comme fs ≃ 10,00 kHz, seul n = 4 convient. les fréquences possibles du signal sont donc fs1 = 10 009,843 Hz ou fs2 = 9990,157 Hz. En tenant compte des
précisions annoncées et du fait que les erreurs peuvent se cumuler, il est sage de ne conserver
que 5 chiffres significatifs :
fs1 = 10 010 Hz
ou
fs2 = 9990 Hz.
Remarque : le générateur affichait en réalité 10 010,000 Hz : On voit qu’il ne faut pas confondre
résolution (plus petite variation mesurable) et précision.
5.7 Filtre numérique passe-bande
1. On a bien la forme demandée en prenant β = ω0 Te .
2. Le temps caractéristique d’amortissement est de 2 périodes environ. Donc Q est de l’ordre
de 2 (2 exactement en réalité).
3. Le filtre est instable. Ce qui veut dire que la méthode proposée, si elle a le mérite de la
simplicité, n’est pas fiable. Il existe de nombreuses autres méthodes de synthèse, mais elles
dépassent le cadre du programme.
146
−
6
La modulation est une technique mise au point au début du XXe siècle afin de transmettre
la voix à l’aide d’ondes électromagnétiques. Son histoire est intimement liée à celles de la
radio et de la télévision. ADSL et Wifi sont deux exemples de technologies reposant sur la
modulation.
1
Modulation
1.1
Historique
Pendant longtemps, l’information fut transmise directement. L’oreille et la vue sont deux sens
qui nous permettent de recevoir des ondes sonores et lumineuses que le cerveau interprète.
En 1887, Heinrich Rudolf Hertz 1 découvre les ondes électromagnétiques, longtemps nommées hertziennes, se propagent à la vitesse de la lumière. Il ne perçoit pas alors l’importance
pratique de sa découverte.
Les premières transmissions hertziennes ainsi que leur développement, sont dues à Guglielmo
Marconi 2 . L’information est codée dans la durée des phases d’émission : SOS est codé par
· · · − − − · · · par exemple (Code Morse).
La transmission de la voix par ondes hertziennes à été réalisée pour la première fois en 1906
par Reginald Fessenden 3 , selon le procédé de modulation-démodulation d’amplitude, que
l’on peut décrire ainsi :
• une onde électromagnétique haute fréquence est émise en continu, même en l’absence de
voix à transmettre. Cette onde est appelée la porteuse ;
• l’amplitude de l’onde est modifiée au rythme de la voix ;
• la démodulation est l’opération qui consiste à reconstituer la voix à partir du signal modulé.
Plus tard (1936) se sont développées les techniques de modulation de fréquence et de phase,
1. Heinrich Rudolf Hertz, 1857 − 1894, ingénieur et physicien allemand.
2. Guglielmo Marconi, 1874 − 1937, physicien, inventeur et homme d’affaires italien.
3. Reginald Aubrey Fessenden 1866 − 1932, inventeur canadien.
CHAPITRE 6 – M ODULATION − D ÉMODULATION
dues à Edwin Howard Armstrong 4 , appelées modulations angulaires.
1.2
Les trois types de modulation
Le principe de la modulation est le suivant :
• on part d’un signal porteur sinusoïdal s p (t) de haute fréquence, couramment appelée la
porteuse, caractérisé par trois paramètres : son amplitude A p , sa fréquence f p et sa phase
ϕp :
s p (t) = A p cos (2π f p t + ϕ p) ;
• on module un des trois paramètres de la porteuse, en fonction du signal s (t) à transmettre.
En fonction du paramètre modifié, on obtient les trois types de modulation, représentées sur
la figure 6.1 ci-dessous :
1.0
0.5
signal
0.0
−0.5
−1.0
modulation
de fréquence
modulation
d’amplitude
modulation
de phase
t
Figure 6.1 – Les trois modulations.
1.3
Utilisations
La modulation d’amplitude est la plus ancienne, elle est encore utilisée pour les émissions
en Grandes Ondes ou ondes AM (Amplitude Modulation). En France, la plage de fréquence
4. Edwin Howard Armstrong, 1890 − 1954, ingénieur et inventeur américain.
148
M ODULATION D ’AMPLITUDE
attribuée à la modulation d’amplitude est la plage 150 − 300 kHz. C’est la plus simple à
mettre en œuvre, elle sera étudiée en détail dans le prochain paragraphe. La modulation de
fréquence lui est souvent préférée de nos jours, du fait de sa meilleure immunité au bruit. Elle
est utilisée en radiophonie dans la bande FM (Frequency Modulation) ; la plage qui lui est
dévolue en France est la plage 87 − 108 Mhz.
Enfin, la téléphonie mobile et la technologie Wifi utilisent respectivement des bandes de
fréquence au voisinage de 900 MHz et 2, 4 GHz. Les signaux transmis sont numériques, et
les modulations angulaires.
2
Modulation d’amplitude
2.1
Expression mathématique
Comme on le voit sur la figure 6.1, on retrouve la forme du signal s (t) en considèrant
l’enveloppe de la porteuse modulée en amplitude : le signal est compris entre deux courbes
de la forme A p (1 + ks (t)) et −A p (1 + ks (t)) , où k est facteur dont la dimension est l’inverse
de celle de s (t).
On arrive donc à un signal modulé en amplitude par une opération de multiplication :
sAM (t) = s p (t) × (1 + ks (t)),
0 12 3 0 12 3
porteuse modulante
ce qui conduit à :
Un signal modulé en amplitude est le produit d’une porteuse par une modulante :
sAM (t) = s p (t) × (1 + ks (t)) = s p (t) + k × s (t) × s p (t) .
Ce résultat fait apparaître une propriété importante : la modulation est une opération non
linéaire : il apparaît dans le signal modulé des fréquences non présentes dans le signal initial.
2.2
Réalisation pratique
La mise en œuvre moderne de la modulation d’amplitude, dans le cadre de la radio diffusion,
utilise des techniques numériques : le signal à émettre est numérisé, le signal modulé calculé,
puis transmis à un amplificateur de puissance.
Les générateurs basse fréquence numériques permettent également de générer directement
des signaux modulés en amplitude.
Cette modulation peut aussi être réalisée grâce à un composant analogique, le multiplieur,
présenté sur la figure suivante :
149
CHAPITRE 6 – M ODULATION − D ÉMODULATION
s(t)
s p (t)
×
k
+
sAM (t)
Figure 6.2 – Multiplieur analogique AD633 et principe de la modulation.
Ce composant permet de réaliser l’opération suivante W = Z + k × (X1 − X2 ) × (Y1 − Y2 ), avec
k = 0,1 V−1 . Il assure de plus les fonctions d’adaptation d’impédance : les courants d’entrée
sont nuls, et la tension de sortie ne dépend pas de la charge, comme pour un amplificateur
linéaire intégré. Il est donc tout à fait adapté pour réaliser l’opération de modulation d’amplitude.
Il suffit d’appliquer par exemple le signal s p (t) en Y1 et Z, le signal s (t) en X1 , et de relier X2
et Y2 à la masse, pour obtenir en W le signal sAM (t).
2.3
Taux de modulation
Le taux de modulation mesure la perturbation apporté à la porteuse, il est défini par :
m = k × Smax ,
où Smax représente l’amplitude du signal modulant.
2.4
Spectre d’un signal modulé
Dans ce paragraphe, on considère un signal sinusoïdal : s (t) = As cos (ωst), modulé par la
porteuse s p (t) = A p cos (ω pt). Le signal modulé a pour expression :
sAM (t) = A p (1 + m cos(ωst)) cos(ω pt)
avec m = kAs .
En linéarisant, on arrive à :
#
$
m
m
sAM (t) = A p cos (ω pt) + cos ((ω p − ωs )t) + cos ((ω p + ωs )t) ,
2
2
ce qui permet immédiatement de représenter le spectre associé :
150
M ODULATION D ’AMPLITUDE
amplitude
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
5
10
f (kHz)
15
Figure 6.3 – Spectre d’un signal modulé en amplitude ; f p = 10 kHz, f s = 2 kHz, m =
1
.
2
La porteuse se trouve au centre,entourée de deux raies latérales qui contiennent l’information
associée au signal.
Remarque
La modulation d’amplitude n’est pas performante d’un point de vue énergétique.
Comme il a été vu en première année, la carré de la valeur efficace d’un signal est
la somme des carrés des amplitudes des raies du spectre associé. La valeur efficace
est aussi proportionnelle à la puissance que doit fournir l’émetteur, dans le cas de la
radiodiffusion.
Dans l’exemple précédent (m = 1/2), la puissance associée aux bandes latérales ne
représente que 12% de celle associée à la porteuse.
Suite à ce constat, de nombreuses variantes ont été développées, pour limiter la puissance des émetteurs ou augmenter leur portée : modulation sans porteuse, modulation
à bande latérale unique (BLU), etc, au prix d’une augmentation de la complexité des
opérations de modulation et démodulation.
2.5
Cas d’un signal quelconque
Les signaux à transmettre sont rarement sinusoïdaux. Dans ce cas chaque composante du
spectre du signal de fréquence fs,i se retrouve dans le signal modulé aux fréquences f p ± fs,i .
Ce qui conduit à des spectres ayant l’allure suivante :
amplitude
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
5
10
15
0
5
10
15
f (kHz)
Figure 6.4 – Spectre d’un signal dont le spectre est dans l’intervalle [1 kHz, 4 kHz],
avant et après modulation (fréquence de la porteuse : 10 kHz).
151
CHAPITRE 6 – M ODULATION − D ÉMODULATION
La largeur de bande définit la plage de fréquence occupé par un signal modulé. La modulation d’amplitude occupe une largeur de bande de 2 fmax , indépendamment du taux de
modulation.
3
Démodulation
La démodulation est l’opération inverse de la modulation. Il s’agit de retrouver le signal s (t)
porté par le signal modulé sAM (t).
Si historiquement la méthode la plus utilisée à été la détection d’enveloppe, il est plus courant
aujourd’hui d’utiliser la démodulation synchrone.
3.1
Changement de fréquence
a) Principe
L’opération qui est à l’origine du transfert de l’information en haute fréquence lors de la
modulation est la multiplication. En effet si l’on multiplie deux signaux de pulsations ω1 et
ω2 , on obtient :
1
A1 cos (ω1t) × A2 cos (ω2t) = A1 A2 (cos ((ω2 − ω1t)) + cos((ω2 + ω1t))) .
2
Cette formule montre que la multiplication de signaux fait apparaitre deux nouveaux signaux,
de fréquences respectives la somme et la différence des fréquences initiales. On peut donc par
ce moyen translater le spectre d’un signal.
Remarque
Les signaux A cos (ω t + φ ) et A cos(−ω t + φ ) ont même spectre, on ne considérera
dans la suite que les fréquences positives.
b) Détection synchrone
La détection synchrone est une application simple du changement de fréquence. Elle permet
d’isoler dans un signal une composante à une fréquence particulière, en la ramenant à la
fréquence nulle pour mieux la filtrer. On considère par exemple un signal décomposable en
série de Fourier :
'
&
+∞
t
s (t) = S0 + ∑ Sn cos 2π n + ϕn .
T0
n=1
On développe l’harmonique de rang n sous la forme :
'
&
&
'
&
'
n
n
n
Sn cos 2π t + ϕn = Sn cos 2π t cos (ϕn ) − Sn sin 2π t sin (ϕn )
T0
T0
T0
&
'
&
'
n
n
= an cos 2π t + bn sin 2π t .
T0
T0
152
D ÉMODULATION
Ainsi :
'
'
&
&
+∞
t
t
+ bn sin 2π n
.
s (t) = S0 + ∑ an cos 2π n
T0
T0
n=1
&
'
t
Puis on multiplie s (t) par le signal cos 2π k
et on prend la valeur moyenne du résultat.
T0
Attendu que :
<
&
'
&
'
0 si n ̸= k
t
t
< cos 2π n
cos 2π k
>=
1
si n = k,
T0
T0
2
et, quels que soient n et k :
&
'
&
'
t
t
< sin 2π n
cos 2π k
> = 0,
T0
T0
an
le résultat de la valeur moyenne est . La détection synchrone consister à réaliser électri2
quement cette opération, la multiplication de signaux étant réalisée par un multiplieur, et la
valeur moyenne par un filtre passe-bas :
'
&
t
cos 2π k
T0
'
'/
&
&
+∞ .
t
t
+ bn sin 2π n
S0 + ∑ an cos 2π n
T0
T0
n=1
×
filtre passe-bas
ak
2
Figure 6.5 – Principe de la détection synchrone.
1
. La
T0
composante du signal à la fréquence k est ramenée à la fréquence nulle, toute les autres sont
éliminées par le filtre passe-bas. On peut déterminer tous les coefficients an , les uns après les
autres, en augmentant graduellement k.
'
&
t
permet de déterminer tous les coeffiDe la même façon, la multiplication par sin 2π k
T0
cients bn .
Les produits de signaux sinusoïdaux font apparaître des signaux de fréquence |n ± k|
Remarque
'
&
t
Lors de la prise de la valeur moyenne, un résultat non nul requiert que le signal cos 2π k
T0
soit exactement à la même fréquence qu’une harmonique du signal s (t), c’est-à-dire
que les signaux soient synchrones. L’adjectif synchrone, épithète du nom démodulation, provient de cette remarque.
153
CHAPITRE 6 – M ODULATION − D ÉMODULATION
3.2
Démodulation synchrone
amplitude
La démodulation synchrone est une technique voisine de la détection synchrone vue précédemment.
La modulation, comme on l’a vu, revient à translater le spectre du signal en haute fréquence
afin de pouvoir l’émettre. La démodulation consiste essentiellement en la translation inverse.
On peut ramener le signal en basse fréquence par multiplication par la porteuse :
#
$
m
m
En multipliant sAM (t) = A p cos (ω pt) + cos ((ω p − ωs )t) + cos ((ω p + ωs )t) , somme
2
2
de sinusoïdes de fréquences ω p − ωs , ω p et ω p + ωs , par s′p (t) = A′p cos (ω pt + φ ), de fréquence ω p , on obtient par somme et différence, des signaux de fréquences 0, ωs , 2ω p − ωs ,
2ω p et 2ω p + ωs .
Le spectre exact est représenté sur la figure suivante :
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
fs
2fc
f réquence
Figure 6.6 – Spectre de sAM (t) × s′p (t).
On retrouve bien une composante à la pulsation ωs .
On élimine les hautes fréquences par un filtre passe-bas de pulsation de coupure ωc telle que
ωs ≪ ωc ≪ ω p , ce qui est toujours possible en pratique si ωs ≪ ω p .
On élimine si besoin la composante continue par un filtre passe-haut de fréquence de coupure
ωc′ ≪ ωs .
A′p cos (ω pt + φ )
signal modulé en amplitude
×
filtre passe-bande
signal démodulé
Figure 6.7 – Démodulation synchrone.
Plus précisément, en tenant compte du filtre, le signal démodulé sd (t) vaut :
=
>
sd (t) = k sAM (t) s′p (t) f iltrée
? #m
$
@
m
cos ((ω p − ωs )t) + cos ((ω p + ωs )t) × A′p cos(ω pt + φ )
= k Ap
,
2
2
f iltrée
154
A NALYSE DOCUMENTAIRE : LES TRANSMISSIONS HERTZIENNES
d’où :
sd (t) = kA p A′p
#m
cos (ωst − φ ) +
2
= kA p A′p m cos (ωst) cos (φ ) ,
Soit finalement :
$
m
cos (ωst + φ )
2
sd (t) = Ad cos (φ ) cos (ωst) .
Ici apparaît le sens de l’expression démodulation synchrone : le signal démodulateur s′p (t)
doit non seulement être de même
que la porteuse s p (t), mais de même phase. Si
# fréquence
π$
, sd (t) = 0.
les signaux sont en quadrature |φ | =
2
Remarque
Au laboratoire, il est aisé de réaliser une démodulation synchrone car c’est le même
générateur qui est utilisé pour la modulation et la démodulation. En télécommunications, l’opération est plus délicate car on ne dispose pas de la porteuse à la réception.
La démodulation doit être précédée d’une opération de récupération de porteuse, qui
consiste à reconstituer un signal de même fréquence et de même phase que la porteuse.
En conclusion :
La démodulation synchrone consiste à multiplier un signal modulé en amplitude par
un signal de même fréquence et de même phase que la porteuse, et à filtrer le résultat
obtenu.
4
Analyse documentaire : les transmissions hertziennes
4.1
Document 1 : la découverte des ondes électromagnétiques
En 1864, Maxwell établit les quatre équations qui
portent son nom et qui expliquent les phénomènes
électromagnétiques. À partir de ces équations il
déduit l’existante théorique d’ondes électromagnétiques. Hertz consacre les premières années de
sa vie de chercheur à la mise en évidence expérimentale de ces ondes. Il invente pour ce faire
l’oscillateur qui porte son nom : deux sphères de
cuivre, jouant le rôle d’un condensateur, sont associées à une bobine couplée à un amplificateur
électromécanique (Bobine de Rumkhoff), formant un oscillateur entretenu. Cet oscillateur génère une étincelle à chaque oscillation. Un résonateur placé à plusieurs dizaines de
155
CHAPITRE 6 – M ODULATION − D ÉMODULATION
mètres est lui-même le siège d’étincelles, pour peu que ses dimensions soient adaptées.
Hertz prouve par la suite qu’il s’agit bien de propagation, et non seulement d’induction ou simplement d’action à distance, autres théories concurrentes de l’époque. Pour
se faire, il met en évidence les propriétés de réflexion, crée une onde stationnaire et en
déduit une longueur d’onde. Puis il montre que ces ondes se propagent à la vitesse de la
lumière.
4.2
Document 2 : modulation en tout ou rien
D’après Wikipédia, Onde entretenue 5
Les tout premiers émetteurs radio utilisaient un éclateur pour produire des oscillations
aux fréquences radio dans l’antenne d’émission. Le signal généré par ces émetteurs à
étincelles consistait en de brèves impulsions d’oscillations aux fréquences radio qui disparaissaient rapidement et qu’on appelait « ondes amorties ». Le problème des ondes
amorties est qu’elles produisaient des interférences électromagnétiques qui gênaient les
transmissions d’autres stations radio opérant sur des fréquences différentes. La très importante largeur de bande d’une émission provenant d’une étincelle était filtrée par le circuit accordé que constituait le couple émetteur-antenne, mais l’ensemble étant construit
de façon assez rudimentaire le résultat était très mauvais et la bande restait relativement
large.
On essaya donc de produire des oscillations radio qui s’affaiblissaient moins vite. À
proprement parler une porteuse continue, non modulée, n’a pas de largeur de bande et
n’interfère pas avec d’autres signaux à d’autres fréquences, mais ne permet pas non plus
de transmettre d’information. Il est donc généralement admis que manipuler la porteuse
selon un mode on-off est indispensable. Cependant, pour que la largeur de bande du
signal résultant puisse être contrôlé, la génération et l’affaiblissement de l’enveloppe de
la fréquence radio doit être plus lente que dans les premiers systèmes à étincelles.
Après avoir augmenté la durée de chaque impulsion, le spectre électromagnétique général du signal commence à ressembler à une oscillation entretenue sinusoïdale ; dans
le temps son amplitude varie entre zéro et la puissance maximale de la porteuse. C’est
pourquoi le mode de transmission qui utilise la largeur de bande la plus étroite à ce jour
est la CW (continuous wave, onde entretenue). Ce signal permet à plusieurs stations de
radio de partager la même bande de fréquence sans se gêner mutuellement.
Dans le cas d’une porteuse manipulée en mode on-off, si la manipulation est faite de
façon abrupte, la théorie des communications (théorème de Shannon-Hartley) montre
que la largeur de bande du signal sera importante. En revanche, si la commutation se
fait plus graduellement, la largeur de bande sera réduite. La largeur de bande d’un signal
manipulé en on-off est liée à la vitesse de transmission par la relation : Bn = BK, où Bn
est la largeur de bande nécessaire en hertz, B est la vitesse de manipulation du signal en
5. Contenu soumis à la licence CC-BY-SA 3. 0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fr) Source :
Article Onde entretenue de Wikipédia en français (http://fr.wikipedia.org/wiki/Onde _entretenue).
156
A NALYSE DOCUMENTAIRE : LES TRANSMISSIONS HERTZIENNES
bauds (le baud est l’unité de mesure du nombre de symboles transmissibles par seconde)
et K est une constante liée aux conditions de propagation estimées des ondes radioélectriques ; K = 1 lorsque le signal est difficile à décoder par une oreille humaine, K = 3
ou K = 5 en cas d’évanouissements (fading) ou de Multipath (lorsque l’onde emprunte
plusieurs chemins, plusieurs copies du message initial sont reçues) (. . . ).
Les premiers émetteurs capables de générer une onde entretenue, l’alternateur d’Alexanderson et les oscillateurs à tubes électroniques sont devenus courants après la Première
Guerre mondiale.
Les premiers émetteurs radio ne pouvaient pas être modulés pour transmettre la parole
ce qui fait que la radiotélégraphie en mode CW était le seul moyen de communication
possible. La CW est restée utilisée longtemps après que la radiotéléphonie soit apparue
en raison de la simplicité des émetteurs nécessaires et la très faible largeur de bande occupée par le signal qui permettait l’usage de filtres très étroits pour bloquer les émissions
parasites et le bruit atmosphérique qui auraient pu rendre le signal inintelligible.
Ce mode à onde entretenue était appelé radiotélégraphie par analogie avec le télégraphe
qui fonctionnait avec une simple commutation pour transmettre du code Morse, mais
au lieu d’interrompre un courant électrique dans un fil, on contrôlait l’émission d’un
émetteur radio. Ce mode reste très utilisé chez les radioamateurs.
4.3
Document 3 : attribution des fréquences
Assez rapidement avec le développement des télécommunications, il a fallu mettre en place
des commissions pour partager l’espace des fréquences, et réguler la puissance et l’implantation des émetteurs. Un tableau récapitulatif de cette répartition, très incomplet, est présenté
ci-dessous.
Gamme
fréquence
longueur d’onde
TBF
3 − 30 kHz
100 − 10 km
BF
30 − 300 kHz
10 − 1 km
MF
0, 3 − 3 MHz
1 − 0, 1 km
HF
3 − 30 MHz
100 − 10 m
THF
30 − 300 MHz
10 − 1 m
UHF
0, 3 − 3 GHz
100 − 10 cm
SHF
3 − 30 GHz
10 − 1 cm
utilisations
Communication avec les sous-marins,
implants médicaux
Radionavigation, radiodiffusion GO,
radio-identification
Radio AM, appareil de recherche
de victimes d’avalanche
Radioamateur
Radio FM, Gendarmerie nationale,
pompiers, SAMU, taxis
Militaire, GSM, GPS,
Wi-Fi, télévision
Radiodiffusion par satellite (TV),
radar météorologique
157
CHAPITRE 6 – M ODULATION − D ÉMODULATION
4.4
Questions
Les réponses aux questions sont proposées après la synthèse du chapitre.
1. (⋆⋆) Déterminer la gamme de fréquence utilisée par Hertz, sachant que la longueur
d’onde est de l’ordre de grandeur de la taille du résonateur.
2. (⋆) Expliquer pourquoi une onde rigoureusement sinusoïdale ne peut transmettre aucune information.
3. (⋆) Expliquer le terme largeur de bande. Évaluer la largeur de bande dans le cas de la
rédaction d’un texto. Évaluer la largeur de bande associée à une station de radio FM.
Comparer et commenter.
4. (⋆⋆) Rappeler la gamme de fréquence perçues par l’oreille humaine, et celle émise la
voix humaine. Quelle est la nature des ondes associées ? Peut-on transformer ces ondes
en ondes électromagnétiques pour les émettre ?
5. (⋆⋆) Expliquer l’intérêt et la nécessité de la modulation.
SYNTHÈSE
SAVOIRS
• définir un signal modulé en amplitude, en fréquence, en phase
• citer les ordres de grandeur des fréquences utilisées pour les signaux radio AM, FM, la
téléphonie mobile
SAVOIR-FAIRE
• interpréter le signal modulé en amplitude comme le produit d’une porteuse par une modulante
• décrire le spectre d’un signal modulé en amplitude
• justifier que la démodulation est une opération non linéaire
• expliquer le principe de la détection synchrone
MOTS-CLÉS
• modulation d’amplitude
• modulation de fréquence
158
• modulation de phase
• signal modulé
• porteuse
• détection synchrone
A NALYSE DOCUMENTAIRE : LES TRANSMISSIONS HERTZIENNES
Éléments de réponse aux questions sur l’analyse documentaire
1. Puisque la longueur d’onde est de l’ordre de grandeur de la taille du résonateur, on
peut, d’après l’illustration du document 1, évaluer celle-ci à environ 1 mètre. Ce sont
donc des ondes métriques, dans la gamme UHF d’après le document 3. La fréquence
est donc de l’ordre du gigahertz.
2. Un onde rigoureusement sinusoïdale est de la forme A cos (ω t + ϕ ). Ses paramètres
sont connus par avance, le fait de l’« écouter » n’apporte aucune information supplémentaire.
3. Une porteuse sinusoïdale a un spectre de largeur nulle. A contrario, la modulation entraine un élargissement du spectre. Dans ce chapitre, il a été vu que la largeur de bande
associée à la modulation d’amplitude est de 2 fmax . Pour une rédaction de texto, on peut
considère une cadence de 100 caractères par minute (avec un peu d’entrainement et un
clavier numérique). D’après le document 2, en prenant une valeur de K = 5 pessimiste,
on arrive à une largeur de bande de l’ordre de . . . 10 Hz . On peut évaluer la largeur de
bande d’une station FM en remarquant que l’on peut capter deux stations différentes
séparées de 0,1 MHz : la largeur de bande est de l’ordre de 100 kHz . Le prix d’un texto
est technologiquement négligeable, mais économiquement rentable.
4. L’oreille humaine est sensible aux ondes acoustiques, dans la gamme de fréquence 20
Hz−20 kHz environ (TBF d’après le document 3). Transformer ces ondes acoustiques
en ondes électromagnétiques de façon efficace est technologiquement difficile : comme
le suggère la première question, il faut que les tailles des émetteurs et récepteurs soit
de l’ordre de la longueur d’onde, plusieurs kilomètres ici, ce qui est difficilement réalisable.
5. D’après la question précédente, l’émission directe étant très difficile, le recours à la
modulation est une nécessité. De plus cela permet de faire cohabiter de nombreuses
informations sur le même canal de communication, en utilisant des porteuses de fréquences différentes. L’intérêt est donc de pouvoir faire cohabiter de nombreux flux
d’informations, qui peuvent ainsi se croiser sans interférer, dans les airs, les fils électriques, les fibres optiques . . . La modulation est de ce fait omniprésente aujourd’hui en
télécommunications. La circulation de l’information est devenu quasi illimitée, ce qui
transforme notre monde.
159
Exercices
CHAPITRE 6 – M ODULATION − D ÉMODULATION
S’ENTRAÎNER
6.1 Nature de modulation
(⋆ )
1. Les trois signaux suivants sont le résultats de la modulation d’une porteuse par le même
signal. Déterminer le type de modulation utilisé dans chaque cas ainsi que la forme du signal
modulant.
1
2
3
Figure 6.8 – Trois modulations du même signal.
2. Mêmes questions.
1
2
3
Figure 6.9 – Encore trois modulations du même signal.
6.2 Taux de modulation
(⋆⋆)
1. On considère sur la figure 6.10 la modulation d’amplitude d’une porteuse d’un signal
triangulaire, avec trois taux de modulation différents. Évaluer, dans chaque cas, le taux de
modulation.
160
1.0
0.5
0.0
−0.5
−1.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
−0.5
−1.0
−1.5
6
4
2
0
−2
−4
1
2
3
Figure 6.10 – taux de modulation
2. Quelle(s) technique(s) de démodulation peut-on employer pour chacun de ces cas ?
6.3 Détection synchrone
(⋆ )
On considère un signal à analyser s (t), que l’on multiplie à l’aide d’un multiplieur de constante k par le signal « analyseur » sa (t). Le résultat est traité par un filtre passe-bas pour un
résultat final sr . Déterminer la valeur de sr dans les cas suivants :
1. s (t) = sa (t) = A cos (ω t) ;
+∞
2. s (t) = ∑ Sn cos (nω t + ϕn ) et sa (t) = A cos (mω t), où m est un entier positif ;
1
3. s (t) = S cos2 (ω t) et sa (t) = A cos (2ω t) ;
4. s (t) = S sin2 (ω t) et sa (t) = A sin (2ω t) ;
+∞
5. s (t) = sa (t) = ∑ Sn cos (nω t + ϕn ) .
1
APPROFONDIR
6.4 Application de la détection synchrone à la mesure d’impédance
(⋆⋆)
En raison de nombreux phénomènes physiques, le modèle linéaire d’une bobine n’est pas
toujours suffisant. On approche mieux la réalité par une modèle de la forme Z = R (ω ) +
jL (ω ) ω .
On cherche donc à mesurer l’impédance d’une bobine à une pulsation ω donnée.
1. Le circuit de la figure 6.11 permet d’avoir des images de la tension et du courant passant
dans Z. Quelle tension permet d’accéder à la tension aux bornes de Z ? au courant dans Z ?
161
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 6 – M ODULATION − D ÉMODULATION
Z
R0
−
e (t)
s (t)
+
Figure 6.11 – Circuit 1.
2. Mesure de R(ω ). On insère ce circuit dans le montage suivant qui réalise une détection
synchrone.
e (t)
circuit 1
s (t)
×
g (t)
passe-bas
d (t)
Le signal d’entrée vaut e (t) = A cos (ω t) . La constante du multiplieur est notée k, et le filtre
passe-bas ne sélectionne que la composante continue. Déterminer la valeur de d (t). Exprimer
R (ω ) en fonction de la valeur efficace E de e (t) et des autres paramètres.
3. Mesure de L(ω ). On modifie le montage comme suit :
e (t)
circuit 1
−
s (t)
×
f (t)
passe-bas
q (t)
π
2
π
π
introduit un retard de de sans modifier l’amplitude. Déterminer la valeur de
2
2
q (t). Exprimer L (ω ) en fonction de la valeur efficace de e (t) et des autres paramètres.
Le bloc −
162
CORRIGÉS
6.1 Nature de modulation
1. Le signal 2 est le seul qui corresponde à de la modulation d’amplitude. On en déduit que
la modulante est un signal carré. Le signal 1 correspond à un signal modulé en fréquence, car
celle-ci varie. Enfin le signal 3 correspond à de la modulation de phase : il y a discontinuité
de la phase à chaque discontinuité du signal carré.
2. Le signal 1 est cette fois ci le seul qui corresponde à de la modulation d’amplitude. On en
déduit que la modulante est un signal triangulaire. Le signal 2 correspond à un signal modulé
en fréquence, car celle-ci varie linéairement au cours du temps. Enfin le signal 3 correspond
à de la modulation de phase : Lorsque la phase du signal modulant croit linéairement, la
fréquence est une constante : cos (ω t + (a + bt)) = cos ((ω + b)t + a) correspond bien à un
décalage en fréquence de la porteuse.
6.2 Taux de modulation
1. L’enveloppe supérieure de ce signal modulé en amplitude varie, avec les notation utilisée dans ce chapitre, entre A p (1 − m) et A p (1 + m). Sa valeur moyenne vaut A p . Des deux
premiers diagrammes on peut déduire que A p = 1. Ensuite :
• signal 1 : 1 + m = 1, 25 , donc m = 0, 25.
• signal 2 : 1 + m = 2 , donc m = 1.
• signal 3 : 1 + m = 6 , donc m = 5.
2. La démodulation synchrone est efficiente quelque soit le taux de modulation, elle sera
donc utilisable dans les trois cas.
6.3 Détection synchrone
La détection synchrone réalise exactement l’opération sr = k ⟨s(t) × sa (t)⟩ . De plus, on a les
A
B 1
propriétés connues : cos2 (ω t) = , ⟨ cos(ω t) sin(ω t)⟩ = 0 et ⟨ cos(pω t) cos(qω t)⟩ = 0 si
2
p ̸= q. D’où :
1. k
A2
.
2
2. C’est le cas classique : on trouve sr = kAm S ⟨cos(mωt + ϕm ) cos(mωt )⟩ = kAm S
cos(ϕm )
.
2
1
1 + cos(2ω t)
. On a un coefficient de l’harmonique 2 de poids , on en déduit
3. cos2 (ω t) =
2
2
AS
donc sr = k .
4
1
1 − cos(2ω t)
2
. On a un coefficient de l’harmonique 2 de poids , mais en
4. sin (ω t) =
2
2
quadrature avec le signal analyseur on en déduit donc sr = 0.
A2 B
5. sr = k s (t) . Par définition, sr = s2eff .
163
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 6 – M ODULATION − D ÉMODULATION
6.4 Application de la détection synchrone à la mesure d’impédance
1. Le fonctionnement linéaire assuré par la réaction négative impose la nullité du potentiel
sur la borne inverseuse de l’amplificateur. s(t) est donc la tension aux bornes de Z, et e(t) est
proportionnel au courant qui traverse Z.
e(t)
2. Le courant qui circule dans R0 et Z de gauche à droite vaut i(t) =
. La tension de sorR0
di(t)
= A (−R cos(ω t) + Lω sin(ω t)). Après détection syntie vaut alors s(t) = −Ri(t) − L
dt
2
kA R
, ce qui permet de déterminer R.
chrone, il reste d(t) = −
2R0
π
3. le déphasage de − permet de récupérer par détection synchrone le terme en sinus :
2
kA2 Lω
q(t) = +
, ce qui permet de déterminer L.
2R0
164
Deuxième partie
Thermodynamique
165
7
Toute l’électronique repose sur l’utilisation de circuits en silicium dopé, c’est-à-dire contenant des inclusions d’autres atomes, comme le bore. Le dopage du silicium est un exemple
de diffusion de particules, phénomène analogue à celui d’une odeur qui se répend dans une
pièce. Ce chapitre a pour but de mettre en équation ce phénomène et d’en souligner les traits
caractéristiques.
Dans ce chapitre, les notations dt, dx et dr représentent de petites quantités finies.
1
Mouvement de particules
Deux phénomènes de transport de particules, nommé aussi transport de masse, coexistent : la
diffusion et la convection.
1.1
Diffusion
Quand on ouvre une bouteille de parfum dans une pièce dans laquelle l’air est immobile,
sans aucun courant d’air, l’odeur de parfum se répend graduellement. Au bout d’une certaine
durée, toute la pièce sent le parfum, les molécules odorantes se sont répendues dans tout
le volume accessible. Ce phénomène est aussi observé dans des liquides, par exemple avec
des molécules d’encre dans de l’eau immobile, et dans les solides, où des impuretés, par
exemple du bore ou du phosphore, se répandent dans un solide semiconducteur, par exemple
du silicium.
Ces expériences mettent en évidence le phénomène de diffusion de particules. Sans aucun
mouvement macroscopique observable, c’est-à-dire sans courant d’air ni de liquide, les molécules progressent des zones où elles sont fortement concentrées, vers les zones où elles
sont faiblement concentrées. Le phénomène s’arrête à l’équilibre, lorsque la concentration de
molécules est uniforme. De plus, les particules qui diffusent dans un gaz, dans un liquide ou
dans un solide, sont de concentration très inférieure à celle du milieu.
1.2
Convection
À la différence de la diffusion, où aucun mouvement macrosopique n’existe, la convection
caractérise le transport de particules entraînées par le mouvement d’un fluide, un courant
d’air ou de liquide.
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
L’étude de la convection relève de la mécanique des fluides ; elle ne sera pas étudiée dans ce
chapitre, sauf pour comparer son efficacité à celle de la diffusion.
Vecteur densité de courant de particules #–
ȷ
2
2.1
Définition
Les particulent diffusent dans une certaine direction : on est naturellement amené à indiquer
le sens et la direction de cette diffusion par une grandeur vectorielle #–
ȷ , nommé vecteur
densité de courant de particules. #–
ȷ indique le sens et la direction de la diffusion ; de plus,
plus il y a de particules qui diffusent, plus sa norme est importante.
On définit alors le vecteur #–
ȷ par le nombre δ N
de particules qui traversent une surface d’aire
#–
#–
dS
dS, de vecteur surface dS, pendant la durée dt :
#–
ȷ
#–
δ N = #–
ȷ · dS dt.
Figure 7.1 – Définition de #–
ȷ.
La surface d’aire dS est oriéntée d’après la règle de la main droite. Cette orientation permet de définir un sens de passage positif à travers la surface : les particules sont comptées
#–
positivement lorsqu’elles traversent la surface dans le sens de dS, négativement dans le cas
contraire.
Quelle est l’unité de #–
ȷ ? Attendu que δ N est un nombre de particules, sans dimension :
[ #–
ȷ ] = m−2 .s−1 .
Remarques
• Le produit scalaire permet de prendre en compte l’inclinaison de #–
ȷ par rapport à
#–
la surface d’aire dS. Par exemple, si #–
ȷ et dS sont orthogonaux, alors δ N = 0 : les
particules passent de part et d’autre de la surface, aucune ne passe à travers. Ce point
est détaillé à la page 313.
#–
• On rencontre aussi la notation δ 2 N = #–
ȷ · dS dt où l’exposant 2 souligne que le
nombre de particules est un infiniment petit du deuxième ordre attendu que dS et
dt sont des infiniment petits du premier ordre ; et même δ 3 N = #–
ȷ · d2 S dt si on considère que dS est un infiniment petit du deuxième ordre.
2.2
Débit de particules
Le débit D de particules à travers une surface est le nombre algébrique de particules qui
traversent cette surface par unité de temps. À travers une surface S , le débit est alors :
D=
¨
S
#–
#–
ȷ · dS.
ȷ à travers la surface S .
Ce débit, qui s’exprime en s−1 , représente le flux du vecteur #–
168
L OI DE FICK
2.3
Densité de particules n
La densité de particules, ou densité particulaire, au point M à la date t, notée n (M,t), est
le nombre de particules autour du point M, à la date t, par unité de volume. En notant δ N le
nombre de particules comprises dans le volume dτ autour de M :
n=
δN
.
dτ
Cette définition implique une sérieuse difficulté si le volume dτ n’est pas correctement choisi.
En effet, si le volume dτ n’est « pas assez grand », il peut ne contenir aucune particule comme
quelques unes dans un très petit volume ; de plus, ce nombre varie dans le temps à cause de
l’agitation thermique des particules. Mais si le volume dτ est « suffisamment grand », alors le
nombre de particules est toujours le même ; on peut alors définir une valeur moyenne comme
la densité particulaire.
Ainsi, si l’on trace n en fonction de la distance ℓ, longueur de l’arête du cube de volume dτ ,
sur la figure 7.2, trois échelles spatiales apparaissent :
• l’échelle microscopique, siège de fortes fluctuations ;
• l’échelle mésoscopique à laquelle est définie la densité particulaire n, le volume correspondant est alors nommé volume élémentaire représentatif ;
• l’échelle macroscopique, où la densité particulaire peut varier dans un milieu hétérogène.
n
échelle
échelle
échelle
microscopique
mésoscopique
macroscopique
ℓ
Figure 7.2 – Volume élémentaire représentatif et échelle mésoscopique.
L’ordre de grandeur du volume élémentaire représentatif minimum est de 10−20 m3 pour un
gaz, sous 1 bar et 298 K, et de 10−25 m3 pour un liquide.
Remarque
Les grandeurs macroscopiques apparaissent uniformes à l’échelle mésoscopiques.
3
3.1
Loi de Fick
Énoncé
On considère un volume dont la densité particulaire ne dépend que de l’abscisse x, de telle
manière que la densité particulaire n (x,t) a l’allure de la figure 7.3, page suivante.
On observe expérimentalement que les particules se déplacent des zones de forte concentration vers celles de faible concentration : #–
ȷ est donc orienté dans la direction du vecteur u#–x .
169
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
De plus, plus le déséquilibre en concentration est important, plus le nombre de particules déplacées est important. Ainsi #–
ȷ est-il proportionnel à la dérivée de la densité particulaire par
∂n
rapport à la position. On tire de ces deux observations la modélisation : #–
ȷ = −D u#–x .
∂x
n
∂n
:
Le signe moins provient du signe négatif de
∂x
#–
#–
pour que ȷ soit in fine porté par plus u , il convient
#–
ȷ
x
d’ajouter un signe moins afin de modéliser correctement le phénomène. D est un coefficient de proportionnalité nommé coefficient de diffusion.
x
Figure 7.3 – Exemple idéalisé de profil
de densité particulaire.
À trois dimensions, le lien entre le vecteur densité de courant de particules et la densité
particulaire est nommé loi de Fick 1 . Il s’agit d’une modélisation linéaire du phénomène
décrite par l’équation :
⎛
⎜
⎜
⎜
#–
ȷ = −D ⎜
⎜
⎜
⎝
∂n
∂x
∂n
∂y
∂n
∂z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
# –
#–
ȷ = −D grad (n) .
soit
Cette loi est phénoménologique, c’est-à-dire qu’elle modélise le phénomène expérimental
dont elle est issue. De plus, le signe moins décrit que la diffusion de particules a lieu des
zones de forte concentration vers celles de faible concentration.
# –
Quelles sont les unités du coefficient de diffusion D ? Attendu que n est en m−3 , grad(n) est
en m−4 ; #–
ȷ en m−2 .s−1 et donc D est en m2 .s−1 . Sa valeur dépend de l’espèce qui diffuse et
du milieu dans lequel s’effectue la diffusion (dans le cas des gaz, la pression vaut 1, 013 bar) :
espèce qui diffuse
H2
H2 O
CO2
NaCl
sucre
Al
dans le milieu
"
!
D m2 .s−1
air
air
air
H2 O (ℓ)
H2 O (ℓ)
Cu
6, 1.10−5
2, 2.10−5
1, 4.10−5
1, 9.10−9
5, 2.10−6
1, 3.10−30
273
273
273
298
298
293
T (K)
Remarque
Le coefficient de diffusion D dépend de la température et de la pression dans le cas
d’une phase gazeuse.
1. découverte expérimentalement en 1855 par Adolf Fick, 1829 − 1901, médecin allemand.
170
É QUATIONS DE CONTINUITÉ ET DE DIFFUSION
3.2
Limites de validité de la loi de Fick
La loi de Fick est un modèle phénoménologique. Elle ne décrit plus les volume dans lesquels :
• la concentration n’est « pas assez » elevée, car la moyenne statistique n’a plus de signification dans le cas d’un trop faible nombre de particules ;
• la concentration est « trop » élevée, car les interactions à courte portée entre les particules
interviennent ;
• la concentration varie « trop » rapidement dans le temps, car les particules n’ont pas le
temps de réagir et d’arriver en régime permanent de déséquilibre ;
• la variation spatiale de la concentration est « trop » importante.
4
Équations de continuité et de diffusion
4.1
Géométrie cartésienne
On considère un milieu immobile, sans mouvement macroscopique, dans lequel diffusent des
particules suivant un axe cartésien (Ox), sous l’influence d’une densité particulaire n (x,t)
inhomogène.
On cherche à obtenir une équation qui relie la densité particulaire au vecteur densité de courant, nommée équation de continuité, puis une équation aux dérivées partielles sur la densité
particulaire, nommée équation de la diffusion.
On isole par la pensée un cylindre Σ de section S et de hauteur dx, immobile, comme indiqué
sur la figure 7.4.
#–
ȷ (x,t)
S
x
#–
ȷ (x + dx,t)
x + dx
x
Figure 7.4 – Diffusion de particules en géométrie cartésienne.
Remarque
Le vecteur densité de courant #–
ȷ = j (x,t) u#–x , est ici représenté suivant ⊕u#–x . En effet,
les calculs sont menés avec des grandeurs algébrisées, afin de rester valable que j (x,t),
soit positif ou négatif.
Équation de continuité On effectue un bilan de particules sur le volume Σ, de volume
dτ = Sdx, entre les dates t et t + dt. Le nombre de particules comprises dans Σ à la date t est :
δ N (t) = n (x,t) dτ = n (x,t) Sdx.
De même à la date t + dt :
δ N (t + dt) = n (x,t + dt)Sdx.
La variation du nombre de particules dans Σ entre t et t + dt est alors :
δ 2 N = N (t + dt) − N (t) = (n (x,t + dt) − n (x,t)) Sdx.
171
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
Σ reçoit des particules en x, comptées positivement car reçues (elles entrent dans le volume
Σ), et en perd en x + dx, comptées négativement car perdues (elles sortent du volume Σ).
D’après le paragraphe 2.1 :
δ 2 N = j (x,t) Sdt − j (x + dx,t)Sdt .
0 12 3 0
12
3
reçu en x
!
perdu en x + dx
Le signe des différents termes est important. D’après la figure 7.4, le volume reçoit des particules en x alors qu’il en perd en x + dx ; j (x,t) Sdt est donc affecté du signe ⊕, tandis que
j (x + dx,t) Sdt l’est du signe ⊖.
On en déduit :
(n (x,t + dt) − n (x,t)) Sdx = ( j (x,t) − j (x + dx,t)) Sdt.
En divisant par dx et dt, tous deux différents de zéro :
n (x,t + dt) − n (x,t)
j (x,t) − j (x + dx,t)
=
.
dt
dx
À la limite où dx et dt tendent vers zéro, on reconnaît les dérivées partielles :
∂n
∂j
(x,t) = − (x,t) .
∂t
∂t
Il est d’usage de simplifier la notation en éliminant les opérandes (x,t) des fonctions. L’équation de continuité s’écrit alors :
∂n
∂j
=− .
∂t
∂x
Remarques
• Le nombre de particules contenues dans Σ à la date t est n (x,t) Sdx. On peut se demander pourquoi la densité particulaire est évaluée à l’abscisse x alors que le volume
est compris entre x et x + dx. Il faut se souvenir que dx tend vers zéro, ainsi, quelle
que soit l’abscisse où est évalué ce nombre de particules, entre x et x + dx, la densité
particulaire tend vers n (x,t) quand dx tend vers zéro.
• Et si la densité particulaire augmente avec l’abscisse x ? Le transport de particules
a lieu des zones de forte concentration vers celles de faible concentration, c’est-àdire suivant −u#–x . Le vecteur densité de courant semble orienté à l’opposé de ce que
présente la figure 7.4 ; la démonstration change-t-elle ?
Attendu que les grandeurs manipulées sont algébriques, la situation présentée, avec
#–
ȷ = ju#–x , représente déjà les deux cas possibles : si les particules se propagent dans le
sens des x croissants, alors j > 0, et si elles se propagent dans le sens des x décroissants, alors j < 0. La relation #–
ȷ = ju#–x reste alors valable dans les deux cas, ainsi que
la figure 7.4. La démonstration et le résultat ne changent donc pas.
172
É QUATIONS DE CONTINUITÉ ET DE DIFFUSION
Méthode avec des développements limités Il est d’usage de mener le calcul précédent
plus rapidement, en développant les expressions au premier ordre en dx et dt. Les termes
supplémentaires, qui sont des o (dx) et o (dt) tendent vers 0 avec dx et dt. Les deux étapes de
calcul sont :
Le nombre de particules du volume varie de dN pendant dt :
∂n
(x,t) Sdx au premier ordre en dt.
δ 2 N = ( n (x,t + dt) −n (x,t)) Sdx = dt
0 12 3
∂t
n (x,t) + dt
∂n
(x,t) + o (dt)
∂t
Le volume reçoit algébriquement pendant dt :
∂j
δ 2 N = ( j (x,t) − j (x + dx,t)) Sdt = −dx (x,t) Sdt au premier ordre en dx,
0 12 3
∂x
j (x,t) + dx
∂j
(x,t) + o (dx)
∂x
et ainsi :
dt
∂n
∂j
(x,t) Sdx = −dx (x,t) Sdt
∂x
∂x
soit
∂n
∂j
=− .
∂t
∂x
Équation de la diffusion Le phénomène de diffusion est décrit par le loi de Fick :
∂n
# –
#–
ȷ = −D grad(n) = −D u#–x
∂x
soit
j = −D
∂n
.
∂x
L’équation de continuité devient :
&
'
∂n
∂
∂n
=−
−D
.
∂t
∂x
∂x
Le coefficient de diffusion D est une constante indépendante de x. On obtient ainsi l’équation
de la diffusion :
∂n
∂ 2n
=D 2.
∂t
∂x
4.2
Terme source
Dans la démonstration du paragraphe précédent, le volume Σ ne recevait de particules que sur
ses frontières en x et x + dx. Il faut tenir compte des cas où le volume reçoit des particules in
situ. Les cas les plus classiques sont :
• la création de neutrons par fission radioactive d’un matériau nucléaire ;
• le création ou la disparition de particules par réaction chimique.
On introduit alors le nombre α de particules créées par unité de volume et de temps à
l’intérieur du volume, en m−3 .s−1 .
173
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
On reprend le volume Σ étudié au paragraphe précédent, dans lequel le nombre de particules
varie de δ N pendant dt :
∂n
δ 2 N = dt Sdx.
∂t
Le volume Σ reçoit pendant dt j (x,t) Sdt particules en x, perd j (x + dx,t)Sdt particules en
x + dx et reçoit α Sdx particules créées dans tout son volume Sdx. Ainsi, au premier ordre en
dx :
∂j
δ 2 N = ( j (x,t) − j (x + dx,t)) Sdt + α Sdxdt = −dx Sdt + α Sdxdt.
∂x
Dès lors, le bilan de particules, entre les dates t et t + dt, devient :
dt
∂n
∂j
Sdx = −dx Sdt + α Sdxdt
∂t
∂x
soit
∂n
∂j
= − + α,
∂t
∂t
après simplification par dx dt. Puis, avec la loi de Fick :
∂n
∂ 2n
= D 2 + α.
∂t
∂x
4.3
Géométrie cylindrique
On considère un dispositif pour lequel la densité particulaire admet une invariance par rotation autour d’un axe (Oz) ; elle ne dépend que du temps et de la variable r des coordonnées
cylindriques : n (r,t).
On considère que α particules sont créées par unité de volume et de temps à l’intérieur du
volume. Si tel n’était pas le cas, on prendrait α = 0.
On établit l’équation de continuité puis l’équation de la diffusion en choisissant comme volume Σ une couronne cylindrique de hauteur ℓ, comprise entre les rayon r et r + dr, de volume
dτ , représenté figure 7.5. Σ est immobile et indéformable. D’après la loi de Fick, le vecteur
∂n
# –
densité de courant est porté le vecteur de base u#–r : #–
ȷ = −D grad(n) = −D u#–r .
∂r
Quel est le volume dτ de Σ ? C’est le volume du grand cylindre, de rayon r + dr, moins celui
du petit cylindre, de rayon r :
(&
)
'
dr 2
2
2
2
1+
dτ = π (r + dr) ℓ − π r ℓ = π r
−1 ℓ
r
& '
'
&
dr
dr
−1 ℓ
= π r2 1 + 2 + o
r
r
dr
= 2π r dr ℓ au premier ordre en .
r
Ce résultat peut être utilisé sans démonstration. Il se retient en se souvenant :
dτ = périmètre intérieur(2π r) × largeur(dr) × hauteur(ℓ) .
174
É QUATIONS DE CONTINUITÉ ET DE DIFFUSION
z
r
r + dr
ℓ
u#–z
#–
ȷ = ju#–r
u#–
θ (M)
M
u#–r (M)
Figure 7.5 – Diffusion de particules en géométrie cylindrique.
Remarque
Attendu que j est une grandeur algébrique, c’est-à-dire qu’elle peut être positive comme
négative, la démonstration reste inchangée quelle que soit la direction de la diffusion,
du centre vers la périphérie ou l’opposé.
Équation de continuité Comme dans les paragraphes précédents, le nombre N (t) de particules dans Σ varie de δ 2 N pendant dt. Au premier ordre en dt :
δ 2 N = dt
∂n
dτ .
∂t
Le volume reçoit algébriquement pendant dt :
δ 2 N = j (r,t) 2π rℓ dt − j (r + dr,t)2π (r + dr) ℓ dt + α dτ dt.
0
12
3 0
12
3
reçu en r
perdu en r + dr
En effet, les particules entrent en r à travers le cylindre intérieur de surface latérale 2π r × ℓ,
sortent en r + dr à travers le cylindre extérieur de surface latérale 2π (r + dr)× ℓ et sont créées
dans tout le volume.
Afin de développer élégamment δ 2 N au premier ordre en dr, on introduit la fonction f : r 9→
r × j (r,t). δ 2 N s’écrit alors :
δ 2 N = 2π ℓ( f (r,t) − f (r + dr,t)) dt + α dτ dt.
0 12 3
∂f
f (r,t) + dr
(r,t) + o (dr)
∂r
Au premier ordre en dr :
δ 2 N = −2π ℓ × dr
∂f
∂
× dt + α dτ dt = −2π ℓdr (r j) dt + α dτ dt.
∂r
∂r
175
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
Finalement, en égalisant les deux expressions de δ 2 N :
dt
!
∂n
∂
2π r dr ℓ = −2π ℓdr (r j) dt + α 2π r dr ℓ dt
∂t
∂r
soit
∂n
1 ∂
=−
(r j) + α .
∂t
r ∂r
On ne développe surtout pas la dérivée de r j . Cette forme compactée est la plus simple pour
intégrer par la suite.
Équation de la diffusion La phénomène de diffusion est caratérisé par la loi de Fick, ainsi
∂n
j = −D
et on obtient l’équation de la diffusion :
∂r
&
'
&
'
∂n
∂n D ∂
∂n
1 ∂
dn
=−
−Dr
+ α soit
=
r
+ α.
∂t
r ∂r
dr
∂t
r ∂r
∂r
!
On ne développe surtout pas la dérivée de r
pour intégrer par la suite.
4.4
∂n
. Cette forme compactée est la plus simple
∂r
Géométrie sphérique
On considère un dispositif pour lequel la densité particulaire admet une invariance par rotation autour d’un point O ; elle ne dépend que du temps et de la variable r des coordonnées
sphériques : n (r,t).
On considère que α particules sont créées par unité de volume et de temps à l’intérieur du
volume. Si tel n’était pas le cas, on prendrait α = 0.
On établit l’équation de continuité puis l’équation de la diffusion en choisissant comme volume Σ une couronne sphérique comprise entre les rayon r et r + dr, de volume dτ , représenté
figure 7.6 ; ce volume peut faire penser, par exemple, à une écorce d’orange. Σ est immobile
et indéformable. D’après la loi de Fick, le vecteur densité de courant est porté le vecteur de
∂n
# –
base u#–r : #–
ȷ = −D grad(n) = −D u#–r .
∂r
Quel est le volume dτ de Σ ? C’est le volume de la grande sphère, de rayon r + dr, moins
celle de la petite sphère, de rayon r :
(&
)
'3
dr
4
4
4
1+
dτ = π (r + dr)3 − π r3 = π r3
−1
3
3
3
r
& '
'
&
dr
dr
4
−1
= π r3 1 + 3 + o
3
r
r
dr
= 4π r2 dr au premier ordre en .
r
Ce résultat peut être utilisé sans démonstration. Il se retient en se souvenant :
"
!
dτ = surface intérieure 4π r2 × épaisseur(dr) .
176
É QUATIONS DE CONTINUITÉ ET DE DIFFUSION
O
M
#–
ȷ (M,t) =
j (r,t) u#–r (M)
r
r+
dr
Figure 7.6 – Diffusion de particules en géométrie sphérique.
Remarque
Attendu que j est une grandeur algébrique, c’est-à-dire qu’elle peut être positive comme
négative, la démonstration reste inchangée quelle que soit la direction de la diffusion,
du centre vers la périphérie ou l’opposé.
Équation de continuité Comme dans les paragraphes précédents, le nombre N (t) de particules dans Σ varie de δ 2 N pendant dt. Au premier ordre en dt :
δ 2 N = dt
∂n
dτ .
∂t
Le volume reçoit algébriquement pendant dt :
δ 2 N = j (r,t) 4π r2 dt − j (r + dr,t) 4π (r + dr)2 dt + α dτ dt.
0
12
3 0
12
3
reçu en r
perdu en r + dr
En effet, les particules entrent en r à travers la sphère intérieure de surface 4π r2, sortent en
r + dr à travers la sphère extérieure de surface 4π (r + dr)2 et sont créées dans tout le volume.
Afin de développer élégamment δ 2 N au premier ordre en dr, on introduit la fonction g : r 9→
r2 × j (r,t). dN s’écrit alors :
δ 2 N = 4π (g (r,t) − g (r + dr,t)) dt + α dτ dt.
0 12 3
∂g
g (r,t) + dr (r,t) + o (dr)
∂r
Au premier ordre en dr :
δ 2 N = −4π × dr
∂g
∂ ! 2 "
× dt + α dτ dt = −4π dr
r j dt + α dτ dt.
∂r
∂r
Finalement, en égalisant les deux expressions de d2 N :
dt
∂n
∂ ! 2 "
4π r2 dr = −4π dr
r j dt + α 4π r2 dr dt
∂t
∂r
soit
1 ∂ ! 2 "
∂n
=− 2
r j + α.
∂t
r ∂r
177
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
!
On ne développe surtout pas la dérivée de r2 j . Cette forme compactée est la plus simple
pour intégrer par la suite.
Équation de la diffusion La phénomène de diffusion est caratérisé par la loi de Fick, ainsi
∂n
j = −D
et on obtient l’équation de la diffusion :
∂r
&
'
&
'
∂n
∂n
1 ∂
D ∂
2 dn
2 ∂n
=− 2
−Dr
+ α soit
= 2
r
+ α.
∂t
r ∂r
dr
∂t
r ∂r
∂r
!
∂n
On ne développe surtout pas la dérivée de r2
. Cette forme compactée est la plus simple
∂r
pour intégrer par la suite.
4.5
Généralisation
On étudie un volume Σ, immobile et indéformable, de volume V , de surface S. Le nombre de
particules qu’il contient varie, car il en reçoit à travers ses frontières et, de plus, α particules
sont créées par unité de temps et de volume, en tout point à l’intérieur.
#–
dSext (M)
M
V
S
Figure 7.7 – Diffusion de particules en géométrie quelconque.
Soit N (t) le nombre de particules dans Σ à la date t :
˚
n (M,t) dτ ,
N (t) =
V
et N (t + dt) celui à la date t + dt :
N (t + dt) =
˚
V
n (M,t + dt)dτ .
N varie de dN pendant dt :
˚
(n (M,t + dt) − n (M,t)) dτ
dN = N (t + dt) − N (t) =
V
˚
∂n
(M,t) dτ au premier ordre en dt.
=
dt
∂t
V
Le volume reçoit pendant dt des particules sur sa frontière et in situ :
˚
"
#–
#–
α dτ dt.
ȷ · dSext dt +
dN = −
S
178
V
R EMARQUES GÉNÉRALES
!
Le signe moins devant l’intégrale double est indispensable pour compter positivement les
#–
particules qui entrent dans le volume, et négativement celles qui en sortent : dSext est orienté
vers l’extérieur alors que les particules sont comptées positivement lorsqu’elles se dirigent
#–
vers l’intérieur de Σ. Le sens positif se révèle être −dSext . Ainsi :
#–
• si ȷ est orienté vers l’extérieur de Σ, alors le volume perd des particules et dN est négatif ;
#–
or #–
ȷ · dSext est alors positif, il faut donc ajouter un signe moins ;
#–
• si ȷ est orienté vers l’intérieur de Σ, alors le volume gagne des particules et dN est positif ;
#–
ȷ · dSext est alors négatif, il faut donc ajouter un signe moins.
or #–
Avec le théorème d’Ostrogradski :
˚
˚
div ( #–
ȷ ) dτ dt +
α dτ dt.
dN = −
V
V
Le bilan de particules devient donc :
˚
˚
∂n
(M,t) dτ =
dt
(− div ( #–
ȷ ) + α ) dτ dt.
∂t
V
V
Attendu que cette égalité est vraie pour tout volume V , il y a égalité entre les fonctions
intégrées et on obtient l’équation de continuité :
∂n
= − div ( #–
ȷ ) + α.
∂t
# –
Le phénomène de diffusion est décrit par la loi de Fick #–
ȷ = −D grad(n) :
#
∂n
# – $
= − div −D grad (n) + α .
∂t
# –
Attendu que div grad(n) = ∆n, on obtient l’équation de la diffusion :
∂n
= D∆n + α .
∂t
Quand on compare aux résultats des paragraphes 4.1 à 4.4, on voit que les opérateurs divergence et laplacien ont été développés dans les trois volumes de coordonnées classiques, dans
des cas ne dépendant que d’une seule coordonnée d’espace.
5
5.1
Remarques générales
Irréversibilité
L’équation de la diffusion n’est pas invariante par renversement du temps, c’est-à-dire l’opération t → −t, qui consiste à décrire l’écoulement du temps du futur vers le passé. En effet,
179
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
∂n
∂n
= D∆n, soit
= −D∆n. L’équation
∂ (−t)
∂t
change : on ne repasse pas par les mêmes états lorsqu’on visionne à l’envers un phénomène
de diffusion. Ainsi, avec l’exemple du paragraphe d’introduction, les molécules de parfum ne
rentrent pas spontanément dans le bouteille de parfum : leur diffusion à travers la pièce est
irréversible.
quand on y remplace t par −t, elle devient
Un phénomène de diffusion est irréversible.
5.2
Solution en ordre de grandeur
On considère une bouteille de parfum ouverte dans une pièce sans aucun courant d’air.
L’odeur de parfum se répend à travers la pièce car les molécules de parfum, volatile, diffusent dans l’air. Au bout de combien de temps toute la pièce sent-elle le parfum ?
ℓ
source de parfum
M
O
Figure 7.8 – L’odeur de parfum arrive au point M en une durée τ .
On répond à cette question en ordre de grandeur. La méthode proposée ne prétend pas à la
précision, mais donne très rapidement un ordre de grandeur et indique les paramètres physiques pertinents.
Soit ℓ la distance entre le point O et le point M d’observation et τ l’ordre de grandeur de
la durée nécessaire au phénomène de diffusion pour parcourir cette distance. Travailler en
ordre de grandeur revient à remplacer les dérivées par des taux d’accroissement grossièrement
évalués :
∂n n
n
∼
et ∆n ∼ 2 ,
∂t
τ
ℓ
car le laplacien est, par exemple en cartésiennes, une dérivée seconde par rapport aux coordonnées d’espace.
L’équation de la diffusion devient en ordre de grandeur :
n
n
∼D 2
τ
ℓ
soit τ ∼
ℓ2
D
ou
ℓ∼
√
Dτ .
ℓ2
en ordre de grandeur. Numériquement,
D
2
−1
m .s , τ ≈ 1 journée. En pratique, la convection accélère le
L’odeur parvient au point M au bout d’une durée
avec ℓ ≈ 1 m et D ≈ 10−5
mouvement des molécules.
De plus, il faut noter un résultat caractéristique des phénomènes de diffusion :
La distance parcourue par un phénomène de diffusion est proportionnel à la racine
carrée du temps écoulé.
180
R EMARQUES GÉNÉRALES
5.3
Lien entre #–
ȷ conv et n
On considère une assemblée de particules, de densité particulaire n, qui bougent sous l’effet
d’un mouvement macroscopique de convection. Afin de simplifier le raisonnement, chaque
particule a la même vitesse #–
v . On cherche le nombre de particules qui traversent une surface
d’aire dS pendant la durée dt.
Comme l’indique la figure 7.9, si une particule est trop éloignée de la surface dS, elle n’aura
pas le temps de la traverser pendant la durée dt et ne sera pas comptée ; seules celles qui
sont suffisamment proches le sont. Attendu que pendant la durée dt, les particules de vitesse
v bougent d’une longueur vdt, celles qui sont éloignée de la surface dS d’une distance supérieure à vdt ne passent pas à travers dS pendant dt.
On en déduit que toutes les particules qui traversent dS pendant dt sont au plus éloignées de
vdt de dS ; elles sont donc comprises dans un cylindre de base dS et de longueur vdt.
passage de la particule à travers la surface
#–
dS
particule qui ne traverse
pas la surface
vdt
Figure 7.9 – Comptage des particules qui traversent dS pendant dt .
Les δ N particules qui traversent dS pendant la durée dt sont donc comprises à la date t dans
#–
le volume #–
v dt · dS (le produit scalaire tient compte du fait que la vitesse #–
v des particules
#–
peut ne pas être colinéaire au vecteur surface dS) :
#
#–$
δ N = n × #–
v dt · dS .
#–
ȷ · dS dt, on en déduit le vecteur densité de courant de particules
En comparant avec δ N = #–
convectif :
#–
v.
ȷ conv = n #–
5.4
Complément : nombre de Péclet
En phase gazeuse ou liquide, la diffusion coexiste en général avec la convection. De ces deux
modes de transport, quel est le plus efficace ? Pour répondre à cette question, on est amené à
comparer, en ordre de grandeur, la norme des vecteurs densité de courant de particules dans
chaque cas.
Pour la diffusion, avec ℓ la longueur caractéristique de variation de la densité particulaire :
I #– I I
n
# – I
I
I ȷ diff I = I
I−D grad (n)I ∼ D .
ℓ
Pour la convection, avec U l’ordre de grandeur de la vitesse de l’écoulement :
∥ #–
ȷ
∥ = ∥n #–
v ∥ ∼ nU.
conv
181
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
Les deux phénomènes sont comparés avec le nombre de Péclet 2 :
Remarque
∥ #–
ȷ conv ∥ Uℓ
I =
.
Pe = I
I #–
D
ȷ diff I
Le nombre de Péclet est l’analogue du nombre de Reynolds, défini en mécanique des
fluides. Celui-là caractérise le transport de masse, celui-ci le transport de quantité de
mouvement. Ces deux nombres adimensionnés sont construits de façon identique.
La convection est le processus dominant dès que Pe ≫ 1, c’est la diffusion si Pe ≪ 1.
Exemple
Quand on sucre de thé, dans un tasse de longueur caractéristique ℓ ≈ 5 cm, avec D ≈
5.10−6 m2 .s−1 et U ≈ ℓω ≈ 0, 3 m.s−1 (on a considéré que le fluide est entrainé par
une cueillère qui fait un tour par seconde, soit ω = 2π rad.s−1 ) : Pe = 3.103 ≫ 1, la
convection est bien plus efficace que la diffusion, ainsi on a tout intérêt à remuer le thé
avec une cueillère pour uniformiser la concentration de sucre.
6
Du microscopique au mésoscopique
Les équations établies au paragraphe 4 modélisent macroscopiquement le phénomène de diffusion. Mais quel est le comportement des particules au niveau moléculaire ?
6.1
Mouvement brownien
On considère une particule dans l’air atmosphérique, dont on suit le mouvement par la pensée.
Du fait de l’agitation thermique, la particule subit de très nombreux chocs avec les molécules
de O2 et de N2 , et n’est soumise qu’à son poids entre deux chocs. Ce mouvement, particulièrement compliqué, comme le montre la figure 7.10 page suivante, est nommée mouvement
brownien 3 . Le caractère erratique de la trajectoire d’une particule résulte de la direction
aléatoire que prend la particule après chaque choc. On parle alors de marche au hasard, la
particule ne gardant, après le choc, aucun souvenir de la direction de son vecteur vitesse avant
le choc.
Ainsi, choc après choc, la particule s’écarte de sa position initiale. La trajectoire compliquée
explique que la distance entre la position de la particule à la date t et sa position initiale, ne
soit pas proportionnelle à t.
L’observation du mouvement brownien permet d’introduire deux grandeurs : le libre parcours moyen, qui est la distance moyenne entre deux chocs, et le temps moyen entre deux
chocs.
2. en l’honneur de Jean Claude Eugène Péclet, 1793 − 1857, physicien français, qui fut en particulier professeur
à l’École Centrale.
3. en l’honneur de Robert Brown, 1773 − 1858, botaniste et paléobotaniste écossais, pionnier de l’utilisation
systématique du microscope, qui observa en 1827 le mouvemement erratique de grains de pollen en suspension en
solution aqueuse.
182
D U MICROSCOPIQUE AU MÉSOSCOPIQUE
Figure 7.10 – Trajectoire brownienne à deux dimensions, avec 3000 chocs.
Le phénomène de diffusion dans les liquides est analogue, bien que le mouvement des particules soit plus contraint. Dans les solides, les particules passent de site en site.
Toutefois, ce mouvement brownien de la particule semble très éloigné du déplacement, apparemment ordonné, décrit par le vecteur densité de courant de particule #–
ȷ . En effet, on
n’étudie pas une unique particule mais le mouvement d’ensemble d’un très grand nombre de
particules. Chaque particule décrit une trajectoire brownienne, mais en moyenne, l’ensemble
des particules a un mouvement ordonné, des zones de forte concentration vers celles de faible
concentration.
6.2
Exemple de diffusion
Quand on suit le mouvement brownien d’un grand nombre de particules, on observe en effet
un mouvement général des zones de forte concentration vers celles de faible concentration,
comme le montre la figure 7.11. C’est ce mouvement d’ensemble que décrit la loi de Fick.
Figure 7.11 – Suivi de particules diffusantes entre deux instants, séparés par 2000 chocs.
183
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
On trace sur la figure 7.11, pour chacune des 600 particules considérées, l’état initial à gauche
et l’état final à droite. Les deux figures sont séparées, pour chaque particules, par 2000 chocs
browniens avec les molécules du milieu dans lequel elles diffusent. On voit alors émerger
un mouvement d’ensemble de diffusion de la zone centrale de forte concentration vers la
périphérie de faible concentration, avec un vecteur densité de courant de particules radial.
Le passage de l’échelle microscopique à celle mésoscopique, c’est-à-dire du mouvement brownien aléatoire à la loi de Fick, résulte de la prise en compte d’un grand
nombre de particules et d’un effet de moyenne de leur comportement.
Remarque
Le mouvement d’une particule, lors d’un mouvement brownien, est décrit par une équad2 #–
v
#–
tion réversible dans le temps, m 2 = F , au sens où elle reste inchangée par renverdt
sement du temps. Le phénomène de diffusion, quant à lui, est irréversible. L’irréversibilité du phénomène semble donc contenu dans le passage d’une description individuelle à une description moyenne collective. La problématique générale de savoir
où est la source d’irréversibilité lors du passage du microscopique au mésoscopique,
est encore une question ouverte, largement débattue. Le lecteur intéressé pourra par
exemple consulter, parmis de nombreuses sources : Craig C ALLENDER, « Thermodynamic Asymmetry in Time », The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2011, à
consulter sur <http://plato stanford edu/archives/fall2011/entries/time thermo>
SYNTHÈSE
SAVOIRS
• citer les deux modes de transport de masse
• loi de Fick
• relier l’équation de la diffusion à l’irréversibilité temporelle de la diffusion
SAVOIR-FAIRE
• exprimer le débit de particules comme le flux du vecteur #–
ȷ à travers une surface orientée
• établir un bilan de particules, dans toutes les géométries, avec ou sans terme de source
• établir l’équation de la diffusion, dans toutes les géométries
MOTS-CLÉS
• diffusion de particules
• convection
• vecteur densité de courant
.
184
de particules
• densité particulaire
• loi de Fick
.
• bilan de particules
• équation de diffusion
-
.
S’ENTRAÎNER
7.1 Perturbation sinusoïdale de concentration (d’après ENSAM)
(⋆ )
Le coefficient de diffusion du sucre dans l’eau est noté D ; il est supposé indépendant de
la concentration. Une solution sucrée possède, à l’instant t = 0, une concentration en sucre
dépendant de l’abscisse x selon une loi de la forme :
# x$
c (x,t = 0) = c0 + c1 cos 2π
,
λ
où c0 , c1 (c1 ≪ c0 ) et λ sont des constantes.
L’évolution ultérieure, pour t > 0, de la concentration est cherchée sous la forme :
# x$
.
c (x,t) = c0 + f (t) cos 2π
λ
1. Rappeler sans démonstration l’équation aux dérivées partielles vérifiée par la concentration c (x,t) (équation de la diffusion).
2. Déterminer, en fonction de D et λ , l’équation différentielle du premier ordre vérifiée par
la fonction f (t). Résoudre cette équation en tenant compte des conditions initiales. Exprimer
f (t) en fonction de c1 , t et d’un temps caractéristique τ à écrire en fonction de D et λ . Vérifier
l’unité de τ . Quel sens concret donnez-vous au paramètre τ ?
3. Représenter graphiquement, pour t > 0 donné, l’évolution de la concentration c (x,t) en
fonction de x à deux instants différents. Tracer également la distribution limite c (x,t → ∞).
7.2 Diffusion dans un milieu infini
(⋆ )
On considère des nombreuses particules, rassemblées dans un cylindre de section S autour
de x = 0 à un instant initial. Elles diffusent aux instants ultérieurs suivant les x croissants et
décroissants.
1. Montrer que la densité particulaire suivante est solution de l’équation de la diffusion :
'
&
N0
x2
n (x,t) = √
.
exp −
4Dt
4π Dt
2. Commenter l’allure de n (x,t) représentée pour 4 instants différents :
n
t = 0, 07 T
t = 0, 3 T
t =T
t = 5T
(T durée aribtraire)
x
185
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
∞
∞
6
π
. Interpréter le résultat.
α
−∞
−∞
n (0,t)
. Établir
4. La largeur à mi-hauteur est l’abscisse L telle que pour tout |x| < L, n (x,t) >
2
l’expression de L en fonction de t. Conclure.
3. Calculer N =
ˆ
n (x,t) Sdx connaissant
ˆ
e
−α x2
dx =
7.3 Relation d’Einstein et stabilité de l’atmosphère isotherme
(⋆ )
On décrit l’atmosphère comme un gaz parfait isotherme. Dans le champ de gravitation terrestre, la pression vaut :
'
&
mgz
,
P (z) = P (0)exp −
kB T
où l’axe (Oz) est vertical ascendant, z = 0 au niveau de la mer et kB =
de Boltzmann.
R
est la constante
NA
1. En déduire la densité particulaire n (z) de particules dans l’atmosphère.
2. Montrer qu’il existe un phénomène de diffusion. Le caratériser par son vecteur densité de
courant de particules #–
ȷdiff .
3. Lors d’un mouvement brownien, les chocs qu’effectue une particule avec les autres particules de l’atmosphère, sont équivalent en moyenne à une force phénoménologique de frotm
#–
tement fluide f = − #–
v . En déduire la vitesse moyenne des particules de l’atmosphère,
τ
soumises au champ de gravitation #–
g.
4. En déduire l’expression du vecteur densité de courant de migration #–
ȷ , dû au champ de
mig
pesanteur terrestre.
5. L’atmosphère est macroscopiquement au repos. En déduire une relation entre D, τ , kB , T
et m (relation d’Einstein).
7.4 Dépendance du coefficient de diffusion avec la pression et la température
(⋆)
Le coefficient de diffusion de CO2 dans l’air dépend de la pression et de la température. On
a mesuré expérimentalement :
"
!
D m2 .s−1
0, 028
0, 083
0, 158
0, 180
0, 212
0, 421
0, 359
0, 174
T (K)
90
195
273
295
327
288
288
288
P (bar)
1, 00
1, 00
1, 00
1, 00
1, 00
0, 412
0, 485
1, 00
Montrer que ces données sont compatibles avec une loi D = AT α Pβ . Identifier α , β et A.
7.5 Diffusion d’un polluant en présence de vent (d’après Centrale)
(⋆⋆)
On étudie la diffusion dans l’air d’un gaz polluant. On appelle c (M,t) la concentration dans
l’air de ce polluant (en microgrammes par mètre cube). Ce polluant est émis par une cheminée
verticale de hauteur H et d’axe Oz dont la sortie est considérée comme ponctuelle. Dès qu’il
186
#–
sort de cette cheminée, il est soumis à l’action du vent, de vitesse U = U u#–x , l’axe (Ox)
étant horizontal. La diffusivité du polluant dans l’air est Dx dans la direction Ox, Dy dans la
direction (Oy) et Dz dans la direction (Oz).
1. Établir l’équation aux dérivées partielles vérifiée par c (M,t). Justifier que le terme en
∂ 2c
Dx 2 soit négligeable devant les autres termes de l’équation.
∂x
'
&
(z − H)2U
qm
y2 U
5
−
en régime permanent,
2. La solution est c (x, y, z) =
exp −
4Dy x
4Dz x
2 π x Dy Dz
où qm est le débit massique d’émission du polluant. On précise qm = 32, 6 g.s−1 , U = 3 m.s−1 ,
H = 180 m, Dy = 36 m2 .s−1 et Dz = 9 m2 .s−1 .
Tracer l’allure de la courbe représentant la concentration en polluant au niveau du sol, dans
l’axe du panache, à la distance x de la cheminée, jusqu’à une distance de 100 km de celle-ci.
3. Pour le dioxyde de soufre, la concentration maximale admise est de 37, 6 µ g.m−3 . Quelle
est la hauteur minimale que doit avoir la cheminée pour que cette concentration maximale ne
soit pas atteinte ? Commenter.
7.6 Centrifugeuse (d’après Mines-Ponts)
(⋆ )
On considère une ultracentrifugeuse dont la partie mobile (le rotor) est percée de cavités
cylindriques perpendiculaires à l’axe de rotation. Chaque cavité peut recevoir une cellule
constituée d’un cylindre de métal creux dans lequelle on place une solution composée d’un
solvant et de particules microscopiques identiques, constituant le soluté. Le rotor est animé
d’un mouvement de rotation de vitesse angulaire ω constante.
Les particules de soluté sont animées, par rapport à la cellule, d’un mouvement radial. Elles
atteignent très rapidement la vitesse limite #–
v lim = sω 2 ru#–r où s est un coefficient dépendant
à la fois des particules et du solvant. On note D le coefficient de diffusion du soluté dans
la solution, cette diffusion vérifiant la loi de Fick. La concentration particulaire c (r,t) de la
solution, en m−3 , ne dépend que de la distance r à l’axe et du temps t.
1. Donner l’expression du vecteur densité de courant convectif des particules, c’est à dire
associé au mouvement des particules.
2. Établir l’équation d’évolution de la concentration :
#
$
∂c
# –
+ div sω 2 rc (r,t) u#–r − D gradc (r,t) = 0.
∂t
3. En déduire l’équation aux dérivées partielles vérifiée par c (r,t). La divergence d’un champ
1 ∂ (ra)
.
a=
radial de vecteur #–
a = a (r,t) u#–r en coordonnées cylindriques est div #–
r ∂r
4. On se place en régime stationnaire : la concentration ne dépend que de r. La cellule est
située entre rm et rM . Le courant total de particules (convectif + diffusif) est nul en r = rm et
r = rM . Établir la relation :
'
& 2
"
sω ! 2
2
r − rm
.
c (r) = c (rm ) exp
2D
Qu’en conclure quant à la répartition des particules dans l’éprouvette de la centrifugeuse ?
187
Exercices
A PPROFONDIR
APPROFONDIR
7.7 Oxydation du cuivre (d’après ENSAM)
(⋆ )
On étude la corrosion du cuivre par le dioxygène atmosphérique. Après adsorption chimique
du dioxygène sur le substrat de cuivre, germination de l’oxyde, puis croissance latérale des
germes, la surface du métal se recouvre uniformément d’une couche d’oxyde Cu2 O, dont
l’épaisseur e (t) croît avec le temps. La croissance s’explique grâce à un mécanisme en trois
étapes :
• passage très rapide d’ions Cu+ dans l’oxyde à l’interface Cu / oxyde,
• diffusion lente des ions Cu+ dans l’oxyde,
• réaction très rapide à l’interface oxyde / O2 , donnant Cu2 O.
Les concentrations en Cu+ aux deux interfaces de l’oxyde peuvent être considérées comme
constantes au cours du temps. On note C (z) la concentration particulaire en ions Cu+ à l’abscisse z, D le coefficient de diffusion.
1. Rappeler la loi de Fick.
2. Que signifie le signe moins ? En quelle unité exprime-t-on le coefficient de diffusion D ?
3. En désignant par C0 et Ce les concentrations constantes en Cu+ dans l’oxyde respectivement en z = 0 et z = e, exprimer le vecteur densité de flux de particule #–
ȷd en régime
permanent.
L’augmentation de de la couche d’oxyde pendant dt est proportionnelle à jD trouvé précédemment : de = γ jd dt, avec γ positif.
4. En déduire la loi de croissance e (t).
5. Pour un échantillon de cuivre à 903 K, les expériences ont fourni les résultats suivants :
e ( µ m)
t (heures)
4, 9
9
9, 9
36
14, 8
81
23
196
Par une construction graphique simple, mon1.0
1248 K
trer que la loi précédente est vérifiée.
1208 K
0.8
Si l’épaisseur de la couche d’oxyde évolue
suivant une loi parabolique, l’évolution de
0.6
la variation de masse de l’échantillon ∆m
peut être contrôlée en fonction du temps, au
0.4
moyen de thermobalances très précises. La
0.2
loi s’écrit alors (∆m)2 = α t.
1138 K
La cinétique de l’oxydation dépend de la
0
température à laquelle celle-ci se produit,
0
40
80
120
t (heures)
comme le montre la figure ci-contre.
6. En utilisant la figure, évaluer les constantes d’oxydation α aux températures suivantes :
1138 K et 1248 K.
7. Écrire la loi de variation de la constante α en fonction de la température, sachant qu’elle
obéit à la loi d’Arrhénius. Calculer l’énergie d’activation Ea de cette réaction d’oxydation,
entre 1138 K et 1248 K.
(∆m)2 en (mg)2
Exercices
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
188
7.8 Taille critique d’une bactérie aérobie (d’après Centrale)
(⋆ )
On étudie les conditions de survie d’une bactérie dans un lac de très grande taille à la température T0 = 297 K. Pour vivre, elle a besoin de consommer le dioxygène dissous dans l’eau
au voisinage de sa surface.
La bactérie est modélisée par une sphère de centre O fixe, de rayon R, de masse volumique µ
identique à celle de l’eau.
On se place en régime stationnaire et on note n (r) la densité particulaire, exprimée en m−3 ,
de O2 dissous à la distance r de O (r > R). La diffusion de O2 obéit à la loi de Fick avec
un coefficient de diffusion D = 2.10−9 USI. Loin de la bactérie, la concentration molaire
volumique de O2 dissous dans le lac vaut c0 = 0, 2 mol.m−3 .
La consommation en O2 de la bactérie est proportionnelle à sa masse. On introduit le taux
horaire a de consommation de O2 par unité de masse, mesuré en mol.kg−1.s−1 .
1. Rappeler la loi de Fick reliant le vecteur densité de courant particulaire jth = j (r) u#–r à la
densité particulaire n (r).
2. Quelles sont les unités de D ?
3. Établir l’équation de la diffusion de particules.
4. Exprimer le nombre φ (r) de molécules de O2 qui traversent par unité de temps une sphère
de rayon r (r > R) en fonction de j (r) et de r. Justifier que φ ne dépende pas du rayon r de
la sphère considérée.
5. Déterminer l’expression de la densité particulaire n (r) en O2 dissous dans l’eau. On exprimera les deux constantes d’intégration en fonction de D, φ , NA (nombre d’Avogadro) et
c0 . En déduire la densité particulaire nR en surface de la bactérie, en r = R.
6. En étudiant la consommation en O2 de la bactérie pendant la durée dt, exprimer φ en
fonction de a, NA , de la masse volumique µ de la bactérie et de son rayon R.
7. En déduire l’expression de nR en fonction de µ , NA , R, D, a et c0 . Commenter la variation
de nR en fonction du rayon R de la bactérie.
8. Quelle inégalité doit vérifier nR pour que la bactérie ne suffoque pas ?
En déduire l’expression du rayon critique RC d’une bactérie aérobie en fonction de D, c0 , µ
et a. Vérifier l’homogénéité du résultat.
Application numérique pour a = 0, 02 mol.kg−1.s−1 . Comparer ce résultat à la dimension
caractéristique R = 1 à 10 µ m d’une bactérie réelle.
9. Pour une bactérie sphérique de rayon critique RC , calculer la valeur numérique du nombre
total de molécules de O2 consommées par unité de temps.
7.9 Alimentation en oxygène des organes (d’après Mines)
(⋆ )
1. Les organes ont un besoin régulier en oxygène. Le coefficient de diffusion de l’oxygène
dans un milieu aqueux est Deau ≈ 10−9 m2 .s−1 .
Montrer, par une estimation numérique qualitative, que le transport de l’oxygène vers un
organe ne saurait se faire par le seul phénomène de diffusion à travers la peau, pour lequel
la distance caratéristique de diffusion est ℓ ≈ 10 cm. Par quel mécanisme dominant le sang
transporte-t-il l’oxygène ?
189
Exercices
A PPROFONDIR
organe
#–
ȷ
z
2R
organe
ve i n u le
a rt é r io le
poumon
cap
2. Le sang se charge en oxygène par diffusion de l’oxygène contenu
il
dans les alvéoles du poumon vers le capillaire périphérique de l’alµm
véole. Les alvéoles sont supposées sphériques, de rayon Ralv ≈
00
2
−4
10 m. Le sang circule dans le capillaire à la vitesse moyenne
air
v ≈ 10−3 m.s−1 .
Calculer le temps de contact δ ts du sang avec l’alvéole.
3. Le rayon du capillaire est Rcap ≈ 10−5 m. Le coefficient de diffusion de l’oxygène dans
l’air est Dair ≈ 1, 8.10−5 m2 .s−1 .
Estimer le temps de diffusion d’une molécule d’oxygène par ce mécanisme, en convenant que
c’est la somme du temps de diffusion dans l’air (alvéole) et du temps de diffusion en milieu
aqueux (capillaire). Montrer que l’échange d’air entre l’alvéole et le sang a maintenant le
temps de s’établir.
4. L’alimentation d’un organe en un nutriment transporté par le sang s’effectue par échange
entre le sang et l’organe, à travers les parois des capillaires. Ces capillaires sont des tubes
cylindriques de rayon R et de longueur L, joignant une artériole à une veinule. On note C (z)
la concentration molaire en mol.m−3 d’un nutriment dans le capillaire et Corg (z) celle du
nutriment dans l’organe à proximité de la surface du capillaire. Le capillaire cède à l’organe
le nutriment avec une densité de courant molaire (flux surfacique) j = γ (C (z) − Corg (z)) où
γ est un paramètre constant. Déterminer la dimension de γ .
re
lai
Exercices
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
capillaire
5. On considère le régime stationnaire. Effectuer le bilan de matière en nutriment, exprimant
l’équilibre dynamique des flux convectifs entrant et sortant entre les tranches de cotes z et
z + dz et en déduire l’équation vérifiée par C (z), en supposant que le sang a une vitesse
d’écoulement constante vS suivant u#–z . Cette équation fait intervenir la fonction Corg (z).
6. On admet ici que Corg (z) = K constante. Déterminer alors C (z) en fonction de K, C (0) et
RvS
de la longueur caractéristique L0 =
.
2γ
4
4
4 C (L) − K 4
4 " 30%. Sachant que
7. On considère que l’organe est correctement alimenté si 44
C (0) − K 4
vS = 2, 8.10−3 m.s−1 , R = 10−5 m et L = 1 mm, déterminer la valeur maximale du coefficient
γ pour que la relation précédente soit satisfaite.
7.10 Bombe nucléaire (d’après Centrale)
(⋆⋆)
L’élément uranium se présente essentiellement sous la forme de deux isotopes. Le plus répandu à l’état naturel, U 238, possède 92 protons et 146 neutrons ; l’autre isotope est U 235 , dit
isotope fissile. Lorsqu’un noyau est heurté par un neutron (noté n), il peut fissionner, suivant
la réaction :
235
U92
+ n → X + Y + neutrons+ énergie,
190
où X et Y sont deux noyaux le plus souvent radioactifs.
Le nombre moyen de neutrons émis dans la désintégration d’un noyau d’U 235 est ν = 2, 5.
On voit ainsi la possibilité d’une réaction en chaîne, utilisable de manière contrôlée dans
une centrale nucléaire, ou de manière explosive dans une bombe. L’énergie libérée par la
désintégration d’un noyau d’U 235 est en moyenne de 170 MeV. Lorsque la masse du bloc
d’uranium devient supérieure à une valeur critique, la réaction en chaîne s’emballe et devient
explosive.
1. Quelle serait l’énergie libérée par la désintégration totale d’un kilogramme d’U 235 ?
2. L’énergie libérée par l’explosion d’une tonne de trinitrotoluène, un explosif chimique classique encore dénommé TNT, est de 4, 2.109 J. En déduire l’énergie libérée par la désintégration supposée totale d’un kilogramme d’U 235, exprimée en équivalent tonnes de TNT.
Commenter le résultat.
3. Soit n (M,t) le nombre de neutrons par unité de volume, et jth le vecteur densité de flux de
neutrons. L’équation fondamentale de la neutronique est :
∂n
ν −1
= − div #–
ȷ+
n.
∂t
τ
a. Interpréter les deux termes situés à droite de l’égalité.
b. Quelle interprétation proposez-vous pour la constante τ ?
c. Expliquer pourquoi ν − 1 intervient dans le terme de droite, et non ν .
4. On cherche à déterminer la masse du bloc d’uranium (ou masse critique) pour laquelle la
réaction en chaîne peut s’emballer et devenir explosive. On étudie une sphère d’uranium 235
pur, de rayon R. La diffusion des neutrons dans cette sphère est
avec un
& radiale
' et s’effectue
1 d
1 d2
2 dn
coefficient de diffusion D. Dans cette géométrie : ∆n = 2
r
=
(rn).
r dr
dr
r dr2
On cherche dans le cas général une solution de la forme : n (r,t) = f (r) g (t).
a. Montrer que g est de la forme : g (t) = g0 e at , où a et g0 sont des constantes qu’on ne
demande pas de calculer.
Quelle est la différence fondamentale entre les cas a > 0 et a < 0 ?
b. Montrer que la fonction r → r f (r) est solution d’une équation différentielle très classique.
c. Dans la sphère, n (r,t) s’annule à tout instant en r = R, mais ne s’annule pas à l’intérieur
de la sphère. On pose :
7 &
'
1 ν −1
k=
−a .
D
τ
Calculer f (r) à une constante multiplicative près notée f0 .
d. Exprimer le rayon minimal Rc tel qu’il puisse y avoir réaction en chaîne, en fonction de
ν , D et τ .
e. Pour U 235 de masse volumique ρ = 19.103 kg.m−3 : π 2 Dτ = 2, 2.10−2 m2 et ν = 2, 5.
Calculer la valeur Rc du rayon critique, ainsi que la masse critique mc (masse d’une sphère
d’uranium de rayon Rc ).
191
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
5. Pour des raisons de sécurité, on ne peut pas stocker sans précautions une masse d’uranium
supérieure à la masse critique. Quelle disposition raisonnable pouvez- vous suggérer pour le
conditionnement d’une arme nucléaire, embarquée dans un missile ? Comment pourrait-on
déclencher l’explosion ?
7.11 Croissance des bulles de champagne (d’après Centrale)
(⋆⋆)
On envisage une bulle de champagne unique, sphérique de centre O fixe et de rayon variable
a (t) contenant Ng (t) molécules de dioxyde de carbone assimilé à un gaz parfait ; on note
Cg (t) le nombre, supposé uniforme, de molécules de dioxyde de carbone par unité de volume
dans cette bulle. On repère un point M par ses coordonnées sphériques (r, θ , ϕ ) de centre O.
Le champagne liquide occupe le reste de l’espace et on y note C (r,t) le nombre volumique
de molécules de dioxyde de carbone, supposé indépendant de θ et ϕ .
On néglige les phénomènes de tension superficielle et la pesanteur, de telle sorte que la pression P est uniforme dans tout le système, avec la même valeur dans la phase gazeuse et dans
la phase liquide. L’équilibre chimique entre une bulle de champagne et la solution aqueuse
qui l’entoure dans une bouteille fermée où la pression initiale vaut P = Pi , impose la relation
C = χ P/kBT entre le nombre volumique de molécules C dans la phase liquide et la pression
Pi dans la phase gazeuse ; χ ne dépend que de la température (c’est donc ici une constante) ;
kB est la constante de Boltzmann.
Lorsqu’on ouvre la bouteille de champagne, la pression chute brutalement jusqu’à la pression
atmosphérique P = Pe avec Pe < Pi . La condition d’équilibre chimique n’est plus assurée qu’à
l’interface entre la bulle et la solution ; elle s’écrit C (r = a,t) = χ Pe /kB T . Loin de la bulle, on
a toujours C (r → ∞,t) = χ Pi /kB T . Ainsi C (r,t) n’est plus uniforme et le dioxyde de carbone
diffuse dans la solution : on note #–
ȷ = j (r,t) u#–r le vecteur densité de flux de particules : il
satisfait à la loi de Fick avec un coefficient de diffusion D.
1. Soit une couronne de champagne liquide, comprise entre les rayons r et r + dr. Exprimer
le nombre δ 2 Ne de molécules de dioxyde
! "de carbone qui entrent dans cette couronne entre
les instants t et t + dt en fonction de ∂ r2 j /∂ r, dr et dt.
β
2. On se place en régime stationnaire. En déduire que C (r) est de la forme C (r) = α + où
r
α et β sont deux constantes.
3. Bien que le régime réel ne soit pas stationnaire puisque le rayon a dépend du temps, on
utilise la forme de C (r) ci-dessus avec a (t). Exprimer α et β en fonction de a (t), χ , Pi , Pe ,
kB et T .
4. En déduire le taux de variation dNg /dt du nombre Ng de molécules de dioxyde de carbone
dans la bulle de gaz en fonction de D, a, χ , Pi , Pe , kB et T .
da
= K, où K
5. Montrer que a (t) est solution d’une équation différentielle de la forme a (t)
dt
est une constante qu’on exprimera en fonction de Pe , Pi , χ et D. Vérifier l’homogénéité de
l’équation.
6. En déduire l’expression de a (t). Lors de la croissance de la bulle à la surface du verre
sur son site de naissance pour Pe = 1 bar et Pi = 3 bar, le rayon des bulles croît de a0 =
10−6 m jusqu’à a1 = 10−5 m. Dans ces conditions, K = 4.10−9 m2 .s−1 sachant que D =
3.10−9 m2 .s−1 et χ = 0, 7. Évaluer la durée τ1 de cette phase.
192
CORRIGÉS
7.1 Perturbation sinusoïdale de concentration (d’après ENSAM)
1.
∂c
∂ 2c
=D 2.
∂t
∂x
& '2
# x$
# x$
2π
= −D
2π
f (t) cos 2π
2. Avec la solution proposée :
λ
λ
λ
& '2
df
2π
+ f = 0 où
f (t) = 0, qui s’écrit τ
Cette équation est vraie ∀ x donc f ′ (t) + D
λ
dt
$
#
# t$
2
λ
t
et avec f (0) = c1 : f (t) = c1 exp − .
τ = 2 , et s’intègre en f (t) = µ exp −
4π D
τ
# x$ τ
opère sur
τ est le temps caractéristique de diffusion du sucre dans l’eau. x 9→ cos 2π
λ
une variable adimensionnée et renvoie un nombre adimensionné. Ainsi [λ ] = m. De plus,
[D] = m2 .s−1 . D’où τ est en secondes.
3. On obtient les graphes :
f ′ (t) cos
c
c0
t=0
t = 0, 5 τ
t = 2τ
t→∞
x
7.2 Diffusion dans un milieu infini
∂n
∂ 2n
= D 2 . On calcule :
∂t
∂x
' & 2 '
'
&
&
1
x2
x2
∂n
N0
x
N
√ 0 .
=− √
+
exp
−
exp −
2
3/2
∂t
2 4π D × t
4Dt
4Dt
4Dt
4π Dt
'
&
2x
x2
∂n
N
√ 0 exp −
=−
:
Et avec
∂x
4Dt 4π Dt
4Dt
'
'
&
'
&
&
2x
x2
x2
2x
1
∂ 2n
N0
N0
√
√
−
exp
−
.
exp
−
−
=
−
∂ x2
2Dt 4π Dt
4Dt
4Dt 4π Dt
4Dt
4Dt
1. L’équation de la diffusion est
L’équation de la diffusion est bien vérifiée.
2. Les particules sont initialement autour de x = 0. La densité particulaire s’élargit au cours
du temps et diminue en x = 0 car les particules diffusent latéralement.
193
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
SN0
3. N = √
4π Dt
'
&
x2
1
dx, où on reconnaît l’intégrale de l’énoncé avec α =
:
exp −
4Dt
4Dt
−∞
ˆ
∞
SN0 √
N=√
4π Dt = SN0 = constante.
4π Dt
N représente le nombre total de particules, qui reste une constante à tout instant. Les particules
diffusent, mais leur nombre reste constant.
'
&
5
n (0,t)
1 N0
x2
N0
4. n (x,t) >
> √
exp −
, soit x < 4Dt ln (2). On a
s’écrit √
4Dt
2 4π Dt
4π Dt
5 2
√
donc L = 4Dt ln (2) et l’étendue du phénomène de diffusion est proportionnelle à t.
7.3 Relation d’Einstein et stabilité de l’atmosphère isotherme
N
1. PV = n [mol] RT donc, avec N le nombre total de particule du système, P =
RT =
V NA
'
&
K
J
mgz
.
n m−3 kB T . Ainsi n (z) = n (0) exp −
kB T
2. La densité particulaire n’est pas uniforme, on observe de la diffusion des zones de forte
concentration vers celles de faible concentration :
dn
mgD
# –
#–
n (z) u#–z .
ȷdiff = −D grad(n) = −D u#–z =
dz
kB T
3. Appliquons le principe fondamental à une particule « moyenne » qui représente le moud #–
v
m
d #–
v
= m #–
g − #–
+ #–
v = τ #–
vement collectif des particules : m
v soit τ
g . On reconnaît un
dt
τ
dt
# t$
#– exp − . La solution homogène est négligeable
g+µ
système du premier ordre : #–
v = τ #–
τ
v = τ #–
devant la solution particulière au bout de quelques τ et, en régime permanent #–
g.
#–
#–
#–
4. ȷmig = n (z) v = −n (z) τ guz .
#–
ȷmig = 0 . Ainsi, après simplification par n (z) :
5. L’atmosphère est stable donc #–
ȷ = #–
ȷdiff + #–
mgD
− τg = 0
kB T
soit D =
τ kB T
.
m
7.4 Dépendance du coefficient de diffusion avec la pression et la température
En échelles logarithmiques, une loi de puissance est une droite qu’on peut facilement identifier : ln (D) = ln (A) + α ln (T ) + β ln (P).
La première série de données, à P = 1, 00 bar permet d’effectuer une régression linéaire, avec
un coefficient de corrélation de 0, 998 :
ln (D) = −10, 6 + 1, 57 ln(T )
⇒
A = 2, 40.10−5
et α = 1, 57.
La seconde série de données, avec T = 288 K, permet d’effectuer une régression linéaire,
avec un coefficient de corrélation de −0, 999 :
ln (D) = −1, 74 − 1, 00 ln(P)
194
⇒
β = −1, 00.
Remarque
Et si les données avaient été mesurée pour une pression P0 = 2, 00 bar ? Dans ce cas,
le terme en β ln (P) ne s’annulerait pas, ce qui serait problématique car β n’est pas
& 'α & 'β
T
P
, soit
encore connu. On chercherait alors une loi de la forme D = D0
P0
& '
& '
& 'T0
T
P
P
ln (D) = ln (D0 ) + α ln
+ β ln
: le terme en β ln
s’annulerait pour
T0
P0
P0
P = P0 = 2, 00 bar et seules resteraient les variations avec T .
7.5 Diffusion d’un polluant en présence de vent (d’après Centrale)
∂n
=
1. On démontre l’équation de continuité, dans le cas général, comme dans le cours :
∂t
#–
− div ȷ . Le transport de particules est ici assuré, à la fois par de la diffusion et de la convection : #–
ȷ = #–
ȷ diff + #–
ȷ conv . Avec trois coefficients de diffusion différents suivant les trois axes :
∂ n #–
∂ n #–
∂ n #–
#–
u x − Dy
u y − Dz
uz et #–
ȷ conv = nU u#–x .
ȷ diff = −Dx
∂x
∂y
∂z
&
'
&
'
&
'
∂n
∂
∂n
∂
∂n
∂
∂n
=
−Dx
+ nU +
−Dy
+
−Dz
, qui devient, en multiAlors
∂t
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
pliant cmaque terme par m, masse d’une particule de polluant (car c = nm) :
∂c
∂ 2c
∂ 2c
∂ 2c
∂c
= Dx 2 + D y 2 + D z 2 − U .
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
Cette équation se simplifie car dans la direction (Ox), la convection prédomine sur la diffusion
(dans les autres directions, il n’y a pas de convection). On retrouve le nombre de Péclet :
4
4
4 4
4 ∂ 2c 4 4 ∂ c 4
4Dx
4 ≪ 4U 4 ⇒ Dx c ≪ U c ⇒ Uℓ ≫ 1,
4 ∂ x2 4 4 ∂ x 4
ℓ2
ℓ
Dx
où ℓ est la distance caratéristique de variation de c suivant x.
2. Au niveau du &
sol, z ='0 et dans l’axe du panache, y = 0. Il s’agit donc de tracer c (x, 0, 0) =
qm
H 2U
5
.
exp
4Dz x
2 π x Dy Dz
c
cmax
xmax
x
195
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
3. On voit sur le graphe ci-dessus que le teneur maximale autorisée est dépassée pour cette
H 2U
2qm Dz
5
. Pour ne pas
et cmax =
cheminée. Le maximum est atteint en xmax =
2
4Dz
π H U Dy Dz e
dépasser la concentration maximale autorisée, il faudrait une cheminée de 184 m de hauteur environ. Pour diminuer l’émission de SO2 , on peut mieux diminuer qm ou augmenter
la hauteur H de la cheminée, ce qui revient à étaler autant de polluant sur une plus grande
surface.
7.6 Centrifugeuse (d’après Mines-Ponts)
1. #–
ȷ conv = c #–
v lim = sω 2 rcu#–r .
∂c
=
2. Démonstration classique avec la notation c au lieu de n pour la densité particulaire :
∂t
# –
#–
#–
#–
#–
#–
2
− div ȷ . Or ȷ = ȷ + ȷ
= −D grad(c) + sω rcu . Ainsi :
diff
conv
r
#
$
∂c
# –
+ div sω 2 rc (r,t) u#–r − D gradc (r,t) = 0.
∂t
.
/
∂c 1 ∂
∂c
2 2
+
sω r c − Dr
= 0.
3.
∂t r ∂r
∂r
.
/
1 d
dc
dc
sω 2 r2 c − Dr
= 0 ⇒ sω 2 r2 c − Dr = α (α constante) .
4.
r dr
dr
dr
dc
Déterminons α : j (rm ) = 0 = sω 2 rm c (rm ) − D (rm ), expression dans laquelle on reconnaît
dr
dc
2
2
α à un terme rm près : rm j (rm ) = sω rm c (rm ) − Drm (rm ) = α = 0.
dr
sω 2
dc
sω 2
dc
=
rc donc
=
r dr. Intégrons entre rm et r pour aboutir à : c (r) =
D’où
dr & D
D
'c
2!
"
sω
2
r2 − rm
.
c (rm ) exp
2D
Plus on s’éloigne de l’axe de rotation, plus la concentration augmente. Cet effet est notable
2
attendu les variations en e r qui croît très vite.
7.7 Oxydation du cuivre (d’après ENSAM)
# –
1. #–
ȷd = −D gradC.
2. La diffusion de particules a lieu des zones de forte concentration vers celles de faible
concentration. [D] = m2 .s−1 .
∂C
∂ 2C
= D 2 = 0 en régime indépendant du temps. Alors : C (z) = az + b.
3. Dans l’oxyde,
∂t
∂z
Les conditions aux limites imposent :
8
z
C (0) = C0 = b
⇒ C (z) = C0 + (Ce − C0 ) .
C (e) = Ce = ae + b
e
C0 − Ce #–
∂C
# –
uz .
Puis #–
ȷd = −D grad D = −D u#–z = D
∂z
e
196
C0 − Ce
e2 e20
dt ⇒ e de = γ D (C0 − Ce ) dt ⇒
− = γ D (C0 − Ce )t.
e
2
2
5
Si e (0) = e0 = 0 alors : e (t) = 2γ D (C0 − Ce )t.
5. On trace e2 en fonction de t. Les données sont alignées : la loi est vérifiée.
4. de = γ D
600
!
"
e2 µ m2
400
200
0
6. α =
∆m2
=
t
On passe en
8
0
40
2, 2.10−3 mg2 .h−1
1, 3.10−2 mg2 .h−1
kg2 .s−1
avec :
2, 2.10−3
∆m2
=
t
8
80
120
t (heures)
160
200
à 1138 K,
à 1248 K.
! −6 "2
kg
mg2
−3 10
= 2, 2.10
, et ainsi :
h
3600 s
6, 2.10−13 kg2 .s−1 à 1138 K,
3, 7.10−12 kg2 .s−1 à 1248 K.
'
&
Ea
.
7. La loi d’Arrhénius est : α = A exp −
RT
Supposons que Ea soit indépendante de T entre T1 = 1138 K et T2 = 1248 K. Alors :
'
&
Ea
α1
&
&
''
A exp −
R ln
α1
Ea 1
1
RT1
α2
' = exp −
&
⇒ Ea =
=
−
= 192 kJ.mol−1 .
1
1
Ea
α2
R T1 T2
−
A exp −
T2 T1
RT2
α=
7.8 Taille critique d’une bactérie aérobie (d’après Centrale)
# –
1. En régime indépendant du temps et en projection sur u#–r : jth (M,t) = −D grad(n) donc
dn
j (r) = −D .
dr
2. [D] = m2 .s−1
3. L’établissement
de
&
' l’équation de la diffusion, à connaitre, est présentée à la page 176 :
∂n D ∂
2 ∂n
= 2
r
. En régime indépendant du temps, avec des « d » droits car n ne dépend
∂t
r ∂r
∂&
r
'
d
dn
plus que de r :
r2
= 0.
dr
dr
197
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
4. φ (r) = j (r) S (r) = 4π r2 j (r) .
En régime indépendant du temps, sans terme de création, #–
ȷ est à flux conservatif, donc φ
(flux de #–
ȷ ) se conserve. On le retrouve avec la démonstration de l’équation de la diffusion :
∂n
dt dV = ( j (r) S (r) − j (r + dr) S (r + dr)) dt = (φ (r) − φ (r + dr)) dt.
∂t
0123
0
Donc φ (r) = φ (r + dr), φ ne dépend pas de r.
dn
α
dn α
=
⇒ n (r) = − + β .
5. On intègre l’équation de la diffusion : r2 = α ⇒
dr
dr r2
r
Quand r → ∞, n → NA c0 . Ainsi : β = NA c0 .
φ
dn
.
Et : φ = j (r) S (r) = −D 4π r2 = −4πα D ⇒ α = −
dr
4π D
φ
φ
Finalement : n (r) =
+ NA c0
+ NA c0 .
nR =
4π rD
4π RD
6. Le O2 consommé par la bactérie est apporté par diffusion en r = R. La bactérie consomme
4
pendant dt un nombre de molécules de O2 : dNO2 = NA a π R3 µ dt.
3
La diffusion apporte en r = R pendant dt : dNO2 = − j (R) S (R) dt = φ dt.
Attention ! #–
ȷ est orienté suivant ⊕u#–r . On compte positivement les molécules de O2 qui
s’éloignent de O. D’où le signe moins pour celles qui entrent dans la sphère de rayon R.
4
Ainsi : φ = −a π R3 µ NA .
3
aR2 µ NA
+ NA c0 .
7. On remplace φ : nR = −
3D
La densité particulaire de O2 est d’autant plus faible que la surface de la bactérie est grande.
Plus cette surface est importante, plus la bactérie consomme du O2 , dont la concentration
diminue.
8. La 6
bactérie ne suffoque pas si elle trouve du O2 en r = R : nR " 0. À la limite, nR = 0 donc
3Dc0
= 7, 7 µ m (bon ordre de grandeur). Et :
RC =
aµ
M 7
L7
Dc0
m2 .s−1 mol.m−3
=
=m
(homogène)
aµ
mol.kg−1.s−1 kg.m−3
Si R > RC alors la bactérie est trop grosse pour son milieu. Elle consomme tout le O2 avoisinant, sans que cela soit suffisant. Elle meurt.
dNO2
4
= NA a π RC3 µ = 2, 3.1010 s−1 .
9.
dt
3
7.9 Alimentation en oxygène des organes (d’après Mines)
∂n
n
n
= D∆n s’écrit en ordre de grandeur ∼ D 2 , où τ est le
∂t
τ
ℓ
ℓ2
= 107 s ≈ 4 mois.
temps caratéristique mis par O2 pour diffuser sur une distance ℓ : τ ∼
Deau
1. L’équation de la diffusion
198
La diffusion est beaucoup trop lente pour alimenter les organes en oxygène, qui le sont par la
convection sanguine.
π Ralv
=
2. Le capillaire est en contact avec l’alvéole sur une distance π Ralv et donc : δ ts =
v
0, 3 s.
R2cap
R2
3. τair ∼ alv = 5, 5.10−4 s et τaq ∼
= 0, 1 s. La durée totale de diffusion vaut donc
Dair
Deau
τair + τaq = 0, 1 s < δ ts : l’échange a le temps de s’effectuer.
4. j est un flux molaire surfacique en mol.s−1 .m−2 et C est en mol.m−3 : γ est en m.s−1 .
5. On étudie un cylindre Σ d’épaisseur dz, comprise entre les cotes z et z + dz. Soit n (t) la
quantité de matière de nutriment dans Σ à la date t (attention, n n’est pas ici une densité
particulaire mais une quantité de matière, comme en chimie) : n (t) = C (z) Sdz. En régime
stationnaire, n (t) = n (t + dt). La quantité de matière de nutriment contenue dans Σ varie
donc de dn = 0 pendant dt.
Σ reçoit pendant dt des nutriments en z, à travers une section π R2 , par convection sanguine,
en perd en z + dz, encore à travers une section π R2 et par convection sanguine, en perd à
travers la surface latérale 2π R dz par diffusion vers les organes :
dn = jconv (z) π R2 dt − jconv (z + dz) π R2 dt − j 2π R dz dt.
d jconv 2
π R dt − j 2π R dz dt.
dz
dC
RvS dC
+
= C (z) vS : 0 = −vS π R2 − γ (C (z) − Corg (z)) 2π R, soit :
dz
2γ dz
Au premier ordre en dz : dn = −dz
Attendu que jconv
C (z) = Corg (z).
&
'
z
RvS dC
+ C (z) = K s’intègre en C (z) = K + (C (0) − K) exp −
.
6.
2γ dz
L0
'
&
z
RvS
ln (0, 3) = 1, 7.10−5 m.s−1 . L’or" 0, 3, soit : γ $ −
7. L’inéquation devient exp −
L0
2L
gane ne doit pas trop consommer de nutriment, ou alors doit être alimenté par plusieurs capillaires.
7.10 Bombe nucléaire (d’après Centrale)
1. U 235 possède 235 nucléons (protons et neutrons) donc M = 235 g.mol−1 :
E =
1 kg
NA × 170 MeV = 4, 3.1026 MeV
M
Sachant d’un eV représnte 1, 6.10−19 J : E = 7, 0.1013 J.
7, 0.1013
= 16, 6.103 tonnes. C’est un très puissant explosif !
2. meq =
4, 2.109
a. − div jth est le flux résultant de jth par unité de volume. Il modélise les particules qui
entrent algébriquement dans une unité de volume par unité de temps.
ν −1
n est un terme de création. Il représente le nombre de neutrons créés par unité de voτ
lume et de temps.
199
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 7 – D IFFUSION DE PARTICULES
b. Temps moyen entre la date où le neutron incident est absorbé par le noyau d’uranium
et celle où il fissionne et ν neutrons sont relachés.
c. Un noyau d’uranium qui fissionne absorbe un neutron (−1) et en libère ν . Il y a donc
ν − 1 neutrons à la génération suivante. Donc (ν − 1)n neutrons sont créés par unité de volume en une durée τ . D’où un nombre de neutrons créés par unité de temps et de volume :
(ν − 1)n/τ .
∂n
ν −1
ν −1
ν −1
D ∂2
D d2
= D∆n +
n=
(rn) +
n devient : f g′ = g 2 (r f ) +
f g.
2
∂t
τ
r ∂r
τ
r dr
τ
ν −1
D d2
g′
Divisons par f g ̸= 0 : =
(r f ) +
.
g
r f dr2
τ
Le terme de droite est indépendant de t, celui de gauche de r, l’expression est donc constante :
a.
g′
ν −1
D d2
=
(r f ) +
= a.
2
g
r f dr
τ
Ainsi : g (t) = g0 exp (at). Si a > 0 alors la concentration de neutrons augmente, la réaction
nucléaire diverge, il y a explosion. Si a < 0 alors la concentration en neutrons diminue et
toute réaction s’arrète.
&
'
D d2
ν −1
d2
1 ν −1
b.
(r f ) +
=a ⇒
(r f ) +
− a r f = 0.
r f dr2
τ
dr2
D
τ
c. Les conditions aux limites imposent : ∀t, n (R,t) = f (R) g (t) = 0 ⇒ f (R) = 0.
ν −1
−a :
Trois solution suivant le signe de
τ
ν −1
•
− a > 0 alors : r f (r) = a cos(kr) + b sin (kr). f ne diverge pas quand r → 0. Ainsi :
τ
⎧
a
⎪
lim cos (kr) → ∞
⎨ r→0
r
⇒ a = 0.
b
⎪
⎩ lim sin (kr) = 1
r→0 r
# r$
f0
sin pπ
.
Et : f (R) = 0 donc sin (kR) = 0 soit kR = pπ , p ∈ Z⋆ . Alors : f (r) =
r# $ R
f0
r
.
Comme f (r) ne s’annule pas entre 0 et R, p = 1 et finalement : f (r) = sin π
r
R
ν −1
b
•
− a = 0 alors : r f (r) = ar + b ⇒ f (r) = a + . f ne diverge pas quand r → 0
τ
r
donc b = 0. La CL implique a = 0. Pas de solution.
7 &
'
ν −1
1
ν −1
a−
. f ne
•
− a < 0 alors : r f (r) = a ch (α r) + b sh (α r) où α =
τ
D
τ
diverge pas quand r → 0 donc a = 0. La CL implique b = 0. Pas de solution.
d. Il y a réaction en chaîne
& si a > 0.'La valeur de k a été imposée par la CL à la question
2
π
ν −1
1
− a . a est positif :
précédente : k2 = 2 =
R
D
τ
7
ν − 1 π 2D
π 2 Dτ
= Rc .
− 2 >0 ⇒ R>
a=
τ
R
ν −1
200
4 3
π R = 1, 4.102 kg.
3 c
3. La charge d’uranium est scindée en deux hémisphères sous-critiques. Ils sont projetés l’un
contre l’autre pour former une sphère sur-critique juste avant l’explosion.
e. Rc = 0, 12 m et mC = ρ
7.11 Croissance des bulles de champagne (d’après Centrale)
∂ ! 2 "
r j 4π dt.
∂r
2. En régime stationnaire, le nombre total de particules dans la couronne sphérique est une
dC
constante : δ 2 Ne = 0. Ainsi r2 j est une constante, notée Dβ : r2 j = −r2 D
= Dβ donc
dr
β
C (r) = α + .
r
χ Pi
β
χ Pe
, et : C (a) = α + =
donc
3. Les conditions aux limites imposent : C (∞) = α =
kB T
a
kB T
χ (Pe − Pi ) a
.
β=
kB T
4. Si le nombre de molécules de CO2 varie dans la bulle, c’est que des molécules traversent
l’interface avec le liquide en r = a. Pendant la durée dt :
1. δ 2 Ne = j (r,t) 4π r2 dt − j (r + dr,t) 4π (r + dr)2 dt = −dr
dNg = j (a) 4π a2 dt = −4π Dβ dt
donc
dNg
χ (Pi − Pe ) a
= 4π D
.
dt
kB T
4
5. Le nombre de molécule de CO2 dans la bulle est Ng (t) = π a (t)3 Cg (t). La concentration
3
en CO2 dans la bulle est uniforme ; la pression y vaut Pe et, d’après l’équation d’état des gaz
parfaits, Pe = Cg (t) kB T . Ainsi :
dNg
4π Pe
4
Pe
da
χ (Pi − Pe ) a
donc
=
a (t)2
= 4π D
.
Ng (t) = π a (t)3
3
kB T
dt
kB T
dt
kB T
&
'
da
Pi
= Dχ
Finalement : a (t)
−1 .
dt
Pe
da
est en m2 .s−1 , D en m2 .s−1 , χ et le rapport de pression sont sans unité. La relation est
a
dt
homogène.
& '
%
a (t)2 − a20
d a2
da
=K=
ainsi
= K (t − 0), soit a (t) = a20 + 2Kt. Ainsi τ1 =
6. a (t)
dt
dt 2
2
a21 − a20
= 12, 4 ms.
2K
201
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
8
Le programme de première année de PCSI, qui sert de référence pour celui de PSI, a mis
l’accent sur le contenu physique des principes. Il a distingué les paramètres (T, P,V ) et fonctions d’état (U, S, H) d’une part, et les transferts W et Q d’autre part, de natures physique et
mathématique très différentes. Les principes de la Thermodynamique ont été énoncés sous
une forme qui permet d’exprimer les variations des fonctions d’état(U,H,S,. . . ) entre un état
initial et un état final. Il est parfois possible et souvent fécond de suivre l’évolution de ces
fonctions continûment lors de la transformation. On peut également envisager un système
comme la réunion d’un grand nombre de systèmes élémentaires. Le but de ce chapitre est de
donner les outils pour une écriture mathématiquement rigoureuse de ces approches.
1
1.1
Calcul infinitésimal
Notations d et δ
Il est recommandé de se référer au paragraphe 1 du chapitre 33 à la fin de cet ouvrage pour
une introduction plus systématique à ces notions. Ne sont rappelées ici que les propriétés
principales.
a) Aspects mathématiques
Mathématiquement, si f est une fonction de la variable x, d f représente la différentielle de la
fonction f .
Si f (x) est une fonction d’une variable , alors on note d f = f ′ (x) dx, ou f ′ (x) est la valeur
de la dérivée de f en x.
La notion de différentielle présente surtout un intérêt pour les fonctions de plusieurs variables.
Si f (x, y) est une fonction de deux variables, alors on notera d f = fx′ dx + fy′ dy sa différen-
CHAPITRE 8 – É CRITURE INFINITÉSIMALE DES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE
tielle, où fx′ et fy′ représentent les dérivées partielles respectives de f par rapport à x et y.
Une quantité de la forme Adx + Bdy est appelé forme différentielle. Mais ce n’est pas forcement la différentielle d’une fonction : dans ce cas elle est qualifiée de forme différentielle non
exacte, notée traditionnellement δ g, en physique. Il n’existe alors pas de fonction g, écrire dg
est une faute mathématique.
b) Interprétation physique
À ces concepts mathématiques rigoureux, on peut associer des interprétations intuitives pour
lequel d f et δ g sont considérées comme des quantités infinitésimales (ou élémentaires) :
• d f représente une variation infinitésimale ;
• δ g représente une quantité infinitésimale.
Par exemple, si f (x, y) est une fonction de deux variables, alors l’écriture
d f = fx′ dx + fy′ dy
peut s’interpréter ainsi : à une variation infinitésimale (ou élémentaire) dx de la variable x et
une variation infinitésimale dy de la variable y,correspondent une variation (infinitésimale)
d f de f ;
Remarque
La notion infinitésimal renvoie à la notion de passage à la limite. Pour des variation
même petites mais finies, on préfèrera la notation ∆ :
∆ f ≃ fx′ ∆x + fy′ ∆y
Il n’y a plus égalité dans ce cas.
1.2
Intégration des formes différentielles
Cette différentiation dans l’écriture correspond à des comportements différents vis à vis de
l’intégration.
• On considère une fonction f différentiable et on note d f sa différentielle, dans un espace
de dimension " 1. On considère une courbe continue Γ reliant deux points A et B, que l’on
appellera, dans une vision géométrique, un chemin.
ˆ
ˆ B
L’intégrale de d f sur Γ, notée d f ou
d f , vérifie
Γ
A
ˆ
B
A
d f = f (B) − f (A) .
Elle ne dépend pas du chemin suivi, uniquement des points de départ et d’arrivée. elle
représente la variation de f entre A et B, notée parfois ∆AB f .
ˆ
• Soit δ g une forme différentielle. L’intégrale de δ g sur Γ est notée gΓ = δ g. Elle dépend
en général du chemin suivi.
204
Γ
C ALCUL INFINITÉSIMAL
C’est cette différence profonde de nature mathématique qui requiert de bien distinguer, en
particulier dans l’élaboration des modèles physiques, les quantités infinitésimales qui sont
des variations de celles qui ne le sont pas.
1.3
Exemples
Quelques exemples simples pour fixer ces notations délicates.
a) Masse : dm et δ m
On considère un récipient contenant un liquide qui s’évapore progressivement :
Variation globale : (Figure 8.1) entre deux instants t1 et t2 > t1 , la masse dans le récipient
a varié de m1 à m2 . La variation de masse entre ces deux instants est notée ∆m = m2 − m1 .
Elle est négative car il s’agit d’une diminution.
m1
m2
système à t1
système à t2
Figure 8.1 – Transformation entre deux instants t1 et t2 .
Variation infinitésimale : (Figure 8.2) on considère maintenant la même transformation,
suivie dans le temps. On note m (t) la masse contenue dans le récipient à l’instant t.
m(t)
système à t
m(t+dt) = m(t) + dm
système à t+dt
Figure 8.2 – Transformation infinitésimale.
Pendant la durée infinitésimale dt, c’est à dire entre les instants t et t + dt, la masse dans le
récipient a varié de m(t) à m(t + dt). La variation infinitésimale de masse entre ces deux
instants est notée dm = m(t + dt) − m(t).
205
CHAPITRE 8 – É CRITURE INFINITÉSIMALE DES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE
Remarque
Même si les quantités sont infinitésimales, on exagère toujours leur taille sur les schémas. Mais ils ne faut pas perdre de vue que les relations que l’on en déduit ne sont
rigoureuses qu’à la limite ou ces quantités tendent vers 0.
Systèmes infinitésimaux : (Figure 8.3) on considère un système non uniforme délimité par
un cylindre de section S, dont les propriétés (masse volumique µ (x), température T (x), . . . )
varient suivant l’abscisse x. Pour étudier ce système, on le décompose en tranches infinitésimales. La tranche comprise entre les abscisses x et x + dx par exemple possède un volume
élémentaire δ V = base × hauteur = S × dx, et donc une masse infinitésimale que l’on notera
δ m = µ (x) δ V . δ m et δ V ne représentent pas des variations ici : les fonctions V (x) et m (x)
ne sont pas définies à priori, d’où la notation δ .
S
x x+dx
Figure 8.3 – Un système infinitésimal.
Remarque
On rencontre également souvent les notations dℓ, dS et dV pour des longueur, surface et
volume élémentaires, en contradiction avec les notations ci-dessus.
ˆ En particulier, dans
la tradition mathématique, une intégrale sur un chemin se note A dℓ, les intégrales
˚ Γ
¨
B dS et
C dτ . Il faut donc être
de surface et de volume se notent respectivement
S
V
pragmatique et s’adapter aux notations liées à la sensibilité de l’auteur.
b) Travail des forces de pression
Comme vu en première année, le travail n’est pas une fonction (d’état). Pour un système de
volume V , soumis à une pression extérieure Pext uniforme, le travail (quantité élémentaire)
des forces de pression est lié à la variation de volume dV (variation élémentaire) par :
δ W = −Pext dV.
206
É CRITURE DES PRINCIPES SOUS FORME INFINITÉSIMALE
2
Écriture des principes sous forme infinitésimale
2.1
Premier principe
a) Rappel
En première année, l’énergie d’un système a été définie par E = U + Ec somme de son énergie interne et de son énergie cinétique macroscopique, qui sont deux fonctions d’état (on
n’envisage pas d’énergie potentielle à ce stade).
Le premier principe stipule alors qu’au cours d’une transformation entre deux états, la variation de son énergie est donnée par :
∆E = W + Q,
où W et Q représentent respectivement le travail et le transfert thermique.
b) Énoncé du Premier Principe pour une transformation infinitésimale
Au cours d’une transformation infinitésimale, autrement dit entre deux états infiniment voisins, le premier principe deviendra naturellement :
dE = dU + dEc = δ W + δ Q,
puisque U, Ec et E sont des fonctions d’état, tandis que W et Q n’en sont pas.
Cette formulation plus souple que la forme vue en première année permet d’aborder des
transformations plus complexes. Elle sera utilisée dans les chapitres suivants.
Exemple
On considère une mole de gaz parfait qui passe de l’état A caractérisé par les variables
(P0 , T0 ,V0 ) à l’état B (2P0 , T0 ,V0 /2). On envisage deux modes opératoires (transformations) pour y arriver, et on supposera l’équilibre mécanique réalisé à chaque instant
(P = Pext ) :
C : 2P0 ,V0 , 2T0
A : P0 ,V0 , T0
isoba
re
ore
isoch
isoba
re
D:
P0 , V20 , T20
ore
isoch
B : 2P0 , V20 , T0
Figure 8.4 – Deux transformations différentes conduisant au même état final.
On se propose de calculer pour ces transformations la variation d’énergie interne, le
travail et le transfert thermique reçus par le système.
U est une fonction d’état, sa variation ne dépend que de l’état final et de l’état initial.
∆U = U(B)−U(A). En vertu de la première loi de Joule, U ne dépend que de T . Comme
207
CHAPITRE 8 – É CRITURE INFINITÉSIMALE DES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE
TA = TB , on en déduit que ∆U = 0.
Le travail, lui dépend de la transformation, ce n’est pas une fonction d’état. Il n’y a pas
de travail associé aux états A et B. Le travail WA→B ne peut en général se calculer que
comme la somme des travaux reçu à chaque étape infinitésimale de la transformation :
• en passant par l’état C :
ˆ
ˆ
ˆ
WACB =
−PdV =
−PdV +
−PdV = 0 − 2P0(V0 /2 − V0) = P0V0 ;
ACB
AC
• en passant par l’état D :
ˆ
ˆ
WADB =
−PdV =
ADB
AD
CB
−PdV +
ˆ
DB
−PdV = −P0 (V0 /2 − V0) + 0 = P0V0 /2.
Finalement WADB < WACB . Le travail fourni au système dépend bien de la transformation envisagée. On constate ici que les transformations à basse température sont moins
couteuses en travail, ce qui est assez général.
En utilisant le premier principe, on en déduit immédiatement QACB = 2QADB = −P0V0 .
2.2
Deuxième principe
a) Rappel
Également abordé en première année, le second principe stipule l’existence d’une fonction
d’état extensive S appelée entropie, telle que sa variation entre deux états soit donnée par :
∆S = Se + Sc ,
où :
• Se représente l’entropie échangée. Pour un système n’échangeant qu’avec une thermostat
Q
à la température T0 (transformation monotherme), Se =
;
T0
• Sc représente l’entropie créée. Sc " 0.
Le deuxième principe distingue les transformations réversibles, définies par Sc = 0, des transformations irréversibles, pour lesquelles Sc > 0.
Ni Se ni Sc ne sont des fonctions d’état.
b) Énoncé du Second Principe pour une transformation infinitésimale
On en déduit naturellement :
dS = δ Se + δ Sc
avec δ Se =
δQ
et δ Sc " 0.
T0
Exemple
On considère les mêmes transformations que celle du paragraphe précédent, en supposant de plus que les transformations sont pilotées par la température : pour amener le
208
É CRITURE DES PRINCIPES SOUS FORME INFINITÉSIMALE
système dans l’état E, on le place en contact avec un thermostat à la température TE . Le
gaz est supposé diatomique de cœfficient adiabatique γ = 1, 4 ; et on précise que un gaz
R
ln (PV γ ) .
parfait S =
γ −1
On cherche à calculer, pour chaque transformation, ∆S, Se et Sc .
La première chose à faire est bien sûr ici de calculer ∆S qui ne dépend pas de la transformation, puisque S est une fonction d’état.
&
γ'
PBVB
R
∆S = S(B) − S(A) =
ln
= −R ln 2.
γ
γ −1
PAVA
Par contre Se dépend du chemin suivi : on décompose donc SeACB en SeAC + SeCB , et
SeADB en SeAD + SeDB . D’où :
SeACB =
δQ
+
AC 2T0
R 1 − 2γ
δ Q QAC QCB Cv T0 C p T0
,
=
+
=
−
=
2T0
T0
2T0
T0
2 γ −1
CB T0
ˆ
ˆ
et :
δQ
SeADB =
+
AD T0
2
ˆ
T0
T0
Cp
Cv
δ Q QAC QCB
2
2 = R 1 − 2γ .
=
=−
+
+
T0
T0
T0
T0
2 γ −1
DB T0
2
2
ˆ
Les deux transformations ont la même entropie d’échange, ce qui n’est pas un fait général.
Puis on utilise le second principe pour en déduire Sc :
'
&
1 2γ − 1
> 0.
Sc = ∆S − Se = R − ln 2 +
2 γ −1
Les réactions sont comme prévu irréversibles, puisque l’on met en contact deux corps à
des températures différentes.
En conclusion de ce chapitre, l’utilisation rigoureuse des notations d et δ permet de distinguer
des quantités physiques de nature mathématique différente. Leur utilisation à bon escient est
une garantie d’une bonne mise en équation des problèmes, et facilite leur résolution.
209
CHAPITRE 8 – É CRITURE INFINITÉSIMALE DES PRINCIPES DE LA THERMODYNAMIQUE
SYNTHÈSE
SAVOIRS
• énoncer les principes de la thermodynamique pour une transformation élémentaire
• premier principe dU + dEC = δ W + δ Q
• deuxième principe dS = δ Se + δ Sc
δQ
• δ Se =
pour une évolution monotherme
T0
SAVOIR-FAIRE
• exploiter les principes de la thermodynamique pour une transformation élémentaire
• utiliser avec rigueur les notations d et δ en leur attachant une signification
MOTS-CLÉS
• premier principe
• deuxième principe
210
• transformation
élémentaire
9
Les phénomènes de conduction thermique décrivent les échanges d’énergie qu’on appelle,
dans le langage commun, la chaleur. On en propose dans ce chapitre une mise en équation,
pour aboutir à des applications concrètes comme la thermique des bâtiments.
1
1.1
Mise en évidence expérimentale
Expérience
cire
Zn
Al
Cu
État initial
Paroi chauffée
Paroi chauffée
Trois tiges métalliques sont enrobées d’une mince couche de cire. Elles sont placées dans
l’air ambiant et attachées par une extrémité au contact d’un paroi chauffée à une température
supérieure à la température de fusion de la cire. Alors que la cire était identiquement répartie
sur les tiges à l’instant initial, on observe que, quelques minutes après, dans l’état final, la
cire a fondu de manière différente suivant le métal.
Zn
Al
Cu
État final
Figure 9.1 – Mise en évidence expérimentale de la diffusion thermique.
Qu’en déduire ?
• La cire fond car la tige dépasse la température de fusion de celle-là. Ainsi la température
dans la tige varie au cours du temps ; elle est plus grande dans la zone proche de la paroi
chauffée, plus faible à l’autre extrémité.
• La cire fond car de l’énergie lui est fournie. On observe donc un transfert d’énergie des
zones de plus forte température (ici la paroi chauffée) vers celles de plus faible température
(ici l’autre extrémité des tiges).
• Certains métaux s’opposent plus que d’autres au passage de l’énergie thermique ; ils lui
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
« résistent » plus.
1.2
Les trois modes de transport de l’énergie
L’expérience du paragraphe précédent illustre le phénomène de diffusion thermique. L’énergie progresse de proche en proche, des zones de forte température vers celles de faible température, dans un milieu macroscopiquement immobile.
Mais ce mode de transport d’énergie n’est pas unique.
On parle de convection thermique lorsqu’un fluide, gaz ou liquide, est en mouvement et
transporte de l’énergie avec lui. C’est la cas par exemple de l’air du sèche-cheveux, du courant
d’air chaud et humide qui sort des bouches de métro en hiver, du courant marin nommé Gulf
Stream.
Le troisième et dernier transport d’énergie est celui par rayonnement. Une onde électromagnétique se propage et transporte de l’énergie, modélisé par le vecteur de Poynting dans
le chapitre sur les ondes électromagnétiques. Ce sont par exemple les ondes infra-rouge du
spectre lumineux, issues directement du Soleil ou des braises d’un feu.
La diffusion thermique est un déplacement d’énergie de proche en proche dans un milieu macroscopiquement au repos.
2
Flux d’énergie
2.1
Flux thermique
Dans le cas de l’expérience décrite à la figure 9.1, de l’énergie se déplace de la gauche vers la
droite. Le phénomène est alors modélisé par un vecteur #–
ȷth , nommé vecteur densité de courant thermique, dont la direction est celle du déplacement de proche en proche de l’énergie,
et dont la norme est d’autant plus grande que la quantité d’énergie déplacée est grande.
Le vecteur densité de courant
thermique est défini par l’énergie élémentaire δ E qui traverse
une surface orientée d’aire dS
pendant la durée dt :
#–
δ E = #–
ȷth · dS dt.
#–
dS
#–
ȷ
Figure 9.2 – Énergie δ E qui traverse la surface
d’aire dS pendant dt .
Remarque
On rencontre aussi la notation δ 2 E car cette énergie est le produit de deux infiniment
petits, dS et dt, au aussi δ 3 E en considérant que d2 S est un infiniment petit du deuxième
ordre.
Quelles sont les unités du vecteur densité de courant thermique ? Attendu que δ E est en J, dS
en m2 et dt en s, #–
ȷth s’exprime en J.s−1 .m−2 , c’est-à-dire en W.m−2 . Il représente donc une
puissance thermique surfacique. On en déduit que la puissance élémentaire δ P qui traverse
212
FLUX D ’ÉNERGIE
#–
une surface orientée d’aire dS est δ P = #–
ȷth · dS. Cette puissance élémentaire, qui s’exprime
en W, est aussi nommée flux thermique et notée dϕ .
Le vecteur densité de courant thermique #–
ȷth s’exprime en W.m−2 et le flux thermique
ϕ qui traverse une surface S , s’exprime en W et vaut :
¨
#–
#–
ϕ=
ȷth · dS.
S
2.2
Loi de Fourier
L’observation expérimentale de la diffusion thermique, des zones de forte température vers
celles de faible température, avec un flux thermique d’autant plus grand que le déséquilibre
est grand, conduit à introduire une loi phénoménologique analogue à la loi de Fick, la loi de
Fourier 1 :
# –
#–
ȷ = −λ gradT,
th
où λ est un coefficient de proportionnalité nommé conductivité thermique.
# –
Quelles sont les unités de la conductivité thermique λ ? Attendu que T est en K, gradT est en
K.m−1 ; #–
ȷth en W.m−2 et donc λ est en W.m−1 .K−1 . Sa valeur dépend du matériau considéré
(toutes les mesures ont été réalisées à 25◦ C) :
λ
!
espèce
W.m−1 .K−1
Pour des solides :
λ
!
espèce
W.m−1 .K−1
λ
Remarque
!
"
espèce
W.m−1 .K
"
air (g)
H2 (g)
eau (ℓ)
éthanol(ℓ)
2, 6.10−2
1, 9.10−1
6, 1.10−1
1, 7.10−1
polystyrène expansé
3, 9.10−3
"
−1
bois
1, 5.10−1
à
verre
4, 5.10−1
0, 6 à 2
glace à 0◦ C
béton
acier
Al
Cu
2, 4
9, 2.10−1
16
237
401
La valeur de la conductivité thermique des gaz et des liquides dépend de la température.
Elle augmente avec T pour les gaz alors qu’elle diminue avec T pour les liquides.
Toutefois, cette dépendance sera négligée dans ce cours afin de simplifier cette première
approche du phénomène de diffusion.
1. Joseph Fourier, 1768 − 1830, élève à l’École Normale Supérieure, professeur à l’École Polytechnique, participa à la campagne d’Égypte de Napoléon Bonaparte puis fut préfet de l’Isère, où, en parallèle de son travail
administratif, il étudia la diffusion thermique pour laquelle il introduisit les séries trigonométriques qui portent son
nom. Historiquement, Fick s’inspira de la loi de Fourier pour formuler la loi de Fick.
213
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
3
Équilibre thermodynamique local
Il n’y a de diffusion thermique dans un système que si la température n’est pas uniforme.
Le système considéré n’est donc pas à l’équilibre thermodynamique. Afin d’y manipuler
la concept de température, on divise le système en un très grand nombre de sous-systèmes
de volume dτ , suffisamment petits pour considérér que la température y est uniforme. On
introduit alors le champ de température T (M,t), qui est la valeur de le température dans le
sous-système centré sur le point M à la date t.
On définit de même l’énergie interne d’un sous-système comme le produit de sa masse ρ dτ ,
où ρ est la masse volumique, par l’énergie interne massique u (M,t), en J.kg−1 .
Remarque
On pourrait aussi définir l’énergie interne volumique uv (M,t). L’énergie interne d’un
sous-système de volume dτ serait alors uv (M,t) dτ .
4
4.1
Équation de la diffusion thermique
Géométrie cartésienne
On considère un corps immobile dont la température dépend du temps et d’une unique coordonnée cartésienne d’espace, notée x. Le champ de température dans ce corps est T (x,t).
Attendu que la température n’est pas uniforme, on observe un transport d’énergie modélisé
∂ T #–
par la loi de Fourier et le vecteur densité de courant thermique #–
ȷth = −λ
ux .
∂x
On cherche à obtenir une équation qui relie l’énergie interne volumique au vecteur densité de
courant thermique, nommée équation de continuité, puis une équation aux dérivées partielles
sur le champ de température, nommée équation de la diffusion thermique.
On isole par la pensée un cylindre de section S et de hauteur dx, de volume dτ = Sdx, immobile et indéformable, comme indiqué sur la figure 9.3. On définit le système Σ, constitué par
la matière que contient ce cylindre.
#–
ȷth (x,t)
S
#–
ȷth (x + dx,t)
x
x + dx
x
Figure 9.3 – Transport d’énergie en géométrie cartésienne.
Équation de continuité On applique le premier principe au système Σ entre les dates t et
t + dt :
dU + dEC = 0123
δ W + δ Q.
0123
0
0
Attendu que Σ reste immobile, son énergie cinétique est nulle. De plus, on considère que le
système reste indéformable, de volume constant ; ainsi δ W = −Pext dV = 0 car dV = 0.
214
É QUATION DE LA DIFFUSION THERMIQUE
En notant u (x,t) l’énergie interne massique et ρ sa masse volumique, l’énergie interne de Σ
est :
U (t) = u (x,t) ρ dτ .
La variation d’énergie interne de Σ entre t et t + dt est alors, au premier ordre en dt :
dU = U (t + dt) − U (t) = (u (x,t + dt) − u (x,t)) ρ dτ = dt ρ
∂u
dτ .
∂t
Σ reçoit un transfert thermique en x et en perd en x + dx. D’après le paragraphe 2.1 :
δ Q = ϕ (x,t) dt − ϕ (x + dx,t)dt = ( jth (x,t) − jth (x + dx,t)) Sdt
0 12 3 0
12
3
reçu en x
= dx
perdu en x + dx
∂ jth
Sdt au premier ordre en dx.
∂x
On en déduit l’équation de continuité, ou équation locale de conservation de l’énergie :
dt ρ
∂ jth
∂u
Sdx = dx
Sdt
∂t
∂x
soit
ρ
∂ jth
∂u
=−
.
∂t
∂x
Remarque
Attendu l’analogie du formalisme, les trois observations effectuées dans le chapitre que
la diffusion de particules, à la page 171, sont encore pertinentes.
Équation de la diffusion thermique L’énergie interne massique et la température sont
liées par la capacité thermique massique à volume constant, cv pour un gaz parfait (ce lien
constitue la première loi de Joule pour un gaz parfait), notée c pour une phase condensée (car
les capacités thermiques à volume constant ou pression constante sont quasiment identiques
pour une phase condensée) :
du = cv dT
soit
∂u
∂T
= cv
.
∂t
∂t
D’après la loi de Fourier :
∂ T #–
# –
#–
ȷth = −λ grad T = −λ
ux soit
∂x
jth = −λ
∂T
.
∂x
L’équation de continuité devient :
ρ cv
&
'
∂T
∂
∂T
=−
−λ
.
∂t
∂x
∂x
La conductivité thermique λ est une constante indépendante de x. On obtient ainsi l’équation
de la diffusion thermique :
ρ cv
∂T
∂ 2T
=λ 2 .
∂t
∂x
215
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
λ
, afin que l’équation de la diffusion therρ cv
mique ait une forme rigoureusement analogue à celle de la diffusion de particules :
On introduit la diffusivité thermique Dth =
∂T
∂ 2T
= Dth 2 .
∂t
∂x
∂T
∂ 2T
est en K.s−1 et
en K.m−2 , Dth s’ex∂t
∂ x2
prime en m2 .s−1 , comme le coefficient de diffusion dans le cas de la diffusion particulaire.
Quelles sont les unités de Dth ? Attendu que
4.2
Terme source
Dans la démonstration du paragraphe précédent, le système Σ ne recevait de l’énergie sous
forme de transfert thermique que sur ses frontières en x et x + dx. Il faut tenir compte des
cas où le système est chauffé, ou refroidi, par une production d’énergie in situ. On introduit
alors la puissance volumique Pv créée à l’intérieur du système, en W.m−3 . Les cas les plus
classiques sont :
• le chauffage par effet Joule dans la cas d’un matériau conducteur de l’électricité, pour lej2
quel on établit en électromagnétisme Pv = élec , où #–
ȷ élec est le vecteur densité de courant
γ
électrique et γ la conductivité électrique ;
• le chauffage, respectivement le refroidissement, par une réaction chimique exothermique,
respectivement endothermique ;
• le chauffage par désintégration radioactive d’un matériau nucléaire ;
• le chauffage par absorption d’une onde électromagnétique ;
• le chauffage par un processus biologique, par exemple la fermentation.
On reprend le système Σ étudié au paragraphe précédent, pour lequel le transfert thermique
total reçu par le système est modifié : pendant le durée dt, Σ reçoit l’énergie jth (x,t) Sdt en
x, perd l’énergie jth (x + dx,t)Sdt en x + dx et reçoit l’énergie Pv dτ dt dans tout son volume
dτ = Sdx. Ainsi, au premier ordre en dx :
δ Q = ( jth (x,t) − jth (x + dx,t)) Sdt + Pv Sdx dt
∂ jth
Sdt + Pv Sdx dt.
= −dx
∂x
Dès lors, le premier principe, appliqué au système Σ entre les dates t et t + dt, devient :
dt ρ
∂ jth
∂u
Sdx = −dx
Sdt + Pv Sdx dt,
∂t
∂x
soit
ρ
∂ jth
∂u
=−
+ Pv .
∂t
∂t
Puis, avec le lien entre l’énergie interne massique et le température, ainsi que la loi de Fourier :
ρ cv
216
∂T
∂ 2T
= λ 2 + Pv
∂t
∂x
ou
∂T
∂ 2 T Pv
= Dth 2 +
.
∂t
∂x
ρ cv
É QUATION DE LA DIFFUSION THERMIQUE
4.3
Géométrie cylindrique
On considère un dispositif pour lequel le champ de température admet une invariance par
translation et rotation autour d’un axe (Oz) ; il ne dépend que du temps et de la variable r des
coordonnées cylindriques : T (r,t).
z
On prend en compte une éventuelle puissance volumique Pv créée à l’intérieur du système. On prenr
dra Pv = 0 en cas d’absence de terme source.
On établit l’équation de continuité puis l’équation
r + dr
de la diffusion thermique en choisissant comme
système Σ la matière contenue dans une couronne
ℓ
cylindrique de hauteur ℓ, comprise entre les rayons
#–
ȷth = jth u#–r
r et r + dr, de volume dτ = 2π r dr ℓ (calculé page
#–
uz
174), représenté figure 9.4. Σ est immobile et indé#–
u θ (M)
formable. D’après la loi de Fourier, le vecteur densité de courant thermique est porté le vecteur de
M u#–r (M)
∂ T #–
# –
#–
#–
base ur : ȷth = −λ grad T = −λ
ur .
∂r
Figure 9.4 – Transport d’énergie en
géométrie cylindrique
Remarque
Attendu que jth est une grandeur algébrique, c’est-à-dire qu’elle peut être positive
comme négative, la démonstration reste inchangée quelle que soit le sens du transfert
thermique, du centre vers la périphérie ou l’opposé.
Équation de continuité Le système Σ est immobile (dEC = 0) et indéformable (δ W = 0) ;
on lui applique le premier principe entre les dates t et t + dt :
dU + dEC = 0123
δ W + δ Q.
0123
0
0
Le calcul de dU est identique à celui du paragraphe 4.1 :
dU = ρ cv
∂T
dt dτ .
∂t
Σ reçoit un transfert thermique en r, à travers le cylindre intérieur de surface 2π r ℓ et en
perd en r + dr, à travers le cylindre extérieur de surface 2π (r + dr) ℓ et reçoit éventuellement
l’énergie Pv dτ dt à l’intérieur de son volume dτ . D’après le paragraphe 2.1 :
δ Q = ϕ (r,t) dt − ϕ (r + dr,t) dt + Pv dτ dt
0 12 3 0
12
3 0 12 3
reçu en r
perdu en r + dr terme source
= jth (r,t) 2π r ℓ dt − jth (r + dr,t)2π (r + dr) ℓ dt. + Pv dτ dt.
Cette expression est développée au premier ordre en dr, comme à la page 175 :
δ Q = −2π ℓ dr
∂
(r jth ) dt + Pv 2π rℓdr dt.
∂r
217
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
Dès lors, le premier principe, appliqué au système Σ entre les dates t et t + dt, devient :
ρ cv
∂T
∂
dt 2π rℓdr = 2π ℓ dr (r jth ) dt + Pv 2π rℓdr dt,
∂t
∂r
soit :
ρ cv
∂T
1 ∂
=−
(r jth ) + Pv .
∂t
r ∂r
Équation de la diffusion thermique La diffusion thermique est décrite par la loi de Fouλ
∂T
rier, ainsi jth = −λ
et, avec la diffusivité thermique Dth =
:
∂r
ρ cv
&
'
∂T
1 ∂
∂T
=−
−rλ
+ Pv
ρ cv
∂t
r ∂r
∂r
4.4
soit
&
'
∂T
∂T
Dth ∂
Pv
=
r
+
.
∂t
r ∂r
∂r
ρ cv
Géométrie sphérique
On considère un dispositif pour lequel le champ de température admet une invariance par
rotation autour d’un point O ; il ne dépend que du temps et de la variable r des coordonnées
sphériques : T (r,t).
On prend en compte une éventuelle puissance volumique Pv créée à l’intérieur du système.
On prendra Pv = 0 en cas d’absence de terme source.
On établit l’équation de continuité puis l’équation de la diffusion thermique en choisissant
comme système Σ la matière contenue dans une couronne sphérique comprise entre les rayons
r et r + dr, de volume dτ = 4π r2 dr (calculé page 176), représenté figure 9.5. Σ est immobile
et indéformable. D’après la loi de Fourier, le vecteur densité de courant thermique est porté
∂ T #–
# –
par le vecteur de base u#–r : #–
ur .
ȷth = −λ grad T = −λ
∂r
Remarque
O
M
#–
ȷth (M,t) =
jth (r,t) u#–r (M)
r+
r
Attendu que jth est une grandeur
algébrique, c’est-à-dire qu’elle peut
être positive comme négative, la démonstration reste inchangée quelle
que soit la direction du transfert thermique, du centre vers la périphérie
ou l’opposé.
dr
Figure 9.5 – Transport d’énergie
en géométrie spherique.
Équation de continuité Le système Σ est immobile (dEC = 0) et indéformable (δ W = 0) ;
on lui applique le premier principe entre les dates t et t + dt :
dU + dEC = 0123
δ W + δ Q.
0123
0
218
0
É QUATION DE LA DIFFUSION THERMIQUE
Le calcul de dU est identique à celui du paragraphe 4.1 :
dU = ρ cv
∂T
dt dτ .
∂t
Σ reçoit un transfert thermique en r, à travers la sphère intérieure de surface 4π r2 et en perd en
r + dr, à travers la sphère extérieure de surface 4π (r + dr)2 et reçoit éventuellement l’énergie
Pv dτ dt à l’intérieur de son volume dτ . D’après le paragraphe 2.1 :
δ Q = ϕ (r,t) dt − ϕ (r + dr,t) dt + Pv dτ dt
0 12 3 0
12
3 0 12 3
reçu en r
perdu en r + dr terme source
= jth (r,t) 4π r2 dt − jth (r + dr,t) 4π (r + dr)2 dt. + Pv dτ dt.
Cette expression est développée au premier ordre en dr, comme à la page 177 :
∂ ! 2 "
r jth dt + Pv 4π r2 dr dt.
δ Q = −4π dr
∂r
Dès lors, le premier principe, appliqué au système Σ entre les dates t et t + dt, devient :
∂T
∂ ! 2 "
dt 4π r2dr = 4π dr
r jth dt + Pv 4π r2 dr dt,
ρ cv
∂t
∂r
soit :
∂T
1 ∂ ! 2 "
=− 2
r jth + Pv .
ρ cv
∂t
r ∂r
Équation de la diffusion thermique La diffusion thermique est décrite par la loi de Fou∂T
λ
et, avec la diffusivité thermique Dth =
rier, ainsi jth = −λ
:
∂r
ρ cv
&
'
&
'
∂T
∂T
∂T
1 ∂
Dth ∂
Pv
∂T
=− 2
−r2 λ
+ Pv soit
= 2
r2
+
ρ cv
.
∂t
r ∂r
∂r
∂t
r ∂r
∂r
ρ cv
4.5
Généralisation
On étudie un système fermé Σ, immobile et indéformable, constitué de la matière contenue
dans de volume V , de surface S. Le premier principe, appliqué à Σ entre les dates t et t + dt,
mène à :
8
dEC = 0 (Σ immobile),
dU + dEC = δ W + δ Q où
δ W = 0 (Σ indéformable).
Soit U (t) l’énergie du système à la date t :
˚
u (M,t) ρ dτ ,
U (t) =
V
#–
dSext (M)
M
S
V
Figure 9.6 – Transport d’énergie
en géométrie quelconque.
219
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
et U (t + dt) celle à la date t + dt :
U (t + dt) =
˚
V
u (M,t + dt) ρ dτ .
U varie de dU pendant dt :
˚
dU = U (t + dt) − U (t) =
(u (M,t + dt) − u (M,t)) ρ dτ
V
˚
∂u
(M,t) ρ dτ au premier ordre en dt.
=
dt
∂t
V
Le système reçoit pendant dt un transfert thermique sur sa frontière et in situ :
"
˚
#–
#–
δQ = −
Pv dτ dt.
ȷth · dSext dt +
S
!
V
Le signe moins devant l’intégrale double est indispensable pour respecter les conventions
#–
thermodynamiques : dSext est dirigé vers l’extérieur, alors que le transfert thermique est
compté positivement lorsqu’il entre dans le volume, c’est-à-dire lorsqu’il est dirigé suivant
#–
−dSext .
• si #–
ȷth est orienté vers l’extérieur de Σ, alors le système perd de l’énergie et δ Q est négatif ;
#–
ȷth · dSext est alors positif, il faut donc ajouter un signe moins ;
or #–
#–
• si ȷth est orienté vers l’intérieur de Σ, alors le système gagne de l’énergie et δ Q est positif ;
#–
ȷth · dSext est alors négatif, il faut donc ajouter un signe moins.
or #–
Avec le théorème d’Ostrogradski :
˚
˚
δQ = −
div ( #–
ȷth ) dτ dt +
Pv dτ dt.
V
V
Le premier principe devient donc :
˚
˚
∂u
(M,t) ρ dτ =
dt
(− div ( #–
ȷth ) + Pv ) dτ dt.
∂t
V
V
Attendu que cette égalité est vraie pour tout volume V , il y a égalité entre les fonctions
intégrées et on obtient l’équation de continuité :
ρ
∂u
= − div ( #–
ȷth ) + Pv .
∂t
∂u
∂T
= cv
; le phénomène de diffusion est décrit
Le système évolue à volume constant donc
∂t
∂t
# –
#–
par la loi de Fourier ȷth = −λ grad T :
#
∂T
# – $
= − div −λ grad T + Pv .
ρ cv
∂t
220
C ONDITIONS AUX LIMITES
# –
Attendu que div gradT = ∆T , on obtient l’équation de la diffusion thermique :
ρ cv
4.6
∂T
= λ ∆T + Pv
∂t
ou
∂T
Pv
= Dth ∆T +
.
∂t
ρ cv
Analyse en ordre de grandeur
On considère un corps de température initiale uniforme. Un phénomène de diffusion thermique débute à une date origine et a comme source un point O, par exemple un morceau de
métal plongé dans une flamme. Au bout de combien de temps l’expérimentateur qui tient le
métal sent-il la température augmenter ?
On répond à cette question en ordre de grandeur. La méthode est identique à celle proposée
pour la diffusion de particules, page 180.
Soit ℓ la distance entre la flamme et la main et τ l’ordre de grandeur de la durée nécessaire
au phénomène de diffusion de parcourir cette distance. En ordre de grandeur, l’équation de la
∂T
diffusion thermique
= Dth ∆T devient :
∂t
T
T
∼ Dth 2
τ
ℓ
soit
On retrouve :
ℓ∼
5
Dth τ
ou τ ∼
ℓ2
.
Dth
La distance parcourue par un phénomène de diffusion est proportionnel à la racine
carrée du temps écoulé.
Exemple
Pour un couteau de cuisine d’une longueur ℓ ∼ 10 cm, en acier de diffusivité thermique
Dth ∼ 2.10−5 m2 .s−1 , l’expérimentateur ressent l’augmentation de température au bout
d’une durée τ ∼ 5.102 s soit environ 8 minutes.
4.7
Irréversibilité
L’équation de la diffusion thermique est totalement analogue à celle de la diffusion de particules. Elle n’est pas invariante par renversement du temps.
Un phénomène de diffusion thermique est irréversible. Il s’accompagne donc d’une
production d’entropie.
5
Conditions aux limites
L’équation de la diffusion thermique est une équation aux dérivées partielles du deuxième
ordre selon les variables d’espace. Elle requiert donc, pour être résolue, deux données spatiales, en général sur les frontières du système étudié, nommées conditions aux limites. Elles
sont de deux sortes, sur le vecteur densité de courant thermique ou sur la température.
221
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
5.1
Continuité du flux thermique
On considère deux milieux différents, 1 et 2, dont on représente les molécules qui les composent sur la figure 9.7. Un transfert thermique s’observe entre les deux milieux. L’interface
qui les sépare est une surface mathématique, d’épaisseur nulle, qui ne peut donc stocker aucune énergie. Toute la puissance
! " qui quitte le milieu 1 se retrouve donc
! dans
" le milieu 2.
+
Ainsi, le flux thermique ϕ x−
0 dans le milieu 1 est-il identique au flux ϕ x0 dans le milieu
2 ; ou en simplifiant par la surface S de l’interface :
! "
! +"
ϕ x−
0 = ϕ x0 ,
interface en x0
après simplification par S :
! "
! +"
jth x−
0 = jth x0 .
#–
ȷ
1
2
th
Le flux thermique se
conserve à travers une
interface.
5.2
x
Figure 9.7 – Continuité du flux thermique.
Continuité de la température ou loi de Newton
Si le flux thermique se conserve à travers une interface, rien ne l’impose pour la température.
Loi de Newton On considère par exemple un bol de thé chaud à l’air ambiant. À l’interface
liquide-air, les molécules d’eau sont à une température de 90◦ C, tandis que celle de gaz
restent à 20◦C. La température n’est pas continue à la traversée de l’interface. On modélise
les échanges thermiques à l’interface par la loi de Newton :
Le transfert thermique entre deux milieux est proportionnel à la différence de température, à la surface de l’interface et à la durée de l’échange.
On comprend que plus la différence de température entre les deux milieux est grande, plus
le transfert thermique est important ; de même, plus la surface de l’interface et la durée de
transfert sont grandes.
Le transfert thermique à l’interface entre deux milieux de température T1 et T2 est donc, en
notant h le facteur de proportionnalité :
δ Q = h (T1 − T2 ) dS dt
ou
jth = h (T1 − T2 ) .
Remarque
La transition entre les températures T1 et T2 s’effectue sur une très courte distance,
nommée couche limite thermique.
!
222
Il convient d’écrire correctement la loi de Newton, en particulier dans la différence de température. On se souviendra alors que le transfert thermique est orienté des zones de fortes
températures vers celles de faibles température.
C ONDITIONS AUX LIMITES
Remarque
Selon le programme, la loi de Newton doit être fournie dans les problèmes de concours,
en toutes lettres ou sous forme mathématique.
Quelles sont les unités du coefficient h ? Attendu que δ Q est en J, T en K, dS en m2 et dt en
s, h est en J.s−1 .K−1 .m−2 , soit W.K−1 .m−2 .
De quels paramètres physique dépend-il ? Intuitivement, on s’attend à ce que le transfert
thermique entre le thé et l’air ambiant soit plus important si on souffle sur l’interface, c’est-àdire lorsque la convection améliore les échanges thermiques. Ainsi h dépend-il de la vitesse
des fluides en contact. Mais le type de corps en contact modifie aussi sa valeur ; par exemple,
pour une même différence de température, h sera différent pour un contact eau-air ou métalair. h dépend aussi de l’état de surface des corps en contact.
Quelques ordres grandeurs de h à l’interface entre une surface solide et un fluide, selon qu’un
mouvement de convection est imposé ou non :
"
!
h W.K−1 .m−2 (sans convection forcée)
"
!
h W.K−1 .m−2 (avec convection forcée)
solide / gaz
5 à 30
solide / eau
4.102 à 103
10 à 3.102
3.102 à 12.103
Exemple
Le coefficient h augmente d’un facteur 10 dans le cas de la convection forcé. Ainsi les
fours à chaleur tournante, où des mouvements d’air sont imposés par un ventilateur, sont
plus efficaces pour la cuisson des aliments.
Contact parfait Si l’on fait tendre h vers l’infini dans la loi de Newton, le transfert thermique ne reste borné que si la différence de température tend vers zéro. La température à
l’interface entre deux milieux est alors continue. On parle alors de contact thermique parfait.
Un contact thermique parfait à l’interface entre deux milieux décrit la situation dans
laquelle la température est continue à l’interface.
Remarque
On est souvent amené à supposer que le contact thermique entre deux milieux est parfait, lorsqu’il manque une condition aux limites pour résoudre un problème de thermique.
5.3
Exemple de l’interface entre deux milieux
On considère des transferts thermiques entre deux milieux, séparés par une interface située
en x0 . On écrit la continuité du flux dans chaque cas :
• dans le cas de gauche, on a deux milieux, de conductivité λ1 et λ2 ;
223
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
• dans le cas de droite, on a un milieu de conductivité λ et de température T (x,t), en contact
avec un fluide de température T0 uniforme pour lequel les transferts thermiques à l’interface
sont décrits par la loi de Newton.
Après simplification par la surface de l’interface :
∀t, −λ1
∂ T1
∂ T2
(x0 ,t) = −λ2
(x0 ,t)
∂x
∂x
λ1
∀t, −λ
λ2
#–
ȷth
x0
∂T
(x0 ,t) = h (T (x0 ,t) − T0 )
∂x
λ
T0
#–
ȷth
x
x
x0
Figure 9.8 – Conditions aux limites entre deux milieux.
Remarque
Pour écrire correctement la loi de Newton, c’est-à-dire h (T (x0 ,t) − T0 ) et non pas l’opposé, on se place en convention récepteur, comme expliqué au paragraphe 6.3 : le vecteur densité de courant thermique #–
ȷth est arbitrairement orienté dans le sens des x croissants (« flèche vers la droite »), ainsi la différence de température est-elle T (x0 ,t) − T0
(« flèche vers la gauche »).
5.4
Paroi calorifugée
paroi calorifugée
Par définition, une paroi calorifugée ne laisse passer aucun transfert thermique. Le vecteur
densité de courant thermique, normal à cette paroi, y est donc nul.
Ainsi #–
ȷth, n est nul, aucun flux thermique
#–
#–
ȷth,tg
ȷth
ne traverse la paroi calorifugée ; mais
#–
ȷth,tg est quelconque, car il peut y avoir
un transfert thermique le long de la pa#–
roi.
ȷth, n
#–
n
Soit P un point d’une paroi calorifugée
#–
et n (P) le vecteur normal à celle-ci en
ce point. Alors :
Figure 9.9 – Nullité du flux
#–
n (P) = 0.
ȷth (P,t) · #–
6
thermique à travers une paroi
calorifugée.
Régime stationnaire (sans terme source)
En régime stationnaire, toutes les grandeurs physiques sont indépendantes du temps. On parle
aussi de régime forcé continu, ou tout simplement de régime indépendant du temps. Dans ce
cadre, les équations de continuité et de la diffusion thermique se simplifient.
!
224
On se place dans le cas sans aucun terme source.
R ÉGIME STATIONNAIRE (SANS TERME SOURCE)
6.1
Flux conservatif
On reprend l’exemple de la diffusion à une dimension d’espace cartésienne, développée au
paragraphe 4.1, page 214. En régime indépendant du temps, l’énergie interne du cylindre Σ de
surface S et de longueur dx ne varie pas entre t et t + dt, ainsi U (t) = U (t + dt) et le premier
principe, appliqué à Σ entre t et t + dt devient :
U (t + dt) − U (t) = ϕ (x,t) dt − ϕ (x + dx,t)dt.
0
12
3
0
Attendu que le flux ne dépend pas du temps, on aboutit à ϕ (x) = ϕ (x + dx). On obtient ainsi,
de proche en proche, que le flux thermique est aussi indépendant de la position x. On dit qu’il
se conserve, c’est-à-dire qu’il garde la même valeur lorsque x varie.
On montrerait de même, en géométries cylindriques ou sphériques, ϕ (r) = ϕ (r + dr). Le
flux thermique est indépendant de la variable d’espace r, il se conserve.
En régime indépendant du temps, sans terme source, le flux thermique se conserve.
On retrouve ce résultat depuis l’équation de continuité. En régime indépendant du temps,
∂u
= 0 et ainsi div ( #–
ȷth ) = 0. On considère alors un tube de champ du vecteur densité de
∂t
courant thermique ; c’est un tube dont les génératrices extérieures sont des lignes de champ
du vecteur.
On intègre, sur tout le volume V du tube de champ, qu’entoure la surface S, l’équation
div ( #–
ȷth ) = 0, comme le montre la figure 9.10, puis on utilise le théorème d’Ostrogradski :
˚
"
#–
#–
div ( #–
ȷth ) dV =
ȷth · dSext = −ϕ1 + ϕlat + ϕ2 .
V
S
#–
dSlat
!
#–
ȷth
Lorsqu’on considère une surface S fermée, le vecteur sur#–
face dSext est en tout point orienté vers l’extérieur de du volume entouré par S.
V
#–
ȷth
#–
dS2
#–
ȷth
#–
dS1
Figure 9.10 – Tube de champ et vecteur à
flux conservatif.
Attendu que le flux latéral est nul ( #–
ȷth est tangent aux lignes de champ qui entourent le tube
#–
de champ, donc orthogonal à dSlat ) :
ϕ1 = ϕ2 .
On retrouve que le flux thermique se conserve, c’est-à-dire que #–
ȷ est à flux conservatif.
th
div ( #–
ȷth ) = 0 ⇔ #–
ȷth est à flux conservatif.
225
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
6.2
Exemple cartésien
On étudie la diffusion thermique à travers un cylindre de section S, de longueur L, porté aux
températures T1 et T2 aux deux extrémités et latéralement calorifugé. On se place en régime
indépendant du temps, sans terme source. On cherche la température dans le cylindre, notée
T (x). Deux méthodes existent, la résolution de l’équation de la diffusion thermique, l’écriture
de la conservation du flux.
paroi latérale adiabatique
#–
ȷ
T1
T2
th
L
0
x
Figure 9.11 – Diffusion thermique unidmensionnelle cartésienne.
Résolution de l’équation de la diffusion thermique
sans terme source, elle devient :
∂T
∂ 2T
= Dth 2
∂t
∂x
0123
donc
En régime indépendant du temps,
d2 T
= 0.
dx2
0
Remarque
La dérivée seconde de la température se note avec des d droits, car T ne dépend plus
que d’une unique variable d’espace.
Le problème est décrit par l’équation de la diffusion thermique (ED) et les deux conditions
aux limites en x = 0 (CL1 ) et x = L (CL2 ) :
⎧ 2
d T
⎪
⎪
⎪
=0
(ED) ,
⎨
dx2
T (0) = T1 (CL1 ) ,
⎪
⎪
⎪
⎩
T (L) = T2 (CL2 ) .
(ED) s’intègre en T (x) = ax + b, où a et b sont deux constantes d’intégration déterminées
avec les conditions aux limites :
(CL1 ) ⇒ b = T1
et
(CL2 ) ⇒ a =
Finalement :
T (x) = (T2 − T1)
T2 − T1
.
L
x
+ T1 .
L
# –
ȷth = −λ gradT =
On remarque alors, en notant λ la conductivité thermique du cylindre, #–
λ
λS
∂ T #–
−λ
ux = − (T2 − T1 ) u#–x , soit ϕ = (T1 − T2 )
.
∂x
L
L
226
R ÉGIME STATIONNAIRE (SANS TERME SOURCE)
Conservation du flux On utilise directement le résultat du paragraphe 6.1 : en régime indépendant du temps, sans terme source, le flux thermique se conserve. On en déduit ainsi
dT
:
dx
¨
dT
#–
#–
S = ϕ (ϕ constante).
ϕ=
ȷth · Su#–x = −λ
ȷth · dS = #–
dx
S
On sépare les variables puis on intègre entre x = 0 et x quelconque :
dT = −
ϕ
dx
λS
d’où
T (x) − T1 = −
ϕ
(x − 0).
λS
Le flux thermique ϕ est trouvé avec la condition aux limites en x = L :
T2 − T1 = −
ϕ
(L − 0)
λS
donc ϕ = (T1 − T2 )
λS
,
L
qu’on remplace dans l’expresion de T (x) :
T (x) = (T2 − T1)
x
+ T1 .
L
Remarque
Les deux méthodes sont équivalentes en coordonnées cartésiennes. Toutefois, l’écriture
de la conservation du flux est beaucoup plus rapide en cylindriques et sphériques.
6.3
Résistance thermique et analogie électrique
On voit qu’il existe une relation entre la différence de température entre les deux extrémités du
L
cylindre et le flux thermique, T1 − T2 =
ϕ . Les analogies avec l’électrocinétique poussent
λS
L
, notée Rth .
à nommer résistance thermique le terme
λS
En effet, en régime indépendant du temps, sans terme source, la diffusion thermique est mathématiquement analogue à la conduction électrique dans un conducteur ohmique. Les phénomènes physiques sous-jacents sont certes différents, mais les équations qui les modélisent
sont analogues.
On définit la résistance thermique par la loi analogue de la loi d’Ohm électrique :
T1 − T2 = Rth ϕ .
La définition de la résistance thermique impose ses unités : [Rth ] = K.W−1 .
227
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
diffusion thermique
flux thermique :
¨
#–
#–
ϕ=
ȷth · dS
S
conduction électrique
intensité du courant :
¨
#–
#–
I=
ȷélec · dS
loi de Fourier :
# –
#–
ȷth = −λ grad T
équation de continuité :
(régime indépendant de t)
div #–
ȷth = 0
loi d’Ohm locale et potentiel scalaire :
# –
#–
#–
ȷélec = γ E = −γ gradV
équation de continuité :
(régime indépendant de t)
div #–
ȷélec = 0
résistance thermique : Rth =
T1 − T2
T1
S
L
λS
T2
ϕ
résistance électrique : R =
V1 − V2
V1
L
γS
V2
I
Rth
R
T1 − T2 = Rth ϕ
loi d’Ohm : V1 − V2 = RI
Remarque
Dans les deux cas, thermique et électrique, les schémas sont en convention récepteur.
!
6.4
Le flux thermique s’exprime en W. Ainsi, le flux ϕ l’analogue thermique de la puissance électrique.
Expressions de la résistance thermique
Géométrie cartésienne On a vu au paragraphe 6.2, que le lien entre la différence de température et le flux, dans un cylindre de section S, de longueur L, de coefficient de diffusion
thermique λ , latéralement calorifugé, est :
T1 − T2 =
L
ϕ
λS
donc
Rth =
L
.
λS
Géométrie cylindrique On cherche la résistance thermique d’une couronne cylindrique,
constituée d’un matériau de conductivité thermique λ , de hauteur ℓ, compris entre les rayons
R1 et R2 , portés aux températures T1 et T2 .
Quand on néglige les effets de bords, le système est invariant par translation le long de l’axe
(Oz) et par rotation autour de ce même axe : le champ de température est donc indépendant des coordonnées d’espace θ et z, il ne dépend que de r. Le vecteur densité de courant
thermique est donc porté par u#–r :
dT #–
# –
#–
ȷth = −λ grad T (r) = −λ
ur .
dr
228
R ÉGIME STATIONNAIRE (SANS TERME SOURCE)
z
R1
T1 − T2
R2
ℓ
#–
ȷth = jth u#–r
Figure 9.12 – Résistance
thermique en géométrie cylindrique.
Remarque
Le flux thermique est orienté du centre
vers la périphérie, c’est-à-dire suivant
⊕u#–r . Ainsi, en convention récepteur, la
différence de température vaut-elle T1 −
T2 , représentée par une flèche orientée de
la périphérie vers le centre.
Comme indiqué dans la remarque finale du paragraphe 6.2, la méthode la plus rapide pour
établir, tant l’expression de Rth que celle de
T (r), est l’écriture de la conservation du flux.
Entre R1 et R2 , l’énergie thermique diffuse à travers des cylindres de rayons de plus en plus
grand, de surface 2π rℓ. Ainsi :
dT
2π rℓ = constante.
dr
On sépare les variables, puis on intègre de r = R1 à r = R2 :
& '
ϕ dr
ϕ
R2
donc T2 − T1 = −
ln
,
dT = −
2πλ ℓ r
2πλ ℓ
R1
ϕ = jth × 2π rℓ = −λ
qu’on écrit en convention récepteur, c’est-à-dire que la différence de température T1 − T2 doit
être orientée à l’opposée de celle du flux (suivant u#–r ) :
& '
& '
R2
R2
1
1
ln
ln
.
ϕ d’où Rth =
T1 − T2 =
2πλ ℓ
R1
2πλ ℓ
R1
À la différence de la géométrie cartésienne, seule la méthode amenant à ce résultat doit être
connue, mais pas le résultat.
Remarque
On établit très rapidement le champ de température en intégrant entre r = R1 et r quelconque :
& '
ϕ dr
ϕ
r
donc T (r) − T1 = −
ln
,
dT = −
2πλ ℓ r
2πλ ℓ
R1
& '
r
ln
R
et avec l’expression de ϕ : T (r) = (T2 − T1) & 1 ' + T1 .
R2
ln
R1
Géométrie sphérique On cherche la résistance thermique d’une couronne sphérique, constituée d’un matériau de conductivité thermique λ , compris entre les rayons R1 et R2 , portés
aux températures T1 et T2 .
229
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
Le système est invariant par rotation autour du centre de la sphère : le champ de température
est donc indépendant des coordonnées d’espace θ et φ , il ne dépend que de r. Le vecteur
densité de courant thermique est donc porté par u#–r :
dT #–
# –
#–
ur .
ȷth = −λ grad T (r) = −λ
dr
#–
ȷth = jth u#–r
Remarque
R1
T1
−
T2
Le flux thermique est orienté du centre
vers la périphérie, c’est-à-dire suivant ⊕u#–r .
Ainsi, en convention récepteur, la différence de température vaut-elle T1 − T2 , représentée par une flèche orientée de la périphérie vers le centre.
R2
Figure 9.13 –
Résistance thermique en
géométrie sphérique.
Entre R1 et R2 , l’énergie thermique diffuse à travers des sphères de rayons de plus en plus
grand, de surface 4π r2 . Ainsi :
ϕ = jth × 4π r2 = −λ
dT
4π r2 = constante.
dr
On sépare les variables, puis on intègre de r = R1 à r = R2 :
dT = −
ϕ dr
4πλ r2
donc T2 − T1 = −
ϕ
4πλ
&
1
1
−
R1 R2
'
,
qu’on écrit en convention récepteur, c’est-à-dire que la différence de température T1 − T2 doit
être orientée à l’opposée de celle du flux (suivant u#–r ) :
T1 − T2 =
1
4πλ
&
1
1
−
R1 R2
'
ϕ
d’où
Rth =
1
4πλ
&
1
1
−
R1 R2
'
.
À la différence de la géométrie cartésienne, seule la méthode amenant à ce résultat doit être
connue, mais pas le résultat.
Remarque
On établit très rapidement le champ de température en intégrant entre r = R1 et r quelconque :
'
&
1
ϕ dr
ϕ
1
,
dT = −
donc
T
(r)
−
T
=
−
−
1
4πλ r2
4πλ R1 r
'
&
1
1
−
R
r
' + T1 .
et avec l’expression de ϕ : T (r) = (T2 − T1) & 1
1
1
−
R1 R2
230
R ÉGIME STATIONNAIRE (SANS TERME SOURCE)
Loi de Newton Une discontinuité de température, à travers une interface de surface S, modélisée par la loi de Newton, impose une résistance thermique. En effet, le flux thermique à
travers l’interface est donné par :
ϕ = hS (T1 − T2 )
donc
Rth =
1
.
hS
À la différence de la géométrie cartésienne, seule la méthode amenant à ce résultat doit être
connu, mais pas le résultat.
6.5
Associations de résistances thermiques
La résistance thermique est définie de façon analogue à celle de la résistance électrique.
Les lois d’association des résistances électriques, démontrées dans les ouvrages de première
année avec la loi d’Ohm, sont donc analogues en thermique :
Plusieurs systèmes, de résistances thermiques Rth, i , montés en série, sont équivalents à
une unique résistance thermique, dont la valeur est la somme des résistances thermiques
individuelles : Rth, tot série = ∑ Rth, i .
i
Exemple du double vitrage Il est constitué d’une couche d’air, d’épaisseur e et de conductivité thermique λa , comprise entre deux vitres en verre, d’épaisseur e, de surface S, de
conductivité thermique λv ≈ 102 λa , comme le montre la figure 9.14. La résistance thermique
de l’ensemble est alors :
&
'
λv
e
e
e
+
=
2+
≈ 102 Rv .
Rtot = 2Rv + Ra = 2
λv S λa S λv S
λa
La résistance thermique du double vitrage est environ 100 fois supérieure à celle d’une vitre
isolée : les pertes thermiques sont divisées par 100.
e
e
ϕ
ϕ
Rv
Ra
Rv
Figure 9.14 – Constitution et modélisation d’un double vitrage.
231
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
Plusieurs systèmes, de résistances thermiques Rth, i , montés en parallèle, sont équivalents à une unique résistance thermique, dont l’inverse de la valeur est la somme des
1
1
inverses des résistances thermiques individuelles :
=
.
Rth, tot parallèle ∑
R
th, i
i
Exemple d’une fuite thermique On perce, à travers un mur en béton de surface Sb =
5 m × 3 m, d’épaisseur Lb = 30 cm, de conductivité thermique λb = 9, 2.10−1 W.m−1 .K−1 ,
une lucarne carrée de coté a = 20 cm, fermée par une vitre en verre d’épaisseur Lv = 5 mm
et de de conductivité thermique λv = 1, 5 W.m−1 .K−1
béton
Rv
ϕ
vitre
ϕ
Rb
Figure 9.15 – Constitution et modélisation d’une fuite thermique.
Sans lucarne, le mur a une résistance thermique Rbéton seul =
la lucarne, l’ensemble a une résistance thermique :
!
"
λb Sb − a2
λv a2
1
1
1
=
+
=
+
Rtot
Rbéton Rvitre
Lb
Lv
Lb
= 2, 2.10−2 K.W−1 . Avec
λb Sb
soit Rtot = 1, 7.10−2 K.W−1 .
Rbéton seul
= 1, 25 : les pertes thermiques augmentent de 25% à cause de la lucarne.
Rtot
6.6
ARQS thermique : définition et limite de validité
On étudie la répartition de température dans un cylindre de section S, de longueur L, initialement porté aux températures T1 et T2 aux deux extrémités et latéralement calorifugé, comme
au paragraphe 6.2. Le profil initial de température est, à la date t = 0 :
x
T (x, 0) = (T2 − T1 ) + T1.
L
Aux instants ultérieurs, pour t > 0, on abaisse la température T1 à T1′ en une durée ∆t. Le
profil de température s’adapte et parvient, au bout d’un certain temps, à un état final décrit
par :
!
"x
T (x, ∞) = T2 − T1′
+ T1′ .
L
La figure 9.16 montre comment évolue le profil de température au cours du temps dans deux
cas : à gauche le passage de T1 à T1′ est « rapide », alors qu’il est « lent » à droite. Deux
constante de temps apparaissent :
232
R ÉGIME STATIONNAIRE (SANS TERME SOURCE)
• la durée ∆t mis à la température en x = 0 pour passer de T1 à T1′ , imposée par l’expérimentateur ;
• le temps caratéristique τ mis par le cylindre pour s’adapter à la nouvelle condition aux
limites en x = 0. Quel est la valeur τ ? On procède en ordre de grandeur comme au paragraphe 4.6 :
L2
τ∼
.
Dth
On observe très nettement sur les profils de gauche de la figure 9.16 que la température en
x = 0 baisse trop rapidement de T1 à T1′ (en 1 s) pour que la profil de température reste affine :
x
T (x,t) ̸= (T2 − T1 (t)) + T1 (t). On a donc :
L
τ=
T
T1
T
T
T1
t = 10 s
t = 30 s
1s
L2
≫ ∆t.
Dth
t = 10 s
103 s
t = 102 s
T1′
T
t = 30 s
t = 102 s
T1′
0
L
T2
x
0
L
T2
x
Figure 9.16 – Évolution temporelle du profil de température (en noir, à la date t ) entre
les états initial et final (en gris) : à gauche hors ARQS ; à droite dans l’ARQS.
Sur les profils de droite, la température en x = 0 baisse suffisamment lentement de T1 à T1′
(en 103 s), la température dans le cylindre a le temps de s’adapter à chaque modification des
x
conditions aux limites et reste affine : T (x,t) = (T2 − T1 (t)) + T1 (t). On est dans le cas de
L
l’ARQS thermique :
L2
τ=
≪ ∆t.
Dth
L’ARQS thermique est vérifiée lorsque le temps caratéristique d’évolution de la température, dans un système de longueur caratéristique ℓ et de diffusivité thermique Dth ,
est très inférieur au temps caratéristique T de variation des sources d’énergie ou des
conditions aux limites :
ℓ2 ≪ Dth ∆t.
La notion de résistance thermique, introduite par une relation affine en géométrie cartésienne,
n’est donc valable que dans le cadre de l’ARQS thermique.
233
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
La notion de résistance thermique n’est valable qu’en régime permanent et dans le cadre
de l’ARQS thermique.
Exemple
Peut-on utiliser la notion de résistance thermique pour étudier les évolutions thermiques
d’un bâtiment, dont les murs, épais de L = 7 cm sont en béton de capacité thermique
volumique c = 2, 5.103 kJ.K−1 .m−3 , de conductivité λ = 9, 2.10−1 W.m−1 .K−1 ? Idem
pour une épaisseur L′ = 30 cm. Qu’en conclure ?
λ
λ
Dans ce cas Dth =
=
= 3, 7.10−7 m2 .s−1 ; τ = 1, 3.104 s ≈ 4 heures
ρ cmassique cvolumique
et τ ′ = 2, 4.105 s ≈ 3 jours.
Pour des variations de température quotidiennes, T = 24 heures, l’ARQS s’applique
dans le premier cas et Rth existe, mais ne s’applique pas dans le second cas.
Dans ce second cas, le profil de température bouge peu dans le béton au cours de la
journée, l’isolation thermique s’en trouve renforcée.
6.7
Circuits RC thermiques dans l’ARQS
La régulation de la température intérieure des bâtiments ne concerne pas seulement un problème de chauffage ou de climatisation et de régulation automatique, l’isolation thermique
est fondamentale. Deux paramètres apparaissent alors dans l’étude thermique des batiments,
importante tant pour le confort des occupants que pour la maîtrise de la consommation énergétique :
• la capacité thermique C du bâtiment, c’est-à-dire principalement de l’air qu’il contient,
qui intervient dans l’augmentation de température ressentie par les occupants lorsqu’une
certaine quantité d’énergie pénètre dans le bâtiment,
• la résistance thermique Rth des murs, qui peut diminuer la quantité d’énergie qui pénètre
dans le bâtiment.
Interviennent dans la modélisation du bâtiment :
• l’air intérieur, de capacité thermique totale C, de température uniforme T (t) mais qui dépend du temps ; c’est le système auquel on applique les principes de la thermodynamique,
• les murs, représentés par leur résistance thermique Rth ,
• l’air atmosphérique, de température uniforme et constante T0 .
air extérieur à T0
mur
T0 − T (t)
δQ
air intérieur
à T (t)
ϕ
T0
Rth
C
sol adiabatique
Figure 9.17 – Modélisation d’un bâtiment et son analogue électrique.
234
T (t)
R ÉGIME STATIONNAIRE (SANS TERME SOURCE)
Le premier principe, appliqué à l’air intérieur, entre les dates t et t + dt, mène à :
0 car indéformable
2301
dU + dEC = δ W + δ Q.
0123
0 car immobile
Le transfert thermique reçu par le système pendant la durée dt vaut :
δ Q = ϕ dt =
Comment écrire convenablement la loi ϕ =
T0 − T (t)
dt.
Rth
T0 − T (t)
sans se tromper de signe ? Deux méRth
thodes :
• le flux thermique est orienté de l’extérieur vers le système (l’intérieur) donc, en convention
récepteur, la différence de température l’est de l’intérieur vers l’extérieur,
• si l’extérieur est plus chaud que l’intérieur (T0 − T (t) > 0), le système reçoit de l’énergie
par transfert thermique et δ Q est bien positif ; de même si l’extérieur est moins chaud que
l’intérieur (T0 − T (t) < 0), le système perd de l’énergie par transfert thermique et δ Q est
bien négatif.
Avec la capacité thermique totale (sous-entendu à volume constant) du système, dU = CdT
et :
T0 − T (t)
dT
CdT =
+ T (t) = T0 .
dt soit RthC
Rth
dt
On reconnait un système thermique du premier ordre de constante de temps RthC ; la température varie donc exponentiellement :
'
&
t
T (t) = T0 + (T (0) − T0 ) exp −
.
RthC
Le système est analogue à un circuit électrique, avec un élément de stockage de l’énergie, le
condensateur de capacité C, et une résistance Rth . Les lois analogues sont :
u0 − u (t) = Ri ←→ T0 − T (t) = Rth ϕ
du
dT
←→ ϕ = C
(car dU = CdT = ϕ dt)
i =C
dt
dt
Un système thermique, constitué d’un élément de stockage de l’énergie de capacité thermique C, qui échange de l’énergie à travers une résistance thermique Rth , se comporte
en système du premier ordre de constante de temps RthC.
235
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
SYNTHÈSE
SAVOIRS
• citer les trois modes de transfert thermique
• expliquer que la diffusion est un déplacement d’énergie de proche en proche dans la
matière macroscopiquement immobile
• loi phénoménologique de Fourier
• terme source local et intégral de l’effet Joule
• définition de la résistance thermique par analogie avec l’électrocinétique
• conditions de validité de la notion de résistance thermique
SAVOIR-FAIRE
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
exprimer le flux thermique comme le flux du vecteur #–
ȷth à travers une surface orientée
établir l’équation de continuité en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques
établir l’équation de la diffusion, avec ou sans terme source
analyser en ordre de grandeur l’équation de la diffusion
relier l’équation de diffusion à l’irréversibilité
exploiter la linéarité de l’équation de diffusion
exploiter la continuité du flux thermique
exploiter la continuité de la température dans le cas d’un contact parfait
utiliser la relation de Newton
traduire le contact avec une paroi calorifugée
établir la résistance thermique d’un cylindre latéralement calorifugé
exploiter les associations série ou parallèle des résistances thermiques
mettre en évidence un temps caractéristique d’évolution de la température
justifier l’ARQS thermique
établir l’analogie avec un circuit électrique RC
MOTS-CLÉS
•
•
•
•
diffusion
convection
rayonnement
vecteur densité de courant
thermique
• équilibre thermodynami-
236
que local
• loi de Fourier
• équation de continuité (ou
bilan local d’énergie)
• équation de la diffusion
• terme source
• relation de Newton
• résistance ou conductance
thermique
• ARQS thermique
S’ENTRAÎNER
9.1 Diffusion dans un mur
(⋆ )
On considère un mur qui sépare une pièce à Ti de l’air extérieur à Te . Le mur est constitué d’une épaisseur e0 de pierre
de conductivité thermique λ0 et d’une épaisseur e1 d’isolant de
conductivité λ1 . Les échanges thermiques entre le mur et l’air
extérieur sont proportionnels à la surface S de l’interface et à la
différence de température entre le mur et l’air. La température
est continue entre la pièce et le mur.
Ti
Te
x
e0
e1
L
La diffusion thermique est unidimentionnelle.
1. Rappeler sans démonstration l’équation de la diffusion thermique dans le mur en régime
forcé continu.
2. Quelles sont les conditions aux limites en x = 0, x = e0 et x = e0 + e1 = L ? En déduire les
relations qui permettent de déterminer complètement T0 (x) et T1 (x).
3. Donner l’équivalent électrocinétique du mur.
4. Calculer avec le circuit électrique équivalent les températures dans le mur en e0 et e0 +e1 =
L.
9.2 Isolation d’une pièce (d’après CCP)
(⋆ )
1. On considère une barre cylindrique de longueur
L, de section S et de conductivité thermique λ . La
surface latérale de la barre est thermodynamiquement isolée. On néglige tout effet de bord. La barre
est en contact à ses extrémités avec des thermostats parfaits de température T1 en x = 0 et T2 en
x = L.
S
0
L
x
a. Quelle est l’unité du vecteur densité de flux thermique #–
ȷth et celle du flux thermique φ
(flux de #–
ȷth à travers une section droite de surface S) ? Rappeler la loi de Fourier et justifier
le signe de cette loi.
b. Montrer que le flux thermique φ (x) se conserve. En déduire T (x) en fonction de T1 , T2 ,
x et L.
c. Calculer la résistance thermique Rth de la barre.
2. On considère une barre de section S, de conductivité thermique λ1 et de longueur L1 , en
contact à son extrémité avec une barre de même section S, de conductivité λ2 et de longueur
L2 . On impose la température T1 en x = 0, à l’entrée de la première barre et T2 en x = L1 + L2 ,
à la sortie de la seconde, comme le montre la figure page suivante.
a. Déterminer la résistance thermique de l’ensemble des deux barres.
237
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
T1
λ1
λ2
T2
x
0
L1
L2
b. Calculer la température de jonction T j entre les deux barres en x = L1 , en fonction de
T1 , T2 , Rth 1 et Rth 2 .
3. On étudie une pièce imparfaitement isolée. Il existe des pertes à travers le double vitrage
des quatre fenêtres de la pièce. Chaque double vitrage, de surface S = 1, 8 m2 est constitué de deux vitres de conductivité thermique λv = 1, 2 W.m−1 .K−1 , de même surface S et
d’épaisseur ev = 2, 5 mm. Entre les deux vitres se trouve une tranche d’air sec de conductivité thermique λa = 23.10−3 W.m−1 .K−1 et d’épaisseur ea = 35 mm.
La pièce est à la température Tp et l’air extérieur à T0 = 275 K. Entre la vitre à la température
Tparoi et l’air de la pièce à Tp , le vecteur densité de flux thermique se met sous la forme de la
loi de Newton :
#–
n,
ȷth = h (Tparoi − Tp) #–
#–
où n est un vecteur unitaire normal à la paroi, dirigé de la paroi vers le fluide.
Les coefficients d’échange entre la vitre et l’air de la pièce comme celui de l’autre vitre avec
l’air extérieur valent h = 9, 3 W.m−2 .K−1 . On néglige la résistance thermique d’échange entre
les vitres et l’air sec entre les vitres.
a. Justifier le sens du vecteur #–
ȷ dans la loi de Newton.
th
b. Calculer la résistance thermique R1 d’une fenêtre. En déduire celle des quatre fenêtres,
R4 .
c. Calculer littéralement puis numériquement la puissance du radiateur de chauffage de la
pièce lorsqu’on maintient une différence de température de 23 K entre la pièce et l’extérieur.
4. On éteint le radiateur alors que la pièce est à la température Tp (0) = 298 K. L’air de la
pièce est de capacité thermique C.
a. Quel est le système électrocinétique équivalent au problème thermodynamique ? Calculer la température de la pièce Tp (t), en fonction de R4 et C.
b. La pièce a une hauteur de 3 m et une surface au sol de 50 m2 . L’air est assimilé à un gaz
parfait de masse molaire M = 29 g.mol−1 , de rapport γ = 1, 4, à la pression atmosphérique
P0 = 1 bar quand la température y vaut Tp (0).
Calculer littéralement puis numériquement la capacité thermique C à volume constant de l’air
contenu dans la pièce.
c. Calculer numériquement le temps τ pour que la pièce refroidisse à 286 K. Commenter.
9.3 Fil parcouru par un courant électrique
(⋆ )
Un fil électrique de rayon R, de longueur infinie, de conductivité thermique λ , de conductivité
électrique γ , de capacité thermique massique c, de masse volumique ρ , est parcouru par un
courant électrique constant et uniforme d’intensité I.
238
On note #–
ȷélec le vecteur densité de courant électrique. L’intensité I du courant est le flux de
#–
ȷélec . On montre dans le cours d’électromagnétisme que la loi d’Ohm locale et la puissance
#–
délivrée par le champ électrique E par unité de volume sont :
#–
#–
ȷélec = γ E
dP
#–
= P = #–
ȷélec · E = γ E 2 .
dV
1. Établir l’équation de la diffusion thermique. On l’exprimera en fonction de P, notation
qu’on gardera dans tout l’exercice.
2. L’intégrer dans le cas où la température en surface du fil vaut la température extérieure T0 .
Tracer T (r).
3. L’intégrer dans le cas où le flux thermique latéral à l’interface entre le fil et l’air extérieur
est modélisé par la loi de Newton : ϕ = hS (T (R) − T0 ). Tracer T (r).
9.4 Four à micro-ondes (d’après Mines)
(⋆⋆)
De la nourriture, de capacité thermique λ , de capacité thermique massique c et de masse volumique ρ
est placée dans le four. La nourriture est parallélépipédique, d’aire S et d’épaisseur 2e, suffisamment
faible pour qu’on puisse admettre que le problème
reste unidimensionnel. Le champ électrique du four
est le même en tout point : le chauffage de la nourriture est uniforme en volume. On note P la puissance
totale fournie à toute la nourriture.
Ts (t)
T0
nourriture
0
T0
x
2e
La température du milieu extérieur, T0 est constante. La température d’interface est notée
Ts (t) = T (−e,t) = T (e,t). Les échanges thermiques au niveau des interfaces sont modélisés
par la loi de Newton. La puissance sortant latéralement de la nourriture fait intervenir le
coefficient d’échange g :
ΦS = gS (Ts (t) − T0 ) .
1. Établir l’équation aux dérivées partielles relative à T (x,t) dans la nourriture.
ȷth (e,t), en foncDonner l’expression des vecteurs densité de flux thermiques #–
ȷth (−e,t) et #–
tion de g, Ts (t) et T0 .
2. Déterminer l’expression et tracer l’allure de Tp (x), profil de température en régime permanent, en fonction de Tp (e), x et des paramètres pertinents du modèle.
Établir les relations :
ge $
P #
Pe
1+
= Tp (e) +
.
Tp (0) = T0 +
2Sg
2λ
4Sλ
3. La température initiale est T0 , en tout point de la nourriture. On cherche les conditions sous
lesquelles l’équation aux dérivées partielles établie au 1 admet une solution de la forme :
T (x,t) = T0 + (Tp (x) − T0 ) × (1 − f (t)) .
Déterminer a priori f (0) et lim f (t).
t→∞
239
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
4. Montrer qu’une telle solution est possible et acceptable si ge ≪ 2λ . Quelle est la constante
de temps τs de la fonction f ainsi trouvée ?
Suggestion : la forme donnée dans la question 3, insérée dans l’équation aux dérivées partielles de la question 1, conduit pour f à l’équation différentielle f ′ (t) + φ (x) f (t) = 0, qui
n’a physiquement de sens que si φ (x) est une constante.
5. Valider l’hypothèse précédente et calculer τs et Tp (0) pour :
ρ c = 4.106 J.m−3 .K−1
λ = 0, 5 W.m−1 .K−1
T0 = 293 K
P = 500 W
S = 10−2 m2
e = 5.10−3 m
g = 10 W.K−1 .m−2
6. Calculer numériquement la date τe d’apparition des bulles de vapeur d’eau dans la nourriture. Conclure.
9.5 Stockage d’azote liquide (d’après ENSAM)
(⋆ )
Une fois produit à basse température, l’azote liquide doit
être conservé à l’abri de la chaleur. Il est conservé dans
un récipient isotherme en forme de ballon sphérique, de
rayon R = 10 cm. Le ballon est entouré d’une couche de
polystyrène d’épaisseur e = 5 cm et de conductivité thermique λ = 3, 5.10−2 USI. La température de l’azote est
TN2 = 77 K et la température extérieure vaut Text = 300 K.
styr
poly ène
N2
R+e
R
Text
Le récipient est ouvert sur l’extérieur par l’intermédiaire d’un tube de décompression très
étroit non représenté. La masse volumique de l’azote liquide est ρN2 = 808 kg.m−3 .
1. Quelles sont les unités de λ ?
2. Établir l’équation de la diffusion thermique dans le polystyrène.
3. Calculer la masse d’azote m contenue dans le récipient. Application numérique. La température de la surface extérieure du polystyrène sera prise égale à Text .
4. Déterminer la répartition de température en régime permanent dans l’enveloppe de polystyrène.
5. Exprimer le flux thermique ϕ1 à travers le polystyrène. Dans quel sens ce flux est-il dirigé ?
Calculer la résistance thermique Rth de l’enveloppe en polystyrène.
dm
6. Exprimer la masse d’azote
qui s’évapore par unité de temps en fonction de λ , R, e,
dt
Text , TN2 et LV , enthalpie massique de vaporisation de l’azote à 77 K.
dm
7. Calculer ϕ1 et
en g.h−1, sachant que LV = 200 J.g−1 .
dt
8. Dans toute la suite, on modélise plus finement les échanges thermiques entre le polystyrène
et l’air extérieur. La surface extérieure de la couche isolante (interface air-polystyrène en
r = R + e) n’est pas à la température Text , mais à une température TS inférieure. Elle reçoit
alors, de la part de l’air extérieur, un flux thermique par unité de surface donné par la loi de
Newton :
jc = h (Text − TS ) où h = 10 USI.
Quelles sont les unités de h ?
240
9. Exprimer en fonction de Text , TS , h, e et R la puissance reçue par le polystyrène en R + e.
10. Calculer la résistance thermique RN à l’interface air-polystyrène en r = R + e.
11. Dessiner le schéma électrique équivalent de la situation. Doivent figurer : Rth , RN , TN2 ,
TS , Text et ϕ2 .
12. En déduire l’expression de TS et la valeur du flux ϕ2 à travers le polystyrène en fonction
de Text , TN2 , Rth et RN .
dm
qui s’évapore par unité de temps.
13. Calculer numériquement ϕ2 et la masse d’azote
dt
Conclusion.
9.6 Taille des mammifères marins
(⋆ )
Les mammifères sont des animaux à sang chaud dont la température reste constante. Pour
maintenir leur température constante, leurs cellules sont le siège de réactions chimiques exothermiques qui dégagent une puissance volumique a. La puissance totale créée par le mammifère est notée P.
Les mammifères sont décrits comme des sphères de rayon R, plongés dans de l’eau de
conductivité thermique λ et de température à l’infini T∞ (c’est-à-dire loin des animaux).
1. Établir l’équation de la diffusion thermique dans l’eau.
2. Calculer la température T (r) de l’eau autour d’un mammifère, en fonction de P, λ , r et
T∞ . En déduire la température TC de l’eau au contact de l’animal.
3. Établir l’expression de la puissance thermique perdue par le mammifère en r = R, en
fonction de λ , TC , T∞ et R.
Expliquer alors pourquoi il n’existe pas de petit mammifère marin. Ce raisonnement est-il
valable pour les mammifères terrestres ?
9.7 Température dans une barre nucléaire
(⋆ )
Dans certains réacteurs nucléaires de 4e
génération à l’étude, un fluide caloporteur, du sodium
en fusion, évacue l’énergie produite par les réactions nucléaires.
z
Le combustible est sous forme de barre cylindrique de rayon
a et de longueur ℓ ≫ a. Les réactions nucléaires délivrent une
puissance P par unité de volume au combustible de conduca
Na
tivité thermique λ , de capacité thermique massique c et de
e
masse volumique ρ .
Chaque barre est refroidie par une circulation de sodium liquide dans un espace annulaire d’épaisseur e, entourant la
barre. La gaine extérieure a donc un rayon a + e. La vitesse
combustible
d’écoulement du sodium est #–
v = vu#–z , sa masse volumique
nucléaire
ρNa , sa conductivité thermique λNa et sa capacité thermique
massique cNa .
L’étude se déroule en régime indépendant du temps.
On utilise les coordonnées cylindriques (r, θ , z) d’axe u#–z .
1. Pourquoi la température dans le combustible T (r) est-elle indépendante de z ? de θ ?
On note T (r) la température dans le combustible et TNa (r) celle dans le sodium.
241
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
2. Démontrer l’équation de la diffusion thermique (ou équation de la chaleur) dans le combustible nucléaire. En déduire sans démonstration celle dans le sodium.
3. On note Ta la témpérature en r = a dans le combustible et T0 la température en r = a + e
dans le sodium. Les températures en r = a dans le sodium et le combustible sont a priori
différentes.
Calculer la température dans le combustible en fonction de P, λ , a et Ta , ainsi que la puissance
thermique délivrée au sodium par unité de surface.
4. Calculer la température dans le sodium en fonction de P, λNa , a, e et T0 ainsi que la puissance thermique délivrée à l’extérieur par unité de surface. Commenter ce dernier résultat.
5. On considère le système T de sodium entourant une hauteur ℓ de combustible.
Quelle est, en fonction de P, a et ℓ, la puissance thermique P reçue par T en r = a ? Commenter le résultat obtenu.
6. Le sodium liquide entre en z = 0 à la température T1 et en sort en ℓ à T2 .
Calculer le débit massique Dm du sodium en fonction de T1 , T2 , P, a, ℓ et c.
9.8 Bilan entropique macroscopique
(⋆ )
parois calorifugées
Les extrémités d’un cylindre C de section S, de lon#–
gueur ℓ, de conductivité thermique λ , sont portées
ȷth
T2
T
1
aux températures T1 et T2 . Les parois du cylindre
x
sont parfaitement calorifugées.
L’étude a lieu en régime permanent indépendant du
temps. Toutes les réponses sont attendues en foncℓ
tion de T1 , T2 , λ , S et ℓ.
1. #–
ȷth = jth u#–x et jth > 0 : quelle est l’inégalité entre T1 et T2 ?
2. Quel est le flux thermique ϕ traversant une section droite de C ?
3. Quelle est la variation d’entropie dS de C pendant la durée dt ?
4. Quelle est l’entropie δ Séch échangée par C avec les sources extérieures à T1 et T2 pendant
dt ?
5. Quelle est l’entropie δ Scréée dans C pendant dt ? Conclure.
9.9 Diffusion entre deux solides
(⋆ )
On considère deux éléments métalliques d’un mur en béton armé, C1 et
C1 . Ils sont reliés par une barre B elle
aussi métallique. Le béton est thermiquement équivalent à un calorifugeage.
béton
C1
B
C2
ℓ
C1 et C2 sont identiques. B est constitué du même métal, mais sa longueur L et sa section S
est telle que le volume de B est très inférieur à celui de C1 ou C2 .
C1 et C2 ont des températures homogènes T1 (t) et T2 (t). Initiallement T1 (0) = T10 et T2 (0) =
T20 .
242
La température TB (M,t) adns la barre dépend a priori du temps et du point M. On la considère toutefois homogène sur une section droite.
C1
C2
B
masse volumique
ρ
ρ
ρ
capacité thermique massique
c
c
c
volume
V
V
L×S ≪V
1. Soit ϕ (t) la puissance thermique traversant une section droite de B à la date t. Calculer
T1 (t) − T2 (t)
.
puis nommer le rapport
ϕ (t)
2. Calculer T1 (t) et T2 (t). On pourra découpler le système différentiel obtenu avec le changement de fonction σ (t) = T1 (t) + T2 (t) et δ (t) = T1 (t) − T2 (t).
3. À quelle condition est-on dans l’ARQS thermique ?
APPROFONDIR
9.10 Contacts thermiques
(⋆ )
Lorsqu’on touche deux objets à la même température, l’un en bois, l’autre en métal, celui en
métal semble plus froid que celui en bois, malgré leurs températures identiques. L’objet de
ce problème est d’étudier ce phénomène.
A − R ÉGIME STATIONNAIRE
On étudie la conduction thermique suivant u#–x , entre deux solides 1 et 2, de même section S,
portés aux températures extrémales T1 et T2 :
λ1
T1
λ2
0
ℓ1
T2
ℓ2
x
1. Établir le champ de température T (x), x ∈ [ℓ1 , ℓ2 ].
2. Établir la valeur de la température T0 de la jonction, en fonction de T1 et T2 .
3. Calculer numériquement T0 pour un contact 1/2 métal/peau puis bois/peau (on prendra
|ℓ1 | ≈ ℓ2 ) où T1 = 20◦ C, T2 = 37◦ C et :
!
"
λ W.m−1 .K−1
métal
350
corps humain
6, 0.10−1
bois
7, 5.10−1
Conclure quant à la sensation de froid.
243
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
B − R ÉGIME VARIABLE
Les solides sont maintenant d’extension infinie, 1 va de −∞ à 0 et 2 de 0 à +∞. Le contact
est encore en x = 0. Les solides sont initialement aux températures uniformes T1 et T2 .
4. Rappeler l’équation de la diffusion thermique.
5. On note√D est le coefficient de diffusivité thermique. Montrer que la fonction f (x,t) =
ˆ x/(2 Dt )
"
!
2
√
exp −u2 du est solution de l’équation précédente.
π 0
On cherche une solution en T1 (x,t) = a1 + b1 f (x,t), de même pour 2. On précise :
f (0,t) = 0
et
lim f (x,t) = ±1
x→±∞
6. Sur quelle distance, en ordre de grandeur, la diffusion thermique a-t-elle modifié la répartition de température au bout d’une durée τ ? On répondra en fonction de D.
Que valent alors lim T1 (x,t) et lim T2 (x,t) ?
x→−∞
x→+∞
7. Établir 4 équations portant sur a1 , a2 , b1 et b2 .
5
8. Établir
5l’expression de la température de jonction T0 , en fonction de T1 , T2 , E1 = ρ1 c1 λ1
et E2 = ρ2 c2 λ2 .
Application pour un contact 1/2 métal/peau puis bois/peau où :
Emétal = 14.103 USI
Epeau = 1, 8.103 USI
Ebois = 0, 4.103 USI
9. Quel modèle vous paraît le plus adapté pour répondre à la question posée en introduction ?
Celui du A ou du B ?
9.11 Étude simplifiée d’un dissipateur de chaleur (d’après CCP)
(⋆)
Le performance des puces électroniques utilisées dans les ordinateurs décroît avec leur température. Afin de dissiper une puissance élevée en limitant la température du composant, on
installe un dissipateur de chaleur. Ce dissipateur est muni d’ailettes de refroidissement en
parallèle. On en étudie une.
Une ailette de refroidissement en aluminium de conductivité thermique λ = 200 W.m−1 .K−1
est fixée en x = 0 à un corps dont la température est T0 = 70◦ C constante. Elle baigne dans
l’air ambiant de température Ta = 20◦ C. Le corps à la température T0 occupe le demi-espace
x < 0. L’ailette est de forme parallélépipédique, d’épaisseur e = 2 mm, de largeur a = 3 cm
et de longueur ℓ = 2 cm.
On émet les hypothèses suivantes :
• le régime étudié est stationnaire,
• la température d’un point de l’ailette n’est fonction que de x : elle sera donc notée T (x),
• a est très grand devant e (cf valeurs numériques),
• la puissance thermique cédée à l’air extérieur par la surface latérale dS d’un élément de
longueur dx (échanges conducto-convectifs) est :
#
$
dP = h T (x) − Ta dS avec dS = 2 (a + e)dx ≈ 2adx,
où h est un coefficient constant : h = 150 USI.
244
1. Énoncer la loi de Fourier.
2. Quelle est la signification physique de
cette loi ?
3. Quelle est l’unité du coefficient h ?
4. Montrer que l’équation différentielle
vérifiée par la température T (x) de l’ailette peut se mettre sous la forme :
ℓ
Corps
à T0
dS
e
0
a
x
dx
d2 T T (x) − Ta
−
= 0,
dx2
L2
où L est une longueur caractéristique à exprimer en fonction de λ , h et e.
5. Calculer la valeur numérique de L.
6. Justifier les deux conditions aux limites suivantes vérifiées par T (x) :
T (0) = T0
et
dT
−λ
dx
'
x=ℓ
$
#
= h T (ℓ) − Ta .
7. En déduire la loi T (x) en fonction de x sous la forme :
# #x$
# x $$
− f (ℓ, L, λ , h) sh
,
T (x) = T1 + T2 ch
L
L
où T1 et T2 dépendent de Ta et de T0 et où f est une fonction de ℓ, L, λ et h à expliciter.
8. Montrer que compte tenu de la longueur de l’ailette (ℓ = 2 cm), la température de l’ailette est approximativement constante et égale à T0 : on montrera que la valeur absolue de
T (ℓ) − T0
est voisine de 2%.
T0
On considère que la température de l’ailette est effectivement constante et égale à T0 .
9. Calculer l’expression de la puissance thermique P échangée entre l’ailette sur toute sa
surface et l’air ambiant.
10. Déterminer la puissance thermique P ′ échangée entre le corps à la température T0 et
l’air ambiant par la surface d’aire S′ = ae en l’absence d’ailette (S′ est la surface de base de
l’ailette en x = 0).
P
11. En déduire l’expression de l’efficacité η = ′ . Calculer sa valeur.
P
9.12 Stockage des déchets radioactifs (d’après Centrale)
(⋆ )
On étudie de manière extrêmement simplifiée le stockage géologique des déchets radioactifs
français, sous une couche argileuse d’épaisseur L = 50 m.
Du fait de la radioactivité des produits de fission, les déchets sont exothemiques. Ils sont
vitrifiés dans des colis qui dégagent une puissance initiale p0 = 1 kW, décroissante dans le
temps. N colis sont entreposés à 50 m sous la surface. Ils sont uniformément répartis sur une
surface S.
245
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
La température dans l’argile est notée T (z). L’argile a une
masse volumique ρ , une conductivité thermique λ = 1, 5 SI,
une capacité calorifique massique c et une diffusivité thermique D, toutes uniformes.
La température en surface (z = 0) sera prise à T0 = 15◦C.
z
0
surface
argile
1. Établir « l’équation de la chaleur » vérifiée par T (z,t). La
simplifier dans le cas stationnaire.
2. Quelles sont les unités de ρ , λ , c et D ?
3. Calculer T (z) (attention : l’argile est présente au-dessus,
−L
mais aussi en-dessous des déchets). Que vaut T (−L) ?
!
!
!
4. La température dans l’argile ne doit pas dépasser Tmax afin
que ses propriétés de confinement ne soient pas dégradées. Le
stock total de déchets français représente N = 36 000 colis.
Estimer la surface S nécessaire à leur enfouissage, si Tmax =
100◦ C.
5. Modéliser électrocinétiquement la situation avec un générateur de courant I0 et une résistance R. Préciser les valeurs de I0 et de R et retrouver T (−L).
6. On envisage d’attendre 60 ans avant d’enfouir les déchets, pendant lesquels ils sont entreposés en surface. Pourquoi ?
9.13 Gel d’un lac (d’après École Polytechnique)
(⋆ )
On étudie la formation d’une couche de glace en surface
d’un lac dont l’eau est à la température T f = 0◦ C. L’air atmosphérique est à la température T0 < T f . Une couche de
glace apparaît et se développe progressivement au sein du
fluide. On note ξ (t) la position de l’interface entre l’eau et
la glace ; la glace occupe l’espace z ∈ [0, ξ (t)]. Soit Tg (z,t)
le champ de température dans la glace. La température est
continue à l’interface air-glace : Tg (z = 0,t) = T0 .
D ONNÉES
conductivité thermique de la glace
masse volumique de la glace
capacité thermique massique de la glace
enthalpie massique de fusion de la glace
température de l’eau
température de l’air
atmosphère à T0
0
glace
ξ (t)
eau liquide à T f
z
λg = 2, 2 W.K−1 .m−1
ρg = 915 kg.m−3
cg = 2, 1.103 J.K−1 .kg−1
L = 3, 3.105 J.kg−1
T f = 0◦ C
T0 = −30◦C
1. Exprimer la loi de Fourier dans la glace.
2. Établir l’équation de la diffusion thermique, dite « de la chaleur ».
3. Quelles sont les conditions aux limites pour le champ de température dans la glace ?
Permettent-elles de déterminer Tg (z,t) ?
4. Pourquoi l’eau est-elle mise en mouvement par l’avancée de l’interface ? Dans toute la
suite, on négligera toutefois la variation d’énergie cinétique de l’eau qui gèle.
Y a-t-il un transfert thermique dans l’eau liquide ?
246
dξ
la vitesse de l’interface glace-eau.
dt
En raisonnant sur un cylindre vertical de section S, exprimer à l’aide de vg la masse d’eau dm
qui s’est transformée en glace entre les instants t et t + dt.
6. Que vaut la variation d’enthalpie de cette masse d’eau entre t et t + dt ? Effectuer un bilan
enthalpique de cette masse d’eau entre ces deux instants pour établir :
'
∂ Tg
dξ
λg
= ρg L .
∂ z ξ (t)
dt
5. On désigne par vg =
7. vg est suffisamment faible pour que la distribution de température dans la glace soit à tout
instant celle de l’état stationnaire (approximation quasi stationnaire).
Que devient l’équation de la diffusion thermique dans l’approximation quasi stationnaire ?
En déduire le profil Tg (z,t) puis le gradient de température au sein de la glace en fonction de
ξ (t), T0 et T f .
8. Déduire alors de la question 6 une équation différentielle sur ξ (t). Montrer qu’alors ξ (t) =
√
Dt, où D est une constante que l’on explicitera en fonction de λg , ρg , L, T f et T0 .
9. Application numérique : calculer D pour T0 = −30◦C puis l’épaisseur de glace formée
après un jour, une semaine, un mois, six mois.
9.14 Température terrestre (d’après ENS, École de l’Air, Agrégation de Chimie, École
Polyecthnique) (⋆)
La température T (r), à l’intérieur de la Terre, décroît avec le rayon r. La surface de la Terre
se situe au rayon r = R. La Terre a une conductivité thermique λ , une masse volumique ρ et
une capacité calorifique massique c, toutes trois uniformes dans ce problème. Elle contient
des sources radioactives qui dégagent une puissance thermique par unité de masse H (r) (en
W.kg−1 ) qui peut varier avec le rayon.
1. On note q la densité de flux thermique radial (en W.m−2 ) à la profondeur r et l’instant t.
Démontrer une équation différentielle reliant q, T et H.
2. En déduire l’expression de l’équation de la diffusion thermique. Donner les unités de toutes
les quantités apparaissant dans cette équation en unités de base c’est à dire en kg, K, s et m.
On se place en régime permanent. les sources radiocatives sont concentrées dans la croute :
il n’y a pas de sources radioactives de r = 0 à r = rm et H est uniforme entre les rayons rm et
R. La température en surface est T = T0 .
3. De combien de conditions aux limites a-t-on besoin pour calculer le champ de température
dans la Terre ? Quelles sont-elles ?
4. Si la Terre était en régime conductif permanent, avec tous ses éléments radioactifs contenus
dans la croûte (rm $ r $ R), la valeur du gradient de température dT /dr en K.km−1 près de
la surface de la Terre serait :
& '
3
dT
ρH
ρ H rm
=−
R+
,
dr R
3λ
3 λ R2
et la tempétaure au centre de la Terre :
Tmathitcentre = T0 −
3
ρ H 2 ρ H 2 ρ H rm
.
rm +
R +
2λ
6λ
3λ R
247
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
Mener les deux applications numériques et conclure :
R = 6370 km
rm = 6340 km
λ = 4 W.m−1 .K−1
H = 5.10−10 W.kg−1
ρ = 2800 kg.m−3
T0 = 290 K
5. Exprimer le flux thermique total en surface de la planète en fonction de la quantité totale
de puissance radioactive dissipée. Généraliser ce résultat à partir du résultat de la question 2
pour une puissance radioactive constante dans le temps mais qui varierait en fonction de la
profondeur.
On néglige maintenant la sphéricité et les sources radioactives des questions 1 à 6, mais on
ne se place pas en régime permanent. Compte tenu de la faible courbure locale de la Terre, on
adopte un modèle cartésien unidimensionnel : la température ne dépend que de la profondeur
z comptée positivement. La température vérifie donc l’équation de la diffusion thermique sans
terme de création.
6. Écrire l’équation différentielle vérifiée par la densité de flux thermique.
Au milieu du XIXe , lord Kelvin a imaginé que la Terre a été formée à une température élevée
uniforme T0 au moment t = 0. Instantanément, sa surface a été soumise à une température
TS < T0 . Depuis ce temps là, la planète se refroidit. Lord Kelvin a modélisé ce refroidissement
pour en déduire l’âge de formation de la Terre.
7. La densité de flux thermique est donc une fonction de la profondeur
et
' du temps, q (z,t).
&
A
z2
Vérifier la solution proposée par lord Kelvin, q (z,t) = √ exp −
, où t est le temps
4Dt
Dt
écoulé depuis la formation de la Terre.
Dessiner schématiquement la valeur absolue de la densité de flux thermique, en fonction de
la profondeur pour deux époques différentes.
8. Les paramètres du problème sont T0 − TS , λ , ρ et c p . A est donc de la forme :
A = a (T0 − TS )α λ β ρ γ cδp ,
où a, α , β , γ et δ sont des constantes sans dimensions.
Calculer α , β , γ et δ par analyse de l’homogénéité de la formule de lord Kelvin.
9. On cherche à calculer a. Connaissant q (z,t), un calcul d’intégration (non demandé) mène
à:
ˆ
2A ξ −s2
z
T (z,t) = −
e ds + B où ξ = √
λ 0
2 Dt
Examiner les limites en t = 0 et t → ∞ pour déterminer A et B. En déduire a sachant :
√
ˆ ∞
2
π
e −s ds =
2
0
10. Exprimer la valeur du gradient thermique en surface de la Terre. Lord Kelvin a admis
que T0 − TS était de l’ordre de 1000 K à 2000 K et que la diffusivité thermique D était proche
de 10−6 m2 .s−1 , l’augmentation de température avec la profondeur mesurée dans les mines
indiquait un gradient thermique de 30 K.km−1 . Quel âge de la Terre lord Kelvin a-t-il déduit
de son modèle ?
11. La Terre a environ 4, 5 milliards d’années. Quel est le ou les ingrédients physiques que
lord Kelvin n’aurait pas dû négliger ? Pourquoi l’a-t-il ou les a-t-il négligés ?
248
CORRIGÉS
9.1 Diffusion dans un mur
d2 T0
d2 T1
1. Dans la pierre 2 = 0 et dans l’isolant 2 = 0. Attention ! il y a deux milieux différents
dx
dt
dans le mur, donc deux champs de températures distincts. L’intégration des équations donne
T0 (x) = a0 x + b0 et T1 (x) = a1 x + b1.
2. Quatres constantes d’intégration donc quatre conditions aux limites à expliciter.
• en x = 0, T0 (0) = Ti = b0 ;
• en x = e0 , T0 (e0 ) = T1 (e0 ) donc a0 e0 + b0 = a1 e0 + b1 ;
∂ T0
∂ T1
(e0 ) = −λ1
(e0 ),
• en x = e0 , continuité du flux thermique, j0 (e0 ) S = j1 (e0 ) S : −λ0
∂x
∂x
donc λ0 a0 = λ1 a1 ;
• en x = e0 + e1 = L, l’énoncé précise la loi de Newton, ϕ (L) = hS (T1 (L) − Te ), qui s’écrit
∂ T1
(L) = hS (T1 (L) − Te ), donc −λ1 a1 = h (a1 L + b1 − Te ). Attention ! le flux est orienté
−λ1
∂x
dans le sens des x croissants, donc la différence de température, en convention récepteur,
est orienté dans le sens des x décroissants, c’est bien T1 (L) − Te .
3. Trois résistances thermiques pour la pierre, l’isolant et la loi de Newton :
ϕ
Ti
R0 =
ℓ1
λ1 S
T0
R1 =
ℓ2
λ2 S
TL
RN =
1
hS
Te
Ti − Te
. Puis Ti − T0 = R0 ϕ implique T0 = Ti −
R0 + R1 + RN
R0
RN
(Ti − Te ). De même TL − Te = RN ϕ implique TL = Te +
(Ti − Te ).
R0 + R1 + RN
R0 + R1 + RN
4. Ti − Te = (R0 + R1 + RN ) ϕ donc ϕ =
9.2 Isolation d’une pièce (d’après CCP)
1.
a. [ jth ] = W.m−2 et [φ ] = W (page 213 du cours).
# –
Loi de Fourier : #–
ȷth = −λ grad T , où le ⊖ signifie que l’énergie va des zones de forte température vers celles de faible température.
b. En régime stationnaire, pour une tranche d’épaisseur dx :
dU = U (t + dt) − U (t) = 0 = φ (x) dt − φ (x + dx)dt.
dT
φ
S s’intègre en T (x) − T1 =
x. En x = L,
Ainsi φ ne dépend pas de x. Alors φ = −λ
dx
λS
φ
x
T2 − T1 =
L donc : T (x) = T1 + (T2 − T1 ) .
λS
L
249
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
c. T1 − T2 = Rth φ donc Rth =
L
.
λS
L2
L1
+
.
a. Les deux barres sont en série : Rth = Rth 1 + Rth 2 =
λ1 S λ2 S
N
Rth 2 T1 + Rth 1 T2
T − T j = Rth 1 φ
⇒ Tj =
b. 1
.
T j − T2 = Rth 2 φ
Rth 1 + Rth 2
Attention ! Bien se mettre en convention récepteur pour écrire les « lois d’Ohm ».
3.
a. Si Tparoi > Tp alors l’énergie va de la vitre vers la pièce, donc #–
ȷth est bien porté par
#–
n . Elle va de la pièce vers la vitre si Tparoi < Tp et donc #–
ȷth est bien porté par − #–
n.
b. Il y a 5 éléments en série dans R1 :
1
. En effet φ = jth S =
• une interface vitre / air de la pièce de résistance thermique
hS
1
hS (Tparoi − Tp) =
(Tparoi − Tp ),
Rth
ev
,
• une 1ère vitre avec
λv S
ea
,
• une couche d’air sec avec
λa S
e
v
,
• une 2nde vitre avec
λv S
1
• une interface vitre – air extérieur de résistance thermique .
hS
2ev
ea
2
Au final : R1 =
+
+
= 0, 967 K.W−1 .
hS λv S λa S
R1
= 0, 242 K.W−1 .
Les 4 fenêtres sont en parallèle donc : R4 =
4
c. Le radiateur compense les pertes. En notant φ4 le flux thermique à travers les 4 fenêtres :
Tp − T0 = R4 φ4 . C’est la puissance à compenser par le radiateur (avec Tp − T0 = 23 K) :
Tp − T0
P=
= 95 W.
R4
4.
a. Le système est électrocinétiquement équivalent à :
2.
φ4
Tp (t)
C
R4
T0
dTp
dTp
= −φ4 et Tp (t) − T0 = R4 φ4 impliquent R4C
+
Pour l’air contenu dans la pièce, C
dt
dt
'
&
$
#
t
Tp (t) = T0 . Ainsi Tp (t) = T0 + Tp (0) − T0 exp −
.
R4C
b. On évalue C à l’instant initial où on connait la pression :
C = ncV m =
250
R
P0V
P0V
=
= 1, 26.105 J.K−1 .
RTp (0) γ − 1 (γ − 1) Tp (0)
c. Tp (τ ) = 286 K donc τ = 22, 4.104 s = 6 heures 14 minutes.
Il fait 13◦ C au bout de 6 heures d’arrêt de chauffage alors que la température extérieure est
de 2◦ C. Sans double vitrage, il ferait beaucoup plus froid dans la pièce.
9.3 Fil parcouru par un courant électrique
−3
1. P est une puissance volumique
&
' en W.m . la démonstarion du cours est à connaître, pour
∂T
λ ∂
∂T
=
r
+ P = 0.
aboutir à ρ c
∂t
r ∂r
∂r
&
'
dT
P
P 2
d
dT
dT
r
= − r donc r
=−
=
2. En régime indépendant du temps,
r + α , soit
dr
dr
λ
dr
2λ
dr
α
P 2
P
−
r + et finalement T (r) = −
r + α ln r + β .
2λ
r
4λ
"
P ! 2
R − r2 + T0 .
α = 0 car T ne diverge pas quand r → 0. De plus, avec T (R) = T0 , T (r) =
4λ
T
T
PR
2h
T0
T0
r
r
Question 3
Question 2
P 2
r + α ln r + β , avec α = 0 car T ne diverge pas quand r → 0,
3. On a toujours T (r) = −
4λ
mais la condition aux limites en r = R change. On y écrit la continuité du flux :
&
'
P 2
PR
=h −
jth (R) Sdt = h (T (R) − T0 ) Sdt ⇒
R + β − T0 ,
2
4λ
donc :
β=
P 2
PR
R + T0 +
4λ
2h
⇒
T (r) =
9.4 Four à micro-ondes (d’après Mines)
"
PR
P ! 2
R − r2 + T0 +
.
4λ
2h
1. Appliquons le premier principe à une tranche d’épaisseur dx, avec u (x,t) l’énergie interne
massique :
#
$
dU = U(t + dt) − U(t) = ρ Sdx u (x,t + dt) − u (x,t)
dU = ρ Sdx
∂u
∂T
dt = ρ Sdxc
dt
∂t
∂t
Comme dU = δ W + δ Q = δ Q (système indéformable) :
'
&
'
&
P
∂ jth
dx
dt.
dU = jth (x,t) S − jth (x + dx,t)S +
Sdx dt = −
Sdx + P
2eS
∂x
2e
251
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
λ ∂ 2T
∂T ∂T
P
:
=
.
+
∂x ∂t
ρ c ∂ x2 2eSρ c
#–
Continuité du flux thermique en x = ± e : ȷth (e,t) = − #–
ȷth (−e,t) = g (Ts (t) − T0 ) u#–x .
On vérifie bien que si Ts (t) > T0 alors l’énergie est dirigée dans le sens des x croissants en
x = e et suivant −u#–x en x = −e.
P
d2 T
P
dT
=−
2. En régime indépendant du temps : 2 = −
, donc
x + c1 .
dx
2eSλ
dx
2eSλ
P
P
Or jth (e,t) = − jth (−e,t) donc
e + c1 =
e − c1 et ainsi c1 = 0.
2eSλ
2eSλ
Le système physique est symétrique par rapport à x = 0. Il ne peut donc pas y avoir dans
Tp (x) de terme facteur de x qui romprait cette symétrie.
P 2
P 2
P 2
x + c2 , et Tp (e) = −
e + c2 , donc c2 = Tp (e) +
e . FinaPuis : T (x) = −
4eSλ
4eSλ
4eSλ
!
"
P
e2 − x 2 .
lement : Tp (x) = Tp (e) +
4eSλ
Comme jth (x,t) = −λ
Tp (x)
Pe
4Sλ
Tp (± e)
e
−e
On a immédiatement : Tp (0) = Tp (e) +
Pe
.
4Sλ
x
P
= g (Tp (e) − T0 ). Et
La température de l’interface est continue : Ts = Tp (e) donc jth (e) =
2S
#
$
ge
P
P
donc Tp (0) = T0 +
1+
.
Tp (e) = T0 +
2Sg
2Sg
2λ
3. T (x, 0) = T0 = T0 + (Tp (x) − T0 ) × (1 − f (0)) donc f (0) = 1.
T (x, ∞) = Tp (x) = T0 + (Tp (x) − T0) × (1 − f (∞)) donc f (∞) = 0.
$ d2 T
#
$ P
∂T
∂ 2T #
p
= − [Tp (x) − T0] f ′ (t) et
=
1
−
f
(t)
=
f
(t)
−
1
. L’équation de
4.
∂t
∂ x2
dx2
2eSλ
P
f (t) = 0. Où :
la diffusion devient f ′ (t) +
2eSρ c [Tp (x) − T0 ]
12
3
0
φ (x)
&
'
1
2eSρ c
P
P
2
2
=
T0 +
+
(e − x ) − T0
φ (x)
P
2Sg 4eSλ
&
''
$ eρ c &
g
ge
x2
2eSρ c P #
2
2
1+
1+
1− 2
.
=
(e − x ) =
P 2Sg
2eλ
g
2λ
e
φ (x) ne dépend pas de x dès que
252
ge
≪ 1, c’est-à-dire ge ≪ 2λ .
2λ
Attention ! On ne peut pas conclure à la 2ème ligne par un horrible g ≪ 2eλ car g et 2eλ ne
sont pas homogènes. Il faut la 3ème pour n’avoir que des termes adimensionnés.
&
'
&
'
t
t
g
′
f (t) = 0, dont la solution est f (t) = f (0) exp −
= exp −
où
Alors f (t) +
eρ c
τs
τs
eρ c
.
τs =
g
2λ
P
donc l’hypothèse est vérifiée. τs = 2.103 s ≈ 33 min et Tp (0) = T0 +
=
5. ge =
20
2Sg
2793 K. La température au centre de la nourriture est très élevée ! Il y a vaporisation de l’eau
contenue avant.
6. D’après la solution du 3&et l’hypothèse
précédente,
la température de la nourriture est don&
''
t
P
née par T (t) = T0 +
1 − exp −
. Les premières bulles de vapeur apparaissent
2Sg
τs
pour T (τe ) = 373 K, soit : τe = 65 s. Il suffit d’attendre une minute pour réchauffer la nourriture.
9.5 Stockage d’azote liquide (d’après ENSAM)
1. [λ ] = W.m−1 .K−1 .
&
'
∂T
λ 1 ∂
2 ∂T
=
r
.
2. Démonstration à connaître, page 218 du cours :
∂t
ρ c r2 ∂ r
∂r
4
3. m = π R3 ρN2 = 3, 35 kg.
3
&
'
∂T
dT
dT
d
= 0, alors
r2
= 0, donc r2
=
4. En régime permanent indépendant du temps,
∂t
dr
dr
dr
a
a et T (r) = − + b.
r
Avec les conditions
T (R) = TN2 et T (R + e) = Text , on aboutit à T (r) = TN2 +
& aux limites
'
R
R+e
1−
.
(Text − TN2 )
e
r
∂T
R (R + e)
4π r2 = −4πλ (Text − TN2 )
.
5. ϕ1 = jth (r) S (r) = −λ
∂r
e
Remarque : on trouve bien que le flux se conserve (régime forcé continu sans terme de création).
#–
Text > TN2 donc ϕ1 < 0. Comme dS est orienté suivant +u#–r , ϕ1 est orienté vers le centre du
ballon, N2 se réchauffe.
TN − Text
e
(remarque : on adapte les
Pour la résistance thermique : Rth = 2
=
ϕ1
4πλ (R + e)R
notations pour avoir Rth > 0).
6. Le flux thermique ϕ1 est la puissance reçue par l’azote. N2 reçoit l’énergie dH pendant la
durée dt : dH = −ϕ1 dt.
Remarque 1 : ⊖ car ϕ1 est perdu par le polystyrène mais gagné par N2 , on change de système.
Remarque 2 : l’énergie gagné est notée dU ou dH car les deux sont identiques pour une phase
condensée. On préfère toutefois dH car LV est une enthalpie massique.
L’énergie dH est utilisée pour vaporiser une masse dm : dH = dm LV .
253
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
Ainsi
ϕ1
dm
R (R + e)
=−
= 4πλ (Text − TN2 )
.
dt
LV
eLV
7. Applications numériques : ϕ1 = −29, 4 W et
dm
= 1, 47.10−4 kg.s−1 = 529 g.h−1 .
dt
8. [h] = W.m−2 .K−1 .
9. La puissance perdue par le polystyrène vaut ± jc 4π (R + e)2 .
Si Text > TS alors l’air est plus chaud que le polystyrène, qui reçoit alors de l’énergie :
P = 4π (R + e)2 h (Text − TS ) > 0.
Si Text < TS alors l’air est plus froid que le polystyrène, qui perd alors de l’énergie :
P = 4π (R + e)2 h (Text − TS ) < 0.
Dans tous les cas : P = 4π (R + e)2 h (Text − TS ).
10. ϕc = jc 4π R2 = h (Text − TS ) 4π R2
⇒
RN =
11. Schéma électrique équivalent :
1
4π (R + e)2 h
.
ϕ2
Rth
TN2
RN
TS
Text
12. Le formalisme électrocinétique permet d’écrire TN2 − TS = Rth ϕ2 et TS − Text = RN ϕ2 . En
RN TN2 + Rth Text
TN − Text
éliminant ϕ2 : TS =
. Puis TN2 − Text = (Rth + RN ) ϕ2 donc ϕ2 = 2
.
Rth + RN
Rth + RN
dm
= 1, 41.10−4 kg.s−1 = 506 g.h−1 . Il y a une amélioration, moins
13. ϕ2 = −28, 1 W et
dt
de N2 est perdu.
9.6 Taille des mammifères marins
1. Il n’y a aucune puissance volumique créée dans l’eau.
est à connaître
& La démonstration
'
∂T
λ ∂
2 ∂T
= 2
r
.
pour aboutir, en coordonnées sphériques à
∂t
cr ∂ r
∂r
&
'
dT
dT
α
d
dT
r2
= 0, soit r2
= α ou
= 2 , puis
2. En régime indépendant du temps,
dr
dr
dr
dr
r
α
T (r) = − + β .
r
À l’infini, pour r → ∞, T (∞) = β = T∞ .
De plus, toute la puissance thermique P créée par le mammifère est cédée à l’eau en r = R.
En effet, le mammifère ne garde aucune puissance pour lui en régime permanent, car s’il
en gardait, sa température augmenterait, on ne serait plus en régime permament. Ainsi P =
dT
P
P
−λ
(R) 4π R2 = −4πλ α . Finalement : T (r) =
+ T∞ et TC =
+ T∞.
dr
4πλ r
4πλ R
254
4
3. P = 4πλ R (TC − T∞ ). Or le mammifère crée une puissance π R3 a. Il ne meurt pas de
3
froid si :
6
3λ (TC − T∞ )
4 3
.
π R a " 4πλ R (TC − T∞ ) ⇒ R "
3
a
Il existe donc un rayon limite inférieur à la taille du mammifère. On voit que plus la température de l’eau, T∞ , est élevée, plus cette limite est faible.
Le raisonnement n’est pas valable dans l’air car la conductivité thermique de l’air est bien
moindre que celle de l’eau. d’autres facteurs entrent en jeu.
9.7 Température dans une barre nucléaire
1. ℓ ≫ a : indépendant de z (on néglige les effets de bord, tout se passe comme si la barre
était infiniment longue). Invariance du problème par rotation autour de l’axe Oz : indépendant
de θ .
&
'
P
∂T
λ 1 ∂
∂T
2. Démonstration à connaitre, page 217 du cours :
=
r
+ .
∂t
ρ c r ∂&r
∂ r'
ρc
∂ TNa
λNa 1 ∂
∂ TNa
=
r
.
Pas de terme de création dans le sodium :
∂t
ρNa cNa r ∂ r
∂r
&
'
∂T
λ d
dT
= 0, donc avec des « d » droits,
r
+ P = 0, qui
3. En régime forcé continu
∂t
r dr
dr
P 2
s’intègre en T (r) = −
r + α ln r + β .
4λ
P 2
T ne peut pas diverger quand r −→ 0 donc α = 0. La condition aux limites est Ta = −
a +
4λ
"
P ! 2
a − r2 .
β . Finalement T (r) = Ta +
4λ
La puissance thermique délivrée au sodium par unité de surface est le flux thermique par unité
aP
dT
(a) =
= jth (a).
de surface en r = a, c’est-à-dire la valeur de jth en r = a : jth (a) = −λ
dr
2
&
'
dTNa
d
r
= 0 donc TNa (r) = γ ln r + δ .
4. En régime forcé continu,
dr
dr
La condition aux limites en r = a + e impose T0 = γ ln (a + e) + δ .
En r = a, le flux thermique est continu, l’interface combustible/sodium ne garde aucune
énergie :
! "
! "
ϕ a− = ϕNa a+
et ainsi γ = −
⇒
−λ
dT
dTNa
2π aℓ = −λNa
2π aℓ
dr
dr
⇒
γ
aP
= −λNa ,
2
a
a2 P
.
2λNa
a2 P a + e
ln
+ T0 .
2λNa
r
a2 P
dTNa
(a + e) =
= jNa (a + e).
Puis : jNa (a + e) = −λNa
dr
2 (a + e)
Le flux se conserve dans le sodium (régime indépendant du temps sans terme de création),
ainsi : jth (a) 2π aℓ = jNa (a + e)2π (a + e)ℓ.
Finalement : TNa (r) =
255
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
5. La surface S de l’interface entre le combustible nucléaire et le sodium est S = 2π a ℓ. D’où
P = jth (a) S = P π a2ℓ = P. La puissance reçue par le sodium est égale à la puissance
délivrée par le combustible. En régime permanent, le combustible ne garde aucune énergie ;
sa température reste constante.
6. Pour une masse dm de sodium qui entre (système de volume constant car phase condensée) :
dU = δ W + δ Q = 0 + P dt ⇒ dm c (T2 − T1 ) = P dt.
Avec
P π a2 ℓ
P
dm
le débit massique : Dm =
=
.
dt
c (T2 − T1 ) c (T2 − T1 )
9.8 Bilan entropique macroscopique
1. La diffusion thermique est orientée des zones de forte température vers celles de faible
température. Elle est ici dirigée dans le sens de sx croissants, donc T1 > T2 .
T1 − T2 λ S
(T1 − T2 ).
=
2. ϕ =
Rth
ℓ
3. dS = S (t + dt) − S (t) = 0 en régime indépendant du temps (S ne dépend pas de t, elle est
identique en t et t + dt).
4. Le système gagne un transfert thermique δ Q1 = ϕ dt à gauche, avec la source de température T1 . Il perd un transfert thermique δ Q2 = −ϕ dt à gauche, moins car perdu, avec la source
ϕ dt ϕ dt
λ S (T1 − T2 )2
T2 − T1
de température T2 . Ainsi δ Séch =
−
= ϕ dt
=−
dt
T1
T2
T1 T2
ℓ
T1 T2
λ S (T1 − T2 )2
dt > 0. La diffusion
5. dS = δ Séch + δ Scréée = 0 donc δ Scréée = −δ Séch =
ℓ
T1 T2 ,
thermique est irréversible.
9.9 Diffusion entre deux solides
1. Si un des deux éléments, C1 ou C2 , a une température différente de l’autre, alors on observe
un phénomène de diffusion du plus chaud vers le plus froid.
Or B ne garde aucune énergie pour elle, car sa capacité thermique CB = LSρ c est négligeable
devant celle CC1 = CC2 = V ρ c de C1 ou C2 . Toute l’énergie qui quitte C1 arrive en C2 , et vice
versa.
Ainsi le le flux se conserve dans B. On intègre la conservation du flux par rapport à x pour
T1 − T2
ℓ
trouver l’expression demandée, qui est celle de la résistance thermique Rth =
=
,
λS
ϕ
dont il faut connaître la démonstration.
dT1
T1 − T2
dT2
T1 − T2
2. Premier principe à C1 et C2 : ρ cV
= −ϕ = −
=ϕ =
et ρ cV
.
dt
Rth
dt
Rth
Ce sont bien les mêmes ϕ dans les deux équations car B ne garde aucune énergie, il ne peut
pas la stocker.
Remarque : ϕ est arbitrairement orienté de T1 vers T2 et T1 − T2 = Rth ϕ .
256
On effectue la somme et la différence des équations puis on intègre, avec τ = RthV ρ c :
⎧
⎧
# t$
dσ
T10 + T20 T10 − T20
⎪
⎪
⎪
=0
+
exp − ,
⎨
⎨ T1 =
dt
2
2
τ
⇒
# t$
δ
δ
d
⎪
⎪
+
T
−
T
T
T
10
20
10
20
⎪
⎩ T =
⎩ V ρc
= −2
−
exp − .
2
dt
Rth
2
2
τ
3. La loi d’Ohm thermique est valable en régime permanent, ou au moins dans l’ARQS.
La température du système varie sur une durée τ . Lors d’une variation de T1 ou de T2 , la
température dans B arrive à au profil affine sur une durée θ :
ρc
∂T
∂ 2T
=λ 2
∂t
∂x
⇒
ρc
T
T
∼λ 2
θ
ℓ
⇒
θ∼
ρ cℓ2
.
λ
On est dans l’ARQS si θ ≪ τ .
9.10 Contacts thermiques
1. La démonstration de l’équation de la diffusion thermique est à savoir par cœur et, en ré∂ T1
∂ 2 T1
= λ1 2 = 0 donc T1 (x) = a1 x + b1 . De même : T2 (x) =
gime stationnaire : ρ1 c1
∂t
∂x
a2 x + b2 .
Les conditions aux limites imposent :
• T1 (ℓ1 ) = T1 ⇒ a1 ℓ1 + b1 = T1
(1)
• T2 (ℓ2 ) = T2 ⇒ a2 ℓ2 + b2 = T2
(2)
• T1 (0) = T2 (0) = T0 ⇒ b1 = b2 = T0
• ϕ1 (0) = ϕ2 (0) ⇒ λ1 a1 = λ2 a2 .
&
'
λ1
.
Et : (1) − (2) ⇒ a1 ℓ1 − a2ℓ2 = T1 − T2 = a1 ℓ1 − ℓ2
λ2
λ2
λ1
et a2 = (T1 − T2 )
.
D’où : a1 = (T1 − T2 )
λ2 ℓ1 − λ1 ℓ2
λ2 ℓ1 − λ1 ℓ2
T2 λ2 ℓ1 − T1 λ1 ℓ2
Puis : b1 = b2 =
.
λ2 ℓ1 − λ1 ℓ2
λ2 x
T2 λ2 ℓ1 − T1 λ1 ℓ2
Finalement : T1 (x) = (T1 − T2 )
+
,
λ2 ℓ1 − λ1 ℓ2
λ2 ℓ1 − λ1 ℓ2
λ1 x
T2 λ2 ℓ1 − T1 λ1 ℓ2
+
.
et T2 (x) = (T1 − T2)
λ2 ℓ1 − λ1 ℓ2
λ2 ℓ1 − λ1 ℓ2
Attention ! ℓ1 < 0
T2 λ2 ℓ1 − T1 λ1 ℓ2
.
2. T0 =
λ2 ℓ1 − λ1 ℓ2
Méthode alternative plus rapide :
x
• on n’utilise pas la conservation du flux à la première question : T1 (x) = (T1 − T0 ) + T0 .
ℓ1
x
et T2 (x) = (T2 − T0 ) + T0 ;
ℓ2
T1 − T0
T2 − T0
= λ2
.
• on écrit ϕ1 (0) = ϕ2 (0) lors de la deuxième question :λ1
ℓ1
ℓ2
257
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
Méthode encore plus rapide avec Rth , en éliminant ϕ dans T1 − T0 = R1 ϕ et T0 − T2 = R1 ϕ :
T1
T2
R1 + R2
T0 = 1
.
1
R1 + R2
ϕ
−ℓ1
λ1 S
(car ℓ1 < 0)
R1 =
T1
T0
R2 =
ℓ2
λ2 S
T2
T1 λ1 + T2 λ2
= 20◦C (contact métal/peau), 27, 5◦C (contact bois/peau).
λ1 + λ2
Le bois paraît plus chaud que le métal. Le métal est plus conducteur que le bois, donc nous
prélève plus facilement notre énergie thermique ; d’où l’impression de « fraicheur » relative
au toucher.
∂T
∂ 2T
4.
=D 2 .
∂t
∂x
. &
'
/
x
2
2
5. Soit G une primitive de g : u 9→ e−u . Alors : f (x,t) = √ G √
− G (0) .
π
2 Dt
Ainsi :
&
' &
'
2 ∂
∂f
x
x
√
=√
g √
∂t
π ∂ t 2 Dt
2 Dt
'
'
&
&
x
x
x2
x2
2
√
√
√
=−
exp −
exp −
=−
4Dt
4Dt
π 4 Dt 3/2
2 π Dt 3/2
&
' &
'
∂f
2 ∂
x
x
√
=√
g √
∂x
π ∂ x 2 Dt
2 Dt
'
&
1
x2
2
= √ √ exp −
4Dt
π 2 Dt
&
'
'
&
2
∂ f
1 −2x
x2
x
2
x2
exp −
=− √
=√ √
exp −
∂ x2
4Dt
4Dt
π 2 Dt 4Dt
2D π Dt 3/2
3. Avec |ℓ1 | ≈ ℓ2, T0 =
∂f
∂2 f
=D 2.
∂t
∂x
√
T
T
∂T
∂ 2T
= D 2 s’écrit en ordre de grandeur ∼ D 2 donc : L ∼ Dt.
6.
∂t
∂x
τ
L
Sur une durée finie (τ < ∞), la diffusion ne change donc pas la température à l’infini. Ainsi
lim T1 (x,t) = T1 et lim T2 (x,t) = T2 .
On a bien
x→−∞
x→+∞
7. Les conditions aux limites imposent :
• lim T1 (x,t) = T1 = a1 − b1.
x→−∞
• lim T2 (x,t) = T2 = a2 + b2.
x→+∞
258
• T1 (0,t) = T2 (0,t) = T0
a1 = a2 = T0 .
∂ f1
∂ f2
λ1 b1
λ2 b2
(0,t) = λ2 b2
(0,t) c’est-à-dire √ = √ donc
• ϕ1 (0,t) = ϕ2 (0,t) ⇒ λ1 b1
∂x
∂x
D1
D2
b 1 E1 = b 2 E2 .
&
'
E1
E2
+1
⇒ b1 = (T2 − T1 )
.
8. T2 − T1 = b2 + b1 = b1
E2
E1 + E2
T1 E1 + T2 E2
T0 = T1 + b1 =
= 22◦ C (contact métal/peau), 34◦ C (contact bois/peau).
E1 + E2
Le bois paraît plus chaud que le métal.
9. Le modèle A est en régime forcé continu, obtenu au bout d’un temps « très long » pour
arriver à l’équilibre thermique entre les deux corps. L’expérience du toucher d’un objet est
trop rapide pour arriver à l’équilibre thermique.
Le modèle du B est alors mieux adapté.
Toutefois, les corps ont une extension spatiale infinie dans ce modèle, ce qui est faux dans
l’expérience. Mais la durée Txp de l’expérience
5 de toucher permet à la diffusion thermique
de se faire sentir sur une distance d’environ DTxp qui n’est pas infinie. Ce modèle B reste
5
adapté tant que la profondeur des corps reste largement supérieure à DTxp .
⇒
9.11 Étude simplifiée d’un dissipateur de chaleur (d’après CCP)
# –
1. #–
ȷth = −λ gradT .
2. Il y a diffusion d’énergie des zones de forte température vers celles de faible température.
3. dP est en W donc [h] = W.K−1 .m−2 .
4. Appliquons le premier principe à une tranche d’épaisseur dx entre t et t + dt :
dU = U (t + dt) − U (t) = 0
en régime permanent.
La tranche reçoit algébriquement pendant dt :
dU = δ Q = jth (x)ea − jth (x + dx)ea − dP,
#
$
d jth
eadx − h T (x) − Ta 2adx.
dU = δ Q = −
dx
6
$
dT d2 T 2h #
λe
:
T (x) − Ta où L =
.
Comme jth (x) = −λ
−
dx dx2 λ e
2h
5. L = 3, 6 cm.
6. • En x = 0, continuité de la température : T (0) = T0 . #
$
• En x = ℓ, continuité du flux thermique : jth (ℓ) ea = h T (x) − Ta ea, on aboutit donc à
0 12 3 0
12
3
x=ℓ−
x=ℓ+
'
$
#
dT
−λ
= h T (ℓ) − Ta .
dx x=ℓ
d2 θ θ (x)
7. Posons θ (x) = T (x) − Ta . Alors 2 − 2 = 0, dont la solution est :
dx
L
#x$
#x$
+ β sh
.
θ (x) = α ch
L
L
259
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
Les conditions aux limites imposent :
⎧
⎪
⎨ T (0) = Ta + α = T0
& '
& '
&
& '
& ''
h
α
β
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
⎪
sh
+ ch
=−
+ β sh
α ch
⎩
L
L
L
L
λ
L
L
⎧
α = T0 − Ta = 50 K
⎪
⎪
⎪
& '
& '
⎪
⎪
⎨
1
ℓ
h
ℓ
sh
+ ch
L
L
λ
L
⎪
& '
& ' = −26, 0 K
β = (Ta − T0 )
⎪
⎪
⎪
1
ℓ
h
ℓ
⎪
⎩
ch
+ sh
L
L
λ
L
& '
& '
⎞
1
ℓ
h
ℓ
sh
+
ch
# x $⎟
⎜ #x$ L
L
λ
L
⎟
Finalement : T (x) = Ta + (T0 − Ta ) ⎜
⎝ch L − 1 & ℓ ' h & ℓ ' sh L ⎠ .
ch
+ sh
L
L
λ
L
Remarque : si on intègre directement en T (x), la solution particulière est Ta .
⎛
T (K)
342
340
338
336
1
2
x (cm)
T (ℓ) − T0
= −2, 1.10−2. L’écart relatif entre la température du bout
T0
de l’ailette et la température ambiante est de 2, 1%.
8. T (ℓ) = 336 K donc
9. P = h (T0 − Ta ) (2aℓ + 2eℓ + ae) ≃ 2aℓh (T0 − Ta ) = 9, 0 W.
En renonçant à l’hypothèse simplificatrice T (x) = T0 , pour une tranche d’épaisseur dx :
dP = h (T (x) − Ta ) 2 (a + e)dx ≃ 2ah (T (x) − Ta ) dx.
260
Pour toute l’ailette, en n’oubliant pas les échanges thermiques en x = ℓ :
ˆ ℓ
P = 2ah
(T (x) − Ta ) dx + h [T (ℓ) − Ta ] ae
0
ˆ ℓ#
α ch
#x$
+ β sh
# x $$
dx + h (T (ℓ) − Ta ) ae
L
L
O
#x$
# x $Pℓ
+ β L ch
= 2ah α L sh
+ h (T (ℓ) − Ta ) ae
L
L 0
P = 8, 5 W.
= 2ah
0
Il est normal de trouver un résultat plus faible car la véritable température de l’ailette est
inférieure à T0 ; les échanges thermiques sont donc moins intenses.
10. P ′ = h (T0 − Ta ) ae = 0, 45 W.
P
11. η = ′ = 20 : l’ailette permet d’évacuer beaucoup plus d’énergie et donc d’abaisser la
P
température de la puce.
9.12 Stockage des déchets radioactifs
1. Démonstration à connaître :
∂T
∂ 2T
λ
d2 T
= D 2 où D =
donc 2 = 0 en régime station∂t
∂z
ρc
dz
naire.
2. [ρ ] = kg.m−3, [λ ] = W.K−1 .m−1 , [c] = J.K−1 .m−3 et [D] = m2 .s−1 .
3. On a immédiatement T (z) = az + b. La condition aux limites en z = 0 est T (0) = T0 = b.
De plus, la moitié de la puissance dégagée par les colis monte à la surface par diffusion
thermique, l’autre moitié descend :
ϕ (−L) = jth (−L) S = −λ
dT
N p0
(−L) S =
dz
2
⇒
dT
N p0
(−L) = −
= a.
dz
2λ S
N p0 L
N p0
z + T0 et T (−L) =
+ T0 .
2λ S
2λ S
N p0 L
= 7, 1.106 m2 = 7, 1 km2 .
4. T (−L) $ Tmax ⇒ S "
2λ (Tmax − T0 )
5. Les déchets imposent un certain flux thermique, donc sont équivalent à une source de
N p0
(rappel : seule la moitié de la puissance dégagée par les déchets remonte
courant I0 =
2
L
LN p0
vers la surface) et R =
. De plus T (−L) − T0 = Rϕ = RI0 donc T (−L) = T0 +
.
λS
2λ S
Finalement T (x) = −
ϕ
I0 =
N p0
2
L
T (−L) R = λ S
T (0)
261
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
6. p0 diminue avec le temps, donc la surface S nécessaire aussi.
9.13 Gel d’un lac
∂ Tg #–
1. #–
ȷ th = −λg
uz .
∂z
∂ Tg
λg ∂ Tg
∂ 2 Tg
=
= Dg 2 .
∂t
ρ g cg ∂ t
∂x
3. Les conditions aux limites sont Tg (0,t) = T0 et Tg (ξ (t) ,t) = T f . Elles ne permettent pas
de déterminer Tg (z,t) car l’épaisseur de glace ξ (t) reste inconnue à ce stade.
4. En gelant, l’eau occupe un volume plus important (le volume massique de la glace est plus
faible que celui de l’eau) donc repousse l’eau liquide située en dessous.
5. L’interface entre l’eau est la glace est en ξ (t) à la date t et en ξ (t + dt) à la date t + dt.
la masse d’eau qui gèle entre ces deux dates occupe donc un volume S (ξ (t + dt) − ξ (t)).
La masse qui gèle vaut donc dm = ρg S (ξ (t + dt) − ξ (t)), soit, au premier ordre en dt, dm =
dξ
= ρg Svg dt.
ρg Sdt
dt
6. L’enthalpie massique de fusion de la glace est L, donc l’enthalpie massique de solidification est L . Alors dH = −Ldm.
Comme la transformation a lieu à pression constante, la variation d’enthalpie est égale au
transfert thermique :
'
∂ Tg
dξ
jth () ξ (t) Sdt = −Ldm ⇒ λg
= ρg L .
∂ z ξ (t)
dt
2. Démonstration à connaître :
∂ 2 Tg
=
∂ x2
T f − T0
T f − T0
∂ Tg
z + T0 et
=
.
0, d’où, compte tenu des conditions aux limites : Tg (z,t) =
ξ (t)
∂z
ξ (t)
!
"
dξ
8. On injecte dans l’équation du 6 : λg T f − T0 = ρg Lξ . En séparant les variables,
dt
"
"
λg !
λg !
2
2
T f − T0 dt, s’intègre en ξ (t) − ξ (0) =
T f − T0 (t − 0). Avec ξ (0) = 0,
ξ dξ =
ρg L
ρg L
√
"
λg !
T f − T0 .
on trouve ξ (t) = Dt, où D =
ρg L
9. D = 2, 18.10−7 m2 .s−1 et avec un mois de 30 jours et 182, 5 jours pour six mois :
7. Dans l’approximation quasi-stationnaire, l’équation de la diffusion thermique est
t
ξ
1 jour
19, 4 cm
1 semaine
51, 4 cm
1 mois
1, 06 m
6 mois
2, 62 m
9.14 Température terrestre
∂T
1 ∂ ! 2 "
=− 2
r q +
∂t
r ∂r
ρ H (r). Avec les notations du texte, le volume, une couronne sphérique d’épaisseur dr reçoit
pendant dt un transfert thermique δ Q = q (r,t) S (r) dt −q (r + dr,t)S (r + dr) dt + ρ H (r) dV dt.
1. La démonstration doit être connue. Comme dans le cours : ρ c
262
'
&
'
&
∂T
λ ∂
∂T
∂T
: ρ cp
= 2
r2
+ ρ H (r).
2. Avec la loi de Fourier q = −λ
∂r
∂t
r ∂r
∂r
1
Pour les unités des Joules, on passe par : EC = mv2 donc J = kg.m2 .s−2 . Ainsi :
2
[c p ] = J.K−1 .kg−1 = K−1 .m2 .s−2
[λ ] = W.m−1 .K−1 = kg.m.s−3 .K−1
[ρ ] = kg.m−3
−1
2 −3
[H]
. =/W.kg = m .s
λ
= m2 .s−1
ρ cp
3. On résoud successivement
&
' l’équation de la diffusion sur [0, rm ] puis [rm , R] :
dT
dT
α
d
r2
= 0 ⇒ r2
= α ⇒ T (r) = − + β . Comme T ne
• 0 $ r $ rm :
dr
dr
dr
r
peut diverger en r = 0 : α = 0. Ainsi : T (r) = β .
• rm $ r $ R :
&
'
λ d
2 dT
r
= −ρ H
r2 dr
dr
⇒
r2
dT
ρH 3
=−
r +γ
dr
3λ
⇒
T (r) = −
ρH 2 γ
r − +δ.
6λ
r
On a finalement 3 constantes d’intégrations, il faut donc 3 conditions aux limites :
−
+
• continuité du flux thermique en r = rm : q (rm
) = q (rm
);
• l’énoncé ne précise rien, on utilisera donc la continuité de la température en r = rm :
− ) = T (r+ ) ;
T (rm
m
textbullet continuité de la température en r = R : T (R− ) = T0 .
& '
dT
4.
= 10, 4 K.km−1, conforme aux mesures expérimentales.
dr R
Et Tmax = 447 K. La valeur de la température au centre de la Terre est totalement fausse, et le
gradient de température est 3 fois trop faible, cf question 11.
5. En régime forcé continu, la Terre évacue toute l’énergie dégagée par radioactivité. Le
"
4 !
3
transfert thermique en surface est donc Φ (R) = q (R) S (R) = π R3 − rm
ρ H.
3
On retrouve la même chose avec le calcul :
& '
"
dT
4 !
3
4π R2 = π R3 − rm
ρ H.
Φ (R) = q (R) S (R) = −λ
dr R
3
Si H dépend de r, chaque couronne sphérique d’épaisseur dr, de volume dV = 4π r2 dr dégage
´R
une puissance dP = ρ HdV. La puissance totale radioactive vaut donc P = r=0 4πρ H (r) r2 dr.
Cette puissance est entièrement évacuée par transfert thermique en surface :
ˆ R
Φ(R) =
4πρ H (r) r2 dr.
r=0
6. On dérive l’équation de la diffusion thermique par rapport à z et on la multiplie par −λ :
∂q
λ ∂ 2q
=
.
∂t
ρ c p ∂ z2
263
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 9 – D IFFUSION THERMIQUE
'
'
&
&
∂q
A −3/2
A z2
z2
z2
√
√
=−
+
t
7.
exp −
exp −
∂t
4Dt
4Dt
2 D
Dt 4Dt 2
&
'
2
∂q
A
z
z
= −√
exp −
∂z
4Dt
Dt 2Dt
&
'
'
&
∂ 2q
z2
A # z $2
1
A
z2
exp −
+√
= −√
exp −
∂ z2
4Dt
2Dt
4Dt
Dt 2Dt &
Dt
'
&
'
∂q
A
z2
z2
Ainsi :
= √
exp −
et
−1 +
∂t
2& Dt 3
' 2Dt &
' 4Dt
2
2
2
z
z
A
∂ q
1
exp −
.
−1 +
= √
2
3
∂z
2Dt
4Dt D
2 Dt
L’équation de la diffusion thermique est bien vérifiée, avec la diffusivité thermique D =
q
t0
3t0
10t0
z
8. Les unités de A sont (l’exponentielle est sans unité) :
"!
"1/2 1/2
!
(s) = kg.m.s−3 .
[A] = [q] [D]1/2 [t]1/2 = W.m−2 m2 .s−1
On doit retrouver la forme proposée de A :
!
"β !
"γ !
"δ
kg.m−3 K−1 .m2 .s−2
[A] = Kα kg.m.s−3 .K−1
[A] = mβ −3γ +2δ kgβ +γ s−3β −2δ Kα −β −δ
⎧
β − 3γ + 2δ = 1
⎪
⎪
⎨
β +γ = 1
D’où le système :
−3β − 2δ = −3
⎪
⎪
⎩
α −β −δ = 0
Attention : bien tout écrire sous forme d’unités de base du système SI (m, kg, s, A, K).
Sous forme matricielle (pour profiter de l’inversion de matrice de la machine) :
⎞ ⎛
0
1 −3
2
1
⎜ 1 ⎟ ⎜ 0
1
1
0
⎟ ⎜
⎜
⎝ −3 ⎠ = ⎝ 0 −3
0 −2
1 −1
0 −1
0
⎛
264
⎞⎛
⎞
α
⎟⎜ β ⎟
⎟⎜
⎟
⎠⎝ γ ⎠
δ
⇒
⎛
⎞ ⎛
1
α
⎜ β ⎟ ⎜ 1
⎜
⎟ ⎜
⎝ γ ⎠=⎝ 0
0
δ
⎞
⎟
⎟.
⎠
λ
.
ρ cp
9. La Terre était initialement à T0 (en t = 0, c’est-à-dire pour ξ → ∞) :
√
ˆ
2A ∞ −s2
A π
T (z, 0) = T0 = −
e ds + B = −
+ B.
λ 0
λ
La Terre tend vers un équilibre thermique avec l’extérieur pour t → ∞, c’est-à-dire en ξ = 0 :
lim T (z,t) = TS = 0 + B.
t→∞
λ
1
Finalement B = TS et A = √ (TS − T0 ). Ainsi a = − √ .
π
π
'
&
dT
z2
A
= −λ
(z,t). Ainsi :
Remarque : q (z,t) = √ exp −
4Dt
dz
Dt
'
&
ˆ z
ˆ z
q (x,t)
A
x2
√
T (z,t) − T (0,t) =
dx
−
dx = −
exp −
λ
4Dt
λ Dt 0
0
√
x
Changement de variable : s = √ donc dx = 2 Dt ds. De plus, si x = 0 alors s = 0 et si
2 Dt
√
x = z alors s = z/2 Dt. D’où la formule du texte avec B = T (0,t) = TS .
10. En surface, pour z = 0 :
q (0,t) = −λ
1
Ainsi t =
πD
(
T0 − TS
∂T
λ (T0 − TS )
(0,t) = √
∂z
π Dt
⇒
TS − T0
∂T
(0,t) = √
.
∂z
π Dt
)2
.
(0,t)
Soit un age numérique de 1, 1.107 an à 4, 5.107 an (avec le gradient thermique en unités légales, c’est-à-dire 30.10−3 K.m−1 ).
11. Erreur d’un facteur 100 !
Lord Kelvin n’a pas pris en compte la radioactivité (indispensable au chauffage de la planète)
inconnue à son époque (elle sera découverte par Becquerel en 1896 puis étudiée par Marie
Curie). Mais précisons que dans son article « The secular cooling of the Earth », Trans. Roy.
Soc. Edin. (1864), Kelvin a explicitement écrit qu’il ne tenait compte d’aucun chauffage par
réaction chimique.
∂T
∂z
265
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Troisième partie
Mécanique des fluides
267
10
Ce chapitre, qui figure au programme de première année PCSI, donnera l’occasion aux étudiants issus de cette filière, de consolider les compétences qui y sont associées ; il est aussi
destiné à mettre en place des notions et des notations qui seront reprises dans l’étude des
fluides en mouvement.
Dans tout le chapitre, le référentiel d’étude est supposé galiléen.
1
1.1
Introduction
Les différentes échelles importantes
Un fluide est un milieu matériel déformable, dans lequel les particules constitutives (atomes,
molécules, ions) peuvent se déplacer les unes par rapport aux autres sur de grandes distances
par rapport à leur taille caractéristique D.
Un fluide est qualifié de gaz lorsque les distances inter-particules sont grandes devant D (sauf
au moment des chocs) ; il occupe alors tout le volume mis à sa disposition.
Un fluide est qualifié de liquide lorsque les distances inter-particules sont comparables à D,
ce qui rend leurs interactions (forces de Van der Waals) importantes ; un liquide a un volume
propre.
Il existe des conditions de température et de pression (au-delà du point critique) pour lesquelles les corps purs ne peuvent plus exister sous les deux formes, liquide et gaz ; on parle
alors simplement d’état fluide.
Comme cela est également dit au tout début du chapitre 7, les fluides peuvent être observés à
différentes échelles :
• l’échelle macroscopique, dont la dimension caractéristique, notée L, est celle de la zone
de fluide étudiée ;
• l’échelle microscopique, dont la dimension caractéristique, notée ℓ, est le libre parcours
moyen, c’est-à-dire la distance moyenne parcourue par une molécule entre deux chocs ;
• l’échelle mésoscopique, dont la dimension caractéristique, notée a, est intermédiaire (sauf
lorsque cela est impossible) entre l’échelle macroscopique et l’échelle microscopique :
ℓ ≪ a ≪ L.
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
À l’échelle microscopique, le fluide est un milieu discret. Afin de pouvoir malgré tout le
considérer comme un milieu continu, il est nécessaire de ne pas l’observer à cette échelle ;
c’est pourquoi on introduit cette notion d’échelle mésoscopique.
Exemple
Deux exemples fixent les idées :
• dans l’air, à 300 K, sous une pression
de 1 bar,
!
" le libre-parcours moyen d’une molécule est de l’ordre de 70 nm ℓ ≈ 10−7 m ; si le système fluide étudié est l’air
contenu dans une salle de classe, dont la taille caractéristique est de quelques mètres
(L ≈ 1 m), on peut prendre par exemple a = 0, 1 mm, ou bien a = 1 mm ;
• dans un liquide, le libre-parcours moyen
! est comparable
" au diamètre des molécules,
de l’ordre de quelques centaines de pm ℓ ≈ 10−10 m ; si le système fluide étudié est
l’eau contenue dans une cuve, dont la taille caractéristique est de quelques décimètres
(L ≈ 0, 1 m), on peut prendre par exemple a = 0, 01 mm, ou bien a = 0, 1 mm.
Remarque
Il n’est pas toujours possible de travailler à une échelle mésoscopique. Par exemple dans
les milieu très peu denses comme les hautes couches de l’atmosphère, le libre parcours
moyen ℓ devient comparable à la dimension caractéristique L du système fluide étudié
(par exemple le fluide entourant un engin spatial). Le fluide ne peut alors plus être
modélisé comme un milieu continu.
1.2
Notion de particule de fluide
Une particule de fluide est un système fermé (donc de masse δ m constante au cours
du temps), correspondant au fluide situé à l’intérieur d’un volume dτ de taille mésoscopique.
Un tel volume contient un très grand nombre de molécules, ce qui permet d’y définir des
grandeurs intensives macroscopiques telles que la pression P, la température T .
Mais en même temps, ce volume est infinitésimal par rapport au volume macroscopique. On
peut donc considérer qu’il y existe un équilibre thermodynamique local, et que les grandeurs
macroscopiques intensives peuvent y être considérées comme uniformes à l’échelle mésoscopique (c’est-à-dire indépendantes des coordonnées d’espace). On parle de grandeurs locales.
P (M), T (M), sont la pression et la température du fluide dans la particule de fluide située au
voisinage du point M. Elles varient continument à l’échelle macroscopique.
Masse volumique La masse volumique d’un fluide est le rapport de la masse au volume
d’une particule de fluide ; c’est une grandeur intensive :
µ (M) =
δm
(M)
dτ
[µ ] = kg · m−3.
Un fluide est qualifié de compressible si sa masse volumique µ (M) est variable, c’est-à-dire
si une particule de fluide, de masse δ m, a un volume dτ (M) différent selon le point M où elle
270
FORCES DANS UN FLUIDE AU REPOS
se trouve.
Il est qualifié d’incompressible si sa masse volumique µ est une constante, caractéristique
de ce fluide. Un gaz, qui occupe toujours tout le volume mis à sa disposition, est un fluide
compressible. Un liquide, au sein duquel les molécules sont très proches, et interagissent
fortement, est peu compressible. En première approximation, un liquide peut être considéré
comme incompressible.
Remarque
Si on tient compte de la réalité microscopique d’un fluide, une particule de fluide n’est
pas un système fermé au sens strict. En effet, du fait de l’agitation thermique, il y a
en permanence des molécules qui entrent dans le volume mésoscopique dτ et d’autres
qui en sortent. Mais par définition de la particule de fluide, ces flux entrant et sortant s’équilibrent, ce qui lui permet de conserver une masse δ m constante au cours du
temps. En statique des fluides, il n’y a pas d’écoulement, c’est-à-dire pas de mouvement à l’échelle macroscopique, donc les particules de fluides sont immobiles. Et si les
grandeurs intensives sont invariables dans le temps, les particules de fluides conservent
leur forme et leur volume au cours du temps. Il n’en sera pas de même dans l’étude des
fluides en écoulement.
2
2.1
Forces dans un fluide au repos
Notations
De manière générale, on adopter les notations indiquées sur la figure 10.1 : un point courant
à l’intérieur d’un volume V sera noté M, et un point courant sur la surface S délimitant V sera
noté N. Les éléments de volume et de surface, dans les voisinages de ces deux point seront
notés dτ et dS.
#–
dS = dS #–
n
N
M
dτ
S
fluide extérieur
dS
V
fluide étudié
Figure 10.1 – Éléments de volume et de surface.
2.2
Forces volumiques
a) Notion de force volumique
Les forces volumiques correspondent aux actions mécaniques de longue portée, et agissent
dans le cœur du fluide étudié.
En reprenant à nouveau les notations de la figure 10.1, on peut écrire la force élémentaire
271
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
#–
#– (M) dτ .
exercée en M sur le volume dτ du fluide δ F v (M) = ϕ
La densité volumique de force en M, ou force volumique, est :
#–
#– (M) = δ F v (M) .
ϕ
dτ
En ce qui concerne l’unité dans le Système international :
[ϕ ] = N.m−3 .
b) Exemples de densités volumiques de forces
• Densité volumique de force de pesanteur :
#– (M) = µ (M) #–
ϕ
g (M) ,
pes
µ étant la masse volumique ;
• Densité volumique de force électrique :
#–
#– (M) = ρ (M) E
ϕ
(M) ,
elm
#–
ρ étant la densité volumique de charge et E le champ électrique ; on reconnait, dans l’expression ci-dessus, la loi de force de Lorentz, exprimée ici non pas pour une charge ponctuelle mais pour une charge répartie en volume, cette charge étant fixe dans le cadre de la
statique des fluides.
2.3
Force de pression
La pression dans un fluide correspond à des actions de contact, c’est-à-dire des actions de
courte portée : interactions répulsives liées à l’agitation moléculaire (chocs, répulsions électrostatiques à courte distance) et interactions (en général attractives) associées aux forces
entre dipôles. En un point N de la surface délimitant le fluide étudié, la force de pression
élémentaire exercée par le fluide extérieur sur le fluide étudié est donnée par :
#–
#–
δ F pression (N) = −P(N) dS (N) = −P (N) dS #–
n (N) ,
#–
dS (N) étant, dans le voisinage de N, dirigé de l’intérieur du fluide vers l’extérieur, c’est-à-dire
selon la normale sortante #–
n (N), conformément aux notations de la figure 10.1.
La force de pression est orthogonale à la surface sur laquelle elle s’applique.
Puisque la force de pression traduit des actions de contact, elle est qualifiée de force surfacique.
272
FORCES DANS UN FLUIDE AU REPOS
La contrainte surfacique de pression, ou densité surfacique de force de pression en
N, ou force surfacique, est :
#–
δ F pression (N)
#–
#–
.
τs (N) = −P(N) n (N) =
dS
En ce qui concerne les unités dans le Système International :
[P] = Pa = N.m−2
!
[τs ] = Pa = N.m−2 .
La pression est une grandeur scalaire. Ne pas la confondre avec la force de pression qui,
elle, est une grandeur vectorielle, et qui est toujours normale à la surface sur laquelle elle
s’applique.
Complément : pression et surpression On évolue quasiment en permanence dans l’atmosphère, qui est un milieu pressurisé. La pression qui y règne, souvent notée P0 est loin d’être
négligeable, comme cela sera expliqué à la fin du paragraphe.
Quelle force pressante l’atmosphère exerce-t-elle sur chaque centimètre carré de notre corps ?
Le dessus de notre main subit-il une force pressante comparable au poids d’une coccinelle ?
d’un litre d’eau ? d’un enfant ? d’une moto ? d’un éléphant ?
Dans les conditions dites standard, P0 = 1,105 Pa, ce qui représente une force de 10 N par cm2
de surface, soit l’équivalent du poids d’une masse d’environ 1 kg sur chaque cm2 de la surface
soumise à cette pression. C’est considérable ! Une main humaine subit en permanence, sur
chacune de ses faces, une force représentant le poids d’une masse d’environ 150 kg, donc
l’équivalent d’une moto !
Pourtant, au quotidien, on ne ressent pas ces forces pressantes, tout simplement parce que
leurs effets se compensent quasiment toujours : le dessus, l’intérieur et le dessous de la main ;
l’intérieur des poumons et l’extérieur du corps ; l’intérieur et l’extérieur d’un pneu non «
gonflé », etc.
C’est la raison pour laquelle il est souvent utile de ne s’intéresser qu’à la surpression, c’està-dire la différence ∆P = P − P0 entre la pression P et la pression ambiante P0 .
Quand on « gonfle un pneu à 2 bars », cela signifie que l’on impose une surpression de 2 bars
à l’intérieur, par rapport à l’extérieur. La pression qui règne à l’intérieur de la chambre est de
l’ordre de 3 bars.
Quand on étudie les actions mécaniques subies par un barrage hydraulique, on doit prendre
en compte les effets, non pas de la pression, mais de la surpression due à la présence de
l’eau quand le barrage est rempli. En effet, en l’absence d’eau, le barrage est soumis aux
forces pressantes exercées par l’atmosphère, de part et d’autre, et celles-ci se compensent.
Les effets de la pression ambiante sont toutefois à prendre en compte dans certaines situations.
Par exemple lors de l’utilisation de ventouses, ou plus généralement lorsque l’on crée un vide
partiel (« dépression ») dans une enceinte ou dans une zone de l’espace.
273
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
Quelle surface minimale Smin doit avoir une ventouse pour permettre à un individu de 70 kg
de se suspendre à un plafond ?
Si la ventouse, de surface S, est de bonne qualité, elle permet d’obtenir une pression P ≪ P0
dans la zone comprise entre elle et le plafond. Ainsi, la résultante des forces de pression
s’exerçant sur elle, est verticale ascendante et de norme (P0 − P) S ≃ P0 S. Afin d’équilibrer
le poids de l’individu de masse m, il faut Smin = mg/P ≃ 70 cm2 .
À ce sujet, on peut signaler que le vocabulaire de la vie courante est parfois maladroit : le
« vide », qu’il soit partiel ou total, n’exerce aucune force d’attraction sur quelque objet que
ce soit. Simplement, quand un système est en contact avec plusieurs fluides, dans lesquels
les pressions ne sont pas les mêmes, les forces de pression, par unité de surface, sont moins
importantes du côté du « vide » qu’ailleurs.
2.4
Résultante des forces de pression sur une particule de fluide
On considére une particule de fluide infinitésimale, donc mésoscopique, par rapport à l’échelle macroscopique, et en forme de parallélépipède rectangle, comme le montre la figure 10.2.
z
dz
y
dx
dy
M (x, y, z)
z
y
x
x
Figure 10.2 – Particule de fluide.
Cette particule de fluide est soumise aux forces de pression sur chacune de ses 6 faces. La
résultante de ces forces est :
!
"
#–
δ F pression (x, y, z) = P (x, y, z) − P(x + dx, y, z) dy dz u#–x
!
"
+ P (x, y, z) − P(x, y + dy, z) dz dx u#–y
!
"
+ P (x, y, z) − P(x, y, z + dz) dx dy u#–,
z
ce que l’on peut encore écrire, au premier ordre en dx, dy et dz :
#–
∂P
∂P
∂P
(x, y, z) dx dy dz u#–x −
(x, y, z) dy dz dx u#–y −
(x, y, z) dz dx dy u#–z ,
δ F pression (x, y, z) = −
∂x
∂y
∂z
ou encore :
'
&
#–
∂P
∂P
∂P
δ F pression (x, y, z) = −
(x, y, z) u#–x +
(x, y, z) u#–y +
(x, y, z) u#–z dτ .
∂x
∂y
∂z
274
FORCES DANS UN FLUIDE AU REPOS
On reconnaît l’opérateur de dérivation spatiale gradient :
#–
# –
δ F pression = − grad P dτ .
L’étude qui précède montre que, bien que les forces de pression soient de nature surfacique,
il est possible de les prendre en considération en introduisant une densité volumique de force
liée au gradient du champ de pression.
La densité volumique de force de pression est :
# –
#–
ϕ
pression = − grad P.
# –
Qualitativement, le signe moins s’interprète aisément : le vecteur grad P indique la direction
dans laquelle la pression augmente spatialement le plus. La résultante des forces de pression
s’exerçant sur un petit domaine est au contraire dirigée des zones de forte pression vers celles
de basse pression.
2.5
Résultante des forces de pression s’exerçant sur une surface fermée dans le cas d’une pression uniforme
P0
P0
P0
P0
#–
dS = dS #–
n
S
N
dS
P0
V
P0
P0
P0
Figure 10.3 – Pression uniforme autour d’une surface fermée.
Soit un objet, de volume V , délimité par une surface S fermée, autour de laquelle règne
une pression P0 uniforme, comme le montre la figue 10.3. Par une expérience de pensée,
on pourrait ôter l’objet, et remettre à sa place le même fluide que celui qui l’entoure, à la
pression uniforme P0 . Dans le volume V de fluide remis en place, on a donc en tout point
# –
#–
#– = − grad
ϕ
(P) = 0 . La résultante des forces de pression P0 sur l’objet est alors :
#–
F pression P0 =
˚
V
# –
#–
− grad(P) dτ = 0 .
Lorsque le champ de pression est uniforme, c’est-à-dire indépendant des coordonnées
d’espace, la résultante des forces de pression s’exerçant sur une surface fermée est
nulle.
275
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
2.6
Application pratique
Sur la figure 10.4 suivante, la surface globale S, obtenue en réunissant S1 et S2 , est une surface
# –
fermée, le vecteur surface élémentaire étant partout orienté vers l’extérieur si on choisit dS1
# –
sur la partie ¨
1 et dS2 sur la partie 2. L’encadré du paragraphe précédent permet d’écrire
¨
#–
#–
#–
#–
#–
P0 dS1 +
P0 dS2 = 0 . Puisque dS′1 = −dS1 , on obtient :
S1
S2
¨
S1
#–
P0 dS′1 =
¨
S2
#–
P0 dS2 ,
#–
#–
les vecteurs dS′1 et dS2 étant définis sur la figure ci-dessous.
Surface ouverte S2
à venir placer contre S1 pour
#–
pour obtenir une surface fermée
dS1 Surface ouverte S1
P0 P
0
P0
P0
N
#–
P0
#–
dS2
#–
dS2
dS′1
S2
P0
P0
P0
P0
P0
#–
n2
P0
P0
P0
Γ
S1
#–
dS1
N
# –′
dS 1
P0
P0
P0
Figure 10.4 – Utilisation d’une surface plus simple.
Lorsque le champ de pression est uniforme, pour calculer la résultante des forces de
pression s’exerçant sur une surface ouverte S1 , délimitée par un contour plan Γ, on peut
« aplatir » cette surface pour la ramener dans le plan du contour et ainsi considérablement simplifier le calcul.
Sur l’exemple de la figure 10.4, la résultante des forces de pression P0 s’exerçant sur l’extérieur du bonnet à deux pointes est égale à celle de pression P0 s’exerçant sur la surface plane
# –
grisée, orientée dans le sens de dS2 . Et puisque cette surface est plane et que la pression P0
n 2.
est uniforme, cette force vaut P0 S2 #–
!
3
3.1
Ceci n’est vrai que si la pression régnant autour de la surface est uniforme, ou peut être
considérée comme telle.
Relation fondamentale de la statique des fluides
Expression générale
On se place dans un référentiel galiléen.
En y appliquant le principe fondamental de la statique à une particule de fluide, de masse
δ m , de volume dτ , située dans le voisinage d’un point M, soumise à n forces volumiques de
276
É VOLUTION DE LA PRESSION AU SEIN D ’UN FLUIDE INCOMPRESSIBLE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME
densités volumiques ϕ#–i (M), on peut écrire :
n
∑ ϕ#–i (M) dτ − gradP (M) dτ = 0 .
# –
#–
i=1
La relation fondamentale de la statique des fluides est :
n
# –
grad P = ∑ ϕ#–i .
i=1
3.2
Cas de la seule pesanteur
Dans le cas très fréquent où la seule force volumique réelle (en plus de l’équivalent volumique
g , et la relation
des forces de pression) est due à la pesanteur, la somme des ϕ#–i se réduit à µ #–
devient la relation fondamentale de la statique des fluides, dans le cas où seule la pesanteur
est prise en compte :
# –
g.
grad P = µ #–
Remarques
• Cette loi est parfois appelée relation fondamentale de l’hydrostatique.
• La relation fondamentale de la statique des fluides est une loi locale. Elle n’est pas
attachée à un système matériel.
Dans des conditions ordinaires de température et de pression, la masse volumique d’un gaz
µgaz
est très inférieure à celle d’un liquide :
≪ 1. Typiquement, ce rapport est de l’ordre
µliquide
de 10−3. À titre d’exemple, µeau = 1, 0.103 kg.m−3 et, dans les conditions ordinaires de température et de pression, µair = 1,2 kg·m−3 .
Dans une situation mettant en présence à la fois des gaz et des liquides, on pourra
négliger l’évolution de la pression avec l’altitude dans le gaz, et ne la considérer que
dans le liquide.
4
Évolution de la pression au sein d’un fluide incompressible
dans un champ de pesanteur uniforme
Obtention de la loi On considère un fluide incompressible, c’est-à-dire dont la masse volumique µ est constante (indépendante du temps) et uniforme (indépendante des coordonnées
d’espace). On se place dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. On adopte un système
de coordonnées cartésiennes, l’axe (Oz) étant vertical ascendant. Le champ de pesanteur #–
g
est supposé uniforme.
En l’absence de forces volumiques autres que celle de pesanteur, la relation fondamentale de
la statique des fluides s’écrit, dans le référentiel galiléen choisi, et après projection dans la
277
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
base (u#–x , u#–y , u#–z ) :
⎛
⎞
∂P
⎛
⎞
0
⎜ ∂x ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ ∂P ⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ = ⎜ 0 ⎟.
⎜ ∂y ⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎝
⎠
⎝ ∂P ⎠
−µ g
∂z
Les deux premières lignes montrent que la pression ne dépend ni de x ni de y. C’est donc une
dP
fonction d’une seule variable, z, et la dernière équation conduit à
= −µ g. L’intégration
dz
de cette équation différentielle donne :
P (z) = − µ gz + K.
La constante K se détermine grâce à la pression régnant à l’altitude z = 0 :
P (z) = −µ gz + P(0) .
!
Une erreur de signe dans la relation P (z) est facilement décelable : plus on remonte vers la
surface d’un liquide, plus la pression diminue. Ne pas oublier que l’axe (Oz) a été choisi ici
dans le sens ascendant.
Remarques
• La relation P (z) obtenue est assez bien vérifiée par les liquides, fluides très peu
compressibles.
• l’augmentation de la pression avec la profondeur est provoquée par le poids de la
colonne de fluide se trouvant au-dessus.
• il est important de noter qu’au sein d’un fluide incompressible homogène à l’équilibre, la pression ne dépend que de l’altitude. Sur la figure 10.5, les points A1 , B1 ,
C1 , D1 et E1 sont à la même pression P (z1 ). De même, A2 et B2 sont tous deux à la
pression P (z2 ) = P0 .
z
z2
z1
A2
A1
µ
B2 P0
P0
B1
C1
D1 E 1
#–
g
Figure 10.5 – Points de même pression.
278
É VOLUTION DE LA PRESSION AU SEIN D ’UN FLUIDE INCOMPRESSIBLE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME
Expérience
Application au baromètre de Toricelli Un tube, rempli de mercure est retourné
sur une cuve, contenant également du mercure, comme l’illustre la figure 10.6. L’atmosphère, qui exerce une pression P0 sur la surface libre du mercure dans la cuve,
empêche le tube de se vider. Si le tube a une hauteur de quelques dizaines de centimètres, il est entièrement rempli de mercure. En revanche, si sa hauteur est supérieure
à 76 cm, une poche de « quasi-vide » se forme dans le tube au-dessus de la colonne
de mercure liquide, de hauteur h. La mesure de h donne accès à la pression P0 qui
s’exerce sur la surface libre et empêche le liquide de sortir du tube.
quasi-vide
C
zC
#–
g
h
zA et zB
P0
A
B
P0
Figure 10.6 – Baromètre de Toricelli.
On a, d’une part P (zA ) = P (zB ), et d’autre part P (zB ) − P (zC ) = − µ g (zB − zC ) =
+µ gh. Or, P (zC ) ≃ 0, puisqu’au-dessus de la colonne de mercure règne un quasivide (en réalité de la vapeur saturante de mercure, de pression 0,3 Pa à température
ordinaire). Finalement :
P0 = µ gh.
Pourquoi utiliser le mercure plutôt que l’eau pour réaliser un baromètre de Toricelli ?
Prenons g = 9, 81 m.s−2 . Pour une pression P0 = 1, 0 bar, µmercure = 13, 5.103 kg.m−3
donne hmercure = 0, 76 m, tandis que µeau = 1, 0.103 kg.m−3 donne heau = 10 m. Il y
a donc un réel problème d’encombrement !
Application aux pompes aspirantes Avec une pompe aspirante, il est impossible de faire
monter de l’eau plus de 10 m au-dessus de sa surface libre, si celle-ci est à la pression atmosphérique. En effet, la masse volumique de l’eau étant µeau = 1, 0.103 kg.m−3, µeau gz
diminue de 105 Pa, c’est-à-dire de 1 bar pour une élévation de 10 m. Dès que l’altitude audessus de la surface libre atteint une dizaine de mètres, la pression devient très faible, et l’eau
ne peut rester à l’état liquide (à température ordinaire, la pression de vapeur saturante de l’eau
est de 3,103 Pa). Pour pomper de l’eau sur un dénivelé important, il est donc nécessaire de
placer la pompe, non pas à l’altitude où on souhaite envoyer l’eau, mais à celle où se trouve
279
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
le liquide à extraire. Il faut donc une pompe refoulante, et non aspirante.
Application au circuits hydrauliques On considère un flexible, rempli d’un liquide homogène, reliant deux réservoirs, de sections SA et SB . Attendu qu’au sein d’un fluide homogène
en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme, la pression ne dépend que de l’altitude,
la pression est la même en A et en B sur le schéma de la figure 10.7 : PA = PB . En revanche,
#–
#–
les forces F A et F B exercées par le liquide surIles pistons
posésIdessus
sont différentes, si les
#– I
#– I
sections SA et SB ne sont pas égales, puisque I F A I = PA SA et I F B I = PB SB . Schématiquement, il est ainsi possible d’assurer un équilibre de l’ensemble en plaçant une fourmi sur le
piston de petite section SB , et un éléphant sur le piston de grande section SA .
pistons
#–
FA
z
#–
g
PA
#–
FB
PB
A
SA
B
SB
Figure 10.7 – Schéma de principe d’un circuit hydraulique.
On retrouve ici le principe de fonctionnement des circuits hydrauliques, qui permettent par
exemple d’exercer des forces importantes sur les mâchoires d’un disque de frein de véhicule,
bien que le conducteur n’exerce sur la pédale de frein qu’un effort bien moindre. Il s’agit
d’une démultiplication, semblable à celle que produit un ensemble d’engrenages. Bien évidemment, si on réduit la force à appliquer, on augmente en même temps le chemin à parcourir
lors d’un déplacement. Ceci se démontre par un raisonnement énergétique, le travail d’une
force colinéaire à un déplacement étant égal au produit de la force par le déplacement.
5
Évolution de la pression au sein d’un gaz parfait isotherme
dans un champ de pesanteur uniforme
Si le modèle de fluide incompressible convient assez bien pour un liquide, il n’en est pas de
même pour un gaz, dont la masse volumique peut évoluer sensiblement avec la pression et la
température. On se limite ici à une atmosphère isotherme, et au modèle du gaz parfait, dont
m
on rappelle l’équation d’état : PV = nRT =
RT , M étant sa masse molaire. Une particule
M
280
É VOLUTION DE LA PRESSION AU SEIN D ’UN GAZ PARFAIT ISOTHERME DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME
de fluide de masse δ m occupe donc un volume dτ , avec Pdτ =
La masse volumique du gaz parfait peut donc s’écrire :
δm
RT .
M
δ m PM
.
=
dτ
RT
En l’absence de forces volumiques autres que celle de pesanteur, la relation fondamentale de
dP
= −µ g. En remplala statique des fluides conduit, comme dans le paragraphe précédent à
dz
dP M g
+
P = 0, ce qui constitue
çant µ par son expression fonction de la pression, il vient
dz
RT
une équation différentielle linéaire homogène, du premier ordre, à coefficients constants, que
l’on peut encore écrire :
dP
1
(z) + P (z) = 0,
dz
H
RT
, appelée hauteur d’échelle. La soluen introduisant une distance caractéristique H =
Mg
tion de cette équation différentielle est :
&
'
# z$
M gz
= P (0) exp −
.
P (z) = P (0) exp −
H
RT
µ=
!
Ce calcul n’est valable que si l’on adopte pour le gaz le modèle du gaz parfait, et si la température est uniforme.
Remarques
• On pouvait également intégrer l’équation différentielle en séparant les variables :
Mg
M gz
dP
=−
dz conduit à ln P (z) = −
+ ln P (0), puis au résultat obtenu plus
P
RT
RT
haut ;
• Dans le cas de l’air, M = 29 g.mol−1 et T = 273 K, donnent H ≃ 8 km. Avec ce
modèle simple d’atmosphère isotherme, à une altitude de 3H, c’est-à-dire environ 3
fois la hauteur de l’Everest, la pression vaut 1% de sa valeur au niveau de la mer.
Bien que la température varie avec l’altitude, ce modèle est assez satisfaisant jusqu’à environ 100 km d’altitude, où la pression est de l’ordre de 10−2 Pa. Au-delà, la
pression diminue moins vite avec l’altitude ;
• Dans un fluide compressible, à l’équilibre isotherme, la pression ne dépend que de
l’altitude.
&
'
&
'
M gz
mgz
Le terme exp −
peut aussi s’écrire exp −
, kB étant
RT
kB T
la constante de Boltzmann, et m la masse d’une molécule du gaz parfait. Il s’agit d’un facteur
de Boltzmann. Il traduit la compétition entre deux phénomènes physiques : la pesanteur,
d’énergie potentielle moléculaire mgz, qui tend à faire s’accumuler les molécules de gaz près
du sol, et l’agitation thermique, d’énergie moléculaire kB T , qui conduit les molécules de gaz
à tenter d’occuper tous les niveaux d’énergie disponibles.
Facteur de Boltzmann
281
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
'
&
mgz
R
, où kB =
Le facteur de Boltzmann est le terme exp −
= 1, 38.10−23 J.K−1
kB T
NA
est la constante de Boltzmann.
6
Poussée d’Archimède
6.1
Notion
Il existe un certain nombre de grandeurs physiques, que l’on utilise fréquemment dans le
langage courant, et dont on a la sensation de bien connaître le sens... jusqu’à ce qu’on soit
sollicité pour en donner une définition. La poussée d’Archimède en fait certainement partie.
Pourquoi utiliser un nouveau vocabulaire pour parler des actions mécaniques dans un fluide
au repos, alors que l’inventaire des forces a déjà été dressé plus haut : forces surfaciques (de
pression) et forces volumiques (pesanteur et électromagnétique). Que représente la poussée
d’Archimède par rapport à tout cela ?
Dans un référentiel R, la poussée d’Archimède est la résultante des forces de pression exercées sur un objet immobile dans R, par l’ensemble des fluides au repos qui
l’entourent.
6.2
Théorème d’Archimède
Comme on l’a vu dans le paragraphe 2.5, si la pression est uniforme tout autour de l’objet,
délimité par une surface fermée, la résultante des forces de pression est nulle. Il n’y a donc
pas de poussée d’Archimède.
z
O
dS
y
fluide
objet
#–
g
Figure 10.8 – Forces pressantes exercées par un fluide en équilibre dans un champ
de pesanteur.
Au sein d’un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur, la pression n’est pas uniforme ;
elle augmente à mesure que l’altitude diminue, comme on l’a vu aux paragraphes 4 et 5. Un
objet placé dans le fluide subit donc des forces pressantes plus importantes sur le dessous que
sur le dessus, comme le montre la figure 10.8.
Par une expérience de pensée, retirons l’objet, de volume V , et remplaçons-le par le fluide,
de même forme et de même volume V , occupant la même position, comme le montre le
282
C OMPLÉMENT : NOTION DE POIDS APPARENT
fluide remis en place
#–
ΠA
z
O
y
z
dS
fluide
V
A
#–
ΠA
objet
#–
g
O
fluide
dS
y
V
A
#–
g
g
m f #–
Figure 10.9 – Remise en place du « fluide déplacé » afin de déterminer la poussée
d’Archimède.
schéma de gauche de la figure 10.9. Puisque l’ensemble du fluide est supposé en équilibre,
la portion de fluide remise en place l’est aussi. Soit m f la masse de ce volume V de fluide.
Dans le référentiel R du laboratoire, supposé galiléen, le principe fondamentale de la statique
conduit à :
#–
#–
m f #–
g + ΠA = 0 ,
#–
Π A représentant la résultante des forces de pression s’exerçant aussi bien sur le fluide remis
en place que sur l’objet, c’est-à-dire la poussée d’Archimède.
Il vient donc :
#–
g.
ΠA = −m f #–
On peut alors énoncer le théorème d’Archimède :
Dans un référentiel galiléen, la résultante des forces de pression exercées par un fluide
au repos sur un objet immobile qu’il entoure, est verticale ascendante, et égale à l’opposé du poids du fluide déplacé. On la nomme poussée d’Archimède.
7
Complément : notion de poids apparent
Lorsqu’un objet est entièrement plongé dans un fluide tel que la poussée d’Archimède ne soit
pas négligeable devant son poids, il peut être utile d’introduire la notion de poids apparent
de l’objet. Il s’agit de la résultante du poids et de la poussée d’Archimède sur l’objet. Soit
V le volume de l’objet, µ sa masse volumique, et µ f la masse volumique du fluide. Dans le
champ de pesanteur #–
g , le poids et la poussée d’Archimède s’exerçant sur l’objet ont pour
résultante :
"
!
#–
F app = µ V #–
g.
g − µ f V #–
g = µ − µ f V #–
" #–
!
Le terme « poids apparent
!
"» peut désigner soit la grandeur vectorielle µ − µ f V g , soit la
grandeur scalaire µ − µ f V g selon les auteurs. Cette dernière est positive pour des objets
qualifiés de « plus lourds que le fluide » et négative pour les objets « plus légers que le
fluide ». Les montgolfières et les dirigeables sont des engins dits plus légers que l’air. La
masse volumique moyenne du corps humain étant très peu supérieure à celle de l’eau, l’être
humain est de poids apparent quasiment nul dans l’eau.
283
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
7.1
Applications
Stabilisation des plongeurs sous-marins Pour se maintenir « entre deux eaux », les plongeurs sous-marins utilisent, d’une part une ceinture de plomb, d’autre part, une sorte de veste
gonflable, appelée « stabilizing jacket », ou « veste de stabilisation ».
Sans la ceinture, ils auraient bien du mal à plonger car la combinaison de plongée est de
masse volumique faible, et un plongeur équipé a un poids apparent négatif. Le corps humain
étant un peu compressible, plus le plongeur descend, plus son volume diminue, tout comme
la poussée d’Archimède.
S’il veut pouvoir se maintenir à profondeur constante sans avoir besoin de faire des efforts
avec ses palmes, il doit s’arranger pour que son poids apparent global soit toujours nul. Il doit
pour cela ajuster en permanence la quantité d’air présente dans la veste de stabilisation, et
donc le volume de celle-ci.
Attention, l’équilibre du plongeur est instable : si une perturbation le fait monter, toutes les
parties gazeuses de son corps et de sa veste se dilatent, la poussée d’Archimède augmente, et
il remonte encore plus. Inversement, s’il descend, les gaz se compriment, la poussée d’Archimède diminue, il coule encore plus. Il faut donc être très vigilant !
Ampoules à décanter Dans les ampoules à décantation, utilisées en chimie organique pour
séparer des produits, la phase dont la masse volumique est la plus faible se place toujours
au-dessus de celle dont la masse volumique est la plus grande, de la même façon que l’huile
se place au-dessus de l’eau.
Comment le justifier ?
Notons µ1 la masse volumique du fluide le plus dense et µ2 celle du moins dense : µ1 > µ2 .
Si une goutte de fluide 1 vient se placer dans le fluide 2, son poids apparent y est positif, et
elle descend. Si une goutte de fluide 2 vient se placer dans le fluide 1, son poids apparent y
est négatif, et elle monte.
7.2
Complément : cas d’un objet entouré de plusieurs fluides différents
Le théorème d’Archimède peut se généraliser aux cas où l’objet étudié est entouré de plusieurs fluides distincts. Afin de déterminer la poussée d’Archimède, la meilleure méthode
consiste à réaliser une expérience de pensée dans laquelle l’objet est retiré, et les différents
fluides sont remis à leur place. Si cette situation est compatible avec un équilibre de l’ensemble des fluides repositionnés, la poussée d’Archimède est égale à l’opposé de la somme
des poids des fluides déplacés.
a) Cas d’un objet situé à l’interface de deux liquides non miscibles
On considère deux liquides non miscibles, de masses volumiques µ1 et µ2 , avec µ2 < µ1 , et
un objet solide homogène, de volume V , de masse volumique µ intermédiaire entre µ1 et µ2 ,
ce qui lui permet d’être en équilibre à l’interface entre les deux liquides, comme le montre la
figure 10.10 : µ2 < µ < µ1 .
En appelant V1 le volume du liquide 1 « déplacé » par l’objet, et V2 celui du liquide 2, la force
#–
de poussée d’Archimède qui s’applique sur l’objet est donc ΠA = − (µ1V1 + µ2V2 ) #–
g . On
284
C OMPLÉMENT : NOTION DE POIDS APPARENT
(V2 )
liquide 2 remis
(V )
objet
z
liquide 2
y
O
C
µ2
z
liquide 2
#–
g
liquide 1
µ1
#–
ΠA
y
O
C
A
µ2
#–
g
liquide 1
µ1
liquide 1 remis
(V1 )
Figure 10.10 – Remise en place des 2 « liquides déplacés » afin de déterminer la
poussée d’Archimède.
peut d’ailleurs établir des relations entre les 3 volumes et les 3 masses volumiques, en appliquant le principe fondamental de la statique à l’objet solide, dans le référentiel du laboratoire,
#–
supposé galiléen : − (µ1V1 + µ2V2 ) #–
g + µ V #–
g = 0 . Et puisque V = (V1 + V2), il vient :
V1 =
µ − µ2
V
µ1 − µ2
et V2 =
µ1 − µ
V.
µ1 − µ2
Ces expressions confirment que cette situation n’est possible que pour µ2 < µ < µ1 .
Le point A d’application de la poussée d’Archimède est le centre de masse de l’ensemble
formé par les liquides de volumes V1 et V2 . Dans le cas du dessin où l’objet est une sphère de
centre C, le centre de poussée A est situé plus bas que C, puisque µ2 < µ1 et que le centre de
masse serait en C pour µ2 = µ1 .
b) Cas d’un objet flottant à la surface d’un liquide
Comme cela a déjà été évoqué dans le paragraphe 3.2, dans l’air, la variation de pression avec
l’altitude est négligeable sur des dénivelés de quelques mètres ou quelques dizaines de mètres
(sauf dans l’étude d’objets plus légers que l’air comme les montgolfières ou les dirigeables).
Dans des conditions ordinaires de température et de pression, la différence de pression entre
le sol et le plafond d’une pièce est de l’ordre de 35 Pa, soit environ 3000 fois plus faible
que la pression ambiante. La partie émergée d’un objet flottant peut donc être considérée
comme étant soumise à une pression uniforme. Sur le schéma de gauche de la figure 10.11,
toute la partie du bateau située hors de l’eau est soumise à la pression quasiment uniforme
P0 (bien que le bateau dessiné soit un voilier, on suppose ici le vent nul, pour rester dans les
conditions du chapitre : statique des fluides). En vertu de l’application pratique énoncée à la
fin du paragraphe 2.2, on peut donc découper par la pensée toute la partie du bateau située
hors de l’eau, puis la retirer. Le dessus du morceau de bateau restant devient une surface
plane, sur laquelle il est bien plus simple de calculer la résultante des forces de pression.
On peut même aller plus loin : le morceau de bateau restant a sa face supérieure qui affleure
juste au niveau de la surface du liquide. On ne change donc quasiment rien si une mince
pellicule de liquide le recouvre. Mais il devient alors totalement entouré du liquide, et on
peut alors lui appliquer le théorème d’Archimède :
285
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
P0
P0
P0
P0
P0
surface plane
après retrait
de la partie émergée
P0
#–
ΠA
Vimm
P0
P0
A
#–
g
P0
Vimm
#–
ΠA
P0
A
g
mimm #–
Figure 10.11 – Poussée d’Archimède pour un objet flottant.
Dans un référentiel galiléen, lorsqu’un objet flotte sur un liquide au repos, la poussée
d’Archimède est égale à l’opposé du poids du fluide déplacé, c’est-à-dire du poids du
fluide remplacé par la partie immergée de l’objet.
8
8.1
Différentes méthodes pour calculer la résultante des forces
de pression s’exerçant sur une portion d’un objet
Introduction
Les forces de pression s’exerçant sur une portion S de la surface d’un objet sont réparties sur
tous les points N de S. L’obtention de la résultante de ces forces nécessite, a priori, le calcul
d’une intégrale double :
¨
#–
#–
F totale =
−P (N) dS,
S
#–
dS étant, en chaque point N, orthogonal à la surface, et dirigé vers l’extérieur de l’objet.
Cependant, ce calcul intégral est souvent lourd, et parfois délicat. À chaque fois que cela est
possible, il est préférable d’utiliser une autre méthode :
• en se ramenant à une surface fermée, entièrement et uniquement entourée de fluides ; on
peut alors utiliser la poussée d’Archimède ;
• en choisissant comme système, non pas l’objet sur lequel s’exercent les forces de pression,
mais une colonne de fluide se trouvant au-dessus de lui.
Si aucune de ces deux méthodes n’est exploitable, il faut se résoudre à passer par le calcul de
l’intégrale double.
286
D IFFÉRENTES MÉTHODES POUR CALCULER LA RÉSULTANTE DES FORCES DE PRESSION S ’EXERÇANT SUR UNE PORTION
D ’ UN OBJET
Remarque
Les 3 méthodes qui suivent conviennent aussi bien pour des calculs de pression que de
surpression.
8.2
Première méthode : utilisation de la poussée d’Archimède
Si la surface S sur laquelle on cherche à calculer la résultante des forces de pression est
fermée, et si elle est entièrement et uniquement entourée de fluides, on peut directement
utiliser la poussée d’Archimède.
Si elle n’est pas fermée, mais que l’on peut lui adjoindre une surface auxiliaire Saux , de forme
simple, de telle sorte que la surface globale S ∪ Saux soit fermée, entièrement entourée de
fluide, le calcul de la résultante des forces de pression sur S se ramène au calcul de la poussée
d’Archimède et à celui de la résultante des forces de pression sur Saux . Bien entendu, cela n’a
d’intérêt que si l’intégration des forces de pression sur Saux est plus simple que celui sur S.
Exemple
S
z
zA
zB
gaz
P0
liquide
0
cône
2a
P0
#–
g
h
Saux
Figure 10.12 – Cône circulaire immergé.
On considère une cône à base circulaire de rayon a, immergé dans un liquide, de masse
volumique µ comme le montre le schéma de gauche de la figure 10.12. On cherche
la résultante des forces de surpression exercées uniquement sur la surface S du dessus
du cône ; on peut ajouter la surface Saux pour constituer une surface fermée. On note
#–
#–
F liq→S (pression) la force de pression exercée par le liquide sur S, et F liq→Saux (pression)
'
&
π a2 h
:
celle exercée par le liquide sur Saux . On a, en notant V le volume du cône V =
3
#–
#–
#–
F liq→S (pression) + F liq→Saux (pression) = ΠA = −µ V #–
g.
#–
Or, la force F liq→Saux (pression) est simple à calculer car la surface sur laquelle elle s’applique est un disque plan de rayon a, et la pression y est uniforme P0 + µ gzA. La force
recherchée est donc finalement :
µπ a2gh #–
#–
F liq→S (pression) = +
uz − (P0 + µ gzA ) π a2 u#–z .
3
287
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
Toutefois, lorsque le cône est retiré du liquide, il est entièrement soumis à la pression
P0 . Ce qui est intéressant, en général, c’est de connaître l’effet de la présence du liquide,
#–
donc seulement de la surpression. Soit F liq→S (P0 ) la force qui s’exercerait sur S si le
cône était retiré du liquide, c’est-à-dire si la pression P0 s’exerçait sur tout S. En vertu
de l’application pratique énoncée à la fin du paragraphe 2.2, on peut calculer cette force
#–
en « aplatissant » le cône pour qu’il devienne un disque : F liq→S (P0 ) = −P0 π a2 u#–z .
&
'
h
#–
#–
#–
2
− zA u#–z .
D’où F liq→S (surpression) = F liq→S (pression) − F liq→S (P0 ) = + µ gπ a
3
Remarque
Cette méthode, utilisant la poussée d’Archimède, n’est utilisable que si, en remettant
des fluides à la place de l’objet soumis aux forces pressantes, on obtient une situation
d’équilibre.
gaz
gaz
balle
gaz
liquide
#–
g
liquide
#–
g
gaz
Figure 10.13 – Balle obstruant un tuyau d’évacuation.
Dans le contexte du schéma de gauche de la figure 10.13, sur lequel une balle obstrue
ce qui pourrait être le tuyau d’évacuation d’un évier, si on retire la balle pour remettre
du liquide au-dessus du tuyau (schéma de droite), le liquide ne peut être en équilibre.
8.3
Deuxième méthode : utilisation d’un autre système que l’objet luimême
Une autre méthode consiste à isoler une certaine quantité de fluide, en contact avec l’objet, et
d’exprimer que ce système est à l’équilibre.
Exemple
On reprend l’exemple du schéma de gauche de la figure 10.12. On isole la colonne de
liquide se trouvant entre le dessus du cône et le gaz de pression P0 , comme le montre,
en noir, la figure 10.14, page suivante.
'
&
π a2 h
h
2
2
= π a zA −
. Dans le référentiel
Le volume de cette colonne est Vc = π a zA −
3
3
du laboratoire, supposé galiléen l’équilibre de cette colonne s’écrit en faisant intervenir
son poids, la force exercée par le cône, et la force de pression exercée par le gaz :
#–
#–
−µ Vc gu#–z + F S→liq − P0π a2 u#–z = 0 .
288
D IFFÉRENTES MÉTHODES POUR CALCULER LA RÉSULTANTE DES FORCES DE PRESSION S ’EXERÇANT SUR UNE PORTION
D ’ UN OBJET
En effet, les forces élémentaires de pression exercées par le fluide se trouvant tout autour,
sont horizontales, et se compensent deux à deux, par symétrie.
z
zA
zB
gaz
P0
P0
liquide
0
cône
2a
Figure 10.14 – Colonne de liquide au-dessus du cône.
En vertu du principe des actions réciproques, on peut aussi l’écrire :
#–
#–
− µ Vc gu#–z − F liq→S (pression) − P0π a2 u#–z = 0 .
Il vient donc :
''
&
&
h
#–
2
F liq→S (pression) = −µ π a zA −
gu#–z − P0π a2 u#–z .
3
Ici encore, en se limitant aux actions de surpression, il vient :
''
'
&
&
&
h
h #–
#–
2
2
#–
guz = µ gπ a −zA +
F liq→S (surpression) = µ π a −zA +
uz ,
3
3
ce qui est conforme au résultat obtenu avec la première méthode.
8.4
Troisième méthode : calcul direct, en exploitant au mieux les symétries
Si aucune des deux méthodes précédentes n’est utilisable, il faut se résoudre à effectuer un
calcul d’intégrale double.
Exemple
On reprend l’exemple de la figure 10.12, et on choisit le repérage de tout point N par
des coordonnées cylindriques, l’origine de l’axe (Oz) étant située au niveau de la base
du cône (voir figure 10.15 page suivante, schéma de droite).
Le calcul de la résultante des forces de pression sur S s’écrit :
¨
#–
F liq→S (pression) = −
P (N) #–
n (N) dS.
S
Les forces de pression sont en tout point orthogonales à la surface du cône. Cependant,
il existe ici des symétries qu’il convient d’exploiter.
289
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
Soient N1 et N2 deux points de la surface du cône, symétriques par rapport à l’axe (Oz),
avec deux éléments de surface dS dans le voisinage de chacun, comme on peut le voir
sur le schéma de gauche de la figure 10.15. Les forces de pression élémentaires y étant
dirigées respectivement selon − #–
n (N1 ) et − #–
n (N2 ), leur résultante est selon −u#–z .
zA
zB
z
0
#–
n (N1 )
z
gaz
P0
dS
N1
dS
cône
r (z)
P0
#–
n (N2 )
N2
α
z + dz
z
#–
g
N
O θ
liquide
dz/ cos α h
dθ
y
x
2a
2a
Figure 10.15 – Intégration sur la surface du cône.
Ainsi, en regroupant à chaque fois un élément de surface et son symétrique par rapport
à l’axe (Oz), on obtient une force de pression totale, portée par −u#–z .
On a donc :
¨
¨
#–
#–
#–
#–
F liq→S (pression) = −
P (N) ( n (N) · uz ) uz dS = −
P (N) sin α dS u#–z .
S
S
Sur le schéma de droite de la figure 10.15, l’élément de surface grisé a pour mesure :
dz
, avec pour tout z ∈ [0, h], r (z) = (h − z)tan α .
cos α
¨
#–
Et pour ce qui est de la surpression : F liq→S (surpression) = −
(P (N) − P0 ) sin α dS u#–z
dS = r (z) dθ
S
#–
F liq→S (surpression) = −
¨
S
(P (N) − P0 ) sin α (h − z)tan α dθ
dz #–
uz .
cos α
D’après le paragraphe 4, la loi de pression dans le liquide, considéré incompressible, est
P (z) = P0 + µ g (zA − z). Il vient finalement :
#–
F liq→S (surpression) = −
¨
S
µ g (zA − z) (h − z)(tan α )2 dθ dz u#–z
= −µ g (tan α )2
ˆ
= 2π µ g (tan α )2
290
0
ˆ
2π ˆ h
h
0
(zA − z)(h − z)dzdθ u#–z
0
(zA + u − h)(u) du u#–z ,
C OMPLÉMENT : NOTION DE POINT D ’APPLICATION DES FORCES DE PRESSION
ˆ
"
a2 h ! 2
#–
F liq→S (surpression) = −2π µ g 2
u + (zA − h)u du u#–z
h 0
'
&
a2 h3 (zA − h)h2 #–
+
= −2π µ g 2
uz ,
h
3
2
que l’on peut encore écrire :
&
&
'
'
h
h
#–
− zA u#–z .
F liq→S (surpression) = µ gπ a2 −2 + (h − zA) u#–z = µ gπ a2
3
3
On retrouve une fois de plus le même résultat, mais au prix de nombreux calculs.
9
Complément : notion de point d’application des forces de
pression
9.1
Point d’application de la poussée d’Archimède
Sur les figures 10.9 et 10.11, la force de poussée d’Archimède a été appliquée en un certain
point A, que l’on appelle centre de poussée. Les forces pressantes sont, de par leur nature,
réparties sur toute la surface sur laquelle elles s’exercent. Néanmoins, lorsque l’on peut « remettre en place » le (ou les) fluide(s) comme sur la figure 10.9, le fluide remis en place est en
équilibre sous l’action de son poids et de la poussée d’Archimède. Cette dernière s’applique
donc au même point que le poids de ce fluide déplacé.
Le point d’application de la poussée d’Archimède est le centre de masse du fluide déplacé.
9.2
Point d’application de la résultante des forces de pression
On s’intéresse à présent à un cas plus général, pour lequel la résultante des forces de pression
ne peut se calculer à l’aide de la poussée d’Archimède.
Soit S une surface soumise à des forces de pression P.
Le point A d’application de cette résultante, appelé centre de poussée, est celui pour lequel la
somme des moments en A de toutes les forces élémentaires de pression est nul. En notant N
un point courant de S, et en retirant le signe moins, inutile ici :
¨
S
#– #–
#–
AN ∧ P(N) dS = 0 .
On peut aussi exprimer cela de la façon suivante : soit O un point quelconque, choisi comme
#–
origine du repère
¨ cartésien (O, x, y, z), et soit F la résultante des forces de pression s’exerçant
#–
#–
sur S : F = −
P (N) dS.
S
Le point A d’application de cette résultante est celui pour lequel la somme des moments en O
#–
de toutes les forces élémentaires de pression est égal au moment en O de la force F appliquée
291
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
en A :
−
¨
S
#– # – #–
# –
ON ∧ P (N) dS = OA ∧ F .
Remarque
Le centre de poussée est aussi bien le point d’application des forces de pression que de
surpression.
Exemple
P0
z
#–
g
P0
N dz #–
n (N)
y
dx
A zA
O
L
h
x
barrage
Figure 10.16 – Recherche du centre de poussée sur une paroi de barrage.
Soit un barrage plan, de largeur L, de hauteur immergée h, retenant de l’eau de masse
volumique uniforme µ , comme illustré sur la figure 10.16.
Les forces élémentaires de surpression s’appliquant toutes sur la surface du barrage, qui
est dans le plan (xOz), le centre de poussée A sera également dans ce plan : xA = 0.
La surpression étant indépendante de y, le centre de poussée sera, pour des raisons de
symétrie, sur l’axe médian (Oz) du barrage : yA = 0. Il ne reste plus qu’à trouver zA .
On note (0, y, z) les coordonnées du point courant N de la surface S du barrage, et
¨
S
#–
#–
AN ∧ (P (N) − P0) dS =
ˆ
L/2
ˆ
−L/2 0
h
(yu#–y + (z − zA ) u#–z ) ∧ µ g (h − z)d zdy u#–x .
En distribuant le produit vectoriel, on obtient une somme de 2 intégrales, dont la première est :
ˆ L/2 ˆ h
−µ g
y (h − z)dz dy u#–z ,
−L/2 0
qui est nulle en raison de l’intégration par rapport à y.
Il reste donc :
¨
ˆ L/2 ˆ h
#–
#–
AN ∧ (P (N) − P0) dS = µ g
(z − zA ) (h − z)dz dy u#–y ,
S
292
−L/2 0
C OMPLÉMENT : NOTION DE POINT D ’APPLICATION DES FORCES DE PRESSION
soit encore :
¨
S
#–
#–
AN ∧ (P (N) − P0) dS = µ gL
ˆ
0
h!
"
−z2 + zA z + hz − hzA dz u#–y .
h3 h2 zA h3
h
+ − h2zA = 0, dont la solution est zA = .
On cherche donc zA tel que − +
3
2
2
3
SYNTHÈSE
SAVOIRS
• forces surfaciques, forces volumiques
• statique dans le champ de pesanteur uniforme
•
•
•
•
•
•
•
•
•
facteur de Boltzmann
résultante des forces de pression
poussée d’Archimède
équivalent volumique des forces de pression
équation locale de la statique des fluides
particule de fluide
masse volumique
pression
éléments de statique des fluides
dP
= −ρ g
dz
SAVOIR-FAIRE
• distinguer le statut des forces de pression et des forces de pesanteur
• connaître des ordres de grandeur de champs de pression dans le cas de l’océan et de
l’atmosphère
• exprimer l’évolution de la pression avec l’altitude dans le cas d’une fluide incompressible et homogène et dans le cas de l’atmosphère isotherme dans le modèle du gaz parfait
• s’appuyer sur la la loi d’évolution de la densité moléculaire de l’air dans le cas de l’atmosphère isotherme pour illustrer la signification du facteur de Boltzmann
• exprimer la surface élémentaire dans un système de coordonnées adaptées
• utiliser les symétries pour déterminer la direction d’une force de pression
• expliquer le origines de la poussée d’Archimède
• exploiter la loi d’Archimède
• exprimer l’équivalent volumique de pression à l’aide d’un gradient
• établir l’équation locale de la statique des fluides
• définir la particule de fluide comme un système mésoscopique de masse constante
• citer les ordres de grandeur des masses volumiques de l’eau et de l’air dans les conditions
usuelles
• identifier la force de pression comme étant une action normale à la surface
# –
• utiliser l’équivalent volumique des forces de pression − gradP
• exprimer l’évolution de la pression avec l’altitude dans le cas d’un fluide incompressible
• exprimer l’évolution de la pression avec l’altitude dans le cas de l’atmosphère isotherme
dans le modèle du gaz parfait
293
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
SYNTHÈSE
MOTS-CLÉS
•
•
•
•
•
294
particule de fluide
masse volumique
force surfacique
force volumique
facteur de Boltzmann
• loi d’Archimède
• équation locale de la statique des fluides
•
• particule de fluide
• force surfacique
• équivalent volumique des
actions de pression
• pression
S’ENTRAÎNER
10.1 Pression au sommet d’un gratte-ciel
(⋆ )
Le plus haut gratte-ciel du monde est la tour Burj Khalifa à Dubaï qui fait 828 m de haut. En
hiver la température moyenne est de 25˚Celsius et elle monte à 40˚Celsius en été. Calculer la
différence de pression relative maximale entre le pied et le sommet de ce bâtiment.
10.2 Interface huile-eau dans un tube en U
(⋆ )
On considère un tube en U rempli d’eau jusqu’à une hauteur H = 10 cm par rapport au fond.
La section du tube est s = 1 cm2 . On ajoute 2 cm3 d’huile dans une des branches du tube. La
masse volumique de l’huile est égale à 0, 6 fois celle de l’eau.
A quelle hauteur se trouve l’interface entre l’eau et l’huile ? A quelle hauteur se trouve la
surface libre de l’eau dans l’autre branche ?
10.3 Remontée d’un plongeur
(⋆ )
1. Avant une remontée rapide vers la surface, les plongeurs sous-marins vident leur poumons
de l’air qu’il contient. Pourquoi ?
2. En supposant que l’air contenu dans les poumons est à la température du corps (37 ◦ C)
et que son volume est de 3 L à 10 m de profondeur, calculer son volume à la surface. La
pression à la surface est P0 = 1 bar, la masse volumique de l’eau est ρ = 103 kg.m−3 . On
prendra g = 9, 8 m.s−2 .
10.4 Pression au sommet de l’Everest
(⋆⋆)
On considère que la température de l’air (gaz parfait) décroît linéairement avec l’altitude. Au
niveau de la mer la température vaut 20 ◦ C, et au sommet de l’Everest (altitude 8850 m), elle
vaut −40 ◦ C. La masse molaire de l’air est M = 29 g.mol−1 .
1. Déterminer la loi de variation de la température avec l’altitude.
2. Établir la loi de variation de la pression avec l’altitude. En déduire la pression au sommet
de l’Éverest en fonction de la pression au niveau de la mer.
3. Montrer que dans l’atmosphère, on a une relation du type PV k = constante. Calculer k.
10.5 Force de pression sur un barrage
(⋆ )
On s’intéresse à un barrage constitué d’un mur droit vertical. La hauteur d’eau est h = 5 m. La
largeur du cours d’eau est ℓ = 4 m. Calculer la force exercée par l’eau sur le barrage sachant
que la pression de l’air est P0 = 1 bar. La masse volumique de l’eau est ρ = 103 kg.m−3 . On
prendra g = 9, 8 m.s−2 .
295
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
APPROFONDIR
10.6 Estimation de la profondeur à partir de laquelle un apnéiste coule
(⋆ )
Dans le film de Luc Besson « Le grand bleu », le personnage principal participe à des compétitions d’apnée : il descend, tiré par une lourde charge qui coulisse le long d’un câble
vertical. À un moment du film, on le voit lâcher la charge alors qu’il se trouve à une profondeur d’environ 100 m, puis rester immobile à côté du câble, sans faire de mouvements. Cette
situation est en réalité physiquement impossible. Les images ont été tournées en piscine, à
faible profondeur. L’expérience montre qu’un apnéiste connait une situation d’impesanteur à
une profondeur d’environ 15 m. En utilisant ces données, et en établissant un modèle, estimer
le pourcentage du volume du plongeur en apnée qui émerge de l’eau, lorsqu’il est à la surface
avec ses poumons pleins et qu’il ne nage pas.
10.7 Tuba
(⋆ )
1. Question préliminaire.
On considère une demi-sphère de rayon a plongée dans un liquide de masse volumique ρ
(voir figure ci-dessous, à gauche)) et posée sur le fond du récipient. On note P(0) la pression
en O.
z
h
a
#–
dSM
θ
a
M
O
a. Exprimer la pression en M en fonction de P(0), a et cos θ .
b. Comment est dirigée la résultante des forces de pression ? Exprimer la projection sur
Oz de la force exercée sur une surface dSM autour de M, en fonction de θ , P(M) et dSM .
c. Sachant que la surface élémentaire de largeur angulaire dθ faisant le tour de la demisphère est dS = 2π a2 sin θ dθ , calculer la force exercée sur la demi-sphère.
2. Un plongeur débutant utilise un tuba dont l’embout est fermé par une balle lorsqu’il plonge
sous l’eau. La balle repose alors sur le tube (voir figure ci-dessus, à droite). On suppose que
la moité inférieure de la balle est dans le tube et la moitié supérieure en contact avec l’eau.
Le rayon de la balle est noté a = 1 cm et, lors de la plongée, le sommet de la balle est à
une profondeur h = 10 cm. On prendra g = 10 m.s−2 et la pression atmosphérique égale à
P0 = 1 bar.
a. Déterminer la force exercée par l’eau sur la balle.
b. Pourquoi le plongeur doit-il souffler plus fort pour soulever la balle lorsqu’il plonge que
lorsqu’il est dans l’air ?
296
10.8 Fermeture d’un bassin par une bille
(⋆ ⋆ ⋆)
Une sphère de bois de masse volumique ρ et de rayon R est complètement immergée dans un
bassin d’eau (de masse volumique ρe ) de profondeur H de telle manière qu’elle bouche un
trou circulaire de rayon r.
z
1. Calculer la force que la sphère exerce sur le
air
fond du bassin.
2. Application numérique : ρ = 850 kg.m−3,
eau
H
ρe = 1000 kg.m−3, H = 0, 7 m, R = 0, 2 m,
r = 0, 1 m et g = 9, 8 m.s−2 .
R
3. Si on baisse le niveau de l’eau dans le bassin existe-t-il une hauteur d’eau pour laquelle
r
la sphère monte à la surface avant qu’elle
n’émerge ?
air
10.9 Étude d’un ballon sonde
(⋆⋆)
Si le premier ballon-sonde au dihydrogène est dû à Gustave Hermitte et Georges Besançon
(1892), c’est incontestablement à l’ingéniosité et à la ténacité de l’atypique Léon Teisserenc
de Bort (1855-1913) qu’on doit la mise au point des techniques d’investigation par ballonsonde et la première cartographie atmosphérique.
On note (Oz) l’axe vertical ascendant, z = 0 au niveau du sol.
1. Étude de la troposphère.
La troposphère est la partie de l’atmosphère terrestre inférieure à 10 km. La troposphère fut
dénommée ainsi en 1902 par Léon Teisserenc de Bort (1855-1913) à partir de la racine «
tropos », le changement. Il découvrit aussi la stratosphère. On la considère comme un gaz
parfait de pression p(z), de température T (z) et de volume massique v(z). Au sol, on a la
pression p0 et la température T0 . Elle est en équilibre thermodynamique et mécanique et
obéit à la loi polytropique empirique :
p−k (z).T (z) = p−k
(10.1)
0 .T0 avec k = 0, 15.
a. Comment peut-on qualifier la transformation correspondant au cas k = 0 ?
b. Définir les mots homogène et isotrope. Caractérisent-ils la troposphère ?
c. Donner l’équation d’état d’un gaz parfait liant p(z), v(z), R, Mair et T (z).
dp
et v(z).
d. Exprimer la loi de la statique des fluides avec g,
dz
dT (z)
e. On appelle gradient thermique la variation de la température par mètre :
= −δ .
dz
Déduire δ en fonction de k, de la masse molaire de l’air Mair , de l’accélération de la pesanteur g et de la constante des gaz parfaits R. Calculer numériquement δ sachant que
Mair = 29 g.mol−1 , g = 9, 8 m.s−2 et R = 8, 32 J.K−1 .mol−1 .
f. Donner la loi de variation T (z) en fonction de T0 , δ et z.
g. On considère une quantité constante de n moles de gaz parfait à l’altitude z qui évolue
dans la troposphère. On note V (z) le volume qu’elle occupe à l’altitude z et V0 son volume au
V (z)
en fonction de δ , z, T0 et k.
sol. Déterminer la loi
V0
297
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
2. Ascension d’un ballon sonde.
Le ballon sonde dégonflé et instrumenté a une masse totale mB = 1, 2 kg. On gonfle au sol son
enveloppe avec n0 moles de dihydrogène. Son volume est alors V0 . L’enveloppe reste fermée
tant que son volume V (z) < Vmax = 10V0. Lorsque V (z) = Vmax , l’enveloppe se déchire et le
ballon retombe au sol.
a. On suppose l’enveloppe hermétiquement fermée. Sur ce ballon s’exerce une force de
#–
#–
frottement Ff . La force totale s’exerçant sur le ballon est (F − mB .g) #–
u z + Ff . Exprimer le
terme F en fonction de n0 , de g, de la masse molaire du dihydrogène MH2 = 2 g.mol−1 et de
celle de l’air Mair .
b. Calculer la valeur minimale nmin de n0 pour que le ballon décolle.
c. On admet le modèle de troposphère précédent. Durant l’ascension, on peut considérer
que la pression et la température sont quasiment identiques à l’intérieur et à l’extérieur du
ballon. Calculer h, altitude maximale atteinte en prenant T0 = 293 K. Commenter le résultat.
10.10 Structure de l’atmosphère terrestre (d’après CCP)
(⋆ )
L’atmosphère est essentiellement constituée d’un mélange gazeux comprenant du diazote
pour 78% en volume, du dioxygène pour 21% en volume, de l’argon pour environ 1,0% en
volume, du gaz carbonique pour 0,03% en volume et des traces infimes de néon, de krypton,
d’hélium, d’ozone, de dihydrogène, de xénon et de divers rejets de la biosphère. Cette composition est à peu près constante jusqu’à une altitude de 85 km sauf pour certains gaz comme
l’ozone surtout présent entre 30 et 40 km d’altitude.
L’atmosphère est stratifiée en température (la figure ci-dessous donne les variations de température en fonction de l’altitude) et donc aussi en pression.
100
ionosphère
mésosphère
z(km)
stratosphère
0, 0
troposphère
−50
0, 0
T (◦ C)
On considérera dans tout le problème que le mélange gazeux est sec au sens où on ne tiendra
pas compte de la proportion variable de vapeur d’eau proportionnelle à la température et
responsable des phénomènes de condensation en pluie, brouillard ou neige de l’air chaud qui
s’élève et se refroidit.
On notera M la masse molaire de l’air, g le champ de pesanteur supposé uniforme, R la
constante des gaz parfaits, k la constante de Boltzmann, n′ le nombre de moles et n la densité
volumique de molécules à l’altitude z.
On admettra que l’air est un gaz parfait.
298
1. Atmosphère isotherme :
On suppose dans un premier temps que la température est constante dans la troposphère.
a. Établir que la pression ne dépend que de l’altitude z. On prendra l’axe vertical orienté
vers le haut.
b. Déterminer l’expression de la pression P en fonction de l’altitude en supposant que
l’atmosphère est isotherme à la température T . On note P0 la pression à l’altitude z = 0.
c. Montrer que l’équation des gaz parfaits peut s’écrire sous la forme P = nkT .
'
&
E(z)
. On donnera les expresd. En déduire l’expression de n sous la forme n0 exp −
kT
sions de n0 et E(z).
e. Donner la signification physique de E(z) et kT .
P(z)
f. Calculer le rapport
pour z = 10 km en supposant une atmosphère isotherme à la
P0
température T = 288 K.
g. Montrer que 70% de la masse totale de l’air est située en dessous de 10 km dans cette
hypothèse.
2. Atmosphère adiabatique et polytropique :
On renonce à l’hypothèse d’une atmosphère isotherme pour passer à une atmosphère adiabatique.
5
7
a. Les capacités thermiques molaires de l’air sont CV = R et CP = R. Exprimer la
2
2
valeur du coefficient γ .
b. On rappelle que pour une transformation quasistatique adiabatique d’un gaz parfait, le
produit PV γ est constant. Montrer que le produit T x Py est constant et exprimer x et y en
fonction de γ .
dP
dT
en fonction de
et γ .
c. En déduire la relation donnant
T
P
& '
dT
en fonction de
d. Établir l’expression du gradient de température adiabatique
dz adia
γ , M, g et R. Donner sa valeur pour l’air.
e. À partir de la figure ci-dessus, donner
de la température à 10 km ainsi que
'
& la valeur
dT
. La comparer à la valeur du gradient
la valeur du gradient de température réel
dz réel
adiabatique.
f. Les transformations réelles au sein de l’atmosphère ne sont ni isothermes ni adiabatiques mais entre les deux. On les dit polytropiques et elles vérifient PV q constant avec
1 < q < γ . Donner la valeur de q à partir des données expérimentales.
g. En déduire la distribution correspondante de la température en fonction de l’altitude.
h. Même question pour la pression en fonction de la température.
i. Même question pour la pression en fonction de l’altitude.
j. En déduire la pression et la température à 10 km.
299
Exercices
A PPROFONDIR
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
CORRIGÉS
10.1 Pression au sommet d’un gratte-ciel
'
&
Mgz
à l’alDans le modèle de l’atmosphère isotherme, la pression est P(z) = P0 exp −
RT0
titude z (voir cours). La différence relative de
' entre le pied et le haut du building
& pression
P − P0
Mgh
− 1. Pour avoir a valeur maximale
de cote h = 828 m est donc :
= exp −
P0
R0 T
on choisit la température la plus basse, T0 = 25◦ C = 298 K. La masse molaire de l’air est
P − P0
M = 29 g.mol−1 , g = 9,81 m·s−2 , R = 8,314 J·K−1 ·mol−1. Il vient :
≃ 0, 10 = 10%.
P0
Ce n’est pas négligeable.
10.2 Interface eau-huile dans un tube en U
Il faut établir trois relations entre hh , hi et he . La première est
immédiate : hh − hi = 2 cm.
huile
La seconde est obtenue en écrivant l’égalité des pressions dans
eau
l’eau et dans l’huile à l’interface, soit : P0 + ρhuile (hh − hi ) g =
he
hh
P0 + ρeau (he − hi ) g, ou encore (en utilisant la première relaρhuile
hi
en centimètres.
tion) : he − hi = 2
ρeau
La troisième est obtenue en écrivant que si le niveau de l’eau descend de x dans une branche,
il monte de la même quantité dans l’autre, soit : hh = H − x et he = H + x.
ρhuile
Finalement, on trouve x =
où x est exprimé en centimètres. On a donc x = 0, 6 cm d’où
ρeau
he = 10, 6 cm, hi = 9, 4 cm et hh = 11, 4 cm.
10.3 Remontée d’un plongeur
1. Il a été vu dans le cours qu’à une profondeur de 10 m la pression est le double de celle à
la surface. En profondeur, les forces de pression qui s’exercent sur le corps et donc sur les
poumons du plongeur sont plus importantes que s’il était à l’air libre. A l’équilibre, on peut
supposer que la pression de l’air dans les poumons est égale à la pression extérieure. S’il
remplit trop ses poumons d’air provenant de ses bouteilles et qu’il remonte rapidement, la
pression extérieure exercée sur son corps risque de ne plus être suffisante pour s’opposer à la
pression de l’air dans ses poumons et ces derniers risquent de se déchirer.
2. Pour calculer la pression à 10 m de profondeur, on applique la loi barométrique :
P = P0 + ρ gh = 105 + 103 × 9, 8 × 10 = 1, 98 105 Pa
En supposant que le plongeur n’expire pas d’air pendant la remontée, le poumon contient
n moles d’air. Si on note V le volume à la profondeur h et V0 à la surface : nRT = PV =
P0V0 donc V0 = PV
P0 = 1, 98V = 5, 94 L. Le poumon devrait doubler de volume, ce qui est
impossible.
300
10.4 Pression au sommet de l’Everest
1. D’après l’énoncé, la loi de température est T (z) = T0 − az avec T (0) = T0 = 293 K et :
a=−
T (8850) − T(0)
= 6, 8 10−3 K.m−1
8850
MP
m
. On en dé2. L’équation de la statique des fluides s’écrit dP = −ρ gdz avec ρ = =
V
RT
dP
Mg dz
duit l’équation différentielle
=−
en tenant compte de la dépendance avec
P
R T0 − az
l’altitude de la température. On intègre entre 0 où la pression est P0 et z et on obtient :
&
' Mg
az aR
P = P0 1 −
.
T0
L’application numérique au sommet de l’Éverest donne : P = 0, 316 P0 .
dT
3. On différencie la température en fonction de l’altitude dT = −adz soit dz = − . On
a
dP
Mg dT
reporte alors dans l’équation de la statique des fluides, ce qui donne :
=
. Cette
P
Ra T
− Mg
équation s’intègre en : PT aR = cste.
Mg
Grâce à l’équation d’état du gaz parfait, on obtient : PV k = cste où k =
.
Mg − Ra
L’application numérique donne k = 1, 25.
10.5 Force de pression sur un barrage
z
#–
La force élémentaire dF exercée par l’eau sur la surface dS
(en trait gras sur la figure) est :
#–
#–
dF = P(M)dS = P(M)dSu#–x
h
eau
où u#–x est le vecteur unitaire de l’axe Ox et dS = ℓdz.
M
#–
dF
x
O
#–
Il faut donc calculer la pression en M avec la loi barométrique P(M) = P0 + ρ gz, soit : dF =
(P0 + ρ gz)ℓdze#–x . La force totale est obtenue en intégrant :
F=
ˆ
0
h
1
(P0 + ρ gz)ℓdz = P0 hℓ + ρ gh2 ℓ.
2
L’application numérique donne : F = 2, 49 106 N. Attention ! P0 est en Pa.
10.6 Estimation de la profondeur à partir de laquelle un apnéiste coule
Première analyse : chacun a déjà pu remarquer à l’occasion d’une baignade qu’il est possible
de flotter sans nager, lorsque l’on a les poumons remplis d’air, mais que ce n’est plus le cas
avec les poumons vides. On en déduit que la masse volumique moyenne du corps humain
301
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
(sans gaz enfermé) est légèrement supérieure à celle de l’eau. Avec les poumons vides, la
force de poussée d’Archimède est de norme inférieure à celle du poids. Avec les poumons
pleins, c’est le contraire. Quand on descend sous l’eau, avec les poumons pleins (ce qui est
préférable pour tenter de battre un record), les parties compressibles du corps (essentiellement
les poumons, remplis de gaz) voient leur volume diminuer, sous l’action de la pression ambiante qui s’accroît. La force de poussée d’Archimède diminue. À une certaine profondeur,
elle devient égale au poids et l’apnéiste est en situation d’impesanteur. Au-delà, même en
gardant les poumons remplis, le poids l’emporte sur la poussée d’Archimède et il coule. On
sait d’après les données expérimentales que la profondeur de l’impesanteur est de l’ordre de
15 m. On note µ la masse volumique de l’eau de mer (les compétitions d’apnée se déroulent
en mer), Vcv le volume du corps avec poumons vides et Vp0 le volume des poumons lorsque
l’apnéiste est hors de l’eau ou à la surface. L’ordre de grandeur du volume des poumons est
Vp0 ≃ 6 L. La masse volumique de l’eau de mer est légèrement supérieure à celle de l’eau
douce : µ = 1,02 kg·L−1 . On appele (Oz) l’axe vertical descendant, avec z = 0 au niveau
de la surface. Dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, on applique le théorème de la
résultante cinétique à l’apnéiste à la profondeur zi où il est en impesanteur, en notant Vp (zi )
#–
le volume de ses poumons à cette profondeur : mgu#–z − µ (Vcv + Vp (zi )) gu#–z = 0 . À une profondeur z, la pression ambiante est P (z) = P (0) + µ gz. Le volume des poumons Vp (z) peut
s’estimer non pas au moyen d’une évolution adiabatique mais plutôt isotherme, car la temP (0)
pérature au sein du corps est entretenue à une valeur quasiment constante. Vp (z) = Vp0
.
P(z)
En notant x le pourcentage du volume de l’apnéiste qui émerge à la surface, l’application du
#–
théoème de la résultante cinétique s’écrit à la surface : mgu#–z − (1 − x) µ (Vcv + Vp0) gu#–z = 0 .
Il vient après calculs,&et en notant P0 la
' pression P (0) à la surface, que l’on peut prendre égale
P0
µ Vp0 1 −
P + µ gzi
& 0
' = 4, 3%.
à 1 bar : x =
P0
m + µ Vp0 1 −
P0 + µ gzi
10.7 Tuba
1.
a. On ne peut pas utiliser la poussée d’Archimède car la demi-sphère est posée au fond
d’un récipient. En appliquant la loi barométrique P(M) = P(O) − ρ g(zM − z0 ) = P(O) −
ρ ga cos θ .
b. L’axe Oz étant un axe de symétrie, les composantes horizontales des forces de pression s’annulent. La force résultante est portée par (Oz) et c’est pour cela qu’on projette
la force élémentaire sur l’axe (Oz). La force de pression exercée par le liquide en M est
#–
#–
dF M = −P(M)dSM , soit en projection sur (Oz) : dFz = −P(M) cos θ dSM .
c. Avec l’expression de dSM et de P(M), on peut exprimer dFz :
dFz = −2π a2(P(O) − aρ g cos θ ) cos θ sin θ dθ .
Pour calculer la force totale, il faut intégrer la force sur la demi-sphère :
Fz = −2π a2
302
ˆ
θ =π /2
θ =0
(P(O) − aρ g cos θ ) cos θ sin θ dθ = −2π a2
&
'
P(O) aρ g
−
.
2
3
2.
a. On peut appliquer l’expression démontrée
à la question
' précédente, sachant qu’alors
&
ρ
gh
ρ
ga
P
0
+
+
= −32 N.
P(O) = P0 + ρ g(h + a) d’où : Fz = −2π a2
2
2
6
b. S’il n’y avait que la pression atmosphérique, la force serait −π a2P0 . On voit d’après
l’expression précédente, que sous l’eau la force est plus importante (de 0.3 N).
10.8 Fermeture d’un bassin par une bille
1. La sphère de bois étant en équilibre, la résultante des forces qui s’exercent sur elle est nulle
soit
"
#– #– #–
#–
Mb g −
P(M)dS + R = 0 ,
M∈S
#–
en notant Mb la masse de la sphère et R la réaction du fond du bassin.
La difficulté est de calculer la résultante des forces de pression. On ne peut en effet pas
appliquer le théorème d’Archimède car la pression n’est pas continue à la surface de la sphère.
Il faut donc calculer explicitement l’intégrale.
L’air est à une pression uniforme donc il ne contribue pas à l’intégrale :
"
"
#–
#– #–
dS = 0 .
Pa dS = Pa
M∈S
M∈S
La pression en un point de cote z dans l’eau est donnée par : P(z) = Pa + ρe g(H − z). En
fonction de l’angle θ des coordonnées sphériques, on obtient :
P(θ ) = Pa + ρe g (H + R (cos θ0 − cos θ )) ,
r
où θ0 représente la valeur de θ au niveau de l’ouverture circulaire : sin θ0 = et cos θ0 =
R
6
r2
− 1− 2.
R
Les symétries du problème imposent à la résultante de n’avoir qu’une composante Fz suivant
u#–z . On projette sur u#–z : dFz = (P(θ ) − Pa ) × (− cos θ ) × dS. On peut découper la sphère en
couronnes comprises entre θ et θ + dθ de surface : dS = 2π R2 sin θ dθ . Il vient :
ˆ θ0
!
"
2
H + R (cos θ0 − cos θ ) cos θ sin θ dθ .
Fz = −ρe g2π R
0
On trouve :
Fz = ρe g2π R2
&
'
&
"
H! 2
1 1
1
cos θ0 − 1 + R
− cos θ0 + cos3 θ0 )
2
3 2
6
La force exercée par la sphère sur le fond du bassin est donc
&
'''
&
&
"
1
ρe 3H ! 2
1 3
#–
cos θ0 − 1 + R
− cos θ0 + cos3 θ0
R = Mb g 1 −
u#–z .
ρ
4
2 4
6
I #–I
2. L’application numérique donne I R I = 170 N.
303
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
3. La sphère monte à la surface avant d’émerger lorsque la résultante précédente s’annule
donc dès que H atteint la valeur :
&
'
2ρb 3
2R
1
3
Hc =
cos
cos
1
−
−
θ
+
θ
0
0 .
ρe
2
2
3 sin2 θ0
En remplaçant cos θ0 par son expression en fonction de r et R, on obtient :
(&
)
' &
'6
r2
2R3
r2
ρb
1+2
+ 2+ 2
1− 2 .
Hc = 2
3r
ρe
R
R
10.9 Étude d’un ballon sonde
1.
a. Si k = 0, la transformation est isotherme.
b. Homogène signifie que les variables d’état et en particulier la masse volumique sont les
mêmes en tout point. Isotrope signifie que les propriétés sont les mêmes quelle que soit la
direction. Dans le cas de l’atmosphère, il y a une direction particulière qui est la verticale et
la masse volumique dépend de l’altitude. Donc l’atmosphère n’est ni homogène, ni isotrope.
c. Si on appelle m la masse d’un volume mésoscopique et V son volume, V = mv(z) =
nMair v(z). L’équation d’état du gaz parfait est donc p(z)V = nRT , alors p(z)v(z) = MRT .
air
1
où ρ (z) est la masse volumique, la loi de la statique des fluides
d. Sachant que v(z) =
ρ (z)
−g
.
devient ddzp = −ρ (z)g = v(z)
dT
dT
dp
. La loi (10.1) donne : T = Cpk où C = p−k
= Ckpk−1 .
e. On veut calculer
0 T0 , soit
dz
dz
dz
T
Avec pk−1 = Cp
, cette équation s’écrit :
T dp
Mair v(z)
dT
=k
=k
dz
p dz
R
&
−g
v(z)
'
=−
Mair kg
R
⇔
δ=
Mair kg
= 5, 1.10−3 K.m−1 .
R
f. On en déduit : T (z) = T0 − δ z.
g. On applique la loi des gaz parfaits au niveau du sol et à l’altitude z : p(z)V (z) = nRT (z)
et p0V0 = nRT0 . On effectue le rapport de ces deux équations en utilisant la relation (10.1) :
V (z) T (z) p(z)
=
V0
T0 p0
⇒
V (z)
=
V0
&
T (z)
T0
'1− 1
k
' 1
&
V (z)
T0 − δ z 1− k
d’où avec l’expression de T (z)
=
.
V0
T0
2.
a. La force F est égale à la poussée d’Archimède moins le poids du dihydrogène. Étant
donné que l’on suppose les deux gaz parfaits, le gaz dans le ballon et l’air déplacé occupant
le même volume correspondent au même nombre de moles n0 : F = n0 (Mair − MH2 )g.
mB
b. Pour que le ballon décolle, il faut : F > mB g soit n0 > nmin avec : nmin =
.
Mair − MH2
304
c. L’altitude maximale est atteinte lorsque le ballon aura atteint son volume maximal 10V0 .
En utilisant l’expression de la question 1.g, on en déduit l’altitude h correspondante :
T0
h=
δ
(
&
10V0
1−
V0
'
k
k−1
)
= 19, 2 km
Cette altitude est au-delà de la limite supérieure de la troposphère donc le modèle utilisé n’est
plus valable.
10.10 Structure de l’atmosphère terrestre
1.
a. Les seules forces qui agissent sur un petit volume de fluide à l’équilibre sont son
poids et les forces de pression. Le poids est vertical donc la résultante des forces de pression
aussi. La pression ne dépend ni de x ni de y.
MP
n′ M
b. L’équilibre du petit volume de fluide sur Oz donne dP = −ρ gdz avec ρ =
=
V
RT
Mgz
−
en utilisant la loi des gaz parfaits. Par intégration suivant z, on en déduit P = P0 e RT .
nmol n′ NA
c. Par définition, on a n =
=
en notant NA le nombre d’Avogadro. En reportant
V
V
′
dans l’équation d’état PV = n RT et en utilisant la relation R = NA k, on obtient le résultat.
P
, ce qui permet d’obtenir le résultat en
d. D’après la question précédente, on a n =
kT
Mgz
P0
et E(z) =
notant n0 =
.
kT
NA
e. E(z) est l’énergie potentielle d’une molécule et kT l’énergie d’agitation thermique.
P(z)
= 0, 30
f. L’application numérique de la question 2. donne
P0
ˆ 1000
1000Mg
n(z)dz
−
0
RT
dont l’application
g. Le rapport cherché s’exprime par r = ˆ +∞
= 1−e
n(z)dz
numérique donne r = 0, 70.
0
CP
= 1, 4.
CV
b. On formule l’hypothèse que le produit PV γ est constant et on a l’équation des gaz
nRT
et que le produit P1−γ T γ est constant.
parfaits PV = nRT . On en déduit que V =
P
γ − 1 dP
dT
=
c. La différentielle logarithmique de la relation précédente donne
T
γ P
d. En reportant la relation de la question précédente
dans
l’équation
de
la
statique des
& '
γ dT
Mg
dT
Mg (1 − γ )
dP
=−
dz =
soit
=
. On a donc un
fluides, on en déduit
P
RT
γ −1 T
dz adia
Rγ
gradient constant de la température avec l’altitude. Il est donc possible de donner sa valeur
soit −9, 78.10−3K.m−1 .
2.
a. Le rapport vaut par définition γ =
305
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 10 – S TATIQUE DES FLUIDES
e. La lecture de la température
à 10 km donne −45◦ C. Le gradient obtenu par la pente de
& '
dT
= −5, 7.10−3K.m−1 . Cette valeur est supérieure à la valeur
la courbe est donc ici
dz réel
obtenue dans l’hypothèse adiabatique.
La valeur de q est obtenue par une relation analogue à celle utilisée avec γ , à savoir
& f. '
Mg
Mg (1 − q)
dT
! " = 1, 20.
. On en déduit q =
=
dz réel
Rq
Mg + R dT
dz réel
dT
est constante donc par intégration, on en déduit T = T0 − 5, 7.10−3z.
g. La valeur
dz
h. Par une démonstration analogue à celle de question 2, on en déduit
P = P0
&
T
T0
'
q
q−1
i. En reportant l’expression de T (z) dans la relation de la question précédente, on a
&
' q
5, 7.10−3 q−1
P = P0 1 −
z
.
T0
j. L’application numérique avec T0 = 288 K à z = 10 km donne une température de T =
231 K et une pression de P = 0, 27 atm.
306
11
Ce chapitre a pour vocation de mettre en place des outils et des notations qui permettront
d’appréhender les fluides en écoulement. Le champ des vitesses eulérien y est introduit ; il
sera utile pour effectuer des bilans de masse.
1
Vitesse microscopique et vitesse mésoscopique
Les notions de particule de fluide et d’échelle mésoscopique ont été introduites dans le
chapitre 10.
Dans tout ce paragraphe, on se place dans un référentiel R, lié au laboratoire, supposé galiléen.
Même dans un fluide qualifié d’immobile à l’échelle macroscopique, les molécules (ou les
ions) ont un mouvement d’agitation désordonné, appelé agitation thermique, à l’échelle microscopique. Entre deux chocs successifs, chaque molécule parcourt une distance moyenne
ℓ : le libre parcours moyen. La vitesse microscopique #–
v micro d’une molécule change de
direction et de norme à chaque choc.
On fait l’hypothèse de l’ergodicité des vitesses, c’est-à-dire que l’on admet que la valeur
moyenne dans le temps des vitesses d’une molécule est égale à la moyenne statistique des
vitesses de toutes les molécules.
Dans le cas d’un équilibre thermodynamique, la moyenne temporelle de la vitesse de chaque
molécule par rapport à R est nulle. Et, du fait de l’hypothèse d’ergodicité des vitesses, à
chaque instant, la moyenne des vitesses dans R de toutes les molécules d’une particule de
fluide, est nulle. Le fluide est dit « au repos », et il obéit aux lois de la statique des fluides.
En présence d’un écoulement, c’est-à-dire de convection, la moyenne temporelle de la vitesse de chaque molécule n’est pas nulle : au mouvement erratique dans toutes les directions de l’espace se rajoute un mouvement de dérive, dans la direction de l’écoulement. La
moyenne des vitesses des molécules d’une même particule de fluide n’est pas nulle non plus ;
elle constitue la vitesse mésoscopique.
CHAPITRE 11 – D ÉBITS ET LOIS DE CONSERVATION
À t fixé, la vitesse mésoscopique, c’est-à-dire la vitesse d’une particule de fluide, est
égale à la moyenne des vitesses de toutes les molécules (et éventuellement ions) qui
constituent la particule de fluide.
2
Descriptions lagrangienne (complément) et eulérienne
Il existe deux démarches très différentes pour décrire les mouvements d’un fluide, l’une est
due à Joseph-Louis Lagrange 1 , l’autre à Leonhard Euler 2 .
2.1
Description lagrangienne
a) Aspect qualitatif
La description lagrangienne est celle utilisée en mécanique du point ou du solide. Elle
consiste à choisir des particules de fluides {P1 , P2 , P3 , ...} et à les suivre tout au long de leur
mouvement. Les grandeurs physiques associées à chaque particule Pi de fluide sont donc des
fonctions d’une seule variable, le temps :
# –
• la position OPi (t) ;
• les coordonnées de position, par exemple xPi (t), yPi (t), zPi (t) pour un repérage cartésien ;
• la vitesse v#P–i (t) ;
• la masse volumique µPi (t) ;
• la température TPi (t) ;
• la pression PPi (t).
Les coordonnées d’espace d’une particule étant fonction du temps, sa vitesse et son accélération se déduisent de la position par dérivation temporelle :
# –
dOPi
v#P–i (t) =
(t)
dt
# –
d2 OPi
et a# P–i (t) =
(t) .
dt 2
b) Trajectoires
À la description lagrangienne est associée la notion de trajectoire : la trajectoire d’une particule de fluide est l’ensemble des positions occupées successivement au cours du temps par
cette particule.
Expérimentalement, on peut les visualiser en injectant dans le fluide des traceurs (colorant,
poudre solide, bulles gazeuses) puis en prenant une photo avec un temps de pose très long.
L’équation de la trajectoire d’une particule P s’obtient en éliminant le temps entre les différentes équations horaires du mouvement de cette particule. Par exemple, en utilisant le système de coordonnées cartésiennes, il faut éliminer le temps t entre les expressions de xP (t),
1. Jospeh-Louis Lagrange, 1736−1813, mathématicien et physicien français, sucessivement professeur à l’École
d’artillerie de Turin, directeur des mathématiques à l’Académie des Sciences de Berlin, membre de l’Académie
des Sciences française à paris, où il participe à la création de l’École polytechnique. On lui doit de nombreuses
publications dans tous les domaines des mathématiques et de la mécanique.
2. Leonhard Euler, 1707 − 1783, mathématicien et physicien suisse, qui développa une œuvre considérable en
astronomie, sciences physiques et mathématiques, à Saint-Pétersbourg, en Russie.
308
D ESCRIPTIONS LAGRANGIENNE (COMPLÉMENT ) ET EULÉRIENNE
yP (t) et zP (t).
Exemple
Soit une particule de fluide dont les équations horaires du mouvement sont :
xP (t) = 3 cos (10t),
yP (t) = 2t
et zP (t) = 5.
La trajectoire de cette particule a pour équations :
xP = 3 cos (5yP )
et zP = 5.
La courbe correspondante est une sinusoïde contenue dans le plan zP = 5.
2.2
Description eulérienne
a) Aspect qualitatif
La description eulérienne consiste au contraire à choisir un volume élémentaire situé dans
le voisinage de points fixes {M1 , M2 , M3 , ...} et à enregistrer les caractéristiques des particules
de fluide qui y passent au fil du temps.
Dans la description eulérienne, les grandeurs physiques ne sont donc plus attachées
à des particules de fluide mais sont des fonctions à la fois de l’espace et du temps ; on
définit ainsi le champs eulérien des vitesses #–
v (M,t).
IL existe d’autres champs eulériens, par exemple :
• le champ des accélérations #–
a (M,t) ;
• le champ de masse volumique µ (M,t) ;
• la champ de température T (M,t) ;
• le champ de pression P (M,t).
Les champs des vitesses et des accélérations sont des champs vectoriels, tandis que ceux de
masse volumique, température, pression, sont des champs scalaires.
La description eulérienne est non seulement utilisée en mécanique des fluides mais aussi en
thermodynamique et en électromagnétisme. Dans le chapitre 7, le vecteur densité de courant
de particules #–
ȷ est un champ vectoriel, et la densité de particules n (M,t), un champ scalaire
eulérien.
Les outils mathématiques associés aux champs eulériens, scalaires ou vectoriels, sont détaillés dans l’annexe mathématique.
Dans le cadre de la description eulérienne, les coordonnées spatiales du point M d’observation ne dépendent pas du temps. Par exemple, en coordonnées cartésiennes, les
variables x, y, z et t sont 4 variables indépendantes.
b) Lignes de courant et tubes de courant
Le champ des vitesses est un champ, au même titre qu’un champ électrique ou un champ
magnétique. De la même façon que pour les lignes de champ électrique et les lignes de champ
309
CHAPITRE 11 – D ÉBITS ET LOIS DE CONSERVATION
magnétique des chapitres 16 et 18 , on définit ici les lignes de champ des vitesses, appelées
lignes de courant.
À un instant t fixé, une ligne de courant est une courbe tangente en tout point M au
champ des vitesses #–
v (M,t). Elle est orientée dans le sens du champ des vitesses.
R
#–
v (M1 ,t)
M1
#–
v (M2 ,t)
M2
M3
#–
v (M3 ,t)
Figure 11.1 – Ligne de courant.
!
Une ligne de courant est une courbe définie à un instant fixé, alors qu’une trajectoire est une
courbe associée à une certaine durée : le temps nécessaire à la particule de fluide pour la
parcourir.
L’équation d’une ligne de courant, à t fixé, s’obtient en écrivant qu’en tout point M de la
courbe, le champ des vitesses #–
v (M,t) est colinéaire au déplacement vectoriel élémentaire
# –
# –
dOM le long de la courbe : #–
v (M,t) = K dOM.
# – #–
Ceci peut s’écrire au moyen d’un produit vectoriel : #–
v (M,t) ∧ dOM = 0 , qui conduit, à t
fixé, à des équations différentielles, qu’il faut intégrer pour relier les coordonnées spatiales
entre elles.
# –
En coordonnées cartésiennes, #–
v (M,t) = K dOM conduit à vx = Kdx, vy = Kdy et vz = Kdz,
d’où :
dx dy dz
=
= .
vx
vy
vz
Exemple
Soit un écoulement défini par le champ des vitesses défini en coordonnées cartésiennes
de la façon suivante :
# t$
x
et vz (x, y, z,t) = 0.
vx (x, y, z,t) = 2 , vy (x, y, z,t) = −v0 exp −
τ
θ
# t$
dx dy
dx
# –
#–
v (M,t) = K dOM conduit à
= −dy et dz = 0.
=
soit τ v0 exp −
vx
vy
2x
θ
La dernière équation conduit à z = constante : les lignes de courant sont dans des plans
orthogonaux à l’axe Oz.
# t$
τ v0
exp −
ln x + K1 .
La première équation, à t fixé, s’intègre en y =
2
θ
Ainsi, à chaque instant, on obtient des lignes de courant en forme de fonctions logarithmiques, qui se distinguent les unes des autres par le choix de la constante K1 .
310
D ESCRIPTIONS LAGRANGIENNE (COMPLÉMENT ) ET EULÉRIENNE
De la même façon que pour les tubes de champ électrique et les tubes de champ magnétique
dans les chapitres 16 et 18, on définit ici les tubes de champ des vitesses, appelés tubes de
courant.
À un instant t fixé, un tube de courant est l’ensemble des lignes de courant s’appuyant
sur un contour fermé donné. Le champ des vitesses #–
v (M,t) est donc tangent en tout
point M à la surface du tube de courant.
contour
Γ
Figure 11.2 – Tube de courant.
2.3
Lien entre trajectoires et lignes de courants
P à t2
P à t1
sèche
cheveux
à t1
sèche
cheveux
à t2
Figure 11.3 – Trajectoires et lignes de courant.
On considère un écoulement simple, pour lequel les lignes de courant sont des droites parallèles entre elles. Pour fixer les idées, imaginons qu’un tel écoulement puisse être obtenu à la
311
CHAPITRE 11 – D ÉBITS ET LOIS DE CONSERVATION
sortie d’un sèche-cheveux. Sur la figure 11.3, on représente ce sèche-cheveux à deux instants
distincts, t1 et t2 , avec t2 > t1 . Les lignes de courants sont en traits noirs à t1 , puis gris à t2 .
Entre ces deux instants, le sèche-cheveux a été lentement incliné pour le faire passer d’une
position à l’autre.
Une particule de fluide P est représentée en noir à t1 et en gris à t2 . Entre les deux instants,
elle a parcouru la trajectoire en pointillés qui rejoint ces deux points. Pour chacune des deux
positions de P, la trajectoire est tangente au champ des vitesses à l’instant considéré, donc
à la ligne de courant qui y passe. On voit clairement sur cet exemple la différence entre
les trajectoires et les lignes de courant. On admet que cette différence disparait pour des
écoulements stationnaires (cf paragraphe 7.1), c’est-à-dire indépendants du temps.
Lorsqu’un écoulement est stationnaire, les lignes de courants sont identiques aux trajectoires.
3
3.1
Vecteur densité de courant de masse
Masse élémentaire traversant une surface dS par unité de temps
On cherche à calculer la masse de fluide traversant une surface S orientée, pendant une durée
élémentaire dt. Pour cela, on la découpe en éléments de surface dS autour des points N1 , N2 ,
etc, comme le montre la figure 11.4, sur laquelle la surface S a été orientée vers le bas.
dS
dS
∥ #–
v (N2 ,t)∥ dt
S
α2
N2
dh1 α1
N1
∥ #–
v (N1 ,t)∥ dt
# –
#–
α2
v (N2 ,t)
α1 dS1
#–
v (N1 ,t)
# –
dS2
Figure 11.4 – Éléments de volumes pour les calculs de transport de masse.
Où se trouve, à l’instant t, la masse δ m1 qui va traverser dS dans le voisinage de N1 entre t
et t + dt ? elle se trouve dans le volume δ V1 , représenté sur la figure, en forme de cylindre
penché, de base dS, avec des génératrices obliques, parallèles au vecteur #–
v (N1 ,t). Ces génératrices ont pour longueur dℓ1 = ∥ #–
v (N1 ,t)∥ dt.
Comment calculer le volume dV1 ?
On considère une pile de pièces de 2 euros, comme le montre la figure 11.5, page suivante.
Le volume total V0 des pièces est le même, que les pièces soient à la verticale les unes des
autres, comme sur le schéma de gauche, ou bien légèrement décalées les unes par rapport aux
autres, comme sur le schéma de droite. Si l’épaisseur des pièces devient petite devant leur
diamètre, le schéma de droite devient assimilable à un cylindre aux génératrices penchées. Le
volume de la pile est V0 = S0 h0 ; mais puisque h0 = ℓ0 cos α0 , on peut aussi l’écrire :
312
V ECTEUR DENSITÉ DE COURANT DE MASSE
V0 = S0 ℓ0 cos α0 .
Ainsi, en appliquant cette méthode au volume dV1 , on a :
v (N1 ,t)∥ dt dS cos α1 ,
dV1 = ∥ #–
# –
ou encore, en utilisant le vecteur dS1 :
# –
v (N1 ,t) · dS1 dt.
dV1 = #–
La masse de fluide traversant dS dans le voisinage de N1 par unité de temps, à l’instant t est
donc :
δ m1
δ V1 µ (N1 ,t)
# –
(N1 ,t) =
= µ (N1 ,t) #–
v (N1 ,t) · dS1 .
dt
dt
S0
α0
2€
2€
h0
h0
ℓ0
Figure 11.5 – Volume d’un cylindre dont les génératrices ne sont pas normales à la base.
3.2
Expression du vecteur densité de courant de masse
De la même façon que pour tous les autres phénomènes de transport (de particules dans
le chapitre 7, d’énergie thermique dans le chapitre 9, de quantité de mouvement dans le
chapitre 13, de charges dans le chapitre 17, d’énergie sonore dans le chapitre 29, d’énergie
électromagnétique dans le chapitre 30), on introduit un vecteur densité de courant associé
à la grandeur physique transportée, qui est ici la masse, pour obtenir le vecteur densité de
courant de masse :
#–
v (N1 ,t) .
ȷ masse (N1 ,t) = µ (N1 ,t) #–
[ jmasse ] = kg · m−2 · s−1 .
Le vecteur #–
ȷ masse a pour direction et pour sens ceux associés au mouvement local du fluide ;
sa norme représente, localement, la quantité de masse passant par seconde et par mètre carré
de section droite (c’est-à-dire de section orthogonale à #–
ȷ masse ).
313
CHAPITRE 11 – D ÉBITS ET LOIS DE CONSERVATION
Le flux du vecteur densité de courant de masse à travers un élément de surface dS orienté,
exprime le débit de masse local, c’est-à-dire la quantité de masse de fluide qui traverse loca#–
lement dS par unité de temps, dans le sens de dS :
δ m #–
#–
= ȷ masse · dS.
dt
Remarque
#–
Sur le schéma de gauche de la figure 11.6, la composante selon dS de #–
ȷ masse est positive ; le débit massique local est positif. En revanche, sur le schéma du centre, la
#–
composante selon dS de #–
ȷ masse est négative ; le débit massique local est négatif.
N
#–
ȷ masse
N
#–
dS
#–
dS
#–
dS
N
#–
ȷ masse
#–
ȷ masse
S
Figure 11.6 – Vecteur densité de courant de masse.
4
Débit massique
Soit S une surface orientée. On appelle débit massique de fluide à travers S, et on
note Dm , la quantité de masse de fluide qui traverse S par unité de temps, dans le sens
d’orientation de S. C’est une grandeur algébrique, qui peut être positive ou négative.
Dans le paragraphe précédent, on a établi le débit massique local, pour une surface élémentaire dS. Le débit massique global s’obtient donc en intégrant sur toute la surface S, comme
celle du schéma de droite de la figure 11.6 :
Dm =
!
314
¨
S
#–
#–
ȷ masse · dS =
¨
S
#–
v · dS
µ #–
[Dm ] = kg · s−1.
Il est important de noter que le débit massique Dm est une grandeur algébrique, dont le signe
dépend du sens qui a été choisi pour orienter la surface S. Le choix arbitraire du sens de
l’orientation de S est analogue au choix arbitraire du sens de la flèche associé à un courant
électrique i dans un fil. Le courant électrique i est un débit de charges, à travers la section du
fil, ce qui est tout-à-fait analogue à un débit de masse.
C ONSERVATION DE LA MASSE
5
5.1
Conservation de la masse
Équation locale de conservation de la masse en 1D
Commençons par une géométrie simple : un écoulement dans une canalisation, en forme de
cylindre circulaire, comme représenté sur la figure 11.7. Ce cylindre est supposé fixe dans
le référentiel R du laboratoire. On suppose que l’écoulement est unidimensionnel, parallèle
aux parois de la canalisation, c’est-à-dire que le champ des vitesses dans R prend la forme
v (x,t) u#–x en coordonnées cartésiennes.
En l’absence de réactions nucléaires, il ne peut y avoir de création de masse (à partir d’énergie), ni de disparition. En revanche, il peut y avoir des échanges.
Pour effectuer un bilan de masse, on considère une surface fermée S, fixe dans R, à travers
laquelle le fluide s’écoule. Un telle surface, définie par un observateur à des fins d’analyse
porte le nom de surface de contrôle. Le volume qu’elle enferme porte le nom de volume de
contrôle.
On prend ici comme volume de contrôle le cylindre élémentaire compris entre x et x + dx. La
masse qui s’y trouve à l’instant t + dt est égale à celle qui s’y trouvait à t moins celle qui est
sortie à travers les différentes parois pendant dt, plus celle qui est rentrée à travers ces parois
pendant dt. Compte tenu de la forme de l’écoulement considéré ici, les échanges de masse ne
se font qu’à travers les faces de gauche et de droite ; il n’y a aucun échange à travers la paroi
latérale de la surface de contrôle.
La masse contenue dans le volume de contrôle à l’instant t est δ m (x,t) = µ (x,t) dSdx.
Celle qui y est contenue à l’instant t + dt est δ m (x,t + dt) = µ (x,t + dt)dSdx.
Sur la figure 11.7, on fait le choix d’orienter les faces de gauche et de droite de la surface
de contrôle vers la droite. Le flux du vecteur #–
ȷ masse à travers la face de gauche sera donc un
débit entrant, et celui à travers la face de droite, un débit sortant. Pour ne pas surcharger la
figure, la légende concernant le vecteur #–
ȷ masse n’apparait que sur les faces de gauche et de
droite.
z
dSu#–x #–
ȷ masse (x,t)
dS
dSu#–x
#–
ȷ masse (x + dx,t)
y
x
x
x + dx
Figure 11.7 – Échange de masse à travers les deux faces d’un cylindre.
La masse entrant pendant dt à travers la face de gauche est :
#–
ȷ masse (x,t) · (dSu#–x ) dt = jx masse (x,t) dSdt.
315
CHAPITRE 11 – D ÉBITS ET LOIS DE CONSERVATION
La masse sortant pendant dt à travers la face de droite est :
#–
ȷ masse (x + dx,t) · (dSu#–x ) dt = jx masse (x + dx,t)dSdt.
L’équation locale de conservation de la masse s’écrit donc, après simplification par dSdz :
µ (x,t + dt)dSdx = µ (x,t) dSdx + jx masse (x,t) dSdt − jx masse (x + dx,t)dSdt,
soit, après division par dSdxdt,
µ (x,t + dt) − µ (x,t) jx masse (x + dx,t) − jx masse (x,t)
+
= 0,
dt
dx
En se limitant à l’ordre 1 en dt et en dx, on a
∂µ
• d’une part µ (x,t + dt) − µ (x,t) =
(x,t) dt ;
∂t
∂ jmasse x
(x,t) dx.
∂x
∂ jx masse
∂µ
∂ jx masse ∂ µ
(x,t) +
(x,t) = 0, ou plus simplement :
+
= 0.
D’où
∂x
∂t
∂x
∂t
• et d’autre part jmasse x (x + dx,t) − jmasse x (x,t) =
5.2
Équations de conservation de la masse
Si on considère cette fois sur un volume de contrôle V , non infinitésimal, délimité par la
#–
surface de contrôle S, orientée, comme toute surface fermée, avec un dS sortant, un simple
raisonnement de bon sens permet d’écrire que la masse m (t + dt) contenue dans V à t + dt
est égale à la masse m (t) contenue dans V à t moins celle sortant pendant dt à travers S. Ceci
se traduit directement par :
"
"
m (t + dt) − m (t)
#–
#–
#–
#–
m (t + dt) = m (t) −
=−
ȷ masse · dS dt, soit encore
ȷ masse · dS.
dt
S
S
On en déduit, à la limite où dt tend vers 0, l’équation globale de conservation de la masse :
dm
=−
dt
"
S
#–
#–
ȷ masse · dS = −
"
S
#–
v · dS.
µ #–
On peut d’ailleurs partir de cette équation intégrale pour donner une nouvelle démonstration
de l’équation locale. L’équation ci-dessus peut encore s’écrire :
˚
V
µ (x, y, z,t + dt)dτ =
˚
V
µ (x, y, z,t) dτ −
"
S
#–
#–
ȷ masse · dS dt,
soit :
˚
V
316
!
"
µ (x, y, z,t + dt) − µ (x, y, z,t) dτ +
"
S
#–
#–
ȷ masse · dS dt = 0.
D ÉBIT VOLUMIQUE
Puis au premier ordre en dt :
˚
"
∂µ
#–
#–
dtdτ +
ȷ masse · dS dt = 0 soit
V ∂t
S
˚
En utilisant le théorème d’Ostrogradski :
˚
˚
∂µ
dτ +
div #–
ȷ masse dτ = 0 puis
V ∂t
V
˚ &
V
V
∂µ
dτ +
∂t
"
S
#–
#–
ȷ masse · dS = 0.
'
∂µ
#–
+ div ȷ masse dτ = 0.
∂t
Ceci étant vrai quel que soit V , la fonction intégrée est nulle.
L’équation locale de conservation de la masse, ou équation de continuité, est :
∂µ
= − div #–
ȷ masse .
∂t
6
Débit volumique
Soit S une surface orientée. On appelle débit volumique de fluide à travers S, et on
note Dv , la quantité de volume de fluide qui traverse S par unité de temps, dans le sens
d’orientation de S. C’est une grandeur algébrique, qui peut être positive ou négative.
Pour calculer ce débit Dv , il faut tenir compte de tous les volumes élémentaires du type δ V1
(calculé dans le paragraphe 3.1 de la page 312) qui traversent les portions élémentaires dS de
la surface S pendant dt, diviser par la durée infinitésimale d’observation dt et intégrer sur la
surface S :
Dv =
¨
S
#–
#–
v · dS et
[Dv ] = m3 ·s−1 .
Remarque
On pourrait être tenté d’introduire un vecteur densité de courant de volume #–
ȷ volume ,
puisque l’on s’intéresse ici à un transport de volume.
De la même façon que #–
ȷ masse = µ #–
v , µ étant la masse volumique, c’est-à-dire la densité
volumique de masse, on aurait #–
ȷ volume = 1 #–
v = #–
v , le 1 représentant la « densité volumique de volume ». Le vecteur densité de courant de volume est donc tout simplement
le champ des vitesses lui-même.
7
Écoulements particuliers
Pour terminer ce chapitre, on étudie deux cas particuliers d’écoulements, rencontrés assez
fréquemment.
317
CHAPITRE 11 – D ÉBITS ET LOIS DE CONSERVATION
7.1
Écoulements stationnaires
Un écoulement stationnaire est un écoulement pour lequel les différents champs eulériens
∂
= 0.
sont indépendants du temps. On peut résumer cela par la notation symbolique
∂t
Particularité d’un écoulement stationnaire Dans le cadre d’un écoulement stationnaire,
l’équation locale de conservation de la masse s’écrit : div (µ #–
v ) = 0. Dans un écoulement
stationnaire, le vecteur densité de courant de masse est à flux conservatif.
Ligne de courant de masse et tube de courant de masse De la même façon que l’on a
défini les lignes de courant et les tubes de courant associés au champ des vitesses (c’est-àdire la densité de courant de volume), on peut définir des grandeurs similaires pour le vecteur
densité de courant de masse :
À un instant t fixé, une ligne de courant de masse est une courbe tangente en tout point
M au vecteur densité de courant de masse #–
ȷ masse (M,t) = µ #–
v . Elle est orientée dans
#–
le sens du champ ȷ masse (M,t).
À un instant t fixé, un tube de courant de masse est l’ensemble des lignes de courant
de masse s’appuyant sur un contour fermé donné. Le vecteur densité de courant de
masse #–
ȷ masse = µ #–
v est donc tangent en tout point M à la surface du tube de courant de
masse.
Conservation du débit massique pour un écoulement stationnaire Soit S une surface
de contrôle. Dans le cas d’un écoulement stationnaire, la masse de fluide m contenue dans le
volume de contrôle V délimité par S, est constante au cours du temps. S’il n’en était pas ainsi,
il y aurait accumulation de masse au cours du temps dans V , ou bien au contraire déstockage
de masse ; l’écoulement ne pourrait être stationnaire.
Lorsque un écoulement est stationnaire, le débit massique entrant dans un volume de
contrôle, est à tout instant égal au débit massique sortant. Le débit massique est conservé
le long d’un tube de courant.
Pour illustrer cela, on prend comme surface de contrôle un tube de courant de masse, comme
le montre la figure 11.8 page suivante. L’ensemble
S = S1˚
∪ S2 ∪ S3 constitue une surface
"
#
–
v · dS =
v ) dτ .
fermée. D’après le théorème d’Ostrogradski,
µ #–
div (µ #–
S
"
V
#–
v · dS = 0, ce que l’on peut décomposer en :
µ #–
Ainsi, pour un écoulement stationnaire,
S
¨
¨
¨
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
µ v · dS1g +
µ v · dS2 +
µ v · dS3 = 0, le choix de dS1g étant imposé par le fait
S1
S2
S3
que la surface S est fermée (choix de la normale sortante).
318
É COULEMENTS PARTICULIERS
S3
#–
dS3
S1
v2
µ2 #–
#–
dS1d
µ1 #–
v1
#–
dS1g
Dm1
#–
dS2
V
tube de courant de masse
S2
Dm2
Figure 11.8 – Égalité des débits de masse entrant et sortant.
#–
Par propriété du tube de champ, sur S3 , µ #–
v est orthogonal à dS3 . Il vient :
¨
¨
¨
¨
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
µ v · dS1g +
µ v · dS2 = 0, soit encore
µ v · dS1d =
µ #–
v · dS2 = 0, ce qui
S1
S2
S1
S2
exprime bien que le débit massique Dm1 entrant par la face de gauche du tube de courant est
égal au débit massique Dm2 sortant par la face de droite.
Application : « loi des nœuds » pour les débits massiques Lorsque l’écoulement est
stationnaire, et qu’un tube de courant de masse présente des bifurcations, donc l’équivalent
de nœuds en électricité, la conservation du débit massique établie ci-dessus permet d’écrire :
∑ αi Dm i = 0, avec αi = +1 si dSi est entrant ; αi = −1 si dSi est sortant.
#–
#–
i
Les Dm i représentant les débits massiques à travers les surfaces ouvertes Si délimitant le tube
de courant, comme sur l’exemple de la figure 11.9.
tube de courant de masse
vb
µb #–
#–
dSb
Dmb
#–
dSa
µ #–
v
a
Dma
µc #–
vc
a
#–
dSc
Dmc
Figure 11.9 – Tube de courant de masse présentant une bifurcation.
En prenant l’exemple de la figure 11.9, cela donne : Dma − Dmb + Dmc = 0, ou bien encore
Dma + Dmc = Dmb .
319
CHAPITRE 11 – D ÉBITS ET LOIS DE CONSERVATION
!
Les débits massiques sont des grandeurs algébriques ; la valeur de αi = ±1 ne dépend que
du choix, arbitraire, qui a été fait pour orienter la surface ouverte Si (c’est-à-dire le sens qui
#–
a été choisi pour dSi ), et ne préjuge en rien du caractère positif ou négatif de Dm i . Il en est
de même en électricité lorsque l’on choisit arbitrairement le sens de la flèche associée à un
courant électrique I : la quantité I est positive ou négative selon le sens que l’on a choisi pour
la flèche.
Lecture d’une carte de champ des vitesses d’un écoulement stationnaire Comme cela
est vu au paragraphe 2.3, lorsqu’un écoulement est stationnaire, les lignes de courant (qui
sont les mêmes à tout instant) sont identiques aux trajectoires des particules de fluide. Par
conséquent, une cartographie du champ des vitesses permet de prévoir le mouvement des
particules de fluide, mais aussi leur accélération. En effet, si entre t et t + dt, une particule
de fluide passe du point M au point M ′ , infiniment proche, l’accélération de la particule est
#–
v (M ′ ,t + dt) − #–
v (M,t)
#–
a (M,t) =
, pour dt tendant vers 0. Or, l’écoulement étant stationdt
#–
v (M ′ ,t) − #–
v (M,t)
naire, on a #–
v (M ′ ,t + dt) = #–
.
v (M ′ ,t). On a donc #–
a (M,t) =
dt
y
M′
M
zoom
− #–
v (M,t)
#–
v (M ′ ,t)
#–
a (M,t) dt
z
O
x
Figure 11.10 – Exploitation d’une carte de champ des vitesses d’un écoulement stationnaire.
La figure 11.10 suivante illustre ceci dans le cas d’un écoulement stationnaire autour d’un cylindre circulaire. Pour évaluer l’accélération en M du schéma de gauche, on utilise M ′ , point
le plus proche de M dans la direction du champ des vitesses en M, et en effectuant la sommation vectorielle de #–
v (M ′ ,t) et de − #–
v (M,t), on accède à #–
a (M,t), au facteur multiplicatif dt
près, comme le montre le schéma agrandi à droite.
Remarque
Le caractère stationnaire d’un écoulement dépend du référentiel d’étude. Par exemple,
lorsqu’un navire avance lentement en direction d’un quai, un passager qui observe
l’écoulement d’eau autour de l’étrave voit un écoulement stationnaire, dans le référentiel du bateau. En revanche, pour une autre personne, immobile sur le quai, l’écoulement n’est pas stationnaire, puisque la zone d’eau remuée par l’étrave se déplace en
direction du quai.
320
É COULEMENTS PARTICULIERS
7.2
Écoulements homogènes et incompressibles
Un écoulement homogène et incompressible est un écoulement pour lequel la masse
volumique du fluide est constante, on dit aussi stationnaire (indépendante du temps)
et uniforme (indépendante des coordonnées d’espace) :
∀M, ∀t, µ (M,t) = constante.
Un fluide incompressible, c’est-à-dire dont la masse volumique est une grandeur invariable,
est nécessairement toujours en écoulement homogène et incompressible. Un fluide compressible peut être en écoulement homogène et incompressible, ou non, selon les conditions dans
lesquelles il s’écoule.
Un liquide est quasiment toujours modélisé comme un fluide incompressible, donc en écoulement homogène et incompressible.
Un gaz, bien que compressible, sera en général considéré en écoulement homogène et incompressible aux vitesses subsoniques, c’est-à-dire inférieures à la célérité des ondes sonores qui
peuvent s’y propager. En effet, si une perturbation fait naître une variation locale de la masse
volumique dans un gaz, celle-ci s’y propage à la célérité du son et s’éloigne très vite.
Remarques
• un écoulement est qualifié d’incompressible si chaque particule de fluide garde toujours la même masse volumique au cours de son évolution (ce qui n’empêche pas
d’autres particules de fluide d’avoir une masse volumique différente) ;
• un écoulement est qualifié d’homogène si, à tout instant, la masse volumique est la
même en tout point du fluide, à t donné ;
• si un écoulement est homogène et incompressible, à un instant t quelconque, toutes
les particules de fluide ont la même masse volumique, et puisqu’elles la conservent
par la suite, on a bien ∀M, ∀t, µ (M,t) = constante ;
• par ailleurs, si ∀M, ∀t, µ (M,t) = constante, alors la masse volumique ne dépend
pas des coordonnées d’espace, donc l’écoulement est homogène ; de plus, toutes les
particules de fluide ayant la même masse volumique en tout point à tout instant,
chacune conserve la sienne, donc l’écoulement est incompressible ;
• Il y a donc équivalence entre le caractère homogène et incompressible d’un écoulement, et la propriété ∀M, ∀t, µ (M,t) = constante.
Particularités d’un écoulement homogène et incompressible :
• la masse volumique étant toujours la même en tout point et à tout instant, un système
fluide fermé (donc, par définition, de masse constante), garde toujours le même volume,
même s’il se déforme ;
• dans le cadre d’un écoulement homogène et incompressible, l’équation locale de conservation de la masse s’écrit : µ div ( #–
v ) = 0, d’où div ( #–
v ) = 0 ; dans un écoulement homogène
et incompressible, le champ des vitesses est à flux conservatif.
321
CHAPITRE 11 – D ÉBITS ET LOIS DE CONSERVATION
Conservation du débit volumique pour un écoulement homogène et incompressible On
reprend la démarche utilisée pour les écoulements stationnaires, mais en remplaçant le vecteur densité de courant de masse #–
ȷ masse = µ #–
v par le champ des vitesses #–
v , et donc les
échanges de masse par des échanges de volume.
S3
#–
dS3
S1
#–
v2
#–
dS1d
#–
v1
#–
dS1g
Dv1
#–
dS2
V
S2
Dv2
tube de courant
Figure 11.11 – Égalité des débits volumiques entrant et sortant.
Lorsque un écoulement est homogène et incompressible, le débit volumique entrant
dans un volume de contrôle, est à tout instant égal au débit volumique sortant.
Pour illustrer cela, on prend comme surface de contrôle un tube de courant fixe et indéformable, comme le montre la figure 11.11.
analogue à celle utilisée pour
¨Une démonstration
¨
#–
#–
#–
#–
les écoulements stationnaires, conduit à
v · dS =
v · dS = 0, ce qui exprime bien
S1
1d
S2
2
que le débit volumique Dv1 entrant par la face de gauche du tube de courant est égal au débit
volumique Dv2 sortant par la face de droite.
Première application : lecture d’une carte de lignes de courant Soit un écoulement homogène et incompressible pour lequel les lignes de courant sont invariantes par toute translation selon Oz, et dont la figure 11.12 donne une représentation dans le plan xOy, à un instant
t fixé.
SC
SA
A
y
z
O
B
C
x
Figure 11.12 – Exploitation d’une carte de lignes de courant d’un écoulement
homogène et incompressible.
322
É COULEMENTS PARTICULIERS
Le tube de courant délimité par les lignes de courant grises et par deux plans parallèles à
celui du dessin, présente une section d’entrée (près de A) de taille moyenne, puis devient très
étroite en B, et enfin assez évasée en C. On peut en déduire que le champ des vitesses est
de norme moyenne en A, importante en B, et faible en C ; la direction du champ des vitesses
étant indiquée par celle des lignes de courant.
Seconde application : lien entre les sections et les vitesses Dans des régions où les écoulements peuvent être considérés comme parfaits (cf chapitre 15), le champ des vitesses est
quasiment uniforme dans des sections droites comme les sections contenant le point A ou le
point C de l’exemple illustré sur la figure 11.12. En appelant vA la norme de la vitesse en A,
et SA la section droite en A, et en adoptant les mêmes notations pour C, on a : vA SA = vC SC .
323
CHAPITRE 11 – D ÉBITS ET LOIS DE CONSERVATION
SYNTHÈSE
SAVOIRS
•
•
•
•
•
•
•
•
•
particule de fluide
champ eulérien des vitesses : vitesse de la particule de fluide
masse volumique
vecteur densité de courant de masse
débit massique
conservation de la masse
écoulement stationnaire
écoulement incompressible et homogène
débit volumique
SAVOIR-FAIRE
• distinguer vitesse microscopique et vitesse mésoscopique
• définir la particule de fluide comme un système mésoscopique de masse constante
• citer les ordres de grandeurs des masses volumiques de l’eau et de l’air dans les conditions usuelles
• définir le débit massique et l’écrire comme le flux du vecteur µ #–
v à travers une surface
orientée
• écrire une équation bilan, globale ou locale traduisant la conservation de la masse
• définir un écoulement stationnaire et les notions de ligne de courant et de tube de courant
de masse
• exploiter la conservation du débit massique
• à partir d’une carte de champ des vitesses d’un écoulement stationnaire, décrire qualitativement le champ des accélérations
• définir un débit volumique
• écrire le débit volumique comme le flux de #–
v à travers une surface orientée
• justifier la conservation du débit volumique le long d’un tube de courant fixe et indéformable pour un écoulement homogène et incompressible
MOTS-CLÉS
• vitesse mésoscopique
• vitesse microscopique
• champ eulérien des vitesses
• ligne de courant
324
• tube de courant
• vecteur densité de courant
de masse
• débit massique
• débit volumique
• conservation de la masse
• écoulement stationnaire
• écoulement homogène et
incompressible
12
Dans le chapitre 10 sur la statique des fluides, on ne rencontre qu’un seul type de forces
surfaciques, c’est-à-dire d’actions de contact : les forces de pression. En présence d’écoulement, une autre action de contact apparait, du fait de la viscosité des fluides. Après avoir
introduit les lois de forces pour des fluides newtoniens, on étudiera des profils d’écoulements
visqueux. On reviendra également rapidement sur les forces volumiques, afin de généraliser
leurs expressions vues en statique.
1
Forces surfaciques normales et tangentielles
Soit S la surface délimitant une certaine quantité de fluide étudié, et N un point de cette
surface. Soit #–
n la normale en N à la surface S, dirigée vers l’extérieur du système fluide
#–
étudié, comme le montre la figure 12.1. De manière très générale, une force infinitésimale δ F s
exercée par l’extérieur sur une surface élémentaire dS de S peut se décomposer en une force
#–
#–
infinitésimale#normale$δ F s n et une force infinitésimale tangentielle δ F st , définies chacune
#–
#–
#–
#–
#–
par : δ F s n = δ F s · #–
n #–
n et δ F st = δ F s − δ F s n .
#–
δ Fs
#–
δ Fsn
S
#–
n
extérieur
fluide étudié
N
#–
δ F st
dS
plan tangent
Figure 12.1 – Forces surfaciques tangentielle et normale.
La densité surfacique de force, appelée aussi contrainte surfacique, est la force par unité
CHAPITRE 12 – ACTIONS DE CONTACT SUR UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT
de surface :
#–
δ Fs
(N,t)
τ#–s (N,t) =
dS
et
[τs ] = Pa = N.m−2 .
Elle se décompose en une contrainte surfacique normale et une contrainte surfacique tangentielle :
τ#–s (N,t) = τ#s–n (N,t) + τ#st– (N,t) .
2
Force normale de pression
Dans un fluide en écoulement, comme dans un fluide au repos, les forces de pression sont
des forces surfaciques normales. En un point N de la surface délimitant le fluide étudié, la
force de pression élémentaire exercée par l’extérieur sur le fluide est donnée par :
#–
#–
δ F s pression (N,t) = −P (N,t) dS (N) = −P(N,t) dS #–
n (N) .
Ainsi, la contrainte surfacique associée à la pression est donnée par :
#–
τ s pression (N,t) = −P(N,t) #–
n (N) .
3
3.1
Force tangentielle de viscosité
Notion de viscosité
Une expérience très simple permet d’appréhender qualitativement le phénomène de viscosité : on considère un vase contenant un liquide, à la surface duquel on dépose de l’encre le
long d’un rayon OA. Puis on met le vase en rotation autour de l’axe (Oz), et on observe la
déformation de la trace d’encre. Comme on le voit sur la figure 12.2, avec un fluide assez
visqueux, la trace d’encre se déforme moins qu’avec un fluide peu visqueux. Si le fluide est
très visqueux, il peut même tourner « en bloc », comme s’il était solide, en faisant corps avec
le vase, auquel cas la trace d’encre tourne sans se déformer.
z
z
A
O
A
A
O
O
peu visqueux
assez visqueux
Figure 12.2 – Liquide dans un vase en rotation.
326
z
FORCE TANGENTIELLE DE VISCOSITÉ
Dans tous les cas, le point A, en contact avec le vase, a le même mouvement : il tourne avec
le vase, par rapport auquel il est immobile.
Du fait de la viscosité, cette première couche tend à entraîner dans son mouvement celle qui
lui est immédiatement intérieure ; celle-ci entraîne à son tour la suivante, et ainsi de suite.
Le mouvement se transmet de proche en proche, depuis la couche la plus externe, solidaire
du vase, jusqu’à l’axe Oz. Il y a diffusion de la quantité de mouvement, depuis les couches
externes de fluide, vers les couches les plus internes. Cette notion de diffusion de la quantité
de mouvement est reprise dans le chapitre 13.
3.2
Force de viscosité dans un écoulement parallèle
a) Expression de la force de viscosité en géométrie cartésienne
On commence par un écoulement très simple : deux plaques solides, planes, parallèles, sont
distantes de a. Celle du bas est fixe dans le référentiel R = {O, x, y, z} du laboratoire ; l’autre
est animée d’une vitesse #–
v constante, selon u#–z , comme le montre la figure 12.3. Un fluide
occupe l’espace entre les deux plaques ; il est mis en mouvement par celles-ci. L’écoulement
est homogène, incompressible et stationnaire ; avec des plaques infiniment longues, il est
appelé écoulement de Couette plan. Les grandeurs physiques (champ des vitesses, pression)
sont invariantes par toute translation selon Oz, du fait du caractère infini des plaques. Dans
ce paragraphe, l’écoulement est, de plus, stationnaire.
Ici encore, les couches le fluide directement en contact avec les plaques solides sont immobiles par rapport à elles.
Compte tenu des conditions de l’écoulement, le champ des vitesses se met sous la forme
#–
v (M,t) = vz (x,t) u#–z . Dans l’exemple choisi, à l’instant t correspondant au dessin, vz (x,t) est
une fonction croissante de x.
x
#–
v0
plaque mobile
x0
y
O
particule x+
dx
dx
particule x−
plaque fixe
#–
g
z
Figure 12.3 – Écoulement entre une plaque fixe et une mobile, dit de Couette plan.
Sur la figure 12.3, on repère 2 particules de fluide voisines, situées de part et d’autre du plan
x = x0 . Celle se trouvant dans le domaine x < x0 est baptisée « particule x− », et celle se
trouvant dans le domaine x > x0 , « particule x+ ».
Construisons une loi phénoménologique linéaire, pour rendre compte des actions de contact
entre ces deux particules de fluide, du fait de la viscosité. L’intuition permet de penser que :
• la particule la moins rapide tend à freiner l’autre, de la même façon que la plus rapide tend
327
CHAPITRE 12 – ACTIONS DE CONTACT SUR UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT
#–
#–
à entraîner l’autre, donc δ F x+ →x− est selon +u#–z et δ F x− →x+ est selon −u#–z (d’ailleurs le
#–
#–
principe des actions réciproques permet d’écrire δ F x+ →x− = −δ F x− →x+ ;
• la force d’interaction est d’autant plus grande que la différence de vitesse entre les deux
∂ vz
particules est plus grande, donc δ Fx+ →x− et δ Fx− →x+ sont proportionnelles à
(x0 ) ;
∂x
• la force, qui s’exerce à travers la surface de contact augmente avec la taille de cette surface,
donc δ Fx+ →x− et δ Fx− →x+ sont proportionnels à dS = dy dz ;
• la force dépend du fluide choisi, donc on introduit un coefficient η , caractéristique de
celui-ci.
L’expérience montre que tous ces points sont assez bien vérifiés pour un grand nombre de
fluides qualifiés de newtoniens.
Pour un écoulement parallèle, en géométrie cartésienne, avec #–
v = vz (x) u#–z , la force
surfacique de viscosité est :
#–
#–
∂ vz
∂ vz
dy dz u#–z et δ F x+ →x− = +η
dy dz u#–z .
δ F x− →x+ = −η
∂x
∂x
La constante η , caractéristique du fluide, se nomme viscosité dynamique, ou parfois simplement viscosité. Son unité est le poiseuille (Pl) : Pl = N.m−2.s = Pa.s.
[η ] = Pl = Pa·s = kg·m−1 ·s−1 .
On rencontre encore parfois une ancienne unité, la poise Po : 1 Po = 0,1 Pl.
On verra au chapitre 13 qu’il existe une autre viscosité, appelée viscosité cinématique, prenant
en compte à la fois la viscosité dynamique et la masse volumique.
Remarques
#–
∂ vz
• Dans le cas de la figure 12.3,
> 0, donc δ F x− →x+ est bien selon −u#–z ;
∂x
∂ vz
< 0,
• Si la plaque du haut était fixe, et celle du bas mobile vers la droite, on aurait
∂x
#–
donc δ F x− →x+ serait selon +u#–z , ce qui est logique ;
• La loi de force conviendrait aussi pour des mouvements de plaques dans l’autre sens ;
• Les forces de viscosité, qui sont dues à une différence de vitesse entre des particules de fluide voisines, n’existent que dans des écoulements non uniformes ; on les
qualifie de forces de cisaillement.
b) Ordres de grandeurs de la viscosité dynamique
La viscosité dynamique des fluides varie dans une gamme extrêmement étendue. Elle est
nulle pour l’hélium superfluide (Hélium II), et tend vers l’infini lorsque les fluides deviennent
solides. A 500°C, la viscosité du verre est de l’ordre de 1.1013 Pl. On donne, pour une température de 20°C et une pression de 1 bar :
Fluide
air
eau
glycérine pure
huile de graissage
Viscosité dynamique η (Pl)
1,8.10−5
1,0.10−3
0,80
de 0,08 à 0,4
328
FORCE TANGENTIELLE DE VISCOSITÉ
Les huiles utilisées pour la lubrification des moteurs thermiques sont en général caractérisées
par 2 nombres séparés par la lettre W, par exemple 10W40. Le premier nombre, placé avant
la lettre W, exprime la capacité du moteur à démarrer en hiver (W pour Winter), à basse
température : plus le nombre est faible, plus la température à partir de laquelle l’huile peut
s’écouler, est basse. Le second nombre exprime la viscosité à chaud, c’est-à-dire à 100°C.
Les valeurs numériques sont normalisées (norme SAE J300) mais ne correspondent pas du
tout à une viscosité exprimée en Pl.
La viscosité des gaz augmente avec la température, mais dépend peu de la pression. Même
les gaz parfaits présentent une viscosité.
Les liquides ont une viscosité qui diminue lorsque la température augmente, mais qui augmente avec la pression. La viscosité de l’eau liquide évolue avec la température de la façon
suivante :
Température (°C)
0
10
50
100
Viscosité dynamique η (Pl)
1,8.10−3
1,3.10−3
0,56.10−3
0,28.10−3
La loi d’évolution de la viscosité des liquides en fonction de la pression est de la forme
η (P) = η0 a(P/P0 −1) , a étant un coefficient sans dimension, caractéristique du fluide. Pour les
huiles minérales, a = 1, 003.
Remarque
La valeur numérique de la viscosité dynamique de l’eau dans les conditions ambiantes
est facile à mémoriser : il s’agit de l’inverse de celle de sa masse volumique.
c) Complément : écoulement de Poiseuille plan
plaque fixe
particule x+
dx
dx
particule x−
P1
x
y
O
P1
P2
particule r+
dr
dθ
r
#–
g
x
plaque fixe
P2
dz
particule r−
#–
g
tube fixe
z
y
O
L
z
Figure 12.4 – Écoulement de Poiseuille plan et de Poiseuille cylindrique.
On considère un écoulement de Poiseuille plan, c’est-à-dire un écoulement homogène et incompressible, entre deux plaques planes parallèles, immobiles, comme le montre le schéma
329
CHAPITRE 12 – ACTIONS DE CONTACT SUR UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT
de gauche de la figure 12.4. Cet écoulement, supposé ici horizontal, est assuré par une différence de pression entre l’entrée (P1 ) et la sortie (P2). Le champ des vitesses s’écrit ici
#–
v (M,t) = vz (x,t) u#–z .
Pour l’expression de la force de viscosité, c’est-à-dire de cisaillement, le contexte est similaire
à celui de l’écoulement de Couette plan, et on peut écrire :
#–
#–
∂ vz
∂ vz
dy dz u#–z et δ F x+ →x− = +η
dy dz u#–z .
δ F x− →x+ = −η
∂x
∂x
d) Expression de la force de viscosité en géométrie cylindrique
On considère un écoulement de Poiseuille cylindrique, c’est-à-dire un écoulement homogène et incompressible, dans un tube circulaire, immobile, comme le montre le schéma de
droite de la figure 12.4. Cet écoulement, supposé ici horizontal, est lui aussi assuré par une
différence de pression entre l’entrée (P1 ) et la sortie (P2 ).
Le système de coordonnées le plus approprié est cette fois le système de coordonnées cylindriques. Le champ des vitesses s’écrit #–
v (M,t) = vz (r,t) u#–z .
Puisque la norme du champ des vitesses ne dépend cette fois, spatialement, que de r, les
forces de viscosité vont donc se manifester cette fois à travers des surfaces élémentaires de
∂ vz
type rdθ dz. Si le fluide s’écoule plus vite près de l’axe (Oz) que loin de l’axe, on a
<0;
∂r
−
+
et la particule de fluide r , située plus près de l’axe, exerce sur la particule r , plus éloignée,
une force de traction. On peut donc écrire la force de cisaillement :
Pour un écoulement parallèle, en géométrie cylindrique, avec #–
v = vz (r) u#–z , la force
surfacique de viscosité est :
#–
#–
∂ vz
∂ vz
rdθ dz u#–z et δ F r+ →r− = +η
rdθ dz u#–z .
δ F r− →r+ = −η
∂r
∂r
e) Complément : écoulement de Couette cylindrique
Un écoulement dit de Couette cylindrique est obtenu en insérant un fluide entre deux cylindres
circulaires de même axe (Oz), l’un étant fixe, et l’autre en rotation autour de l’axe (Oz). Il ne
s’agit donc pas d’un écoulement « parallèle », donc il ne figure pas au programme de PSI. À
titre d’information, on peut en donner tout de même quelques caractéristiques afin de montrer
que la loi de force se complique pour de tels écoulements.
En coordonnées cylindriques, le champ des vitesses d’un tel écoulement est de la forme
#–
v (M,t) = vθ (r,t) u#–
θ . Qualitativement, la force de viscosité entre deux particules de fluides
situées à des distances de l’axe (Oz) légèrement différentes (r+ et r− ), ne se manifeste que
si les deux particules de fluide n’ont pas la même vitesse angulaire. Ce n’est donc plus la
dérivée partielle de la vitesse qui doit intervenir dans la loi de force mais celle de la vitesse
angulaire vθ /r. En effet, si tout le fluide tourne a une seule et même vitesse angulaire, il se
comporte comme un solide. La loi de force de cisaillement, due à la viscosité, est alors :
#–
∂ # vθ $
rdθ dz u#–
δ F r− →r+ = −η r
θ.
∂r r
330
PROFILS DE VITESSES DE CERTAINS ÉCOULEMENTS PARALLÈLES
4
Profils de vitesses de certains écoulements parallèles
Dans ce paragraphe, on s’intéresse au profil de vitesse de certains écoulements homogènes et
incompressibles particuliers, que l’on supposera tous laminaires. Ce qualificatif est expliqué
en détail dans le chapitre 13, page 349.
4.1
Conditions aux limites
Le profil de vitesses d’un écoulement s’obtient par résolution d’une équation différentielle
ou bien d’une équation aux dérivées partielles. Cette résolution nécessite la détermination de
constantes d’intégration, qui se fait grâce à des conditions de raccordement sur les frontières
du fluide étudié. La frontière peut être une interface fluide-solide, ou bien fluide-fluide.
S
#–
v (Ns ∈ solide,t)
S
x
y
N
!
"
#–
v N f ∈ fluide,t
z
O
solide en mouvement
x
dS
#–
δ F 1→2 N
fluide étudié
y
η2
#–
δ F 2→1 fluide 2
fluide 1
η1
z
O
Figure 12.5 – Interfaces fluide-solide et fluide-fluide.
a) Condition d’adhérence à l’interface fluide-solide
Soit S la surface séparant le fluide de la paroi solide, et N un point courant de S (schéma de
gauche de la figure 12.5). On note N f un point appartenant au fluide, infiniment proche de N,
et Ns un point appartenant au solide, infiniment proche de N également. On suppose que le
solide est imperméable au fluide.
Comme cela a déjà été évoqué, la couche de fluide qui est en contact avec un solide, est
immobile par rapport à lui.
Si le point Ns du solide est immobile dans le référentiel R d’étude, le point N f du fluide
doit l’être aussi. La condition d’adhérence est alors :
!
" #–
#–
v N f ∈ fluide,t = 0 .
Si le point Ns du solide est mobile dans le référentiel R d’étude, le point N f du fluide
doit avoir le même mouvement. Alors :
"
!
#–
v (Ns ∈ solide,t) .
v N f ∈ fluide,t = #–
Remarque
Dans le cadre de modèles très simplifiés, d’écoulements dits « parfaits », on peut être
amené à considérer que le fluide en contact avec le solide glisse sur ce dernier. Il n’y a
331
CHAPITRE 12 – ACTIONS DE CONTACT SUR UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT
alors plus de condition d’adhérence sur les parois solides. Le modèle de l’écoulement
parfait est développé dans le chapitre 15.
b) Complément : interface entre deux fluides
On considère à présent une interface S entre un fluide 1 et un fluide 2, newtoniens, non
miscibles (schéma de droite de la figure 12.5), et N un point courant de S. On note N1 et N2
deux points infiniment proches de N, le premier appartenant au fluide 1, et le second au fluide
2. On peut écrire deux conditions de raccordement à l’interface :
• la continuité du champ des vitesses ;
• le principe des actions réciproques, ce qui donne un lien entre les dérivées partielles spatiales des champs des vitesses et les viscosité.
Exemple
Deux écoulements stationnaires sont séparés par leur interface, confondue avec le plan
(yOz). Les champs des vitesses s’écrivent, dans chaque fluide :
#–
v 1 (M,t) = v1z (x) u#–z et
#–
v 2 (M,t) = v2z (x) u#–z .
v (N2 ∈ fluide 2,t) mène à :
La continuité du champ des vitesses #–
v (N1 ∈ fluide 1,t) = #–
v1z (0) = v2z (0) .
D’autre part, la force élémentaire, due à la viscosité, exercée à travers la surface élémentaire dydz par le fluide 1 sur le fluide 2, dans le voisinage de N, s’écrit :
#–
∂ v1z
(0) dy dz u#–z .
δ F 1→2 (N) = −η1
∂x
La force élémentaire, due à la viscosité, exercée à travers la surface élémentaire dydz
par le fluide 2 sur le fluide 1, dans le voisinage de N, s’écrit :
#–
∂ v2z
(0) dy dz u#–z .
δ F 2→1 (N) = +η2
∂x
#–
#–
Le principe des actions réciproques δ F 2→1 (N) = −δ F 1→2 (N), conduit donc à la condition de raccordement, dans le plan x = 0 de l’interface :
η2
∂ v2z
∂ v1z
(0) = η1
(0) .
∂x
∂x
Remarque
Si l’un des deux fluides est beaucoup moins visqueux que l’autre (par exemple l’air,
bien moins visqueux que l’eau), le principe des actions réciproques peut prendre une
∂ v1z
forme simplifiée : dans le cas de l’exemple ci-dessus, η2 ≪ η1 conduit à
(0) ≃ 0.
∂x
332
PROFILS DE VITESSES DE CERTAINS ÉCOULEMENTS PARALLÈLES
4.2
Complément : écoulement de Couette plan
On revient à l’écoulement de la figure 12.3, dans le cas particulier d’un écoulement stationnaire d’un fluide incompressible, de masse volumique µ et de viscosité dynamique η . On
rappelle que pour cet écoulement, la pression et le champ des vitesses sont invariants par
toute translation selon (Oz). Le champ des vitesses s’écrit alors #–
v (M,t) = vz (x) u#–z . L’écoulement étant stationnaire, les trajectoires des particules de fluide sont identiques aux lignes
de courant : ce sont des droites parallèles à (Oz). Puisque vz ne dépend pas de z, chaque particule de fluide garde une vitesse constante au cours de son mouvement. En conséquence, son
accélération est nulle.
x
#–
v0
plaque mobile
a
x + dx
x
#–
g
dx
dz
y
O
z
plaque fixe
z
Figure 12.6 – Écoulement entre une plaque fixe et une mobile, dit de Couette plan.
On prend comme système une particule de fluide, de dimensions dx, dy, dz, située dans le
voisinage de M (x, y, z), comme représenté en grisé sur la figure 12.6. On la considère comme
un point matériel.
Les seules particules qui exercent des forces de viscosité sur celle considérée sont celles qui
ont une vitesse différente de la sienne, c’est-à-dire les deux représentées sur la figure en blanc.
Les actions mécaniques qui s’exercent sur la particule de fluide de volume dxdydz choisie
comme système sont donc :
• son poids − µ g dx dy dz u#–x ;
# –
• la résultante des forces de pression − grad P dx dy dz ;
dvz
• la force de viscosité exercée par la particule au-delà de x + dx, +η
(x + dx)dy dz u#–z ;
dx
dvz
(x) dy dz u#–z ;
• la force de viscosité exercée par la particule en-deçà de x, −η
dx
En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à la particule de fluide, dans le référentiel du laboratoire R, supposé galiléen, il vient :
dvz
dvz
# –
#–
− µ g dxdy dz u#–x − gradP dx dy dz + η
(x + dx)dy dz u#–z − η
(x) dy dz u#–z = 0 .
dx
dx
dvz
dvz
(x + dx) − η
(x) =
La pression étant indépendante de z, la projection selon u#–z donne η
dx
dx
2
d vz
0, d’où η 2 (x) = 0 puis après une double intégration, vz (x) = K1 x + K2 . Il ne reste plus
dx
333
CHAPITRE 12 – ACTIONS DE CONTACT SUR UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT
qu’à déterminer les deux constantes en s’appuyant sur les conditions aux limites :
• la condition d’adhérence sur la plaque x = 0 permet d’écrire K2 = 0 ;
• la condition d’adhérence sur la plaque x = a permet d’écrire K1 a = v0 .
v0
v (M) = xu#–z , ce qui est
Finalement, le champ des vitesses entre les deux plaques s’écrit #–
a
conforme au profil dessiné en grisé sur la figure 12.6.
4.3
Complément : écoulement de Poiseuille plan
On revient maintenant à l’écoulement du schéma de gauche de la figure 12.4, dans le cas
particulier d’un écoulement stationnaire d’un fluide incompressible, de masse volumique µ
et de viscosité dynamique η . Le champ des vitesses s’écrit alors #–
v (M,t) = vz (x) u#–z .
x
a
2
plaque fixe
#–
g
O
L
P1
a
−
2
z
P2
plaque fixe
Figure 12.7 – Écoulement de Poiseuille plan.
Une démarche similaire à celle utilisée pour l’écoulement de Couette plan conduit à :
dvz
dvz
# –
#–
(x + dx)dy dz u#–z − η
(x) dy dz u#–z = 0 .
− µ g dx dy dz u#–x − gradP dx dy dz + η
dx
dx
∂P
La projection selon u#–y de cette équation donne
(x, y, z) = 0, donc P = P (x, z).
∂y
∂P
(x, z) = − µ g, ce qui s’intègre en P (x, z) = − µ gx + K3 (z).
La projection selon u#–x donne
∂x
∂P
d 2 vz
d 2 vz
dK3
+ η 2 (x) = 0, d’où η 2 (x) =
(z).
La projection selon u#–z donne enfin −
∂z
dx
dx
dz
Cette équation aux dérivées partielles a une forme particulière : le membre de gauche est une
fonction de x uniquement, donc est indépendant de z. Le membre de droite est une fonction
de z uniquement, donc est indépendant de x. Finalement, les deux membres sont à la fois
dK3
indépendant de x et de z et constituent une constante, que l’on note K4 :
(z) = K4 . Ceci
dz
s’intègre en K3 (z) = K4 z + K5 , d’où P (x, z) = − µ gx + K4z + K5 .
Or, la pression est imposée dans le plan x = 0 à l’entrée et à la sortie du tunnel de longueur
L, d’où K5 = P1 et K4 L + P1 = P2 .
d 2 vz
P2 − P1
P2 − P1 2
, puis vz (x) =
x + K6 x + K7 . Si les interfaces
Finalement, η 2 (x) = K4 =
dx
L
2η L
334
PROFILS DE VITESSES DE CERTAINS ÉCOULEMENTS PARALLÈLES
a
a
fluide-plaque se trouvent en x = − et x = , les conditions d’adhérence sur les plaques se
2
2
# a$
#a$
P1 − P2 2
= vz
= 0, d’où K6 = 0 et K7 =
a .
traduisent par vz −
2
2
8η L
Finalement, le champ des vitesses entre les deux plaques s’écrit :
"
!
(P1 − P2 ) a2 − x2 #–
#–
v (M) =
uz ,
8η L
ce qui est conforme au profil dessiné en grisé sur la figure 12.7.
Remarque
En général, dans ce genre d’écoulement, les dénivelés sont faibles et il est d’usage de
négliger l’évolution de la pression en fonction de x, et de considérer qu’elle a pour
valeur P1 dans tout le plan z = 0, et P2 dans tout le plan z = L. On revient sur ce point
dans le chapitre 15, avec un calcul plus rigoureux, lorsque l’on introduira la notion de
« pression statique » ou de « pression motrice ».
4.4
Complément : écoulement de Poiseuille cylindrique
On termine cette étude des profils de vitesse par un retour sur l’écoulement du schéma de
droite de la figure 12.4, dans le cas particulier d’un écoulement stationnaire d’un fluide incompressible, de masse volumique µ et de viscosité dynamique η . Le champ des vitesses
s’écrit ici #–
v (M,t) = vz (r) u#–z .
Il faut noter que ce genre d’écoulement, provoqué par une différence de pression entre l’entrée
et la sortie du tube, se fait le plus souvent dans des tubes de faible diamètre. On négligera à
nouveau l’influence de l’altitude sur la pression et on considérera que, dans les plans z = 0
et z = L, les pressions sont uniformes et ont pour valeur respective P1 et P2 . Comme cela a
été dit dans la remarque de la fin du paragraphe précédent, on reviendra sur ce point dans le
chapitre 15.
Pour chercher le profil de vitesse d’un tel écoulement, deux méthodes sont proposées, l’une
utilisant comme système un cylindre de taille finie, l’autre une particule de fluide de taille
mésoscopique.
a) Première méthode : utilisation d’un cylindre de rayon r
On prend comme système un cylindre de rayon r et de longueur L, comme représenté en grisé
sur la figure 12.8, page suivante.
L’écoulement étant stationnaire, les trajectoires des particules de fluide sont identiques aux
lignes de courant : ce sont des droites parallèles à (Oz). Puisque vz ne dépend pas de z, chaque
particule de fluide garde une vitesse constante au cours de son mouvement. Puisqu’une particule de fluide est, par définition un système fermé, sa masse est également constante. En
conséquence, sa quantité de mouvement est constante au fil du temps. La quantité de mouvement du cylindre pris comme système est la somme des quantités de mouvement des particules de fluide qui le constituent. Même si les différentes particules de fluide en son sein
ont des vitesses différentes les unes des autres, le fait que chacune conserve sa quantité de
335
CHAPITRE 12 – ACTIONS DE CONTACT SUR UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT
P1
R
r
P2
x
tube fixe
y O
L
z
Figure 12.8 – Écoulement de Poiseuille cylindrique.
mouvement au fil du temps permet d’affirmer que le cylindre de rayon r et de longueur L a
une quantité de mouvement #–
p constante dans le temps.
Le cylindre choisi comme système subit des forces de viscosité de la part du fluide se trouvant
au-delà de r. En revanche, le fluide se trouvant en amont (z < 0) ou en aval (z > 0) n’exerce
pas de force de viscosité sur le système, puisque pour chaque valeur de r et de θ , le fluide
amont ou aval, est animé d’une même vitesse que le système.
Les actions mécaniques qui s’exercent sur le système sont donc :
• la force de pression uniforme P1 en z = 0 : P1 π r2 u#–z ;
2 #–
• la force de pression uniforme
& P2 en z'= L : −P2 π r uz ;
¨
dvz
dvz
(r) rdθ dz u#–z = η 2π rL
(r) u#–z exercée par l’ensemble
η
• la force de viscosité
dr
dr
Slat
du fluide sur la surface latérale Slat ;
En effet, compte tenu de la symétrie de révolution du problème autour de (Oz), les forces de
pression exercées sur la surface latérale se compensent deux à deux.
Le théorème de la résultante dynamique appliqué au système dans le référentiel du laboratoire
R, supposé galiléen, s’écrit, en négligeant la pesanteur :
d #–
p
dvz
= P1 π r2 u#–z − P2π r2 u#–z + η 2π rL
(r) u#–z .
dt
dr
d #–
p
#–
= 0 et l’équation précédente donne, par projection selon
Comme on l’a vu plus haut,
dt
(P2 − P1) r
dvz
P2 − P1 2
(r) =
, puis après intégration, vz (r) =
r + A.
u#–z :
dr
2η L
4η L
P1 − P2 2
R .
La condition d’adhérence sur la paroi r = R permet d’écrire A =
4η L
Finalement, le champ des vitesses dans le tube s’écrit :
"
!
(P1 − P2 ) R2 − r2 #–
#–
v (M) =
uz ,
4η L
ce qui donne à nouveau un profil parabolique, mais cette fois avec une symétrie de révolution
autour de l’axe (Oz).
336
PROFILS DE VITESSES DE CERTAINS ÉCOULEMENTS PARALLÈLES
b) Seconde méthode : utilisation d’une particule de fluide
Le calcul qui suit est plus lourd que celui de la première méthode. Son intérêt est de mettre
en place une démarche qui s’appuie sur un volume élémentaire, et pourra donc être réutilisé
dans un contexte moins particulier que celui de l’écoulement considéré ici.
L’écoulement étant stationnaire, les trajectoires des particules de fluide sont identiques aux
lignes de courant : ce sont des droites parallèles à (Oz). Puisque vz ne dépend pas de z, chaque
particule de fluide garde une vitesse constante au cours de son mouvement. En conséquence,
son accélération est nulle.
On prend comme système une particule de fluide, de dimensions dr, rdθ , dz, située dans le
voisinage de M (r, θ , z), comme représenté en grisé sur la figure 12.9.
dθ
dr
P1
r
r + dr
R
dz
P2
x
tube fixe
z
O
L
yFigure 12.9 – Écoulement de Poiseuille cylindrique.
Les seules particules qui exercent des forces de viscosité sur celle considérée sont celles qui
ont une vitesse différente de la sienne, c’est-à-dire les deux représentées sur la figure en blanc.
Les actions mécaniques qui s’exercent sur la particule de fluide de volume rdrdθ dz choisie
comme système sont donc :
# –
• la résultante des forces de&pression − grad
' P dr rdθ dz ;
dvz
(r + dr) (r + dr) dθ dz u#–z exercée par la particule au-delà
• la force de viscosité +η
dr
de r + dr ;
'
&
dvz
• la force de viscosité −η
(r) rdθ dz u#–z exercée par la particule en-deçà de r ;
dr
En appliquant le théorème de la résultante dynamique à une particule de fluide, dans le référentiel du laboratoire R, supposé galiléen, il vient, en négligeant la pesanteur :
# –
− grad P dr rdθ dz + η
&
'
'
&
dvz
dvz
#–
(r + dr) (r + dr) dθ dz u#–z − η
(r) rdθ dz u#–z = 0 .
dr
dr
337
CHAPITRE 12 – ACTIONS DE CONTACT SUR UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT
∂P
∂P
Les projections selon u#–r et u#–
(r, θ , z) = 0, donc P = P (z).
(r, θ , z) = 0 et
θ donnent
∂r &
∂θ
'
'
&
dvz
dvz
dP
#–
(r + dr) (r + dr) − η
(r) (r) = 0,
La projection selon uz donne − (z) rdr + η
dz
dr
dr
dvz
dvz
η (r + dr) dr (r + dr) − r dr (r)
dP
(z) =
.
d’où
dz
r
dr
dvz
On définit la fonction F1 de la variable r par : F1 (r) = r
(r). Avec cette fonction F1 ,
dr
η F1 (r + dr) − F1 (r)
dP
(z) =
, ce que l’on peut encore
l’équation précédente peut s’écrire :
dz
r
dr
dP
η dF1
écrire, à l’ordre 1 en dr :
(z) =
(r).
dz
r dr
&
'
dvz
dP
η d
(z) =
r
(r).
En remplaçant F1 par son expression, il vient :
dz
r dr
dr
!
On aurait pu être tenté de transposer l’équation différentielle obtenue pour l’écoulement de
Poiseuille plan à l’écoulement de Poiseuille cylindrique, en remplaçant simplement x par r. Il
ne faut surtout pas ! Les équations différentielles n’ont pas la même forme, tout simplement
parce que dans le cas de l’écoulement plan, les deux surfaces sur lesquelles s’exercent les
forces de viscosité sont de même mesure : dydz ; mais dans le cas de l’écoulement cylindrique, les surfaces ne sont pas de même taille : l’une est rdθ dz, et l’autre est (r + dr) dθ dz.
Le membre de gauche est une fonction de z uniquement, celui de droite de r uniquement.
Finalement, les deux membres sont
& à la 'fois indépendants de r et de z et constituent une
d
dvz
dP
r
(r) = K10 et
(z) = K10 .
constante, que l’on note K10 : η
dr
dr
dz
La seconde équation différentielle donne, après intégration, et raccordement en z = 0 et z = L,
P2 − P1
P2 − P1
P (z) =
z + P1 , et donc K10 =
.
L
L
&
'
η d
dvz
P2 − P1
La première équation différentielle s’écrit à présent :
r
(r) =
, ce qui
r
dr
dr
L
&
'
d
dvz
P2 − P1
dvz
P2 − P1 2
conduit à
r
(r) =
r. On l’intègre : r
(r) =
r + K11 , ce qui donne
dr
dr
ηL
dr
2η L
dvz
P2 − P1
K11
P2 − P1 2
(r) =
r+
. On intègre à nouveau : vz (r) =
r + K11 ln (r) + K12 . La
dr
2η L
r
4η L
vitesse devant rester finie, on a nécessairement K11 = 0.
P1 − P2 2
R .
La condition d’adhérence sur la paroi r = R permet d’écrire K12 =
4η L
Finalement, on retrouve le champ des vitesses obtenu avec la première méthode :
"
!
(P1 − P2) R2 − r2 #–
#–
v (M) =
uz .
4η L
338
FORCES VOLUMIQUES DANS UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT
5
Forces volumiques dans un fluide en écoulement
Bien que ce chapitre soit consacré aux actions de contact, c’est-à-dire aux forces surfaciques,
il n’est pas inutile de généraliser ici la notion de force volumique, déjà abordée dans le chapitre 10 sur la statique des fluides.
En présence d’écoulement, les densités volumiques de force peuvent dépendre non seulement
des coordonnées d’espace mais aussi du temps.
La force élémentaire exercée en M, à l’instant t sur le volume dτ du fluide est :
#–
#– (M,t) dτ ,
δ F v (M,t) = ϕ
#–
#– (M,t) = δ F v (M,t) étant la densité volumique de force en M, à la date t.
ϕ
dτ
#– = µ #–
En plus de la densité volumique de pesanteur ϕ
g , déjà rencontrée, on peut introduire
pes
la densité volumique de force électromagnétique de Lorentz :
#–
#–
#– (M,t) = ρ (M,t) E
ϕ
(M,t) + #–
ȷ (M,t) ∧ B (M,t) ,
em
#–
ȷ la densité de courant volumique, E le champ
où ρ est la densité volumique de charges, #–
#–
électrique et B le champ magnétique.
Remarque
# –
#–
Comme pour les forces de pression, avec l’équivalent volumique ϕ
= − grad P,
pression
on montre que pour les forces de viscosité d’un fluide newtonien, il est également possible de définir un équivalent volumique de forces de viscosité, dont la densité volu#– #–
#–
mique est ϕ
visco = η ∆ v .
339
CHAPITRE 12 – ACTIONS DE CONTACT SUR UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT
SYNTHÈSE
SAVOIRS
• pression
• viscosité dynamique
SAVOIR-FAIRE
•
•
•
•
•
•
identifier la force de pression comme étant une action normale à la surface
# –
utiliser l’équivalent volumique des actions de pression − grad P
exprimer la dimension du coefficient de viscosité dynamique
citer l’ordre de grandeur de la viscosité de l’eau
citer la condition d’adhérence à l’interface fluide-solide
relier l’expression de la force surfacique de viscosité au profil de vitesse dans le cas d’un
écoulement parallèle
MOTS-CLÉS
• force surfacique
• force de pression
• viscosité dynamique
340
• force tangentielle
• action normale
• fluide newtonien
• profil de vitesse
• écoulement parallèle
• condition d’adhérence
S’ENTRAÎNER
12.1 Lubrification
(⋆ )
Le solide parallélépipédique S de masse M, et de centre d’inertie G glisse sur un plan incliné
à vitesse constante v0 , sous l’effet de son poids. Son glissement est facilité par un couche
d’huile d’épaisseur constante e qui recouvre le plan incliné. L’huile est un fluide visqueux de
viscosité η = 1 Pl, incompressible. On néglige l’effet de la pesanteur sur l’huile.
S
#–
g
huile
G
α
Figure 12.10 – Solide qui glisse sur un plan incliné.
1. On étudie dans un premier temps la couche d’huile située sous le pavé.
y
zoom
#–
v
x
Figure 12.11 – Écoulement de l’huile.
a. Justifier qualitativement que la vitesse d’une particule d’huile située sous le pavé est
une fonction #–
v = v (y) u#–x .
b. Après avoir tracé les lignes de champ du champ des vitesses sous le pavé, montrer que
l’accélération de la particule de fluide est nulle.
c. Établir le champ des vitesses. On fera l’approximation supplémentaire d’absence de
gradient de la pression dans l’huile le long de la pente du plan incliné.
#–
d. Exprimer alors la force Fh exercée par l’huile sur le pavé, on note S la surface du pavé
en contact avec l’huile.
2. On étudie désormais les actions qui agissent sur le pavé.
341
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 12 – ACTIONS DE CONTACT SUR UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT
a. Effectuer un bilan des actions mécaniques sur le pavé.
b. Déduire la vitesse v0 en fonctions des divers paramètres du problème.
3. Critiquer le modèle proposé.
APPROFONDIR
12.2 Écoulement de Poiseuille plan de deux liquides non miscibles
(⋆ )
On réalise un écoulement de Poiseuille plan de deux liquides non miscibles, considérés
tous deux comme incompressibles, entre deux plaques planes horizontales. Les masses volumiques des liquides sont µ1 et µ2 . Ils sont tous deux newtoniens, de viscosités dynamiques
η1 et η2 . L’écoulement est stationnaire. On travaille dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, dans lequel les deux plaques sont fixes. L’axe (Oz) du repère cartésien est vertical
b
ascendant. Le liquide indicé 2 occupe la zone comprise entre z = − et z = 0. Le liquide
2
b
indicé 1, celle comprise entre z = 0 et z = . On néglige les effets de bord c’est-à-dire qu’on
2
suppose ces deux zones infiniment étendues selon (Ox) et (Oy). On impose une pression Pe
uniforme dans le plan x = 0, et une pression Ps < Pe dans le plan x = L.
1. Quelle est la relation d’ordre entre µ1 et µ2 ? Justifier.
2. On néglige désormais l’effet du poids. On admet que le champ des vitesses est de la forme
#–
v 2 = v2 (x, z) u#–x . Montrer que la pression ne dépend que de x.
v 1 = v1 (x, z) u#–x et #–
3. Montrer que dans chacun des deux liquides, le champ des vitesses ne dépend pas de x.
Établir les expressions des deux champs des vitesses.
4. Donner les allures possibles du champ des vitesses en fonction de z selon la valeur du
rapport η2 /η1 .
12.3 Écoulement visqueux à proximité d’un solide oscillant
(⋆⋆)
1. Un liquide très visqueux, de viscosité dynamique η , se trouve au-dessus d’une plaque de
dimensions très grandes selon (Ox) et (Oy), et dont la face supérieure est dans le plan (xOy).
L’axe (Oz) est vertical ascendant. Le liquide occupe tout le domaine z > 0. La plaque est
en oscillation forcée, avec une vitesse #–
v p (t) = A cos (ω0t) u#–x . On admet que le champ des
vitesses dans le liquide visqueux est donné par #–
v (z,t) = V (z) cos (ω0t + ϕ (z)) u#–x . La masse
volumique du liquide est notée µ .
a. Écrire l’équation aux dérivées partielles vérifiée par v (z,t). Qualifier ce type d’équation
aux dérivées partielles.
b. La résoudre et mettre en évidence une distance caractéristique δ .
2. On considère un cylindre de rayon R et de longueur L immergé dans le liquide. Le cylindre
est en rotation autour de l’axe (Oz) à la vitesse angulaire ω (t) = Ω cos (ω0t). On admet que
le champ des vitesses peut s’écrire #–
v (M,t) = V (r) cos (ω0t + ϕ (r)) u#–
θ .
a. À quelle condition peut-on utiliser le résultat de la question 1 ?
b. Calculer l’énergie dissipée par frottements sur la paroi du cylindre pendant une période.
342
CORRIGÉS
12.1 Lubrification
1.
a. On néglige l’effet de la pesanteur sur l’huile, celle-ci est donc mise en mouvement
par le mouvement du pavé qui glisse. Or le pavé a une vitesse v0 selon u#–x . La mise en mouvement du fluide selon u#–x en découle. Il reste à justifier que la vitesse ne dépend que de y.
Pour le justifier, on peut considérer une particule de fluide sous le pavé, loin des bords, tout se
passe pour elle comme si le pavé était infini, le champ des vitesses est invariant par translation
selon u#–z et u#–x .
b. Les lignes de champ sont des droites parallèles à u#–x , le long desquelles y est constant.
L’accélération de la particule de fluide est donc nulle, puisque la vitesse de la particule de
fluide ne varie pas, ni en norme ni en direction.
c. On établit l’expression du champ des vitesses au paragraphe 4.2 pour un écoulement de
Couette plan. Les conditions aux limites que doit vérifier v (y) sont v (0) = 0 et v (e) = v0 . On
obtient :
y
#–
v = v0 u#–x .
e
d. La force que l’huile exerce sur le pavé est une force de frottement visqueux :
∂v
v0
#–
F h = −η S u#–x = −η S u#–x .
∂y
e
2. On étudie désormais les actions qui agissent sur le pavé.
#–
#–
a. Le pavé est soumis à son poids P , à l’action normale N de l’huile sur le pavé, à la force
#–
de frottement fluide F h :
y
#–
Fh
#–
N
#–
P
x
Figure 12.12 – Bilan des actions mécaniques.
b. Comme la vitesse du pavé est constante, le principe fondamental de la dynamique appliv0
#– #– #– #–
qué au pavé s’écrit 0 = P + N + F h . En projection sur u#–x , on déduit 0 = Mg sin α +0− η S ,
e
soit :
Mg sin α e
.
v0 =
ηS
343
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 12 – ACTIONS DE CONTACT SUR UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT
3. Le modèle affirme que l’épaisseur est constante, sans donner sa valeur. L’étude de cette
épaisseur dépasse le cadre de cet ouvrage.
12.2 Écoulement de Poiseuille plan de deux liquides non miscibles
1. Le liquide qui est en-dessous est celui qui a la masse volumique la plus élevée. Cela a
été justifié dans le chapitre 10 en raisonnant sur une goutte d’un des deux fluides qui serait
insérée dans l’autre. Soumise à son poids et à la poussée d’Archimède, elle monte si elle est
constituée du fluide le moins dense et inversement dans le cas contraire. On a donc µ1 < µ2 .
2. Pour commencer, le caractère incompressible des liquides, donc homogène et incompressible de l’écoulement, se traduit pour chaque liquide par div #–
v = 0, comme on l’a vu à la
fin du chapitre 11. Puisque le champ des vitesses est de la forme #–
v = v (x, z) u#–x , cela donne
∂v
= 0, d’où #–
v = v (z) u#–x . On prend comme système une particule de fluide, de l’un ou l’autre
∂x
des deux fluides (donc sans indice pour le moment), de dimensions dx, dy, dz, située dans le
voisinage de M (x, y, z). On l’assimile à un point matériel. Elle est soumise à (pesanteur négligée) :
# –
• la résultante des forces de pression − grad P dxdydz ;
• les forces de viscosité exercées par les particules voisines ; ces forces de friction sont colinéaires au mouvement, donc à u#–x ;
Puisque le champ des vitesses est de la forme #–
v = v (z) u#–x , les lignes de courant sont des
droites parallèles à (Ox). L’écoulement étant stationnaire, les trajectoires sont aussi des droites
parallèles à (Ox). L’accélération #–
a d’une particule est nulle puisqu’elle se déplace en ligne
droite en occupant successivement des points pour lesquels le champ des vitesses est le même.
En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à la particule de fluide, dans le réfé# –
# –
#–
rentiel terrestre, il vient : − grad P dτ + dFvisco u#–x = 0 . On en déduit que grad P est selon u#–x et
∂P ∂P
que
=
= 0, d’où P = P (x).
∂z
∂y
3. Les forces de viscosité qui agissent sur la particule de fluide sont :
dv
• celle exercée par la particule au-delà de z + dz , soit +η (z + dz)dxdyu#–x ;
dz
dv
• celle exercée par la particule en-deçà de z, soit −η (z) dxdyu#–x ;
dz
La relation fondamentale de la dynamique projetée selon u#–x donne :
−
d2 v
d2 v
dP
dP
dxdydz + η 2 dxdydz = 0, d’où
=η 2.
dx
dz
dx
dz
Le premier membre ne dépend pas de z, le second ne dépend pas de x, donc la quantité
dP
Ps − Pe
= K0 conduit à K0 =
. Dans le fluide 1, l’équacommune est une constante K0 et
dx
L
2
d v1
K0
tion différentielle
=
s’intègre (avec une notation qui facilite la détermination des
2
dz
η
'
'
& 1 '
&
&
b
b 2
b
K0
dv1
K0
+ A1 puis en v1 (z) =
+ B1 .
z−
z−
+ A1 z −
constantes) en
=
dz
η1
2
2η1
2
2
'
'2
'
&
&
&
K0
b
b
b
dv2
K0
=
+ A2 puis v2 (z) =
+
z+
z+
Et de la même façon,
+ A2 z +
dz
η2
2
2η2
2
2
344
B2 . Les conditions d’adhérence sur les plaques en z = b/2 et z =
d’écrire
& −b/2 permettent
'
b2 K0 1
1
b
= (A1 + A2 ) ,
B1 = 0 et B2 = 0. La continuité de la vitesse en z = 0 donne
−
8
η1 η2
2
&
'
bK0 1
1
soit
= (A1 + A2 ). Il manque encore une équation pour pouvoir détermi−
4
η1 η2
ner l’ensemble des constantes. Celle-ci vient du principe des actions réciproques à l’interface : la force de cisaillement exercée par le fluide 1 sur une surface dS du fluide 2 est
dv1
l’opposée de celle exercée par le fluide 2 sur la surface dS du fluide 1. η1
(0) dSu#–x =
dz
'
&
'
&
'
&
dv2
K0 b
K0 b
(0) dSu#–x , soit η1 −
+ A1 = η2
+ A2 . On en déduit :
− −η2
dz
2η1
2η2
&
'
&
'
b 2 b (Ps − Pe) (3η1 + η2 )
b
Ps − Pe
v1 (z) =
z−
z−
+
2η1 L
2
4η1 L (η1 + η2 )
2
&
'
&
'
b 2 b (Pe − Ps ) (η1 + 3η2)
b
Ps − Pe
z+
z+
.
et v2 (z) =
+
2η2 L
2
4η2 L (η1 + η2 )
2
b
2
η2
=1
η1
b
2
x
0
−
z
b
2
0
−
b
2
z
η2
= 10
η1
b
2
x
z
0
−
η2
= 100
η1
x
b
2
12.3 Écoulement visqueux à proximité d’un solide oscillant
1.
a. Compte tenu de la forme du champ des vitesses, chaque tranche élémentaire de liquide comprise entre z et z + dz se déplace en bloc, parallèlement à (0x), comme si elle était
solide. Toutes les particules de fluide de cette tranche ont la même vitesse, donnée par le
∂v
champ des vitesse. Leur accélération est ainsi #–
a (z,t) =
(z,t) u#–x . La relation fondamentale
∂t
de la dynamique appliquée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen, à une parti∂v
# –
cule de fluide considérée comme un point matériel, s’écrit µ dτ (z,t) u#–x = − grad Pdτ +
∂
t
#–
g dτ + dF visco . Les seules particules de fluide qui exercent des forces de viscosité sur celle
µ #–
étudiée sont celles se trouvant en-deçà de z et au-delà de z + dz. Elles valent respectivement
∂v
∂v
−η (z,t) dxdyu#–x et +η (z + dz,t)dxdyu#–x . Il vient, après division par dτ et projection
∂z
∂z
∂P
∂v
∂ 2v
#–
=−
+ η 2 . Puisque le dispositif est très étendu selon les deux axes (0x)
selon ux , µ
∂t
∂x
∂z
∂v
∂ 2v
et (0y), la pression est indépendante de x et de y. Il reste µ
= η 2 . On reconnait une
∂t
∂z
345
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 12 – ACTIONS DE CONTACT SUR UN FLUIDE EN ÉCOULEMENT
équation de diffusion ; il s’agit de diffusion de la quantité de mouvement. Elle peut en effet
∂ ( µ v) η ∂ 2 (µ v)
=
.
s’écrire
∂t
µ ∂ z2
b. Pour la résoudre, on passe en notation complexe : on pose v (z,t) = V (z) exp ( jω t).
d 2V
µ
L’équation aux dérivées partielles devient une équation différentielle 2 = jω V . L’équadz
η
1+ j
1+ j
et −
,
tion caractéristique associée admet deux solutions complexes conjuguées :
δ
δ
6
2η
. La solution de l’équation différentielle complexe se met donc sous la forme
avec δ =
ω#µ $
# z$
# z$
# z$
z
V (z) = α exp
exp j
+ β exp −
exp − j . Puisque le liquide est supposé de
δ
δ
δ
δ
α = 0, sans quoi la solution divergerait. Il vient
très grande épaisseur,
#
$$
# z $ on a#nécessairement
z
v (z,t) = β exp −
exp j ω0t −
. La condition aux limites écrite en notation comδ
δ
#
# z$
z $ #–
plexe est v (0,t) = A exp ( jω0t), d’où β = A et #–
cos ω0t −
ux .
v (z,t) = A exp −
δ
δ
2.
a. On peut utiliser les résultats de la question 1 si le problème peut être considéré
comme unidimensionnel, ce qui sera le cas si δ ≪ R.
b. Compte
tenu
la question précédente,
on se ramène à un problème 1D. #–
v (r,t) =
' de &
'
&
r − R #–
r−R
cos ω0t −
ΩR exp −
uθ . On note S la surface externe du cylindre : S =
δ
δ
∂v
2π RL. L’énergie dissipée pendant dt est δ Wdiss = −η (R,t) Svdt, qui donne après rempla∂r
"
η SΩ2 R2 !
2 cos2 (ω0t) − sin (2ω0t) dt. En intégrant
cement de v par son expression δ Wdiss =
2δ
6
ηµ
.
ceci sur une période, on obtient Wdiss = 2π 2Ω2 LR3
2ω
346
13
Le présent chapitre est limité aux écoulements homogènes et incompressibles. La masse volumique du fluide en écoulement sera donc une constante caractéristique du fluide. Après
l’introduction de la notion de vitesse débitante, ce chapitre aborde la description de différents régimes d’écoulement, puis les deux modes de transport de la quantité de mouvement :
la diffusion et la convection. Ceci permet d’introduire le nombre de Reynolds, coefficient
adimensionné, utile pour classifier les écoulements. La chute de pression dans une conduite
horizontale est étudiée pour des faibles nombres de Reynolds, avec l’établissement de la loi de
Hagen-Poiseuille et la mise en place de la notion de résistance hydraulique. Pour des nombres
de Reynolds plus importants, seule la forme du profil des vitesses est abordée ; la chute de
pression sera étudiée dans le chapitre 15. Le présent chapitre est l’occasion de mettre en
place des coefficients adimensionnés, permettant d’établir des similitudes entre des systèmes
d’échelles différentes.
1
Vitesse débitante
Du fait de la viscosité, les écoulements dans des conduites présentent une répartition du
champ des vitesses non uniforme par rapport à un référentiel lié à celles-ci. La condition
d’adhérence sur les parois impose que la vitesse y soit nulle. Le champ des vitesse est donc
de norme plus importante dans le voisinage du centre des conduites qu’à la périphérie.
Il est intéressant de pouvoir caractériser l’écoulement dans la conduite par sa vitesse moyenne, appelée aussi vitesse débitante.
On appelle vitesse débitante U d’un fluide dans une conduite le rapport du débit volumique (en valeur absolue) dans la conduite |Dv | à la section droite Sd de la conduite.
CHAPITRE 13 – É COULEMENTS HOMOGÈNES ET INCOMPRESSIBLES DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE
C’est donc la vitesse moyenne du fluide calculée sur une section droite Sd de la conduite.
C’est une quantité scalaire, définie positive :
U=
4¨
4
4
4
Sd
4
#–4
#–
v · dS44
Sd
.
Exemple
R
P1
P2
x
tube fixe
O
y
L
z
Figure 13.1 – Profil de vitesse d’un écoulement de Poiseuille cylindrique.
On prend comme exemple un écoulement de Poiseuille cylindrique. Dans le chapitre 12,
on montre à la page 336, que le profil des vitesses d’un tel écoulement est parabolique.
Pour un cylindre de rayon R, comme sur la figure 13.1, le champ des vitesses, exprimé
en coordonnées cylindriques, est :
"
!
(P1 − P2) R2 − r2 #–
#–
#–
v (M) = vz (r) uz =
uz .
4η L
Le débit volumique à travers une section droite Sd , d’aire π R2 , orientée dans le sens de
l’écoulement, est :
"
!
ˆ ˆ
¨
"
(P1 − P2) R2 − r2 #–
(P1 − P2) R 2π ! 2
Dv =
R − r2 rdθ dr
uz · rdrdθ u#–z =
4η L
4η L
0
Sd
0
.
/R
ˆ R
2
!
"
π (P1 − P2)
π (P1 − P2) 2 r
π (P1 − P2 ) R4
r4
R
−
.
R2 − r2 rdr =
=
Dv =
2η L
2η L
2
4 0
8η L
0
¨
1
(P1 − P2) R2
La vitesse débitante est donc U =
.
vz (r) dSd =
S d Sd
8η L
!
La vitesse débitante n’est pas la moyenne de la vitesse calculée sur un rayon ou sur un
diamètre. Le calcul
348
1
R
ˆ
R
0
vz (r) dr donnerait tout autre chose.
É COULEMENTS LAMINAIRES ET TURBULENTS
2
2.1
Écoulements laminaires et turbulents
Approche descriptive
Expérience historique de Reynolds C’est en 1883 qu’Osborne Reynolds 1 a mené la célèbre expérience sur les différents régimes d’écoulements, dont le schéma de principe est
rappelé sur la figure 13.2 : un mince filet de permanganate de potassium (de couleur violette,
mais représenté ici en gris foncé) est introduit à l’entrée d’un tube en verre horizontal, dans
lequel entre également de l’eau. La gravité permet au mélange d’eau et de permanganate de
s’écouler, et une vanne placée en aval permet de régler la vitesse de l’écoulement.
permanganate de potassium
laminaire
eau
turbulent
vanne
turbulent (pose très courte)
Figure 13.2 – Expérience historique d’Osborne Reynolds.
Pour un diamètre de tuyau donné, lorsque la vanne est peu ouverte, et que donc l’écoulement
est lent, le filet de permanganate reste rectiligne, parallèle aux parois du tuyau horizontal.
On dit que l’écoulement est laminaire : les trajectoires sont lisses, régulières, parallèles les
unes aux autres. Si les conditions qui créent l’écoulement sont indépendantes du temps, ou
quasiment (comme c’est le cas pour l’expérience de Reynods), l’écoulement est stationnaire
en tout point.
Si des obstacles étaient présents, les particules de fluide les contourneraient, avec des trajectoires lisses, qui ne se croisent pas, puis redeviendraient rectilignes en aval.
Lorsque la vanne est plus ouverte, on constate que les trajectoires des particules deviennent
désordonnées, aléatoires, elles se croisent entre elles. Le filet de permanganate devient un
nuage diffus. Avec des moyens de visualisation modernes (traceurs formés de poudres ou de
micro-bulles, et photographies avec des temps de pose très courts), on peut observer que les
particules de fluide tourbillonnent, mais de façon non régulière, non reproductible. L’écoulement, devenu instable, même chaotique, est qualifié de turbulent.
En répétant l’expérience après avoir modifié certains paramètres, on constate que la vitesse
n’est pas le seul qui influence le type d’écoulement observé : le diamètre du tuyau et le type
de fluide utilisé interviennent également.
1. Osborne Reynolds, 1842 − 1912, ingénieur et physicien irlandais, professeur d’ingénierie au Owens College,
qui deviendra l’Université de Manchester. Ses travaux portèrent sur l’hydrodynamique, où il introduisit, le premier,
le nombre de Reynolds.
349
CHAPITRE 13 – É COULEMENTS HOMOGÈNES ET INCOMPRESSIBLES DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE
Expérience du robinet Un expérience courante, bien plus simple à réaliser, permet d’observer différents types d’écoulement : en ouvrant très peu un robinet de cuisine, par exemple,
on observe que les contours du jet d’eau sont bien lisses, réguliers. L’écoulement est parfaitement stationnaire. Si on ouvre davantage le robinet, le contour du jet devient de forme
moins régulière, mais l’écoulement reste stationnaire. Jusque là, il est laminaire. Pour une
ouverture encore accrue, des gouttes commencent à être éjectées du jet, l’écoulement devient
chaotique : il est turbulent. Cette turbulence peut d’ailleurs se déceler au bruit que fait le jet
d’eau : les tourbillons aléatoires font vibrer l’air qui entoure le jet, ce qui provoque l’émission
de sons à différentes fréquences.
2.2
Les deux modes de transport de la quantité de mouvement
On reprend l’expérience du vase tournant, illustrée dans le chapitre 12, à la page 326 : lorsque
le vase est mis en rotation, il entraîne avec lui la couche de liquide la plus externe. Elle entraîne à son tour la couche qui lui est immédiatement intérieure, et ainsi de suite, de proche
en proche. Au bout d’une certaine durée, tout le liquide tourne à la vitesse angulaire du vase.
Cette durée est d’autant plus longue que le liquide est moins visqueux. C’est le transport
de quantité de mouvement par diffusion qui permet aux couches intérieures de se mouvoir
progressivement. On parle de diffusion puisque ce sont des échanges à l’échelle microscopique qui sont responsables de ce transfert, comme pour la diffusion thermique et la diffusion
de particules. Dans un phénomène de diffusion thermique, le brassage entre les molécules
très agitées des zones chaudes et les molécules peu agitées des zones froide tend à uniformiser la température. Dans un phénomène de diffusion de particules, les échanges à l’échelle
microscopique tendent à uniformiser les concentrations des différentes molécules. Dans un
phénomène de diffusion de quantité de mouvement, les échanges microscopiques entre les
zones de grande vitesse mésoscopique et celles de faible vitesse mésoscopique, tendent à
uniformiser celle-ci.
Dans cet exemple d’écoulement, il y a aussi le transport de quantité de mouvement par
convection, c’est-à-dire par mouvement d’ensemble, à l’échelle mésoscopique, puisque chaque particule de fluide emmène avec elle une certaine quantité de mouvement.
On étudie à présent ces deux aspects, diffusion et convection, de façon plus quantitative. Pour
simplifier les calculs, on considére un écoulement de Couette plan, comme sur la figure 12.3
de la page 327. On s’intéresse ici au démarrage de cet écoulement, et non pas au régime
stationnaire, comme c’est le cas dans le chapitre 12. Comme pour le vase en rotation, si les
deux plaques sont initialement immobiles et qu’on met celle du dessus en translation, elle
entraîne avec elle la couche qui lui est immédiatement en-dessous, et ainsi de suite ; il y a
diffusion de quantité de mouvement, dans une direction orthogonale au mouvement, alors
que la convection se fait parallèlement au mouvement de l’écoulement.
a) Transport de quantité de mouvement par diffusion - vecteur densité de courant de
diffusion de quantité de mouvement
Pour l’écoulement de Couette plan de la figure 13.3, le champ des vitesses s’écrit sous la
forme : #–
v (M,t) = vz (x,t) u#–z .
Dans ce paragraphe, on établit l’expression du vecteur densité de courant de diffusion de
quantité de mouvement #–
ȷ p diff .
350
É COULEMENTS LAMINAIRES ET TURBULENTS
Comme il est expliqué dans le chapitre précédent, la force élémentaire de viscosité exercée,
à travers la surface dydz, par une particule de fluide en x− sur une particule en x+ , est :
#–
#–
∂ vz
∂ vz
(x,t) dy dz u#–z , ou plus simplement δ F x− →x+ = −η
dy dz u#–z .
δ F x− →x+ (x,t) = −η
∂x
∂x
Cette force élémentaire correspond à un transfert de quantité de mouvement élémentaire
#–
δ p = δ pu#–z pendant une durée dt, à travers dy dz, dans le sens +u#–x , puisque l’on a consi#–
δ p #–
déré l’action de x− sur x+ : δ F x− →x+ =
uz .
dt
!
Il y a ici transport par diffusion d’une grandeur vectorielle, la quantité de mouvement. Cette
grandeur vectorielle est dirigée ici selon u#–z mais diffuse selon u#–x .
Dans tout phénomène de transport, le vecteur densité de courant associé à la grandeur physique transportée a pour direction et sens ceux du transfert, et pour norme la grandeur physique transportée par unité de temps et par unité de section droite.
x
v#–0 (t)
plaque mobile
#–
ȷ p diff
x
y
O
dy dz
plaque fixe
z
Figure 13.3 – Transport de quantité de mouvement par diffusion dans
un écoulement de Couette plan.
∂ vz #–
δ p #–
ux = −η
ux .
dt dy dz
∂x
Puisque l’écoulement est supposé dans ce chapitre homogène et incompressible, µ est une
η ∂ ( µ vz )
η
∂ vz
=
. On définit alors la viscosité cinématique : ν = , et la
constante et η
∂x
µ ∂x
µ
# –
ȷ p diff = −ν grad(µ vz ) .
relation précédente peut encore s’écrire : #–
Il vient : #–
ȷ p diff =
Puisque η est en kg·m−1 ·s−1 et µ en kg·m−3 , la viscosité cinématique ν s’exprime en
m2 ·s−1 .
Remarque
L’eau est bien plus visqueuse que l’air (ηeau > 50ηair ), mais elle est aussi bien plus
dense (µeau > 800 µair ). Ainsi, dans des conditions ordinaires, bien que cela puisse
surprendre, la viscosité cinématique de l’air est quasiment 10 fois supérieure à celle
de l’eau : à 20°C et sous une pression de 1 bar, νeau = 1,0.10−6 m2 ·s−1 et νair =
1,5.10−5 m2 ·s−1 .
351
CHAPITRE 13 – É COULEMENTS HOMOGÈNES ET INCOMPRESSIBLES DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE
# –
On note que la relation #–
ȷ p diff = −ν grad (µ vz ) est formellement similaire à d’autres lois de
diffusion : loi de Fick (chapitre 7), loi de Fourier (chapitre 9). À chaque fois, le vecteur densité
de courant associé à la grandeur physique transportée est proportionnel à un gradient, et à une
grandeur caractéristique du milieu dans lequel se fait la diffusion.
Remarque
Dans le cas de l’écoulement de couette plan, le champ des vitesses a un profil linéaire en
régime établi, comme cela est montré dans le chapitre 12, donc la diffusion de quantité
de mouvement se poursuit en permanence : on est dans une situation où le déséquilibre de quantité de mouvement est imposé à tout instant, en raison du mouvement
différent des deux plaques. En diffusion thermique, l’équivalent serait le maintien de
deux températures distinctes pour deux plaques en vis-à-vis. Ce maintien empêcherait
la température de devenir uniforme.
Temps caratéristique τdiff de la diffusion On se place dans le référentiel du laboratoire,
supposé galiléen. Dans un écoulement de Couette plan, homogène et incompressible, même
s’il n’est pas stationnaire, le débit volumique se conserve, à chaque instant, le long d’un tube
de champ. Et puisque les tubes de courant sont parallèles aux plaques, le champ des vitesses
est le même, à t fixé, le long de chaque axe parallèle aux plaques. En conséquence, si une
particule de fluide accélère, c’est uniquement en raison de la variation temporelle du champ
des vitesses.
On reprend le calcul de la page 333, mais avec, pour la particule de fluide, une accélération
∂ vz #–
cette fois non nulle : #–
a =
uz : dans le référentiel du laboratoire, la relation fondamen∂t
tale de la dynamique appliquée à une particule de fluide (assimilée à un point matériel) de
dimensions dx, dy et dz donne, avec δ m = µ dx dy dz :
∂ vz
∂ vz
∂ vz
# –
(x + dx,t)dy dz u#–z − η
(x,t) dy dz u#–z = δ m
(x,t) u#–z .
−δ m g u#–x − gradPdx dy dz + η
∂x
∂x
∂t
Comme il est expliqué dans le chapitre 12, dans un écoulement de Couette plan, le gradient
de pression est nul dans la direction de l’écoulement.
En projetant l’équation vectorielle ci-dessus selon u#–z , et en divisant par dxdydz, il vient :
∂ vz
∂ vz
(x + dx,t) −
(x,t)
∂ vz
∂ 2 vz
∂ vz
∂x
η ∂x
=µ
(x,t), puis ν 2 =
. Puisque dans un écoulement
dx
∂t
∂x
∂t
homogène et incompressible, µ est une constante, on obtient l’équation de diffusion de la
quantité de mouvement :
ν
∂ 2 ( µ vz ) ∂ ( µ vz )
.
=
∂ x2
∂t
Sans surprise, on trouve une équation de type diffusion (cf chapitre 33), comme pour tous les
autres phénomènes de diffusion.
Cela permet de dégager un temps caractéristique τdiff pour la diffusion de quantité de mouveµU
µU
ment. En ordre de grandeur, sur une distance caractéristique L, on a ν 2 ∼
.
L
τdiff
352
É COULEMENTS LAMINAIRES ET TURBULENTS
Le temps caractéristique de diffusion de la quantité de mouvement, pour un fluide de
η
viscosité cinématique ν = , dans une canalisation de dimension caratéristique L, est :
µ
L2
τdiff ∼ .
ν
b) Transport de quantité de mouvement par convection
Dans ce paragraphe, on établit l’expression du vecteur densité de courant de convection de
quantité de mouvement #–
ȷ p conv , pour le même écoulement de Couette plan que précédemment.
Comme pour tout autre phénomène de transport, ce vecteur densité de courant a pour direction et sens ceux du transfert de quantité de mouvement par convection (donc ici u#–z ), et pour
norme la quantité de mouvement transportée par convection, par unité de temps et par unité
de section droite.
x
v#–0 (t)
plaque mobile
#–
ȷ p conv
x
dx dy
y
O
plaque fixe
z
Figure 13.4 – Transport de quantité de mouvement par convection
dans un écoulement de Couette plan.
On s’intéresse cette fois au flux de quantité de mouvement dans la direction de celui-ci. On
prend pour cela la surface élémentaire dxdy représentée sur la figure 13.4. Elle est située dans
le voisinage de M (x, y, z).
La masse de fluide qui traverse cette surface élémentaire pendant dt, dans le sens de u#–z est
δ m = µ vz (x,t) dx dy dt, ou plus simplement, δ m = µ vz dx dy dt. La quantité de mouvement
qui traverse cette même surface, toujours pendant dt est δ mvz u#–z = µ v2z dx dy dt u#–z .
En divisant cette quantité par la section droite dxdy et par la durée dt, on obtient :
#–
v.
ȷ p conv = µ v2z u#–z = (µ vz ) #–
La forme de cette relation est intéressante puisqu’on retrouve, comme dans d’autres phénomènes de transport, que le vecteur densité de courant est le produit de la densité volumique µ vz de la grandeurs physique transportée par le champ des vitesses. L’analogie avec
#–
v est immédiate.
ȷ masse = µ #–
353
CHAPITRE 13 – É COULEMENTS HOMOGÈNES ET INCOMPRESSIBLES DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE
Temps caratéristique τconv de la convection L’expression du vecteur densité de courant de
convection de quantité de mouvement #–
ȷ p conv = (µ vz ) #–
v montre que le transport de quantité
de mouvement par convection se fait à la vitesse #–
v , dont l’ordre de grandeur caractéristique
est la vitesse débitante U. Le temps caractéristique pour que le phénomène de convection de
L
quantité de mouvement se ressente sur une distance caractéristique L est donc τconv ∼ .
U
Le temps caractéristique de convection de la quantité de mouvement, pour l’écoulement
d’un fluide à la vitesse débitante U, dans une canalisation de dimension caratéristique
L, est :
L
τconv ∼ .
U
3
Nombre de Reynolds
Le paragraphe précédent a permis d’établir qu’il existe deux modes de transport de la quantité de mouvement. La diffusion, c’est-à-dire la viscosité, tend à homogénéiser, à lisser les
écoulements. Au contraire, la convection, c’est-à-dire l’inertie, tend à rendre l’écoulement
plus agité.
Très schématiquement, si une perturbation communique à une particule de fluide une certaine
vitesse, la particule sera « retenue » par ses voisines si la diffusion l’emporte, mais elle «
continuera son chemin » si c’est la convection qui domine.
Comme le montre la figure 13.2, les écoulements laminaires, lisses et réguliers, sont ceux
pour lesquels la diffusion domine. Les écoulements turbulents sont ceux pour lesquels la
convection est prépondérante.
Pour prendre en compte les poids relatifs de la diffusion et de la convection de quantité de
mouvement, on introduit un coefficient sans dimension, appelé nombre de Reynolds 2 , noté
Re, qui est petit pour les écoulements laminaires et grand pour les écoulements turbulents.
3.1
Complément : définition à partir des flux surfaciques
Pour comparer les importances relatives des flux convectif et diffusif de quantité de mouve∥ #–
ȷ conv ∥
ment, on pose : Re ∼ #–
. Qualitativement, on a donc :
∥ ȷ diff ∥
#–
#–
• Re ≪ 1 ⇔ ∥ ȷ conv ∥ ≪ ∥ ȷ diff ∥ ⇔ la diffusion domine ;
• Re ≫ 1 ⇔ ∥ #–
ȷ conv ∥ ≫ ∥ #–
ȷ diff ∥ ⇔ la convection domine.
Dans un tuyau cylindrique, de longueur très grande devant le diamètre, la longueur caractéristique L à prendre en compte est le diamètre. D’après les expressions obtenues précédemment,
∥ #–
ȷ conv ∥
L
UL µ UL
∼ µU 2
=
=
.
∥ #–
ȷ diff ∥
ν µU
ν
η
Re ∼
∥ #–
ȷ conv ∥
,
∥ #–
ȷ diff ∥
on prend donc Re =
UL µ UL
=
.
ν
η
2. Le nombre de Reynolds fut introduit en 1908 par le physicien Sommerfeld, en hommage aux travaux d’Osborne Reynolds de la fin du XIXe siècle.
354
N OMBRE DE R EYNOLDS
3.2
Définition à partir des temps caractéristiques
Pour comparer les importances relatives des phénomènes de convection et de diffusion de la
τdiff
. Qualitativement, on a donc :
quantité de mouvement, on peut aussi poser : Re ∼
τconv
• Re ≪ 1 ⇔ τdiff ≪ τconv ⇔ la diffusion domine puisqu’elle se manifeste plus rapidement ;
• Re ≫ 1 ⇔ τdiff ≫ τconv ⇔ la convection domine puisqu’elle se manifeste plus rapidement.
La longueur caractéristique L étant toujours le diamètre de la conduite, les expressions des
temps caractéristiques des deux phénomènes, obtenues précédemment, permettent d’écrire
L2 U UL µ UL
τdiff
=
∼
=
.
τconv
ν L
ν
η
le nombre de Reynolds de l’écoulement d’un fluide, de vitesse débitante U, dans une
canalisation de dimension caratéristique L est défini par :
Re ∼
UL µ UL
τdiff
∼
=
.
τconv
ν
η
Il mesure l’importance de la convection par rapport à la diffusion.
3.3
Complément : définition à partir d’une analyse dimensionnelle
L’expérience montre que pour des écoulements dans des conduites, les paramètres qui influencent le type d’écoulement observé sont :
• la masse volumique µ du fluide, en kg·m−3 ;
• la viscosité η du fluide, en kg·m−1 ·s−1
• la vitesse débitante U en m·s−1 ;
• le diamètre de la conduite, noté L, en m.
Le coefficient, sans dimension, caractéristique de l’écoulement doit donc s’écrire à l’aide de
ces grandeurs, élevées chacune à une certaine puissance, de sorte que le coefficient soit bien
sans dimension : Re = µ a η bU c Ld .
Le coefficient ainsi défini a pour unité S.I. kga+b ·m−3a−b+c+d·s−b−c . Il vient donc :
⎧
⎧
⎧
⎨ a = −b
⎨ a = −b
⎨ a+b = 0
d = −b .
3b − b − b + d = 0 puis
−3a − b + c + d = 0 soit
⎩
⎩
⎩
c = −b
c = −b
−b − c = 0
Pour que le nombre de Reynolds soit faible pour de grandes viscosités, il faut que b soit
µ UL
négatif. Le plus simple est b = −1 et a = c = d = +1 ; on retrouve Re =
.
η
3.4
Transition entre régimes laminaire et turbulent dans une conduite
Pour un écoulement dans une conduite cylindrique circulaire, la longueur caractéristique de
l’écoulement à prendre en compte est le diamètre : L = D = 2R. Le nombre de Reynolds
s’exprime donc sous la forme Re =
2µ UR
.
η
355
CHAPITRE 13 – É COULEMENTS HOMOGÈNES ET INCOMPRESSIBLES DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE
Remarque
Dans ce chapitre, on ne s’intéresse qu’aux écoulements homogènes et incompressibles.
Dans une conduite cylindrique, à chaque instant, ce type d’écoulement admet une invariance par toute translation parallèlement à l’axe de la conduite (du fait de la géométrie
cylindrique et de la conservation du débit volumique) sauf près de l’entrée. Les effets
d’entrée deviennent négligeables lorsque la conduite est longue par rapport au diamètre.
La longueur de la conduite n’a alors aucune influence sur l’écoulement.
Les expériences du type de celles menées par Osborne Reynolds en 1883 montrent que dans
une conduite circulaire, la transition entre le régime laminaire et le régime turbulent se produit
pour Re ≃ 2.103 . Pour Re ! 2.103, l’écoulement est laminaire, pour Re & 2.103 , il est en
général turbulent (il peut arriver toutefois qu’il reste laminaire jusque vers Re = 105 dans des
contextes particuliers).
En ordre de grandeur, dans une conduite :
Re ! 2000 : régime laminaire
!
Re & 2000 : régime turbulent.
La transition se fait aux environs de 2000 et non de 1, comme le laissait supposer la comparaison des flux surfaciques ou des temps caractéristiques.
Exemples
• Un écoulement d’eau à 20°C dans un tuyau de diamètre D = 10 cm devient turbulent
pour une vitesse débitante U & 0,02 m·s−1 .
• Un écoulement d’eau à 20°C dans un tuyau de diamètre D = 1 cm devient turbulent
pour une vitesse débitante U & 0,2 m·s−1 .
• Un écoulement d’air à 20°C dans un tuyau de diamètre D = 10 cm devient turbulent
pour une vitesse débitante U & 0,3 m·s−1 , soit environ 1 km·h−1 .
En pratique, dans les conduites industrielles, les écoulements sont toujours turbulents.
3.5
Écoulements similaires
On note que l’intérêt du nombre de Reynolds, qui est une grandeur adimensionnée, est
que des conditions expérimentales très différentes (fluide différent, vitesse caractéristique
différente, diamètre différent) peuvent conduire à des écoulements très similaires, du moment
que le nombre de Reynolds est le même.
Deux écoulements sont similaires si leurs nombres de Reynolds sont identiques.
Ceci est très utile pour réaliser des simulations sur maquettes à échelle réduite : pour une
échelle de 1/100, il faut multiplier la vitesse par 100 si on veut garder le même fluide, dans
les mêmes conditions de température et de pression. Les grandes vitesses n’étant pas simples
356
C HUTE DE PRESSION DANS UNE CONDUITE HORIZONTALE
à mettre en œuvre, il peut s’avérer utile de changer de fluide : pour une maquette à échelle
1/100, on peut se contenter de multiplier la vitesse par environ 10 si on remplace l’air par de
l’eau.
Toutefois, lors du dimensionnement des conditions expérimentales concernant une expérience sur maquette à échelle réduite, le nombre de Reynolds n’est pas le seul coefficient
adimensionné à prendre en considération. Il en existe d’autres, baptisés nombres de Mach,
Peclet (cf chapitre 7), Prandtl, Froude, etc. Tous ne peuvent pas être conservés lors du passage
à l’échelle réduite ; il faut alors faire des choix en fonction des phénomènes physiques que
l’on veut privilégier.
3.6
Transition entre régime laminaire et régime turbulent dans un cas
plus général
Lorsque l’on s’intéresse à d’autres écoulements que ceux dans des conduites, il existe également différents types de régimes, dans le même esprit que ce qui vient d’être vu. On continue
µ UL
à définir un nombre de Reynolds par la relation Re =
, avec :
η
• µ et η : masse volumique et viscosité dynamique du fluide ;
• L : taille caractéristique de l’écoulement ;
• U : vitesse caractéristique de l’écoulement.
Si, dans une conduite cylindrique de grande longueur, L est le diamètre et U la vitesse débitante, ces deux paramètres ne sont pas toujours identifiables de façon aussi nette. Le nombre
de Reynolds est alors simplement un ordre de grandeur, pas une valeur précise.
Lorsqu’on étudie un écoulement externe autour d’un obstacle, comme ce sera le cas dans le
chapitre 14, la taille caractéristique de l’obstacle à prendre en compte dépend de l’orientation
de celui-ci par rapport à la direction d’arrivée du fluide.
4
Chute de pression dans une conduite horizontale
Les équations de la dynamique des fluides n’ont pas de solution analytique générale car elles
ne sont pas linéaires. Toutefois, dans certaines situations particulières, comme les écoulements laminaires stationnaires, homogènes et incompressibles, on peut obtenir des solutions analytiques. Il en est!ainsi des écoulements
de Poiseuille et de Couette, pour des
"
faibles nombres de Reynolds Re < 2.103 . Pour des nombres de Reynolds plus élevés, on se
contente de résultats empiriques, souvent rassemblés sous forme d’abaques.
4.1
Cas des écoulements stationnaires à faible nombre de Reynolds
a) Loi de Hagen-Poiseuille
Dans le cas d’écoulements
!
" stationnaires homogènes et incompressibles à faibles nombres
de Reynolds Re < 2.103 , donc laminaires, les couches de fluide glissent les unes sur les
autres, sans se mélanger. La mise en équation du mouvement des particules de fluide permet
d’établir un lien de proportionnalité entre l’écart de pression ∆P aux bornes de la conduite, et
le débit volumique Dv .
357
CHAPITRE 13 – É COULEMENTS HOMOGÈNES ET INCOMPRESSIBLES DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE
On reprend les résultats de l’exemple de l’écoulement de Poiseuille cylindrique, développé
dans le paragraphe 1. Pour une conduite horizontale, de rayon R, de longueur L dans laquelle
π (P1 − P2 ) R4
.
circule un fluide de viscosité η et de masse volumique µ , on a obtenu : Dv =
8η L
Il y a donc proportionnalité entre l’écart de pression ∆P = (P1 − P2) et le débit volumique Dv .
La loi de Hagen-Poiseuille relie le débit volumique dans une canalisation de rayon R,
de longueur L, à la différence de pression aux deux extrémités :
DV =
π R4
(P1 − P2) .
8η L
Expérience
P0
P0
Aa
x
P0
P0
Ab
#–
g
Ac
ha
hb
hc
hd
P2
2R
P1
liquide
immobile
Bd
Bc
Bb
Ba
Ad
z
0
za
zb
zc
zd
Figure 13.5 – Chute de pression le long d’un écoulement de Poiseuille cylindrique.
Une expérience simple permet de visualiser la loi linéaire de décroissance de la pression dans une canalisation cylindrique en écoulement laminaire stationnaire homogène et incompressible : un tuyau principal, horizontal, d’axe Oz, de rayon R, est
parcouru par un liquide de masse volumique µ , et de viscosité η , avec un débit volumique Dv constant dans le temps. Ce tuyau principal est percé de plusieurs trous
sur sa partie supérieure, comme le montre la figure 13.5. Quatre tubes verticaux sont
reliés à ces quatre orifices. En régime stationnaire établi, pour un nombre de Reynolds
inférieur à 2000, on observe que le liquide qui s’écoule dans la conduite principale,
occupe une partie des tubes verticaux, avec une surface libre immobile, à une hauteur
de plus en plus faible à mesure que l’on avance dans la conduite.
Dans chacun des tubes verticaux, il n’y a pas d’écoulement et la relation fondamentale de la statique des fluides permet d’écrire, par exemple entre les points Aa et Ba
358
C HUTE DE PRESSION DANS UNE CONDUITE HORIZONTALE
(cf chapitre 10 page 4) : P (Ba ) = P (Aa ) + µ gha , et une relation analogue peut être
obtenue pour tous les autres couples de points situés sur un même axe vertical. Les
surfaces des tubes verticaux étant « libres », c’est-à-dire à une pression P0 imposée par
l’atmosphère, on a P (Aa ) = P (Ab ) = P (Ac ) = P (Ad ) = P0 , d’où P (Ba ) = P0 + µ gha,
et il en est de même avec les autres indices.
La continuité de la pression à l’interface entre les tubes verticaux et la conduite principale permet d’écrire que les pressions aux points Bi , i ∈ {a, b, c, d}, sont aussi les
pressions au sommet de la conduite principale. De plus, l’écoulement étant homogène
et incompressible, le débit volumique est le même tout le long de la conduite. La loi
de Hagen-Poiseuille appliquée à cette conduite principale, conduit à :
8η (x j − xi )
P (Bi ) − P (B j ) =
Dv , pour tout couple (i, j) ∈ {a, b, c, d}. Il vient donc
π R4
8η (x j − xi )
µ g (hi − h j ) =
Dv , ce qui exprime bien que les niveaux des surfaces libres
π R4
8 η Dv
négatif, comme
sont sur une même droite oblique, de coefficient directeur − 4
πR µg
celle représentée en pointillés sur la figure.
Remarque
Dans cette expérience, on utilise des tubes verticaux pour mesurer la pression en différents points de la canalisation principale. Cette technique, appelée parfois prise latérale
de pression, est souvent utilisée du fait de sa simplicité. Elle repose sur la continuité
de la pression aux points Ba , Bb , Bc et Bd , qui marquent la séparation entre le liquide
en écoulement et le liquide immobile. Cette continuité de la surpression est une conséquence du principe des actions réciproques. Notons par exemple PBa− la pression juste
en-dessous de Ba et PBa+ la pression juste au-dessus. Soit une surface élémentaire fictive dS, orthogonale à Ox, dans le voisinage de Ba . La force exercée par le fluide se
# –
trouvant sous dS sur le fluide se trouvant au-dessus est δ F1 = PBa− dSu#–x . La force
exercée par le fluide se trouvant au-dessus de dS sur le fluide se trouvant au-dessous
# –
# –
# –
est δ F2 = −PBa+ dSu#–x . Le principe des actions réciproques s’écrit δ F2 = −δ F1 , d’où
PBa+ = PBa− .
b) Notion de résistance hydraulique
IA→B
A
Rélec
tube fixe
B
P1
A1
x
y O
R
dS1→2
P2
A2
L
z
Figure 13.6 – Analogie entre résistance électrique et résistance hydraulique.
Par analogie avec l’électricité (voir chapitre 17), en associant l’écart de pression ∆P à la différence de potentiel ∆V , le débit volumique Dv au courant électrique I, on introduit la notion
359
CHAPITRE 13 – É COULEMENTS HOMOGÈNES ET INCOMPRESSIBLES DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE
de résistance hydraulique Rhyd, équivalent de la résistance électrique Rélec . Afin de lever
toute ambiguïté sur les signes, précisons dans les notations les orientations des grandeurs algébriques : un courant électrique dont la flèche est dirigée du point A vers le point B est noté
IA→B . De la même façon, si A1 et A2 sont des points situés aux extrémités de la conduite et si
les sections de la conduite sont orientées dans le sens A1 vers A2 , le débit volumique est noté
Dv 1→2 .
Électricité
Mécanique des fluides
potentiel V (V)
pression P (Pa)
!
"
débit volumique Dv m3 ·s−1
!
"
résistance hydraulique Rhyd Pa·s·m−3
courant I (A)
résistance électrique Rélec (Ω)
VA − VB = Rélec IA→B
P1 − P2 = Rhyd Dv 1→2
Dans le cas d’un écoulement à bas nombre de Reynolds, dans une conduite cylindrique
horizontale de rayon R d’un fluide visqueux, la chute de pression ∆P, sur une longueur
L, est proportionnelle au débit volumique :
∆P = RhydDV ,
où la résistance hydraulique a pour expression : Rhyd =
8η L
.
π R4
Remarques
• En électricité (voir chapitre 17, page 525), un cylindre homogène de longueur L, de
rayon R et de conductivité électrique γ (et de résistivité électrique 1/γ ), présente une
L
résistance électrique Rélec =
. Il y a donc une différence importante entre la
γπ R2
résistance électrique qui dépend du rayon en R−2 et la résistance hydraulique pour
laquelle la loi d’évolution est en R−4 . Cette différence peut s’expliquer par le fait
qu’en électricité, la répartition du champ des vitesses des charges est uniforme dans
une section droite, alors qu’elle est parabolique pour les fluides.
• La section des conduites est quasiment toujours circulaire ; le cas des conduites rectangulaires est abordé dans en exercice.
Complément : association de résistances hydrauliques L’analogie avec l’électricité peut
être exploitées pour établir les lois d’associations des résistances hydrauliques :
• lorsque deux conduites sont « en série », c’est-à-dire sont le siège d’un même débit volumique, les résistances hydrauliques s’ajoutent : Rhyd = Rhyd1 + Rhyd2 ;
• lorsque deux conduites sont « en parallèle », c’est-à-dire sont soumises à la même diffé1
1
rence de pression, les inverses des résistances hydrauliques s’ajoutent :
=
+
Rhyd
Rhyd1
1
.
Rhyd2
360
C HUTE DE PRESSION DANS UNE CONDUITE HORIZONTALE
!
La relation donnant la résistance hydraulique équivalente pour une association en parallèle
n’est valable que si les deux conduites sont distinctes. Si une conduite est compartimentée
en plusieurs sous-conduite, le champ des vitesses est modifié, et la somme des inverses des
résistances hydrauliques des compartiments ne redonne pas l’inverse de la résistance de la
conduite non compartimentée. Ceci est illustré dans l’exercice XXXX.
Puissance dissipée par les frottements visqueux au sein de l’écoulement Peut-on encore
utiliser l’analogie avec l’électricité, et transposer la relation Pélec = Rélec I 2 aux écoulements
visqueux ?
On peut calculer la puissance Phyd que doit fournir le système (par exemple la pompe) qui
permet d’assurer l’écoulement. Pour une conduite horizontale de rayon R et de longueur L,
cette puissance est intégralement dissipée sous forme de chaleur. En effet, chaque particule
de fluide a un mouvement horizontal, donc garde en permanence la même énergie potentielle
de pesanteur. De plus, l’écoulement étant supposé homogène et incompressible, le débit volumique se conserve tout le long de la conduite. Puisque cette conduite est de section uniforme,
le profil de vitesses est le même dans chaque section ; chaque particule de fluide conserve son
énergie cinétique tout le long de son parcours.
R
P1
P2
r
r + dr
x
y
O
L
z
Figure 13.7 – Découpage du cylindre en couches d’épaisseur dr.
Pour calculer la puissance Phyd , on peut commencer par raisonner sur une pellicule cylindrique de fluide, de longueur L et de rayon compris entre r et r + dr. On se place dans le
référentiel de la conduite. Les forces de pression qui agissent sur les surfaces latérales se
compensent. En notant (P1 − P2) l’écart de pression entre l’amont et l’aval de ce système,
#–
la résultante des forces de pression qu’il subit est δ F = (P1 − P2) 2π rdru#–z. La puissance de
# – #–
cette force est δ Phyd = δ F · v .
Or, comme on on a vu au paragraphe 1, le champ
d’un écoulement de Poiseuille
"
! des vitesses
(P1 − P2) R2 − r2 #–
#–
cylindrique est donné par : v (r) =
uz donc la puissance des forces de
4η L
pression est :
R2 − r 2
2π rdr,
δ Phyd = (P1 − P2)2
4η L
361
CHAPITRE 13 – É COULEMENTS HOMOGÈNES ET INCOMPRESSIBLES DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE
d’où :
Phyd =
π (P1 − P2 )2
2η L
ˆ
0
R!
"
π (P1 − P2)2 R4
.
R2 r − r3 dr =
8η L
(P1 − P2 )2
= Rhyd D2v , en utilisant l’expression
Rhyd
de la résistance hydraulique vue plus haut. L’analogie avec l’électricité est donc également
valide pour le calcul de la puissance dissipée.
Cette relation peut encore s’écrire Phyd =
Pélec = Rélec I 2
4.2
←
→
Phyd = Rhyd D2v .
Cas des nombres de Reynolds élevés
Pour des nombres de Reynolds supérieurs à 2.103 , l’écoulement est a priori turbulent. Même
si les conditions aux limites sont stationnaires, l’écoulement ne l’est plus ; il est même aléatoire. Cependant, il est encore possible de définir un champ des vitesses, et même un profil
de vitesses, grâce à des moyennes temporelles.
a) Profil de vitesses
Les lois analytiques établies pour les écoulements laminaires ne sont plus valables. Dans une
conduite cylindrique de section circulaire, le profil de vitesse n’est plus parabolique mais
obéit à une loi empirique qui dépend du nombre de Reynolds.
P1
R
P2
R
P2
R
P2
Re = 4.103
Re < 2000
P1
Re < 2000
Re = 4.103
P1
Re = 3.106
Re = 3.106
Figure 13.8 – Profils de vitesse selon le nombre de Reynolds.
À titre indicatif, sans que ces connaissances ne soient exigibles, on donne la loi vz (r) pour
362
C HUTE DE PRESSION DANS UNE CONDUITE HORIZONTALE
#
r $1/n
une conduite de rayon R : vz (r) = Vmax 1 −
, la valeur de n dépendant du nombre de
R
Reynolds, selon le tableau ci-dessous
Re
n
!
4.103
6
2,3.104
6, 6
1.105
7
1,1.106
8, 8
2.106
10
3,2.106
10
Cette loi empirique ne peut être utilisée pour calculer des forces de viscosité ; en particulier,
elle conduirait à des forces d’interaction nulles entre le fluide et la conduite nulles puisque
∂ vz
(R) = 0.
∂r
La figure 13.8 montre des profils de vitesses obtenus pour différentes valeurs du nombre
de Reynolds, et les valeurs de n associées. Les différents tracés ont été réalisés pour une
même valeur de la vitesse maximale, donc pour un débit volumique différent. Le lien entre
le débit, la vitesse débitante et la vitesse maximale pour ces différents écoulements est étudié
en exercice.
b) Évaluation de la chute de pression en écoulement turbulent
Lorsque l’écoulement dans une conduite est turbulent, la loi de Hagen-Poiseuille ne s’applique plus. Il n’existe plus de loi analytique pour déterminer la chute de pression entre l’entrée et la sortie de la canalisation en fonction de ses dimensions, du fluide qui y circule, et du
débit. On peut alors utiliser des lois empiriques ou bien des abaques. Ceci est étudié en détail
dans la partie consacrée aux pertes de charge régulières du chapitre 15.
363
CHAPITRE 13 – É COULEMENTS HOMOGÈNES ET INCOMPRESSIBLES DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE
SYNTHÈSE
SAVOIRS
•
•
•
•
•
écoulement laminaire, turbulent
vitesse débitante
nombre de Reynolds
chute de pression dans une conduite horizontale
résistance hydraulique
SAVOIR-FAIRE
• décrire les différents régimes d’écoulement (laminaire et turbulent)
• relier le débit volumique à la vitesse débitante
• décrire qualitativement les deux modes de transfert de quantité de mouvement : convection et diffusion
• établir l’expression du temps caractéristique τdiff de la diffusion
• établir l’expression du temps caractéristique τconv de la convection
• interpréter le nombre de Reynolds comme le rapport de d’un temps caractéristique de
diffusion de quantité de mouvement sur un temps caractéristique de convection
• évaluer le nombre de Reynolds d’un écoulement
• utiliser le nombre de Reynolds pour caractériser un régime d’écoulement
• dans le cas d’un écoulement à bas nombre de Reynolds, établir la loi de Hagen-Poiseuille
• déterminer la résistance hydraulique d’une conduite à faible Reynolds
• exploiter un paramétrage adimensionné permettant de transposer des résultats expérimentaux ou numériques sur des systèmes similaires réalisés à des échelles différentes
MOTS-CLÉS
•
•
•
•
364
débit volumique
vitesse débitante
laminaire
turbulent
• Poiseuille
• diffusion de quantité de
mouvement
• convection
•
•
•
•
Reynolds
Hagen-Poiseuille
résistance hydraulique
profil de vitesses
S’ENTRAÎNER
13.1 Distribution d’eau potable (d’après CCP)
(⋆ )
Un château d’eau de hauteur h = 25 m, alimente un village en eau potable. On rappelle
que l’eau a une masse volumique µ0 = 1, 0.103 kg.m−3 et une viscosité dynamique η =
1, 0.10−3 Pl.
1. Quel est l’ordre de grandeur de la pression Pe qui peut être attendue au pied du château
d’eau, en admettant que le débit d’eau dans la canalisation soit suffisamment faible pour ne
pas perturber la pression ?
z
2. Soit une conduite de longueur L = 100 m et de
h
section S = 1 cm2 partant du pied de ce château
d’eau. L’autre extrémité est à l’air libre. Quel dé#–
g
bit peut on attendre, en supposant a priori l’écoulement laminaire ? Calculer la vitesse débitante U.
L
3. Calculer le nombre de Reynolds pour cet écoulement, et conclure.
4. Dans une maison, on souhaite obtenir des débits assez important pour remplir une baignoire par exemple. Dans certaines maisons anciennes, on n’obtient pas satisfaction, on dit
qu’on manque de pression. Qu’est-il préférable de faire pour obtenir un débit plus important ?
13.2 L’arbre bronchique (d’après CCP)
(⋆ )
Dans un arbre bronchique, les voies respiratoires se divisent par dichotomie avec
une réduction systématique de la longueur
(1), R1 , V1
et du diamètre. Dans le problème, nous allons supposer que la trachée se divise en
deux bronches. Chacune d’elles se divise à
son tour en deux autres, et ainsi de suite.
Nous notons générations les différentes sub(2), R2 , V2
divisions qui seront indicées par les nombres
successifs, p : la trachée est la génération
p = 1 , les bronches, p = 2 , et ainsi de suite.
(3), R3 , V3
Nous nous plaçons en régime permanent et
l’air est assimilé à un fluide de viscosité η .
Il ya 23 générations de voies aériennes dont les 16 premières sont conductrices. Une bronchiole de génération p est assimilée à un cylindre de rayon r p et de longueur ℓ p .
On admet généralement que la loi de Hagen-Poiseuille est valable pour p < 16, elle exprime
le lien entre le débit volumique et la différence de pression entre les extrémités d’un tuyau
cylindrique :
(Pe − Ps) = RH Dv ,
avec RH =
8η L
pour une conduite de rayon R et de longueur L.
π R4
365
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 13 – É COULEMENTS HOMOGÈNES ET INCOMPRESSIBLES DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE
La figure représente les quatre premières générations d’un arbre bronchique, à chaque génération chaque dimension longueur et rayon est multipliée par h, constante inférieure à un,
identique, pour les deux dimensions.
1. Déterminer le nombre N (p) de bronchioles à la pième génération en fonction de p.
2. Déterminer le rayon r p et la longueur ℓ p de la bronchiole de génération p en fonction de
p, h, r1 et ℓ1 , valeurs pour p = 1.
3. Calculer le volume Vp d’une bronchiole de génération p en fonction de V1 , h, et p. En
déuire le volume total Vpt de génération p. On posera X = 2h3 .
1 − Xn
.
Montrer que le volume de l’arbre supposé contient n génération est Vt = V1
1−X
4. Calculer la résistance hydraulique R p d’une bronchiole de génération p en fonction de R1
(résistance hydraulique pour p = 1) et p. En déduire la résistance hydraulique totale de la génération p. Déterminer la résistance hydraulique totale de l’arbre qui contient n générations.
5. Montrer que le volume total diverge quand n → ∞ pour h supérieur à une valeur critique
hc dont on précisera la valeur numérique. À quelle condition sur h la résistance hydraulique
diverge-t-elle ?
6. Pour l’homme h a été mesuré, h = 0, 85. Estimer la variation de pression entre l’entrée et
la sortie des 16 premières générations correspondant à une inspiration normale.
13.3 Débit et vitesse débitante pour Re élevé (⋆)
On considère une conduite circulaire d’axe (Oz), de diamètre D, de rayon R, parcourue par
un fluide visqueux de masse volumique µ uniforme. Le nombre de Reynolds est supérieur à
#
r $1/n #–
uz , n étant
2.103 , l’écoulement est turbulent. Le champ des vitesses est #–
v = Vmax 1 −
R
une constante dont la valeur dépend du nombre de Reynolds.
1. Déterminer le débit volumique Dv dans la conduite
U
de la vitesse débitante U à la vitesse max Vmax , et le comparer
2. Exprimer le rapport
Vmax
à celui obtenu dans le cas de l’écoulement de Poiseuille cylindrique. Application numérique
pour n = 6 puis n = 10.
13.4 Circulation sanguine (d’après Agro)
(⋆ )
Dans le système circulatoire humain, l’aorte se ramifie en artères qui se divisent en artérioles.
Les artérioles se ramifient en capillaires. Le rayon de l’aorte est typiquement aaorte = 1 cm
et celui d’un capillaire est typiquement acapillaire = 1, 0.10−3 cm. La section totale de tous les
capillaires est S = 0, 2m2 . Le débit volumique total est Qv = 8, 3.10−5 m3 .s−1 .
1. On commence par étudier l’écoulement dans une conduite cylindrique de longueur L et
de rayon R, d’un fluide incompressible de viscosité η , lorsque l’écoulement est laminaire et
qu’on impose une différence de pression (Pe − Ps ) > 0 entre l’entrée et la sortie.
a. Établir le champ des vitesses de la forme #–
v = v (r) u#–, u#– étant l’axe du tuyau et r la
z
z
distance à l’axe d’une particule de fluide.
b. Calculer le débit volumique dans la conduite, et en déduire la vitesse débitante.
366
c. Montrer qu’on peut établir une analogie entre l’écoulement dans une canalisation cylindrique soumise à une différence de pression entre l’entrée et la sortie (Pe − Ps ) et la loi
d’Ohm. Définir puis exprimer la résistance hydraulique de la conduite.
2. Déterminer numériquement la vitesse débitante dans un capillaire et dans l’aorte.
3. Déterminer la perte de pression par unité de longueur dans l’aorte et dans un capillaire, en
supposant que le sang s’y écoule de façon laminaire. La viscosité du sang est η = 2.10−3 Pl.
4. Calculer le nombre de Reynolds de l’écoulement dans l’aorte, puis pour l’écoulement dans
le capillaire, commenter.
5. La viscosité du sang varie avec le rayon a du vaisseau selon une loi obtenue expérimen'
&
d −2
talement : η = C 1 +
, où d = 9.10−3 mm est le diamètre moyen d’une hématie,
a
C = 0, 00197 Pl une constante qu’on a mesurée.
a. Comment évolue la viscosité quand le rayon du vaisseau diminue ?
Pour interpréter ce phénomène, on indique que la viscosité dépend de nombreux paramètres
physiques, parmi lesquels la température, bien sûr, mais aussi les interactions de Van Der
Waals, qui sont des interactions attractives à distances qui existent entre toutes les particules
d’un fluide.
b. Expliquer l’évolution de la viscosité du sang dans les vaisseaux en fonction du rayon
et justifier que dans le cas de l’eau, à l’échelle des vaisseaux sanguin le phénomène cité
n’intervient pas.
13.5 Décomposition fictive d’une résistance hydraulique en une association parallèle
de deux résistances (⋆)
On considère un écoulement de Poiseuille cylindrique d’un fluide newtonien, de viscosité η ,
dans une conduite circulaire de longueur L, d’axe (Oz) et de rayon R. On impose à l’entrée
(en z = 0) une pression uniforme P1 et à la sortie (en z = L) une pression uniforme P2 < P1 .
Comme on l’a vu dans le chapitre 12, le champ&des '
vitesses est de la forme #–
v = v (r) u#–z . Et
dv
P2 − P1
d
r
=
r. On découpe par la pensée
v (r) est solution de l’équation différentielle
dr
dr
ηL
la conduite en deux cylindres circulaires, de même axe (Oz). Le premier est plein, de rayon
a < R, et le second est creux, de rayon intérieur a et de rayon extérieur R. L’objectif de cet
exercice est de montrer que la résistance hydraulique de la conduite ne peut pas être considérée comme l’association en parallèle des résistances hydrauliques des deux compartiments
coaxiaux. Pour déterminer la résistance hydraulique de chacun des deux cylindres coaxiaux,
il faut les matérialiser, en insérant dans la conduite une cloison cylindrique de rayon a et
d’épaisseur négligeable.
1. On commence par le cylindre intérieur : quelle est sa résistance hydraulique Rhyd1 en
fonction de η , L et a ? Application numérique si le fluide est de l’eau avec L = 1,0 m et
a = 2,0 cm.
2. On s’intéresse à présent au cylindre creux, de rayon intérieur a et de rayon extérieur R.
Établir l’expression du champ des vitesses au sein de ce volume. En déduire celle de sa
résistance hydraulique Rhyd 2 . Application numérique pour R = 4,0 cm.
3. Comparer la résistance hydraulique Rhyd de la conduite à celle que l’on peut obtenir en
disant que les deux cylindres coaxiaux constituent des résistances en parallèle.
367
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 13 – É COULEMENTS HOMOGÈNES ET INCOMPRESSIBLES DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE
APPROFONDIR
13.6 Résistance hydraulique d’une conduite rectangulaire (d’après X-ENS)
(⋆⋆)
On considère une conduite cylindrique rectangulaire de longueur L, d’axe central (Oz), dont
la section est de largeur w parallèlement à (Ox) et de hauteur h selon (Oy). Elle est parcourue
par un liquide newtonien, de viscosité η . On impose à l’entrée (en z = 0) une pression uniforme P1 et à la sortie (en z = L) une pression uniforme P2 < P1 . On a donc un écoulement
de Poiseuille cylindrique rectangulaire. On néglige la pesanteur. On admet que le champ des
vitesses est de la forme #–
v (x, y) = v (x, y) u#–z .
1. En utilisant la méthode développée au chapitre 12 pour étudier les écoulement de Poiseuille, établir l’expression approchée du champ des vitesses #–
v (x, y) en faisant l’hypothèse
h ≪ w.
2. Exprimer la résistance hydraulique de cette portion de conduite en fonction de η , L, h et
w.
368
CORRIGÉS
13.1 Distribution d’eau potable
1. La pression au bas de la tour du château d’eau rempli d’eau est déduite de la loi de
# –
# –
l’hydrostatique dans un liquide incompressible, grad P = µ0 #–
g , soit gradP = − µ0 gu#–z donc
dP #–
uz = −µ0 gu#–z puis, en intégrant P (z) = − µ0 gz + K.
dz
En z = h, la surface de l’eau est à l’air libre, on néglige la variation de pression dans l’air sur
une hauteur de 25 m, donc la condition limite est P (z = h) = P0 , donc K = P0 + µ0 gh. La loi
de pression dans l’eau est donc : P (z) = P0 + µ0 g (h − z).
Au bas du château d’eau, z = 0, P (0) = P0 + µ0 gh. Numériquement : P(0) = Pe = 2, 5 bar.
2. L’écoulement étant supposé laminaire dans la canalisation cylindrique, on peut affirmer
que le fluide s’écoule sous l’effet de la différence de pression qui existe entre l’entrée et la
sortie de la canalisation. C’est un écoulement de Poiseuille! cylindrique,
étudié paragraphe 4.4
"
2 − r2
(P
−
P
)
R
e
s
chapitre 12, pour lequel il a été établi : #–
v (M) =
. La relation entre le débit
4η L
volumique et la différence de pression, ou loi de Hagen-Poiseuille a été vue au paragraphe 4.1
8η L
du présent chapitre : (Pe − Ps) = RH Dv , avec RH =
, où R est le rayon de la canalisation
π R4
cylindrique.
Dv
= 10 m.s−1 .
Numériquement on trouve Dv = 10−3 m3 .s−1 , U =
S
2 µ0UR
≃ 1.105.
3. Le nombre de Reynolds de l’écoulement est Re =
η
On en conclut que la loi de Hagen-Poiseuille n’est pas adaptée à l’écoulement dans cette
canalisation, puisque le nombre de Reynolds est supérieur à 2000, donc l’écoulement est
turbulent.
4. Pour augmenter le débit , on peut, en théorie agir sur la longueur de la canalisation et sur sa
section. Comme la longueur n’est pas modifiable, sauf à déplacer la baignoire... on peut agir
sur la section, en utilisant des tuyaux de plus grandes sections. Dans une maison ancienne
il est à craindre que des dépôts calcaires aient réduit la section de la canalisation et l’aient
rendue moins lisse, augmentant ainsi l’effet de baisse de pression. Il faut changer les tuyaux.
13.2 L’arbre bronchique
1. Le nombre de bronchioles est N (p) = 2 p−1.
2. r p = r1 h p−1 et ℓ p = l1 h p−1.
! "2
3. On établit les volumes des bronchiole successives, V2 = V1 h3 , V3 = V1 h3 , puis Vp =
! 3 " p−1
. Le volume de la pième génération est Vpt = N (p)Vp , soit : Vpt = V1 X p−1.
V1 h
Le volume total est la somme des volumes de chaque génération, on reconnaît une somme
1 − Xn
.
des termes d’une suite géométrique : Vt = ∑np=1 V1 X p−1 = V1
1−X
369
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 13 – É COULEMENTS HOMOGÈNES ET INCOMPRESSIBLES DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE
8η ℓ1
8 η ℓ 2 R1
R1
, donc R2 =
= 3 , et en généralisant, R p =
.
h
π r14
π r24
(h3 ) p−1
Les résistances sont montées en parallèle, on en déduit la résistance de la pième génération
1
R1
Rt p =
= R1 p−1 , et la résistance totale :
p−1
3
X
N (p) (h )
4. On calcule R1 =
1
& ' p−1
1− n
1
X .
Rt = ∑ Rt p = ∑ R1
= R1
1
X
p=1
p=1
1−
X
n
n
5. On constate que quand n → ∞ le volume diverge pour h > hc tel que Xc = 2h3c = 1, soit
& '1
1 3
= 0, 79 ; la résistance hydraulique, à l’inverse diverge pour h < hc .
hc =
2
6. Pour faire cette estimation, il faut évaluer un certain nombre de valeurs numériques qui ne
figurent pas dans l’énoncé :
Le volume d’air aspiré en une aspiration : le volume maximal des poumons étant de 5 L,
on estime ce volume à Va = 0.5 L. La durée ∆t d’une aspiration : ∆t = 3 s, donc le débit
volumique Dv = 2.10−4 m3 .s−1 .
Il faut aussi calculer Rt . R1 est la résistance de la trachée, on peut donner des ordres de
grandeur pour ℓ1 ≃ 30 cm et r1 = 1 cm. La viscosité dynamique de l’air est η ≃ 10−5 Pl,
on calcule R1 ≃ 1, 4.103 Pa.s.m−3 , et Rt ≃ 7, 1.103 Pa.s.m−3 , on trouve une différence de
pression d’environ 1 Pa.
13.3 Débit et vitesse débitante pour Re élevé
1. Le débit volumique se calcule en effectuant le flux du champ des vitesses à travers une
section de la conduite. On prend une section droite, c’est-à-dire un disque circulaire S de
rayon R et d’axe (Oz). Puisqu’ici le champ des vitesses est en tout point selon u#–z , Dv =
ˆ 2π ˆ R
¨
ˆ R#
#
r $1/n
r $1/n
r
#–
#–
v · dS =
1−
Vmax 1 −
rdrdθ = 2π Vmax
rdr. On pose u = .
R
R
R
0
0
S
0
ˆ 1
1/n
Il vient Dv = 2π Vmax R2
(1 − u) udu. On procède à une intégration par parties, en posant
0
Dv
n (1 − u)(1+1/n)
. On a donc
f = u et dg = (1 − u) du, d’où d f = du et g = −
=
n+1
2π Vmax R2
L
M1 ˆ
L
M1
1
nu (1 − u)(1+1/n)
n (1 − u)(1+1/n)
n
− (1 − u)(2+1/n)
−
du = 0 +
+
.
n+1
n+1
n+1
2 + 1/n
0
1/n
0
0
n2
2π R2Vmax .
Finalement, Dv =
(n + 1)(2n + 1)
Dv
U
2n2
. Applica2. La vitesse débitante est U =
,
d’où
le
rapport
=
π R2
Vmax
(n + 1)(2n + 1)
U
U
tion numérique : pour n = 6,
= 0, 79 puis pour n = 10,
= 0, 87. Dans le cas de
Vmax
Vmax
370
l’écoulement de Poiseuille cylindrique, on a obtenu dans le chapitre U =
(P1 − P2) R2
et
8η L
U
(P1 − P2) R2
, d’où
= 0, 50. Il n’est pas surprenant de voir que plus n est grand,
4η L
Vmax
c’est-à-dire plus le profil de vitesse est « plat », plus la vitesse débitante se rapproche de la
vitesse sur l’axe, c’est-à-dire la vitesse Vmax .
Vmax =
13.4 Circulation sanguine
1.
a. L’écoulement est un écoulement de! Poiseuille,
on établit la loi de vitesse comme
"
(Pe − Ps) R2 − r2
#–
.
dans le cours, on obtient v (M) =
4η L
π (Pe − Ps ) R4
(Pe − Ps ) R2
b. Dv =
et U =
.
8η L
8η L
8η L
c. On établit la loi de Hagen Poiseuille (Pe − Ps) = RH Dv , avec RH =
analogue de la
π R4
loi d’Ohm U = RI.
Qv
= 26 cm.s−1 ; et dans un capillaire
2. La vitesse débitante dans l’aorte est Ua =
π a2aorte
Qv
S
Ucap =
= 0, 4 mm.s−1 , le nombre Ncap de capillaire étant égal Ncap = 2 .
π acap
Ncap π a2aorte
8η
3. La résistance hydraulique par unité de longueur dans un capillaire est rHcap =
, la
π (acap )4
perte de pression linéique y est (Pe − Ps)/L = rHcap Qvcap = 6, 6 Pa.m−1 ; dans l’aorte, rHao =
8η
, la perte de pression (Pe − Ps)/L = rHao Qvao = 33, 2 Pa.m−1 .
π (aao )4
Grâce à la mise en parallèle de multiples capillaires, la chute de pression linéique dans les
capillaires est limitée, puisque le débit très faible qui y circule limite l’effet de leur résistance
hydraulique très grande.
2acap µ0Ucap
4. On calcule les nombres de Reynolds REcap =
= 0, 42 et REao = 2, 7.103 ,
η
l’écoulement dans l’aorte est donc turbulent, l’utilisation de loi de Hagen Poiseuille n’y est
pas légitime. Par contre, dans le capillaire, l’écoulement est bien laminaire.
5.
a. Quand a diminue, le dénominateur augmente et la viscosité diminue.
b. Dans les capillaires, dont le rayon est très petit, la viscosité est plus faible, car l’hématie
est entourée d’un nombre moins grand d’autres hématies que dans l’aorte, du fait du plus
faible rayon. Dans le cas de l’eau, comme les molécules ont un rayon bien plus faible que les
hématies, le phénomène ne varie pas quand le rayon passe de celui d’une aorte à celui d’un
capillaire.
13.5 Décomposition fictive d’une résistance hydraulique en une association parallèle
de deux résistances
1. Comme cela a été vu dans le chapitre, Rhyd1 =
8η L
= 16.103 Pa·s·m−3 .
π a4
371
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 13 – É COULEMENTS HOMOGÈNES ET INCOMPRESSIBLES DANS UNE CONDUITE CYLINDRIQUE
P2 − P1
. L’équation différentielle qui régit le champ des viη L&
'
d
dv
dv
tesses dans ce cylindre creux est
r
= Ar. Une première intégration donne r =
dr
dr
dr
dv
r B
r2
r2
= A + . Une nouvelle intégration donne v (r) = A + B ln (r) +C. Les
A + B, d’où
2
dr
2 r
4
P1 − P2 R2 − a2
et
conditions d’adhérence imposent v (a) = 0 et v (R) = 0. On en déduit B =
4η L ln (R/a)
(
)
! 2
"
R − a2 ln (a)
P1 − P2
C=
a2 −
.
4η L
ln (R/a)
ˆ R
Le débit volumique dans cette partie est Dv2 = 2π
rv2 (r) dr. Un intégration par partie
Q
<.
. 4 /aR
/R ˆ R
πA r
r
r2
ln (r) −
dr +
du terme contenant ln (r) conduit à Dv2 =
+ 2π B
2 4 a
2
a 2
a
"
!
P1 − P2
π C R2 − a2 . La résistance hydraulique est Rhyd 2 =
, dont l’expression n’est pas
Dv2
3
−3
simple. Numériquement, Rhyd 2 = 7,9.10 Pa·s·m .
3. La résistance hydraulique Rhyd de la conduite (sans la cloison de rayon a) est Rhyd =
8η L
= 1,0.103 Pa·s·m−3 . En utilisant les règles d’association de résistances en parallèle,
π R4
Rhyd1 Rhyd 2
on aurait
= 5,3.103 Pa·s·m−3 . Il n’est pas surprenant de trouver une résistance
Rhyd 1 + Rhyd2
plus grande en insérant une cloison, qui impose l’annulation du champ des vitesses sur sa surface, donc un débit moindre pour la même différence de pression. Il faut simplement être bien
conscient qu’en isolant par la pensée deux portions « en parallèle » d’une même conduite, et
en calculant la résistance hydraulique de chacune séparément, on introduit dans les faits une
cloison supplémentaire, qui n’existe pas dans la réalité.
2. On pose pour simplifier A =
13.6 Résistance hydraulique d’une conduite rectangulaire
1. On prend comme système une particule de fluide, de dimensions dx, dy, dz, située dans le
voisinage de M (x, y, z). On la considère comme un point matériel. Les particules qui exercent
des forces de viscosité sur celle considérée sont celles qui ont une vitesse différente de la
sienne, c’est-à-dire les quatre voisines qui ont la même cote qu’elle selon (Oz).
Les actions mécaniques qui s’exercent sur le système sont donc, puisque le poids est négligé :
# –
• la résultante des forces de pression − grad P dxdydz ;
∂v
• la force de viscosité exercée par la particule au-delà de x+dx , soit +η (x + dx, y)dydzu#–z ;
∂x
∂v
• la force de viscosité exercée par la particule en-deçà de x, soit −η (x, y) dydzu#–z ;
∂x
∂v
• la force de viscosité exercée par la particule au-delà de y+dy , soit +η (x, y + dy)dxdzu#–z ;
∂y
∂v
• la force de viscosité exercée par la particule en-deçà de y, soit −η (x, y) dxdzu#–z ;
∂y
372
En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à la particule de fluide, dans le réfé∂v
# –
rentiel du laboratoire R, supposé galiléen, il vient − grad P dxdydz+ η (x + dx, y)dydzu#–z −
∂x
∂v
∂v
∂v
#–
#–
#–
#–
η (x, y) dydzuz + η (x, y + dy)dxdzuz − η (x, y) dxdzuz = 0 .
∂x
∂y
∂y
∂P
∂P
#–
#–
(x, y, z) = 0 et
(x, y, z) = 0,
Les projections selon ux et uy de cette équation donnent
∂x
∂y
donc P = P (z).
dP
∂ 2v
∂ 2v
La projection selon u#–z donne
= η 2 + η 2 . Le membre de gauche est une foncdz
∂x
∂y
tion de z uniquement. Le membre de droite est une fonction de x et y uniquement. Finalement, la quantité commune aux deux membres est une constante, donc P est une fonction
P2 − P1
affine de z : P (z) =
z + P1 . Le champ des vitesse obéit à l’équation aux dérivées
L
4 2 4
2
2
4∂ v4
v
P2 − P1
∂ v ∂ v
. En ce qui concerne les ordres de grandeur, 44 2 44 ∼ 2
+ 2 =
partielles
2
∂
x
∂
y
η
L
∂
x
w
4 2 4
4∂ v4
v
et 44 2 44 ∼ 2 . Attendu que h ≪ w, on peut simplifier l’équation aux dérivées partielles en
∂y
h
d2 v
P2 − P1 2
P2 − P1
, qui s’intègre en v (y) =
y + Ay + B. Les conditions d’adhérence en
=
dy2
ηL
2η L
&
'
P1 − P2 h2
2
− y . Le débit volumique s’écrit
z = −h/2 et z = h/2 donnent A = 0 et v (y) =
2η L
4
& 3 & 3
''
ˆ h/2
−h3
P1 − P2 3
P1 − P2
h
h
w
−
−
=
wh .
Dv = w
v (y) dy =
2
η
L
4
24
24
12η L
−h/2
P1 − P2 12η L
2. La résistance hydraulique de cette portion de conduite est Rhyd =
=
.
Dv
wh3
373
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
14
Le présent chapitre est à nouveau limité à des écoulements homogènes et incompressibles.
La masse volumique µ sera considérée comme une constante, caractéristique du fluide. La
problématique des écoulements externes est très différente de celle des écoulements dans les
conduites (en particulier les conduites de section uniforme) ; la notion de couche limite y
est très importante. Après un aperçu rapide des écoulements autours de cylindres, on étudie
la force de traînée subie par une sphère. Le cas de formes plus complexes est évoqué. Le
comportement des ailes d’avion est enfin abordé, avec une étude à la fois de la traînée et de
la portance.
Le lecteur pourra s’appuyer sur des illustrations fixes ou animées, réalisables à l’aide d’applications pour smartphones, comme WindTunnel dont une version est gratuite, ou bien de
logiciels pour micro-ordinateurs comme XFLR5, ou bien JavaFoil.
Certains développements du chapitre vont au-delà des exigences du programme, pour lequel
les compétences et connaissances exigibles sont exposées à la fin, dans la rubrique « synthèse ».
1
Notion de couche limite
Il est très fréquent d’avoir à considérer un écoulement homogène et incompressible quasiment uniforme, sauf dans le voisinage d’un obstacle solide qui le perturbe : l’écoulement
autour d’un pont, d’une voiture, d’un skieur, d’un cycliste, d’un avion, d’un sous-marin, de
la quille d’un bateau, etc. On se place en général dans le référentiel lié à l’obstacle, ce que
l’on supposera dans la suite de ce chapitre. La vitesse du fluide loin de l’obstacle, quasiment
uniforme, y est notée #–
v ∞.
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
On constate expérimentalement dans ce référentiel, que le champ des vitesses présente souvent des fluctuations spatiales assez rapides dans une zone d’extension assez limitée, à proximité de l’obstacle. Une telle zone porte le nom de couche limite. Elle a en général une de ses
trois dimensions bien plus petite que les deux autres, d’où le terme de « couche ». On peut en
avoir un aperçu sur la figure 14.6
Remarque
On parle souvent de « fort gradient du champ des vitesses » dans la couche limite,
bien que l’opérateur gradient ne puisse agir que sur un champ scalaire et que le champ
des vitesses soit vectoriel. Il s’agit d’un abus de langage ; on devrait parler du gradient
d’une des composantes du vecteur champ des vitesses.
Pour des écoulements à bas nombre de Reynolds, la couche limite épouse la forme de l’obstacle et marque la transition entre le fluide en contact avec l’obstacle, immobile, et le fluide
éloigné, où le champ des vitesses évolue lentement par rapport aux coordonnées d’espace,
pour retrouver la valeur #–
v ∞ loin de l’obstacle. On dit que la couche limite est « attachée » ou
« collée » à l’obstacle.
Pour des écoulements à haut nombre de Reynolds, la couche limite n’épouse la forme de
l’obstacle que sur une partie de celui-ci. Elle est qualifiée de « décollée ».
Pour des nombres de Reynolds très faibles, la couche limite devient épaisse et perd son intérêt.
L’intérêt de la notion de couche limite est qu’elle constitue la seule zone de l’espace où le
cisaillement est important, et par conséquent la seule zone où les forces de viscosité prennent
des valeurs importantes, puisque ces forces font intervenir les dérivées spatiales du champ des
vitesses, comme il est vu dans le chapitre 12. En conséquence, il est possible, en première
approximation, de considérer les écoulements comme parfaits en dehors de la couche limite,
comme dans le chapitre 15.
Épaisseur caractéristique de la couche limite Ce sont les phénomènes de viscosité qui
prédominent dans la couche limite. Comme expliqué à la page 352 du chapitre 13, l’équation
∂ 2 ( µ vz ) ∂ ( µ vz )
de la diffusion de la quantité de mouvement s’écrit ν
, où ν est la viscosité
=
∂ x2
∂ t√
cinématique. L’épaisseur δ de la couche limite est donc de l’ordre de ντ où τ est une durée
caractéristique de l’écoulement. Si la dimension caractéristique de l’obstacle est L et si la
vitesse de l’obstacle par rapport au fluide a pour ordre de grandeur U, la durée caractéristique
L
de l’écoulement est τ ∼ . On peut donc estimer que l’épaisseur de la couche limite est de
U
6
νL
L
L
l’ordre de δ ∼
=6
donc δ ∼ √ .
U
Re
UL
ν
Pour l’écoulement d’air autour d’une voiture, l’épaisseur de la couche limite est de l’ordre
de 1 mm ! Même si la couche limite a une très faible épaisseur, les phénomènes qui y interviennent sont prépondérants car ils déterminent l’action de l’air sur la voiture.
Une couche limite peut elle-même être laminaire ou turbulente. La taille caractéristique de
µU δ
la couche limite étant δ , on peut lui associer un nombre de Reynolds spécifique Recl =
.
η
376
É COULEMENTS AUTOUR D ’UN CYLINDRE EN FONCTION DU NOMBRE DE R EYNOLDS
√
µ UL
√ ∼ Re.
η Re
Ainsi, la transition laminaire-turbulent s’opère dans la couche limite pour un nombre de Reynolds global plus important que pour la transition laminaire-turbulent globale.
Compte tenu de l’ordre de grandeur de δ estimé ci-dessus, il vient : Recl ∼
2
Écoulements autour d’un cylindre en fonction du nombre
de Reynolds
Avant de passer au cas de la sphère, comme le veut le programme de la filière PSI, on commence par étudier des écoulements externes autour d’un obstacle de forme cylindrique.
Re ≪ 1
Re ≃ 1, 5
Re ≃ 10
Re ≃ 30
Re ≃ 1, 5.102
Re ≃ 2.103
Figure 14.1 – Profils d’écoulements autour d’un cylindre circulaire.
L’intérêt de réaliser des observations autour d’un cylindre est que l’écoulement admet une
invariance par translation parallèlement à son axe : il est bidimensionnel. Sa visualisation
peut se faire dans un plan, orthogonal à l’axe du cylindre.
377
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
On considère un cylindre circulaire, de rayon R, d’axe (Oz), de longueur très supérieure à R,
fixe dans le référentiel du laboratoire. Un fluide s’écoule de façon homogène et incompressible en direction du cylindre, avec un champ des vitesses uniforme #–
v ∞ = v∞ u#–x en amont du
cylindre. On note µ et η la masse volumique et la viscosité dynamique du fluide. Le cylindre
étant très allongé selon son axe (Oz) (par rapport à don diamètre), le champ des vitesses est
invariant par toute translation parallèle à (Oz). La longueur caractéristique de l’écoulement
2 µ v∞ R
est donc L = 2R, et le nombre de Reynolds : Re =
.
η
La figure 14.1 permet de noter que :
• Pour Re < 1, l’écoulement est laminaire, stationnaire, non décollé. La forme des lignes de
courant est symétrique entre l’amont et l’aval. Sur une image non animée, on ne peut pas
déceler dans quel sens le fluide s’écoule.
• Pour Re ≃ 1, 5, la symétrie a disparu : on voit clairement que le fluide s’écoule de la gauche
vers la droite. Il n’y a toujours pas de décollement.
• Pour Re ≃ 10, l’écoulement est décollé en aval du cylindre, et on observe l’existence de
deux tourbillons contra-rotatifs, les tourbillons ayant des axes parallèles à celui du cylindre.
L’écoulement est tourbillonnaire, mais pas turbulent.
• Pour Re ≃ 30, les deux tourbillons sont plus gros. Jusque là, l’écoulement reste stationnaire.
• Pour Re ≃ 150, l’écoulement est devenu non stationnaire, et les tourbillons se détachent,
alternativement d’un côté, puis de l’autre, et s’éloignent du cylindre : ce sont les tourbillons
alternés ou « allées » de Bénard-Von Karman.
• Pour Re ≃ 2.103, la turbulence fait son apparition.
On signale au passage que l’écoulement autour d’un cylindre peut être simulé, au-delà de
la couche limite. Le programme ci-dessous permet de visualiser, d’une part, des lignes de
courant présentant une antisymétrie amont-aval, d’autre part le champ de pression qui y est
associé, la pression étant d’autant plus faible que le gris est plus foncé.
Programme (python)
from pylab import *
x0=y0=linspace(-3,3.,1000)
x,y=meshgrid(x0,y0)
r2,theta=x**2+y**2,arctan2(y,x)
s,c=sin(theta),cos(theta)
vr,vt=c-c/r2,-s-s/r2
vx,vy=vr*c-vt*s,vr*s+vt*c
vx[r2<1]=vy[r2<1]=0
v2=(vx**2+vy**2)
p=v2.max()-v2;p[(r2-1)*(r2-.95)<0]=0
a=axes();axis(’equal’)
streamplot(x,y,vx,vy,density=1.8,minlength=1,color=None,
cmap=cm.Greys)
a.add_patch(Circle((0,0),1,fc=’gray’))
figure();im=imshow(p)
set_cmap(cm.Greys_r)
show()
378
FORCE DE TRAÎNÉE SUBIE PAR UNE SPHÈRE
3
Force de traînée subie par une sphère
3.1
Définition
Soit un fluide de masse volumique µ (uniforme et indépendante du temps dans les conditions
de l’écoulement), et de viscosité dynamique η . Une sphère de rayon
R est>en mouvement
=
de translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel Rfl = O f , x, y, z , dans lequel le
fluide est au repos.
z
#–
v s/fl
v ∞ = − #–
Rfl
y
Ofl
x
#–
v s/fl
R
z
R
y
O
#–
F tr
x
Figure 14.2 – Référentiels lié au fluide et lié à la sphère.
On note #–
v s/fl = −vs/fl u#–x la vitesse de la sphère par rapport à Rfl . Pour simplifier l’étude, on
se place dans le référentiel R = {O, x, y, z}, lié à la sphère. Dans R, le fluide s’écoule, loin
de la sphère, avec un champ des vitesses uniforme #–
v (M) = vs/fl u#–x , que l’on note #–
v ∞ . Dans
le voisinage de la sphère, le champ des vitesses est bien entendu non uniforme ; sa forme
sera illustrée plus loin. Les visualisations d’écoulements autour de sphères sont bien plus
délicates à réaliser que celles autour de cylindres car, d’une part il faut parvenir à maintenir
les sphères sans trop perturber les écoulements ; d’autre part, il faut imposer un éclairage
uniquement dans un plan car le champ des vitesses n’est pas invariant par translation selon un
axe : l’écoulement est tridimensionnel. Il admet toutefois une symétrie de révolution autour
de l’axe l’écoulement tant que celui-ci est laminaire.
Les actions de contact exercées par le fluide sur la sphère sont de deux natures :
• des forces de pression, normales à la surface de la sphère ;
• des forces de cisaillement, dues à la viscosité, tangentes à la surface.
On a déjà étudié la résultante des forces de pression dans le chapitre 10 consacré à la statique
des fluides : lorsque la sphère est immobile dans un fluide au repos, la résultante des forces
de pression est la poussée d’Archimède, qui résulte de l’hétérogénéité du champ de pression, due à la pesanteur. En présence d’écoulement, la répartition de la pression autour de la
sphère change : elle est due non seulement à la pesanteur, mais aussi à la façon dont le fluide
s’écoule autour d’elle. Ce que l’on appelle la « force de traînée » s’exerçant sur un objet est la
projection selon la direction de l’écoulement (donc parallèlement à #–
v ∞ ) de la résultante des
actions de contact dues uniquement au mouvement de l’objet par rapport au fluide, sans tenir
compte des effets de la pesanteur sur le champ de pression.
Expérimentalement, il n’est pas difficile de séparer l’action de la pesanteur de celle de l’écoulement : il suffit de créer un écoulement horizontal, donc orthogonal au champ de pesanteur.
#–
On appelle force de traînée F tr subie par un solide en mouvement rectiligne uniforme
par rapport à un fluide, la résultante des forces de pression et de cisaillement qu’exerce
sur lui le fluide parallèlement à la direction de l’écoulement, en ne considérant que les
forces de pression dues à l’écoulement.
379
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
3.2
Évolution de la force de traînée avec le nombre de Reynolds
a) Paramétrage adimensionné
Il n’existe pas de loi analytique générale pour exprimer la force de traînée subie par une
sphère en mouvement dans un fluide visqueux. Il est donc indispensable de faire appel à
l’expérience et aux mesures associées. Afin de regrouper des résultats expérimentaux obtenus
pour des sphères de tailles différentes, des fluides variés, et des vitesses d’écoulements de
différentes valeurs, il est nécessaire de définir des paramètres adimensionnés.
2 µ v∞ R
Le premier à considérer est naturellement le nombre de Reynolds, Re =
, qui caracη
térise les différents types d’écoulements, en prenant en compte les deux modes de transfert
de la quantité de mouvement.
Il faut en définir un second, lié à la force de traînée, en divisant celle-ci par une grandeur
physique qui soit à la fois homogène à une force, et représentative de l’écoulement ressenti
par la sphère. Ce second paramètre adimensionné est nommé coefficient de traînée et noté
Cx . Le jet de fluide, qui a la même section S = π R2 que la sphère, a un débit volumique
1
1
1
Dv = v∞ S et une puissance cinétique µ v2∞ Dv c’est-à-dire µ v2∞ v∞ S. La quantité µ v2∞ S est
2
2
2
donc homogène à une force et caractérise bien le jet de fluide qui arrive sur la sphère.
I #– I
I F tr I
.
Le coefficient de traînée Cx d’une sphère est défini par Cx =
1 2
µv S
2 ∞
S est la section droite de la sphère ou maître-couple.
b) Graphe Cx en fonction de Re
Le graphe de la figure 14.3, page suivante, est en échelle bilogarithmique. Pour plus de lisibilité, ce sont les valeurs de Cx et de Re qui sont directement indiquées. Ce graphe rassemble
de très nombreux résultats expérimentaux obtenus avec des sphères lisses de tailles différentes, des fluides variés et des vitesses d’écoulement plus ou moins importantes, comme le
symbolisent les petits cercles. Le fait de représenter une grandeur adimensionnée en fonction d’une autre permet précisément de rassembler des mesures obtenues dans des conditions
très variées, et d’obtenir une courbe globale : il y a similitude entre des systèmes d’échelles
différentes.
c) Étude des différents domaines caractéristiques du graphe
Domaine Re < 1 Pour des faibles nombres de Reynolds, le graphe de la figure 14.3 est
linéaire, donc on a une loi du type log (Cx ) = a log (Re) + b. Un examen approfondi du graphe
permet de voir que Cx passe environ de 230 à 2, 3 pour Re passant de 0, 1 à 10. Le coefficient
directeur de la droite est donc a = −1.
En remplaçant a par sa valeur, on obtient log (2, 3) = − log (10) + b, d’où b ≃ 1, 4.
Dans le domaine des bas nombres de Reynolds, le lien entre Cx et Re peut ainsi s’écrire
25
101,4
=
.
Cx ≃
Re
Re
380
FORCE DE TRAÎNÉE SUBIE PAR UNE SPHÈRE
400
200
100
40
20
Cx
10
4,0
Rec
2,0
1,0
0,45
0,4
0,14
0,2
0,1
0,1 0,2 0,4
1,0 2,0 4,0
10 20
40
102 2.102
103 2.103
104 2.104
105 2.105
106
Re
Figure 14.3 – Cx en fonction du nombre de Reynolds pour une sphère lisse.
I #– I
25η 1 2 2
En remplaçant dans la définition de Cx , cela donne I F tr I ≃
µv πR .
2 µ v∞ R 2 ∞
Attendu que 25/4 ≃ 6, et que la force de traînée est de même direction et même sens que #–
v ∞,
donc de sens opposé à la vitesse de la sphère #–
v s par rapport au fluide, on retrouve à peu de
choses près la loi de Stokes 1 pour la force de trainée d’une sphère à bas nombre de Reynolds.
Pour les nombres de Reynolds inférieurs à un, la force de traînée exercée par un fluide
sur une sphère est de norme proportionnelle à celle de la vitesse de la sphère par rapport
au fluide :
#–
F tr = −6πη R #–
v s/fl .
Dans ce domaine Re < 1 du graphe de la figure 14.3, la diffusion de quantité de mouvement
est nettement prédominante ; la forme des lignes de courant autour de la sphère présente une
symétrie entre l’amont et l’aval (étant donné que les lignes de courant sont orientées, il s’agit
en réalité d’une antisymétrie, si on prend en compte cette orientation). L’allure de l’écoulement, dans un plan contenant le centre de la sphère, est donnée sur la figure 14.4, présentée
page suivante. La symétrie de forme des lignes de courant se traduit par une symétrie de
pression entre l’amont et l’aval. Par conséquent, la force de traînée n’est due qu’aux forces
de cisaillement visqueuses.
Complément : à faible nombre de Reynolds, les forces de pression se compensent ; la
force de traînée est causée uniquement par les forces de viscosité. C’est la traînée de
frottement.
Domaine 1 < Re < 2.103 Dans ce domaine, la courbe de la figure 14.3 ne présente pas de
comportement caractéristique particulier. On pourrait approcher la courbe par une loi mathé1. Cette loi a été établie de façon analytique par Georges Gabriel Stokes, 1819 − 1903, mathématicien et physicien britannique ; son nom est aussi associé à l’équation de Navier-Stokes, équation locale de la dynamique pour les
fluides visqueux
381
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
#–
v s/fl
v ∞ = − #–
Figure 14.4 – Écoulement dans un plan contenant le centre de la sphère pour Re < 1.
matique mais celle-ci ne serait pas linéaire.
Dans un plan parallèle à l’axe de l’écoulement et passant par le centre de la sphère, les lignes
de courant ont des formes un peu similaires à celles vues pour le cylindre. Toutefois, le
décollement de la couche limite se produit pour un nombre de Reynolds un peu plus élevé,
et les tourbillons qui apparaissent dans le sillage sont sous formes d’anneaux et non plus de
cylindres, du fait de la géométrie 3D de l’écoulement.
La figure 14.5, qui montre l’écoulement dans le plan médian d’une sphère pour Re proche de
100, fait apparaître clairement les deux causes de la force de traînée : les forces de pression,
responsables de la traînée de forme (ou traînée de pression), et les forces de viscosité,
responsables de la traînée de frottement. Dans le « sillage » de la sphère, ou l’écoulement
est décollé, il n’y a que très peu de mouvement de fluide. La pression est moins importante
en aval qu’en amont, là où le fluide vient frapper la sphère. Plus le sillage est large et plus la
traînée de forme est importante.
traînée de frottement
traînée de forme
Figure 14.5 – Les deux origines de la force de traînée : frottements et forme.
Domaine 2.103 < Re < 2.105 Dans ce domaine, on retrouve un comportement presque
linéaire : la courbe de la figure 14.3 est pratiquement une droite horizontale. Cx est quasiment
indépendant de Re. On retrouve ce type de comportement pour d’autres formes que la sphère.
On parle alors « du Cx » de l’objet, dont la valeur dépend de la forme. Par exemple, depuis
les années 1980, les voitures berlines ont un Cx de l’ordre de 0, 30, alors que les SUV actuels
ont un Cx plutôt voisin de 0, 38.
Pour les nombres de Reynolds compris entre 2.103 et 2.105, la force de traînée exercée
par un fluide sur une sphère est de norme proportionnelle au carré de la vitesse de la
382
FORCE DE TRAÎNÉE SUBIE PAR UNE SPHÈRE
sphère par rapport au fluide :
#–
v s/fl
1
#–
.
F tr = − µ v2s/fl π R2Cx #–
2
∥ v s/fl ∥
Pour une sphère, Cx ≃ 0, 45.
Complément : chute brutale du Cx pour Re = Rec Pour une valeur critique Rec de Re, le
coefficient de traînée Cx chute brutalement. L’explication apparait très schématiquement sur
la figure 14.6 : pour Re < Rec , la couche limite est laminaire à l’endroit où elle se décolle de
la sphère. Le sillage est très large derrière la sphère. En conséquence, la traînée de forme est
importante. Pour Re > Rec , la couche limite est turbulente au point de décollement, et il se
trouve que la turbulence permet à la couche limite de décoller plus en aval, donc le sillage est
plus réduit, et la traînée de forme aussi. Bien sûr, la turbulence de la couche limite augmente
la traînée de frottement, mais l’effet sur la traînée de forme l’emporte.
Figure 14.6 – Chute du Cx lorsque la couche limite devient turbulente.
Pour les sphères lisses, Rec est de l’ordre de 3.105. Il est possible de décaler cette valeur en
modifiant la rugosité de la sphère, comme on va le voir dans le paragraphe suivant.
Complément : domaine au-delà de Rec Pour un nombre de Reynolds supérieur à Rec , le
coefficient de traînée redevient à peu près constant et de l’ordre de 0, 14 pour une sphère lisse.
d) Complément : à propos des sports de balles et de ballons
La chute brutale du coefficient de traînée pour des nombres de Reynolds élevés est exploitée
dans de nombreux sports de balles.
L’exemple le plus souvent cité est celui du golf : pourquoi donc avoir donné aux balles de ce
sport une forme alvéolée ? s’agit-il d’un souci esthétique ?
Il n’en est rien : cette forme favorise la turbulence de la couche limite, ce qui permet d’abaisser la valeur du nombre de Reynolds critique Rec . Les premières balles de golf étaient lisses
puis les joueurs se sont rendu compte que les balles cabossées avaient une plus grande portée
que les neuves, d’où la forme actuelle.
Pourquoi des coutures apparentes sur une balle de base-ball, un ballon de football, pourquoi
des sortes du feutre pour revêtir une balle de tennis ?
Pourquoi les balles de tennis de table sont-elles lisses alors ?
De courts calculs d’ordres de grandeur permettent de répondre à toutes ces questions :
383
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
Cx
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
sphère lisse
balle
de golf
104 2.104
105 2.105
106
Re
Figure 14.7 – Chute prématurée du Cx pour une balle de golf.
Sport
Golf
Tennis
Baseball
Football
Tennis
de table
Diamètre D (cm)
"
!
record de vitesse km·h−1
!
"
vitesse vs ou v∞ km·h−1
4,3
6,5
7,4
22
4
328
251
162
222
112
200
150
100
60
70
1,6.105
1,8.105
1,4.105
2,4.105
5,2.104
Re
On voit dans ce tableau que pour des phases de jeu ordinaires (de l’ordre de 60% de la vitesse
record, sauf pour le football où on a pris plutôt 30%), le nombre de Reynolds est comparable
à 2.105 . Le caractère non lisse permet d’augmenter sensiblement la portée, en divisant le Cx
par près de 2.
Lorsque la balle ralentit après avoir été frappée, le nombre de Reynolds diminue, et quand il
atteint la valeur critique Rec , le Cx augmente et la balle subit un ralentissement marqué, ce
qui peut perturber les joueurs concurrents.
La balle de tennis de table n’a pas d’intérêt à être non lisse, compte tenu des faibles dimensions du terrain de jeu, et du fait des gammes de vitesse accessibles à un joueur moyen.
4
Force de traînée subie par des objets de formes diverses
Tout objet, quelle que soit sa forme, peut être caractérisé par une courbe donnant son coefficient de traînée Cx en fonction du nombre de Reynolds.
Sauf pour les ailes d’avion, qui seront traitées dans le paragraphe suivant, la longueur caractéristique L à prendre en compte pour l’estimation du nombre de Reynolds Re est la dimension
transversale de l’objet que le fluide doit contourner, puisqu’il s’agit de la distance caractéristique de l’évolution spatiale du champ des vitesses. La section S est le maître-couple,
c’est-à-dire la section maximale de l’objet dans un plan perpendiculaire à #–
v ∞ . Pour fixer les
idées, ce serait l’ombre de l’objet sur un mur orthogonal à #–
v ∞ s’il était éclairé par un faisceau
384
FORCE DE TRAÎNÉE SUBIE PAR DES OBJETS DE FORMES DIVERSES
de lumière parallèle dans la direction #–
v ∞.
La figure 14.8 donne les courbes pour trois obstacles supposés infiniment allongés dans la
direction orthogonale au plan du dessin : un cylindre circulaire, un cylindre elliptique, et un
cylindre très aplati, en forme de plaque plane.
Cx (échelle logarithmique)
#–
v
L
∞
#–
v∞
#–
v∞
L
2L
#–
v obj/fl
v ∞ = − #–
1,0
10
102
L
103
104
105
Re
Figure 14.8 – Allure du coefficient de traînée pour des cylindres de différentes
sections.
On devine sur cette figure que pour des faibles nombres de Reynolds, les courbes tendent vers
des droites obliques. Pour les objets de forme non aplatie, les droites ont une même pente,
égale à −1, ce qui correspond à une force de traînée proportionnelle à la norme de la vitesse,
#–
comme pour la sphère : F tr = −α #–
v obj/fl = +α #–
v ∞ , α étant une constante positive, dont la
valeur dépend de la forme et de la taille de l’objet.
Pour des nombres de Reynolds plus importants, on retrouve aussi (mais de façon plus ou
moins marquée selon la forme), un plateau horizontal, traduisant la proportionnalité de la
force de traînée avec le carré de la norme de la vitesse. Cela correspond au domaine dans
lequel l’objet peut être caractérisé par « son Cx » :
#–
#–
v obj/fl
v
1
1
#–
I = + µ v2∞ SCx #–∞ .
F tr = − µ v2obj/fl SCx I
#–
I
I
2
2
∥ v ∞∥
v obj/fl
Pour les cylindres circulaires, il existe, comme pour les sphères, un plateau Cx ≃ 1, 2 aux
nombres de Reynolds intermédiaires (300 < Re < 105 ), puis un nombre de Reynolds critique
Rec voisin de 3.105 , pour lequel Cx chute brutalement. Il existe également une nouvelle zone
en forme de plateau Cx ≃ 0, 6 pour Re > 3.106 .
Quelques ordres de grandeur de la vie quotidienne Pour fixer les idées, on évalue les
ordres de grandeur des nombres de Reynolds pour des écoulements d’air ou d’eau, dans des
conditions ambiantes de température et de pression, autour d’obstacles de la vie quotidienne.
385
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
Obstacle
Voiture
Cycliste
Coque de bateau
Dauphin
Taille caractéristique L (m)
"
!
vitesse km·h−1
2
1,5
2
0,5
50
15
40
30
1,9.106
1,1.106
8.106
4.106
Re
Tous les écoulements de la vie quotidienne sont turbulents.
La figure 14.9 donne les valeurs du Cx pour des obstacles bi ou tridimensionnels de formes
simples. On peut en déduire par exemple que le Cx d’un parachute circulaire est de l’ordre de
1, 4.
Obstacle 2D
Cx
Obstacle 3D
Cx
cylindre
circulaire
1,22
sphère
0,45
demi-cylindre
circulaire plein
1,16
demi-sphère
pleine
0,42
demi-cylindre
circulaire creux
1,20
demi-sphère
creuse
0,38
demi-cylindre
circulaire creux
2,3
demi-sphère
creuse
1,42
ruban
plan
1,86
disque
circulaire
1,14
cylindre
carré
2,05
cube
1,05
Figure 14.9 – Coefficient de traînée pour des cylindres de différentes sections.
5
5.1
Traînée et portance d’une aile d’avion à haut nombre de
Reynolds
Complément : caractéristiques d’une aile d’avion
Il existe une très grande variété de formes d’ailes d’avion : cylindriques, en flèche, en delta,
etc. Pour simplifier, on se limite ici aux ailes cylindriques, c’est-à-dire qui admettent une
invariance de forme par translation selon une direction : celle des génératrices du cylindre.
symétrique
biconvexe dissymétrique
concave-convexe
Figure 14.10 – Différents types de profils d’ailes d’avion.
Les profils des ailes cylindriques les plus courants sont de type symétrique, biconvexe dissymétrique, ou concave-convexe, comme on peut le voir sur la figure 14.10.
386
T RAÎNÉE ET PORTANCE D ’UNE AILE D ’AVION À HAUT NOMBRE DE R EYNOLDS
La surface supérieure de l’aile se nomme l’extrados, et la surface inférieure l’intrados. La
ligne anguleuse de raccordement entre l’intrados et l’extrados se nomme le bord de fuite.
C’est à cet endroit que se situe le point B du profil de l’aile sur la figure 14.11. Le bord
d’attaque (point A), qui n’est pas anguleux, est la ligne de l’aile la plus éloignée du bord de
fuite.
Sur une vue de profil de l’aile, la corde est le segment AB reliant le bord d’attaque au bord
de fuite. Sa longueur est notée L. Le squelette, ou ligne moyenne, est la courbe reliant le
bord d’attaque au bord de fuite, en restant équidistante de l’intrados et de l’extrados, dans la
direction orthogonale à a corde. L’épaisseur maximale e est la distance maximale entre l’intrados et l’extrados, également dans la direction normale à la corde. On définit aussi souvent
l’épaisseur relative e/L. En pratique, elle est comprise entre 5% et 20%, et placée environ
au tiers de la corde. La flèche maximale f est la plus grande distance entre la corde et le
squelette. Le rapport f /L est la courbure relative ou cambrure.
bord d’attaque
extrados
squelette
#–
v∞
e
A
bord de fuite
f
i
z
R y
O
intrados
corde
B
x
Lenv
envergure
L
corde
Figure 14.11 – Vocabulaire spécifique pour les ailes d’avion.
L’allongement de l’aile est le rapport λ de l’envergure Lenv sur la corde L : λ = Lenv /L. Pour
une aile cylindrique, λ → ∞.
Sauf dans le paragraphe 5.5 où on étudiera l’influence des extrémités de l’aile, on suppose
que L ≪ Lenv , donc λ ≫ 1.
Pour l’étude du comportement aérodynamique des ailes d’avions, on se place dans le référentiel R lié à l’aile. Dans ce référentiel, l’écoulement de l’air est considéré uniforme loin de
l’aile, avec un champ des vitesse #–
v ∞ = v∞ u#–x .
387
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
L’angle d’incidence i est l’angle entre la direction de #–
v ∞ et celle de la corde. C’est une
grandeur algébrique dont l’orientation est précisée sur la figure 14.11.
La figure 14.11 correspond au profil NACA4412. Le NACA est un organisme américain qui
a fusionné par la suite avec d’autres pour constituer la NASA. Le NACA a élaboré une base
de données concernant les profils d’ailes, avec différentes nomenclatures, comprenant 4 ou 5
chiffres. Dans la référence à 4 chiffres 4412, le premier 4 signifie que la cambrure est de 4%,
le second 4 qu’elle est placée à 40% de la corde, et que l’épaisseur relative est de 12%.
5.2
Définition de la traînée et de la portance d’une aile d’avion
Pour le calcul du nombre de Reynolds associé à une aile d’avion, on prend comme longueur
caractéristique la longueur L de la corde, compte tenu de la faible épaisseur par rapport à la
corde.
µ v∞ L
Re =
avec L = corde pour une aile d’avion.
η
La surface de référence d’une aile d’avion n’est pas le maître-couple, puisque celui-ci dépend
de l’angle d’incidence, ce qui rendrait l’étude aérodynamique de l’aile peu pratique.
Par convention, on choisit comme surface de référence de l’aile le produit de la corde par
l’envergure :
S = L × Lenv
surface de référence pour une aile d’avion.
Une aile dont la corde est inclinée de l’angle d’incidence i par rapport à #–
v ∞ subit :
#–
• la force de traînée Ftr exercée par l’air sur l’aile est la résultante des forces de contact
qu’exerce l’air sur elle, parallèlement à la direction de l’écoulement.
#–
• la force de portance Fpor exercée par l’air sur l’aile est la résultante des forces de
contact qu’exerce l’air sur elle perpendiculairement à la direction de l’écoulement,
comme le montre la figure 14.12.
#–
#–
Fpor F
tot
#–
n
#–
v∞
i
α #–
F tr
#–
t
extrados
intrados
Figure 14.12 – Forces de traînée et de portance sur une aile d’avion.
Remarque
Les forces de contact sont les forces de pression et de viscosité (cisaillement). Il n’est
pas nécessaire ici de préciser que l’on ne considère que les forces de pression liées à
l’écoulement. En effet, dans l’air, la poussée d’Archimède est négligeable pour tous
388
T RAÎNÉE ET PORTANCE D ’UNE AILE D ’AVION À HAUT NOMBRE DE R EYNOLDS
les engins volants autres que ceux qualifiés de « plus légers que l’air » comme les
montgolfières et les dirigeables.
#–
Soit t le vecteur unitaire de même sens et même direction que #–
v ∞ , et #–
n le vecteur unitaire
#–
normal à t et aux génératrices de l’aile, et orienté de l’intrados vers l’extrados (figure 14.12).
Les coefficients de traînée Cx et de portance Cz d’une aile sont définis par :
I #– I
#–
I F tr I
F por · #–
n
et Cz =
.
Cx =
1 2
1 2
µ v∞ S
µ v∞ S
2
2
Cx est défini positif car la force de traînée est toujours dans le sens de l’écoulement, mais Cz
peut être positif ou négatif selon l’angle d’incidence.
!
La portance n’est pas toujours une force verticale : sa direction est, par définition, orthogonale
à la vitesse #–
v ∞ , mais celle-ci n’est horizontale que lors de certaines phases de vol. Elle ne
l’est pas par exemple au décollage, à l’atterrissage, lors d’un « cabré » ou d’un « piqué ».
Pour la plupart des phases de vol, l’angle d’incidence est assez faible, et la traînée d’une
aile cylindrique est essentiellement une traînée de frottement. Pour les fortes incidences en
revanche, l’écoulement est très décollé et la traînée de forme, c’est-à-dire de pression, (notion
définie sur la figure 14.5 à la page 382) devient également importante. On verra au paragraphe
5.5 que si on tient compte de l’envergure finie de l’aile, une troisième cause de traînée est à
prendre en compte : la traînée induite.
dépression
surpression
Figure 14.13 – Forces de pression sur une aile de profil donné.
La portance en revanche, est quasiment uniquement causée par les forces de pression. Grâce
à sa forme bombée, l’extrados est en dépression par rapport à la pression P∞ régnant loin
de l’aile. L’intrados est la plupart du temps en surpression. La figure 14.13 illustre ceci avec
la convention de représentation adoptée usuellement par les aérodynamiciens. Les flèches y
représentent non pas les forces de pression P mais les forces de surpression P − P0 , P0 étant
la pression de l’air en tout point éloigné de l’aile. On note #–
n la normale à la surface de l’aile
en un point N, orientée dans le sens fuyant l’aile. Pour une portion élémentaire dS de surface
de l’aile, la force élémentaire de pression − (P − P0) dS #–
n est dirigée vers l’aile en cas de
surpression positive (P − P0 ) > 0, et dans le sens fuyant l’aile pour une dépression, c’est-àdire une surpression négative. Cette façon conventionnelle de représenter les choses ne doit
389
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
pas faire oublier que les forces de pression P (et non de surpression) exercées par l’air sur
l’aile sont toutes dirigées vers l’aile. Dans le même ordre d’idée, on lit parfois dans certains
ouvrages qu’une aile d’avion est « aspirée » par le dessus. Bien évidemment, la pression qui
s’exerce en un point de l’extrados n’est pas négative ; seule la surpression l’est.
Comme on peut le voir sur le graphe du milieu de la figure 14.14, le coefficient de traînée Cx
diminue quand Re augmente, et ceci à toute incidence. En revanche (graphe de gauche), le
coefficient de portance Cz augmente, et même très nettement pour Re voisin de 105 . Au-delà
de cette valeur, pour des incidence modérée, Cz n’augmente que lentement avec Re. On notera
que la valeur de Cz est souvent bien plus importante que celle de Cx .
Cz
Cz
Cx
Re=3.106
1,4
1,4
Re=2.104
0,14
1,2
1,0
0,8
Re=4,5.104
0,12
Re=2,5.105
Re=2,5.105
0,6
0,4
Re=2.104
0,2
0,8
0,08
0,6
0,06
0,4
0,04
0,2
Re=3.106
0,02
0
0
-0,2
-5
0
5
10
i (°)
15
20
Re=2,5.105
1,0
0,10
Re=4,5.104
Re=3.106
1,2
Re=4,5.104
Re=2.104
0
-0,2
-5
0
5
10
15
20
0
20
40
i (°)
60
80
100 120
1000 Cx
140
Figure 14.14 – Portance, traînée et polaire d’un profil NACA 4412.
5.3
Complément : polaire d’une aile
Plutôt que de tracer séparément Cx et Cz en fonction de l’angle d’incidence, on préfère parfois construire un graphe donnant Cz en fonction de Cx , paramétré par l’angle d’incidence i,
comme cela apparaît sur le graphe le plus à droite de la figure 14.14. Cette représentation
s’appelle la polaire ou polaire d’Eiffel de l’aile.
Elle permet de visualiser simplement ce que l’on nomme la finesse du profil :
La finesse aérodynamique est le rapport de la portance sur la traînée : finesse =
Cz
.
Cx
#–
En effet, si l’échelle est la même sur les deux axes, l’angle α entre la force de traînée F tr et
#–
la forces totale F tot a pour tangente la finesse : finesse = tan α .
Sur le dessin de gauche de la figure 14.15, page suivante, le point M1 , quelconque, correspond
à une incidence pour laquelle la finesse est tan α1 . Et la finesse maximale correspond à l’angle
αmax associé au point Mmax pour lequel OMmax est tangent à la polaire.
Le sens physique que l’on peut donner à la finesse est le suivant : soit un avion de type
390
T RAÎNÉE ET PORTANCE D ’UNE AILE D ’AVION À HAUT NOMBRE DE R EYNOLDS
#–
F tot
#–
F por
Cz
#–
α F
tr
Rplaneur
i
Mmax
M1
#–
v
#–
v∞
αmax
O α1
A
Cx
z
O
π
−α
2
B
RTerre
G
m #–
g
x
Figure 14.15 – Polaire d’Eiffel et finesse d’un profil.
planeur, de masse m, pour lequel on assimile les forces aérodynamiques qu’il subit à celles
exercées sur sa voilure seule. Supposons qu’il soit en vol stabilisé, à vitesse #–
v constante par
rapport au sol, un jour sans vent. Le planeur est soumis à :
• son poids m #–
g;
#–
• la force de portance F por ;
#–
• la force de traînée F tr .
En appliquant le théorème de la résultante dynamique au planeur dans le référentiel terrestre
#–
#–
#–
supposé galiléen, on a m #–
g + F por + F tr = 0 , puisque le planeur évolue à vitesse constante.
#–
La résultante des forces aérodynamiques F tot est donc opposée au poids, comme le montre la
figure 14.15.
π
La force de traînée est donc inclinée d’un angle − α par rapport à l’horizontale (Ox). Or,
2
cette force est par définition parallèle à la vitesse #–
v ∞ de l’air par rapport au planeur (loin de
celui-ci), qui est elle-même l’opposée de la vitesse #–
v du planeur par rapport au référentiel
π
terrestre RTerre en l’absence de vent. Par conséquent, la vitesse du planeur fait un angle − α
2
avec l’horizontale. Le centre d’inertie G du planeur se déplace le long de la ligne pointillée
GB. Lorsque sa coordonnée horizontale aura varié de GA, son altitude aura chuté de AB, avec
#π
$ AB
GA
tan
−α =
, et finesse = tan (α ) =
.
2
GA
AB
La finesse aérodynamique correspond au rapport de la distance horizontale parcourue à
la perte d’altitude, en vol plané à vitesse constante, sans vent.
Remarques
π
• ne pas confondre l’angle d’incidence i entre #–
v ∞ et la corde avec l’angle − α que
2
fait #–
v ∞ avec l’horizontal ;
• #–
v est la vitesse du planeur dans le référentiel terrestre et #–
v ∞ la vitesse de l’air dans
le référentiel lié au planeur ;
• un planeur (ou un parapente) peut avoir un vol à vitesse constante horizontale s’il y a
du vent présentant des lignes de courant inclinées vers le haut, comme cela se produit
391
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
en montagne lorsque le vent remonte la pente ; on appelle cela le vol de pente ;
• en l’absence de vent et de courant ascendant, un moteur est nécessaire pour maintenir
un vol horizontal à vitesse constante ; la force de portance peut alors être verticale,
opposée au poids, et la force de traînée, horizontale, compensée par la traction du
moteur.
5.4
Complément : notion de décrochage
Le graphe de Cz en fonction de l’incidence i de la figure 14.14 montre que pour un nombre
de Reynolds donné (donc en pratique pour v∞ fixée), à partir d’une certaine incidence, le
coefficient de portance décroît. Ce phénomène, plus ou moins marqué selon les profils et le
nombre de Reynolds, se produit en général pour une incidence comprise entre 10° et 15°.
C’est ce que l’on appelle le phénomène de décrochage. Il correspond au décollement de la
couche limite vers le début de l’extrados et à la formation d’un sillage important, comme le
montre le schéma de droite de la figure 14.16. Dans le sillage, la dépression n’existe quasiment plus, ce qui explique la diminution de la portance. En effet, dans cette zone que l’on
peut qualifier de « morte », le fluide est presque en statique dans le référentiel lié à l’aile, et la
pression qui y règne est proche de la pression atmosphérique. Quand l’écoulement n’est pas
décollé, le champ des vitesses est de norme importante au-dessus de l’extrados (du fait de la
forme de l’aile), ce qui crée une dépression, comme il est expliqué dans le paragraphe 3.4 b)
du chapitre 15 avec l’effet Venturi. Le décrochage est plus brutal pour une aile au profil peu
épais que pour une aile au profil épais.
écoulement très peu décollé
décrochage
Figure 14.16 – Décrochage pour une forte incidence.
5.5
Complément : notion de traînée induite
Dans tout ce qui précède, on a considéré une aile cylindrique, c’est-à-dire d’allongement
λ ≫ 1. Quelle est la conséquence d’une envergure limitée sur la forme de l’écoulement ?
Pour générer une force de portance, il faut impérativement une pression moins importante
sur l’extrados que sur l’intrados. En bout d’aile, si aucune précaution particulière n’est prise,
il nait un écoulement depuis les zones de forte pression vers celles de basse pression, donc
depuis l’intrados vers l’extrados. Ce mouvement d’air, superposé à l’écoulement dû à l’avancement de l’aile, conduit à la naissance de tourbillons marginaux, comme le montre le
schéma de gauche de la figure 14.17
Ces tourbillons sont consommateurs d’énergie et ils génèrent une traînée supplémentaire,
appelée traînée induite. Ils sont par ailleurs sources de perturbations pour les avions qui se
trouvent derrière celui qui les crée ; la cadence des décollages et atterrissages sur un aéroport
est en partie limitée par ce phénomène. Pour les atténuer, les avions modernes sont équipés de
392
T RAÎNÉE ET PORTANCE D ’UNE AILE D ’AVION À HAUT NOMBRE DE R EYNOLDS
dépression
surpression
winglets
Figure 14.17 – Tourbillons marginaux en bouts d’ailes et winglets pour les atténuer.
bouts d’ailes verticaux, les « winglets », qui permettent en quelque sorte aux ailes d’envergure
finie de se rapprocher des ailes d’allongement infini.
5.6
Complément : hélices tractrices et éoliennes
La problématique des hélices, qu’elles soient tractrices ou récupératrices d’énergie, est assez
proche de celle des ailes d’avion. La différence principale est que le mouvement de rotation de
l’hélice engendre un écoulement d’air supplémentaire. Les profils des hélices sont similaires
à ceux des ailes d’avions, mais elles sont le plus souvent vrillées, pour la raison qui va être
exposée ci-dessous.
#–
v air/RTerre
z
u#–r
− #–
v tr/RTerre
#–
v tr2/RTerre
Ω
#–
v tr1/RTerre
β2
#–
v air/RTerre
β1
R1
O
i
#–
v∞
R2
γ
β
vue en coupe
selon la direction de u#–r
Figure 14.18 – Composition des vitesses pour des tranches d’hélice.
Soit une hélice tournant à la vitesse angulaire Ω par rapport à son axe (Oz), lié au référentiel
terrestre RTerre . Soient deux petites tranches de cette hélice, éloignées de l’axe respectivement
de R1 et R2 , comme le montre la figure 14.18. L’air s’écoule parallèlement à (Oz) en direction
de l’hélice avec une vitesse #–
v air/RTerre . Du fait de la rotation de l’hélice autour de son axe, les
tranches sont animées de vitesses différentes #–
v tr1/RTerre et #–
v tr2/RTerre par rapport à RTerre .
Ces vitesses ont pour norme vtr1/RTerre = ΩR1 et vtr2/RTerre = ΩR2 .
On se place à présent dans le référentiel lié à la tranche n°1.
Par composition des vitesses, l’air parvient sur la tranche de pale dans ce référentiel avec la
vitesse #–
v ∞ = #–
v air/RTerre + #–
v Terre/tr1 = #–
v air/RTerre − #–
v tr1/RTerre .
393
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
Plus généralement, pour une tranche quelconque, #–
v ∞ = #–
v air/RTerre − #–
v tr/RTerre , comme illustré
sur le schéma de droite de la figure 14.18.
Cette vitesse permet de définir l’angle d’incidence pour une tranche donnée de l’hélice. Soit
β l’angle d’inclinaison de la corde de la tranche d’hélice par rapport au plan de rotation de
l’hélice, c’est-à-dire le plan orthogonal à (Oz). Et soit γ l’angle entre #–
v ∞ et ce même plan.
L’angle d’incidence est i = β − γ .
L’angle γ est différent pour chacune des tranches de l’hélice, puisque vtr/RTerre = ΩR dépend
de la distance R entre la tranche et l’axe (Oz). On voit donc que pour un profil donné de
tranche, il faut modifier l’angle β en fonction de la distance R à l’axe si on veut garder la
même incidence i pour toutes les tranches de l’hélice. L’angle β est directement lié à ce que
l’on appelle le pas de l’hélice de rayon R, à savoir la distance dont on avancerait dans la
direction de l’axe de l’hélice si on parcourait un tour complet sur l’hélice.
SYNTHÈSE
SAVOIRS
•
•
•
•
•
force de traînée subie par une sphère solide en mouvement rectiligne uniforme
coefficient de de traînée Cx
graphe de Cx en fonction du nombre de Reynolds
notion de couche limite
forces de traînée et de portance d’une aile d’avion à haut Reynolds
SAVOIR-FAIRE
• décrire qualitativement la notion de couche limite
• associer une gamme de nombre de Reynolds à un modèle de traînée linéaire ou quadratique
• définir et orienter les forces de portance et de traînée
• pour les écoulements à grand nombre de Reynolds décrire qualitativement la notion de
couche limite
• exploiter des graphes de Cx et Cz en fonction de l’angle d’incidence i
MOTS-CLÉS
• nombre de Reynolds
• traînée
• portance
394
• incidence
• couche limite
• laminaire
• turbulent
S’ENTRAÎNER
14.1 Chute d’une bille dans un fluide très visqueux
(⋆)
Soit une bille d’acier sphérique de masse m, de masse volumique ρ . On note #–
v sa vitesse. On
la lâche sans vitesse initiale dans une éprouvette remplie de glycérine (masse volumique ρ0
et viscosité
η ). On note #–
g le champ de pesanteur, supposé uniforme, et on pose
'
& dynamique
ρ0
′
. L’axe (Oz) est vertical ascendant. On pose #–
v = −vu#–z . L’éprouvette est de
g = g 1−
ρ
diamètre très supérieur à celui de la bille. La force de frottements visqueux exercée par le
#–
fluide sur la bille est F = −6πη r #–
v.
1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par v et la résoudre.
2. On mesure la vitesse v1s une seconde après avoir
v1s
lâché la bille, sachant que le temps caractéristique
du mouvement est τ = 6 ms. On fait cela pour plusieurs billes, de rayons plus petits. La courbe cijointe montre l’évolution de v1s en fonction du carré
r2 du rayon de la sphère. Justifier le positionnement
des points expérimentaux. Comment déduire η de ce
r2
graphe ?
0
3. Sachant que le nombre de Reynolds vaut Re = 0, 1 pour la plus grosse des sphères, justifier
le modèle.
14.2 Chute d’une bille dans un fluide peu visqueux
(⋆ )
On lâche sans vitesse initiale une bille sphérique, de masse m, dans un fluide visqueux, de
1
masse volumique µ . On admet que la force de traînée a pour norme Ftr = µ v2 SCx . On note
2
g l’accélération du champ de pesanteur, supposée uniforme, et v la norme de la vitesse de la
bille.
1. Que représentent S et Cx ?
2. Quelle est l’équation différentielle vérifiée par v (t) ?
3. Montrer l’existence d’une vitesse limite vℓ et donner son expression.
4. Résoudre l’équation différentielle.
5. Critiquer le modèle utilisé. Comment faudrait-il le modifier pour un fluide très visqueux ?
14.3 Finesse
(⋆ )
On rappelle que la finesse d’un profil donné est le rapport Cz /Cx .
Pour les nombres de Reynolds correspondant aux conditions usuelles d’utilisations d’une
aile, la finesse est-elle fonction croissante ou décroissante du nombre de Reynolds ?
395
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
14.4 AC72 : un catamaran à hydrofoils
(⋆ )
Lors des régates de la dernière coupe de l’America, en 2013 à San Francisco, les deux pays
finalistes se sont affrontés avec des bateaux extrêmement modernes et rapides : des AC72. Il
s’agit de catamarans de 22 m de long (72 pieds) et 14 m de large, équipés d’une voile rigide
et pleine comme une aile d’avion, et dotés d’hydrofoils. En navigation, la masse de l’engin
est M = 5,9.103 kg. La voilure a une surface S = 340 m2 . Lors des différentes courses de la
compétition, ces bateaux ont souvent navigué à une vitesse plus d’une fois et demi supérieure
à celle du vent. Ils ont atteint plus de 85 km·h−1 . La corde des foils mesure 40 cm.
1. Évaluer le nombre de Reynolds pour l’écoulement de l’eau sur les foils, lorsque le bateau
avance à une vitesse de 70 km·h−1 . En déduire l’ordre de grandeur du coefficient de portance
Cz que peuvent procurer les foils puis la surface de ceux-ci pour maintenir les coques du
catamaran au-dessus de l’eau.
2. Estimer la force de traînée qu’exerce l’eau sur les foils, puis la puissance motrice nécessaire pour les vaincre. Commenter.
14.5 Planeur
(⋆ )
On considère un planeur de masse m = 0,17.103 kg. L’envergure totale de ses ailes est Lenv =
15 m , et la longueur moyenne de la corde est L = 0,70 m. Le profil est un NACA 4412.
On néglige les effets aérodynamiques du fuselage. Il vole à vitesse constante à une alti3
tude z = 6,0.10 m par rapport au niveau de la mer, où la masse volumique de l’air est
µ = 0,60 kg·m−3 . La viscosité de l’air est η = 1,8.10−5 Pl. Le vent est supposé négligeable.
1. Déterminer la finesse maximale du profil NACA 4412 pour les différentes valeurs du
nombre de Reynolds de la figure 14.14 de la page 390. En déduire, pour les deux valeurs
de Re les plus élevées, l’altitude qu’il aura perdue après avoir parcouru sur la carte en ligne
droite une distance D = 1 km.
2. Dans le cas particulier où la ligne de corde de l’aile du planeur est horizontale, relier la
finesse à l’angle d’incidence i. Compte tenu des différentes forces exercées sur le planeur,
établir une relation entre m, g, µ , L, Lenv , Cz , i et la norme v de la vitesse.
3. Application numérique : pour i = 1, 5° et Re = 7.105 , évaluer Cz , la finesse, et la norme v
de la vitesse. Le résultat est-il cohérent avec le nombre de Reynolds utilisé ?
14.6 Char à voile
(⋆ )
On considère un char à voile qui se déplace en ligne droite dans une direction orthogonale au
vent (voir figure page suivante). Son mat à une longueur L1 = 4 m. La voile a une longueur
moyenne de corde L2 = 2,1 m. On pose S = L1 L2 . Pour simplifier, on suppose que son profil
est un NACA 4412 (courbes page 390). La masse volumique de l’air est µ = 1,20 kg·m−3 .
La viscosité de l’air est η = 1,8.10−5 Pl. Le vent est constant et uniforme, de vitesse #–
v vent ,
de norme égale à 60 km·h−1 .
1. Le pilote règle la voile de façon à ce qu’elle fasse par rapport à l’axe du char un angle
α1 = 50°. Le char avance alors à vitesse constante de norme vvit = 40 km·h−1 selon l’axe
(Ox). Déterminer le nombre de Reynolds, les coefficients de traînée et de portance de la
voile, puis la force propulsive de la voile dans ces conditions. Pourrait-on négliger l’effet de
la traînée de la voile ?
396
2. On modélise l’ensemble des actions mécaniques qui s’opposent à l’avancement du char
(traînée aérodynamique du charriot, frottements dans les essieux, déformations des pneus,...)
#–
par une force F resist = −K (vvit )2 u#–x . Déterminer la valeur de K.
3. Pour la direction du mouvement choisie, orthogonale au vent, le pilote pourrait-il choisir
un meilleur angle α1 de réglage de sa voile ?
4. Compte tenu de l’ordre de grandeur du nombre de Reynolds associé à cette étude, le coefficient de portance en dépend assez peu, comme le montre le schéma de gauche de la figure
14.14. Le pilote décide de régler l’angle α1 pour obtenir le coefficient de portance maximal,
dont on admet la valeur Cz = 1, 5, et l’angle d’incidence associé i ′ = 14°. On néglige la traînée de la voile. Effectuer un bilan des%
actions mécaniques qui s’exercent sur le char puis
µ SCz
2
′
en déduire la relation v vit =
vvent v2vent + v ′ 2vit vérifiée par la nouvelle vitesse v ′ vit du
2K
char. En déduire la valeur de cette vitesse puis l’angle α ′1 de réglage de la voile.
ligne de corde
#–
v vit
α1
u#–x
#–
v vent
14.7 Dériveur
(⋆⋆)
On considère un dériveur, c’est-à-dire un petit bateau à voile équipé d’une dérive. Comme
tous les navires, il est amené à se déplacer en restant sans cesse à l’interface entre deux
fluides, l’air et l’eau. Compte tenu des vitesses mises en jeu dans un tel contexte, l’air et
l’eau peuvent tous deux être considérés en écoulement homogène et incompressibles. On
prendra pour l’eau : µe = 1,0.103 kg·m−3 , ηe = 1,0.10−3 Pl ; et pour l’air : µa = 1,2 kg·m−3 ,
ηa = 1,8.10−5 Pl. L’eau est considérée immobile dans le référentiel terrestre. En revanche,
le vent souffle avec une vitesse de norme vvent = 50 km·h−1 . Étant à l’interface entre deux
fluides, le dériveur utilise deux sortes d’ailes pour s’y déplacer : la voile, pour laquelle le
mat mesure Lenv a = 5 m, et la baume (donc la corde) La = 2,5 m ; et la dérive, de longueur de
corde Le = 0,4 m, et pour laquelle l’exercice propose d’estimer l’envergure Lenv e . On suppose
dans cet exercice que les cordes sont de longueur constante tout le long des envergures.
ligne de corde
#–
v vit
u#–x
voile
α1
dérive
ie
#–
v vent
397
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
1. Si le dériveur se déplaçait par rapport à l’eau à une vitesse de norme ve = 20 km·h−1 ,
dans une direction orthogonale à celle du vent, quelles seraient les valeurs des nombres de
Reynolds associés aux deux écoulements : air et eau ? Commenter.
2. La figure ci-dessus montre un schéma très simplifié du dériveur en vue de dessus. À la
différence d’un char à voile, dont les roues adhèrent bien au sol, un dériveur ne peut se
déplacer dans la direction de son axe (Ox). En plus de son mouvement d’avancement selon
son axe, il subit un mouvement dit « de dérive ». Sa trajectoire est indiquée en pointillés
gris sur la figure. Elle est dirigée selon le vecteur #–
v vit qui représente la vitesse du bateau par
rapport à l’eau. En utilisant la portance et la traînée des deux ailes que constituent la voile et
la dérive, effectuer un schéma des différentes forces horizontales agissant sur le dériveur. Y
a-t-il d’autres forces à ajouter ?
3. En déduire un ordre de grandeur de l’envergure Lenv e à choisir pour la dérive.
APPROFONDIR
14.8 Aviron avec un ou plusieurs rameurs
(⋆⋆)
Un skiff est une embarcation de course avec avirons, dans laquelle prend place un unique
rameur. Il existe aussi des embarcations regroupant jusqu’à huit rameurs. Le record du monde
de vitesse en skiff est de 17,4 km·h−1 . Avec 8 rameurs, il est de 21,4 km·h−1 . L’objet de
l’exercice est de comprendre pourquoi la différence n’est pas plus importante, et de dégager
des ordres de grandeurs grâce à des facteurs d’échelles. On donne la viscosité dynamique de
l’eau η = 1, 0,10−3 Pl. On suppose que les embarcations se déplacent en ligne droite avec
vitesse de norme v constante.
1. Évaluer le nombre de Reynolds pour un skiff. En déduire la façon dont la force de traînée
dépend de la norme v de la vitesse.
2. Si on double la puissance développée par le (ou les) rameur(s), par combien v est-elle
multipliée ?
3. Une personne développant une puissance P = 250 W fait avancer son skiff à 14 km·h−1 .
Quelle est la puissance développée par le recordman du monde ?
4. En supposant, pour simplifier, que la partie immergée d’une embarcation pour 8 rameurs
est homothétique de celle d’une embarcation pour 1 seul, et en faisant toutes les hypothèses
qui vous semblent légitimes, établir un lien entre la vitesse d’un skiff et celle d’une embarcation à 8 rameurs. Commenter, compte tenu des records de vitesses pour les deux types de
bateaux.
14.9 Avion à moteur
(⋆⋆)
On considère un avion à moteur de masse M = 0,70.103 kg. L’envergure totale de ses ailes
est Lenv = 11 m , et la longueur de la corde est L = 1,5 m. Le profil est un NACA 4412. Le
fuselage présente un maître-couple S f = 1,8 m2 et un coefficient de traînée Cx f = 0, 4. La
portance du fuselage est considérée nulle. L’avion vole en régime de croisière à une altitude
z = 5,5.103 m par rapport au niveau de la mer, où la pression vaut P0 = 1,0 × 1 05 Pa. La
398
viscosité de l’air, même en altitude, sera prise égale à η = 1,8.10−5 Pl. Le vent est supposé
négligeable.
1. Déterminer la masse volumique de l’air, assimilé à un gaz parfait, à l’altitude du vol. On
suppose l’atmosphère isotherme à la température T = 273 K.
2. En utilisant les courbes de la figure 14.14 de la page 390, et en expliquant bien la démarche,
déterminer l’angle d’incidence i1 que doit avoir la voilure, l’angle β1 que doit faire la corde de
l’aile par rapport au plan horizontal, pour assurer un vol de croisière horizontal à une vitesse
de norme v1 = 200 km·h−1 .
3. Quelle doit être la puissance P1 de la force motrice, développée par le moteur pour assurer
ce vol ?
4. Juste après le décollage, pour prendre de l’altitude, le pilote décide d’adopter une trajectoire rectiligne inclinée d’un angle γ par rapport au plan horizontal. La piste de décollage est
au niveau de la mer. La norme de la vitesse de l’avion est constante durant cette phase de
vol : v2 = 100 km·h−1 . Représenter les différentes forces en présence sur un schéma, et écrire
les équations permettant de déterminer l’angle d’incidence i2 et la norme Fmot2 de la force
motrice que doit exercer le moteur. On ne demande pas de résoudre.
399
Exercices
A PPROFONDIR
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
CORRIGÉS
14.1 Chute d’une bille dans un fluide très visqueux
4
1. On note V le volume de la bille. V = π r3 . Sa masse est donc m = ρ V . La poussée d’Ar3
#–
chimède qui s’exerce sur elle a pour expression Π A = ρ0V gu#–z . Dans le référentiel terrestre
supposé galiléen, la relation fondamentale de la dynamique appliquée à la bille, assimilée à
d #–
v
un point matériel, s’écrit : ρ V #–
. La projection selon l’axe (Oz)
g − 6πη r #–
v + ρ0V gu#–z = ρ V
dt
dv
dv
donne alors −ρ V g + 6πη rv + ρ0V g = −ρ V , soit ρ V + 6πη rv = ρ V g ′ . En introduisant
dt
dt
ρV
2ρ r 2
dv v
=
+ = g ′.
, on obtient la forme canonique :
la constante de temps τ =
6πη r
9η
dt
τ
Sa solution est v (t) = g ′ τ + constanteexp(−t/τ ). Puisque v (0) = 0, constante = −g ′ τ et
2ρ g ′ r 2
v (t) = g ′ τ (1 − exp(−t/τ )) =
(1 − exp(−t/τ ).
9η
2. Le temps caractéristique τ augmente avec le rayon de la sphère. Puisque τ = 6 ms pour
la plus grosse des sphères, tous les temps caractéristiques seront nettement inférieurs à la
seconde. La vitesse mesurée au bout d’une seconde est quasiment la vitesse limite : v1s ≃
2ρ g ′ r 2
. Les points expérimentaux sont sensiblement alignés, ce qui confirme la relation de
9η
proportionnalité entre v1s et r2 donnée par le modèle. En mesurant la pente a de la droite se
rapprochant au mieux de l’ensemble des points (régression linéaire), on peut accéder à η via
2ρ g ′
.
la relation η =
9a
2ρ0 vr
2ρ g ′ r 2
3. Le nombre de Reynolds a pour expression Re =
. Puisqu’ici v ≤
, pour
η
9η
4ρ0 ρ g ′ r 3
. Puisque Re = 0, 1 pour la plus grosse des sphères,
chaque sphère de rayon r, Re ≤
9η 2
il est inférieur à cette valeur pour les autres. Comme le montre la figure 14.3 de la page 381,
pour les faibles valeurs du nombre de Reynolds, le coefficient de traînée Cx varie en 1/Re,
η
1
, donc à η rv, ce qui justifie
donc la force de traînée Ftr est proportionnelle à ρ0 v2 π r2
2
2ρ0 vr
le modèle (loi de Stokes).
14.2 Chute d’une bille dans un fluide peu visqueux
On note (Oz) l’axe vertical ascendant.
1. S représente le maître-couple c’est-à-dire
la section droite de la sphère, et Cx est le coeffiI #– I
2 I F tr I
.
cient de traînée, défini par Cx =
µ v2 S
2. On note V le volume de la bille. La poussée d’Archimède qui s’exerce sur elle a pour
#–
expression Π A = µ V gu#–z . Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la relation fonda400
mentale de la dynamique appliquée à la bille, assimilée à un point matériel, s’écrit : m #–
g+
#–
1
1 2
d
v
. La projection selon l’axe (Oz) donne alors −mg + µ v2 SCx +
µ v SCx u#–z + µ V gu#–z = m
2
dt
2
'
&
µV
dv
dv
′
; l’équation différentielle devient alors
=
µ V g = −m . On pose g = g 1 −
dt
m
dt
7
&
'
µ v2 SCx
2mg ′
dv
v2
, soit
= g ′ 1 − 2 , avec vℓ =
g′ −
.
2m
dt
vℓ
µ SCx
7
2mg ′
dv
= 0.
, pour laquelle
3. On voit qu’il existe une solution constante v = vℓ =
µ SCx
dt
dv
4. Pour résoudre cette équation différentielle non linéaire, on sépare les variables : 2
=
v − vℓ 2
′
′
v
dw
g
g
= dt, qui donne par intégration, argth(w) =
− 2 dt. On pose w = . Il vient
2
vℓ
vℓ
1
−
w
vℓ
& ′
'
g′
g
t + constante puis v (t) = vℓ tanh
t + constante . Si on suit fidèlement le modèle et le
vℓ
vℓ
& ′ '
g
contexte de l’énoncé, on prend v (0) = 0, d’où finalement v (t) = vℓ tanh
t .
vℓ
5. Le modèle utilisé n’est pas réaliste car il considère que la force de traînée est en permanence proportionnelle au carré de la vitesse. En réalité, au début de la chute, le nombre de
Reynolds est faible et la force de traînée est proportionnelle à v ; puis la bille va de plus en
plus, vite, la loi de force se modifie pour devenir finalement en v2 . Il faudrait modifier l’équation du mouvement pour le début de la chute. Avec un fluide très visqueux, la force reste
toujours proportionnelle à v2 , comme dans un des exercices de ce chapitre.
14.3 Finesse
Comme le montrent les graphes de gauche de la figure 14.14 à la page 390, pour tout angle
d’incidence, Cz est fonction croissante du nombre de Reynolds, tandis que Cx en est fonction
décroissante. Ainsi, la finesse augmente lorsque le nombre de Reynolds croît.
14.4 AC72 : un catamaran à hydrofoils
µ vL
1,0.103 × 70 × 0.40
=
= 7,8.106 . Si
η
3.6 × 1,0.10−3
le profil des foils est analogue au NACA 4412, l’ordre de grandeur du coefficient Cz est 0,5
pour un angle d’incidence ne dépassant pas quelques degrés. On a intérêt à garder un angle
d’incidence faible pour ne pas créer trop de traînée. Le théorème de la résultante cinétique
appliqué au bateau dans le référentiel terrestre, puis projeté sur l’axe vertical ascendant (Oz)
1
2Mg
donne −Mg + µ v2 SCz = 0. Il vient S = 2 = 0,61 m2 . C’est vraiment peu.
2
µ v Cz
2. En prenant à nouveau appui sur le profil NACA 4412, on constate que pour Re = 3.106 ,
le coefficient de traînée est de l’ordre de 8.10−3 pour une incidence de quelques degrés. Et
il diminue lorsque Re augmente. On peut donc estimer Cx voisin de 6.10−3 , et la force de
1
traînée sur les foils Ftr = µ v2 SCx ≃ o,7 kN. La puissance de cette force dans le référentiel
2
1. Le nombre de Reynolds pour l’eau est Re =
401
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
terrestre est Ptr = Ftr v ≃ 14 kW. À titre de comparaison, un moteur hors-bord de « 20 cv
» développe une puissance de 15 kW. L’intérêt des hydrofoils est incontestable. On note
toutefois que la puissance calculée ici ne concerne que la traînée des foils. Elle ne prend pas
en compte la force de traînée due à l’écoulement de l’air, ni celle due aux montants verticaux
qui relient la coque aux foils, etc. Et le calcul ne tient pas compte de l’envergure finie des
foils.
14.5 Planeur
Cz
Cz
Cx
Re=3.106
1,4
1,4
Re=2.104
0,14
1,2
1,0
0,8
Re=4,5.104
0,12
Re=2,5.105
Re=2,5.105
0,4
Re=2.104
0,2
0,8
0,08
0,6
0,06
0,4
0,04
0,2
Re=3.106
0,02
0
0
-0,2
-5
0
5
10
i (°)
15
20
Re=2,5.105
1,0
0,10
Re=4,5.104
0,6
Re=3.106
1,2
Re=4,5.104
Re=2.104
0
-0,2
-5
0
5
10
15
20
0
20
40
i (°)
60
80
100 120
1000 Cx
140
Figure 14.19 – Finesse maximale.
1. Comme le montre la figure 14.19, la finesse maximale s’obtient en traçant la tangente
à la polaire d’Eiffel. Le tableau ci-dessous donne les coefficients de portance et de traînée
correspondant à la finesse maximale, pour chaque valeur de Re. Il donne ensuite les valeurs
des finesses maximales, et les angles d’incidence associés.
Re
Cz
2,0.104
0, 36
4,5.104
0, 37
2,5.105
1, 02
3,0.106
0, 83
Cx
Finesse maxi
Incidence i
81.10−3
4, 4
5°
52.10−3
7, 1
3, 1°
22.10−3
46
6, 1°
7,0.10−3
119
4°
Compte tenu de la figure 14.15 de la page 391 et des calculs s’y rapportant, pour Re =
D
= 22 m au bout de D = 1 km, et pour Re = 3,0.106 , il perdrait
2,5.105 , le planeur perdrait
46
D
= 8,4 m. On peut remarquer que le modèle n’est pas réaliste car une finesse de plus de
119
100 ne se rencontre pas en pratique. Il faudrait prendre en compte la traînée du fuselage, et le
fait que l’allongement (rapport de l’envergure sur la corde) est fini.
402
2. Si la ligne de corde de l’aile du planeur est horizontale, i =
π
Cz
− α donc finesse =
=
2
Cx
1
. Le théorème de la résultante cinétique appliquée au planeur dans le réfétan (i)
rentiel terrestre supposé galiléen donne, après projection sur l’axe vertical :
1
2mg
−mg + µ v2 LLenv (Cx cos (α ) + Cz sin (α )) = 0, d’où 2
= Cx sin (i) + Cz cos (i).
2
µ v LLenv
2mg
Compte tenu de la relation obtenue précédemment, cela peut encore s’écrire
=
2 LL
µ
v
env
(&
)
'2
2mg
Cz
sin i
.
Cz cos (i)
+ 1 , puis 2
=
cos i
µ v LLenv cos (i)
tan (α ) =
3. Application numérique : pour i = 1,65° et Re = 7.105 , on peut estimer d’après les graphes
2mg cos i
= 30 m·s−1 , puis le nombre de Reynolds
que Cz = 0, 57. On calcule alors v =
µ LLenvCz
µ vL
= 7,1.105 , ce qui est cohérent.
Re =
η
14.6 Char à voile
1. On se place dans le référentiel R lié au char à voile. Dans ce référentiel, le vent ressenti,
appelé « vent apparent » dans le monde de la voile, a pour vitesse la somme vectorielle
#–
v vent + (− #–
v vit ), comme le montre la figure ci-dessous.
v app = #–
ligne de corde
i
#–
v vit
#–
v vent
u#–x
α1
− #–
v vit
#–
v app
α2
Le vecteur #–
v vent est qualifié de « vent%
vrai » et (− #–
v vit ) de « vent vitesse ». Le nombre de
! 2
"
2 L
v
µ
+
v
vent
vit 2
µ vappL2
=
= 2,8.106 . L’angle α2 entre le vent
Reynolds est donc Re =
η
η
'
&
vvent
. L’angle d’incidence est par
apparent et l’axe du char est donné par α2 = arctan
vvit
conséquent i = α2 − α1 = 6, 3°. On lit les valeurs des coefficients de portance et de traînée
sur les courbes caractéristiques du profil NACA 4412 : Cz = 1, 02 et Cx = 0, 012. Dans ces
1
#–
conditions, la force propulsive de la voile est F prop = µ v2appS (Cz sin (α2 ) − Cx cos (α2 )) u#–x ,
2
dont la norme vaut Fprop = 1,7.103 N. En négligeant la contribution de Cx à cette force, on
obtient une valeur de 1,72.103 N au lieu de 1,70.103 N. La différence est en effet négligeable.
On négligera la traînée de la voile dans les questions suivantes.
403
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
2. Le théorème de la résultante cinétique appliqué au char à voile dans le référentiel terrestre,
supposé galiléen, puis projeté selon l’axe (Ox), conduit à Fprop − K (vvit )2 = 0. On en déduit
Fprop
K=
= 14 N·s2 ·m−2 .
(vvit )2
3. Pour la direction du mouvement choisie, orthogonale au vent, le pilote pourrait choisir un
meilleur angle α1 de réglage de sa voile puisque l’angle d’incidence i = 6, 3° n’est pas celui
qui donne le coefficient de portance le plus élevé. Pour un nombre de Reynolds proche de
3.106 , il faudrait régler la voile pour obtenir i = 14°. En changeant l’angle α1 , le pilote peut
augmenter la force propulsive, ce qui permet au char d’aller plus vite, et modifie ainsi l’angle
α2 et l’incidence i. Grâce à sa perception de la vitesse et de l’accélération de son engin, le
pilote peut à tout instant adapter le réglage de l’angle α1 en « bordant » ou en « choquant »
sa voile, de manière à optimiser le coefficient de portance.
4. Comme dans la question précédente, le principe fondamental de la dynamique conduit, en
1
2
2
négligeant la traînée de la voile, à µ v ′ appSCz sin (α2 ) − Kv ′ vit = 0. Or, v ′ app sin (α2 ) = vvent ,
2
'
&
%
µ SCz
µ SCz vvent 2
vvent v2vent + v ′ 2vit . On pose A =
ce qui donne bien la relation v ′ 2vit =
2K
2K
et V 2 = (v ′ vit )2 . V 2 vérifie donc l’équation V 22 − AV62 − A v2vent = 0. Le discriminant est
√
A+ ∆
2
2
= 14 m·s−1 = 51 km·h−1 .
∆ = A + 4A vvent . La seule solution physique est vvit =
2
'
&
vvent
On en déduit l’angle α ′2 = arctan
= 50° puis α ′1 = α ′2 − i = 36°. On note au passage
v ′ vit
que le nombre de Reynolds est devenu égal à 3.106 , ce qui confirme la valeur du Cz et de
l’angle d’incidence associé.
14.7 Dériveur
µe ve Le
= 2,2.106 . Pour calculer celui pour
ηe
l’air, on se place dans le référentiel R lié au dériveur. Dans ce référentiel, le vent apparent a
pour vitesse la somme vectorielle #–
v app = #–
v vent +(− #–
v e ), comme%
cela a été vu dans l’exercice
!
"
µa v2vent + v2e La
= 2,5.106 .
sur le char à voile. Le nombre de Reynolds est donc Rea =
ηa
Les deux valeurs sont donc très proches l’une de l’autre.
2. La figure page suivante fait apparaître, dans le référentiel R lié au dériveur, les directions
dans lesquelles arrivent les deux fluides. L’air arrive avec une vitesse #–
v app, faisant un angle
α2 avec l’axe du bateau. L’eau arrive avec une vitesse − #–
v vit , faisant un angle ie avec l’axe
#–
du bateau, donc aussi avec la corde de la dérive. La force F a→v exercée par l’air sur la voile
se décompose en une force de traînée, de mêmes direction et sens que #–
v app , et une force de
#–
portance, bien plus importante, normale à #–
v app . La force F e→b exercée par l’eau sur le bateau
#–
#–
se décompose en une force de traînée F tr e→d due à la dérive, une force de traînée F tr e→c
due à la coque, et une force de portance due à la dérive. Les deux forces de traînée sont
de mêmes direction et sens que − #–
v vit , et la force de portance normale à − #–
v vit . Les angles
d’incidence, ia pour la voile et ie pour la dérive étant assez proches en ordres de grandeurs,
1. Le nombre de Reynolds pour l’eau est Ree =
404
#–
F a→v
#–
v vit
#–
v vent
u#–x
ia
α1
#–
F tr e→d
#–
F tr e→c
− #–
v vit
#–
v app
ie
#–
F e→b
α2
et les nombres de Reynolds étant voisins, les finesses Cz /Cx des deux ailes doivent être assez
#–
proches également. C’est dans cet esprit qu’a été dessinée F tr e→d . Enfin, pour que le bateau
navigue à vitesse constante, il est nécessaire que la somme vectorielle des forces soit nulle.
#–
La force de traînée due à la coque a été ajustée en norme de manière à rendre F e→b opposée
#–
à F a→v .
1
3. La question précédente a permis d’établir que la force de portance µe v2vit Lenv e LeCze due
2
à l’écoulement de l’eau sur la dérive doit être un peu inférieure, mais du même ordre de
1
grandeur que celle, µa v2appLenv a LaCza , due à l’écoulement de l’air sur la voile. Pour fixer les
2
idées, prenons un rapport 2 entre les deux. Et puisqu’en pratique, vvit est de l’ordre du tiers de
Lenv e Le
µa
vapp , on en déduit µe Lenv e LeCze ≃ 5µa Lenv a LaCza , d’où :
≃ 5 ≃ 6.10−3 . Il faudrait
Lenv a La
µe
alors pour la dérive une envergure de l’ordre de 20 cm, ce qui est sous-estimé d’un facteur
de l’ordre de 4. Il faut noter qu’à la différence de la voile, dont on peut régler l’incidence en
permanence pour optimiser le Cza , la dérive est fixe, et le Cze est quasiment toujours nettement
inférieur au Cza . De plus, les courbes des coefficients de traînée et de portance données dans
ce chapitre ne prennent pas en compte le caractère fini de l’envergure des ailes. Une dérive a
un allongement (envergure sur corde) très faible.
14.8 Avion à moteur
1. Comme cela a été vu au chapitre 10, la pression
' atmosphère isotherme mo& dans une
M gz
. Et la masse volumique de
délisée par un gaz parfait s’écrit P (z) = P(0) exp −
RT
&
'
P0 M
M gz
P (z) M
l’air est µ (z) =
=
exp −
. Pour z = 5,5.103 m, T = 273 K et M =
RT
RT
RT
29 g·mol−1 , on obtient µ1 = 0,64 kg·m−3 .
2. On note S = L × Lenv la surface de référence de l’ensemble de la voilure. On suppose pour
commencer qu’en régime de croisière en vol horizontal, la corde de l’aile est très peu inclinée
par rapport au plan horizontal, donc que |β1 | ≪ 1 et cos (β1 ) ≃ 1. Le théorème de la résultante
cinétique appliqué à l’avion dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, donne après pro1
jection sur l’axe (Oz) vertical ascendant : −Mg + µ1 v21 SCz (i1 ) = 0. Il vient Cz (i1 ) = 0, 42.
2
405
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 14 – É COULEMENT EXTERNE HOMOGÈNE ET INCOMPRESSIBLE AUTOUR D ’ UN OBSTACLE
µ1 v1 L
= 3,0 × 1 06 . On peut donc utiη
liser la courbe de la figure 14.14 associée à cette valeur. On y voit que l’angle d’incidence est
très proche de i1 = 0°. L’angle β1 a la même valeur, β1 = 0° puisqu’on est en vol horizontal
et qu’il n’y a pas de vent. Cela confirme l’hypothèse formulée au début de cette question. On
note au passage que la force tractrice exercée par le moteur est parallèle à la corde de l’aile.
Le nombre de Reynolds associé à la voilure est Re =
3. Soit Fmot1 la norme de la force tractrice exercée par le moteur au cours de cette phase
de vol. Le théorème de la résultante cinétique projeté selon l’axe horizontal (Ox) du vol :
!
"
1
− µ1 v21 SCx (i1 ) + S f Cx f + Fmot1 = 0. Pour i1 = 0°, on lit sur la courbe du profil NACA
2
4412 : Cx (0) ≃ 8 × 10−3 . La puissance de la force motrice, développée par le moteur pour
!
"
1
assurer ce vol est donc P1 = Fmot1 v1 = µ1 v31 SCx (0) + S f Cx f = 47 kW. Mais la puissance
2
fournie par le moteur doit être plus importante car une partie de celle-ci sert à communiquer
au jet d’air une puissance mécanique. Ainsi, le moteur d’un hélicoptère en vol stationnaire ne
fournit que de la puissance mécanique au jet d’air, comme le fait un moteur de soufflerie.
4. On commence par calculer la masse volumique de l’air à une altitude proche de 0 : µ1 =
µ2 v2 L
1,28 kg·m−3 . Le nombre de Reynolds est cette fois Re2 =
mais on trouve la même
η
valeur 3,0 × 1 06 . Pour assurer une trajectoire de son centre de masse G selon une droite de
pente γ , avec une vitesse #–
v 2 par rapport au référentiel terrestre, le pilote doit donner à l’axe de
l’hélice (et à la corde, dont on a montré qu’elle était parallèle à l’axe de l’hélice) une direction
inclinée d’une incidence i2 par rapport à la trajectoire. Cette dernière donne la direction dans
laquelle l’air arrive sur l’avion dans le référentiel de celui-ci, avec une vitesse − #–
v 2 . Cela est
#–
indiqué sur la figure suivante. La force de portance F por2 est normale à la trajectoire. La force
#–
#–
#–
de traînée totale F tr tot , somme de la force de traînée de l’aile F tr 2 et celle du fuselage F tr f
#–
est colinéaire à la trajectoire. La force motrice F mot2 exercée par le moteur est parallèle à la
ligne de corde, comme cela a été vu à la question précédente.
#–
F por2
ligne de corde
γ
i2
#–
F mot2
#–
F tr tot
G γ + i2
trajectoire
− #–
v2
γ
M #–
g
Puisque la vitesse est constante dans le référentiel terrestre, la somme de ces 3 forces et du
#–
#–
#–
#–
poids est nulle : F por2 + F tr tot + F mot2 + M #–
g = 0 En projetant selon la ligne de corde,
!
"
1
1
µ2 v22 SCz (i2 ) sin (i2 ) + Fmot2 − µ2 v22 SCx (i2 ) + S f Cx f cos (i2 ) − Mg sin (γ + i2 ) = 0. Et en
2
2
1
projetant sur l’axe du plan de la figure orthogonal à la ligne de corde, µ2 v22 SCz (i2 ) cos(i2 ) +
2
406
!
"
1
µ2 v22 SCx (i2 ) + S f Cx f sin (i2 ) − Mg cos (γ + i2 ) = 0. Cette seconde équation permet de
2
trouver l’angle d’incidence i2 , grâce aux courbes caractéristiques du profil. Une résolution
numérique serait nécessaire. La première équation permet alors de calculer la force motrice
du moteur.
14.9 Aviron avec un ou plusieurs rameurs
1. Pour une vitesse de l’ordre de 20 km·h−1 , la largeur des embarcations étant de l’ordre
1.103 × (20/3, 6) × 1
≃
du mètre, et la masse volumique de l’eau µ = 1,103 kg·m−3 , Re ≃
1.10−3
6
6.10 . Pour cet ordre de grandeur très élevé du nombre de Reynolds, on se trouve sur un
plateau de la courbe d’évolution du coefficient de traînée en fonction de Re. Ainsi, la force
I #– I 1
de traînée est en v2 : I F tr I = µ v2 SCx , S étant le maître-couple.
2
2. Soit P1 la puissance développée par 1 rameur, et v1 la vitesse associée. À vitesse constante
dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, la somme des forces est nulle ; le rameur exerce
une force de même norme que celle de la force de traînée. La puissance développée par un
1
rameur est donc P1 = µ v31 SCx . Toutes choses étant égales par ailleurs, si on multiplie la
2
puissance par 2, la vitesse n’est multipliée que par 21/3 = 1, 3.
'
'
&
&
vrecord 3
17, 4 3
= 250 ×
= 480 W.
3. D’après la question précédente, Precord = P1 ×
v1
14
4. On note m1 la masse du skiff (avec son rameur) et m8 celle du bateau avec les 8 rameurs.
En ordre de grandeur, la masse des passagers étant certainement importante par rapport à
celle des embarcations, on peut dire que m8 ≃ 8m1 . Afin d’équilibrer le poids des bateaux
équipés, les forces de poussée d’Archimède qui s’exercent sur les deux embarcations doivent
être également dans un rapport 8. Les volumes d’eau déplacés sont aussi dans un rapport 8.
En admettant que les parties immergées des embarcations sont homothétiques, si les volumes
sont dans un rapport 8, c’est que le rapport est de 2 pour chacune des dimensions (largeur, longueur, hauteur. Les maître-couples sont donc dans un rapport 22 = 4 : S8 = 4S1 . En revanche,
les formes étant semblables, on peut supposer que le Cx est à peu près le même dans les deux
cas. En admettant que les 8 rameurs développent une puissance P8 = 8P1 , et compte tenu
& '
1 3
1 3
S 8 v8 3
v8
que P1 = µ v1 S1Cx , que P8 = µ v8 S8Cx , il vient 8 =
, d’où
= 21/3 = 1, 26.
2
2
S 1 v1
v1
21, 4
= 1, 23, ce qui montre que le modèle, très simplifié,
Il est intéressant de remarquer que
17, 4
est tout de même assez réaliste. Le poids de l’embarcation n’est sans doute pas négligeable
mais il faut noter qu’en réalité, quand il y a 8 rameurs, il y a un barreur en plus, assez léger,
qui compense dans les calculs le fait que le bateau pour 8 a une masse inférieure à l’octuple
de celle d’un skiff.
407
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
15
Ce dernier chapitre de la partie mécanique des fluides présente un double objectif : faire le
lien avec la thermodynamique, et effectuer des bilans d’énergie, d’entropie, de quantité de
mouvement, et de moment cinétique, grâce à l’utilisation de systèmes fermés en écoulement.
Il est également l’occasion d’introduire la notion d’écoulement parfait, qui sert souvent de
premier modèle, puis de mettre en place des méthodes pour élaborer un modèle plus réaliste,
en prenant en compte les pertes de charge, régulières et singulières.
1
1.1
Systèmes fermés en écoulement
Vocabulaire
Un système fermé est un système qui n’échange pas de matière avec l’extérieur. Sa masse
est donc constante. Il peut en revanche échanger de l’énergie et de l’entropie avec l’extérieur,
sauf s’il est isolé.
Un volume de contrôle est un volume indéformable.
Une surface de contrôle est la surface, fermée, qui délimite le volume de contrôle.
Un système ouvert est un système qui échange de la matière avec l’extérieur. Lorsqu’il y a un
écoulement, le fluide se trouvant à l’intérieur d’un volume de contrôle est un système ouvert.
1.2
Définition du système
On considère un fluide en écoulement à l’intérieur d’une canalisation C , comme cela est
schématisé sur la figure 15.1, page suivante.
On choisit comme surface de contrôle Sc la surface fermée indéformable constituée des
sections S1b et S2a , et de la portion de la canalisation comprise entre ces deux sections. Soit
Vc le volume de contrôle délimité par Sc . Il correspond à la partie en gris moyen de la figure.
Le fluide y rentre par la partie gauche, où les grandeurs sont repérées par un indice 1, et
sort par la partie droite (indice 2). À l’intérieur du volume de contrôle peuvent se trouver
éventuellement des parties mobiles (hélices, turbines), non représentées.
Soit Σ1 le fluide qui entre dans le volume de contrôle Vc entre t et t + dt, et Σ2 le fluide qui en
sort entre les mêmes instants. Ces deux systèmes sont infinitésimaux. Soit Σ0 (t) le fluide qui
se trouve dans le volume de contrôle Vc à l’instant t.
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
Surface de contrôle
Sc
S1b
S1a
R
S2a
S2b
z
x O
y
Σ1
Σ2
Σ∗ à t
Σ0
Σ∗ à t + dt
Figure 15.1 – Système fermé à deux instants très proches.
Soit Σ∗ le système fermé constitué à l’instant t de Σ1 ∪ Σ0 (t). À l’instant t + dt, il est constitué
de Σ0 (t + dt) ∪ Σ2 .
Remarques
• dans certains cas, il pourra être utile d’englober dans Σ0 le solide C , ou une partie de
lui ;
• il peut y avoir n entrées et m sorties, auquel cas Σ1 est à remplacer par la réunion
de tous les systèmes qui entrent Σ11 ∪ Σ12 ∪ ... ∪ Σ1n et Σ2 par tous ceux qui sortent
Σ21 ∪ Σ22 ∪ ... ∪ Σ2m ;
• il peut aussi n’y avoir que des entrées ou que des sorties, comme on le verra dans
l’exemple de la fusée.
2
2.1
Bilans thermodynamiques d’énergie et d’entropie
Bilans d’énergie
a) Complément : détente de Joule-Thomson
Avant de traiter le bilan thermodynamique général, on commence par un cas particulier, qui
donne l’occasion de calculer les travaux des forces de pression à l’entrée et à la sortie de la
canalisation. On considère un écoulement lent, stationnaire, d’un gaz dans une conduite horizontale, au sein de laquelle est placé un morceau de coton. En amont de celui-ci, la pression
est P1 , l’énergie interne massique u1 , l’enthalpie massique h1 . On rappelle que ces trois grandeurs physiques sont intensives. En aval du coton, elles prennent les valeurs respectives P2 ,
u2 et h2 . Le matériau constituant la conduite est supposé très isolant thermiquement ; l’écoulement est ainsi adiabatique. Le gaz subit une détente puisque la pression en amont du coton
est supérieure à celle en aval, la différence de pression permettant d’assurer la circulation du
gaz. Ce type d’écoulement porte le nom de détente de Joule-Thomson 1 ou Joule-Kelvin.
1. Les travaux expérimentaux de James Prescott Joule, 1818 - 1889, permirent notamment de quantifier des
transformations d’énergie mécanique en énergie thermique ; William Thomson, devenu Lord Kelvin, 1824 - 1907,
travailla avec JP Joule en 1852 sur la détente qui porte leurs noms ; il fut aussi le premier à introduire la notion du
zéro absolu de température, et il établit une des formulations du Second Principe.
410
B ILANS THERMODYNAMIQUES D ’ÉNERGIE ET D ’ENTROPIE
Le référentiel d’étude est celui de la conduite.
On considère le système fermé Σ∗ , en écoulement, représenté sur la figure 15.2. Il est constitué
à l’instant t de Σ1 ∪ Σ0 , et à t + dt, de Σ0 ∪ Σ2 . Sur le dessin, il est délimité à t par ABCD, et à
#–
t + dt par A ′ B ′C ′ D ′ . On note δ ℓ1 le déplacement élémentaire faisant passer la face de gauche
#–
de AB à A ′ B ′ pendant dt et δ ℓ2 le déplacement élémentaire faisant passer la face de droite de
CD à C ′ D ′ .
coton
δ V1
S
z
R
x
O
A
P1 Σ1
#–
δ ℓ1
y
B
A′
Σ∗ à t + dt
δ V2
D′
D
#–
F2
#–
F1
Σ2
Σ0
Σ0
B′
C
S
P2
#–
δ ℓ2
C′
Σ∗ à t
Figure 15.2 – Détente de Joule-Thomson.
Dans le contexte de cet écoulement, il n’y a pas de variation d’énergie potentielle de pesanteur (puisque la conduite est horizontale), et les énergies cinétiques macroscopiques sont
supposées négligeables. Conformément à ce qui a été établi dans le chapitre 8, le premier
principe de la thermodynamique appliqué dans R au système fermé Σ∗ sur une durée dt,
s’écrit UΣ∗ (t + dt) − UΣ∗ (t) = δ W + δ Q. Les parois étant adiabatiques, δ Q = 0.
On calcule à présent le travail δ W des forces de pression. On note S la surface de la section
#–
#–
de la conduite, F 1 et F 2 les résultantes des forces de pression exercées par le fluide extérieur
respectivement sur les faces de gauche et de droite du système Σ∗ . On peut donc écrire le
#– #–
#– #–
travail élémentaire δ W = F 1 · δ ℓ1 + F 2 · δ ℓ2 . Compte tenu du repère cartésien choisi, cela
#–
peut encore s’écrire δ W = F1 uy · δ ℓ1 u#–y − F2 u#–y · δ ℓ2 u#–y , toutes les grandeurs scalaires étant
ici des normes, donc positives. Par suite, δ W = F1 δ ℓ1 − F2 δ ℓ2 . En notant que F1 = P1 S et
F2 = P2 S, il vient δ W = P1 Sδ ℓ1 − P2 Sδ ℓ2 . En appelant δ V1 le volume Sδ ℓ1 de Σ1 et δ V2
celui, Sδ ℓ2, de Σ2 , on a finalement δ W = P1 δ V1 − P2 δ V2 . On reprend l’expression du premier
principe, en notant δ m1 et δ m2 les masses de Σ1 et Σ2 :
!
" !
"
UΣ0 (t + dt) + δ m2 u2 − UΣ0 (t) + δ m1 u1 = P1 δ V1 − P2δ V2 .
En régime stationnaire, UΣ0 (t + dt) = UΣ0 (t). Par ailleurs, P1 δ V1 + δ m1 u1 est l’enthalpie
δ m1 h1 de Σ1 , et il en est de même pour les indices 2. Le premier principe appliqué à Σ∗
s’écrit donc δ m2 h2 − δ m1 h1 = 0.
En régime stationnaire, on a nécessairement δ m2 = δ m1 , sinon, il y aurait accumulation de
masse ou déstockage de masse dans la partie correspondant à Σ0 , ce qui serait incompatible
avec le caractère stationnaire. Un écoulement de Joule-Thomson est isenthalpique : h2 = h1 .
411
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
b) Cas général
On considère un fluide en écoulement homogène et incompressible. La surface de contrôle
Sc , représentée en pointillés sur la figure 15.3, est indéformable dans le référentiel d’étude.
Elle permet de définir un système fermé Σ∗ , constitué à l’instant t de Σ1 ∪ Σ0 (t), et à t +
dt, de Σ0 (t + dt) ∪ Σ2 . On note respectivement ec1 , e p1 , u1 les énergies cinétique massique,
potentielle massique et interne massique du fluide à l’entrée, et h1 son enthalpie massique. On
note δ V1 et δ m1 le volume et la masse de Σ1 . On utilise les mêmes notations, avec des indices
2 pour Σ2 . On suppose que le dispositif situé entre l’entrée et la sortie du fluide communique
pendant dt au système Σ0 un travail δ Wdisp→Σ0 et un transfert thermique δ Qdisp→Σ0 .
z
z2
h2 , ec2 , e p2
δ Wdisp→Σ0
δ m1
Σ1
h1 , ec1 , e p1
z1
R
y
O
Σ2
δ m2
Σ0
dispositif
δ Qdisp→Σ0
Surface de contrôle Sc
Figure 15.3 – Fluide en écoulement dans un dispositif dont il reçoit du travail
mécanique et du transfert thermique.
Le premier principe de la thermodynamique appliqué dans R au système fermé Σ∗ sur une
durée dt, s’écrit :
dUΣ∗ + dEc Σ∗ + dE p Σ∗ = δ W + δ Q.
On calcule à présent chacun des termes de cette équation successivement, en réutilisant en
particulier le calcul du travail effectué dans le cas particulier précédent (détente de JouleThomson).
" !
"
!
dUΣ∗ = UΣ∗ (t + dt) − UΣ∗ (t) = UΣ0 (t + dt) + δ m2 u2 − UΣ0 (t) + δ m1 u1
= dUΣ0 + δ m2 u2 − δ m1 u1 .
Et :
dEc Σ∗ = δ m2 ec2 + Ec Σ0 (t + dt) − δ m1 ec1 − Ec Σ0 (t) = dEc Σ0 + (δ m2 ec2 − δ m1 ec1 ) ,
dE p Σ∗ = δ m2 e p2 + E p Σ0 (t + dt) − δ m1 e p1 − E p Σ0 (t) = dE p Σ0 + (δ m2 e p2 − δ m1 e p1 ) ,
δ W = P1 δ V1 − P2δ V2 + δ Wdisp→Σ0 ,
δ Q = δ Qdisp→Σ0 .
412
B ILANS THERMODYNAMIQUES D ’ÉNERGIE ET D ’ENTROPIE
On reporte les différents termes dans l’équation du premier principe : dUΣ0 + dEc Σ0 + dE p Σ0 +
δ m2 (u2 + ec2 + e p2) − δ m1 (u1 + ec1 + e p1 ) = P1 δ V1 − P2 δ V2 + δ Wdisp→Σ0 + δ Qdisp→Σ0 . Et
en faisant apparaître l’enthalpie massique comme dans la détente de Joule-Thomson, et en
indiçant avec un 0 les grandeurs relatives à Σ0 , pour alléger l’écriture,
dU0 + dEc0 + dE p0 + δ m2 (h2 + ec2 + e p2) − δ m1 (h1 + ec1 + e p1) =
δ Wdisp→Σ0 + δ Qdisp→Σ0 .
c) Cas d’un écoulement stationnaire
Dans le cas particulier d’un régime stationnaire, c’est-à-dire indépendant du temps, l’expression du paragraphe précédent se simplifie beaucoup.
Bilan de masse En régime stationnaire, la masse m0 du fluide Σ0 se trouvant dans le volume
de contrôle Vc délimité par Sc , est la même à tout instant, par définition même du régime
stationnaire. En conséquence, la masse δ m1 entrant pendant dt est égale à la masse δ m2
sortant pendant dt.
En régime stationnaire, δ m1 = δ m2 . On note δ m cette quantité commune.
Évolution de Σ0 En régime stationnaire, les énergies interne, cinétique et potentielle de Σ0
sont indépendantes du temps : dU0 = dEc0 = dE p0 = 0. Le bilan thermodynamique général
se simplifie en δ m ((h2 + ec2 + e p2) − (h1 + ec1 + e p1)) = δ Wdisp→Σ0 + δ Qdisp→Σ0 .
δ Wdisp→Σ0
est souvent notée wu . Il s’agit du travail massique utile, appelé aussi
La quantité
δm
travail massique indiqué. Il représente le travail reçu par kg de fluide traversant le dispositif,
de la part de celui-ci. Le travail des forces de pression P1 et P2 , appelé par fois « travail de
transvasement », ou « travail de transfert de masse », n’en fait pas partie. Ce dernier est
intégré dans la variation d’enthalpie.
δ Qdisp→Σ0
La quantité
est notée q. Elle représente l’énergie reçue sous forme thermique
δm
par kg de fluide traversant le dispositif, de la part de celui-ci. Avec ces notations, il vient
(h2 + ec2 + e p2) − (h1 + ec1 + e p1) = wu + q. On note ∆h la variation d’enthalpie massique
h2 − h1 entre l’entrée et la sortie du dispositif, et on adopte des notations similaires pour
l’énergie cinétique massique et l’énergie potentielle massique, d’où :
∆h + ∆ec + ∆e p = wu + q.
Si l’énergie potentielle est limitée à celle de pesanteur (ce qui sera quasiment toujours le cas),
e p = gz + constante, (Oz) étant l’axe vertical ascendant.
Dans le cas d’un axe (Oz) vertical ascendant et d’une énergie potentielle macroscopique
se limitant à celle de pesanteur, lorsqu’un fluide, en écoulement stationnaire, traverse
un dispositif lui fournissant un travail massique wu et un transfert thermique massique
413
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
q, le premier principe s’écrit :
∆h + ∆ec + ∆ (gz) = wu + q,
∆ représentant la variation de la grandeur massique concernée entre l’entrée et la sortie
du dispositif.
Remarques
• ce bilan d’énergie massique est la forme du premier principe de la thermodynamique
la plus adaptée à l’étude des machines thermiques en fonctionnement stationnaire ;
• on fera souvent l’approximation ∆ec = 0 et ∆ (gz) = 0, d’où l’équation approchée
∆h = wu + q, vue en classe de première année ;
• ce bilan est parfois exprimé en terme de puissances ; δ m étant la masse élémentaire
δm
entrant dans le dispositif pendant dt, et Dm =
étant le débit massique, l’équation
dt
δ m wu δ m q
approchée précédente peut s’écrire Dm ∆h =
+
. Les deux termes du
dt
dt
second membre représentent respectivement la puissance mécanique utile Pu et la
puissance thermique Pth reçues par le fluide en écoulement de la part du dispositif
traversé. Il vient Dm ∆h = Pu + Pth ;
• selon les exercices ou les problèmes, il peut être demandé, pour une des étapes d’une
machine thermique cyclique (passage dans le compresseur, ou bien le détendeur, ou
bien un échangeur thermique), soit de calculer les travaux (en prenant en compte les
variations d’énergie interne), soit de calculer les travaux utiles (en prenant en compte
les variations d’enthalpie. Le travail total Wcycle , pour le cycle complet, s’obtient
dans les deux cas, en sommant les travaux des différentes étapes. En effet, pour une
machine cyclique, les travaux de transvasement sont fournis par une partie du fluide
à une autre, et se compensent globalement.
Exemple
Une centrale thermique produit de l’électricité au moyen d’un moteur thermique qui
entraîne un alternateur. Le moteur thermique, de rendement ηm = 34%, produit une
puissance mécanique Pm = 1,0 GW. Sa source froide est de l’eau venant d’une rivière
et passant dans un échangeur thermique avec un débit volumique Dv = 4,0.102 m3 ·s−1 .
La capacité calorifique massique de l’eau est c p = 4,18.103 J·kg−1 ·K−1 . On se place en
régime stationnaire et on néglige l’énergie cinétique de l’eau et sa variation d’énergie.
On cherche l’écart de température de l’eau de la rivière entre son entrée dans l’échangeur
thermique et sa sortie.
On note Pth la puissance thermique reçue par l’eau dans l’échangeur thermique et µ la
masse volumique de l’eau. Pendant une durée dt, une masse d’eau µ Dv dt circule dans
l’échangeur et y reçoit un transfert thermique Pth dt. Le transfert thermique massique
Pth
reçu par l’eau est donc q =
. Le premier principe pour l’eau en écoulement s’écrit
µ Dv
ici, en indiçant avec un 2 les grandeurs de sortie, et un 1 celles d’entrée : h2 − h1 =
414
B ILANS THERMODYNAMIQUES D ’ÉNERGIE ET D ’ENTROPIE
Pth
Pth
, d’où T2 − T1 =
. Par ailleurs, le rendement du moteur thermique s’écrit
µ Dv
µ c p Dv
−δ W
ηm =
, δ W et δ Qc étant le travail et le transfert thermique venant de la source
δ Qc
chaude, reçus par le fluide interne du moteur au cours d’un cycle, de durée dt. Le premier
principe de la thermodynamique appliqué à ce fluide interne au cours d’un cycle s’écrit
δ W + δ Qc + δ Q f = 0, δ Q f étant le transfert thermique reçu par le fluide interne de la
−δ W
. Le travail fourni
part de la source froide au cours d’un cycle. Il vient ηm =
−δ W − δ Q f
par le moteur pendant dt est −δ W = Pm dt. Le transfert thermique fourni par le fluide
interne du moteur à l’eau de la rivière pendant dt est −δ Q f = Pth dt. Exprimé avec
Pm
. Finalement, le réchauffement de
les puissances, le rendement devient ηm =
Pm + Pth
Pm (1 − ηm )
= 1, 1◦ C.
l’eau se traduit par l’écart de température T2 − T1 =
µ c p Dv ηm
2.2
Bilans d’entropie
Les bilans d’entropie se font de manière assez similaire aux bilans d’énergie, mais en utilisant
le second principe au lieu du premier. On reprend les notations de la figure 15.3. On note
respectivement s1 et s2 les entropies massiques des systèmes Σ1 et Σ2 . Le second principe de
la thermodynamique appliqué dans R au système fermé Σ∗ sur une durée dt, s’écrit :
dS∗ = δ Se + δ Sc .
On calcule à présent les deux premiers termes de cette équation :
" !
"
!
dS∗ = SΣ∗ (t + dt) − SΣ∗ (t) = SΣ0 (t + dt) + δ m2 s2 − SΣ0 (t) + δ m1 s1
= dS0 + δ m2 s2 − δ m1 s1 ,
et on note δ Se = δ Se disp→Σ0 . On peut donc écrire :
dS0 + δ m2 s2 − δ m1 s1 = δ Se disp→Σ0 + δ Sc .
Dans le cas particulier des écoulements stationnaires, dS0 = 0, δ m2 = δ m1 = δ m. On note
δ Se disp→Σ0
, et
se l’entropie massique reçue par le fluide de la part du dispositif, c’est-à-dire
δm
δ Sc
sc l’entropie massique créée dans le dispositif, soit
. Après division de l’expression du
δm
second principe par δ m, il vient s2 − s1 = se + sc .
Lorsqu’un fluide, en écoulement stationnaire, traverse un dispositif lui fournissant
une entropie massique se , avec une création d’entropie massique sc , le second principe
s’écrit :
∆s = se + sc .
415
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
Exemple
On revient sur la détente de Joule-Thomson étudiée plus haut. Puisque les parois sont calorifugées, se = 0. On suppose que le fluide en écoulement est un gaz parfait. Son entro!
"
R
ln T γ P1−γ +
pie massique est par conséquent donnée par l’expression s =
M (γ − 1)
constante. Le second principe pour ce gaz parfait en écoulement stationnaire s’écrit
# #
$
#
$$
R
γ 1−γ
γ 1−γ
s2 − s1 = sc , d’où sc =
ln T2 P2
− ln T1 P1
, et puisque l’écouleM (γ − 1)
ment de Joule-Thomson est isenthalpique, il est aussi isotherme pour un gaz parfait :
T2 = T1 . On peut&donc
' exprimer l’entropie créée par kg de gaz parfait qui traverse le coP1
R
ln
. Cette quantité est nécessairement positive puisqu’il faut imposer
ton : sc =
M
P2
P1 > P2 pour faire s’écouler le gaz à travers le coton.
3
Modèle de l’écoulement parfait
3.1
Notion d’écoulement parfait
Un écoulement parfait est un écoulement pour lequel il n’existe aucun phénomène de
transport diffusif (ni de quantité de mouvement, ni thermique. . .) Un tel écoulement est
donc non viqueux et évolue de façon adiabatique et réversible.
Le modèle de l’écoulement parfait est souvent utilisé comme premier modèle, du fait de la
simplicité des calculs qu’il engendre. Dans le cadre d’un modèle d’écoulement parfait, il n’y
a plus de condition d’adhérence sur les parois. La condition aux limites imposée par une
paroi est seulement que le champ des vitesses lui soit tangent. Le champ des vitesses d’un
écoulement parfait est uniforme dans les sections droites des conduites cylindriques.
Le modèle de l’écoulement parfait peut servir de premier modèle, pour dégager des
ordres de grandeur.
Le modèle de l’écoulement parfait peut aussi être utilisé dans une étude plus élaborée, si
on prend soin de délimiter les zones de l’espace où on le met en œuvre. Comme on l’a vu
dans le chapitre 12, les forces de viscosité dans les fluides newtoniens (modèle généralement
adopté) sont proportionnelles aux dérivées spatiales du champ des vitesses. La viscosité ne
se manifeste donc de façon significative que dans les régions de l’espace où le champ des
vitesses admet des fluctuations spatiales importantes, c’est-à-dire dans la couche limite.
En première approximation, les écoulements réels peuvent être considérés parfaits en
dehors de la couche limite.
On voit aussi dans le chapitre 14 que l’épaisseur d’une couche limite diminue lorsque le
nombre de Reynolds augmente. Ainsi, pour des nombres de Reynolds élevés, il est possible
d’adopter le modèle de l’écoulement parfait dans une grande partie des zones d’écoulement.
416
M ODÈLE DE L’ÉCOULEMENT PARFAIT
Lors de l’étude d’écoulements dans des conduites, le modèle d’écoulement parfait permet
d’effectuer des calculs simples et rapides pour évaluer des ordres de grandeur, dans le cas de
fluides peu visqueux comme l’air ou l’eau. La forme du champ des vitesse n’est réaliste que
si on ne se rapproche pas trop des parois.
En ce qui concerne les écoulements externes autour d’obstacles, lorsque la couche limite
n’est pas décollée, c’est-à-dire lorsqu’elle épouse la forme des obstacles qu’elle contourne,
le modèle de l’écoulement parfait peut être adopté quasiment jusqu’aux obstacles, en dehors
de la couceh limite.
3.2
Lien entre énergie interne massique et enthalpie massique
On considère pour commencer une masse m de fluide homogène, de masse volumique uniforme µ , et de volume V . Son énergie interne est U = mu et son enthalpie H = mh = mu + PV .
P
Il vient h = u + . Dans le cas d’un fluide non homogène, un raisonnement similaire portant
µ
sur une quantité infinitésimale de fluide conduirait au même résultat.
L’énergie interne massique est liée à l’enthalpie massique par h = u +
3.3
P
.
µ
Relation de Bernoulli pour les écoulements parfaits stationnaires
homogènes et incompressibles
On considère un écoulement parfait, stationnaire, homogène et incompressible, dans le référentiel terrestre R, supposé galiléen. L’axe (Oz) est choisi vertical ascendant. On suppose
que la seule force volumique agissant sur le fluide est la force de pesanteur. Soit une ligne de
courant allant d’un point A à un point B. L’écoulement étant supposé stationnaire, cette ligne
de courant est également la trajectoire des particules de fluide allant de A à B. En appliquant
le premier principe au fluide en écoulement entre A et B, conformément au paragraphe 2.1 c)
, on a :
(hB − hA ) + (ecB − ecA ) + (e pB − e pA) = wu + q.
Si, entre les points A et B, le fluide ne reçoit aucun travail utile (pas de turbine ni de pompe
ni d’hélice), ni aucun transfert thermique, wu = 0 et q = 0. Pour un fluide en écoulement
dP
incompressible, µ est une constante, donc dh = du + . L’identité thermodynamique vue
µ
en chimie, s’écrit pour les grandeurs massiques : du = T ds− PdVmass (Vmass représentant ici le
volume massique, non noté v pour éviter les confusions avec la vitesse). L’écoulement étant
parfait, donc adiabatique et réversible, ds = 0. L’écoulement étant incompressible, dVmass =
dP
PB − PA
0. Il vient dh =
. La formulation du premier principe devient
+ (ecB − ecA ) +
µ
µ
(e pB − e pA) = 0. On note zA et zB les altitudes des points A et B, et on note vA et vB les normes
PA 1 2
PB 1 2
+ v + gzB =
+ v + gzA . Ceci
du champ des vitesses en ces mêmes points. Il vient
µ 2 B
µ 2 A
étant établi pour un couple de points appartenant à une même ligne de courant, le résultat
reste valable pour tout autre couple de points de la même ligne de courant.
417
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
Dans un référentiel galiléen dont l’axe (Oz) est vertical ascendant, lorsqu’un écoulement est parfait, stationnaire, homogène et incompressible et lorsque les seules forces
volumiques sont celles de pesanteur, considérée uniforme, la relation de Bernoulli est
vérifiée :
1
P + µ gz + µ v2 = KLdc ,
2
la constante KLdc étant attachée à une ligne de courant.
Les différents termes qui apparaissent dans le membre de gauche portent des noms particuliers :
1
• P + µ gz + µ v2 est appelée pression totale Ptot ;
2
• P + µ gz est appelée pression motrice Pmot (ou parfois pression statique).
1
• µ v2 est appelée pression dynamique Pdyn .
2
La pression totale représente l’énergie mécanique volumique du fluide au point considéré :
1 2
µ v est l’énergie cinétique volumique ; µ gz est l’énergie potentielle volumique de pesan2
teur ; P est une énergie potentielle volumique associée aux forces de pression.
La relation de Bernoulli traduit la conservation de l’énergie mécanique volumique, dans
un écoulement parfait, stationnaire, homogène et incompressible, entre deux points
d’une même ligne de courant.
Remarques
1
• la relation de Bernoulli peut encore s’écrire Pmot + µ v2 = KLdc , ou même Ptot =
2
KLdc ;
• on peut retrouver la relation de Bernoulli en utilisant le théorème de la puissance
cinétique, les puissances des actions extérieures étant limitées à celles du poids et
des forces de pression, et les puissances des actions intérieures étant nulles pour un
écoulement parfait et incompressible, ce qui est admis dans le cadre du programme.
3.4
Applications de la relation de Bernoulli
a) Complément : loi de pression dans un écoulement uniforme stationnaire
On considère un écoulement stationnaire pour lequel le champ des vitesses est uniforme,
c’est-à-dire qu’il est le même en tout point de la zone d’étude, comme cela est schématisé
sur la figure 15.4, page suivante : #–
v (M,t) = #–
v 0 dans le référentiel terrestre RTerre . Soit R ′ ,
le référentiel en translation par rapport à RTerre à la vitesse constante #–
v 0 . Puisque le fluide
s’écoule en bloc, sans se déformer, tel un solide, si on se place dans le référentiel R ′ , le
fluide est au repos. On peut donc y appliquer les lois de la statique des fluides. Si la seule
force volumique est celle de pesanteur, la relation fondamentale de la statique des fluides
# –
s’écrit µ #–
g = grad P, d’où P = − µ gz + constante. Ainsi, Pmot = P + µ gz est une constante.
418
M ODÈLE DE L’ÉCOULEMENT PARFAIT
Au sein d’un écoulement uniforme stationnaire, la quantité (P + µ gz) est uniforme,
autrement dit, la pression motrice Pmot est uniforme.
S
z h/2
x
RTerre
O
y
#–
v0
R′
#–
v0
#–
v0
#–
F g →d
O′
#–
g
−h/2
Figure 15.4 – Écoulement uniforme et stationnaire.
!
Cette propriété ne peut se démontrer à l’aide d’une relation de Bernoulli le long d’une courbe
reliant des points d’une même section puisque la relation de Bernoulli n’est valide que le long
d’une ligne de courant.
b) Effet Venturi
On considère un écoulement parfait, stationnaire, homogène et incompressible dans une
conduite présentant un rétrécissement local, la section passant de S1 à S2 , avec S2 < S1 , puis
revenant à S1 , comme le montre la figure 15.5. Le caractère parfait de l’écoulement permet
d’affirmer que le champ des vitesses est uniforme dans les zones cylindriques (sauf à proximité des changements de section). Le caractère incompressible se traduit par la conservation
du débit volumique, donc v1 S1 = v2 S2 . Puisque S2 < S1 , v2 > v1 . C’est ce que l’on appelle
parfois l’effet d’entonnoir : dans un entonnoir, un liquide descend lentement dans la zone
supérieure, très évasée, mais il s’écoule bien plus vite dans la partie étroite, le débit étant
pourtant le même.
Section S1
z
RTerre
x
y
O
#–
v1 A
Section S1
Section S2
P1
#–
v1
B
P2
#–
v2
Figure 15.5 – Effet Venturi.
En appliquant la relation de Bernoulli sur la ligne de courant allant de A à B, on a P1 + µ gzA +
"
1 2
1
1 !
µ v = P2 + µ gzB + µ v22 . Et puisque A et B sont à la même altitude, P2 = P1 + µ v21 − v22 .
2 1
2
2
Puisque v2 > v1 , P2 < P1 . Cette diminution de la pression est appelée effet Venturi 2 .
2. Giovanni Battista Venturi, 1746 − 1822 a réalisé de nombreux travaux dans le domaine de la dynamique des
fluides.
419
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
Dans un écoulement parfait, stationnaire, homogène et incompressible, le rétrécissement de la section de l’écoulement s’accompagne d’une diminution de la pression. C’est
l’effet Venturi.
Remarque
Comme on l’a vu au paragraphe a), la pression motrice est uniforme dans chacune des
sections S1 et S2 . Sa valeur est respectivement Pmot1 et Pmot2 . En utilisant une autre ligne
de courant que la ligne horizontale AB, on obtient une relation faisant intervenir les
altitudes des points ; ces altitudes étant prises en compte dans les pressions statiques,
"
1 !
on a : Pmot2 = Pmot1 + µ v21 − v22 . Les différences d’altitude étant le plus souvent
2
négligeables, on se ramène alors à la relation obtenue plus haut.
L’effet Venturi se manifeste dans de nombreuses situations de la vie quotidienne : le blouson
gonflé sur le dos d’un motard sur un autoroute, la capote bombée d’une voiture décapotable,
le vent qui favorise le tirage d’une cheminée. Les vaporisateurs de parfum et les trompes à
eau utilisées en chimie pour créer des dépressions, exploitent également ce phénomène.
Que se passe-t-il lorsque l’on souffle avec un sèche-cheveux, de haut en bas, sur la moitié
d’une balle de ping-pong suspendue à un fil ? On pourrait être tenté de croire que la balle soit
repoussée par le jet d’air. Au contraire, comme le montre la figure 15.6, la balle est « aspirée
» par le jet.
#–
T
#–
F p2
#–
F p1
RTerre
m #–
g
O
Figure 15.6 – Effet Coanda sur une balle de ping-pong.
En réalité, comme l’écoulement n’est pas canalisé dans une conduite mais constitue un jet
libre, il s’agit ici de l’effet Coanda 3 . Le contournement de la balle induit une augmentation
de la vitesse, donc une diminution de la pression. Le jet d’air du sèche-cheveux, qui n’est pas
canalisé, est par conséquent dévié, les particules de fluide étant soumises à la différence de
pression entre l’extérieur du jet et sa partie au contact de la balle. La résultante des forces de
pression exercées sur une particule de fluide lui communique une accélération en direction
3. Henri Coanda 1886 - 1972, ingénieur roumain en aéronautique, pionnier dans le domaine de l’aviation et du
moteur à réaction.
420
M ODÈLE DE L’ÉCOULEMENT PARFAIT
#–
du centre de courbure de sa trajectoire. La résultante F p 1 des forces de pression s’exerçant
#–
sur la partie de la balle en contact avec le jet est de norme inférieure à celle de F p 2 s’exerçant
sur l’autre partie. Pour que la balle soit à l’équilibre sous l’action de ces deux forces, de son
#–
poids m #–
g et de la tension T du fil, cette dernière doit être inclinée comme le montre la figure.
c) Débitmètre de Venturi
Attendu que la dépression créée par effet Venturi dépend de la vitesse de l’écoulement, certains débitmètres exploitent cet effet. Le principe est le suivant : on insère un rétrécissement
dans la conduite au sein de laquelle on cherche à mesurer le débit, et on mesure la différence de pression entre les deux zones de sections différentes. Si le fluide qui s’écoule est
un liquide, la mesure de la différence de pression peut se faire au moyen de simples tubes
verticaux, comme le montre le schéma de gauche de la figure 15.7. Si le fluide en écoulement
est un gaz, on peut utiliser un tube en « U », rempli d’un liquide, et relié par des tuyaux aux
deux zones de la canalisation, comme sur le schéma de droite.
P0
P0
A3
∆h
B3
z
#–
g x
O
∆h ′
RTerre
y
z
C
µ
A2
#–
g
′
x
O
RTerre
y
A2
A1
#–
v1
µ
E
µ
Section S1
B1
A1
B2
#–
v2
Section S2
#–
v1
Section S1
#–
v1
B1
µ
Section S1
B2
#–
v2
Section S2
#–
v1
Section S1
Figure 15.7 – Débitmètres de Venturi.
On commence par l’étude du schéma de gauche. On adopte dans la canalisation le modèle
de l’écoulement parfait, stationnaire, homogène et incompressible. La masse volumique est
notée µ . En appliquant la relation de Bernoulli sur la ligne
allant du point A1 au
& de courant
'
" 1 2 S12
1 ! 2
2
− 1 . Dans les tubes verticaux,
point B1 , Pmot (A1 ) − Pmot (B1 ) = µ v2 − v1 = µ v1
2
2
S22
il n’y a pas d’écoulement. Ce sont des dispositifs de prise latérale de pression, comme cela
a déjà été vu à la page 359 du chapitre 13. La relation de la statique des fluides appliquée
au fluide dans les tubes verticaux donne Pmot (A2 ) = Pmot (A3 ) et Pmot (B2 ) = Pmot (B3 ). Les
tubes étant ouverts sur l’atmosphère, P (A3 ) = P (B3 ) = P0 . Il y a continuité de la pression
(et de l’altitude donc de la pression motrice) : Pmot (A1 ) = &
Pmot (A2 )'et Pmot (B1 ) = Pmot (B2 ).
2
1 2 S12
2 = 2gS2 ∆h . Le
On peut donc écrire P0 + µ gz (A3 ) − P0 − µ gz (B3 ) = µ v1
−
1
,
d’où
v
1
2
S22
S12 − S22
7
2g ∆h
. La lecture de ∆h donne donc accès
débit volumique est Dv = v1 S1 d’où Dv = S1 S2
S12 − S22
au débit.
Remarques
• l’utilisation de la pression motrice plutôt que la pression simplifie la formulation ;
421
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
• on peut aussi prendre une ligne de courant horizontale et utiliser le fait que dans les
zones de section constante, P + µ gz est constant, comme cela a été montré dans le
préliminaire.
On s’intéresse à présent au dispositif du schéma de droite de la figure 15.7, pour
& lequel 'la
1 2 S12
canalisation est parcourue par un gaz. On a encore Pmot (A2 ) − Pmot (B2 ) = µ v1
−1 .
2
S22
Comme on l’a vu dans le chapitre 10 à la page 277, en statique, les variations de pression
avec l’altitude au sein d’un gaz sont négligeables devant celles dans un liquide, donc on a
approximativement P (A2 ) − P (B2 ) = P (C) − P (E). De plus, dans les zones de section S1
et S2 , où les écoulements sont uniformes, la pression évolue avec z comme en statique. On
peut donc, là encore, négliger le terme de pesanteur et écrire Pmot (A2 ) − Pmot (B2 ) = P (A2 ) −
P (B2 ). La relation fondamentale de la statique des fluides appliquée au liquide dans le tube
en U donne P (C) − P(E) = µ ′ g∆h ′ . En égalisant les deux expressions de7P (C) − P (E), il
2 µ ′ gS2∆h ′
2µ ′ g ∆h ′
!
".
vient v21 = ! 2 2 2" . Le débit volumique est Dv = v1 S1 d’où Dv = S1 S2
µ S1 − S2
µ S12 − S22
Remarques
• un dispositif permettant de mesurer une différence de pression est appelé manomètre
différentiel ; le tube en U en est un exemple, mais il existe des capteurs plus précis ;
• en plaçant des tubes de prise latérale de pression tout le long de la conduite du schéma
de gauche de la figure 15.7, on pourrait tracer la courbe rejoignant les différentes
surfaces libres, c’est-à-dire les points de type A3 ou B3 . Cette courbe se nomme «
ligne piézométrique ». Elle permet de suivre l’évolution de la pression motrice le
long de la conduite ;
• dans le cadre du modèle de l’écoulement parfait, la pression motrice est la même tout
le long d’une conduite de section constante, même si elle présente des coudes. Cela
est illustré sur la figure 15.8 où le niveau est le même dans tous les tubes verticaux de
prise latérale de pression. La ligne piézométrique est ainsi une droite horizontale. Si
on prenait en compte la viscosité, la ligne piézométrique ne serait plus horizontale,
comme on le verra au paragraphe 4.2 ;
P0
P0
P0
B3
A3
C3
#–
g
A2
RTerre
A1
#–
z
v1
x
O
y
B2
µ
Section S1
#–
v1
B1
#–
v1
Section S1
Section S1
Figure 15.8 – Écoulement parfait dans une conduite de section constante.
422
M ODÈLE DE L’ÉCOULEMENT PARFAIT
d) Tube de Pitot
Rendu tristement célèbres à la suite de l’accident d’un avion de ligne en 2009, entre Rio et
Paris, le tube de Pitot est un dispositif permettant de mesurer la vitesse d’un écoulement.
Son principe est schématisé sur la figure 15.9 : un tube pointu (représenté en noir) est percé
de deux orifices. L’un des deux est orienté face à l’écoulement (point B1 ) ; l’autre est orienté
perpendiculairement (point C2 ). Des tuyaux remplis de gaz (en général de l’air) relient ces
deux orifices à un manomètre différentiel (par exemple un tube en U contenant un liquide de
masse volumique µ ′ ), éventuellement situé nettement plus loin, comme le suggère le schéma
avec les deux lignes brisées.
On suppose que dans le référentiel R lié au tube de Pitot, un fluide de masse volumique µ est
en écoulement parfait, stationnaire, homogène et incompressible. Le point B1 est appelé point
d’arrêt. À sa droite, il n’y a pas d’écoulement : le fluide est statique entre C1 et D1 , du fait
de la présence du liquide dans le U, qui empêche le passage du gaz. En appliquant la relation
1
de Bernoulli sur la ligne de courant joignant A1 à B1 , on a P (A1 ) + µ v2 + µ gz (A1 ) =
2
1 2
P (B1 ) + 0 + µ gz (B1 ), d’où P (B1 ) = P (A1 ) + µ v . La relation de Bernoulli entre A2 et
2
B2 donne approximativement P (B2 ) = P(A2 ) puisque les deux points sont quasiment à la
même altitude et que le tube, très effilé, ne modifie quasiment la vitesse de l’écoulement
(v (B2 ) ≃ v (A2 ) = v). Du fait de la continuité de la pression, P (C2 ) = P (B2 ), P (C1 ) = P (B1 )
1
et P (A2 ) = P (A1 ). Il vient donc P (C1 ) = P (C2 ) + µ v2 . Conformément à ce que l’on a vu
2
dans le chapitre 10 à la page 277, les variations de pression au sein du gaz entre C2 et D2 et
entre C1 et D1 sont négligeables devant celle au sein du liquide, entre D1 et D2 . On peut donc
poser P (C1 ) = P (D1 ) et P (C2 ) = P (D2 ). Par ailleurs, le liquide étant à l’équilibre, on peut
y appliquer la relation fondamentale de la statique des fluides, qui conduit, conformément au
1
paragraphe 4 de la page 277 à P (D1 ) = P (D2 ) + µ ′ g ∆h. Finalement, il vient µ v2 = µ ′ g ∆h,
2
7
2µ ′ g ∆h
.
d’où v =
µ
#–
v
µ
B2
A2
A1
B1
C2
C1
D2
#–
g
z
R
x
O
∆h
D1
y
µ′
Figure 15.9 – Tube de Pitot pour mesurer la vitesse d’un écoulement.
423
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
Remarque
Les tubes de Pitot sont aussi appelés sondes de Pitot ou tubes de Prandtl.
e) Écoulements quasi-stationnaires, application à la formule de Toricelli
On étudie la vidange d’un réservoir, dont la surface libre est de grande section S par rapport à
celle, s, de l’orifice de sortie, comme le montre la figure 15.10. La vitesse de sortie est notée
v ℓ . Le liquide du réservoir est
v#–s . Au niveau de la surface libre, le champ des vitesses est noté #–
de masse volumique µ . On le suppose en écoulement parfait, homogène et incompressible.
L’écoulement n’est pas stationnaire puisque le réservoir se vide au fil du temps. Mais sur
une durée courte par rapport à la durée totale de la vidange, l’écoulement peut être considéré
quasi-stationnaire, et la vitesse de sortie v#–s quasiment constante. En effet, la conservation du
débit volumique donne vℓ S = vs s. Puisque s ≪ S, vℓ ≪ vs , donc la surface libre descend très
lentement. L’origine de l’axe (Oz) est choisie au niveau de l’orifice de sortie. Les points de
la surface libre sont à la pression atmosphérique P0 , et le liquide qui s’écoule par l’orifice de
sortie est également à la pression ambiante P0 . La relation de Bernoulli appliquée sur la ligne
1
1
de courant AB s’écrit donc P0 + µ v2ℓ + µ gH = P0 + µ v2s , d’où la formule de Toricelli :
2
2
5
vs = 2gh.
On peut alors chercher quelle sera la durée ∆t nécessaire pour vider le réservoir.
Bien que la vitesse des points de la surface libre soit négligeable devant celle de
ceux de la surface de sortie, elle n’est pas
s
nulle et peut s’écrire #–
v ℓ = − vs u#–z . La
S
dérivée par rapport au temps de l’altitude
h (t) de la surface libre est donc :
section S
P0
z
A
h
µ
#–
g
s5
dh
(t) = −
2gh (t).
dt
S
O
section s
P0
La résolution de cette équation différentielle non linéaire peut se faire en séparant les variables. On note h0 la hauteur
du liquide à l’instant t = 0.
L’équation différentielle peut s’écrire :
√
dh
s 2g
√ =−
dt d’où
S
h
B
v#–
s
Figure 15.10 – Vidange d’un réservoir −
formule de Toricelli.
ˆ
h(t)
h0
√ ˆ
dh
s 2g t
√ =−
dt,
S
h
0
qui s’intègre en :
5
5
s
h (t) = h0 −
S
424
6
g
t
2
⇒
RTerre
h (t) =
gs2 2 s 5
t −
2gh0 t + h0 .
2S2
S
É COULEMENTS RÉELS : PERTES DE CHARGE DANS UNE CONDUITE
Et finalement ∆t vérifie h (∆t) = 0, équation du deuxième ordre en ∆t.
4
Écoulements réels : pertes de charge dans une conduite
4.1
Définition
La relation de Bernoulli, établie au paragraphe 3.3, traduit la conservation de l’énergie mécanique volumique, dans un écoulement supposé parfait, stationnaire, homogène et incompres1
sible, entre deux points d’une même ligne de courant : P + µ gz + µ v2 = KLdc . Si on prend
2
en compte la viscosité du fluide, l’énergie mécanique volumique ne se conserve plus, du fait
des pertes d’énergie par frottements.
Pour un fluide en écoulement homogène et incompressible (donc pour lequel la masse
volumique µ est indépendante du temps et des coordonnées d’espace), on définit la
charge comme le rapport :
charge =
P
v2
Ptot
=
+z+ .
µg
µg
2g
La charge est une quantité homogène à une hauteur, donc à une distance.
P
1
Attendu que + gz + v2 est l’énergie mécanique totale massique du fluide, la charge repréµ
2
sente l’énergie mécanique totale d’une masse de 1 kg de fluide, exprimée en altitude, c’est-àdire divisée par g.
Remarque
La charge d’un fluide réel n’est pas uniforme dans une section droite d’une conduite.
Tous les points d’une section droite ont la même pression motrice, mais les points
de la périphérie ont une pression dynamique nulle, ce qui n’est pas le cas des points
intérieurs. On définit alors parfois une charge moyenne, mais cette notion ne figure pas
au programme de la classe de PSI.
On distingue deux types de pertes de charges : celles qui se manifestent dans des
conduites cylindriques, c’est-à-dire de section constante, sont qualifiées de régulières.
Celles qui sont dues à des singularités, comme les coudes ou les changements de sections, sont dites singulières.
4.2
Perte de charge régulière dans une conduite de longueur L et de
diamètre D
Comme expliqué à la fin du chapitre 13, dans un écoulement réel à l’intérieur d’une conduite,
la pression totale Ptot ne se conserve pas le long d’une ligne de courant. La figure de la page
358 montre clairement que dans une conduite cylindrique horizontale, la pression décroit
régulièrement à mesure que l’on progresse le long de celle-ci.
425
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
Dans un écoulement stationnaire, homogène et incompressible, on appelle perte de
charge régulière entre deux points d’une même ligne de courant, la diminution de la
charge entre ces deux points :
&
' &
'
∆Ptot, rég
v21
v22
P1
P2
=
+ z1 +
−
+ z2 +
,
µg
µg
2g
µg
2g
l’écoulement se faisant de 1 vers 2.
Attendu que la charge d’un fluide est associée à son énergie mécanique, la perte de charge
est liée à une dissipation d’énergie mécanique, par frottements visqueux. Plus précisément,
∆Ptot
est l’énergie mécanique dissipée par kg de fluide qui s’écoule.
µ
Complément : coefficient de perte de charge Dans le même esprit que les coefficients
traînée Cx et de portance Cz , on définit un coefficient de pertes de charge λ , sans dimension.
Pour former un tel coefficient, il faut diviser la perte de charge par une distance, caractéristique de l’écoulement. En notant U la vitesse débitante, on pourrait imaginer prendre la
1
µU 2
quantité 2
pour distance caractéristique mais elle ne traduit pas le fait que la perte de
µg
charge est a priori fonction croissante de la longueur L sur laquelle elle est calculée. La mulL
tiplication de la grandeur précédente par
permet de pallier à ce défaut. La « formule de
D
4
Darcy » ou « équation de Darcy-Weisbach » 5 définit le coefficient de perte de charge par le
∆Ptot
U 2L
rapport de
sur
.
µg
2gD
Pour une conduite de longueur L, de diamètre D, dans laquelle circule un fluide de vitesse
débitante U, le coefficient de perte de charge régulière est un coefficient sans dimension
défini par :
2D ∆Ptot
λ=
.
µ LU 2
Comme les coefficients de traînée et de portance, le coefficient de pertes de charge dépend de
la nature de l’écoulement, donc du nombre de Reynolds. Il dépend également de la rugosité
de la conduite. Afin d’étudier l’influence de ces deux paramètres sur les pertes de charges,
Johann Nikuradse 6 réalisa de nombreuses expériences en collant des grains de sable calibrés,
de façon régulière, sur les parois d’une canalisation. Il caractérisa la rugosité par un paramètre
noté k, qui représentait le diamètre des grains. Dans les conduites industrielles, la rugosité
n’est pas aussi régulière, mais on peut toutefois définir une rugosité uniforme équivalente,
4. Henry Darcy, 1803 - 1858, hydraulicien français, polytechnicien et ingénieur des Ponts et Chaussées ; il a
conçu le réseau d’alimentation en eau de la ville de Dijon.
5. Julius Weisbach, 1806 - 1871, ingénieur hydraulicien allemand.
6. Johann Nikuradse, 1894 - 1979, chercheur au laboratoire Kaiser-Wilhelm de mécanique des fluide, publia en
1933 un article fondateur sur les pertes de charges dans des conduites rugueuses.
426
É COULEMENTS RÉELS : PERTES DE CHARGE DANS UNE CONDUITE
par référence aux travaux de Nikuradse. Afin d’obtenir un paramètre sans dimension, on
définit la rugosité relative d’une conduite kr en divisant la rugosité absolue par le diamètre de
k
la conduite : kr = .
D
La figure 15.11 montre un réseau de courbes traduisant la variation du coefficient de perte
de charge régulière λ en fonction du nombre de Reynolds Re, pour différentes valeurs de la
k
rugosité relative . Ces courbes traduisent des lois empiriques obtenues pour des conduites
D
industrielles, dont la rugosité absolue k est tabulée en fonction du matériau constituant la
conduite, selon le tableau ci-dessous.
Matériau
acier laminé neuf
acier laminé rouillé
acier riveté
acier soudé neuf
acier soudé rouillé
béton
ciment lissé
rugosité k (mm)
0,05
0,15 à 0,25
0,9 à 9
0,03 à 0,1
0,4
0,12
0,3 à 0,8
Matériau
ciment brut
cuivre
fer galvanisé
fonte neuve
fonte rouillée
laiton industriel
verre
rugosité k (mm)
1 à3
0,001
0,15
0,25
1 à 1,5
0,025
0,001
ligne de
séparation
λ
0,60
0,40
Karman-Prandtl
Hagen-Poiseuille
k/D=0,3
0,20
k/D=0,2
k/D=0,1
0,10
0,08
k/D=0,05
0,06
0,04
k/D=0,01
pente −1
k/D=5.10-3
k/D=2.10-3
0,02
k/D=5.10-4
0,01
0,008
102
Blasius
103
laminaire
104
pente −
105
k/D=1.10-4
1
4
k/D=5.10-6
106
107
108
Re
turbulent
Figure 15.11 – Coefficient de pertes de charge régulières en fonction
du nombre de Reynolds pour différentes rugosités.
Sur le graphe de la figure 15.11, on peut identifier plusieurs domaines :
• pour Re < 2.103 (domaine de Hagen-Poiseuille), la courbe est une droite, de pente −1,
donc λ varie en 1/Re ; l’écoulement est laminaire et la rugosité n’intervient pas ;
427
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
• pour 2.103 < Re < 4.103 , il n’y a pas de comportement caractéristique simple ; il s’agit de
la zone de transition, qui suit le régime laminaire ;
• pour 4.103 < Re < 105 , et pour des rugosités relatives inférieures à 10−4 (domaine de
1
1
Blasius), la courbe est une droite de pente − , donc λ varie en 1/4 ;
4
Re
• à droite du pointillé appelé « ligne de séparation » (domaine de Karman-Prandtl), c’est-àdire pour des nombres de Reynolds élevés (dont la valeur dépend de la rugosité), la courbe
est une droite horizontale, donc λ est indépendant du nombre de Reynolds ; cette zone est
qualifiée d’hydrauliquement rugueuse.
!
"
Cas des faibles nombres de Reynolds Re < 2.103 La première partie linéaire du graphe
du coefficient de perte de charge (pour Re < 2.103) de la figure 15.11 correspond aux écoulements laminaires, c’est-à-dire aux écoulements de Poiseuille. Le graphe étant tracé en
échelle bilogarithmique, et la droite ayant un coefficient directeur égal à −1, on a une reconstante2
lation du type log (λ ) = − log (Re) + constante1 , c’est-à-dire λ =
. Cette relation
Re
peut se retrouver en reprenant l’étude de l’écoulement de Poiseuille du chapitre 13. La loi
8η L
de Hagen-Poiseuille, qui y a été établie au paragraphe 4.1, s’écrit : (P1 − P2) =
Dv ,
π R4
R étant le rayon de la conduite circulaire cylindrique et Dv le débit volumique. En réalité,
comme cela avait annoncé dans les paragraphes 4.3 et 4.4 du chapitre 12, les calculs des
chapitres précédents étaient approchés : l’influence de la pesanteur était négligée. Un calcul plus rigoureux aurait conduit à la même formule mais en remplaçant la pression par la
8η L
pression motrice : (P1 + µ gz1 − P2 − µ gz2 ) =
Dv . En introduisant la vitesse débitante
π R4
Dv
8η LU
U=
, il vient (P1 + µ gz1 − P2 − µ gz2) =
. La conduite étant cylindrique, le champ
π R2
R2
des vitesses est le même tout le long d’une ligne de courant. Il en est donc de même de la
8η LU
∆Ptot
1
=
Le coefficient de perte de charge est alors
pression dynamique µ v2 . Il vient
2
µg
µ gR2
64
2D ∆Ptot
16η D
64η
=
.
λ=
=
=
2
2
µ LU
µ UR
µ UD Re
Pour un écoulement de Poiseuille d’un fluide de viscosité η , avec une vitesse débitante U
dans une conduite cylindrique circulaire de longueur L et de rayon R, la perte de charge
∆Ptot
8η LU
64
régulière a pour expression
=
.
. Le coefficient de perte de charge est λ =
2
µg
µ gR
Re
z
P0 P0
P0
P0 P0
P0
#–
g
Pmot1
Pmot2
P0
P0
Pmot2
Pmot1
Figure 15.12 – Pertes de charge dans un écoulement de Poiseuille cylindrique.
428
É COULEMENTS RÉELS : PERTES DE CHARGE DANS UNE CONDUITE
Remarques
• le résultat établi ci-dessus reste valide même si la conduite n’est pas horizontale,
puisque l’influence de l’altitude est prise en compte dans la pression motrice. Cela
est illustré sur la figure sur laquelle les deux tronçons de conduite sont soumis aux
mêmes pressions statiques en entrée et en sortie, Pmot1 et Pmot2 . Les niveaux dans les
quatre tubes verticaux y sont aux mêmes altitudes ;
• la courbe reliant ces niveaux est la « ligne piézométrique » ; elle aurait ici une forme
de droite de pente négative, alors qu’elle était horizontale dans la cadre du modèle
de l’écoulement parfait de la figure 15.8 ;
• les écoulements industriels sont quasiment toujours turbulents, donc en dehors de
cette zone de Hagen-Poiseuille ; la perte de charge se calcule alors à partir d’une
abaque comme celle de la figure 15.11.
4.3
Perte de charge singulière
∆Ptot sing
se produit en présence d’une singularité dans
µg
une conduite : coude, vanne, changement de section, etc.
Une perte de charge singulière
Remarque
Tout comme la perte de charge régulière, une perte de charge singulière est associée à
une dissipation d’énergie mécanique.
Complément : coefficient de perte de charge singulière Dans le même esprit que pour les
pertes de charge régulières, mais sans faire intervenir la longueur L de la conduite, puisque
les singularités ont un caractère local, on définit un coefficient de perte de charge singulière
1
µU 2
2
, U étant une vitesse débitante, soit :
ζ en divisant la perte de charge par la quantité
µg
ζ=
2 ∆Ptot
.
µ U2
Dans le cas d’un changement de section, U représente en général la vitesse débitante dans la
plus petite des deux sections.
Étant donnée la grande diversité des singularités possibles, il n’est pas possible d’en donner
une liste exhaustive. Le coefficient de perte de charge singulière s’estime à partir d’abaques
ou de logiciels spécialisés. À titre d’exemple, un exercice de la fin du chapitre permet de
déterminee l’expression de ζ pour une brusque augmentation de section.
Dissymétrie des écoulements dans les raccords de conduites Lorsqu’une conduite présente un changement de section brutal, la forme des lignes de courants change selon le sens
429
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
dans lequel le fluide circule. Les figures 15.13 et 15.14 montrent une même portion de canalisation, avec des sections S1 et S2 , l’écoulement se faisant dans un sens puis dans l’autre.
Lorsque la canalisation se rétrécit brusquement, il existe une zone annulaire morte dans l’entrée de la partie la plus étroite, ce qui y fait apparaître une section effective Sc , plus petite
que sa section réelle. C’est cette section effective qui intervient dans le coefficient de perte de
charge comme cela apparaîtra dans le tableau plus bas.
zone d’eau morte
section S1
section S2
z
Rt
x
y
#–
v1
#–
v2
O
zone d’eau morte
Figure 15.13 – Élargissement brusque.
section S1
section Sc
section S2
#–
v1
#–
v2
Figure 15.14 – Rétrécissement brusque, avec présence d’une section effective Sc .
Quelques coefficients de perte de charge singulière La figure 15.15 montre quelques exemples de singularités. Lorsqu’elles font intervenir des sections différentes à l’entrée et à la
sortie, S pt désigne la plus petite, et Sgd la plus grande. Le coefficient de perte de charge
2 ∆Ptot
, U représentant la vitesse débitante dans la section la plus petite
singulière est ζ =
µ U2
S pt . Le tableau ci-dessous donne la valeur de ζ pour ces différentes singularités.
Sgd
S pt
#–
U
Sgd
Sc
S pt
#–
U
élargissement
rétrécissement
Sgd
S pt
#–
U
θ
diffuseur
S
#–
U
coude
S
S
#–
U
S
diaphragme
Figure 15.15 – Quelques éléments induisant des pertes de charges singulières.
430
s
B ILANS MACROSCOPIQUES D ’ÉNERGIE MÉCANIQUE
Singularité
Élargissement
&
'
S pt 2
1−
Sgd
Rétrécissement
&
'2
S pt
1
+
−1
9
Sc
Singularité
Coude
ζ
0, 45 à 1, 3
Diaphragme
'2 & '2
&
6
s s
S
1 + 0, 71 1 − −
S S
s
ζ
Diffuseur
'
&
S pt 2
k 1−
Sgd
Pour les diffuseurs, k dépend de l’angle θ : k = 0, 049 pour θ = 5°, k = 0, 12 pour θ = 10°,
k = 0, 39 pour θ = 20°. Pour les coudes, la valeur de ζ dépend du rayon de courbure.
5
Bilans macroscopiques d’énergie mécanique
Les bilans énergétiques ont déjà été abordés, de façon très générale, dans le paragraphe 2.1.
Dans le cas très fréquent où le dispositif dans lequel s’écoule le fluide n’a pas vocation à
échanger avec lui de l’énergie sous forme thermique, il est légitime d’effectuer un bilan
d’énergie purement mécanique, en admettant que l’énergie interne massique ne varie pas.
Il en est ainsi en particulier pour les dispositifs industriels de type pompe ou turbine. Les
écoulements y sont supposés stationnaires, homogènes et incompressibles. La masse volumique du fluide est notée µ , et le débit volumique Dv . On note Pe , ze et Se la pression, l’altitude et la section à l’entrée du dispositif industriel. On note de façon similaire Ps , zs et Ss
les grandeurs de sortie correspondantes. Comme on l’a vu au paragraphe 3.3, la pression to1
tale Ptot = P + µ gz + µ v2 représente l’énergie mécanique volumique du fluide. L’énergie
2
'
&
1 2
mécanique qui entre dans le dispositif pendant dt est donc Dv dt Pe + µ gze + µ ve . Celle
2
'
&
1 2
qui en sort pendant la même durée est Dv dt Ps + µ gzs + µ vs . On en déduit la puissance
2
mécanique fournie par le dispositif industriel au fluide en écoulement :
&&
' &
''
1 2
1 2
Pdisp→fl = Dv
Ps + µ gzs + µ vs − Pe + µ gze + µ ve
.
2
2
Exemple
Le jet d’eau de Genève est un jet vertical, dont le point culminant est à une altitude
hmax au-dessus de la surface du lac. Il est alimenté par des pompes dont le débit total
volumique est Dv = 500 L·s−1 . On peut estimer la puissance mécanique minimale que
doivent fournir ces pompes en ne tenant pas compte des pertes de charge dans les canalisations ni des échauffements. On prend une surface de contrôle ayant son entrée au
niveau de la surface libre du lac (dans lequel l’eau est aspirée), et sa sortie au sommet du
jet d’eau. En ces deux points, la pression est celle de l’atmosphère P0 (en négligeant la
variation de pression dans l’air avec l’altitude), et la vitesse est nulle. Il vient P pompe =
431
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
Dv ((P0 + µ ghmax + 0) − (P0 + 0 + 0)), d’où P pompe = Dv µ ghmax = 0,69 MW.
6
Bilans de quantité de mouvement et de moment cinétique
On considère un système fermé Σ∗ en écoulement, constitué à l’instant t de Σ1 ∪ Σ0 , et à t + dt
de Σ0 ∪ Σ2 , comme sur la figure 15.1 de la page 410.
6.1
Loi de la quantité de mouvement
On rappelle pour commencer qu’une masse m animée d’une vitesse #–
v par rapport au référentiel R d’étude a une quantité de mouvement #–
p = m #–
v.
Un fluide de masse m peut regrouper des particules de fluide, de masses δ m, dont les vitesses
sont différentes les unes des autres. Connaissant le champ des vitesses #–
v (M,t) dans R, on
calcule la quantité de mouvement˚
du fluide considéré en intégrant sur toutes les particules de
#–
fluide qui le constituent : #–
p (t) =
v (M,t) µ (M,t) dτ .
f luide
Le théorème de la résultante cinétique appliqué à un système fermé Σ∗ dans le référentiel
#–
d p∗
#–
= ∑ F i ext . À la limite où dt tend vers 0, on peut
d’étude R, supposé galiléen, s’écrit :
dt
i
écrire la loi de la quantité de mouvement :
#–
#–
p∗ (t + dt) − p∗ (t)
#–
= ∑ F i ext .
dt
i
Cette relation est à décliner de différentes façons selon le contexte, c’est-à-dire le nombre
d’entrées et de sorties. Il n’y a pas de formule générale à mémoriser, mais une démarche à
retenir. Cette démarche est à présent illustrée sur deux exemples.
Exemple
On prend pour premier exemple un système dit « de masse variable », c’est-à-dire un
système qui éjecte de la matière ou bien en reçoit. L’exemple classique est celui de la
fusée, qui se propulse « par réaction » c’est-à-dire grâce à l’éjection de gaz brûlés.
Les hypothèses sont les suivantes :
• la fusée est, avec son contenu, de masse m0 à t = 0 ;
• elle expulse des gaz avec un débit massique supposé constant Dm pour chacun des
deux propulseurs, considérés identiques ;
• le gaz éjecté sort des propulseurs avec une vitesse #–
u = −uu#–z, constante, par rapport
au référentiel lié à la fusée ;
• on ne s’intéresse qu’à la phase de décollage, donc on suppose que le champ de pesanteur est uniforme : #–
g = −gu#–z ;
• on travaille dans le référentiel terrestre RTerre , que l’on considère galiléen ;
• on note #–
v (t) = v (t) u#–z la vitesse de la fusée et de son contenu à l’instant t, en prenant
t = 0 au moment où l’éjection des gaz démarre, et v (0) = 0.
432
B ILANS DE QUANTITÉ DE MOUVEMENT ET DE MOMENT CINÉTIQUE
On cherche l’évolution de #–
v au cours du temps.
àt
à t + dt
#–
v (t + dt)
#–
v (t)
Σ0 (t + dt)
Σ0 (t)
Σ21
Σ22
z
RTerre
y
O
#–
g
δm
δm
x
#–
v (t) + #–
u
#–
v (t) + #–
u
Figure 15.16 – Représentation de la fusée à t et à t + dt .
Pour cela, on prend comme système fermé Σ∗ la fusée et son contenu à l’instant t. Sa
masse est m (t) ; à l’instant t on a donc Σ∗ = Σ0 (t) (schéma de gauche de la figure 15.16).
À l’instant t + dt, ce système est composé de trois parties :
Σ∗ = Σ0 (t + dt) ∪ Σ21 ∪ Σ22 , c’est-à-dire la fusée et ce qui reste à l’intérieur à t + dt
et les deux masses δ m = Dm dt sorties des propulseurs pendant dt. Pour appliquer le
théorème de la résultante cinétique à Σ∗ , il faut déjà calculer sa quantité de mouvement
#–
p∗ à l’instant t puis à t + dt. À l’instant t, toute la masse m (t) est animée de la même
#–
v (t).
vitesse, donc la quantité de mouvement est trivialement p∗ (t) = m (t) #–
À t + dt, la masse m (t) − 2δ m de la fusée et de ce qui y reste, a une vitesse #–
v (t + dt)
par rapport à RTerre , mais les deux masses δ m ont une vitesse #–
u par rapport à la fusée,
donc #–
v (t) + #–
u par rapport à RTerre , d’où :
#–
v (t + dt) + 2δ m ( #–
v (t) + #–
u ).
p∗ (t + dt) = (m (t) − 2δ m) #–
Si on néglige les actions de l’air (traînée, poussée d’Archimède) sur la fusée, la seule
force extérieure qui s’applique à Σ∗ est son poids m (t) #–
g.
On a donc :
(m (t) − 2δ m) #–
v (t + dt) + 2δ m ( #–
v (t) + #–
u ) − m (t) #–
v (t)
= m (t) #–
g.
dt
433
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
d #–
v
(t) dt. En négligeant le terme en δ mdt c’estÀ l’ordre 1 en dt, #–
v (t + dt) = #–
v (t) +
dt
à-dire en Dm dt 2 , qui est un infiniment petit d’ordre 2, il vient :
m (t)
d #–
v
(t) dt + 2δ m #–
u
dt
= m (t) #–
g,
dt
soit :
m (t)
δ m #–
d #–
v
(t) = m (t) #–
g −2
u.
dt
dt
δ m #–
On voit qu’en plus de la vraie force m #–
g , il fait apparaître une force fictive, −2
u,
dt
due à l’éjection de matière. Elle est qualifiée de force de poussée.
Afin d’intégrer cette équation différentielle, il faut expliciter le lien entre δ m et la
fonction m (t). Puisque le débit massique des 2 propulseurs est constant et vaut Dm ,
dm
δm
δ m = Dm dt, et m (t + dt) = m (t) − 2Dm dt, d’où
(t) = −2Dm = −2
.
dt
dt
#–
dm #–
dv
(t) = m (t) #–
g+
L’équation différentielle précédente devient : m (t)
u , et après
dt
dt
−u
dm
dv
(t) = −g +
(t), ou plus simplement
projection selon u#–z et division par m (t),
dt
m (t) dt
−u
dm.
dv = −gdt +
m
ˆ v(t)
ˆ t
ˆ m(t)
dm
, d’où
En intégrant ceci entre t = 0 et t, on obtient
dv = −g
dt − u
m
v(0)
0
m
0
'
&
dm
m0
. Et puisque
(t) = −2Dm , m (t) = m0 − 2Dmt. En remplav (t) = −gt + u ln
m (t)
dt
çant dans l’équation précédente, on obtient les expressions scalaire et vectorielle :
&
'
&
'
m0
m0
v (t) = −gt + u ln
et #–
v (t) = #–
g t − #–
u ln
.
m0 − 2Dmt
m0 − 2Dmt
!
Une erreur fréquente consiste à choisir un système ouvert, la fusée et son contenu à t , et à
lui appliquer le théorème de la résultante cinétique pour les systèmes fermés.
Exemple
On prend un second exemple, celui d’un tuyau coudé, dont un tronçon est représenté sur
le schéma de gauche de la figure 15.17. Il est fixe dans le référentiel terrestre RTerre . On
cherche dans un premier temps la résultante des forces exercées par le fluide intérieur
sur le tronçon de tuyau, et dans un second temps la résultante des forces exercées à la
fois par le fluide intérieur et par l’atmosphère, de pression P0 qui règne autour.
Les hypothèses sont les suivantes :
• le tuyau est parcouru par un fluide en écoulement homogène et incompressible, sa
434
B ILANS DE QUANTITÉ DE MOUVEMENT ET DE MOMENT CINÉTIQUE
masse volumique étant noté µ ;
• le tronçon de tuyau considéré a une section d’entrée S1 , de normale #–
n 1 , et une section
de sortie S2 , de normale #–
n 2 , les normales étant orientées dans le sens de l’écoulement ;
• le fluide s’écoule en régime stationnaire, avec un débit massique Dm ;
• on néglige la viscosité du fluide, et on suppose le champ des vitesses uniforme dans
les sections d’entrée et de sortie : #–
v 1 = v1 #–
v 2 = v2 #–
n 1 et #–
n2 ;
• on travaille dans le référentiel terrestre RTerre , que l’on suppose galiléen ;
• les pressions sont constantes dans le temps, uniformes dans les sections d’entrée et
de sortie, de valeurs P1 et P2 .
Soit δ m1 la masse de fluide qui entre dans le tronçon entre t et t + dt. Cela correspond
au système Σ1 représenté sur la figure ; compte-tenu du débit, δ m1 = Dm dt.
#–
#–
#–
n2
S2 v 2 n 2
S2
z
#–
g RTerre
P2
P0
P0
P0
y x
O
Σ1
P0
P0
P0
P0
Σ2
P0 P0
P0
P0 P0
P0
#–
v 1 #–
n1
P1
S1
P0
P0
Σ0
#–
n1
P0
S1
P0
P0
Figure 15.17 – Tuyau coudé.
De même, soit δ m2 la masse de fluide qui sort du tronçon entre t et t + dt. Cela correspond au système Σ2 représenté sur la figure ; δ m2 = Dm dt = δ m1 , que l’on notera δ m
par la suite, pour simplifier. Soit Σ0 le fluide se trouvant dans le tronçon de tuyau. On
note m0 sa masse, qui est une constante puisque l’on est en écoulement stationnaire.
On considère le système fermé Σ∗ , défini à t par Σ0 (t) ∪ Σ1
et à t + dt par Σ0 (t + dt) ∪ Σ2 .
Les action mécaniques exercées sur ce système fermé sont :
#–
• la force F ty→fl int exercée par le tuyau sur ce fluide intérieur ;
• le poids m0 #–
g;
#–
n1 ;
• la résultante des forces de pression à l’entrée F 1 = P1 S1 #–
#–
• la résultante des forces de pression à la sortie F 2 = −P2 S2 #–
n 2.
#–
#–
La quantité de mouvement de Σ∗ à t est p∗ (t) = #–
p Σ0 (t) + #–
p Σ1 , et à t + dt, p∗ (t + dt) =
#–
p Σ0 (t + dt) + #–
p Σ2 .
Puisque l’on est en régime stationnaire, la répartition de masse et de vitesse est la même
dans Σ0 à t et à t + dt, donc #–
p Σ0 (t + dt) = #–
p Σ (t). Le théorème de la résultante ciné#–∗ 0
#–
p
(t
+ dt) − p∗ (t)
#–
∗
= Σ F ext , d’où :
tique, appliqué à Σ dans RTerre , s’écrit :
dt
435
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
#–
p Σ2 (t + dt) − #–
p Σ1 (t) #–
g + P1S1 #–
n 1 − P2S2 #–
n 2.
= F ty→fl int + m0 #–
dt
12
3
0
δ m #–
( v 2 − #–
v 1 ) , soit Dm ( #–
v 1 − #–
v 2)
dt
#–
#–
D’après le principe des actions réciproques, F fl int→ty = − F ty→fl int . On peut donc exprimer la force exercée par le fluide intérieur sur le tuyau :
#–
g + P1 S1 #–
n 1 − P2S2 #–
n 2 + Dm ( #–
F fl int→ty = m0 #–
v 1 − #–
v 2) .
On cherche à présent la résultante des forces exercées par l’atmosphère extérieure, de
pression uniforme P0 , sur le tronçon de tuyau. Si la pression était P0 non seulement sur la
paroi externe du tronçon de tuyau, mais aussi sur les surfaces d’entrée S1 et S2 (schéma
de droite de la figure 15.17), la résultante des forces de pression serait nulle, comme
#–
#–
cela a été vu à la page 275 du chapitre 10. On a donc F P0 →ty + P0S1 #–
n 1 − P0S2 #–
n2 = 0,
et donc
#–
F P0 →ty = P0 (S2 #–
n 2 − S1 #–
n 1) .
On peut en déduire la résultante des forces exercées par les fluides aussi bien intérieur
qu’extérieur sur le tronçon de tuyau :
#–
g + (P1 − P0) S1 #–
n 1 − (P2 − P0 ) S2 #–
n 2 + Dm ( #–
F fluides→ty = m0 #–
v 1 − #–
v 2) .
Remarques
• on voit que, puisque le tronçon de tuyau baigne dans l’atmosphère de pression
P0 , ce n’est pas les pressions P1 et P0 qui comptent, mais les surpressions P1 − P0
et P2 − P0 ;
#–
• si on néglige la pesanteur, et si P1 = P2 = P0 , alors F fluides→ty = Dm ( #–
v 1 − #–
v 2 ),
ce qui exprime que la force due à l’écoulement de fluide dans le tronçon de
tuyau est dirigée selon ( #–
v 1 − #–
v 2 ), c’est-à-dire vers l’extérieur du coude, ce qui
était prévisible.
6.2
Loi du moment cinétique
On rappelle pour commencer qu’un point matériel M, de masse m, animé d’une vitesse #–
v par
rapport au référentiel R d’étude, a un moment cinétique par rapport à un point O :
# –
#–
L O = OM ∧ (m #–
v ).
Un fluide de masse m peut regrouper des particules de fluide, de masse élémentaire, dont les
vitesses sont différentes les unes des autres. Connaissant le champ des vitesses #–
v (M,t) dans
R, on peut calculer le moment cinétique du fluide considéré, par rapport à un point O en
436
B ILANS DE QUANTITÉ DE MOUVEMENT ET DE MOMENT CINÉTIQUE
intégrant sur toutes les particules de fluide qui le constituent :
˚
# –
#–
OM ∧ #–
v (M,t) dm.
L O (t) =
f luide
Si O est un point fixe de R, la loi du moment cinétique appliquée à un système fermé Σ∗ dans
#–
dL∗O
# – ! #– "
le référentiel d’étude R (galiléen), par rapport à O, s’écrit :
= ∑ MO F i ext . Dans la
dt
i
limite où dt tend vers 0, on peut écrire la loi du moment cinétique par rapport au point fixe
O:
#–
#–
L∗O (t + dt) − L∗O (t)
# – ! #– "
= ∑ MO F i ext .
dt
i
Dans le cas très fréquent d’une rotation par rapport à un axe (Oz) fixe dans R, on obtient, en
projetant sur cet axe, la loi scalaire du moment cinétique :
! #– "
L∗Oz (t + dt) − L∗Oz (t)
= ∑ MOz F i ext .
dt
i
Comme pour la quantité de mouvement, cette relation sera à décliner de différentes façons
selon le contexte. Il n’y a pas de formule générale à mémoriser, juste une démarche à retenir.
Elle est illustrée sur un exemple.
Exemple
On considère une turbine Pelton, modélisée de façon très simplifiée par le schéma de la
figure 15.18 : des augets sont solidaires d’une roue, d’axe ∆ = (Oz), fixe, de rayon a,
supposé très grand devant la taille des augets. Du fait de la forme des augets, le jet d’eau
est dévié. De façon très schématique, le jet arrive tangentiellement à la roue et repart
aussi tangentiellement, mais dans une direction un peu différente, afin que l’eau puisse
s’évacuer dans une direction différente de celle du jet incident.
Les hypothèses sont les suivantes :
• la turbine est alimentée par un jet d’eau de débit massique Dm par rapport au référentiel terrestre RTerre , constant dans le temps. Le champ des vitesses y est uniforme :
#–
v 1 = v1 u#–x ;
u θ , dans la base
• le champ des vitesses dans RTerre pour le fluide sortant est #–
v 2 = v2 #–
vectorielle associée aux coordonnées cylindriques d’axe (Oz) ;
• la vitesse angulaire de la turbine par rapport à son axe est notée ω ;
• le moment d’inertie par rapport à ∆ de la turbine et de l’eau qui tourne avec elle est
noté J ;
• on néglige la pesanteur, la viscosité de l’eau et les frottements de l’air, ainsi que ceux
de l’axe de rotation ;
• une charge mécanique (par exemple un alternateur) est reliée à la turbine et on note Γ
le moment du couple qu’elle exerce sur elle. On a donc Γ < 0 ;
• on note µ la masse volumique de l’eau, supposée constante ;
437
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
• RTerre est considéré galiléen ;
• la pression ambiante est P0 .
∆
O
y
RTerre
z
x
ω
a
O′
#–
v1
Σ1
jet de section S
Σ0
P0
#–
v2
Σ2
Figure 15.18 – Turbine Pelton schématisée de façon très simplifiée.
On considère le système fermé Σ∗ , constitué à t de Σ1 ∪ Σ0 , et à t + dt de Σ0 ∪ Σ2 . Σ0
comprend la roue, les augets, et le fluide situé entre Σ1 et Σ2 . Du fait que la vitesse
angulaire Ω peut évoluer au cours du temps, le régime n’est pas considéré stationnaire. On choisit cependant, à chaque instant, le contour de Σ0 de telle sorte que la
masse de fluide y soit toujours la même. On en déduit que les masses de Σ1 et Σ2 sont
constamment égales : δ m1 = δ m2 = δ m. Le moment d’inertie par rapport à ∆ de Σ0
est ainsi considéré comme constant et égal à J. À l’instant t, le moment cinétique de
Σ∗ par rapport à l’axe (Oz) est L∗Oz (t) = J ω (t) + δ m a v1 . À l’instant t + dt, il s’écrit
L∗Oz (t + dt) = J ω (t + dt) + δ m a v2. La loi scalaire du moment cinétique s’écrit donc :
(J ω (t + dt) + δ m a v2 ) − (J ω (t) + δ m a v1 )
= Γ,
dt
d’où, au premier ordre en dt, et en introduisant le débit massique Dm :
J
dω
+ Dm a (v2 − v1) = Γ.
dt
La composante v2 de la vitesse en sortie selon #–
u θ n’est pas une grandeur connue a
priori, et elle se modifie à mesure que la vitesse angulaire de la roue évolue. Pour
calculer v2 , on effectue à présent un bilan d’énergie pour le système Σ∗ dans RTerre .
Conformément à la relation générale établie dans le paragraphe 2.1, et en négligeant les
438
B ILANS DE QUANTITÉ DE MOUVEMENT ET DE MOMENT CINÉTIQUE
variations d’énergie interne et potentielle de Σ0 , on a :
dEc0 + δ m (h2 + ec2 + e p2 − h1 − ec1 − e p1) = δ Wdisp→Σ0 + δ Qdisp→Σ0 .
Compte tenu des hypothèses (eau incompressible et en écoulement parfait), l’identité
thermodynamique vue en chimie permet d’affirmer que l’énergie interne se conserve :
P2 − P1
u2 = u1 . On en déduit h2 − h1 =
. Et puisque les jets d’eau sont libres avant et
µ
après l’interaction avec les augets, P2 = P1 = P0 . La variation d’enthalpie massique est
donc nulle. Si on néglige la pesanteur et le transfert thermique fourni par les augets à
"
δm ! 2
l’eau, il vient dEc0 +
v2 − v21 = Γ ω dt, que l’on peut écrire, après division par dt :
2
Jω
"
d ω Dm ! 2
+
v2 − v21 = Γ ω .
dt
2
Les bilans de moment cinétique et d’énergie conduisent donc au système d’équations
suivant :
⎧
⎧
J dω
Γ
⎪
⎪
−
⎨ v2 − v 1 =
⎨ v − v = Γ − J dω
2
1
Dm a Dm a dt
Dm a Dm a dt
d’où
d
ω
2Γ
2J
⎪
⎩
2
2
⎪
⎩ v2 − v 1 =
v2 + v1 = 2ω a.
ω−
ω
Dm
Dm dt
Γ
J dω
−
. On voit que le signe
2Dm a 2Dm a dt
de v2 dépend de la valeur de Γ, qui est ici négatif. Le schéma de la figure a été réalisé
pour v2 < 0.
En reportant dans la loi scalaire du moment cinétique, on obtient l’équation différentielle
pour la vitesse angulaire de la roue :
'
&
dω
J dω
Γ
J
+ Dm a ω a +
−
− v1 = Γ.
dt
2Dm a 2Dm a dt
On en déduit l’expression de v2 : v2 = ω a +
Après simplification, on obtient l’équation différentielle du premier ordre :
dω 2Dm a2
Γ + 2Dm av1
+
.
ω=
dt
J
J
439
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
SYNTHÈSE
SAVOIRS
•
•
•
•
•
•
•
•
•
système ouvert, système fermé
bilans thermodynamiques
modèle de l’écoulement parfait : adiabatique, réversible, non visqueux
relation de Bernoulli
effet Venturi
pertes de charge régulière et singulière dans une conduite
bilan macroscopique d’énergie mécanique
loi de la quantité de mouvement pour un système fermé
loi du moment cinétique pour un système fermé
SAVOIR-FAIRE
• à partir d’une surface de contrôle ouverte vis-à-vis des échanges, définir un système
fermé approprié pour réaliser un bilan de grandeur extensive
• exprimer les principes de la thermodynamique pour un écoulement stationnaire en vue
de l’étude d’une machine thermique
• utiliser le modèle de l’écoulement parfait pour un écoulement à haut Reynolds en dehors
de la couche limite
• énoncer et appliquer la relation de Bernoulli à un écoulement parfait, stationnaire, homogène et incompressible
• utiliser le fait admis que la puissance des actions intérieures est nulle pour un écoulement
parfait et incompressible
• décrire l’effet Venturi
• décrire un débitmètre à effet Venturi
• décrire un tube de Pitot
• relier qualitativement la perte de charge à une dissipation d’énergie mécanique
• effectuer un bilan d’énergie mécanique sur une installation industrielle : pompe ou turbine
• faire l’inventaire des forces extérieures
• effectuer un bilan de quantité de mouvement
• effectuer un bilan de moment cinétique pour une turbine
MOTS-CLÉS
•
•
•
•
•
•
•
440
système ouvert
système fermé
surface de contrôle
volume de contrôle
premier principe
second principe
écoulement parfait
•
•
•
•
•
•
•
relation de Bernoulli
effet Venturi
tube de Pitot
débitmètre
charge
perte de charge singulière
perte de charge régulière
•
•
•
•
•
quantité de mouvement
énergie mécanique
turbine
pompe
moment cinétique
S’ENTRAÎNER
15.1 Microcentrale hydraulique
(⋆ )
On considère une microcentrale constituée d’une retenue d’eau, d’une première conduite,
Ca , peu inclinée, d’une cheminée d’équilibre, d’une seconde conduite, Cb , très inclinée, puis
d’une turbine.
Ca
z
zh
zch
cheminée
coude 1
grille
#–
g
rétrécissement
Cb
diffuseur
z0
coude 2 turbine
On note P0 la pression atmosphérique, aussi bien au niveau de la retenue d’eau qu’au niveau de la sortie de la turbine. La conduite Ca est de longueur La = 60 m, de diamètre intérieur Da = 0,30 m, et l’eau y a une vitesse débitante Ua = 1,2 m·s−1 . La conduite Cb est
de longueur Lb = 87 m, de diamètre intérieur Db = 0,20 m, et l’eau y a une vitesse débitante Ub = 2,7 m·s−1 . On rappelle que le coefficient de perte de charge singulière est défini
2 ∆Ptot
par ζ =
. Pour la grille, ζg = 1, 75. Pour le rétrécissement, ζr = 0, 079 (ramené à
µ U2
la vitesse débitante de la conduite Cb ). Pour les deux coudes, ζ1 = 0, 47 et ζ2 = 0, 55. La
sortie de la turbine comporte un diffuseur. Son diamètre d’entrée est Db et son diamètre
de sortie Dd = 0,3 m. Son coefficient de perte de charge singulière ramené à la petite section est ζd = 0, 18. On donne la différence d’altitude entre la retenue d’eau et la turbine :
zh − z0 = 89 m. On prend pour l’eau µ = 1,0.103 kg·m−3 et η = 1,0.10−3 Pl. On donne
g = 9,8 m·s−2 .
1. Déterminer le débit volumique d’eau Dv dans les conduites. Peut-on utiliser la loi de
Hagen-Poiseuille ? on prendra pour la suite pour les deux conduites les coefficients de pertes
de charge régulière λa = 15.10−3 et λb = 16.10−3 . On rappelle que le coefficient de perte
2D ∆Ptot
de charge régulière est défini par λ =
.
µ LU 2
2. Compte tenu des différentes données, déterminer l’altitude zch de l’eau dans la cheminée.
3. La turbine a un rendement ηt = 0, 82. Déterminer la puissance mécanique récupérable sur
son arbre.
4. Quel est le rôle du diffuseur ?
441
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
15.2 Adduction d’un village
(⋆ )
On s’intéresse au réseau d’alimentation en eau potable d’un village. Une pompe aspire de
l’eau dans un bassin, dont l’altitude de la surface libre sert d’origine à l’axe (Oz) vertical
ascendant. La conduite d’aspiration reliant le bassin à la pompe est de longueur La = 20 m et
de diamètre Da = 0,20 m. Elle comporte un coude pour lequel la perte de charge singulière a
pour coefficient ζa = 4, 5. La pompe est à une altitude z p = 3,0 m. La conduite de refoulement
qui emmène l’eau de la pompe au château d’eau est de longueur Lr = 3,2 km et de diamètre
Dr = 0,20 m. Elle comporte deux coudes pour lesquels la perte de charge singulière totale a
pour coefficient ζr = 2, 25. L’arrivée de cette conduite est à une altitude zr = 240 m. Dans
le château d’eau, la surface libre de l’eau est à une altitude zc = 250 m. Ces deux conduites
sont réalisées avec le même matériau et présentent une rugosité k = 1,0 mm. La pompe fonctionne jour et nuit, avec un débit Dv de 125 m3 par heure. On utilisera les données habituelles
concernant l’eau et le champ de pesanteur.
z
1. Déterminer la vitesse débitante U dans les
z
c
conduites et le nombre de Reynolds. À l’aide
de la figure 15.11 page 427, déterminer la zr
valeur du coefficient de perte de charge répompe
gulière λ pour ces conduites.
zp
2. Déterminer la puissance mécanique que
doit fournir la pompe nécessaire au fonction- 0
nement de cette installation.
3. Dans les conditions ambiantes, la pression de vapeur saturante de l’eau a pour valeur Pvs =
2,3 kPa. Y a-t-il un risque de cavitation, et si oui à quel endroit dans le dispositif ?
15.3 Bilans de quantités de mouvement
(⋆ )
1. À t < 0, un wagon ouvert, de masse m0 , se déplace sans frottement sur une voie horizontale
à la vitesse v#–0 = v0 u#–x . À l’instant t = 0, il se met à pleuvoir : à partir de cet instant, le wagon
se déplace sous une pluie verticale en recevant un débit massique d’eau Dm constant.
Déterminer sa vitesse v(t).
2. Un wagon minéralier, de masse m0 , mobile sans frottement sur une voie horizontale, est
au repos à l’instant t = 0. Il contient une masse m1 de minerai. À partir de cet instant, il est
tracté par une force horizontale constante de module F tandis qu’il perd un débit massique
Dm de minerai avec une vitesse horizontale constante par rapport au chariot, de module u et
de sens opposé à la force tractrice.
Déterminer l’accélération #–
a (t) et la vitesse #–
v (t) du wagon à l’instant t.
15.4 Efforts sur un tuyau coudé
(⋆ )
Un tuyau cylindrique de section circulaire de diamètre d est coudé à angle droit. Il est posé
sur un plan horizontal et contient de l’eau, assimilée à un fluide parfait et incompressible
s’écoulant avec le débit volumique Dv . La pression de l’eau dans le tube est p1 . L’air extérieur
est à la pression p0 .
Calculer la résultante des efforts horizontaux exercés sur le coude par le reste du tuyau.
Application numérique : d = 0, 20 m, Dv = 0, 16 m3 .s−1 , p1 = 6 bars et p0 = 1 bar.
442
15.5 Ajutage de Borda
(⋆ )
On étudie la vidange d’un récipient par un petit orifice muni d’un ajutage rentrant, dit ajutage
de Borda :
p0
agrandissement
du jet de sortie
h
Sf
S0
p0
La section S du récipient est grande devant la section S0 de l’orifice de sortie.
L’expérience montre que la section S f du jet de sortie est inférieure à la section S0 de l’orifice
Sf
dans le cas de l’ajutage de
de vidange. Le but de l’exercice est de calculer le rapport α =
S0
Borda.
1. Retrouver rapidement l’expression de la vitesse de sortie du jet au niveau de la section
contractée S f en assimilant le liquide à un fluide parfait.
2. En effectuant un bilan de quantité de mouvement sur un système soigneusement défini
montrer que α = 0, 5.
15.6 Ressaut hydraulique
(⋆ )
On observe un bourrelet d’eau
au fond d’un évier dans lequel
coule l’eau d’un robinet. Ce
bourrelet est appelé ressaut. Il
sépare une zone centrale où
l’épaisseur du fluide est faible
d’une zone périphérique où la
hauteur d’eau est plus importante.
z
#–
g
v#–1
h2
v#–2
h1
x
x1
x2
On modélise un ressaut dans un écoulement unidimensionnel et permanent dans un canal rectiligne parallèle à l’axe (Ox) et de largeur L selon (Oy). En amont (respectivement en aval) du
ressaut, la vitesse du fluide vaut uniformément v1 u#–x (respectivement v2 u#–x ) et la profondeur est
h1 (respectivement h2 ). Le liquide est considéré comme incompressible de masse volumique
µ . La pression de l’atmosphère au dessus du liquide est p0 . L’axe (Oz) est vertical ascendant.
Pour étudier ce phénomène, on considère prend comme surface de contrôle le parallélépipède
rectangle de section S = Lh2 limité par les sections d’abscisses x1 et x2 situées de part et
d’autre du ressaut.
1. Peut-on déduire v2 et h2 du théorème de Bernoulli ? Pourquoi ?
443
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
2. Exprimer la pression au sein du liquide en fonction de z sur la face d’entrée (section x =
x1 ), et sur la face de sortie (section x = x2 ). On choisira l’origine des cotes z au fond du canal.
3. Établir un bilan de quantité de mouvement pour relier v1 , h1 , v2 et h2 .
4. Calculer v1 et v2 en fonction de h1 , h2 et g.
5. Exprimer, en fonction de h1 et de h2 , la puissance dissipée dans le ressaut.
(⋆ )
15.7 Équilibre d’une plaque inclinée sous l’action d’un jet
Soit une plaque de masse M, de largeur ℓ et de longueur L, mobile autour de l’axe horizontal
∆, la liaison d’axe étant parfaite. Sous l’action d’un jet d’eau parallélépipédique d’épaisseur
e et de largeur L, elle s’incline d’un angle α par rapport à la verticale. On néglige le poids du
fluide et on se place en régime stationnaire. L’eau est considérée dans cet exercice comme un
fluide parfait, incompressible, de masse volumique µ . En arrivant sur la plaque, le jet d’eau
se sépare en deux parties, l’une vers le haut d’épaisseur e2 , l’autre vers le bas d’épaisseur e3 .
Le jet d’eau est à la distance h de l’axe de rotation ∆ de la plaque.
1. Déterminer l’angle d’équilibre α .
2. Exprimer les épaisseurs des jets e2 et e3 .
v#–2
2
o
A2
com
1
e2
h
ℓ
#–
u
#–
n
G
v#–0
e
A
∆
α
α
A′
e3
x
A3
3
15.8 Mascaret
v#–3
(⋆ )
Un mascaret est une onde solitaire qui remonte l’estuaire de certains fleuves lors de la marée
montante. On adopte un modèle unidimensionnel. Le fleuve de largeur L s’écoule vers la mer
dans la direction (Ox) (dirigée de l’amont vers l’aval) avec une vitesse constante et uniforme
v1 et une hauteur d’eau h1 en amont du mascaret. Le mascaret a un profil rectangulaire et
remonte l’axe (Ox) à la vitesse v. La vitesse du fleuve et sa hauteur assez loin en aval du
mascaret sont v2 et h2 . L’écoulement est incompressible et parfait, de masse volumique ρ .
On connait v1 , h1 et h2 et on souhaite calculer v et v2 .
444
#–
v
h1
#–
v1
#–
v2
h2
x
1. Effectuer un bilan de masse dans le référentiel Rm qui se déplace avec le front du mascaret
pour obtenir une relation entre v et v2 . Retrouver cette relation en travaillant dans le référentiel
fixe.
2. Effectuer un bilan d’impulsion dans Rm pour obtenir une relation entre v, v1 , v2 , h1 et h2 .
Attendu que l’écoulement est stationnaire, uniforme et horizontal, on admet que la pression
varie verticalement comme en statique des fluides.
3. Exprimer v en fonction de v1 , h1 et h2 . La vitesse du mascaret est-elle plus rapide au
moment des basses eaux ou au moment des crues ?
4. Exprimer v2 en fonction de v1 , h1 et h2 . Interpréter le changement de signe de v2 quand h2
augmente. Commenter.
15.9 Fonctionnement d’une hélice
(⋆ )
Une hélice animée d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe Ox est plongée
dans un fluide parfait, incompressible, de masse volumique ρ . L’étude est faite dans le référentiel galiléen R lié à l’axe de l’hélice. Dans ce référentiel, l’écoulement est stationnaire.
On néglige l’influence de la pesanteur.
On considère un tube de courant possédant la symétrie de révolution autour de l’axe Ox et
s’appuyant sur les pales de l’hélice. À partir de ce tube de courant, on définit la surface fermée
constituée de la surface latérale du tube de courant, Slat et des sections droites S1 en amont et
S2 en aval. La pression à l’extérieur de ce tube de courant est uniforme et égale à la pression
ambiante Pa .
S1
S
Pa
#–
v1
S′
Slat
#–
v′
P
P′
S2 #–
v2
Pa
x
Pa
Sur la surface S1 , la vitesse est uniforme et égale à v1 u#–x ; elle vaut v2 u#–x sur S2 .
Au voisinage de l’hélice, on considère deux sections S et S′ d’aire identique :
• sur la surface S, la vitesse est vu#–x et la pression est P ;
• sur la surface S′ , la vitesse est v′ u#–x et la pression est P′ .
Entre S et S′ , l’écoulement est perturbé, il existe une discontinuité de pression de part et
d’autre de l’hélice.
445
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
1. Exprimer la pression P en fonction de Pa , ρ , v1 et v. Même question pour P′ en fonction
de Pa , ρ , v2 et v′ .
#–
2. On note F la résultante des forces exercées par l’hélice sur le fluide.
#–
Effectuer un bilan d’impulsion dans le volume compris entre S et S′ pour exprimer F en
fonction de ρ , S, v1 et v2 .
#–
3. En raisonnant cette fois dans le volume compris entre S1 et S2 , établir l’expression de F
en fonction de S, ρ , v, v1 et v2 .
4. Déduire de ce qui précède une relation simple entre v, v1 et v2 .
5. Calculer la puissance P fournie par l’hélice au fluide. Donner successivement le résultat
#–
en fonction du débit massique Dm , et v1 et de v2 ; puis en fonction de F et de #–
v.
Vérifier le signe de P et justifier l’allure du tube de courant réprésenté sur le schéma.
15.10 Voilier (⋆)
y
Un voilier se déplace à vitesse constante. On se
#–
place dans le référentiel (Oxy) lié au voilier. La
V vent
voile, de surface S, est inclinée d’un angle α par
rapport à la direction du voilier. Le vent arrive sur
α
la voile avec une vitesse Vvent = −V u#–y . Le vent est
dévié par la voile en suivant les lois de Descartes
sans que son module V ne varie. La pression est
uniforme et l’air a une masse volumique ρ univoile
forme.
On ne tient pas compte de la gravité, la pression est alors uniforme et vaut P0 .
x
1. Calculer en fonction de ρ , S et V la force due au vent qui s’applique sur le voilier dans le
cas où α = π /4. On rappelle que la voile transmet les efforts au voilier par l’intermédiaire du
mât.
2. Pourquoi le voilier n’a-t-il pas de mouvement suivant u#–y ?
15.11 Convection thermique
(⋆ ⋆ ⋆)
Deux réservoirs sont reliés par une conduite cylindrique de longueur L, de rayon a, d’axe Ox.
Le problème est unidimensionnel, toute grandeur dans la conduite ne dépendant spatialement
que de l’abscisse x.
La conduite contient un fluide incompressible, de masse volumique ρ , de capacité thermique
c, de conductivité thermique λ , en mouvement à la vitesse constante et uniforme #–
v = vu#–x .
On se place en régime stationnaire, les grandeurs locales ne dépendant que de x. Les réservoirs sont maintenus aux température T1 et T2 , i.e. T (0) = T1 et T (L) = T2 . La conduite est
parfaitement calorifugée.
1. De manière analogue à la détente de Joule Thomson, vue dans le cours, établir l’équation différentielle satisfaite par la température T (x) dans la conduite, en étudiant un système
mobile de longueur dx.
2. Donner la solution générale de l’équation différentielle en faisant intervenir une distance
D à exprimer en fonction de λ , ρ , c et v.
446
3. On précise : L = 5 cm, ρ = 103 kg.m−3 , c = 4, 18 J.kg−1 .K−1 et v = 0, 5 m.s−1 . Calculer numériquement D et comparer à L. Où la température varie-t-elle notablement dans la
conduite ?
APPROFONDIR
15.12 Élargissement brusque
(⋆⋆)
On considère une conduite présentant un élargissement brutal, comme le montre la figure
ci-dessous. Le débit massique est considéré constant, et le fluide en écoulement homogène et
incompressible. Afin que cette étude soit représentative de situations fréquentes, on suppose
le nombre de Reynolds nettement supérieur à 2.103 , et l’écoulement turbulent. Les lignes de
courant de la figure représentent des courbes moyennes, au cours du temps. Pour simplifier les
calculs, on considère le champ des vitesses uniforme dans la section d’entrée S1 . Ce modèle
n’est pas très éloigné de la réalité car pour des nombres de Reynolds élevés, la couche limite
est très fine. On se place donc au-delà de la couche limite. Bien que le changement de section
de la conduite soit très rapide, la section effective de l’écoulement évolue spatialement bien
plus lentement. Expérimentalement, on observe que l’écoulement devient quasiment invariant
par translation selon l’axe de la conduite seulement au delà d’une distance de l’ordre de vingt
fois le diamètre D2 de la grande section, à partir du raccord. La « zone morte » symbolisée sur
le dessin par un grisé aux contours flous est une zone de recirculation, dissipatrice d’énergie
mécanique. C’est elle qui est responsable de la perte de charge. La norme du champ des
vitesses y est partout assez faible par rapport aux valeurs prises dans l’écoulement proprement
dit.
zone morte
z
RTerre
x
y
O
Σ0
#–
v1
section S1
#–
v2
section S2
zone morte
1. En choisissant un axe (Oz) vertical ascendant, avec l’origine au milieu de la conduite,
#–
montrer que dans une conduite cylindrique de section S, la force de pression F g →d exercée
à travers S par le fluide de gauche sur le fluide de droite, se calcule simplement à l’aide de la
pression motrice.
2. Définir un système fermé en écoulement et effectuer un bilan des actions mécaniques qui
s’y appliquent.
3. Effectuer un bilan de quantité de mouvement pour ce système et en déduire la perte de
2 ∆Ptot
charge due au rétrécissement ainsi que le coefficient de perte de charge ζ =
.
µ U2
447
Exercices
A PPROFONDIR
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
CORRIGÉS
15.1 Microcentrale hydraulique
1. En régime stationnaire (quasi-stationnaire si le niveau d’eau dans la retenue évolue légèrement au cours du temps), le débit volumique d’eau Dv peut se calculer dans l’une ou
l’autre des conduites, puisque le niveau d’eau dans la cheminée d’équilibre est fixe. Dv =
π D2b
π D2a
µ Ua Da
Ua
= 3,6.105 et
= Ub
= 85 L·s−1 . Les nombres de Reynolds sont Rea =
4
4
η
µ Ub Db
= 5,4.105 . L’écoulement dans les conduites est turbulent ; on ne peut pas
Reb =
η
utiliser la loi de Hagen-Poiseuille.
2. On applique la relation de Bernoulli sur
la ligne de courant A1 A2 , où la pression
z
A1
zh
totale se conserve. Puis on tient compte
A7
zch
des pertes de charge entre A2 et A3 , puis
A2 A3
A6
A4
entre les points suivants, jusqu’en
A5 . On
a
A
&
'
5
La
U2
#–
−
donc Ptot A5 = Ptot A1 − a ζg + λa
g
2
Da
2
Ub
ζr , en négligeant la perte de charge ré2
A8 A9 A z
gulière dans le petit tronçon qui va du ré10 0
trécissement à l’entrée de la conduite de la
cheminée.
La continuité de la pression impose PA5 = PA6 . Dans la cheminée et sa conduite verticale, le
fluide est immobile donc la pression motrice est uniforme. La pression en A7 étant celle de
l’atmosphère, il vient PA5 + µ gzA5 = P0 + µ gzch .
En remplaçant dans l’équation reliant les pressions totales,&sachant que'la vitesse est quasiU2
La
1
U2
− b ζr , d’où zh −
ment nulle en A1 , P0 + µ gzch + µ Ub2 = P0 + µ gzh − a ζg + λa
2
2
Da
2
&
'
Ub2
La
Ua2
(1 + ζr ) = 75 cm.
+
ζg + λa
zch =
2g
Da
2g
3. La pression totale en A8 , c’est-à-dire à l’entrée de la turbine, est
Ptot A8 = Ptot A1 − µ
Ua2
2
&
&
'
'
U2
La
Lb
− µ b ζr + ζ1 + λb
ζg + λa
+ ζ2 .
Da
2
Db
Compte tenu du rendement
ηt de la
!
" turbine, la puissance mécanique récupérable sur son
arbre est P = ηt Dv Ptot A8 − Ptot A9 . Soit Ud la vitesse débitante de sortie du diffuseur, en
D2
A10 . Par conservation du débit volumique, Ud = Ub 2b . La pression totale en A10 est P0 +
Dd
Ud2
Ub2
= Ptot A9 − µ ζd . En reportant les expressions de Ptot A8 et Ptot A9 dans celle de
µ gz0 + µ
2
2
448
la puissance, on a
&
&
&
'
'
'
U2
U 2 D4
U2
U2
La
Lb
− µ b ζr + ζ1 + λb
P = ηt Dv P0 + µ gzh − µ a ζg + λa
+ ζ2 − P0 − µ gz0 − µ b 4b − µ b ζd .
2
Da
2
Db
2 Dd
2
(
U2
Soit P = ηt Dv µ g (zh − z0 ) − a
2
&
La
ζg + λa
Da
'
U2
− b
2
(
D4
L
ζr + ζ1 + λb b + ζ2 + 4b + ζd
Db
Dd
))
. Nu-
mériquement, P = 58 kW.
4. Le diffuseur sert à ralentir le l’eau à la sortie de la turbine. En effet, si la section de sortie
D2
était de diamètre Db , la vitesse de sortie serait Ub . Avec le diffuseur, elle vaut Ud = Ub 2b . Si
Dd
l’eau sort moins vite, la pression totale de sortie est plus faible, ce qui signifie que l’énergie
mécanique volumique du fluide qui sort de la turbine est plus faible, donc que la turbine reçoit
plus d’énergie. L’effet est amoindri par l’existence d’une perte de charge dû à l’élargissement,
mais si celui-ci n’est pas brutal, la perte de charge singulière reste modeste.
15.2 Adduction d’un village
µ UDa
4Dv
= 1,1 m·s−1 et le nombre de Reynolds Re =
=
2
π Da
η
k
2,2.105 . La rugosité relative est kr =
= 0, 005. On lit sur la figure 15.11 page 427 :
Da
λ = 0, 03.
2. Soit A un point de la surface libre du bassin. Ptot A = P0 puisque la surface libre est immobile et l’altitude est celle de l’origine
& du repère.
' La pression totale en E, à l’entrée de la
µ U 2 λ La
pompe, est donc Ptot E = Ptot A −
+ ζa . Soit C un point de la surface libre du châ2
Da
teau d’eau. Ptot C = P0 + µ gzc puisque la surface libre y&est immobile.
' La pression totale en S,
µ U 2 λ Lr
+ ζr . La puissance mécanique
à la sortie de la pompe, est donc Ptot S = Ptot C +
2
Da
que doit fournir la pompe est
&
&
''
U 2 λ La
λ Lr
P = Dv (Ptot S − Ptot E ) = µ Dv gzc +
= 97 kW.
+ ζa +
+ ζr
2
Da
Da
1. La vitesse débitante est U =
3. La pompe aspire à son entrée et refoule à sa sortie. C’est à l’entrée de la pompe, donc au
point E qu’il y a le plus de
& risque de'cavitation. La 2pression en ce point est PE = Ptot E −
U2
µ U 2 λ La
U
= P0 −
= 65 kPa. Il n’y a donc pas de risque
µ gz p − µ
+ ζa − µ gz p − µ
2
2
Da
2
de cavitation puisque cette pression est supérieure à la pression de vapeur saturante de l’eau.
15.3 Bilans de quantités de mouvement
1. Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on effectue un bilan de quantité de mouvement pour le système fermé constitué du wagon, de l’eau qu’il contient à l’instant t (masse
m(t) = Dmt) et de l’eau qu’il va recevoir entre t et t + dt. Sa quantité de mouvement est :
449
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
#–
• à l’instant t : p∗ (t) = (m0 + m(t))v(t)u#–x + Dm dt #–
v pluie ,
#–∗
• à l’instant t + dt : p (t + dt) = (m0 + m(t + dt))v(t + dt)u#–x.
Il est soumis à son poids et à la réaction des rails.
Ces deux forces sont verticales. Le théorème de la résultante cinétique projeté sur la direction
m0
v0 .
u#–x donne p∗x (t + dt) − p∗x (t) = 0, soit (m0 + Dmt)v(t) = cste = m0 v0 , d’où v(t) =
m0 + D m t
2. Sans le référentiel terrestre supposé galiléen, on effectue un bilan de quantité de mouvement pour le système fermé constitué du wagon et du minerai qu’il contient à l’instant t. À
l’instant t + dt, il est constitué du wagon, du minerai qu’il contient et de la masse Dm dt qui
en est sortie, à la vitesse #–
v (t) + #–
u par rapport au sol.
Sa quantité de mouvement est :
#–
• à l’instant t : p∗ (t) = (m0 + m1 − Dmt) #–
v (t),
#–
v (t + dt) + Dmdt ( #–
v (t) + #–
u ).
• à l’instant t + dt : p∗ (t + dt) = (m0 + m1 − Dm (t + dt)) #–
#–
#–
#–
#–
avec u = −uux et v (t) = v(t)ux .
#–
Il est soumis à son poids, la réaction des rails et la force tractrice F = F u#–x .
Le théorème de la résultante cinétique projeté sur Ox donne : p∗x (t + dt) − p∗x (t) = Fdt soit,
dv
au premier ordre en dt : (m0 + m1 − Dmt) − Dm u = F.
dt
F + Dm u
, valable tant qu’il reste encore
À l’instant t , son accélération est donc : a(t) =
m0 + m 1 − D m t
du minerai donc jusqu’à t1 = m1 /Dm . Au-delà de t1 , la masse du système reste constante et
a(t) = F/m0 .
'
&
F + Dm u
m0 + m1
pour t ≤ t1 et
Sa vitesse est v(t) =
ln
& Dm ' m0 + m 1 − D m t
F + Dm u
F
m0 + m1
v(t) =
+
ln
(t − t1 ) pour t > t1 .
Dm
m0
m0
15.4 Efforts sur un tuyau coudé
On considére le système formé, à t, du
v#–1
coude et du fluide contenu dans les parties 1 et com. À l’instant t + dt, il est y
1
com
formé du coude et des parties com et 2
(voir figure). On se place dans le référenv#–2
tiel terrestre, supposé galiléen. La quanx
tité de mouvement de la partie com est la
même aux deux instants puisqu’on est en
2
régime stationnaire.
#–
#–
Dv
Dv #–
ux (S = π d 2 /4 est
Il reste p∗ (t + dt) − p∗(t) = µ Dv dt(v#–2 − v#–1 ), avec v#–1 = − u#–y et v#–2 =
S
S
la section du tuyau). Les seules actions mécaniques extérieures horizontales qui s’exercent
#–
sur le système sont les efforts de pression de l’eau, de résultante : F eau→syst = p1 S(−u#–y − u#–x ),
#–
#–
les efforts de pression de l’air F air→syst et l’action du tuyau sur le coude, F tuyau→coude .
#–
Pour calculer la force F air→syst , on peut écrire que si l’air entourait entièrement le système, avec sa pression p0 uniforme, la résultante des forces pressantes de l’air serait nulle :
450
#–
#–
#–
F air→syst + p0 S (−u#–x − u#–y ) = 0 , d’où F air→syst = p0 S (u#–x + u#–y ). Le théorème de la résultante cinétique donne (le poids étant compensé par la réaction de la table) µ Dv (v#–2 − v#–1 ) =
#–
#–
#– #–
(p0 − p1) S (u#–x + u#–y ) + F tuyau→coude
# 2 . Il $vient donc la force F tuyau→coude = µ#–Dv (v2 − v1 ) +
D
(p1 − p0) S (u#–x + u#–y ), soit µ Sv + p1 S (u#–y + u#–x ). La force est finalement F tuyau→coude =
# 2
$
µ DSv + (p1 − p0 )S (u#–y + u#–x ).
# 2
$√
D
L’application numérique donne : F = µ Sv + (p1 − p0 )S
2 = 22, 4 kN.
15.5 Ajutage de Borda
√
1. Voir cours : v = 2gh (formule de Torricelli).
2. On considére le système fermé constitué de l’ensemble du fluide présent dans le récipient
à l’instant t. À l’instant t + dt, il est constitué du fluide dans le récipient et de la masse
δ m = µ vS f dt de fluide qui est sortie entre t et t + dt. La variation de la quantité de mouvement
#–
du système entre ces deux instants est, dans l’hypothèse d’un régime quasi-permanent : p∗ (t +
#–
v = µ v2 S f dt u#–x . La seule force horizontale qui s’exerce sur ce système est la
dt) − p∗(t) = δ m #–
résultante des efforts de pression. La pression p est partout égale à la pression hydrostatique
(régime quasi-permanent) sauf au niveau du jet de sortie où elle vaut p0 (sur la surface latérale
de celui-ci et sur la section S f ).
p0
p0 + µ gh
S0
Sf
p0
p0
Les forces de pression sur la surface du fluide se compensent partout sauf au niveau de la
section S0 . La pression p0 disparaît de la résultante puisqu’elle intervient sur une surface
fermée. Finalement :
#–
F p = (p(S0 ) − p0)S0 u#–x avec p(S0 ) = p0 + µ gh.
#–
Il reste : F p = µ ghS0u#–x . Le théorème de la résultante cinétique appliqué au système précédemment défini et projeté sur Ox donne : µ v2 S f = µ ghS0 . En utilisant la formule de Torricelli,
il vient : S f = S0 /2.
15.6 Ressaut hydraulique
1. Au niveau du ressaut, il y a dissipation d’énergie (zone turbulente), on ne peut pas appliquer le théorème de Bernoulli.
2. Dans les zones x ≤ x1 et x > x2 , les écoulements sont uniformes donc la répartition de
pression est hydrostatique c’est-à-dire que la pression motrice est uniforme (voir cours page
418). Donc, en x = x1 , p1 (z) = p0 + µ g(h1 − z) et en x = x2 , p2 (z) = p0 + µ g(h2 − z).
3. On considère le système Σ∗ constitué à l’instant t du fluide situé dans les parties 1 et com
(eau + air), et à t + dt du fluide situé dans les parties com et 2, comme le montre la figure
page suivante.
451
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
z
com
2
1
p0
p0
v#–1
v#–2
h2
h1
x1
x
x2
#–
#–
En régime permanent : p∗ (t + dt) − p∗(t) = µ Lh2 v2 dt v#–2 − µ Lh1v1 dt v#–1 (l’air est immobile).
Les actions mécaniques qui s’exercent sur ce système sont :
• son poids, vertical ;
ˆ h1
#–
• les efforts de pression en x = x : F =
p (z)Ldzu#– + p (h − h )Lu#– (sur l’eau et sur
1
1
0
l’air) ;
#–
• les efforts de pression en x = x2 : F 2 =
ˆ
0
h2
1
x
0
2
1
x
p2 (z)Ldzu#–x ;
• les efforts de pression à la surface supérieure du système, de résultante verticale ;
• la réaction du fond du canal, verticale.
Dans le calcul de la résultante des efforts de pression sur les plans x = x1 et x = x2 , la pression
p0 disparaît (ses petites contributions se compensent deux à deux). Il reste :
h2 − h22 #–
#–
#–
F 1 + F 2 = µ Lg 1
ux .
2
Le théorème de la résultante cinétique appliqué à ce système et projeté sur Ox donne :
µ Lh2 v22 − µ Lh1 v21 = µ Lg
h21 − h22
.
2
h21 − h22
.
2
4. Les deux relations précédentes entre v1 , v2 , h1 et h2 donnent, après quelques calculs :
6
6
gh2
gh1
(h1 + h2) et v2 =
(h1 + h2 ).
v1 =
2h1
2h2
Or la conservation du débit volumique implique h1 v1 = h2 v2 d’où : h1 v1 (v2 − v1 ) = g
5. Le bilan d’énergie cinétique du système précédent s’écrit, entre t et t + dt :
Ec∗ (t + dt) − Ec∗(t) + E p∗ (t + dt) − E p∗(t) = δ Wpression + Pint dt
où Pint est la puissance des actions intérieures, dissipée dans le ressaut.
"
!
1
En régime permanent, Ec∗ (t + dt) − Ec∗(t) = µ Dv dt v22 − v21 où Dv = Lh1 v1 = Lh2 v2 est le
2
débit volumique.
452
De même, E p∗ (t + dt) − E p∗(t) = µ Dv dt g
&
'
h2 h1
−
.
2
2
Le travail des efforts de pression s’écrit :
ˆ h1
ˆ
δ Wpression =
p1 (z)Ldz × v1 dt −
0
Tous calculs faits, on trouve : δ Wpression = µ gDv
Finalement, Pint = −µ gDv
(h2 − h1 )3
< 0.
4h1 h2
0
h2
p2 (z)Ldz × v2 dt.
h1 − h2
dt.
2
15.7 Équilibre d’une plaque inclinée sous l’action d’un jet
1. La plaque étant en rotation autour d’un axe fixe, on utilise le théorème scalaire du moment
cinétique par rapport à cet axe.
Définition du système :
Le système étudié Σ∗ est constitué, à l’instant t, de la plaque et du fluide situé entre la section
A et les bords de la plaque. A l’instant t + dt, ce système est constitué de la plaque, du fluide
compris entre la section A′ et les bords de la plaque et des masses 2 et 3 qui sont sorties entre
t et t + dt.
Bilan de moment cinétique :
La plaque étant immobile, son moment cinétique par rapport à l’axe ∆ est nul. Pour le fluide :
• à l’instant t, L∗∆ (t) = L∆,1 (t) + L∆,com (t)
• à l’instant t + dt, L∗∆ (t + dt) = L∆,com (t + dt) + L∆,2(t + dt) + L∆,3(t + dt)
Or le régime est stationnaire donc : L∆,com (t) = L∆,com (t + dt).
Finalement :
L∗∆ (t + dt) − L∗∆(t) = L∆,2 + L∆,3 − L∆,1
Le moment cinétique par rapport à l’axe ∆ de la partie 1 vaut : L∆,1 = −δ m1 hv0 avec δ m1 =
µ sv0 dt. Les moments cinétiques par rapport à l’axe ∆ des parties 2 et 3 sont très faibles
# –
puisque v#–3 est colinéaire à OA3 et que A2 est quasiment confondu avec O. On les considérera
comme nuls. Il reste :
L∗∆ (t + dt) − L∗∆(t) = − µ shv20 dt
Bilan des actions mécaniques :
Les actions mécaniques extérieures qui agissent sur ce système sont :
l
• le poids de la plaque, de moment par rapport à l’axe égal à M∆ = − Mg sin α ;
2
• la liaison d’axe de moment nul par rapport à l’axe car elle est supposée parfaite ;
• les efforts de pression ambiante. La surface du système est fermée et il est soumis à une
pression uniforme, le moment des forces de pression par rapport à l’axe ∆ est nul d’après
le paragraphe précédent.
Remarque
Le fait d’avoir inclus la plaque dans le système permet d’éliminer l’action de celle-ci
sur le fluide (action intérieure) et simplifie grandement le calcul du moment des forces
453
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
de pression, comme on l’a vu précédemment.
Application du théorème scalaire du moment cinétique :
Le théorème du moment cinétique par rapport à l’axe fixe ∆ appliqué au système étudié, dans
le référentiel fixe, s’écrit :
l
L∗∆ (t + dt) − L∗∆(t) = − Mg sin α dt
2
2h µ v2 s
soit µ shv20 = 2l Mg sin α donc sin α = Mgl0 .
On remarque que l’angle α est d’autant plus grand que v0 et h sont grands et que M et l sont
petits, ce qui semble tout à fait conforme à l’intuition physique.
2. La conservation du débit volumique (fluide incompressible) donne : v0 eL = v2 e2 L + v3e3 L,
soit e = e2 + e3 . Il manque une équation. Pour cela, on effectue un bilan de quantité de
mouvement pour le fluide seul (système précédent sans la plaque). Ce bilan de quantité de
mouvement en régime stationnaire donne :
#–
p (t + dt) − #–
p (t) = p#– + p#– − p#–
2
3
1
= µ e2 Lv2 dt v#–2 + µ e3Lv3 dt v#–3 − µ eLv0 dt v#–0
"
!
u dt − µ eLv20u#–x dt
= µ e2 Lv22 − µ e3Lv23 #–
où #–
u est un vecteur unitaire le long de la plaque.
On fait l’hypothèse simplificatrice que l’écoulement est parfait, permanent et incompressible,
ce qui permet d’appliquer le théorème de Bernoulli le long d’une ligne de courant. On choisit
deux lignes de courant périphériques reliant la section A à A2 puis à A3 . La pesanteur est
négligée et la pression partout égale à p0 , nous en déduisons que v2 = v0 et v3 = v0 .
Finalement :
#–
u − eu#–x ) dt
p (t + dt) − #–
p (t) = µ Lv20 ((e2 − e3) #–
Les actions mécaniques extérieures qui s’exercent sur ce système sont :
• l’action de la plaque sur le jet normale à la plaque puisqu’il n’y a pas de frottement entre
#–
elle et le fluide supposé parfait, dont la résultante s’écrit : F plaque→jet = F #–
n ;
• le poids du fluide qui est négligé ;
¨
#–
#–
• les efforts de pression ambiante dont la résultante s’écrit : Fp = −
p0 dSM où Σ est la
M∈Σ
surface du jet en contact avec l’air extérieur.
#–
Pour calculer Fp , on considère que la pression vaut P0 dans tout le jet, comme dans le cours.
#–
n.
On trouve : Fp = p0 ℓL #–
Toutes les forces appliquées au système étudié sont dirigées selon la normale à la plaque.
Le théorème de la résultante cinétique appliqué à ce système et projeté selon le vecteur #–
u
donne ( #–
p (t + dt) − #–
p (t)) . #–
u = 0 soit e2 − e3 + e sin α = 0. Finalement : e2 = 2e (1 − sin α ) et
e3 = 2e (1 + sin α ).
L’épaisseur e3 est supérieure à e2 . Nous pouvons le comprendre en utilisant la conservation
de la projection de la quantité de mouvement le long de la plaque. Le fluide de la partie 2 a
subi une plus grande variation de quantité de mouvement que celui de la partie 3 (il rebrousse
chemin), c’est normal que la quantité de fluide concernée soit plus faible. Attention, cela n’a
rien à voir avec la pesanteur que nous avons négligée.
454
15.8 Élargissement brusque
1. On s’appuie sur la figure 15.4. L’origine O est située à mi-hauteur. On suppose pour commencer que S est de forme carrée, de largeur L selon (Ox) et de hauteur h selon (Oz). On a
montré au paragraphe 3.4 que la pression dans le fluide est donnée par P (z) = − µ gz + P(0).
ˆ h/2
#–
La force de pression cherchée s’écrit donc F g →d =
(− µ gz + P(0)) Ldzu#–y = P (0) Lhu#–y .
−h/2
Or, avec le choix d’origine effectué pour z, la pression statique est P (z) + µ gz = P (0). On
#–
peut donc écrire la force de pression F g →d = Pstat Su#–y . Ce résultat peut être généralisé dans
des écoulement dont la section S est de forme quelconque, du moment que l’origine de l’axe
vertical ascendant est choisie au niveau du centre de masse d’une tranche élémentaire de
fluide située dans le voisinage de S.
2. On se place dans le référentiel terrestre RTerre , supposé galiléen. On appelle respectivement
Σ1 , Σ0 et Σ2 le fluide en écoulement (en excluant les zones mortes et les couches limites qui
y sont adjacentes) délimité par les surfaces de contrôle repérées sur la figure par ABA ′ B ′ ,
A ′ B ′CD et CDC ′ D ′ . On définit le système fermé Σ∗ , constitué à t par : Σ1 ∪ Σ0 , puis à t + dt
par Σ0 ∪ Σ2 .
zone morte
z
RTerre
x
y
O
Σ2
Σ1
A A′
CC ′
Σ0
#–
v1
#–
v2
B B′
section S1
section S2
DD′
zone morte
#–
3. La quantité de mouvement de Σ∗ à t est p∗ (t) = #–
p Σ0 (t) + µ v1 S1 dt #–
v 1 . À l’instant t + dt,
#–∗
#–
#–
elle devient p (t + dt) = p Σ0 (t + dt) + µ v2S2 dt v 2 .
Puisque l’on est en régime stationnaire (en moyenne du fait du caractère turbulent de l’écoulement), la répartition de masse et de vitesse est la même dans Σ0 à t et à t + dt, donc
#–
p (Σ0 ,t). Le théorème de la résultante cinétique, appliqué à Σ∗ dans RTerre ,
p (Σ0 ,t + dt) = #–
#–
#–
v 1 ) = Σ F ext . Les forces agissant sur le système sont :
s’écrit : µ (v2 S2 v 2 − v1 S1 #–
• le poids, compensé par les forces dues au gradient vertical de pression ;
• les forces de pression, de résultante Pmot1 S1 u#–y exercées par le fluide en amont, conformément à ce qui a été établi au paragraphe a)de la page 418 ;
• les forces de pression, de résultante −Pmot2 S2 u#–y exercées par le fluide en aval ;
#–
• les forces de pression, de résultante F zm exercées par le fluide de la zone morte ;
• les forces de viscosité exercées par les parois et le fluide se trouvant à la périphérie du
système choisi.
Les forces de viscosité sont négligeables car le système a été choisi en dehors des couches
limites qui le séparent des zones mortes. De plus, la pression motrice qui règne dans les zones
mortes est voisine de Pmot1 , puisqu’il y a continuité de la pression, et que la zone morte est
455
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
presque une zone de statique des fluides : Pmot = constante. Ainsi, la force de pression exercée
#–
#–
#–
par! la zone morte
" est F zm = Pmot1 (S2 − S1) uy . On peut donc écrire, après projection selon uy ,
2
2
µ v2 S2 − v1 S1 = (Pmot1 − Pmot2 ) S2 .
&
' &
'
1
1
Pmot1 + µ v21 − Pmot2 + µ v22
∆Ptot
∆Ptot
2
2
=
c’est-à-dire
=
La perte de charge est
µg
µg
µg
2
2
2
2
v2 S 2 − v 1 S 1 v1 − v 2
. Le fluide étant en écoulement incompressible, le débit volumique se
+
gS2
2g
& 2
'
v2
S
S2
∆Ptot
∆Ptot
S1
= 1 2 12 − 2 + 1 − 12 , soit finalement
=
conserve : v1 S1 = v2 S2 , d’où
µg
2g
S2
µg
S2
S2
&
'
v21
S1 2
1−
. Ainsi, pour un écoulement dans une conduite passant brusquement d’une
2g
S2
'
&
S1 2
section S1 à une section S2 , le coefficient de perte de charge singulière est ζ = 1 −
.
S2
15.9 Mascaret
1. Un bilan de masse est équivalent à la conservation du débit volumique (Dv se conserve
quand l’écoulement est permanent et incompressible, Dm se conserve quand l’écoulement est
permanent car ρ peut varier).
Dans le référentiel Rm où le mascaret est immobile, le fluide arrive de gauche à la vitesse
(v1 + v)u#–x et part à droite avec la vitesse (v2 + v)u#–x . Ainsi, après simplification par L :
(v1 + v)h1 = (v2 + v)h2 .
C’est la loi de composition des vitesses :
#–
v amont/Rm = #–
v amont/R + #–
v R/Rm
#–
#–
= v
−v
amont/R
Rm /R
= v1 u#–x − (−vu#–x ) = (v1 + v) u#–x .
Dans le référentiel fixe, l’eau arrive de gauche à la vitesse v1 u#–x et repart suivant deux voies :
vers la droite à la vitesse v2 u#–x et vers la gauche à la vitesse −vu#–x (vague du mascaret). On
retrouve alorsle même résultat : v1 h1 L = v2 h2 L + v (h2 − h1) L.
2. On se place dans Rm car les calculs sont plus simples à mener (car il y a une entrée et une
seule sortie). Pour le système fermé Σ à cheval sur le mascaret :
Σ (t + dt)
Σ (t)
(v1 + v) dt u#–x
(v2 + v) dt u#–x
x
456
Les quantités de mouvement de Σ à t et t + dt sont :
#–
p com (t) ,
p (t) = ρ (v1 + v)2 dth1L u#–x + #–
2
#–
#–
#–
(t + dt).
p (t + dt) = ρ (v + v) dth L u + p
2
2
x
com
On est en régime permanent donc #–
p com (t) = #–
p com (t + dt). Ainsi :
$
#
d #–
p
= ρ L (v2 + v)2 h2 − (v1 + v)2 h1 u#–x .
dt
d #–
p
#–
= ∑ f ext .
Appliquons le principe fondamental de la dynamique à Σ :
dt
Les forces extérieures appliquées sont :
• le poids sur u#–y ,
• les forces de pression sur u#–y et celles sur u#–z ;
#–
• la force de pression du fluide f P à gauche sur u#–x ;
#–′
• la force de pression de l’air f P à gauche sur u#–x ;
#–
• la force de pression du fluide f P′′ à droite sur −u#–x .
#–′
fP
#–′′
fP
#–
fP
x
La pression est donc hydrostatique dans la direction transversale à l’écoulement donc :
P(z) = P0 + ρ g (h1 ou2 − z) .
Ainsi :
#–
fP=
ˆ
h1
ˆ
h1
(P0 + ρ g (h1 − z)) Ldz u#–x
'
'
&
&
h2
h2
= P0 Lh1 + ρ gLh21 − ρ gL 1 u#–x = P0 Lh1 + ρ gL 1 u#–x .
2
2
'
&
h2
#–
De même f P′′ = − P0 Lh2 + ρ gL 2 u#–x .
2
#–
L’air est à la pression constante P0 donc f P′ = P0 L(h2 − h1 )u#–x .
'
& 2
h1 h22 #–
#–
−
ux .
La somme des forces de pression vaut donc ∑ f pression = ρ gL
2
2
#–
qui ne sont pas
Le PFD projeté sur ux (afin de ne pas écrire le poids et les forces
'
& 2 de 2pression
$
#
h
h
suivant u#–x ) mène à ρ L (v2 + v)2 h2 − (v1 + v)2 h1 = ρ gL 1 − 2 , d’où (v2 + v)2 h2 −
2
2
'
& 2
h1 h22
2
−
.
(v1 + v) h1 = g
2
2
z=0
P (z) L dz u#–x =
z=0
457
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
3. Les deux relations précédentes donnent
une équation du second degré en v dont on ne
6
gh2
(h1 + h2 ) − v1.
garde que la solution positive : v =
2h1
v augmente quand h1 diminue donc le mascaret est plus rapide au moment des basses eaux.
6
g h1 + h2
.
4. Des trois dernières relations : v2 = v1 + (h1 − h2 )
2 h1 h2
Le signe de v2 est quelconque. Si v2 > 0 alors le fleuve s’écoule vers la mer, si v2 < 0 alors
la mer remonte dans le fleuve.
15.10 Fonctionnement d’une hélice
1. L’écoulement est parfait entre S1 et S, de même entre S′ et S2 . Ce n’est plus le cas entre S
et S′ car il y a une discontinuité de pression.
Appliquons le théorème de Bernoulli entre S1 et S sur la ligne de courant qui coincide avec
l’axe Ox :
"
1
1
1 !
Pa + ρ v21 = P + ρ v2 ⇒ P = Pa + ρ v21 − v2 .
2
2
2
"
1 !
De même P′ = Pa + ρ v22 − v′2 .
2
2. Effectuons un bilan d’impulsion pour le système fermé Σ, constitué uniquement de fluide
(l’hélice n’est pas dans Σ) :
S
#–
v
com
S′
#–
v′
x
P
P′
Σ (t)
Σ (t + dt)
La quantité de mouvement de Σ à t et t + dt est :
#–
p (t) = #–
p com (t) + ρ Sv2dt u#–x
#–
p (t + dt) = #–
p
(t + dt) + ρ S′v′2 dt u#–
com
x
En régime stationnaire #–
p com (t + dt) = #–
p com (t). Le débit se conserve donc Sv = S′ v′ . Ainsi :
! ′ #–"
#–
v −v
p (t + dt) − #–
p (t) = ρ Sv #–
⇒
d #–
p
#–
= 0.
dt
Appliquons à Σ le théorème de la résultante cinétique en projection sur Ox :
!
"
d #–
px
#–
= F + S P − P′ u#–x .
dt
"
#– 1 !
Avec les résultats de la question 1 : F = ρ S v22 − v21 u#–x .
2
458
3. Pour le système fermé Σ′ :
S1
Slat
Pa
#–
v1
S2 #–
v2
com
Σ′ (t)
Pa
Pa
x
Σ′ (t + dt)
La quantité de mouvement de Σ′ à t et t + dt est :
#–
p (t) = #–
p com (t) + ρ S1v21 dt u#–x
#–
(t + dt) + ρ S v2 dt u#–.
p (t + dt) = #–
p
com
2 2
x
En régime stationnaire #–
p com (t + dt) = #–
p com (t). Le débit se conserve donc S1 v1 = S2 v2 .
#–
dp
#–
#–
Ainsi :
= ρ S1 v1 ( v 2 − v 1 ).
dt
Appliquons à Σ le théorème de la résultante cinétique en projection sur Ox (le poids a une
composante horizontale nulle et la résultante des forces de pression est nulle : pression Pa
appliquée à toute la surface fermée de Σ′ ) :
d #–
px
#–
=F
dt
⇒
#–
F = ρ S1 v1 ( #–
v 2 − #–
v 1) .
"
1 !
#–
4. Avec les deux expressions de F (v1 ̸= v2 ) : S v22 − v21 = S1 v1 (v2 − v1). On trouve donc
2
S
v1 + v2
(v2 + v1 ) = S1 v1 . Le débit se conserve donc S1 v1 = Sv. Alors : v =
.
2
2
5. Effectuons un bilan d’énergie cinétique pour Σ :
1
Ec (t) = Ec com (t) + ρ Sv3 dt
2
1
Ec (t + dt) = Ec com (t + dt) + ρ S′ v′3 dt
2
"
Dm ! ′2
dEc
=
v − v2 = 0.
dt
2
Appliquons le théorème de la puissance cinétique à Σ (l’écoulement est parfait donc il n’y
dEc
= P pression + Phélice , où :
a pas de viscosité et le centre d’inertie reste sur l’axe Ox) :
dt
!
"
"
D
Dm ! 2
m
v1 − v22 .
P pression = PSv − P′S′ v′ =
P − P′ . Avec les résultats du 1 : P pression =
ρ
2
Finalement :
" #–
Dm ! 2
v2 − v21 = F · #–
v.
Phélice =
2
Avec le débit massique Dm = ρ Sv = ρ S′ v′ :
459
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 15 – B ILANS MACROSCOPIQUES
Le fluide reçoit de l’énergie de la part de l’hélice donc Phélice > 0 : v2 > v1 donc S2 < S1 .
Remarque : on retrouve le même résultat avec Σ′ :
"
dEc′
Dm ! 2
=
v2 − v21
dt
2
′
P pression
= Pa S1 v1 − PaS2 v2 = 0.
et
y
15.11 Voilier
Σ (t)
1. Effectuons un bilan d’impulsion pour
le système fermé Σ contenant le tube de
vent et la voile.
La quantité de mouvement de Σ est, à t et
t + dt :
Σ (t + dt)
α
com
x
#–
p com (t) + #–
p voile (t) ,
p (t) = ρ V dt S cos α (−V u#–y ) + #–
#–
#–
#–
p (t + dt) = ρ V dt S sin α (−V u ) + p (t + dt) + #–
p
(t + dt).
x
com
voile
p com (t + dt) et #–
p voile (t) = #–
p voile (t + dt). Avec cos α =
En régime permanent #–
p com (t) = #–
√ d #–
p
S
2
#–
#–
sin α = 1/ 2 :
= ρ V √ (uy − ux ) .
dt
2
d #–
p
#–
= ∑ f ext , où les forces extérieures sont (le poids est négligé) :
Appliquons le PFD à Σ :
dt
#–
• les forces de pression de l’air sur Σ, f p ;
#–
• la force du bateau sur Σ, f B→Σ , transmise via le mât.
#–
#–
Comme Σ est entièrement entouré par de l’air à la pression P0 , f p = 0 . Ainsi :
S
#–
#–
f B→Σ = ρ V 2 √ (u#–y − u#–x ) = − f Σ→B .
2
⎞
⎛
1
S
#–
Finalement : f Σ→B = ρ V 2 √ ⎝ −1 ⎠ .
2
0
On trouve bien une force dirigée suivant +u#–x qui fait avancer le bateau.
2. La force suivant −u#– est compensée par l’action de l’eau sur la quille.
y
15.12 Convection thermique
1. Menons un bilan d’énergie interne pour le système Σ de longueur dx. Avec u (x,t) l’enthalpie massique et S = π a2 :
U(t) = Ucom (t) + ρ v dt Su (x,t)
U(t + dt) = Ucom (t + dt) + ρ v dt Su (x + dx,t + dt)
460
En régime permanent les grandeurs
locales ne dépendent pas du temps,
Ucom (t) = Ucom (t + dt) et :
8
u (x,t) = h(x)
u (x + dx,t + dt) = u(x + dx)
Σ(t)
Σ(t + dt)
vdt
x
x
x + dx
du
U(t + dt) − U(t)
= ρ vS (u (x + dx) − u (x)). Avec dt → 0 : dU = ρ vS dx dt.
Ainsi
dt
dx
Σ reçoit le transfert thermique δ Q pendant dt :
δ Q = j (x) S dt − j (x + dx)S dt = −dx
δQ = λ
dj
S dt
dx
d2 T
dT
).
S dx dt (via la loi de Fourier j = −λ
2
dx
dx
dP
vdtS.
dx
Ainsi, dU = δ W + δ Q devient, en faisant passer δ W du côté gauche de l’égalité :
&
'
d2 T
P
d
u+
= λ 2 S dx dt.
ρ vS dxdt
dx
ρ
dx
Σ reçoit le travail δ W pendant dt : δ W = P(x)vdtS − P(x + dx)vdtS = −dx
P
, et pour une phase condensée dh = c dT , on aboutit
ρ
dT
d2 T
=λ 2.
finalement en simplifiant par Sdxdt : ρ cv
. 2 /
.dx / dx
dT
λ d2 T
λ
d T
dT
−2
et
= K.m−1 donc D =
car [D] = m.
2.
= K.m ,
=
ρ cv dx2
dx
dx2
dx
ρ cv
#x$
# x $ dT
dθ
dT
Posons θ (x) =
. Ainsi D
= θ donc θ = a exp
=
et T (x) = aD exp
+ b.
dx
dx
D
dx
D
& '
L
+ b = T2 . Finalement :
Les conditions aux limies impliquent : aD + b = T1 et aD exp
D
Avec l’enthalipe massique h = u +
#x$
T2 − T1
T2 − T1
& '
& '
−
exp
+ T1 .
L
L
D
−1
−1
exp
exp
D
D
'
'
&
&
L
L
≪ 1. Ainsi, avec (T2 − T1 ) exp −
≪ T1 : T (x) =
3. D = 0, 3 µ m ≪ L donc exp −
D
D
'
&
x−L
.
T1 + (T2 − T1 ) exp
D
Le second terme est négligeable devant le 1er sauf pour x ≈ L, c’est-à-dire la température
reste presque égale à T1 sur toute la conduite, sauf tout à fait au bout, en x = L, où elle passe
à T2 sur une distance de quelques D.
T (x) =
461
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Quatrième partie
Électromagnétisme
463
16
En électromagnétisme, on étudie les effets induits par la présence de charges et de courants,
qui modifient les propriétés de l’espace en créant en chaque point un champ électrique et
un champ magnétique. L’ensemble des deux champs constitue le champ électromagnétique
#– #–
( E , B ). Par ailleurs, une charge située en un point où règne un champ électromagnétique subit
une action qui dépend de ce champ. L’objet de l’électromagnétisme est l’étude du champ
électromagnétique en fonction de ses sources, et de son effet sur les charges et les courants.
#–
Ce premier chapitre d’électromagnétisme est consacré à l’étude du champ électrique E (M)
en régime stationnaire, dont les sources sont les charges stationnaires dans le référentiel
d’étude.
Dans un premier temps, les charges électriques sont mises en évidence, ainsi que les différentes façons dont elles peuvent être distribuées dans l’espace. Puis on a pour but, étant
donnée une distribution particulière, de déterminer le champ électrique qu’elle crée en tout
point de l’espace.
1
1.1
Charges électriques
Existence des charges électriques
Les expériences d’électrisation d’objets divers par frottements, ont mis en évidence deux
sorte de charges électriques : charges électriques positives ou charges électriques négatives,
selon la nature de l’objet frotté et de l’objet frottant. En effet les forces qui apparaissent entre
deux corps légers, chargés par les charges des deux natures, peuvent être attractives, si ce sont
des charges de même signe ou répulsives pour des charges opposées.
1.2
Charge électrique au niveau microscopique
Au niveau microscopique, les particules chargées, aussi appelées porteurs de charges sont,
par exemple :
• les électrons et les protons dans les atomes ;
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
•
•
•
•
les trous dans les matériaux semi-conducteurs ;
les cations et les anions d’une solution ionique en chimie ;
les électrons d’un faisceau électronique ;
les électrons libres dans un métal et les charges positives fixes des noyaux des atomes qui
constituent le réseau cristallin ;
• les positons, antiparticules de l’électron de même masse et de charge opposée.
La charge d’une particule chargée microscopique est toujours un multiple entier relatif
de la charge élementaire e, de charge e = 1, 6.10−19 C.
Remarque
La physique des particules envisage des particules dont la charge est une fraction de la
2
e
charge de l’électron. Les quarks par exemple, portent une charge ± et ± e.
3
3
Toutes les charges citées sont des particules animées d’un mouvement permanent d’agitation
microscopique. Or en électrostatique, on définit des charges stationnaires dans le référentiel
d’étude. Comment est-il possible d’obtenir des charges fixes à partir de porteurs de charge
en perpétuelle agitation ? La réponse est donnée par l’échelle de description de la matière
chargée.
1.3
Charge électrique à l’échelle mésoscopique
Pour définir l’échelle mésoscopique de description de la charge électrique, on prend l’exemple d’un gaz ionisé, chaque ion porte une charge q.
Description microscopique Si on considère un volume élémentaire microscopique dτ ,
fixe dans le repère d’observation, c’est-à-dire un cube dont l’arête (dτ )1/3 est de l’ordre de
grandeur de quelques dizaines de rayons atomiques, alors le nombre de charges fluctue de
façon importante au cours du temps, car les particules franchissent en permanence la frontière
de dτ . Le nombre δ N de particules chargées dans dτ fluctue.
(R)
O
dτ
Figure 16.1 – Volume élémentaire microscopique dτ contenant des ions de charge q.
Description mésoscopique On considère désormais un volume élémentaire dτ , fixe dans
le repère d’observation, dont le rayon typique (dτ )1/3 est de l’ordre du micromètre (c’est
l’ordre de grandeur de quelques libres parcours moyens entre deux collisions successives
466
C HARGES ÉLECTRIQUES
subies par les porteurs de charge). Le nombre δ N de particules contenues dans dτ varie
très peu, il y a quasiment autant de particules qui rentrent que de particules qui sortent de
dτ . Les fluctuations discrètes du nombre de charges contenues dans dτ , dues au mouvement
microscopique incessant des particules qui franchissent la frontière du volume dτ en entrant
et en sortant, sont négligeables.
M
(R)
O
dτ
Figure 16.2 – Volume élémentaire mésoscopique.
Bien que les particules microscopiques franchissent sans cesse la frontière du volume dτ , en
régime stationnaire,
!
" la quantité δ N de particules est indépendante du temps. On définit alors
n, d’unité m−3 , densité des particules chargées au niveau du point M où se situe dτ :
n=
δN
,
dτ
avec δ N la quantité de particules chargées dans dτ .
L’échelle mésoscopique est une échelle intermédiaire entre l’échelle microscopique
et l’échelle macroscopique. Dans un volume élémentaire mésoscopique d’un milieu
chargé, on néglige les fluctuations du nombre de particules chargées dues à l’agitation
microscopique. Le volume est suffisamment petit pour qu’on puisse considérer que la
densité de particules soit uniforme.
1.4
Distribution volumique de charge électrique
La notion de distribution volumique de charge électrique n’a de sens qu’au niveau mésoscopique. Soit dτ un volume élémentaire mésoscopique qui contient une charge δ Q, on définit
la densité volumique de charges ρ au niveau du point M au voisinage duquel se situe le
volume mésoscopique dτ par :
δQ
ρ=
.
dτ
L’unité d’une densité volumique de charge dans le système international est le coulomb par
mètre cube : C.m−3 .
467
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
Remarques
• Si les porteurs de charges sont tous identiques, de densité volumique n et portant une
charge q, la densité volumique de charge est ρ = nq.
• S’il y a plusieurs types de porteurs différents, la densité volumique de charge est :
ρ = ∑ ni qi .
Exemple
Le gaz situé dans l’ionosphère (altitude 70 − 100 km), où les molécules d’air sont ionisées par les particules de très haute énergie venues du Soleil, est un exemple de plasma.
Les molécules du gaz ont toutes perdu un électron, elles sont chargées positivement, et
les électrons, détachés de leur molécule d’origine, sont libres de se déplacer. La densité
n0 de particules de l’ionosphère est n0 = 1024 cm−3 . La charge positive totale contenue
dans un volume mésoscopique cubique dτ de côté égal à 1 µ m est :
δ Q p = n0 × dτ × e = 1030 × 10−3×6 × 1, 6.10−19 = 1, 6.10−7 C.
La densité ρ p de charges positives est ρ p = n0 e = 1030 × 1, 6.10−19 = 1, 6.1011 C.m−3 .
La charge négative totale contenue dans le même volume dτ est l’opposée de la précédente, δ Qn = −δ QP et leur densité de charge ρn = −ρ p , de sorte que dans ce volume
mésoscopique la charge totale est nulle :
δ Q = δ Q p + δ Qn = 0.
1.5
Distributions surfacique, linéique et ponctuelle de charges
Distribution surfacique Lorsque les charges de la distribution sont localisées dans un volume de faible épaisseur, c’est-à-dire dont l’épaisseur ε est faible par rapport aux dimensions
latérales, ε ≪ a et ε ≪ b comme sur la figure 16.3, et qu’on veut calculer le champ électrique en un point M situé en dehors de la distribution, on modélise la distribution comme
une distribution surfacique de charges :
M
b
d
P
a
ρ
dS
M
d
ε
modélisé par
P dS
σ
Figure 16.3 – Distribution surfacique de charges.
La charge élémentaire, portée par la surface élémentaire dS située au point P de la distribution,
peut être exprimée en fonction de ρ , δ Q = ρε dS, ou en fonction de la densité surfacique de
charges σ δ Q = σ dS avec σ = ρε .
468
C HARGES ÉLECTRIQUES
La charge élémentaire δ Q portée par l’élément de surface dS s’exprime en fonction de
la densité surfacique σ , en C.m−2 :
δ Q = σ dS.
Remarques
• La modélisation surfacique est un passage à la limite. Une distribution surfacique
de charge a une épaisseur nulle, le passage de la distribution volumique (celle de
gauche) à la distribution surfacique (celle de droite) implique de faire tendre l’épaisseur vers zéro et la densité volumique de charge vers l’infini. En un point de la distribution surfacique, la densité volumique de charge n’est pas définie.
• Assimiler une répartition volumique de charge d’épaisseur ε faible à une distribution surfacique est une question d’échelle. L’approximation n’est valable que si les
dimensions latérales de la distribution volumique sont très grandes par rapport à
l’épaisseur b ≫ ε et a ≫ ε , et si on considère le champ électrique créé en un point
M situé à l’extérieur de la distribution, d > ε .
Distribution linéique Lorsque les charges sont localisées dans un volume en forme de
tube de faible rayon r par rapport à sa longueur ℓ, et qu’on étudie le champ électrique créé
en un point M situé en dehors du tube, on modélise la distribution de charges comme une
distribution linéique de charges.
2r
M
d
ρ
M
d
δQ
P
dℓ
modélisé par
δQ
dℓ
ℓ
P
λ
Figure 16.4 – Distribution linéique de charges.
La charge élémentaire portée par l’élément dℓ de la distribution peut être exprimée en fonction
de ρ , δ Q = ρ Sdℓ ou en fonction de la densité linéique de charges δ Q = λ dℓ avec λ = ρ S.
La charge élémentaire δ Q portée par l’élément dℓ, s’exprime en fonction de la densité
linéique de charges λ , en C.m−1 :
δ Q = λ dℓ.
469
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
Remarques
• La modélisation linéique est un passage à la limite. Une distribution linéique de
charge a un rayon nul, le passage de la distribution volumique (celle de gauche) à
la distribution linéique (celle de droite) implique de faire tendre le rayon vers zéro,
la charge volumique tend donc vers l’infini. En un point d’une distribution linéique,
la densité volumique de charges n’est pas définie.
• Assimiler une répartition volumique de charge, située dans un tube de faible diamètre, à une distribution linéique est une question d’échelle. L’approximation n’est
valable que si le rayon r de la distribution est très inférieur à sa longueur ℓ, et si on
considère le champ créé en un point M situé en dehors de la distribution, d > r.
Distribution ponctuelle Lorsque la charge δ Q est localisée dans un petit volume δ τ situé
en P et qu’on souhaite étudier le champ électrique en un point M situé en dehors du volume,
on modélise la distribution comme une distribution de charge δ Q ponctuelle située en P.
Remarques
• La modélisation ponctuelle est un passage à la limite. La distribution ponctuelle de
charge a un volume nul, le passage de la distribution volumique à la distribution
ponctuelle, alors que la charge δ Q est non nulle implique que le rayon du volume
qui contient la charge tende vers zéro, la densité volumique de charge tend donc vers
l’infini. En un point où se trouve une charge ponctuelle, la densité volumique de
charge n’est pas définie.
• Assimiler une répartition volumique de charge située dans un volume δ τ à une distribution ponctuelle est une question d’échelle. L’approximation n’est valable que si
on considère le champ créé en un point M situé à une distance d ≫ (δ τ )1/3 , très
supérieure au rayon du volume chargé.
1.6
Propriétés de la charge totale d’un système fermé
Un système fermé est composé d’un ensemble de particules, délimité par une frontière imperméable aux échanges de charges. Il vérifie les propriétés fondamentales :
• la charge est quantifiée, elle est un multiple entier relatif de la charge élémentaire e ;
• la charge d’un système fermé, somme des charges des particules qui constituent le système,
est une grandeur extensive et additive (si on réunit deux systèmes, la charge du nouveau
système est la charge des deux systèmes réunis) ;
• la charge d’un système fermé se conserve (s’il se produit une ionisation d’une molécule
dans le système, des charges de signe opposé apparaissent, mais la charge globale est
conservée), la charge est une grandeur conservative ;
• la charge d’un système fermé ne dépend pas du référentiel d’étude.
470
FORCE ÉLECTRIQUE , DÉFINITION DU CHAMP ÉLECTRIQUE
2
2.1
Force électrique, définition du champ électrique
Expérience historique de Coulomb et force de Coulomb
Tout au long du XVIIIe siècle, des expériences ont été menées dans le but d’observer les
interactions entre corps électrisés. C’est en 1785 que Coulomb met au point sa balance représentée figure 16.5, qui permet une étude quantitative de la force d’interaction entre deux
particules chargées.
Expérience
Le dispositif mis au point par Coulomb met en œuvre un pendule de torsion : un
fil de torsion O − A, fixé en son point supérieur A, relié à un axe horizontal M2 − C
susceptible de tourner autour de l’axe vertical.
Une charge q2 est fixée en M2 . En C est placé un contre-poids qui assure l’horizontalité de la tige M2 −C. On place alors une charge q1 en M1 dans le plan horizontal. Le
signe de la charge q1 est identique à celui de q2 , la force électrique est répulsive.
La mesure de l’angle α que fait la tige horizontale par rapport à sa position au repos
permet de connaître le couple exercé sur le fil de torsion, dû à la force électrique
exercée sur la charge q2 par la charge q1 .
A
α
Fil de
torsion
M1
Contre-poids
q1
C
q2
M2
O
#–
F q1 → q2
Figure 16.5 – Représentation schématique de la balance de Coulomb.
De toutes les expériences effectuées au XVIIIe , on a pu déduire trois propriétés essentielles
de la force d’interaction entre deux corps chargés ponctuels, M1 et M2 , qui portent les charges
q1 et q2 :
# –
• la force entre les particules est dirigée selon M1 M2 ;
• le module de la force d’interaction varie comme l’inverse de la distance entre leurs positions M1 et M2 ;
• le sens de la force dépend du signe des charges des particules, si elles ont même signe, les
charges se repoussent, si elles sont de signes opposés, elles s’attirent.
Aujourd’hui, avec les notations actuelles et l’utilisation d’un système international d’unité, on
#–
exprime cette force F q1 → q2 , dont l’unité est le newton N, qu’on appelle force de Coulomb
en hommage à Charles Augustin Coulomb :
471
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
# –
q1 q2 M1 M2
#–
F q1 →q2 =
.
4πε0 (M1 M2 )3
ε0 est une constante dimensionnée, appelée permittivité électrique du vide.
Sa valeur dans le système international
d’unités est :
M2
R
#–
F q1 →q2
q2
M1
q1
Figure 16.6 – Force électrique exercée par une charge
1
× 10−9 F.m−1 .
q1 sur une charge q2 , dans le cas q1 q2 > 0.
36π
F désigne le farad, unité de capacité des condensateurs. Le calcul de la capacité d’un condensateur plan est effectué au chapitre 17, paragraphe 4.
ε0 =
2.2
Définition du champ électrostatique
L’expérience de Coulomb a mis en évidence la
force exercée par une charge localisée q1 sur une
autre charge q2 .
Si on considère une distribution Dch de charges indépendante du temps, l’action exercée par Dch sur
une charge q placée en un point M est une force,
#–
F el appelée force électrique.
On définit le champ électrique en M créé par Dch :
M
R
q
#–
F el
Dch
Figure 16.7 – Force électrique exercée
par une distribution de charges sources
Dch sur une charge q.
#–
F el
#–
.
E (M) =
q
Comme l’unité de la charge q est le coulomb C, il apparaît que l’unité du champ électrique
est celle d’une force divisée par une charge, le newton par coulomb N.C−1 ; mais cette unité
n’est pas l’unité usuelle, on préfèrera le volt par mètre V.m−1 qui résulte du lien entre le
potentiel et le champ électrique, comme expliqué au paragraphe 4.2.
Une distribution de charges fixes Dch dans un référentiel R crée au point M un champ
#–
électrique E Dch , tel qu’une charge q placée en M subit la force électrique :
#–
#–
F el = q E Dch .
L’unité du champ électrique dans le système international est le V.m−1 .
Remarques
• Le champ électrique ne se révèle que par ses effets. Ainsi pour mesurer un champ
électrique en un point, il faut y placer une charge afin de mesurer la force qu’elle
subit du fait de l’existence du champ électrique.
• La force électrique est une grandeur qui ne dépend pas du choix que l’on fait de
472
FORCE ÉLECTRIQUE , DÉFINITION DU CHAMP ÉLECTRIQUE
l’orientation de l’espace (on appelle ici choix d’orientation de l’espace, le choix
conventionnel du sens direct pour le trièdre de référence). Comme le lien entre la
force électrique et le champ électrique est une simple proportionnalité on en déduit que le champ électrique est un champ vectoriel qui ne dépend pas du choix de
l’orientation de l’espace.
Un tel vecteur est appelé vecteur polaire : il ne dépend pas
du choix de l’orientation de l’espace.
2.3
Champ électrique créé par une charge ponctuelle
On envisage une charge ponctuelle Q située au
point O, origine du repère.
Si on place une charge q en un point M quel#–
conque de l’espace, celle-ci subit la force F =
# –
Qq OM
. Le champ électrique que crée Q en
4πε0 (OM)3
M est :
# –
#–
Q OM
F
Q u#–r
#–
=
E (M) =
=
.
q
4πε0 (OM)3
4πε0 r2
z
M
θ q
Q
u# –
ϕ
u#–
θ
O
y
ϕ
x
On constate que la charge ponctuelle Q crée un
champ électrique radial, qui varie comme l’inverse
de la distance au carré.
r
#–
E
u#–r
Figure 16.8 – Champ créé par une
charge ponctuelle Q > 0 située en O.
En calculant le flux du champ créé par cette charge ponctuelle à travers la sphère S de rayon
r qui passe par M, comme le montre la figure 16.9, on établit sur un cas particulier d’une
propriété fondamentale du champ électrique.
#–
E
#–
E
M
r
Q
Σ
O
#–
E
#–
E
Figure 16.9 – Sphère à travers laquelle on calcule le flux du champ de la charge Q.
473
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
"
S
# –
Q OM #–
· dS
3
S 4πε0 (OM)
"
Q 1 #– #–
=
u · ur rdθ r sin θ dϕ
2 r
4
πε
0r
S
ˆ π
ˆ 2π
Q
Q
Q
=
sin θ dθ
dϕ = × 2 × 2π = .
4πε0 0
ε
ε
0
0
0
#– #–
E · dS =
"
Le flux du champ électrique à travers la sphère de rayon r ne dépend que de la charge Q, il
ne dépend pas du rayon de la sphère.
"
#– #– Q
E · dS = .
ε0
S
Cette propriété, établie dans le cas particulier d’une charge ponctuelle et d’une sphère dont
elle est le centre, est une propriété tout à fait générale du champ électrique, connue sous le
nom de théorème de Gauss.
3
Théorème de Gauss
3.1
Énoncé
On admet que le résultat précédent se généralise au cas d’une surface fermée quelconque, à
l’intérieur de laquelle se trouve une distribution de charge.
#–
Le flux du champ électrique E , à
travers une surface fermée S qui
délimite un volume V , est égal à la
charge intérieure au volume, divisé
par ε0 :
"
Qint
#– #–
E · dSext =
.
ε0
S
Cette relation constitue le théorème de Gauss.
#–
E
#–
dSext
N
V
Qint
R
Figure 16.10 – Flux du champ électrique sortant
d’une surface fermée S .
Remarque
On appelle surface de Gauss la surface fermée choisie pour appliquer le théorème de
Gauss.
Conséquences du théorème de Gauss :
• les charges situées en dehors de la surface de Gauss ne participent pas au flux du champ
électrique ;
• la position des charges à l’intérieur du volume n’a pas d’influence sur le flux sortant du
champ électrique ;
474
T HÉORÈME DE G AUSS
• si le volume délimité par la surface de Gauss est vide de charge, le flux du champ électrique
sortant de ce volume est nul, on dit que le champ électrique est à flux conservatif dans les
zones vides de charges.
3.2
Théorème de Gauss et calcul du champ électrique
Dans certains cas de distributions de charges, le théorème de Gauss est un outil puissant pour
calculer le champ électrique en tout point de l’espace, à condition de bien choisir la surface
de Gauss, point abordé au paragraphe 8, où des exemples sont présentés.
3.3
Théorème de Gauss pour le champ de gravitation
La force d’interaction gravitationnelle entre deux masses et la force d’interaction électrique
1
entre deux charges ont des expressions formellement identiques, ce sont deux forces en 2 .
r
Le champ de gravitation #–
g (M), créé en M par une distribution de masse Dmasse , est relié à la
#–
force F exercée par Dmasse sur une masse m placée en M, par :
#–
F = m #–
g (M) .
Un raisonnement par analogies permet d’appliquer à la gravitation les résultats de l’étude
du champ électrique et inversement.
On en déduit qu’il est possible de calculer le champ d’attraction gravitationnelle #–
g (M) créé
par une distribution de masse qui présente de fortes symétries avec le théorème de Gauss.
Le tableau d’analogies page suivante, figure 16.11, établit l’analogie formelle entre l’interaction gravitationnelle et l’interaction électrique. Pour établir ce tableau d’analogies, on
fait correspondre chaque terme présent dans la force d’interaction gravitationnelle entre deux
masses m1 et m2 à son analogue dans la force d’interaction coulombienne entre deux charges
q1 et q2 de même signe, comme m1 et m2 sont de même signe.
OLa valeur de la constante de gravitation est G = 6, 67.10−11 kg−1 .m3 .s−2 .
Une fois l’analogie établie, on l’exploite pour établir le théorème de Gauss gravitationnel :
Le flux du champ de gravitation #–
g à travers une surface fermée S qui délimite un
volume V est égal à la masse intérieure au volume multipliée par la constante −4π G :
"
#–
#–
g · dSext = −4π G Mint .
S
Cette relation constitue le théorème de Gauss gravitationnel.
Remarque
Il existe un analogue du théorème de Gauss pour tout champ en
1
.
r2
475
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
TABLEAU D’ANALOGIES
Champ électrique
#–
F el,2→1
q1
•
M1
Champ de gravitation
m1
#–
F el,1→2
q2
M1 •
•
M2
# –
q1 q2 M1 M2
#–
F el,1→2 =
4πε0 M1 M2 3
analogue de
m2
#–
•M
F gr,2→1 #–
F gr,1→2 2
# –
M1 M2
#–
F gr,1→2 = −G m1 m2
M1 M2 3
q1
m1
1
4πε0
1
ε0
−G
−4π G
# –
q1 M1 M2
#–
E (M2 ) =
4πε0 M1 M2 3
"
Qint
#– #–
E · dSext =
ε0
# –
M1 M2
#–
g (M2 ) = −G m1
M1 M2 3
"
#–
#–
g · dSext = −4π G Mint
Figure 16.11 – Tableau d’analogie.
4
4.1
Équations locales de l’électrostatique
Du théorème de Gauss à l’équation locale de Maxwell Gauss
Le théorème de Gauss n’impose aucune condition sur le volume délimité par la surface de
Gauss. On choisit alors de l’appliquer sur un volume mésoscopique dτ fixe du référentiel
dans lequel est défini la distribution de charge définie par la densité volumique de charge ρ .
En notant δ Φ #–
E , dτ le flux du champ électrique sortant du volume mésoscopique dτ , attendu
que la charge contenu dans le volume dτ est δ Q = ρ dτ , le théorème de Gauss s’écrit :
δ Φ #–
E , dτ =
476
δQ
.
ε0
É QUATIONS LOCALES DE L’ÉLECTROSTATIQUE
#–
E
Or, la définition intrinsèque de la divergence (voir
l’annexe mathématique où sont définis les différents opérateurs d’analyse vectorielle) est :
dτ
R
#–
δ Φ #–
E , dτ = div E dτ .
δ Q = ρ dτ
#–
E
Figure 16.12 – Flux du champ
En égalant les deux expressions de δ Φ #–
E , dτ , il apélectrique sortant d’un volume
paraît :
mésoscopique dτ .
⎧
δQ
⎨
δQ
δ Φ #–
#–
#– ρ
E , dτ =
⇒ div E dτ =
soit div E = .
ε #–
⎩ δ Φ #– = div0 E
ε0
ε0
dτ
E , dτ
#–
L’équation de Maxwell Gauss relie le champ électrique E et la densité volumique de
charge ρ :
#– ρ
div E = ,
ε0
où ε0 =
✎
1
× 10−9 F.m−1 est la permittivité du vide.
36π
L’expression de l’opérateur divergence en coordonnées cartésiennes est :
#– #– #– ∂ Ex ∂ Ey ∂ Ez
+
+
.
div E = ▽ · E =
∂x
∂y
∂z
Caractère local de l’équation de Maxwell Gauss et conséquences L’équation de Maxwell Gauss est la traduction locale du théorème de Gauss. Elle relie localement, c’est-à-dire
#–
en un point M quelconque, le champ électrique E et la densité volumique de charge ρ .
L’équation de Maxwell Gauss relie les dérivées spatiales du champ électrique à la densité
volumique de charge, il en résulte que pour calculer le champ électrique en un point, il faut
calculer une intégrale faisant intervenir la distribution volumique de charges fixes dans tout
l’espace. L’équation de Maxwell Gauss est locale, mais le champ électrique dépend de la
distribution de charges sources dans son ensemble.
À l’inverse, si on connaît le champ électrique en tout point de l’espace, alors la densité volumique de charges s’en déduit par dérivation du champ électrique.
Exemple
L’espace étant repéré par le système de coordonnées cartésiennes (O, u#–x , u#–y , u#–z ), consi#–
#–
dérons de champ E (M) défini par E (x) = E u#–. En utilisant l’équation de MaxwellGauss :
0 x
ρ
#– dE0
=0=
div E =
dx
ε0
⇒
ρ = 0.
477
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
Le champ électrique peut être non nul en des points M dépourvus de charge.
Existence et continuité du champ électrique ; cas des distributions surfaciques, linéiques
et ponctuelles Si la distribution de charge est strictement volumique, le champ électrique
est défini, continu et dérivable en tout point de l’espace.
Par contre, en des points d’une distribution surfacique, linéique ou ponctuelle de charges,
pour lesquelles ola modélisation entraîne un passage à la limite, l’équation de Maxwell Gauss
n’est pas valide, car la densité volumique de charge n’y est pas définie.
En un point d’une distribution surfacique, linéique ou ponctuelle, le champ électrique
n’est pas défini.
4.2
Équation de Maxwell Faraday en électrostatique, existence du potentiel électrostatique
L’équation de Maxwell Faraday, Maxwell Faraday, en régime statique est :
# – #– #–
rot E = 0 .
✎
L’opérateur rotationnel est un opérateur de dérivation d’un champ de vecteur par
rapport aux coordonnées d’espace. On se réfère au chapitre sur les outils mathématiques pour sa définition et son calcul dans le cas d’un repérage cartésien :
⎛
⎞
∂ Ez ∂ Ey
−
⎜
⎟
⎜ ∂y
∂z ⎟
⎜
⎟
&
'
⎜
⎟
∂ #– ∂ #– ∂ #–
#–
# – #– #– #–
⎜ ∂ Ex ∂ Ez ⎟
rot E = ▽ ∧ E =
ux + uy + uz ∧ E (x, y, z) = ⎜
⎟.
−
⎜ ∂z
∂x
∂y
∂z
∂x ⎟
⎜
⎟
⎜ ∂E
⎟
∂ Ex ⎠
⎝
y
−
∂x
∂y
#–
# – #–
Le champ électrostatique E est un champ vectoriel dont le rotationnel rot E est nul en tout
point de l’espace. L’analyse vectorielle affirme qu’il existe alors un champ scalaire V (M) tel
# –
#–
que E = − grad(V ).
Il existe un champ scalaire V , appelé potentiel électrostatique, relié au champ électro#–
statique E en M par :
# –
#–
E = − gradV.
L’unité du potentiel électrique est le volt, noté V.
478
É QUATIONS LOCALES DE L’ÉLECTROSTATIQUE
Remarque
#–
L’unité usuelle du champ électrique est le V.m−1 , elle découle de la relation E =
# –
− grad (V ) par analyse dimensionnelle.
On en déduit que la circulation du champ électrostatique d’un point A à un point B, le long
d’une courbe Γ1 est égale à l’opposé de la variation du potentiel entre A et B :
ˆ
A→B
#– # –
E · dOM =
ˆ
A→B
# –
# –
− grad(V ) · dOM =
ˆ
VB
VA
−dV = − (VB − VA) .
Γ1
R
VA
#–
E
B
VB
M
A
Γ2
Figure 16.13 – Lien entre la diminution du potentiel et la circulation du champ électrique.
En régime indépendant du temps, la circulation du champ électrique le long d’une
courbe orientée Γ qui joint deux points A et B est égale à l’opposé de la variation du
potentiel entre A et B :
ˆ
#– # –
E · dOM = VA − VB.
A→B
Propriétés du potentiel :
• la circulation du champ électrique ne dépend pas du chemin suivi, elle sera la même le
long des courbes Γ1 ou Γ2 dès lors qu’elles joignent les mêmes points A et B ;
• le potentiel n’est défini qu’à une constante près. En effet, si V (M) est un potentiel, V ′ (M) =
# –
#–
V (M) + K où K est une constante convient aussi, car grad K = 0 ;
• des développements mathématiques montrent que dans le cas de distributions surfaciques
ou volumiques, le potentiel V (M) est défini en tout point de l’espace, et qu’il est continu
et dérivable, mais il ne l’est pas en un point d’une distribution linéique ou ponctuelle.
Exemple
#–
On établit précédemment le champ électrique créé par une charge ponctuelle, E =
Q u#–r
# –
#–
. Le potentiel V (M) qui lui est associé vérifie E = − gradV . On en déduit
4πε0 r2
l’équation vectorielle suivante.
479
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
⎛
⎜
⎜
⎜
−⎜
⎜
⎜
⎝
soit
∂V
∂r
1 ∂V
r ∂θ
1 ∂V
r sin θ ∂ ϕ
⎞
⎛
Q 1 ⎞
⎟ ⎜ 4πε r2 ⎟
0
⎟ ⎜
⎟
⎟ ⎜
⎟
⎟=⎜
⎟,
0
⎟ ⎜
⎟
⎟ ⎝
⎠
⎠
0
∂V
∂V
= 0 et
= 0, le potentiel ne dépend ni de θ , ni de ϕ , d’où :
∂θ
∂ϕ
Q
dV
=−
dr
4πε0r2
donc
V (r) =
Q
,
4πε0 r
en choisissant arbitrairement de fixer V (r → ∞) = 0.
Le champ électrique et le potentiel ne sont pas définis en r = 0, comme on pouvait s’y
attendre avec une distribution ponctuelle.
4.3
Énergie potentielle électrique d’une charge
L’énergie potentielle électrique d’un porteur de charge q soumis au potentiel V (M) est :
E p = qV (M) .
# –
#–
#–
En effet, la force électrique F = q E = −q gradV est reliée à E p par :
# –
#–
F = − grad E p .
Expérience
L’application du théorème de l’énergie cinétique à une particule de charge q, accélérée par un champ électrique, permet de calculer la vitesse d’un porteur de charge.
Pour créer un faisceau d’électrons, on peut procéder de la façon suivante : dans une
enceinte fermée on dispose une plaque métallique, appelée cathode, chauffée à une
température telle que des électrons sont susceptibles de se détacher, avec une vitesse
qu’on considère nulle en x = 0.
Une différence de potentiel U est imposée entre les plaques par un générateur de
tension constante. En négligeant les effets de bord, les considérations de symétries,
étudiés ci-après, impliquent que l’ensemble des deux plaques impose un champ élec#–
#–
trique E (x) = E (x) u#–x entre elles. Le potentiel V (x) est relié à E par :
# –
#–
E = − gradV
soit E (x) = −
dV
.
dx
#–
Les électrons qui quittent la cathode sont soumis au champ électrique E et subissent
480
É QUATIONS LOCALES DE L’ÉLECTROSTATIQUE
#–
#–
la force électrique F el = −e E (on néglige le poids). Ils acquièrent une vitesse #–
v (x) =
#–
v (x) ex avec v (x) > 0, et parviennent ainsi à l’anode.
Cathode
Anode
#–
E
−e #–
v
U
x
0
Figure 16.14 – Création d’un faisceau d’électrons.
L’application du théorème de l’énergie cinétique à l’électron entre x = 0 et x quelconque, dans le référentiel galiléen du laboratoire lié aux plaques, donne :
! #– "
Ec (x) − Ec (0) = W0→x F el
Ec (x) − Ec (0) = − (E p (x) − E p (0))
Ec (x) − Ec (0) = − (−eV (x) + eV (0)) ,
1
soit me v (x)2 = eV (x).
2
La vitesse d’un électron qui parvient à l’anode est donc v =
4.4
6
2eU
.
me
Équations de Poisson et de Laplace
Des deux équations vues précédemment, Maxwell Gauss d’une part, et le lien entre le champ
électrique et le potentiel d’autre part :
#– ρ
div E =
ε0
et
# –
#–
E = − gradV,
on déduit l’équation locale vérifiée par le potentiel V :
# # – $ ρ
div − gradV =
ε0
⇒
∆V = −
## –$
où ∆ = div grad est le laplacien d’un champ scalaire.
ρ
,
ε0
Le potentiel électrostatique vérifie l’équation de Poisson :
∆V = −
ρ
.
ε0
481
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
En un point où ρ = 0, le potentiel électrostatique vérifie l’équation de Laplace :
∆V = 0.
Remarque
La résolution de l’équation de Laplace ou de l’équation de Poisson requiert de connaître
la distribution de charges et les conditions aux limites imposées au potentiel.
4.5
Linéarité des équations locales de l’électrostatique et conséquence
Les équations locales de l’électrostatique sont linéaires, on en déduit que le champ électrostatique et le potentiel obéissent au théorème de superposition.
#–
Si le champ électrostatique E 1 (M) et le potentiel électrique V1 (M) sont créés par une dis#–
tribution de charges ρ1 (M), et les champs E 2 (M) et V2 (M) par une distribution de charges
ρ2 (M), alors une distribution de charges qui serait une combinaison linéaire de ces deux
distributions :
λ ρ1 (M) + µρ2 (M) ,
#–
créerait les champs E (M) et V (M) :
#–
#–
#–
E (M) = λ E 1 (M) + µ E 2 (M) et V (M) = λ V1 (M) + µ V2 (M) .
Le théorème de superposition permet de calculer le champ électrique créé par des distributions faiblement symétriques, dès lors qu’elles sont la superposition de distributions possédant une symétrie élevée, étudiées au paragraphe 5.5. Un exemple est traité en exercice.
5
Symétries du champ électrique
Les paragraphes qui suivent ont pour objectif de calculer le champ électrique créé par une
distribution de charge donnée. Dans le cas général, ce calcul n’est pas simple.
Calculer un champ vectoriel, c’est établir sa direction, son sens et sa norme en tout point de
l’espace. Dans ce paragraphe, on montre qu’il est possible de déterminer, dans certains cas,
la direction du champ en un point quelconque, avant de faire le moindre calcul, en s’appuyant
sur les propriétés de symétrie de la distribution de charges.
5.1
Principe de Curie, plan de symétrie ou d’antisymétrie
a) Principe de Curie
Le principe de Curie est un principe fondamental en physique, il s’énonce ainsi :
Lorsque des causes produisent des effets, les symétries présentes dans les causes doivent
se retrouver dans celles des effets.
La réciproque n’est pas vraie, les effets produits peuvent être plus symétriques que les
causes.
482
SYMÉTRIES DU CHAMP ÉLECTRIQUE
On exploite ici le principe de Curie, en considérant la distribution de charge source Dch
comme la cause et le champ électrique en tout point de l’espace comme son effet.
Remarque
Le principe de Curie est résumé par la phrase : « il n’y a pas de génération spontanée
de dissymétrie. »
b) Symétrie par rapport à un plan
La figure ci-contre représente deux
points symétriques par rapport au plan
Π, plan médiateur du segment M1 M2 .
Le segment M1 M2 est perpendiculaire au
plan ; les deux points sont équidistants du
plan.
Π
R
M1
M2
Figure 16.15 – Symétrie par rapport à un plan.
On considère une distribution de charges Dch . On construit point par point la distribution
′ symétrique de D par rapport à un plan Π. Dans l’exemple ci-dessous la charge qui se
Dch
ch
′ .
trouvait en M1 dans Dch se retrouve en M2 symétrique de M1 par Π dans Dch
Π
R
M1
Dch
R
Π
M2
M1
′
Dch
Figure 16.16 – Distribution de charges
Dch .
Figure 16.17 – Distribution de charges
′ , symétrique de D par rapport à Π.
Dch
ch
c) Plan de symétrie pour une distribution de charges
Un plan Πs est un plan de symétrie pour une distribution Dch de charges, lorsque la distri′ symétrique de D par rapport à Π est identique à D .
bution Dch
s
ch
ch
Πs
M1
M2
Figure 16.18 – Distribution de charges Dch
symétrique par rapport à Πs .
Πs
M1
M2
′ .
Figure 16.19 – Distribution Dch
483
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
d) Plan de symétrie pour un champ de vecteurs
#–
Un plan Πs est un plan de symétrie pour un champ de vecteurs A , lorsque le champ de
#–′
#–
#–
vecteurs A symétrique de A par rapport à Πs est identique à A . On dit que le champ est
symétrique par rapport à Πs .
Πs
Πs
#–
A (M2 )
#–
A (M1 )
M1
M1
M2
#–
Figure 16.20 – Champ A
symétrique par rapport à Πs .
#
–
A′ (M2 )
#–
A′ (M1 )
M2
#–
Figure 16.21 – Champ A′
#–
symétrique de A par rapport à Πs .
e) Plan d’antisymétrie pour une distribution de charge
Un plan Πa est un plan d’antisymétrie pour une distribution Dch de charges, lorsque la
′ , symétrique de D par rapport à Π , est l’exacte opposée de D .
distribution Dch
a
ch
ch
Πa
Πa
M1
M2
M1
Figure 16.22 – Distribution de charges Dch
antisymétrique par rapport à Πa .
M2
′
Figure 16.23 – Distribution Dch
symétrique de Dch S.
f) Plan d’antisymétrie pour un champ de vecteur
#–
Un plan Πa est un plan d’antisymétrie pour un champ de vecteurs A , lorsque le champ de
#–′
#–
#–
vecteurs A symétrique de A par rapport à Πa est exactement l’opposé de A .
Πa
#–′
A (M1 )
Πa
#–
A (M2 )
M1
#–
A (M1 )
M2
#–
Figure 16.24 – Champ A
antisymétrique par rapport à Πa
484
M2
M1
#–
A′ (M2 )
#–
Figure 16.25 – Champ A′
#–
symétrique de A par rapport à Πa
SYMÉTRIES DU CHAMP ÉLECTRIQUE
Remarque
#–
#–
Le vecteur A (M1 ) est l’antisymétrique de A (M2 ) par rapport à Πa ; pour le construire à
#–
partir de A (M2 ), on construit le vecteur symétrique par rapport à Πa , puis on construit
l’opposé.
5.2
Observation des lignes de champ du champ électrique généré par
une distribution de charges présentant un plan de symétrie et conséquences
La représentation ci-dessous est celle des lignes de champ du champ électrique créé par deux
charges positives strictement identiques, dans le plan de direction (u#–y , u#–z ) qui contient les
deux charges. Pour la définition des lignes de champ d’un champ vectoriel on consultera le
chapitre 33 paragraphe b)
.
Πs2
#–
E1
#–
E5
M5
#–
E4
M4
M1
#–
E3
M3
z
M2
#–
E2
y
Πs1
x
Figure 16.26 – Distribution présentant des plans de symétrie.
Remarque
Une telle carte de ligne de champs peut être obtenue expérimentalement en déplaçant
un dispositif sensible au champ électrique, successivement en divers points de l’espace
formant un maillage le plus complet possible de celui-ci et en relevant en chaque point
la direction et le sens du champ détecté.
La distribution présente notamment deux plans de symétrie : Πs1 , plan médiateur des charges
de direction (u#–x , u#–z ) et Πs2 , de direction (u#–x , u#–y ), qui contient les charges.
485
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
Sur cette représentation, on observe les propriétés essentielles de symétrie du champ électrostatique. On constate :
• en M1 et M5 qui sont symétriques par rapport à Πs1 , les champs sont symétriques par
rapport à Πs1 ; de même en M1 et M2 ;
• en M4 qui appartient au plan de symétrie Πs1 de la distribution de charges, le champ électrique est son propre symétrique par rapport à Πs1 , il a donc une direction incluse dans la
direction du plan Πs1 . Il en est de même pour le point M3 , situé dans le plan de symétrie
Πs2 .
5.3
Observation des lignes de champ du champ électrique généré par
une distribution présentant un plan d’antisymétrie et conséquences
La représentation ci-dessous est celle des lignes de champ du champ électrostatique créé
par deux charges strictement opposées, seules les lignes de champ situées dans le plan de
direction (u#–y , u#–z ) qui contient les charges sont représentées.
La distribution présente notamment un plan de symétrie Πs , plan de direction (u#–x , u#–y ) qui
contient les charges ; et un plan d’antisymétrie Πa , plan médiateur des deux charges, de direction (u#–x , u#–z ).
M4
#–
E1
M2
M1
#–
E5
Πs
#–
E4
#–
E2
M5
z
#–
E3
M3
y
Πa
x
Figure 16.27 – Distribution présentant un plan de symétrie et un plan d’antisymétrie.
On constate :
• en M1 et M2 qui sont symétriques par rapport à Πa , les champs sont antisymétriques ;
• en M3 et M2 qui sont symétriques par rapport à Πs , les champs sont symétriques ;
• en M4 qui appartient au plan Πa d’antisymétrie de la distribution de charges, le champ
électrique est son propre antisymétrique par rapport à Πa , il a donc une direction perpendiculaire à Πa ;
• en M5 qui appartient au plan de symétrie Πs de la distribution de charge, le champ élec486
SYMÉTRIES DU CHAMP ÉLECTRIQUE
trique est son propre symétrique par rapport à Πs , il a donc une direction incluse dans la
direction de Πs .
5.4
Propriétés de symétries pour le champ électrostatique
Des deux séries d’observations précédentes, on dégage les règles de symétrie pour le champ
électrique :
• le champ électrostatique créé par une distribution de charge est symétrique par rapport à un plan de symétrie de la distribution de charge ;
• le champ électrique créé par une distribution de charge est antisymétrique par rapport
à un plan d’antisymétrie de la distribution de charge ;
• si le point M appartient à un plan de symétrie Πs de la distribution de charge, le
champ électrostatique en M a une direction incluse dans Πs ;
• est le point M appartient à un plan d’antisymétrie Πa de la distribution de charge, le
champ électrique en M est perpendiculaire à Πa .
!
Pour connaître la direction en un point M du champ électrique, il on cherche les plans de
symétrie et d’antisymétrie de la distribution de charges qui contiennent M .
Remarque
On a vu dans au paragraphe 2.2 que le champ électrique est un vecteur polaire. On admet que les propriétés de symétries observées pour le champ électrique sont les mêmes
pour tout vecteur polaire.
5.5
Symétrie élevée d’une distribution de charges
L’étude des symétries d’une distribution de charge dont on veut calculer le champ électrique
qu’elle crée est l’étape initiale de toute étude.
Certaines distributions présentent une symétrie élevée :
On dit qu’une distribution de charges présente une symétrie élevée si l’étude des propriétés de symétrie de la distribution permet de connaître la direction du champ électrique en tout point de l’espace.
Lorsque la distribution de charge Dch est symétrique, sans que cette symétrie soit élevée,
l’étude des propriétés de symétrie ne permet de connaître la direction du champ électrique
qu’en certains points de l’espace.
Exemples
• Un exemple de distribution présentant une symétrie élevée est une charge ponctuelle
située en un point O. En effet l’analyse des symétries permet de montrer qu’en tout
# –
point M de l’espace, le champ créé par la charge ponctuelle est porté par OM.
• Un exemple de distribution symétrique, mais sans que cette symétrie soit élevée,
est donné par un disque portant une charge Q uniformément répartie sur sa surface.
487
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
L’analyse des symétries permet de prévoir la direction du champ électrique qu’il crée
en tout point de son axe, ou encore en tout point du plan auquel appartient le disque
lui-même, mais pas en n’importe quel point de l’espace.
6
Invariances de la distribution de charges par des transformations géométriques
#–
Le champ électrique E et le potentiel électrostatique V créés par une distribution Dch de
charges fixes en un point M sont des fonctions vectorielles et scalaires des trois coordonnées
qui repèrent le point M dans le référentiel d’étude R. L’étude des invariances de la distribution
Dch par certaines transformations géométriques permet de prévoir les coordonnées de M dont
dépend le champ électrostatique qu’on cherche à calculer en M.
6.1
Invariance par translation selon un axe
Soit une distribution de charges fixes, invariante par translation selon l’axe (Ox) d’un repérage
cartésien. Vue des points M (x1 , y, z) et M (x2 , y, z), quelles que soient les abscisses x1 et x2 ,
#–
la distribution est la même. On en déduit que les champs E et V qu’elle crée en un point
M (x, y, z) ne dépendent pas de la coordonnée x de M.
Lorsqu’une distribution de charge est invariante par translation selon un axe ∆, le champ
#–
électrostatique E et le potentiel électrostatique V en un point M quelconque de l’espace
sont indépendants de la coordonnée de M selon l’axe ∆.
6.2
Invariance par rotation autour d’un axe
Soit une distribution de charges fixes invariante par rotation autour de l’axe fixe ∆ du référentiel.
Soit θ une coordonnée angulaire définissant les positions angulaires des points de l’espace
dans une rotation autour de ∆.
Vue des points M1 repéré par (r, θ1 , z) et M2 repéré par (r, θ2 , z), r et z étant les deux autres
coordonnées du système de coordonnées choisies, la distribution de charge est la même. On
#–
en déduit que la norme du champ E et la valeur du potentiel V qu’elle crée en M ne dépendent
pas de la coordonnée θ .
Lorsqu’une distribution de charge est invariante par rotation autour d’un axe fixe ∆ du
#–
référentiel, la norme du champ électrostatique || E || et le potentiel électrostatique V en
un point M quelconque de l’espace sont indépendants de la coordonnée angulaire de M
par rapport à l’axe ∆.
7
Propriétés topographiques du champ électrique et du potentiel
En utilisant les différentes propriétés du champ électrique et du potentiel, ainsi que les relations qui les lient, on peut constater un ensemble de propriétés topographiques du champ
488
PROPRIÉTÉS TOPOGRAPHIQUES DU CHAMP ÉLECTRIQUE ET DU POTENTIEL
électrique qui permettent d’interpréter les cartes de lignes de champ et de surfaces équipotentielles.
• Une ligne de champ électrique est une courbe en tout point tangente au champ
électrique, orientée comme le champ électrique. Le long d’une ligne de champ :
#– #– #–
E ∧ dℓ = 0 .
• Une surface équipotentielle est une surface formée d’un ensemble de points aux
même potentiel, son équation est donnée par :
V (M) = V0 ,
où V0 est constant.
7.1
Le champ électrique est orienté vers les potentiels décroissants
# –
#–
Le lien entre le champ électrique et le potentiel, E = − gradV , montre que le champ élec# –
trique est orienté vers les potentiels décroissants. En effet, le vecteur gradV en un point M est
orienté vers les points M ′ voisins de M où V (M ′ ) > V (M).
Si la ligne de champ qui relie le point A au point B est orientée de A vers B alors VB < VA ,
le potentiel en B est strictement inférieur au potentiel en A, ainsi les points A et B possèdent
deux potentiels différents, ils ne peuvent être confondus.
On en déduit deux propriétés du champ électrostatique :
• en régime statique, le champ électrique est orienté vers les potentiels décroissants ;
• en régime statique, une ligne de champ électrique n’est pas fermée sur elle même.
7.2
Extrema relatifs du potentiel et charges électriques
Une conséquence importante du théorème de Gauss est l’existence d’extrema relatifs du potentiel là où se trouvent des charges.
On démontre cette propriété en utilisant le théorème de Gauss :
Soit un point Mmax où le potentiel électrostatique présente un maximum relatif.
#–
E
#–
E
Ligne de Champ Électrique
N
R
q0
Mmax
Sphère V0 qui entoure Mmax
Figure 16.28 – Maximum relatif du potentiel en présence d’une charge positive.
489
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
Cela signifie que pour tous les points qui entourent Mmax , le potentiel est plus faible. Comme
le champ électrique est dirigé vers les potentiels décroissants, on peut représenter le champ
électrique en différents points voisins de Mmax , et si on place autour de Mmax un petit volume
sphérique V0 , le flux du champ électrique sortant de V0 est positif.
On déduit alors du théorème de Gauss que la charge contenue dans la sphère entourant Mmax
est strictement positive.
On peut reprendre un raisonnement rigoureusement identique en un point Mmin où le potentiel
présente un miminum relatif, on y trouve une charge négative.
En un point Mmax où le potentiel est un maximum relatif, se trouve une charge positive.
En un point Mmin où le potentiel est un minimum relatif se trouve une charge négative.
7.3
Intersection des lignes de champ électrique
Lorsqu’on trace les lignes de champ électrique d’une distribution de charges, on observe
parfois des points d’intersection de lignes de champs, cela correspond à deux cas singuliers :
• au point où se trouve une charge ponctuelle, les lignes de champ sont concourantes, puisque
le potentiel est y est extrémal, on remarque qu’en ce point le champ électrique n’est pas
défini, il est infini ;
• lorsque plusieurs lignes de champ différentes se croisent en un point où il n’y a pas de
charge ponctuelle, le champ électrique est le vecteur nul, seul vecteur qui puisse avoir les
différentes directions des lignes de champ qui se croisent.
7.4
Le champ électrique est perpendiculaire aux surfaces équipotentielles
Soient M et M ′ deux points voisins sur la surface équipotentielle de potentiel V0 , comme le
montre la figure 16.29 , ils sont au même potentiel et très proches l’un de l’autre. En effectuant
# –
# –
#–
le passage à la limite MM ′ = dOM qui tend vers le vecteur nul 0 , on peut écrire :
! "
# –
# –
# –
#–
V M ′ − V (M) ≃ dV = grad(V ) · dOM = − E (M) · MM ′ .
Or V (M ′ ) − V (M) = 0 et donc finalement :
# –
#–
E (M) · MM ′ = 0.
V0
#–
E
M′
M
R
Figure 16.29 – Surface équipotentielle et ligne de champ électrique.
490
PROPRIÉTÉS TOPOGRAPHIQUES DU CHAMP ÉLECTRIQUE ET DU POTENTIEL
# –
On constate que le champ électrique en M est perpendiculaire à tous les vecteurs MM ′ qui
sont tangents en M à la surface.
On en déduit :
Le champ électrique est perpendiculaire en tout point à la surface équipotentielle.
Les lignes de champ du champ électrostatique sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles.
7.5
Conservation du flux électrique en un lieu vide de charge
Dans une zone de l’espace où ρ = 0, l’équation de Maxwell Gausss’écrit :
#–
div E = 0.
Le flux du champ électrostatique sortant du tube de champ (pour la définition d’un tube de
champ d’un champ vectoriel on se consultera le chapitre 33 paragraphe b)
) de section variable
délimité par les sections S1 , S2 et la surface latérale Sℓ est :
Sℓ
R
#–
E1
#–
E2
S2
S1
Figure 16.30 – Tube de champ électrique dans une zone où ρ = 0.
"
#– #–
E · dS =
¨
S1
#– #–
E · dS +
¨
S2
#– #–
E · dS +
¨
Sℓ
#– #–
E · dS = −S1 E1 + S2 E2 + 0.
D’où :
0 = −S1 E1 + S2E2 .
On en déduit que
S2
S2
E1
E1
= , donc si
< 1 alors
< 1.
E2
S1
S1
E2
Dans une zone vide de charges, là où les lignes de champ électrique se resserrent, le
champ électrique est plus intense.
7.6
Valeur du champ et surfaces équipotentielles successives
Si on convient de représenter les surfaces équipotentielles correspondant à des écarts de potentiel toujours identiques d’une surface à la suivante, alors des surfaces équipotentielles très
rapprochées correspondent à une zone de fort champ électrique, alors que des zones de surfaces équipotentielles très espacées correspondent à des zones de faible champ électrique. De
491
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
plus, les lignes de champ électrique sont orientées depuis les surfaces de fort potentiel vers
celles de faible potentiel.
À écart de potentiel constant entre deux surfaces équipotentielles successives, un resserrement des surfaces équipotentielles s’interprète comme une intensification du champ
électrique, et inversement un écartement des surfaces équipotentielles comme une diminution du champ électrique.
7.7
Exemples d’interprétation de cartes de lignes de champs
On considère un premier exemple introductif, celui du champ créé par une charge ponctuelle
positive
Exemple
La figure 16.31 représente, dans le plan de coupe de la figure, les surfaces équipotentielles (en gris), avec la variation de potentiel d’une ligne équipotentielle à l’autre
constante, et les lignes de champ électrique (en noir) créées par une charge ponctuelle
positive placée au centre de la figure.
B
A
#–
E (B)
#–
E (A)
Figure 16.31 – Lignes de champs, en noir, et surfaces
équipotentielles, en gris, d’une charge ponctuelle.
On observe que :
• les lignes de champ sont radiales orientées du centre vers la périphérie ;
• les lignes de champ sont perpendiculaires aux équipotentielles ;
• le champ est plus intense en A car les lignes de champ sont plus resserrées au voisinage de A qu’en B ;
• le champ est plus intense en A car, à écart de potentiel constant, les surfaces équipotentielles sont plus resserrées en A qu’en B.
492
PROPRIÉTÉS TOPOGRAPHIQUES DU CHAMP ÉLECTRIQUE ET DU POTENTIEL
a) Lecture d’une carte d’équipotentielles
La figure 16.32 représente l’intersection avec le plan de la figure des surfaces équipotentielles
de deux charges ponctuelles q1 et q2 placées en P1 et P2 . L’écart de potentiel d’une surface à
la suivante est conservé.
y
#–
E (A)
A
P1
P2
x
B
#–
E (B)
Figure 16.32 – Surface
équipotentielles de deux charges
ponctuelles de même signe.
Figure 16.33 – Surface équipotentielles de
deux charges ponctuelles de même signe.
On observe que :
• les surfaces équipotentielles sont fermées autour des points P1 et P2 où se trouvent les
charges ;
• grâce à l’information sur le sens des champs en A et B, on sait que les charges sont positives ;
• comme les équipotentielles sont très proches de P2 , le potentiel est plus élevé au voisinage
de P1 qu’à celui de P2 , on en déduit que la charge q1 est supérieure à la charge q2 .
!
Si on dispose d’une carte d’équipotentielles tracées avec un écart de potentiel quelconque
d’une équipotentielle à la suivante, on ne peut rien conclure quand à la valeur du champ
électrique.
On trace sur la figure 16.33 les lignes de champ correspondantes, qui coupent perpendiculairement les équipotentielles.
b) Position et signe des charges sources du champ électrique
La figure 16.34 représente les surfaces équipotentielles et les lignes de champ électrique crées
par deux charges ponctuelles de signes différents. En gris clair les surfaces équipotentielles
de potentiel positif, le potentiel est nul à l’infini, les surfaces équipotentielles de potentiel
négatif sont représentées en gris foncé.
493
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
Figure 16.34 – Surface équipotentielles et lignes de champ de deux charges ponctuelles de signes
différents, (positive à droite, négative à gauche).
On observe que :
• les lignes de champ partent de la charge positive et vont jusqu’à la charge négative ;
• la valeur absolue de la charge positive est supérieure à celle de la charge négative.
8
Calculs de champs électriques ou de gravitation créés par
des distributions de symétrie élevée
Le programme limite de façon impérative le calcul du champ électrique aux cas des distributions qui présentent une symétrie élevée, pour lesquelles le champ électrique est calculable à
l’aide du théorème de Gauss.
8.1
Choix d’une surface de Gauss
La surface de Gauss Σ doit permettre un calcul simple du flux du champ électrique sortant de
Σ.
#–
On cherche tout d’abord une surface Σ′ passant par M telle que le champ E soit normal à Σ′
en tout point et de module constant, Σ′ est la surface équipotentielle qui passe par M.
Si la surface équipotentielle Σ′ qui passe par M est fermée, elle convient comme surface
de Gauss Σ.
Si Σ′ n’est pas fermée, on construit la surface de Gauss Σ fermée, à partir d’un élément
#–
de Σ′ , auquel on ajoute des éléments de surfaces tels le champ E leur soit tangent, de
#–
sorte que le flux de E y soit nul.
494
C ALCULS DE CHAMPS ÉLECTRIQUES OU DE GRAVITATION CRÉÉS PAR DES DISTRIBUTIONS DE SYMÉTRIE ÉLEVÉE
8.2
Méthode
Lorsqu’on étudie un champ électrique créé par une distribution de charge donnée, on procède
par étapes :
✎
8.3
• Choix d’un repérage adapté :
On commence par faire un schéma de la distribution de charges, afin de comprendre quelle est le repérage le plus adapté, entre cartésien, cylindrique et sphérique.
• Étude des symétries et des antisymétries :
Étant donné un point M de l’espace, on cherche les plans de symétrie pour la
distribution de charge qui passent par le point M. Le champ électrique en M
est à l’intersection des plans de symétrie pour la distribution de charge, il est
perpendiculaire aux plans d’antisymétrie.
• Étude des invariances :
Si la distribution est invariante par translation selon un axe (Oz), par exemple, le
champ en un point M ne dépendra pas de la coordonnée z du point M.
Si la distribution est invariante par rotation autour d’un axe, le champ en M ne
dépendra pas de la coordonnée angulaire de M associée à cette rotation.
• Choix d’une surface de Gauss et utilisation du théorème :
On choisit une surface de Gauss Σ contenant tout ou partie de la surface équipotentielle qui passe par M, voir le paragraphe 8.1.
Pour finir, on applique le théorème de Gauss sur Σ, on en déduit la valeur du
champ en M.
Champ électrostatique et potentiel créé par un fil chargé
La distribution de charges source du champ électrostatique est un fil infini chargé uniformément. On note λ la densité linéique de charge.
∞
a) Choix d’un repérage adapté
Ici le repérage cylindrique est le mieux adapté à la
situation.
Les coordonnées cylindriques d’un point M de
l’espace sont (r, θ , z)
#–
E (M) = E (r, θ , z) u#–r .
u#–z
z
λ
b) Étude des symétries et des antisymétries
Les plan (M, u#–r , u#–z ) et (M, u#–r , u#–
θ ) sont des plans
de symétrie pour la distribution de charges, donc
le champ électrique en M s’écrit :
z
u#–
θ
M
r
x
u#–r
y
θ
∞
Figure 16.35 – Fil infini chargé
uniformément, repérage cylindrique.
495
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
c) Étude des invariances
La distribution est invariante par rotation autour de l’axe (Oz) et translation selon (Oz), donc
le champ électrique ne dépend que de r en valeur :
#–
E (M) = E (r) u#–.
r
De même le potentiel V ne dépend que de r, V (M) = V (r).
d) Choix d’une surface de Gauss et utilisation du théorème
La surface équipotentielle Σ′ qui passe par M est définie par V (r) = V0 , c’est le cylindre
d’axe (Oz) et de rayon r : cette surface n’est pas fermée. On construit la surface de Gauss Σ
en limitant le cylindre d’axe (Oz) à un tronçon de hauteur h, sa surface latérale Σlat réunie avec
les deux surfaces transversales Σtran qui sont les disques de rayon r d’axe (Oz) constituent une
#–
surface fermée, qui convient comme surface de Gauss Σ. Le flux de E sortant des surfaces
#–
transversales est nul puisque leur normale est selon uz , et le champ est partout radial.
Le théorème de Gauss mène à :
"
"
"
λh
#– #– Qint
E · dS =
soit
E (r) u#–r · u#–r dS +
E (r) u#–r · u#–z dS =
,
ε0
ε0
Σ
Σ
Σtran
lat
finalement, comme u#–r · u#–z = 0 :
E (r) 2π rh =
λh
ε0
#–
E (M) =
et
dSu#–z
λ #–
ur .
2π rε0
Σtran
Σ
z
r
h
M
λ
O
Σlat
x
dSu#–r
r
y
θ
Figure 16.36 – Surface de Gauss pour le calcul du champ électrique d’un fil infini.
e) Calcul du potentiel électrostatique
dV
= −E (r) :
dr
λ
V (r) = −
ln (r) + K.
2πε0
On calcule le potentiel électrostatique V (r) en intégrant
dV
λ
=−
dr
2π rε0
496
⇒
C ALCULS DE CHAMPS ÉLECTRIQUES OU DE GRAVITATION CRÉÉS PAR DES DISTRIBUTIONS DE SYMÉTRIE ÉLEVÉE
K est la constante d’intégration.
Finalement :
V (r) = −
& '
λ
r
+ V (r0 ) .
ln
2πε0
r0
Le potentiel n’est pas défini en r = 0 ni en r → ∞.
8.4
Champ de gravitation d’une boule homogène
La distribution de masse envisagée dans cet exemple est une boule de rayon a, de masse m0
homogène, centrée en O origine du repère.
z
u#–r
M
θ
a) Choix d’un repérage adapté
u# –
ϕ
Dmasse
Le repérage sphérique est le mieux adapté à la sir #– u#–
tuation.
g θ
O
La distribution de masse est caractérisé par la
a
y
masse volumique ρ (r) :
• Pour r > a : µ (r) = 0
x
m0
• Pour r < a : µ (r) = ρ0 = 4 3 .
ϕ
3πa
Figure 16.37 – Choix du repérage
sphérique.
b) Étude des symétries et des antisymétries
Tous les plans qui contiennent O et M sont plans de symétrie de la distribution de masse. On
en déduit que le champ de gravitation #–
g en M est de la forme :
#–
g (M) = g (r, θ , ϕ ) u#–r .
c) Étude des invariances
La distribution de masse est invariante par rotation atour de tous les axes qui passent par O,
on en déduit que g (M) = g (r).
d) Choix d’une surface de Gauss et utilisation du théorème
Sur la sphère de centre O et rayon r, en tout point, on peut déduire le champ de gravitation
par symétrie à partir du point M. Le champ de gravitation prend en tout point la même valeur.
On choisit comme surface de Gauss donc la sphère Σ de volume V pour appliquer le théorème
de Gauss.
D’après le théorème de Gauss gravitationnel :
"
Σ
#–
#–
g · dS = −4π G Mint
soit g (M)
"
Σ
u#–r · dSu#–r = −4π G Mint ,
497
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
On en déduit :
G Mint
.
r2
Pour le calcul de la masse intérieure, on distingue deux cas :
g (M) = −
si
r>a
alors Mint = m0 ,
et si
r<a
alors Mint =
˚
ρ0 dτ = Mint = m0
V
r3
.
a3
On en déduit :
8.5
⎧
u#–r
⎪
⎨ #–
g (r > a) = −G m0 2
pour r > a,
r
r
⎪
⎩ #–
g (r < a) = −G m0 3 u#–r pour r < a.
a
Champ électrostatique et potentiel créé par un plan chargé
La distribution de charges source du champ électrostatique est le plan (0, x, y) chargé uniformément avec une densité surfacique de charges σ .
a) Choix d’un repérage adapté
Ici le repérage cartésien est le mieux adapté.
Les coordonnées cartésiennes d’un point M de l’espace sont (x, y, z)
z
u#–z
M
O
y
σ
x
Figure 16.38 – Plan chargé, repérage cartésien.
b) Étude des symétries et des antisymétries
Tous les plans contenant la droite (M, u#–z ) sont des plans de symétrie de la distribution de
charge, donc le champ électrique en M est dirigé selon u#–z et s’écrit :
#–
E (M) = E (x, y, z) u#–.
z
c) Étude des invariances
La distribution de charges est invariante par toute translation selon (Ox) et selon (Oy), donc
la valeur du champ électrique ne dépend que de z :
#–
E (M) = E (z) u#–.
z
Le potentiel électrostatique ne dépend aussi que de z : V (M) = V (z) .
498
C ALCULS DE CHAMPS ÉLECTRIQUES OU DE GRAVITATION CRÉÉS PAR DES DISTRIBUTIONS DE SYMÉTRIE ÉLEVÉE
d) Choix d’une surface de Gauss et utilisation du théorème
La surface équipotentielle Σ′ qui passe par M est le plan Π (M, u#–x , u#–y ), elle n’est par fermée.
On construit la surface de Gauss Σ en réunissant une portion Σ1 de Σ′ , d’aire S0 , autour du
point M, avec la surface Σ2 , d’aire S0 , autour du point M ′ symétrique de M par rapport à la
distribution de charges, car le champ électrique est le symétrique du champ en M, et on ferme
la surface par la surface Σlat , voir figure 16.39.
Le flux du champ électrique à travers Σlat est nul, car le champ électrique est perpendiculaire
à la normale à la surface en tout point.
z
u#–z
M
z
Σ1
σ
y
O
x
#–
dSlat
−z
M’
−u#–z
Σlat
Σ2
Figure 16.39 – Surface d’intégation du théorème de Gauss pour le
champ d’un plan infini chargé uniformément.
#– #– Qint
E · dS =
.
ε0
Σ
La charge intérieure est portée par le disque découpé par la surface de Gauss Σ sur le plan de
la distribution, Qint = σ S0 , on en déduit :
¨
¨
¨
! "
σ S0
#–
E (z) u#–z · dSlat +
E (z) u#–z · dSu#–z +
E z′ u#–z · (−dSu#–z) =
,
ε0
Σlat
Σ1
Σ2
On applique le théorème de Gauss :
"
donc :
0 + S0E (z) + S0 E (z) =
On en déduit :
⎧
⎪
⎨ Pour z > 0
⎪
⎩ Pour z < 0
σ S0
σ S0
soit 2S0 E (z) =
.
ε0
ε0
σ #–
#–
E (M) =
uz ,
2ε0
σ #–
#–
E (M) = −
uz .
2ε0
On constate que le champ électrique est discontinu au passage de la surface chargée :
" #– !
" σ
#– !
E z = 0+ − E z = 0− = u#–z .
ε0
499
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
Cette propriété établie pour un plan chargé est valable pour toute surface chargée.
On considère une surface Σ portant une charge surfacique σ (N,t). On sait qu’au point N,
qui appartient à Σ, le champ électrique n’est pas défini. On considère deux points M − et M +
infiniment voisins de N situés de part et d’autre de la surface sur la normale (N, #–
n −+ ) :
M+
–
n# −+
N
Σ
M−
Figure 16.40 – Variation du champ électrique au passage d’une surface chargée.
On admet l’expression de la variation du champ électrique entre les points M − et M + , et on
retiendra les propriétés de continuité et discontinuité des composantes du champ électrique
au passage d’une distribution surfacique de charges, à un instant t :
• La composante tangentielle du champ électrique est toujours continue ;
• La composante normale est discontinue, si la surface de discontinuité porte des
charges surfaciques.
" #– !
" σ (N,t) # –
#– !
E M + ,t − E M − ,t =
n−+ .
ε0
e) Calcul du potentiel électrostatique
dV (z)
= −E (z).
dz
σ
σ
z, et pour z < 0 : V (z) = V0 +
z.
Pour z > 0 : V (z) = V0 −
2ε0
2ε0
On calcule le potentiel électrostatique V (z) en intégrant
9
Calculs de champs électriques par application du principe
de superposition
9.1
Distributions concernées
Lorsqu’une distribution est la superposition de plusieurs distributions présentant chacune une
symétrie élevée, on étudie le champ magnétique créé en superposant les champs créés par
chacune des distributions à symétrie élevée.
Exemple
La distribution constituée d’une plaque d’épaisseur 2a uniformément chargée en volume, au cœur de laquelle se trouve une cavité sphérique vide de charges et totalement
500
C ALCULS DE CHAMPS ÉLECTRIQUES PAR APPLICATION DU PRINCIPE DE SUPERPOSITION
immergée dans la plaque, de rayon a, centrée en O, origine du repère.
ρ
z
y
x
Figure 16.41 – Plaque chargée avec une cavité.
Les plans Π (O, u#–x , u#–z ) et Π (O, u#–y , u#–z ) sont plans de symétrie pour la distribution de charges.
On connaît la direction du champ électrique en tout point des axes du repère, mais pas en tout
point de l’espace
9.2
Étude du champ électrique dans une cavité d’une distribution volumique de charges
Dans le cas particulier de l’exemple, la distribution est la superposition d’une plaque chargée
uniformément à ρ et d’une sphère chargée à −ρ .
Pour un point M situé dans la sphère, par exemple :
En négligeant les effets de bords, on peut calculer le champ créé par la plaque considérée
#–
infinie selon (Ox) et (Oy), soit E plaque (M) le champ créé en M, et la sphère crée en M
ρ # –
#–
OM.
E sphère = −
3ε0
D’où le champ total dans la cavité :
#– #–
#–
E = E sphère + E plaque .
SYNTHÈSE
SAVOIRS
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
#–
#–
symétries pour le champ E , caractère polaire de E
équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Faraday en régime stationnaire
charge électrique au niveau mésoscopique, densité volumique de charge
potentiel scalaire électrique
propriétés topographiques
équation de Poisson
théorème de Gauss
calculs de champs électrique
distribution surfacique de charge
linéarité des équations de Maxwell
régime stationnaire
501
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
SYNTHÈSE
SAVOIR-FAIRE
• passer d’une description microscopique des charges à une description mésoscopique ρ
• exploiter les symétries et invariances d’une distribution de charge pour en déduire les
#–
propriétés de E
• citer les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Faraday, et les particulariser en
régime stationnaire
• relier le champ électrique et le potentiel électrostatique et exprimer une différence de
potentiel comme une circulation du champ électrique
• relier l’évasement des lignes de champ électrique à l’évolution de la norme du champ
électrique
• représenter les lignes de champ connaissant les surfaces équipotentielles et inversement
• évaluer l’intensité du champ électrique à partir d’un réseau de surfaces équipotentielles
• établir l’équation du second ordre reliant le potentiel à la densité volumique de charges
• énoncer et appliquer le théorème de Gauss
• établir le champ électrique et le potentiel créés par une charge ponctuelle, une distribution à symétrie cylindrique, une distribution de charges à symétrie sphérique
• utiliser le modèle de la distribution surfacique de charge dans le cas d’une distribution
volumique de faible épaisseur devant l’échelle de description
• établir le champ électrique créé par un plan infini uniformément chargé en surface
• établir la relation E p = qV et appliquer la loi de l’énergie cinétique à une particule
chargée dans un champ électrique
• établir un tableau d’analogies entre les champs électrique et gravitationnel
MOTS-CLÉS
•
•
•
•
502
échelle mésoscopique
échelle microscopique
symétrie
équations de Maxwell
• potentiel scalaire
électrique
• équation de Poisson
• théorème de Gauss
• distribution surfacique
• linéarité
• analogie
S’ENTRAÎNER
16.1 Champs et forces électrostatiques
Soient deux charges Q et
Q′
(⋆ )
situées respectivement en M et M ′ , deux points distants de d.
1. Comparer les normes des champs électrostatiques auxquels sont soumises les charges Q et
Q′ .
2. Même question pour les forces subies par les charges.
3. Comment peut-on rendre les champs égaux en plaçant une charge Q′′ sur l’axe MM ′ à une
distance l de Q ?
4. Si Q′′ est située entre les deux points M et M ′ , quelle est la valeur de Q′′ ?
16.2 Plan de symétrie et plan d’antisymétrie
(⋆)
#–
E (M)
M
1. Tracer le champ électrostatique en M ′ , symétrique de M par rapport à Π, si Π est un plan de
symétrie de la distribution de charges.
2. Même question si Π est un plan d’antisymétrie
de la distribution de charges.
Π
M′
16.3 Conséquences des symétries et des invariances d’une distribution lineique
(⋆ )
On considère une droite (Ox).
1. On suppose qu’elle est uniformément chargée avec une densité linéique de charge λ . Déterminer les éléments de symétrie du système.
2. On suppose que la densité linéique de charges vaut −λ pour x > 0 et +λ pour x < 0.
Étudier les symétries du système.
3. Quelles conclusions peut-on en déduire sur les variables dont dépend le champ électrostatique créé par cette distribution et sur sa direction ?
16.4 Conséquence d’une symétrie sphérique
(⋆ )
On considère une sphère de centre O et de rayon R.
1. On suppose qu’elle est uniformément chargée avec une densité surfacique de charge σ .
Déterminer les éléments de symétrie du système.
2. On munit l’espace d’un repère (O, u#–x , u#–y , u#–z ). On suppose que la densité surfacique de
charges vaut −σ pour x > 0 et +σ pour x < 0. Etudier les symétries du système.
3. Quelles conclusions peut-on en déduire sur les variables dont dépend le champ électrostatique créé par cette distribution et sur sa direction ?
16.5 Flux du champ électrostatique et position de la charge
(⋆ )
Soit une charge q située à l’intérieur d’une sphère de rayon R.
503
Exercices
S’ ENTRAÎNER
Exercices
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
Le flux du champ électrostatique à travers cette sphère est-il modifié par le déplacement de la
charge q ?
16.6 Flux nul, champ nul
(⋆ )
1. Le champ électrostatique est nul sur une surface fermée S . Que peut-on dire de son flux
à travers S ?
2. Le flux à travers une surface fermée S est nul. Le champ électrostatique est-il forcément
nul sur la surface ?
16.7 Distribution de charge uniforme dans tout l’espace
(⋆ )
Soit une distribution volumique de charges ρ continue et uniforme dans tout l’espace.
1. Que peut-on dire du champ électrostatique en un point M quelconque de l’espace ?
2. Le théorème de Gauss est-il valide dans ce cas ? Expliquer.
16.8 Propriétés des équipotentielles
(⋆ )
Soient les surfaces équipotentielles correspondant à une distribution donnée de charges.
1. En tout point d’une même équipotentielle, le module du champ électrostatique est-il le
même ?
2. En un point d’une équipotentielle, quelle est l’orientation du champ électrostatique ?
3. Une équipotentielle peut-elle se recouper ?
4. Deux surfaces équipotentielles peuvent-elles se couper ?
16.9 Lignes de champ
(⋆ )
On donne les lignes de champ suivantes :
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Préciser celles qui peuvent correspondre aux lignes de champ d’un champ électrostatique.
504
16.10 Flux du champ électrostatique à travers un cube
Dans la région de l’espace considérée règne un
#–
champ électrostatique E (M).
Soit un cube de côté a représenté sur la figure cicontre.
Calculer le flux du champ électrostatique à travers
le cube et en déduire la charge totale dans le cube
si :
#–
1. E (M) est uniforme,
#–
2. E (M) = Cxu#–x ,
#–
3. E (M) = Cx2 u#–x ,
#–
4. E (M) = C (yu#–x + xu#–y ).
16.11 Distribution volumique de charges
(⋆ )
z
a
O
a
y
a
x
(⋆ )
L’espace est repéré en cartésiennes, soit R (O, x, y, z) le référentiel d’étude. On considère une
distribution volumique de charge permanent dans R, définie par :
a < x < a : ρ (x) = ρ0
et |x| > a : ρ (x) = 0.
Le but de l’exercice est d’étudier le champ électrique créé par cette distribution en tout point
de l’espace.
1.
a. En appliquant un raisonnement par symétries et par invariances, déterminer la direction du champ électrique en tout point de l’espace, ainsi que les variables dont il dépend.
b. Après avoir justifié que le théorème de Gauss permet de calculer le champ électrique
créé par cette distribution, calculer le champ électrique en tout point.
c. Calculer le champ électrique par intégration de l’équation de Maxwell Gauss.
2. Montrer que pour un point M situé en dehors de la distribution de charges, le champ
électrique est le même que celui que créerait une distribution surfacique σ à déterminer.
16.12 Champ électrique et potentiel créés par une boule uniformément chargée
(⋆)
Une boule de centre O , de rayon a est uniformément chargée, sa charge totale vaut Q.
1. Calculer le champ électrique en tout point de l’espace en détaillant le raisonnement.
2. Calculer le potentiel électrique en tout point, en prenant V = 0 pour r → ∞.
3. Tracer les évolutions de E (r) et V (r).
APPROFONDIR
16.13 Champ dans une cavité
(⋆ )
Une boule de rayon a et de centre O1 est uniformément chargée avec une densité volumique
de charges ρ0 > 0, mis à part une cavité sphérique, entièrement incluse dans la boule, centrée
505
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
en O2 , de rayon b vide de charges. On cherche le champ électrique en un point M à l’intérieur
de la cavité.
1. Justifier que l’application directe du théorème
de Gauss pour le calcul du champ électrique en un
O2
point M à l’intérieur de la cavité est impossible.
R
O1
2. Calculer le champ électrique en M situé à l’intérieur de la cavité, en utilisant le principe de superposition.
16.14 Électromètre
(⋆⋆)
Un électromètre est constitué de deux boules métalliques identiques de masse m et de rayon
r suffisamment petit pour qu’elles puissent être considérées comme ponctuelles. Elles sont
suspendues à un même point O par deux fils isolants de même longueur b. Une boule notée A
est fixe, le point A est sur la verticale passant par O. L’autre notée P est mobile. L’ensemble
est placé dans le champ de pesanteur #–
g supposé uniforme dans le référentiel terrestre supposé
galiléen.
1
On donne : b = 12 cm, m = 2, 55 g, g = 9, 81 m.s−2 et
= 9.109 dans les unités du
4πε0
système international. Dans un premier temps, la boule P n’est pas chargée et la boule A
porte la charge électrique Q. On met les deux boules en contact. II en résulte une déviation
du fil OP d’un angle ϕ par rapport à la verticale.
1. Donner l’expression de l’intensité f de la force électrostatique qui s’exerce sur P.
1.
3.
Q2
1
4πε0 32b2 sin ϕ
Q2
1
f=
4πε0 2b2 sin ϕ2
2.
f=
4.
Q2
1
4πε0 8b2 sin 2ϕ
Q2
1
f=
4πε0 16b2 sin2 ϕ2
f=
2. Déterminer l’expression de ϕe à l’équilibre.
1.
3.
Q2
1
4πε0 16b2 mg
ϕe
Q2
1
sin3
=
2
4πε0 32b2mg
sin2 ϕe =
2.
4.
Q2
1
4πε0 8b2 mg
ϕe
Q2
1
sin4
=
2
4πε0 16b2 mg
sin2 2ϕe =
3. Déterminer l’expression de l’intensité T de la tension du fil isolant OP à l’équilibre.
1.
2.
T = mg
3. 2mg sin
ϕe
2
4.
1
Q2
+ mg cos ϕe
4πε0 16b2 sin ϕ2e
1 Q2
cos ϕe
4πε0 2b2
4. En déduire la valeur de la charge Q.
1. 2, 0.10−7 C
3. 3, 2.10−16 C
506
2. 1, 6.10−13 C
4. 4, 0.10−17 C
5. Calculer à une constante près l’énergie potentielle de P.
1
Q2
+ mgb cos ϕ
4πε0 4b sin ϕ
2
Q2
1
3. E p =
+ mgb sin ϕ
4πε0 16b cos ϕ
2
1. E p =
1
Q2
− mgb cos ϕ
4πε0 8b sin ϕ
2
Q2
1
4. E p =
− mgb cos ϕ
4πε0 32b sin ϕ
2
2. E p =
6. Qualifier l’équilibre.
1. stable
2. instable
16.15 Quatre charges aux sommets d’un carré
3. indifférent
(⋆⋆)
On considère la distribution constituée de quatre charges ponctuelles q de même valeur placées aux sommets d’un carré de côté a. On note O le centre du carré et on s’intéresse au
potentiel et au champ électrostatique en un point M situé sur la droite (Ox) perpendiculaire
au plan du carré et passant par O.
1. Déterminer le potentiel électrostatique créé en M par la distribution.
2. En déduire l’expression du champ électrostatique créé en M.
3. Trouver, en utilisant les symétries, la direction du champ électrostatique en M.
4. En exploitant les résultats de la question précédente, calculer directement le champ électrostatique créé en M.
5. Quelle est la parité du champ et du potentiel électrostatiques en x ?
6. Tracer la courbe donnant le potentiel électrostatique créé en M en fonction de x la distance
de M au plan du carré.
7. Tracer la courbe donnant le champ électrostatique créé en M en fonction de x la distance
de M au plan du carré.
8. Tracer l’allure les lignes de champs et de la trace des équipotentielles dans le plan Oyz.
16.16 Modèle de l’atome d’hydrogène
(⋆ )
On considère une distribution à symétrie sphérique créant le potentiel électrostatique suivant :
# r$
exp
−
q
a .
V (r) =
4πε0
r
1. Déterminer le champ électrostatique créé par cette distribution.
2. Étudier les cas limites r ≪ a et r ≫ a.
3. Calculer le flux du champ électrostatique à travers une sphère de centre O et de rayon r.
En déduire la charge q(r) se trouvant à l’intérieur d’une sphère de rayon r centrée en O.
4. En déduire en O la présence d’une charge ponctuelle à déterminer. Quelle est la charge
contenue dans tout l’espace ? Expliquer en quoi ce potentiel peut modéliser la distribution de
charges d’un atome d’hydrogène.
507
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
5. Établir l’expression de la densité volumique de charge ρ (r) à la distance r du point O.
6. On définit la densité de probabilité de présence P(r) de l’électron dans le volume élémentaire dτ par dq(r) = −eP(r)dτ où dq(r) est la charge contenue dans le volume dτ . Exprimer
P(r) puis la probabilité p(r) de trouver l’électron à une distance comprise entre r et r + dr du
noyau. Étudier la fonction p(r). Comment peut-on interpréter a ? Donner l’ordre de grandeur
de a.
16.17 Énergie de constitution d’une sphère chargée uniformément
(⋆ ⋆ ⋆)
Une sphère de rayon R porte la charge Q uniformément répartie en volume. On définit l’énergie de constitution (ou énergie coulombienne) de cette sphère comme le travail qu’il faut
fournir pour la construire en prenant les charges à l’infini. On admet que cette énergie ne
dépend pas de la façon dont on construit la sphère : on la construit par couches sphériques
successives.
1. La sphère a un rayon r < R. Calculer le travail qu’il faut fournir pour augmenter le rayon
de cette sphère de dr, en amenant les charges de l’infini.
2. En déduire l’expression de l’énergie de constitution de la sphère, en fonction de Q et de R.
3. Par analogie, en déduire l’énergie gravitationnelle d’une sphère de rayon R et de masse M.
16.18 Champ créé par une spire chargée
(⋆⋆)
On donne une spire circulaire de rayon R, de
centre O, d’axe Oz (figure 16.42). Cette spire porte
une charge positive Q répartie uniformément avec
densité linéique de charge λ en C.m−1 .
R
λ
α
O
M
z
Figure 16.42
#–
1.
a. Montrer par des arguments de symétrie que, sur l’axe, le champ électrostatique E est
#–
#–
#–
porté par l’axe et prend la forme de E = E uz où uz est un vecteur unitaire porté par l’axe Oz.
b. Comparer E(z) et E(−z).
c. Est-il possible d’utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ électrique en un
point quelconque de l’axe ? (on ne demande pas de la calculer)
λ
Rz
d. On donne l’expression de E (z) =
. Tracer le graphe de la fonction E(z).
2ε0 (R2 + z2 )3/2
2. On s’intéresse maintenant au champ électrostatique au voisinage de l’axe. On calcule donc
le champ en un point M défini par des coordonnées cylindriques (r, θ , z).
#–
a. Montrer par des arguments de symétrie très précis, qu’en M, le champ E n’a pas de
composante orthoradiale Eθ .
b. Montrer que la norme de E ne dépend que de r et z.
#–
c. Montrer qu’au voisinage de l’axe, le flux du champ E est conservatif. Que peut-on dire
de sa circulation sur un contour fermé ?
#–
d. Calculer le flux de E à travers une surface fermée cylindrique d’axe Oz dont les bases
sont des disques de rayon r petit et de cotes z et z + dz (figure 16.43 page suivante). En
déduire :
r dEz (0, z)
Er (r, z) = −
2
dz
508
Établir l’expression de Er (r, z).
e. Calculer de même la circulation du champ
électrostatique le long du petit rectangle de sommets M(r, z), N(r, z+ dz), P(r + dr, z+ dz) et Q(r +
dr, z), en supposant r petit et dr et dz encore plus
∂ Ez ∂ Er
petits. En déduire
=
puis :
∂r
∂r
r 2 d 2 Ez
(0, z).
4 dz2
Établir l’expression de Ez (r, z).
R
λ
r
O
z z+dz
Figure 16.43
Ez (r, z) = Ez (0, z) −
16.19 Champ électrostatique d’une distribution à symétrie sphérique (d’après CCP)
(⋆)
Soit le champ électrostatique créé dans le vide par une distribution de charges à symétrie
sphérique. La composante radiale de ce champ dépend de la distance r au centre O de la
distribution selon :
k
kR2
Er =
si 0 < r < R et
si r > R,
2ε0
2ε0 r2
où k et R sont des constantes positives.
!
" Dans les conditions du problème, la densité volumique
ε0 d r2 E
de charges ρ vérifie ρ = 2
.
r
dr
1. De quelle(s) variable(s) dépend le champ électrostatique en coordonnées sphériques ?
2. Quelle est sa direction ?
3. Déterminer l’expression du potentiel V en supposant qu’il n’y a pas de charges à l’infini
et que des charges infiniment éloignées n’interagissent pas entre elles.
4. Tracer l’allure du potentiel en fonction de r.
5. Exprimer la densité volumique de charges ρ .
6. Tracer l’allure de la densité volumique de charges en fonction de r.
7. Exprimer la charge dq d’une couche sphérique de centre O comprise entre r et r + dr.
8. En déduire l’expression de la charge totale q0 de la distribution en fonction de k et R.
9. Etablir que pour r > R, on a l’équivalence de cette distribution avec une charge électrique
ponctuelle dont on donnera la valeur et la position.
10. On considère maintenant deux charges ponctuelles q0 et q = −q0 placées à une distance
#–
OA
.
a l’une de l’autre en O et A respectivement. On notera #–
u=
OA
#–
Donner l’expression de la force f exercée par la charge q0 sur la charge q.
11. Soit P un point équidistant de O et A. Déterminer la direction du champ électrostatique
créé en P par les charges q et q0 .
12. Préciser, à l’aide d’un schéma, son sens.
13. Si OP = AP = a, donner la valeur de la norme de ce champ.
14. Calculer le potentiel V ′ créé en P par les charges q et q0 dans les mêmes conditions qu’à
la question précédente.
509
Exercices
A PPROFONDIR
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
CORRIGÉS
16.1 Champs et forces électrostatiques
|Q′ |
et celle du
4πε0 d 2
4 4
|Q|
. On a donc E(M) > E(M ′ ) si 4Q′ 4 > |Q|, E(M) <
champ créé par Q en M ′ : E(M ′ ) =
2
4πε0 d4 4
4 4
E(M ′ ) si 4Q′ 4 < |Q| et E(M) = E(M ′ ) si 4Q′ 4 = |Q|.
|QQ′ |
et celle subie par
2. La norme de la force électrostatique subie par Q est : F(M) =
4πε0 d 2
′
|QQ |
. Les forces électrostatiques sont donc égales en module quelles que
Q′ : F(M ′ ) =
4πε0 d 2
#–
#–
soient les valeurs respectives de Q et de Q′ . De plus, F (M) = − F (M ′ ) conformément au
principe des actions réciproques.
3. On est dans l’un des trois cas suivants :
1. La norme du champ électrostatique créé par Q′ en M est : E(M) =
a)
Q′
Q
Q′′
d
b)
l
Q′′
Q′
Q
l
c)
d
′′
Q Q
l
Q′
d
On applique le principe de superposition pour calculer les champs électrostatiques en M et en
M ′ . Du fait des positions relatives des charges, le champ est toujours dirigé le long de l’axe
MM ′ .
& ′
'
Q
1
Q′′
′
+ 2 et en
• cas a) : en projection sur l’axe MM , le champ en M vaut E(M) =
4πε0 d 2
l
(
)
′′
1
Q
Q
, on veut E(M) = E(M ′ ) donc :
+
M ′ E(M ′ ) =
4πε0 d 2 (l − d)2
Q′ Q′′
Q
Q′′
+ 2 = 2+
2
d
l
d
(l − d)2
• cas b) : en projection sur l’axe MM ′ , le champ en M vaut E(M) =
510
1
4πε0
&
Q′ Q′′
+ 2
d2
l
'
et en
M′
E(M ′ )
1
=
4πε0
(
)
Q
Q′′
, on veut E(M) = E(M ′ ) donc :
+
d 2 (l + d)2
Q′ Q′′
Q
Q′′
+
=
+
d2
l2
d 2 (l + d)2
1
le champ en M vaut E(M) =
4
πε
0
)
MM ′ ,
• cas c) : en projection sur l’axe
(
Q
1
Q′′
M ′ E(M ′ ) =
, on veut E(M) = E(M ′ ) donc :
+
4πε0 d 2 (d − l)2
&
Q′ Q′′
+ 2
d2
l
'
et en
Q′ Q′′
Q
Q′′
+ 2 = 2+
2
d
l
d
(d − l)2
On note qu’on trouve la même expression dans le cas a) et dans le cas c).
4. On se place dans le cas b). On déduit de l’égalité de la question précédente l’expression
(Q − Q′) l 2 (d − l)2
.
suivante pour Q′′ : Q′′ =
d 3 (d − 3l)
16.2 Plan de symétrie et plan d’antisymétrie
#–
1. Le champ E ′ (M ′ ) en M ′ , symétrique de M par rapport à Π, est égal au symétrique par
#–
rapport à Π du champ E (M) créé en M soit :
#–
E (M)
M
Π
M′
#–
E ′ (M ′ )
#–
2. Le champ E ′ (M ′ ) en M ′ , symétrique de M par rapport à Π, correspond au champ créé par
la distribution de charges opposées puisque Π est un plan d’antisymétrie. Il est donc égal à
#–
l’opposé du symétrique par rapport à Π du champ E (M) créé en M soit :
#–
E (M)
M
Π
#–
E ′ (M ′ )
M′
#–
C’est aussi le symétrique de E (M) par rapport à la normale au plan Π.
511
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
16.3 Conséquence d’une symétrie linéique
1. Soit P un plan contenant l’axe (Ox). L’image de l’axe (Ox) par la symétrie par rapport
à P est l’axe (Ox) lui-même et la densité linéique de charges est la même avant et après
symétrie. Le plan P est donc un plan de symétrie.
Soit P’ un plan perpendiculaire à l’axe (Ox). L’image de l’axe (Ox) par la symétrie par
rapport à P’ est l’axe (Ox) lui-même et la densité linéique de charges est la même avant et
après symétrie. Le plan P’ est donc un plan de symétrie.
2. Soit P un plan contenant l’axe (Ox). L’image de l’axe (Ox) par la symétrie par rapport
à P est l’axe (Ox) lui-même et la densité linéique de charges est la même avant et après
symétrie. Le plan P est donc un plan de symétrie.
L’image de l’axe (Ox) par la symétrie par rapport au plan (yOz) est l’axe (Ox) lui-même et la
densité linéique de charges après symétrie est égale à l’opposé de la densité de charges avant
symétrie. Le plan (yOz) est donc un plan d’antisymétrie.
#–
3. Pour le cas de la question 1, en coordonnées cylindriques, E ne dépend que de r du fait
#–
#–
des invariances. Compte tenu des symétries, E est nul en un point de l’axe et E en un point
#–
quelconque est dirigé selon ur .
#–
Pour le cas de la question 2, E ne dépend, en coordonnées cylindriques, que de r et de x.
#–
#–
Compte tenu des symétries, E en un point de l’axe est dirigé selon l’axe et E en un point du
plan (yOz) est dirigé selon la perpendiculaire à ce plan.
16.4 Conséquence d’une symétrie sphérique
1. Soit P un plan passant par O. L’image de la sphère par la symétrie par rapport à P est la
sphère elle-même et la densité surfacique de charges après et avant symétrie est la même. Le
plan P est plan de symétrie du système.
2. Soit P un plan contenant l’axe (Ox). L’image de la sphère par la symétrie par rapport à
P est la sphère elle-même et la densité surfacique de charges après et avant symétrie est la
même. Le plan P est plan de symétrie du système.
L’image de la sphère par la symétrie par rapport à (yOz) est la sphère elle-même et la densité
surfacique de charges après symétrie est égale à l’opposé de la densité de charges avant
symétrie. Le plan (yOz) est donc un plan d’antisymétrie du système.
#–
3. Pour le cas de la question 1, en coordonnées sphériques, E ne dépend que de r du fait des
#–
invariances. Compte tenu des symétries, E en tout point de l’espace est dirigé selon u#–r .
#–
Pour le cas de la question 2, en coordonnées cylindriques, E ne dépend que de r et de z.
#–
#–
Compte tenu des symétries, E en un point de l’axe (Ox) est dirigé selon cet axe et E en un
point du plan (yOz) est dirigé selon la perpendiculaire à ce plan.
16.5 Flux du champ électrostatique et position de la charge
Qint
. Par conséε0
quent, tant que la charge q reste à l’intérieur de la sphère, le flux du champ électrostatique
n’est pas modifié. En revanche, dès que la charge q quitte la sphère, le flux est diminué de
q
.
ε0
D’après le théorème de Gauss, le flux du champ électrostatique est égal à
512
16.6 Flux nul, champ nul
˜
#–
#–
#– #–
1. Φ = M∈S E (M) · dSM donc Φ = 0 si E = 0 .
2. Plusieurs situations peuvent correspondre à un flux nul : il y a le cas de la question précédente où le champ électrostatique est nul mais ce n’est pas le seul. On peut citer par exemple
le cas où le champ électrostatique a une orientation parallèle à la surface en tout point de cette
dernière.
16.7 Distribution de charge uniforme dans tout l’espace
1. On a invariance par translation selon toutes les directions : le champ électrostatique ne
dépend donc d’aucune coordonnée d’espace.
Tout plan passant par M est plan de symétrie : le champ électrostatique appartient à tous ces
plans. Il est donc nul.
2. Le flux du champ électrostatique à travers toute surface fermée est nul puisque le champ
lui-même est nul. Or à l’intérieur de cette surface, la quantité de charges n’est pas nulle.
Le théorème de Gauss n’est donc pas valide. Ceci s’explique par la présence de charges à
l’infini, ce qui est contraire aux conditions d’application du théorème de Gauss. L’une des
hypothèses nécessaires à la démonstration (hors programme et donc non effectuée dans le
1
cours) du théorème de Gauss est la décroissance du champ électrostatique en 2 , c’est cette
r
hypothèse qui est mise en défaut ici.
16.8 Propriétés des équipotentielles
Soient les surfaces équipotentielles correspondant à une distribution donnée de charges.
1. Sur une équipotentielle, le potentiel électrostatique est constant en tout point. Comme
# –
#–
E = −gradV , le module du champ électrostatique dépend de la “vitesse” de variation du
potentiel et non de la valeur du potentiel : il n’est donc pas constant sur une équipotentielle.
#– # –
2. Par définition du gradient et du potentiel électrostatique, on a : dV = − E .dOM. Or sur
une équipotentielle, dV = 0 donc le produit scalaire du champ électrostatique avec le vecteur
tangent est nul. Le champ est donc en tout point perpendiculaire aux équipotentielles.
3. Une équipotentielle peut se recouper en des points où le champ électrostatique est nul (Cf.
2).
4. Deux surfaces équipotentielles correspondent à deux valeurs différentes de potentiel : elles
ne peuvent donc pas se couper.
16.9 Lignes de champ
Les lignes de champ correspondent à celles d’un champ électrostatique si la circulation du
champ le long de toute courbe fermée est nulle. C’est le cas des lignes de champ (a), (c),
(d) et (f) qui sont celles respectivement d’un champ uniforme, du champ créé par une charge
#–
ponctuelle, d’un champ ne dépendant que d’une direction E = E(x)u#–x et du champ créé par
une sphère uniformément chargée.
Pour les cas (b) et (e), il suffit de calculer la circulation sur un cercle dont le centre est au
centre des lignes de champ pour se persuader que la circulation sur ce cercle n’est pas nulle
donc que ces lignes de champ ne peuvent pas être celles d’un champ électrostatique.
513
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
16.10 Flux du champ électrostatique à travers un cube
#– # –
1. Les éléments de surface élémentaire dS et dS′ sur deux faces opposées du cube vérifient
#
–
#–
dS = −dS′. Dans le cas d’un champ uniforme, la norme, la direction et le sens sont identiques
en tout point de l’espace. Les flux relatifs à deux faces opposées sont donc opposés : le flux
total est nul. Ceci étant valable pour les trois directions, le flux demandé est nul et Qint = 0.
2. Pour les faces parallèles à (xOy) et (xOz), le champ électrostatique est perpendiculaire à
la surface orientée : le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires étant nul, le flux du
champ électrostatique à travers ces faces est nul.
Pour la face x = 0, le champ est nul donc le flux l’est également.
#–
Reste la face x = a sur laquelle on a E = Cau#–x qui a une valeur constante et est perpendiculaire
à la surface. Le flux vaut : Φ = Caa2 = Ca3 et Qint = Cε0 a3 .
3. Pour les mêmes raisons qu’à la question précédente, on ne s’occupe que du calcul du flux
#–
à travers la face située à x = a sur laquelle on a E = Ca2 u#–x . Le flux vaut : Φ = Ca2 a2 = Ca4
4
et Qint = Cε0 a .
4. Pour les faces parallèles à (xOy), le champ électrostatique est perpendiculaire à la surface
orientée : le flux est nul.
Pour les faces parallèles à (xOz), seule la composante sur u#–y n’est pas perpendiculaire à la
surface orientée et donne une contribution non nulle au flux. Cependant à x donné, le champ
sur la face y = 0 et sur la face y = a a la même valeur et la même orientation tandis que les
surfaces orientées sont opposées. Les contributions au flux s’annulent l’une l’autre et le flux
total correspondant est nul.
Par un raisonnement analogue, le flux total relatif aux faces parallèles à (yOz) est nul.
Le flux total est par conséquent nul et Qint = 0.
16.11 Distribution volumique de charges
1. Tout plan passant par M et contenant la direction u#–x est plan de symétrie pour la distribution
de charge, et plan de symétrie pour le champ électrique. Or le champ électrique en un point
#–
qui appartient à un plan de symétrie a sa direction contenue dans le plan, donc : E (M) =
E (x, y, z) u#–x .
La distribution est invariante par translation selon u#–y ou u#–z , le champ électrique ne dépend
#–
que de x : E (M) = E (x) u#–x .
a. Il est possible d’utiliser le théorème de Gauss pour calculer ce champ, car la distribution
a une symétrie élevée, la direction du champ est connue en tout point de l’espace.
Détermination de la surface de Gauss : les surfaces équipotentielles sont les surfaces d’équation x = x0 , elles ne sont pas fermées.
Le plan Π (O, y, z) est plan de symétrie pour la distribution de charge, il est aussi plan de
symétrie pour le champ électrique, on en déduit que : E (x) = E (−x).
On construit alors la surface de Gauss Σ comme un cylindre de génératrice parallèle à u#–x
et de section S, passant par M (x, y, z) et par M ′ son symétrique par rapport à Π (O, y, z) :
M ′ (−x, y, z).
‚ #– #– Qint
.
Le théorème de Gauss s’écrit : E · dS =
ε0
514
‚ #– #–
• Le flux du champ électrique sortant de Σ est E · dS = 2E (x) S.
• La charge intérieure dépend de la position de M.
⎧
ρ0 a
⎪
Pour x > a : Qint = ρ0 S2a ⇒ E (x) =
⎪
⎪
ε0
⎪
⎪
ρ x
⎪
⎪
⎨ Pour 0 < x < a : Qint = ρ0 S2x ⇒ E (x) = 0
ε0 .
ρ0 x
⎪
Pour
−
a
<
x
<
0
:
E
(x)
=
⎪
⎪
⎪
ε0
⎪
⎪
⎪
⎩ Pour x < −a : E (x) = − ρ0 a
ε0
Le champ électrique est nul en x = 0, ce qui était prévisible, puisqu’en tout point du plan
x = 0, il existe trois plans de symétrie pour la distribution de charge et donc pour le champ
électrique, l’intersection de ces trois plans qui donne la direction du champ électrique est
nécessairement le vecteur nul.
#– ρ
b. L’équation de Maxwell Gauss s’écrit : div E = . Pour déduire le champ par intégraε0
tion de cette équation, il faut intégrer dans trois domaines différents :
⎧
dE
#–
⎪
Pour x > a : div E = 0 donc
⎪
= 0 ⇒ E (x) = E0
⎪
⎪
dx
⎨
ρ0
dE ρ0
#– ρ0
=
Pour − a < x < a : div E =
donc
⇒ E (x) = x = K
⎪
ε
dx
ε
ε0
0
0
⎪
⎪
dE
⎪
#–
⎩ Pour x < −a : div E
= 0 ⇒ E (x) = E1 .
= 0 donc
dx
E0 , K et E1 sont trois constantes d’intégration à déterminer.
En x = 0 le champ est nécessairement nul, du fait de l’existence de trois plans de symétries
pour la distribution de charges. On en déduit K = 0.
En présence d’une distribution volumique de charges, le champ électrique est toujours continu,
ρ0
on en déduit : E (a+ ) = E (a− ), soit E0 =
a, et en utilisant la continuité en x = −a :
ε0
ρ0
E1 = − a. On retrouve le même champ que par la première méthode.
ε0
2. Une distribution surfacique qui occuperait le plan x = 0 et de densité surfacique de charges
σ = 2ρ0 a présente les mêmes symétries que la distribution envisagée.
σ #–
#–
L’application du théorème de Gauss permet d’établir que pour x > 0 : E =
ux , et pour
2ε0
σ #–
#–
x<0: E =−
ux , avec σ = 2ρ0 a, le champ est bien le même que celui qui a été calculé
2ε0
précédemment.
16.12 Champ électrique et potentiel créés par une boule uniformément chargée
Une boule de centre O , de rayon a est uniformément chargée, sa charge totale vaut Q.
515
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
1. Le repérage sphérique est le mieux adapté à la
situation. La distribution étant telle que :
• Pour r > a : ρ (r) = 0
Q
• Pour r < a : ρ (r) = ρ0 avec ρ0 = 4 3
3πa
Étude des symétries/antisymétries Tous les
plans qui contiennent O et M sont plans de symétrie de la distribution de charge. On en déduit que
le le champ électrique en M est de la forme :
u#–r
M
θ
O
r
u# –
ϕ
u#–
θ
a
#–
E (M) = E (r, θ , φ ) u#–r .
φ
le potentiel életrostatique est une fonction de r : V (r).
Étude des invariances La distribution est invariante par rotation atour de tous les axes qui
passent par O, on en déduit que E (M) = E (r).
Choix d’une surface de Gauss et utilisation du théorème Comme le potentiel ne dépend
que de r, les surfaces équipotentielles sont de sphères V (r) = V0 , on choisit comme surface
Σ la sphère de centre O qui passe par M.
Le théorème de Gauss :
˜
˜ #– #– Qint
#– Qint
soit : E ( M ) Σ u#–r · d S =
.
Σ E ·dS = ε
ε0
0
Pour le calcul de la charge intérieur, on distingue deux cas :
⎧
⎨ Pour r > a Qint = Q
˝
r3
⎩ Pour r < a Qint = V ρ0 dτ = Q
a3
On en déduit :
⎧
Q u#–r
#–
⎪
⎪
Pour
r
>
a
E
(
M
)
=
⎪
⎪
4πε0 r2
⎨
Remarques
⎪
r Q #–
⎪
#–
⎪
⎪
⎩ Pour r < a E ( M ) = 3ε 4 3 ur .
0 3 πa
#–
• dans le cas où r < a le champ électrique peut s’écrire de façon intrinsèque : E =
ρ # –
OM,
3ε0
• dans le cas où r > a le champ électrique est le même que celui que créerait la charge
totale Q placée à l’origine du repère.
dV ( r )
2. On calcule le potentiel électrostatique V ( r ) en intégrant
= −E ( r ), dans les
dr
deux domaines r < a et r > a.
Q
Q
dV ( r )
=−
.
soit avec un potentiel nul à l’infini, V ( r ) =
• Pour r > a :
dr
4πε0 r2
4πε0 r
516
ρ0 r
dV ( r )
Q
=−
en posant ρ0 = 4 3 .
dr
3ε0
π
3 a
2
ρ0 r
Soit V ( r ) = −
+ K où K est une constante d’intégration.
6ε0
Le potentiel est une grandeur qui est toujours continue, on calcule donc K en traduisant la
continuité de V (r) en r = a, V (a− ) = V (a+ ) :
• Pour r < a :
−
ρ0 a2
Q
+K =
6ε0
4πε0 a
⇒
K=
3Q
8πε0 a
⇒
V (r) =
&
'
Q
r2
3− 2 .
8πε0 a
a
3. Sur la figure suivante sont représentées l’évolution en fonction de r de la projection sur u#–r
du champ électrique et du potentiel électrostatique :
E (r)
V (r)
Q
4πε0 a2
O
Q
4πε0 a
a
r
O
·
a
r
16.13 Champ dans une cavité
1. La symétrie de la distribution n’est pas élevée, en effet elle est symétrique par rapport à
tout plan qui contient les deux points O1 et O2 , dont on sait qu’en tout point de l’axe O1 O2
le champ est porté par l’axe O1 O2 . Mais on ne peut pas prévoir la direction du champ en tout
point de l’espace.
2. La distribution de charges ne présente par de symétrie élevée, mais on peut la décomposer
en deux distributions Dch1 et Dch2 , présentant chacune une symétrie élevé, Dch1 est une boule
chargée à rho0 centrée en O1 et Dch2 est une boule chargée à −ρ0 centrée en en O2 .
#–
#–
Soit M un point à l’intérieur de la cavité. Le champ en M est la somme des champs E 1 et E 2
créés par chacune des distributions.
Le calcul du champ à l’intérieur d’une boule uniformément chargée est fait dans l’exercice
−ρ0 # –
ρ0 # – #–
#–
O1 M et E 2 =
O2 M.
9.2, on en déduit : E 1 =
3ε0
3ε0
ρ0 # –
#– #–
#–
Finalement, E = E 1 + E 2 =
O1 O2 : le champ est uniforme dans la cavité.
3ε0
16.14 Électromètre
1. La réponse est 1.
517
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
1 q1 q2 # –
uA→P . Pour calculer la distance, on développe AP2 =
4πε0 AP2
ϕ
Q2
1
#– #–
AO2 + OP2 + 2AO.OP = 4b2 sin2 donc pour la norme f =
.
2
4πε0 16b2 sin2 ϕ
2
2. La réponse est 3.
A l’équilibre, la somme des forces est nulle soit en projetant sur la direction perpendiculaire
à OP mg sin ϕe = f sin α . Or 2α + ϕ = π . On en déduit en utilisant l’expression de f de la
ϕe
Q2
1
=
.
question précédente sin3
2
4πε0 32mgb2
3. La réponse est 2.
On projette la nullité de la somme des forces parallèlement à OP et on en déduit la tension
Q2
1
T = mg cos ϕe +
.
4πε0 16b2 sin ϕe
2
4. La réponse est 4.
6
ϕe
= 4, 0.10−7 C.
On déduit de la relation précédente Q = 4πε0 32mgb2 sin3
2
5. La réponse est 1.
L’énergie potentielle est la somme de la contribution du poids et de la force coulombienne
Q2
1
Ep =
− mgb cos ϕ .
4πε0 8b sin ϕ
2
6. La réponse est 1.
dE p
ϕ
Q2
1
Pour déterminer la position d’équilibre, on résout
= 0 soit sin3 =
. Pour
dϕ
2 4πε0 32mgb2
d2 E p
. Ici le calcul de la dérivée seconde de l’énergie
sa stabilité, il faut étudier le signe de
d&ϕ 2
'
1 2ϕ
2ϕ
2
+ sin
Q cos
1
2 2
2
potentielle donne mgb cos ϕ +
> 0 donc l’équilibre est stable.
ϕ
3
4πε0
16b sin
2
#–
La force s’exprime par f =
16.15 Quatre charges au sommet d’un carré
1. La figure est ci-dessous.
'
&
1
1
1
1
q
+
+
+
. Or
4πε0 MA MB MC MD
√
a
AC
= √ , on trouve donc la distance
MA = MB = MC = MD = MO2 + OA2 et OA =
2
2 √
6
6
2
2 + 2x2
a
4q 2
a
√
=
. On en déduit : V =
MA : MA = x2 +
.
2
2
4πε0 a2 + 2x2
# –
#–
3. On déduit le champ électrostatique à partir de la relation E = −gradV . V ne dépend ici
que de x, le champ n’aura de composante non nulle que suivant l’axe (Ox).
2. On applique le principe de superposition : V =
518
x
M
A
x θ
B
z
O
D
C
y
√
x
#– 2q 2
u#–x .
E=
πε0 (a2 + 2x2)− 32
4. Les plans AMC et BMD sont des plans de symétrie : le champ électrostatique appartient à
l’intersection de ces plans et est donc colinéaire à u#–x . On retrouve une partie du résultat de la
question précédente.
5. D’après la question précédente, on ne calcule(que la composante suivant l’axe
(Ox) donc
# –
# –
# –
# –)
AM
BM
CM
DM
q
#–
#–
, soit E =
on projette sur cet axe la relation : E =
+
+
+
4πε0 AM 3 BM 3 CM 3 DM 3
q 4 cos θ #–
x
q
ux =
u#–x .
4πε0 AM 2
πε0 (a2 + 2x2 )− 23
6. Le plan du carré est un plan de symétrie de la distribution de charges donc le potentiel est
une fonction paire de x : V (x) = V (−x) et le champ une fonction impaire : E(x) = −E(−x).
7. Les figures sont ci-dessous.
V
E
√
q 2
3
4q
√
3πε0 3a2
− a2
x
a
2
x
− 3πε 4q√3a2
0
16.16 Modèle de l’atome d’hydrogène
# –
#–
1. On applique la relation E = −!gradV
" . V ne dépendant que de r, le champ est radial :
r $ exp − ar #–
dV #–
q #
#–
1+
E = − ur =
ur .
dr
4πε0
a
r2
#–
2. r ≫ a correspond à la limite r → ∞ et E est alors négligeable.
519
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
q #–
ur , ce qui est l’expression du champ créé
4πε0 r2
par une charge ponctuelle.
# r$
r$
q #
exp − . En appliquant le théorème de Gauss, on en
1+
3. Φ = 4π r2 E(r) =
4πε0
a
a
# r$
r$
q #
exp − . La disdéduit la charge contenue dans la sphère de rayon r : Qint =
1+
4π
a
a
tribution de charges ne dépend que de r.
4. Quand r tend vers O, q(r) tend vers +q. Quand r tend vers l’infini, q(r) tend vers 0, la
charge −q est donc répartie dans tout l’espace. Elle représente la charge de l’électron.
5. Entre deux sphères de rayon r et r + dr, la charge est :
#–
r ≪ a correspond à la limite r → 0 et E ≈
dQint = Qint (r + dr) − Qint (r) = 4π r2ρ (r)
soit :
# r $$
1 d # q #
r$
1 dQint
=
exp
−
1
+
4π&
r2 dr
4π r2 dr
4π
a
a
'
# r$
# r$
r$
q
q 1 1#
−
1+
exp −
=−
exp −
= 2
2
r
a a
a
a
4π a r
a
ρ=
6. Puisqu’il s’agit de l’atome d’hydrogène, q = e.
# r$
r
exp
− . La probabilité de
a2
a
2
trouver l’électron p(r) = 4π r P(r). Elle est nulle en r = 0 et à l’infini et maximale en r = a,
rayon de l’atome (pour l’atome d’hydrogène, a = 52 pm).
D’autre part, dq(r) = −eP(r)dr = ρ × 4π r2 dr d’où P(r) =
16.17 Énergie de constitution d’uns sphère chargée
1. Le potentiel créé par une sphère de rayon r uniformément chargée, en un point de sa
ρ r2
(Cf. cours). Il faut déplacer la charge dq = ρ 4π r2dr d’une région
surface est : V (r) =
3ε0
de potentiel nul à une région de potentiel V (r), il faut donc fournir le travail δ W = dqV (r) =
ρ r2
ρ 4π r 2
dr.
3ε0
4 π R2
, on obtient :
2. En intégrant cette expression entre r = 0 et r = R et avec Q = ρ
3
2
3Q
.
E=
20πε0R
1
3. L’analogie avec la gravitation s’obtient en remplaçant
par −G et Q par M. On en
4πε0
3 GM 2
.
déduit l’énergie gravitationnelle d’une sphère de rayon R et de masse M : E = −
5 R
16.18 Champ créé par une spire chargée
#–
1.
a. Tout plan contenant l’axe Oz est plan de symétrie de la distribution. Le champ E sur
l’axe appartient à ces plans, donc à leur intersection qui est l’axe Oz lui-même.
520
#–
b. Le champ E a les mêmes symétries que la distribution de charges, or le plan de la
#–
#–
spire est plan de symétrie pour la distribution, donc plan de symétrie pour E . Ainsi E (−z) =
#–
− E (z).
c. Non, la symétrie de la distribution de charge n’est pas élevée, elle ne permet pas de
connaître la direction du champ électrique en tout point de l’espace. On ne peut pas appliquer
le théorème de Gauss pour déterminer le champ électrique en un point de l’axe.
d. On obtient :
E(z)
z
2.
a. Le plan contenant le point M et l’axe Oz est plan de symétrie de la distribution de
#–
charges. Or ce plan a pour vecteurs directeurs les vecteurs u#–r et u#–z donc le champ E en M qui
#
–
appartient à ce plan n’a pas de composante suivant uθ .
#–
b. La distribution de charges est invariante par rotation d’axe Oz donc E est indépendant
de θ .
c. Si l’on considère une surface fermée au voisinage de l’axe, elle ne contient pas de
charges. Le théorème de Gauss nous dit que le flux à travers cette surface est nul.
#–
Le champ E est à circulation conservative.
d. D’après ce que l’on vient d’écrire le flux total φt à travers la surface cylindrique est
nul puisqu’elle ne contient pas de charges. Le flux se décompose en trois termes : le flux à
travers la surface latérale φL , celui à travers la base située en z noté φ (z) et celui à travers la
base située en z + dz noté φ (z + dz). On rappelle que les vecteurs surfaces élémentaires son
orientés vers l’extérieur de la surface. Comme les intégrales se font sur des petites surfaces,
elles se ramènent au produit de la composante du champ orthogonale à la surface par l’aire
de celle-ci.
˜ #– # – ˜ #–
˜
• φL = SL E · dSL = SL E · dSL u#–r = SL Er dSL = Er (r, z)2π rdz.
˜ #– # – ˜ #–
˜
• φ (z) = Sz E · dSz = Sz E · (−dSzu#–z ) = − Sz Ez (z) · dSz = −π r2 Ez (0, z).
˜
˜
#– #–
#–
• φ (z + dz) = Sz+dz E · dSz+dz = Sz+dz E · (dSz+dzu#–z ) = π r2 Ez (0, z + dz).
Finalement, on peut écrire le flux total :
0 = Er (r, z)2π rdz + π r2(Ez (0, z + dz) − Ez(0, z))
dEz
(0, z)
= Er (r, z)2π rdz + π r2
dz
r dEz
(0, z)
⇒ Er (r, z) = −
2 dz
L’expression de Er au voisinage de l’axe est donc : Er (r, z) =
λ Rr(2z2 − R2 )
.
4ε0 (R2 + z2 )5/2
521
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 16 – É LECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE : LE CHAMP ÉLECTRIQUE
#–
e. La circulation de E le long de ce contour est nulle. Elle
s’écrit :
C = Ez (r, z)dz + Er (r, z + dz)dr − Ez(r + dr, z)dz − Er (r, z)dr
=0
On en déduit, après développement limité et simplification par
∂ Ez
∂ Er
(r, z) =
(r, z).
drdz :
∂r
∂z
z
N dr P
z+dz
z
r
M
En utilisant l’expression de Er (r, z) établie précédemment, on obtient l’équation :
−
r d 2 Ez
r 2 d 2 Ez
(0, z), qui s’intègre (entre 0 et r) en Ez (r, z) = E0 (0, z) −
(0, z).
2
2 dz
4 dz2
Q
∂ Ez
(r, z) =
∂r
R EMARQUE
Le champ créé par la spire s’écrit donc :
#–
Sur l’axe : E (M) = Ez (0, z)u#–z = f (z)u#–z .
Au voisinage de l’axe :
r
#–
• au premier ordre en r : E (M) = − f ′ (z)u#–r + f (z)u#–z
2
&
'
r ′ #–
r2 ′′
#–
• au deuxième ordre en r : E (M) = − f (z)ur + f (z) − f (z) u#–z .
2
4
16.19 Champ électrostatique d’une distribution à symétrie sphérique
#–
1. On a invariance par toute rotation autour de O donc le champ E ne dépend que de r en
coordonnées sphériques.
#–
2. Tout plan passant par O et M est plan de symétrie donc le champ E est suivant u#–r .
# –
#–
#–
3. D’après la relation E = −gradV , on tire dV = − E ·
V
# –
dOM = Edr. Par intégration sur r, on en déduit V =
kR2
pour r > R (la constante d’intégration est nulle
kR
2ε0 r
ε0
car le potentiel V est choisi nul pour r infini) et V =
r$
kR #
pour r < R (la constante d’intégration est
1−
kR
ε0
2
2
ε0
déterminée par continuité du potentiel en r = R). On
remarquera que E étant continu en r = R, le potentiel
ne présente pas de point anguleux en ce point-là.
R
r
4. Schéma ci-contre.
k
5. On applique la relation fournie dans l’énoncé et on obtient ρ = pour r < R et nul pour
r
r > R.
6. Schéma page suivante.
522
ρ
k
R
R
r
7. On a dq = 4π r2 ρ dr en calculant le volume de la couche sphérique.
8. On intègre la relation précédente entre O et R. On obtient q0 = 2π kR2.
9. L’application du théorème de Gauss à une sphère de rayon r > R et de centre O permet de
retrouver le champ créé par une charge ponctuelle. On en déduit le résultat pour une charge
q0 placée en O.
1 qq0 #–
#–
10. La force issue de la loi de Coulomb s’écrit f =
u en utilisant les notations de
4πε0 a2
l’énoncé.
11. Le point P est dans le plan médiateur qui est un plan d’antisymétrie donc le champ est
perpendiculaire en P au plan médiateur : il est donc suivant #–
u.
12. Schéma ci-contre.
#–
E′
P
# –
Etot
#–
E
a
a
a
O
A
1 q0
.
4πε0 a2
1 −q0
1 q0
+
= 0.
14. Le potentiel total s’écrit Vtot =
4πε0 a
4πε0 a
13. Le champ total s’écrit Etot = 2E cos60◦ =
523
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
17
Dans ce chapitre, on considère les charges en mouvement dans un référentiel R. Au niveau
microscopique, les charges sont en mouvement d’agitation permanente et désordonnée. Au
chapitre précédent, en considérant la charge électrique au niveau mésoscopique, dans une
situation où il n’y a pas de mouvement d’ensemble des charges, on définit une distribution de
charge stationnaire caractérisée par une densité volumique de charge ρ au point M indépendante du temps.
On envisage dans ce chapitre des charges électriques animées d’un mouvement d’ensemble
sensible au niveau mésoscopique. Après avoir défini les grandeurs physiques qui permettent
d’étudier ce mouvement, on étudie le cas particulier du courant de charges électriques à l’intérieur des matériaux conducteurs.
1
Courant électrique
1.1
Cas où les porteurs de charge sont tous identiques
a) Vitesse des porteurs de charge dans le référentiel d’étude
On envisage ici des porteurs de charges identiques,
animés d’un mouvement d’ensemble dans le référentiel R. Ce mouvement est caractérisé par le
champ des vitesses #–
v (M,t) des porteurs de charge
de valeur q qui se trouvent au voisinage du point
M à l’instant t. En régime stationnaire, #–
v (M) ne
dépend que de M.
#–
v
q
R
M
Figure 17.1 – Champ des vitesses des
porteurs de charge.
Remarque
Ce champ de vitesse n’a de sens qu’au niveau mésoscopique, c’est la vitesse moyenne
par rapport à R des δ N porteurs de charges qui se trouvent dans un volume mésosco-
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
pique dτ autour de M :
δN
#–
v =
∑ v#–i
i=1
δN
.
b) Courant de charges à travers une surface élémentaire orientée
La figure 17.2 représente un tube de champ élémentaire du champ #–
v (M), c’est à dire un
#–
ensemble de lignes de champ #–
v (M) qui traversent une surface dS. La charge δ 2 Q qui traverse
#–
la surface dS entre les instants t et d + dt se trouve dans le volume élémentaire dτ = ( #–
v dt) ·
#–
dS :
δ 2Q
M
#–
dS
LDC #–
v
#–
v
#–
v dt
Figure 17.2 – Tube de champ élémentaire du vecteur densité de courant électrique.
#–
On définit le courant électrique δ I à travers la surface dS fixe du référentiel R :
δI =
δ 2Q
.
dt
Le courant électrique qui traverse une surface orientée est le débit de charges à travers
celle-ci.
c) Vecteur densité de courant électrique
En notant n la densité des porteurs de charges q animés de la vitesse #–
v dans R, la charge
δ 2 Q s’exprime : δ 2 Q = ndτ q, on en déduit le courant δ I :
8 2
δ 2Q
δ Q = ndτ q
#–
#– ⇒ δ I =
= nq #–
v · dS.
#–
dτ = ( v dt) · dS
dt
#–
v · dS.
En notant ρ = nq la densité volumique de charge : δ I = ρ #–
Le vecteur densité de courant électrique est défini par :
#–
v,
ȷ = nq #–
v = ρ #–
#–
#–
le flux de #–
ȷ à travers dS est égal au courant électrique à travers dS :
#–
#–
δ I = #–
ȷ · dS ou encore δ 2 Q = #–
ȷ · dS dt.
526
C OURANT ÉLECTRIQUE
Propriétés du vecteur densité de courant électrique :
• l’unité de #–
ȷ est C.m−2 s−1 ;
• la direction et le sens du vecteur densité de courant électrique sont ceux de la vitesse
moyenne des porteurs dans le référentiel d’étude ;
• si le mouvement d’ensemble des porteurs est stationnaire, alors la vitesse des porteurs et
le vecteur densité de courant sont des champs vectoriels indépendants du temps : #–
v (M) et
#–
ȷ (M).
Σ
n
dS #–
Le courant I qui traverse une surface Σ non élémentaire
orientée est :
¨
#–
#–
I=
ȷ · dS.
Σ
1.2
#–
ȷ
Figure 17.3 –
Courant à travers
une surface non
élémentaire.
Cas où plusieurs types de porteurs de charges contribuent au courant total
La situation se présente dans une solution ionique, ou dans un gaz ionisé, par exemple. Le
vecteur densité de courant électrique est la somme des vecteurs densités de courant électriques
relatifs à chaque type de porteurs :
En notant ℓ l’indice qui se réfère à un type de porteur particulier, on note pour le porteur ℓ,
qℓ sa charge, nℓ la densité de ces porteurs au point M, v#–ℓ leur vitesse en M dans le référentiel
d’étude R et ȷ#–ℓ = nℓ qℓ v#–ℓ leur densité de courant électrique.
Le vecteur densité de courant électrique total en M :
#–
ȷ = ∑ ȷ#–ℓ = ∑ nℓ qℓ v#–ℓ = ∑ ρℓ #–
v ℓ.
ℓ
ℓ
ℓ
#–
#–
Le courant δ I à travers la surface élémentaire dS est toujours : δ I = #–
ȷ · dS.
!
1.3
Dans le cas d’une solution ionique, uniformément mélangée, la densité volumique de charge
totale ρ est nulle du fait de la conservation de la charge, alors ρ = 0. On veillera à ne pas
confondre la densité volumique de charge ρ avec les densités volumiques de charge des
différentes espèces chargées.
Vecteur densité de courant électrique et changement de référentiel
Le courant électrique dans un métal est un courant d’électrons, libres de se déplacer dans le
cristal ionique formé des atomes qui on perdu leur électron (l’étude de la conduction dans un
métal fait l’objet du paragraphe 3). Dans ce paragraphe, on envisage un solide métallique en
mouvement dans le référentiel R. Le métal reste localement neutre, et les électrons libres sont
527
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
animés d’un mouvement d’ensemble dans le métal. On cherche alors à exprimer le vecteur
densité de courant électrique #–
ȷ dans le référentiel R, ainsi que #–
ȷ m , vecteur densité de courant
électrique dans le référentiel Rm lié au métal.
R
Rm
M
q
conducteur
#–
v m, Rm
#–
ve
Figure 17.4 – Vecteur densité de courant et changement de référentiel.
Comme le solide métallique est localement neutre, la charge δ Q contenue dans un volume
mésoscopique dτ est nulle. Or dans le métal, il y a deux types de porteurs de charges :
• les porteurs mobiles, qui sont les électrons, de densité volumique de charge ρm = −ne,
densité volumique n et de charge −e ;
• les porteurs fixes, qui sont les atomes ionisés du métal, immobiles dans le référentiel Rm
lié au métal, de densité volumique de charge ρ f .
En considérant les charges contenues dans un volume mésoscopique de solide métallique, la
neutralité électrique locale se traduit par :
8
δQ = 0
⇒ ρm + ρ f = 0.
δ Q = ρm dτ + ρ f dτ
Ce résultat était prévisible : si N atomes d’un volume mésoscopique dτ perdent N électrons,
leur charge +Ne est compensée par la charge −Ne des électrons, la charge totale du volume
mésoscopique est nulle.
Dans le référentiel Rm , le vecteur densité de courant électrique #–
ȷ m est :
#–
#–
v m, Rm + ρ f #–
v f , Rm = ρm #–
v m, Rm + ρ f 0 soit
ȷ m = ρm #–
#–
v m, Rm ,
ȷ m = ρm #–
les charges fixes sont immobiles dans Rm .
Dans le référentiel R le vecteur densité de courant électrique #–
ȷ est :
#–
v m,R + ρ f #–
v f ,R ,
ȷ = ρm #–
les charges fixes sont mobiles dans R leur vitesse est la vitesse d’entraînement #–
v e en M, la
vitesse des porteurs mobiles dans R est #–
v m,R = #–
v m, Rm + #–
v e . On en déduit le vecteur densité
528
É QUATION DE CONSERVATION DE LA CHARGE
de courant électrique dans R :
!
"
#–
v m, Rm + #–
v e + ρ f #–
ve
ȷ = ρm #–
"
!
#–
v m, Rm + ρm + ρ f #–
ve
ȷ = ρm #–
#–
ȷ m.
ȷ = ρm #–
v m, Rm = #–
Le vecteur densité de courant dans un conducteur métallique localement neutre mobile
dans un référentiel R est indépendant du référentiel.
2
Équation de conservation de la charge
On considère ici un dispositif dans lequel des charges, de densité volumique de charges
ρ (M,t), se déplacent selon un mouvement d’ensemble caractérisé par un vecteur densité
de courant électrique #–
ȷ (M,t). Du principe de conservation de la charge découle un lien entre
ρ (M,t) et #–
ȷ (M,t) qu’on établit ci-après.
2.1
Équation de conservation de la charge dans le cas d’un problème à
une dimension selon un axe
Dans une situation unidimensionnelle selon l’axe (Ox) où ρ et #–
ȷ ne dépendent que de x et t :
ρ (x,t) et #–
ȷ (x,t) = j (x,t) u#–x .
On effectue un bilan de charges dans un volume élémentaire fixe du référentiel d’étude, cylindrique, de section S0 situé entre les abscisses x et x + dx :
x
x + dx
#–
ȷ (x + dx,t)
x
#–
ȷ (x,t)
QSdx
Figure 17.5 – Volume élémentaire fixe sur lequel on effectue le bilan
de charges électriques pendant dt .
Soit QSdx (t) la charge totale contenue dans le volume Sdx à l’instant t :
QSdx (t) = ρ (x,t) Sdx.
529
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
Soit QSdt (x) la charge qui traverse la section S située à l’abscisse x pendant la durée dt :
QSdt (x) = #–
ȷ (x,t) · (Su#–x ) dt.
Pour traduire la conservation de la charge sous forme d’équation, on écrit que la variation de
la charge dans le volume Sdx entre t et t + dt est égal à la quantité de charge qui rentre en
traversant la section S en x pendant dt moins la quantité de charge qui sort en x + dx :
QSdx ( t + dt ) − QSdx (t) = QSdt (x) − QSdt (x + dx).
La même relation écrite avec ρ et #–
ȷ :
ρ ( t + dt ) Sdx − ρ (t) Sdx = j (x) Sdt − j (x + dx)Sdt,
'
&
'
&
∂ρ
∂j
dt = −Sdt
dx .
Sdx
∂t
∂x
Après simplification par Sdxdt, on obtient l’équation locale de conservation de la charge à
une dimension :
∂ρ
∂j
=− .
∂t
∂x
2.2
Équation de conservation de la charge dans le cas général
Soit un volume V , fixe dans le référentiel d’observation et S la surface qui le délimite,
orientée a priori vers l’extérieur.
S
#–
dS
N
V
M
dτ
R
Figure 17.6 – Volume fixe de l’espace sur lequel on
effectue le bilan de charges électriques.
Pour traduire la conservation de la charge, on égale la variation de la quantité de charges
contenues dans le volume V entre les instants t et t + dt et la quantité de charges qui rentrent
dans le volume V à travers la frontière qui délimite V pendant la durée dt. Soit :
˚
˚
"
#–
#–
ρ (M,t + dt)dτ −
ρ (M,t) dτ =
ȷ (N,t) · (−dS)dt.
V
V
S
On utilise alors le théorème d’Ostrogradski :
˚
"
#–
#–
ȷ (N,t) · dS =
div ( #–
ȷ (M,t)) dτ .
S
530
V
C OURANT DANS UN MÉTAL : MODÈLE DE D RÜDE
D’où :
˚ &
V
'
∂ρ
+ div( #–
ȷ ) dτ dt = 0.
∂t
Comme le volume V est quelconque, on en déduit que cette relation n’est possible pour tout
volume V qu’à condition que l’expression sous le signe d’intégration soit nul. On obtient
l’équation locale de conservation de la charge :
∂ρ
= − div ( #–
ȷ ).
∂t
2.3
Équation locale de conservation de la charge en régime stationnaire
En régime stationnaire l’équation locale de conservation de la charge se simplifie :
div #–
ȷ = 0.
S1
En régime stationnaire, le vecteur densité de
courant électrique #–
ȷ est à flux conservatif.
On retrouve ainsi la loi des nœuds :
"
#–
#–
ȷ · dS = − j1 S1 − j2 S2 + j3 S3 + j4 S4
0 = −I1 − I2 + I3 + I4
2.4
ȷ#–1
ȷ#–2
ȷ#–4
S2
ȷ#–3
S4
S3
Figure 17.7 – Loi des nœuds.
Conclusion
Jusqu’ici on a défini le courant électrique et le vecteur densité de courant électrique sans se
préoccuper de la cause de ce courant. En pratique, on est amené à considérer les charges
et courants dans des matériaux particuliers : solutions ioniques en chimie, conducteurs et
semi-conducteurs en physique. Dans le paragraphe qui suit, on étudie le cas d’un conducteur
métallique, dans lequel les grandeurs ρ et #–
ȷ sont reliées aux propriétés du métal. Enfin, on
relie le vecteur densité de courant électrique au champ électrique appliqué.
3
Courant dans un métal : modèle de Drüde
Les métaux tels que le cuivre, le fer, le zinc, sont conducteurs : soumis à un champ électrique,
ils sont susceptibles d’être traversés par un courant. On présente ici un modèle classique de
conduction électrique. En effet, étudiée à un niveau supérieur, la conduction électrique relève
de la mécanique quantique.
3.1
Description microscopique du métal
Atome d’un métal Un atome d’un métal AZ M, où A est le nombre de masse et Z le numéro
atomique, considéré isolément, possède un noyau constitué de Z protons et (A − Z) neutrons,
531
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
ainsi que Z électrons qui se répartissent sur les orbitales par ordre d’énergie croissante. Les
électrons qui correspondent au niveau d’énergie le plus haut sont les électrons de valence.
Structure microscopique du métal Lorsque les atomes sont réunis pour former un solide,
ils s’organisent selon une structure cristalline, les noyaux des atomes occupant les nœuds du
réseau. Chaque atome libère Ze électrons, parmi les électrons de valence.
La valeur de Ze dépend du métal, pour le cuivre Ze,Cu = 1, pour le zinc Ze, Zn = 2.
Ces électrons sont libérés, dans le sens où ils ne sont plus attachés à un atome particulier
du cristal, ils peuvent se déplacer dans le cristal. Ces électrons libres de se déplacer sont des
électrons de conduction.
Dans le modèle très simple proposé par Drüde 1 , les atomes du métal, qui ont perdu Ze électrons de valence, forment une structure cristalline de charges positives + (Ze ) e, immobiles,
autour desquelles les électrons libérés peuvent se déplacer.
Atome ayant perdu son électron
Électron libre
Figure 17.8 – Métal au niveau microscopique, chaque atome libère Ze électrons.
Pour modéliser le comportement des électrons dans le cristal, Drüde utilise le modèle de la
théorie cinétique des gaz, il parle du gaz d’électrons libres du métal.
Densité volumique des charges fixes, densité volumique des charges mobiles Dans cette
description du métal au niveau microscopique, il apparaît deux types de charges. Les charges
fixes qui correspondent aux atomes qui ont perdu Ze électrons, dont la densité volumique de
charge sera notée ρ f et les charges mobiles qui correspondent aux électrons, dont la densité
sera notée ρm . La neutralité électrique du métal se traduit par :
ρm = −ρ f .
Le tableau ci-dessous donne les valeurs de la densité n d’électrons libres, ainsi que la valeur
de Ze pour quelques métaux courants.
1. Paul Drüde 1863 − 1906 physicien allemand, spécialisé en optique.
532
C OURANT DANS UN MÉTAL : MODÈLE DE D RÜDE
Élément
Ze
Cu
Au
Fe
Al
1
1
2
3
"
!
n 1022 cm−3
8, 47
5, 9
17, 0
18, 1
Pour ces métaux, les densités moyennes de charges fixe ou mobile se déduisent du tableau :
ρm = −eZe n = −ρ f .
Modélisation du gaz d’électrons libres Par analogie avec la théorie cinétique des gaz,
la description du gaz d’électrons dans le référentiel lié au métal Rm comporte trois points
essentiels :
• un électron se déplace au cours du temps et subit une succession de collisions sur les ions
du réseau. Une collision est un évènement très bref, que l’on considère instantané. Entre
deux collisions successives, l’électron ne subit aucune force, il se déplace donc en ligne
droite ;
• la vitesse qu’acquiert un électron après une collision ne dépend pas de la vitesse qu’il avait
avant la collision. Cette vitesse a une direction aléatoire, et sa valeur dépend seulement de
la température au point où s’est produit la collision ;
• on note τ la durée moyenne entre deux collisions successives, on l’appelle parfois temps
de relaxation.
Avec ces hypothèses, lorsqu’un métal n’est soumis à aucun champ électrique, la vitesse
moyenne des électrons dans le référentiel du métal est nulle en tout point du métal.
Dans un métal qui n’est soumis à aucun champ électrique, la vitesse #–
v des électrons,
dans le référentiel Rm lié au métal, a une valeur moyenne nulle. Le vecteur densité de
courant électrique est donc nul :
#–
< #–
v > = 0 donc
3.2
#–
#–
ȷ = 0.
Conduction dans un métal soumis à un champ électrique permanent : modèle de Drüde
#–
Le métal décrit précédemment est maintenant soumis à un champ électrique E permanent et
uniforme.
Modèle statistique Les hypothèses précédentes sont conservées, sauf celle qui concerne la
force subie par l’électron entre deux collisions successives. Entre les deux collisions, l’élec#–
#–
tron subit la force électrique F el = −e E . On représente figure 17.9 la trajectoire d’un électron, en marquant d’un point la position des collisions successives qu’il subit.
L’application du principe fondamental de la dynamique à un électron entre deux collisions
successives, numérotées (i) et (i + 1), dans le référentiel lié au métal que l’on suppose galiléen s’écrit :
533
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
#–
E
#–
v 0,i
ti
#–
v 0,i+1
ti+1
Figure 17.9 – Trajet d’un électron particulier au sein du métal.
d #–
pe
d #–
v
#–
#–
= F el soit me
= −e E .
dt
dt
Soit ti l’instant où se produit la première collision considérée. Attendu que le champ électrique est stationnaire et uniforme, la vitesse v#–i de l’électron à l’instant ti+1 où se produit la
collision suivante s’exprime ainsi :
#–
– + −e E
(ti+1 − ti ) .
v#–i = v#0i
me
– est la vitesse de l’électron juste après la collision numéro (i), et m la masse de l’élecoù v#0i
e
tron.
D’après les hypothèses du modèle, la moyenne des vitesses initiales est nulle :
#–
⟨v#0i–⟩ = 0 ,
La vitesse moyenne des électrons est calculée en effectuant la moyenne des vitesses v#–i sur
l’ensemble des trajets des électrons entre deux collisions successives, avec ⟨ti+1 − ti ⟩ = τ :
⟨ v#–i ⟩ =
−e #–
E .τ .
me
Le vecteur densité de courant volumique s’en déduit :
#–
ȷ = (−n0 e)⟨ v#–i ⟩,
soit
n0 e2 τ #–
#–
E.
ȷ =
me
Modèle phénoménologique Le même résultat est obtenu en considérant l’évolution d’un
électron qui aurait le comportement moyen de l’ensemble des électrons, entre deux collisions
#–
successives, soumis à la force électrique −e E d’une part et d’autre part à une force de frottem
#–
ment f = − #–
v , qui modélise l’action du réseau sur l’électron pendant son mouvement.
τ
Le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel Rm s’écrit :
d #–
v
#– me #–
v.
= −e E −
me
dt
τ
534
C OURANT DANS UN MÉTAL : MODÈLE DE D RÜDE
La vitesse de l’électron vérifie une équation différentielle du premier ordre. La vitesse de
l’électron tend vers une vitesse limite v#–ℓ que l’on déduit de l’équation différentielle. Une fois
dv#–ℓ
−eτ #–
#–
#–
#– me #–
vℓ , puis v#–ℓ =
= 0 , soit 0 = −e E −
la vitesse limite atteinte, #–
v = v#–ℓ alors
E,
dt
τ
me
d’où :
n0 e2 τ #–
#–
E.
ȷ = −n0 ev#–ℓ =
me
L’action des collisions sur un électron en mouvement est équivalent, en moyenne à une
force phénoménologique de frottement fluide :
me
#–
f = − #–
v,
τ
v sa vitesse.
où τ est le temps moyen entre deux collisions, me ma masse de l’électron et #–
3.3
Conductivité d’un métal, loi d’Ohm locale, ordres de grandeur
n0 e2 τ #–
E,
L’expression du vecteur densité de courant obtenue au paragraphe précédent, #–
ȷ =
me
montre que celui-ci est proportionnel au champ électrique appliqué.
On définit la conductivité électrique γ du métal par la relation :
#–
#–
ȷ = γE.
Ce résultat est connu sous le nom de loi d’Ohm locale.
On identifie ainsi la conductivité γ , son unité est le siemens par mètre S.m−1 :
γ=
n 0 e2
τ.
me
On utilise aussi souvent la résistivité ρ , inverse de la conductivité ρ = 1/γ , son unité est
l’ohm mètre Ω.m.
!
Attention à ne pas confondre la résistivité avec la densité volumique de charge pour laquelle
la même lettre grecque est utilisée.
Dans l’expression de γ figure le temps de relaxation τ . Or l’expérience montre que τ dépend
de la température du milieu, c’est pourquoi les données numériques de résistivité pour les
différents métaux envisagés sont données pour trois températures différentes dans le tableau
suivant.
535
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
Élément
Cu
Au
Fe
Al
ρ (10−6 Ω.cm) à 77 K
0, 2
0, 5
0, 66
0, 3
ρ (10−6 Ω.cm) à 273 K
1, 56
2, 04
8, 9
2, 45
ρ (10−6 Ω.cm) à 373 K
2, 24
2, 84
14, 7
3, 55
• La conductivité du cuivre est de l’ordre de 107 S.m−1 .
• La conductivité décroît lorsque la température croît.
Remarque
La résistivité croît avec la température, en effet lorsque la température croît, le nombre
des collisions s’accroît, il en résulte une diminution du temps de relaxation et la durée
moyenne entre deux collisions.
3.4
Loi d’Ohm intégrale
Soit un conducteur ohmique cylindrique de section S, de longueur L et de conductivité γ ,
#–
soumis à un champ électrique E uniforme et permanent orienté parallèlement à sa génératrice.
On note VA et VB les potentiels aux extrémités du cylindre.
#–
E
#–
ȷ
A
B
Figure 17.10 – Cylindre conducteur ohmique soumis à un champ électrique
permanent.
#–
Soumis au champ E , le conducteur est parcouru par un courant
#–
#–
ȷ = γE.
Le courant qui traverse une section du conducteur cylindrique s’écrit :
¨
¨
#–
#– #–
#–
E · dS soit IA→B = γ ES.
IA→B =
ȷ · dS = γ
S
S
Par ailleurs, la circulation du champ électrique de A à B est égale à la différence de potentiel
VA − VB. Elle s’exprime simplement en fonction de E et de L :
ˆ
ˆ
# –
# –
#– # –
E · dOM soit VA − VB = EL.
− gradV · dOM =
VA − VB =
A→B
A→B
En effectuant le rapport de la chute de potentiel et du courant entre A et B il vient :
EL
VA − VB
=
.
IA→B
γ ES
536
C OURANT DANS UN MÉTAL : MODÈLE DE D RÜDE
La loi d’Ohm intégrale s’en déduit.
Dans un conducteur ohmique cylindrique de conductivité γ la chute de potentiel et le
courant sont reliés par la loi d’Ohm :
VA − VB = RAB IA→B
où RAB =
L
.
γS
RAB est la résistance du conducteur cylindrique dont l’unité est l’ohm Ω.
3.5
Puissance cédée aux porteurs
Les électrons libres, mis en mouvement par le champ électrique, reçoivent une puissance par
unité de volume pv . Pour calculer cette puissance volumique, on reprend les résultats du modèle de Drüde. Entre deux collisions, chaque électron n’est soumis qu’à la force électrique :
#–
#–
#– ! #–"
F = −e E dont la puissance est p #–
F = v · −e E .
La puissance reçue par les porteurs d’un volume mésoscopique dτ s’écrit donc :
! #–"
v.
δ P = n0 dτ −e E · #–
v , on en déduit :
On reconnaît le vecteur densité de courant électrique #–
ȷ = −n0 e #–
La puissance volumique cédée aux électrons libres du métal de conductivité γ , et transformée en chaleur par effet Joule est :
pv =
δP
#–
= #–
ȷ · E.
dτ
Remarque
On peut interpréter physiquement cette puissance cédée aux porteurs, dans le cadre du
modèle de Drüde. Cette énergie fournie aux porteurs par le champ électrique augmente
leur énergie cinétique microscopique entre deux collisions. Elle participe aux échanges
énergétiques microscopiques désordonnés, elle est transformée en chaleur ; il s’agit de
l’effet Joule.
3.6
Limite de validité du modèle de Drüde
Limitation du modèle de Drüde aux régimes lentement variable Le modèle de Drüde
met en œuvre un temps de relaxation τ . Comme la mesure de la résistance d’un cylindre
conducteur permet de connaître sa conductivité γ , on déduit la valeur de τ grâce à la relation
n 0 e2
γ=
τ , où n0 se déduit de Ze et de la masse volumique du métal.
me
Aux températures usuelles, on parvient à une valeur de τ voisine de :
τ ≃ 10−14 s.
537
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
Cette valeur est à retenir. En effet, en régime variable, si le temps typique de variation du
champ électrique est beaucoup plus grand que τ , on admet la validité de la loi d’Ohm. Le gaz
d’électrons a alors le temps de suivre les variations du champ électrique.
En notant fmax la fréquence maximale du régime variable envisagé, le modèle de Drüde est
valable à condition que :
1
fmax ≪ .
τ
Limites du modèle de Drüde Le modèle de Drüde est un modèle classique de description du comportement des électrons. Or ceux ci sont des particules microscopiques, dont le
comportement relève de la mécanique quantique.
L’expérience met en défaut le modèle de Drüde sur de nombreux points.
On vérifie par exemple expérimentalement que le libre parcours moyen d’un électron dans un
métal à température ambiante est très supérieur à la longueur de maille du réseau cristallin.
Or, avec de modèle de Drüde le libre parcours moyen calculé est de l’ordre de grandeur de la
longueur de maille.
3.7
Approche documentaire : matériau semi-conducteur, application à
la conversion photovoltaïque
Les semi-conducteurs sont des matériaux essentiels des dispositifs électroniques. Cette approche documentaire a pour but d’acquérir une connaissance des principes physiques auxquels ils obéissent, sans toutefois rentrer dans les développements de la mécanique quantique
dont ils relèvent.
a) Synthèse demandée
À partir des deux documents fournis, dégager les propriétés essentielles des semi conducteurs, ainsi que les grandeurs physiques qui les caractérisent, en lien avec le cours sur la
conductivité.
b) Premier document : extrait de A.VAPAILLE, R.C ASTAGNÉ, Résistivité des semi-conducteurs, Techniques de l’Ingénieur, K720, Sciences fondamentales
L’apparition des semi-conducteurs dans les années 50 a révolutionné les domaines de l’électronique et de l’informatique. On sait contrôler, grâce au dopage (introduction d’impuretés
dans le matériau pur, de façon très précise), leurs propriétés électriques.
Il est possible de fabriquer des matériaux semi-conducteurs dont la résistivité varie entre 10−5
et 102 Ω.m à température ambiante.
La résistivité des semi-conducteurs est sensible :
• à l’état cristallin du matériau (monocristallin ou non) ;
• à l’importance du dopage (déterminé par la densité d’impuretés introduites).
Ici, on se contentera de distinguer :
• le matériau monocristallin non dopé ou matériau intrinsèque ;
• le matériau monocristallin dopé ou matériau extrinsèque.
538
C OURANT DANS UN MÉTAL : MODÈLE DE D RÜDE
Matériau monocristallin non dopé ou matériau intrinsèque À 0 K, et dans le noir, ce
matériau est parfaitement isolant. En effet tous les électrons sont engagés dans des liaisons
covalentes. Ils sont non mobiles.
En portant le matériau à une température suffisante ou en l’éclairant, on lui apporte une
énergie supérieure à Eg , susceptible de faire passer un électron de la bande de valence à
la bande de conduction, ce qui crée un trou. Un trou est une place vacante laissée par un
électron parti dans la bande de conduction. Un trou est une charge positive.
Sur la figure 17.11, une double barre représente une liaison covalente (2 électrons par liaison,
un électron par barre). Ainsi, une liaison brisée est figurée par une simple barre. L’électron
arraché • e laisse derrière lui une place vacante, ou trou, figurée par l’ion Si+ .
e
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si+
Si
Si
Si
Si
Si
Apport
d’énergie
Si
Si
Si
Si
Si
Figure 17.11 – Silicium monocristallin vu à plat.
Dès lors, la conduction est possible de deux façons :
• par les électrons libres qui remontent le champ électrique ;
• par les trous libres qui descendent le champ électrique.
Remarque : on appelle porteurs ou porteurs libres, les électrons ou les trous libres capables
de transporter le courant.
La figure 17.12 montre le déplacement d’un trou qui résulte du passage d’un électron de
valence de Si2 vers l’environnement de Si1 puis de Si3 vers Si2 .
#–
E
e
Si
Si
Si+
1
Si
Si
Si
Si
#–
E
Si Si
Si
Si+
2
Si
Si
Si
Si
Si Si
Si
#–
E
Si
Si Si
Si
Si
Si Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si+
3
Si
Si
Figure 17.12 – Déplacement des trous et des électrons dans un semi conducteur
intrinsèque sous l’effet d’un champ électrique.
Principales caractéristiques des semi-conducteurs usuels à 300 K
Matériau
Nc (m−3 )
Nv (m−3 )
Eg (eV )
ni (m−3 )
Ge
Si
GaAs
1, 04.1025
2, 8.1025
4, 7.1023
6.1024
1, 04.1025
7.1024
0, 66
1, 12
1, 43
2, 4.1019
1, 45.1016
1, 79.1012
539
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
Suite du tableau (I)
Matériau
Ge
Si
GaAs
µn
(m2 .V−1 .s−1 )
0, 39
0, 15
0, 85
µ p (m2 .V−1 .s−1 )
ρi (Ω.m)
0, 19
0, 045
0, 04
0, 47
2, 3.103
106
Nc et Nv sont les densités effectives dans les bandes de conduction et de valence, Eg est
la largeur de la bande interdite, ni la concentration intrinsèque des porteurs, µn et µ p les
mobilités, ρi la résistivité.
!
"
La conductivité, σi Ω−1 .m−1 , inverse de la résistivité ρi (Ω.m), d’un matériau intrinsèque
(un matériau intrinsèque est un monocristal non dopé) est donnée par la somme des contributions des électrons et des trous libres :
σi = ρi−1 = q (n µn + pµ p) ,
où q est la charge élémentaire, 1, 6 × 10−19 (C), n et p (m−3 ) sont les concentrations des
électrons et des trous, µn et µ p (m2 .V−1 .s−1 ) sont les mobilités des électrons et des trous.
Dans le cas d’un matériau intrinsèque, on a toujours, en désignant par ni la concentration
intrinsèque des porteurs :
n = p = ni .
En effet, électrons et trous sont créés simultanément, ou se recombinent simultanément (l’électron tombe dans un trou). On peut donc écrire :
σi = ρi−1 = qni (µn + µ p) ,
à l’équilibre thermique (matériau non éclairé, non soumis à un champ électrique, etc). La
concentration intrinsèque ni se calcule au moyen de la relation :
ni =
5
Nc Nv exp (−Eg /2kT ),
avec :
• Nc , Nv densités effectives dans les bandes de conduction, de valence on trouvera des valeurs
dans le tableau ci-dessus ;
• Eg (eV) largeur de la bande interdite, c’est-à-dire l’énergie qu’il faut fournir à un électron
de valence pour le libérer ;
• k constante de Boltzmann : k = 1, 38 × 10−23 (J.K−1 ) ;
• T (K) température thermodynamique.
Il résulte de cette relation que ni croît rapidement avec la température comme le montre le
graphe 17.14 page suivante, donnant ln (ni ) en fonction de 1/T pour le germanium (Ge), le
silucium (Si) et l’arséniure de gallium (GaAs).
Les mobilités variant beaucoup moins que ni avec la température, ρi décroît très rapidement
lorsque la température croît. Les matériaux semi-conducteurs intrinsèques peuvent donc être
relativement isolants à température ordinaire. Toutefois, seuls les semi-conducteurs à faible
largeur de bande interdite, comme le germanium, peuvent être obtenus dans un état de pureté
540
C OURANT DANS UN MÉTAL : MODÈLE DE D RÜDE
Exemple de matériau N : silicium dopé
au phosphore Supposons que des atomes de
phosphore (P) soient diffusés dans le réseau cristallin du silicium et qu’ils s’y placent en position substitutionnelle (c’est à dire qu’un atome
de phosphore prend la place d’un atome de silicium)
Chaque atome de phosphore va se trouver environné de 4 atomes de silicium avec lesquels il va
échanger 4 de ses 5 électrons de valence. Ce cinquième électron de valence est très faiblement
lié et un apport d’énergie de quelques 10−2 eV
va suffire à le libérer.
Si
e
Si
P
Si
Si
Apport
d’énergie
Si
!
"
ni m−3
suffisant pour être intrinsèques à température ordinaire. Pour les matériaux à large bande interdite (Si, GaAs), il est impossible de les raffiner suffisamment pour les obtenir sous forme
intrinsèque à température ordinaire. En effet, les impuretés résiduelles électriquement actives
sont en concentration supérieure à ni,300K et donnent au matériau à cette température le comportement extrinsèque que nous allons maintenant étudier.
Matériau monocristallin dopé ou matériau
1024
extrinsèque En diffusant, dans un matériau
semi-conducteur, certaines impuretés électrique1023
ment actives, on peut :
• privilégier la conduction par électrons ou la
Ge
1022
conduction par trous, donc réaliser des matériaux de type N ou de type P ;
1021
• contrôler la résistivité du matériau typiquement entre 10−5 et 102 Ω.m
1020
Si
électron libre
Si
1018
1017
1016
1015
GaAs
1014
1013
1012
0, 5
1
1, 5
2
1000/T
P+
Si
1019
Si
Figure 17.13 – Dopage de type N, ou donneur.
2, 5
!
K−1
3
3, 5
"
Figure 17.14 – Concentration
intrinsèque en fonction de la
température.
Il en résulte que, pour des températures supérieures à quelques dizaines de kelvin, la plus
grande partie des atomes de phosphore aura donné son cinquième électron. On dit que le
phosphore est une impureté de type donneur du silicium. Par conséquent, dans ce type de
matériaux, entre quelques dizaines de kelvin et quelques centaines de degrés Celsius, pratiquement les seuls porteurs libres sont les électrons donnés par les atomes de phosphore. On
a donc, Nd étant la concentration des atomes donneurs :
n ≃ Nd .
La conductivité σn d’un matériau extrinsèque de type N est égale à :
541
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
σn = qnµn = qNd µn .
Au-dessous de ce domaine de température (pour des températures inférieures à quelques
dizaines de kelvin), les atomes de phosphore ne sont pas ionisés : le matériau est isolant.
Les valeurs usuelles de Nd pour les silicium varient de 1020 à 1025 m−3 .
Exemple de matériau P : silicium dopé au bore Supposons que des atomes de bore (B)
soient diffusés dans le réseau cristallin du silicium et qu’ils s’y placent en position substitutionnelle.
Chaque atome de bore, entouré de 4 atomes voisins de silicium, ne va pouvoir satisfaire que
3 liaisons de valence ; la quatrième liaison, incomplète, comporte un seul électron.
Un faible apport d’énergie (quelques 10−2 eV) va faire passer un électron d’une liaison voisine à la liaison B − Si incomplète :
Si
B
Si
Si
Si
Si
Si
Apport
d’énergie
Si
B−
Si
Si
Si
Si
Si+
Si
Si
Figure 17.15 – Dopage de type P, ou accepteur.
conduisant à la création d’un ion B− fixe et d’un trou (ion Si+ ) mobile. On dit que le bore
est une impureté de type accepteur du silicium. Il en résulte que, pour ce matériaux, entre
quelques dizaines de kelvin et quelques centaines de degrés Celcius, pratiquement les seuls
porteurs mobiles sont les trous créés par les atomes de bore.
On a donc, Na étant la concentration des impuretés acceptrices :
p ≃ Na
La conductivité σ p d’un matériau extrinsèque de type P est égale à :
σ p = qpµ p ≃ qNa µ p
Au-dessous de ce domaine de température (comme pour le matériau N), le matériau P est
isolant ; au-dessus, il tend vers le comportement intrinsèque.
Les valeurs usuelles de Na pour les silicium varient de 1020 à 1025 m−3 .
Impuretés de dopage usuelles En règle générale, une impureté ayant un électron de plus
sur sa couche externe que l’atome de la matrice cristalline auquel elle se substitue dope N. Si
l’impureté a un électron de moins, elle dope P.
542
C OURANT DANS UN MÉTAL : MODÈLE DE D RÜDE
Résistivité du silicium en fonction de la concentration de dopants Lorsqu’on fait varier
la concentration de dopants dans le matériau, la résistivité du silicium varie.
102
Type P
(bore)
10
ρ (Ω.m)
1
10−1
10−2
10−3
Type N
(phosphore)
10−4
10−5
10−6
1018
1019
1020
1021
1022
Ndopant
1024
1023
!
m−3
1025
1026
1027
"
Figure 17.16 – Résistivité du silicium dopé.
c) Deuxième document : extrait de D.L INCOT , J.F.G UILLEMOLES, P.R OCA, I. C ABARRO ◦
CAS , L.E SCOUBAS , A.S LAOUI , L’électricité, fille du Soleil, Pour la Science n 69, Octobre-Décembre 2010
En 1839, le physicien français Edmond Becquerel découvre l’effet photovoltaïque, c’est-àdire la conversion de la lumière en électricité. Aujourd’hui l’industrie photovoltaïque connaît
un développement accéléré associé à d’intenses recherches visant à augmenter les rendements
de conversion et diminuer les coûts de production afin de rendre cette source d’énergies de
plus en plus compétitive.
L’énergie solaire représente une ressource immense et renouvelable qui ne demande qu’à
être utilisée de façon plus importante. Un carré de 25 kilomètres de côté reçoit chaque année
l’équivalent de la production totale d’électricité en France, environ 550 milliards de kilowattheure.
Conversion photovoltaïque La conversion photovoltaïque correspond à la conversion directe de la lumière en électricité.
Elle pourrait représenter de 4 à 12 pour cent de la production d’électricité en Europe en
2020. Son développement pourrait aussi profiter à l’électrification des pays en développement. L’énergie solaire arrive sous la forme d’un rayonnement lumineux dont les longueurs
d’onde vont de l’ultraviolet à l’infrarouge avec un pic dans le domaine du visible situé à 550
nanomètres, c’est-à-dire dans le jaune-vert. La puissance totale reçue, sur la Terre, hors atmosphère, est de 1 350 watts par mètre carré. Cet éclairement est noté AM0. Au sol, après
543
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
la traversée de l’atmosphère, la puissance diminue et l’on définit de nouveaux standards :
AM1 au niveau de l’équateur, AM1,5 et AM2 sous les plus hautes latitudes, où la lumière
doit traverser 1,5 ou 2 fois l’épaisseur de l’atmosphère. La puissance AM1,5 standard (1 000
watts par mètre carré) est la référence dans les calculs de rendements énergétiques.
Séparer les électrons des trous Pour convertir les photons en électricité, on utilise des cellules solaires constituées de semi-conducteurs. Ces matériaux sont dotés d’une bande d’énergie interdite, nommée gap, dont la largeur dépend de la nature chimique et de la structure du
matériau. Ce gap, exprimé en électrons (eV), vaut 1,1 eV pour le silicium cristallin, de 1,7 à
1,9 eV pour le silicium amorphe hydrogéné, 1,5 eV pour l’arséniure de gallium (GaAs) ... Un
photon est absorbé par un semi-conducteur quand son énergie (également exprimée en eV)
est supérieure au gap, sinon il le traverse. Lorsque le photon est absorbé, il cède son énergie
à un électron qui passe de la bande de valence à la bande de conduction en laissant derrière
lui un « trou » : il crée une paire électron-trou.
Pour créer une puissance électrique, on doit séparer les électrons et les trous.
Pour cela, on utilise une jonction p − n constituée par le contact entre un semi-conducteur de
type p et un semi-conducteur de type n (voir figure 17.17).
Type n
#–
Champ E
Type p
Bande
de conduction
Bande
interdite
I
I
Contact
avant
Contact
arrière
photon
Bande
de valence
1 à 200 micromètres
Figure 17.17 – Jonction PN.
Ces deux types sont obtenus en introduisant dans le silicium de petites quantités respectivement de bore et de phosphore. Chaque atome de bore capte un électron et se charge né544
C OURANT DANS UN MÉTAL : MODÈLE DE D RÜDE
gativement en créant un trou positif dans la bande de valence, tandis que chaque atome de
phosphore libère un électron dans la bande de conduction et se charge positivement.
Au voisinage immédiat de la jonction, les porteurs libres diffusent vers la zone où leur concentration est plus faible : les électrons de la zone n diffusent vers la zone p et les trous de la
zone p diffusent vers la zone n. Il se crée ainsi une zone globalement neutre, mais chargée
positivement du côté n et négativement côté p.
Ainsi, au contact des zones n et p, un champ électrique important s’installe, dirigé de la
zone n vers la zone p. Grâce à ce champ, les paires électron-trou créées par les photons sont
séparées : les électrons se dirigent vers la zone n, alors que les trous vont vers la zone p. Il
en résulte un courant électrique, on parle de photocourant, qui peut circuler dans le circuit
extérieur. La jonction fournit également une tension, dont la valeur idéale est proche de celle
correspondant au gap (exprimé en volts).
Produire de l’énergie électrique
Intensité (I)
Vco
O
Point de
fonctionnement
Tension (U)
Icc
Figure 17.18 – Caractéristique tension courant de la jonction PN éclairée.
Pour une telle cellule, on peut définir deux grandeurs fondamentales : la tension de circuit
ouvert Vco , qui correspond à la tension mesurée lorsqu’aucun courant ne circule, et le courant
de court-circuit Icc correspondant à l’intensité du courant pour une tension nulle.
Cependant, pour créer de la puissance, on doit maximiser le produit (tension par intensité)
entre les conditions de court-circuit et celle de circuit ouvert, ce qui définit un point de fonctionnement optimal.
Rendement quantique Outre les matériaux de la cellule, le courant créé dépend de la longueur d’onde , comme le montre la réponse spectrale, c’est-à-dire la représentation du nombre
d’électrons collectés dans le circuit extérieur par photon absorbé, en fonction de la longueur
d’onde.
Dans la zone la plus efficace, ce rapport, nommé rendement quantique, est voisin de un,
les pertes étant dues à la réflexion de la lumière. La longueur d’onde λ des photons (en
nanomètres) est liée à leur énergie E (en eV) par la relation λ E = 1241. Ces principes de
fonctionnement d’une cellule solaire photovoltaïque sont exploités par quasiment la totalité
des cellules aujourd’hui commercialisées !
545
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
Nombre d’électrons collectés par photon
1
Longueur
d’onde
0
300 nm
1100 nm
Figure 17.19 – Rendement quantique.
Quand on s’intéresse à ces cellules en termes de rendement, on se rend compte que le paramètre fondamental est la largeur du gap : plus elle est faible et plus l’intensité du photocourant
est élevée et... plus la phototension est faible. On calcule que l’on a un optimum de la puissance pour des valeurs de gap situées autour de 1,4 eV.
Le rendement, correspondant au rapport entre la puissance électrique et la puissance lumineuse, possède alors un maximum théorique d’environ 30 % sous un éclairement standard et
peut atteindre près de 40 % quand la lumière est concentrée. Notons que le rendement maximum obtenu expérimentalement sous éclairement standard est de 25 % dans le cas d’une
cellule au silicium.
d) Synthèse de l’approche documentaire
Premier document Les semi-conducteurs sont des matériaux isolants au zéro absolu et loin
de la lumière. Au zéro absolu les atomes du cristal ne vibrent pas, et les électrons de valence,
ceux qui sont les plus externes sur les atomes du semi conducteur intrinsèque restent attachés
à leur atome. Le texte précise que le matériau doit être hors de la lumière, car la lumière
délivre des photons au matériau. L’énergie d’un photon est donnée par la relation de Planck
Einstein E = hν . Si celle ci est supérieure à l’énergie de gap Eg , un électron de valence peut
passer dans la bande de conduction.
La figure 17.20 page suivante représente les bandes de niveaux d’énergie d’un semi-conducteur
et d’un métal. On distingue la bande de valence notée BV, et la bande de conduction notée
BC. Un électron qui se trouve dans la bande de conduction est délocalisé, n’étant plus attaché
à un atome du cristal, il participe au courant ; s’il se trouve dans la bande de valence, il est
attaché à un atome du cristal et n’est pas mobile.
Le comportement des métaux est très différent, puisqu’ils ont des électrons dans la bande de
conduction, même à très basse température.
À la température T , l’agitation microscopique de la matière est suffisante pour que certains
électrons de la bande de valence passent dans la bande de conduction.
La quantité d’électrons libres dans un semi conducteur à température T est donnée par la
relation :
'
&
5
Eg
ni = Nc Nv exp −
.
2kT
546
C OURANT DANS UN MÉTAL : MODÈLE DE D RÜDE
E
E
BC
BC
Eg
BV
semi-conducteur
BV
métal
Figure 17.20 – Bandes d’énergies des semi-conducteurs et des métaux.
Cette relation fait intervenir le facteur de Boltzmann, ce qui est cohérent avec le fait que le
système constitué des électrons de valence du semi conducteur est un système à l’équilibre
thermique dont on étudie la répartition entre les niveaux d’énergie : haut (correspondant à la
bande de conduction) et bas (correspondant à la bande de valence).
Cette relation montre que la densité ni des porteurs libres croît avec la température. La figure
4 du document numéro 1 est la représentation linéarisée de cette relation, puisqu’elle porte
en abscisse 100/T et en ordonnée ln ni
Lorsqu’on applique un champ électrique à un semi conducteur intrinsèque à la température
#–
T > 0, il apparaît un courant. On a vu dans le cours la loi d’Ohm locale #–
ȷ = γ E . La conductivité du milieu est notée σ dans le texte. On a aussi vu dans le cours que le vecteur densité de courant électrique, dans un milieu où plusieurs types de porteurs se déplacent, est
#–
ȷ = ∑ qα nα #–
v α.
Dans le semi-conducteur il y a deux types de porteurs : les électrons libres et les trous libres.
C’est pourquoi le vecteur densité de courant est la somme de deux termes #–
ȷ = #–
ȷ n + #–
ȷ p , celui
des électrons libres et celui des trous libres. Les vecteurs densité de courants associés sont
#–
#–
#–
ȷ p = eni µ p E pour les trous libres.
ȷ n = (−e) ni (− µn ) E pour les électrons libres et #–
Les grandeurs µn et µ p appelées mobilités permettent de calculer la vitesse des porteurs en
#–
fonction du champ électrique appliquée, puisque #–
v = µE.
Le tableau de la figure 3 montre que µ p < µn pour tous les semi conducteurs, par exemple
pour le le silicium, le rapport est de 0, 15/0, 045 ≃ 3.3, le courant de trous est donc trois fois
plus faible que le courant d’électrons.
On en déduit :
• que le courant de trous est indépendant du courant d’électrons ;
• que le passage d’un trou d’un atome de Si à son voisin est plus difficile, car cela suppose
l’arrachage d’un électron de valence qui est directement transféré sur son voisin.
La conductivité d’un semi conducteur intrinsèque est très dépendante de la température, on
voit grâce à la figure 4 que pour le silicium, ni varie de 2 × 1015 à 2 × 1018 m-3 entre 0°C et
100°C ce qui correspond à une conductivité multipliée par 103 , mais qui reste très inférieur à
la densité de porteurs libres apportés par le dopage, donc on en déduit que les fluctuations de
conductivité dues à la variations de densité de trous et électrons intrinsèques sera négligeable.
Les semi conducteurs sont intéressants quand ils sont dopés.
547
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
On peut doper le silicium avec du phosphore. Le phosphore est le voisin de droite du silicium
dans la classification périodique, il a un électron de valence de plus que Si. Lorsqu’un atome
de phosphore est inséré dans un cristal de silicium, il apporte un électron supplémentaire.
C’est un dopage donneur. La densité d’électrons libres est alors n = Nd où Nd est la densité
d’atomes donneurs introduits. Là où se situe l’atome de phosphore se trouve une charge
positive fixe.
On peut doper le silicium avec du bore. Le bore est située sur la colonne à gauche de Si,
il a donc un électron de valence de moins que Si. C’est un dopage accepteur. Lorsqu’un
atome de Bore est inséré dans un cristal de silicium, il manque un électron de valence, celuici pourra être remplacé par un électron de valence d’un atome de Si voisin et générer ainsi un
trou, libre de se déplacer sous l’effet d’un champ électrique. Là où se trouve l’atome de Bore
se trouve une charge négative fixe.
Second document Ce second document porte sur une application possible des semi conducteurs. Il expose le principe de la conversion photovoltaïque réalisée dans les panneaux
solaires photovoltaïques.
Lorsqu’un photon d’énergie supérieure à l’énergie de gap Eg arrive sur un semi conducteur,
un électron est propulsé de la bande de valence vers la bande de conduction, créant un trou
par la même occasion.
Pour que ces charges libres créées puissent former un courant, il faut un champ électrique.
Le dispositif qui crée ce champ est la jonction PN. En effet, lorsque deux pastilles de silicium
dopées P et dopées N sont accolées, il se crée au niveau de la jonction une zone, appelée zone
de charge d’espace, qui est vide des porteurs libres, car ceux-ci ont diffusé. Les électrons
libres de la zone N ont diffusé dans la zone P laissant une zone vide de porteurs libres, mais
de charge volumique positive ρd = Nd e ; simultanément, les trous libres de la zone P ont
diffusé vers la zone N laissant une zone vide de porteurs libres, mais de densité volumique
de charges ρa = −eNa négative.
Un champ électrique s’installe dirigé de la zone N vers la zone P.
Finalement la paire électron-trou créée par l’absorption d’un photon se déplace grâce au
#–
champ E , et, à condition que le circuit électrique soit fermé, un courant circule.
Pour caractériser une cellule photovoltaïque, on peut tracer sa caractéristique courant I en
fonction de la tension U à ses bornes, en convention récepteur, comme elle est donnée figure
3.
La différence deˆpotentiel entre les zones n et p est donnée par la circulation du champ
#– #–
#–
électrique : U =
E · dl elle est bien positive, puisque E est dirigée de n vers p.
n→p
On remarque que la caractéristique est dans le quatrième quadrant. La caractéristique est celle
d’un générateur de tension constante.
Une cellule photovoltaïque génère une énergie électrique continue, et non alternative.
La puissance sera maximale lorsque le produit UI sera maximal, cela se produit lorsque le
point de fonctionnement est au niveau du coude de la caractéristique.
548
C ONDENSATEUR PLAN CONSTITUÉ DE DEUX PLAQUES MÉTALLIQUES CONDUCTRICES À L’ÉQUILIBRE
4
Condensateur plan constitué de deux plaques métalliques
conductrices à l’équilibre
e
A
Un condensateur plan est constitué de deux plaques
A et B conductrices métalliques de même surface S
en regard, distantes d’une distance e et séparées par
de l’air, milieu isolant non conducteur, que l’on assimile au vide.
B
S
−
e
2
e
2
x
Figure 17.21 – Condensateur plan.
4.1
Propriétés d’un conducteur en équilibre statique
On considère un objet métallique à l’équilibre électrostatique, conducteur, caractérisé par sa
conductivité γ . À l’équilibre électrostatique, il n’est le siège d’aucun courant, on en déduit
qu’en tout point :
#–
#–
ȷ = 0.
Cet objet peut porter des charges, mais celles-ci sont immobiles au niveau mésoscopique.
Grâce à la loi d’Ohm, on peut écrire en tout point du conducteur :
#–
#–
ȷ = γE.
#–
#– #–
Comme #–
ȷ = 0 on déduit que E = 0 , le champ électrique est nul en tout point du conducteur.
# –
#–
#– #–
On déduit de E = − gradV et E = 0 que le potentiel électrique V du conducteur est uniforme
V = V0 .
L’équation de Maxwell-Gauss permet alors de connaître la densité volumique de charge dans
le matériau :
#– ρ
div E =
soit ρ = 0.
ε0
En tout point d’un conducteur ohmique en équilibre électrostatique le champ électrique
est nul et la densité volumique de charge est nulle :
#– #–
E = 0,
ρ = 0 et V = V0 .
Il en découle que si l’objet conducteur porte des charges celles-ci sont localisées en surface.
4.2
Phénomène d’influence électrique
Revenons sur une expérience d’électrisation classique.
On frotte un tige en verre avec de la laine, la tige se charge positivement. Si on approche
la tige d’un objet métallique, électriquement neutre, on constate que l’objet est attirée par la
tige.
549
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
On interprète très simplement cette expérience à l’aide du phénomène d’influence électrique :
le champ électrique créé par la tige de verre induit un déplacement des charges libres au
sein de l’objet métallique. Les électrons du métal remontent le champ, ils se dirigent vers
la tige laissant place à une charge positive du côté opposé de l’objet métallique. La charge
globale du métal est inchangée, mais l’objet se recouvre d’une densité surfacique de charge
non homogène.
On parle d’influence électrique
lorsqu’un matériau conducteur
se charge localement sous l’effet
d’un champ électrique extérieur
appliqué.
Objet métallique
#–
E
Figure 17.22 – Influence électrostatique.
Application au cas du condensateur plan On suppose ici que l’armature B du condensateur est reliée au potentiel de la Terre. L’armature A étant portée au potentiel U = VA −VB > 0
à l’aide d’un générateur de tension constante, placé entre la Terre et A.
Le potentiel de l’armature A est uniformément égale à U, alors que celui de l’armature B est
uniformément nul.
A
B
Il apparaît un champ électrique orienté de A vers
B, les conducteurs des plaques se chargent en surface, respectivement de façon positive sur A et négative sur B. Les électrons arrivés sur B sont venus
de A en passant par la Terre.
Les armatures sont chargées respectivement à
QA = Q > 0 et QB = −Q, la neutralité électrique
de l’ensemble des deux armatures est respectée.
4.3
#–
E
U
Q
−Q
Figure 17.23 – Condensateur chargé.
Calcul du champ électrique créé dans un condensateur chargé
Les paramètres géométriques du condensateur sont sa surface S et la distance e entre ses
armatures. On impose à ses bornes une différence de potentiel U = VA − VB , on note Q la
charge portée par l’armature A.
Pour faire cette étude, on modélise le condensateur comme un ensemble de deux plans A et B
Q
distants de e et portant respectivement les densités surfaciques de charges σ = pour A et
S
−σ pour B. Cette modélisation revient à négliger les effets de bord.
On analyse dans un premier temps les symétries, en adoptant un repérage cartésien, l’origine
O du repère étant situé au centre du condensateur, comme le montre la figure 17.24, page
suivante.
Les plans Π (O, u#–x , u#–y ) et Π (O, u#–x , u#–z ) sont plans de symétrie pour la distribution de charge du
condensateur d’extension finie ; si on néglige les effets de bords, alors le splans des armatures
sont considérés infinis, et pour tout point M, les plans Π (M, u#–x , u#–y ) et Π (M, u#–x , u#–z ) sont des
plans de symétrie pour la distribution de charge. On en déduit qu’en tout point M où le champ
550
C ONDENSATEUR PLAN CONSTITUÉ DE DEUX PLAQUES MÉTALLIQUES CONDUCTRICES À L’ÉQUILIBRE
est défini, le champ est porté par u#–x :
#–
E (M) = E (x, y, z) u#–.
x
A
y
De plus, en considérant les armatures comme des
plans infinis, la distribution de charge est invariante par translation selon u#–y et u#–z , on en déduit :
O
z
U
#–
E (M) = E (x) u#–x .
Q
B
x
−Q
En dehors des armatures, l’espace entre les armaFigure 17.24 – Repérage de l’espace
tures est vide de charge, l’équation de Maxwell
pour l’analyse des symétries du
dE
#–
condensateur plan chargé.
Gauss s’écrit div E = 0 soit :
= 0.
dx
e
e
e
e
On en déduit que dans chacune des trois zones −∞ < x < − , − < x < + et + <
2 #– 2
2
2
#–
x < +∞, le champ électrique est uniforme et vaut respectivement E 1 = E1 u#–x , E 0 = E0 u#–x et
#–
E = E u#–.
2
2 x
Pour déterminer E1 , E0 et E2 , on applique un raisonnement par superposition, en utilisant les
e
résultats établis au chapitre 16 paragraphe 8.5. Les plans définis par x = − chargé à σ , et
2
e
#–
#–
x = + chargé à −σ , créent respectivement les champs E σ et E −σ :
2
⎧
e
⎪
pour x > −
⎪
⎨
2
⎪
⎪
⎩ pour x < − e
2
σ #–
#–
ux
Eσ =
2ε0
et
σ #–
#–
Eσ = −
ux
2ε0
On construit le champ total par superposition :
−
σ #–
ux
2ε0
+
σ #–
ux
2ε0
−
A
e
2
⎧
e
⎪
pour x > +
⎪
⎨
2
⎪
⎪
⎩ pour x < + e
2
+
σ #–
ux
2ε0
B
+
σ #–
ux
2ε0
+
σ #–
ux
2ε0
−
σ #–
ux
2ε0
0
σ
#–
E = + u#–x
ε0
−σ
σ
e
2
σ #–
#–
ux
E −σ = −
2ε0
σ #–
#–
E −σ = +
ux .
2ε0
Champ créé
par A seul
Champ créé
par B seul
x
Champ électrique
résultant
Figure 17.25 – Calcul du champ d’un condensateur plan par application d’une
raisonnement par superposition.
551
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
Finalement, on en déduit :
E1 = E2 = 0
et E0 =
σ
Q
.
=
ε0 ε0 S
Un condensateur plan chargé à Q crée un champ électrique uniforme.
Q #–
#–
n
E=
ε0 S
entre ses plaques, le vecteur #–
n étant normal aux plaques, dirigée de la plaque portant
Q > 0 vers la plaque portant −Q. Le champ électrique est nul à l’extérieur.
Pour finir, on établit la relation entre la valeur du champ électrique E0 et la tension U entre
ses bornes, en calculant la circulation du champ électrique d’une armature à l’autre :
ˆ
#–
E · dxu#–x soit U = E0 e.
U = VA − VB =
A→B
4.4
Capacité du condensateur plan, et énergie contenue
La capacité C du condensateur plan, qui porte la charges Q lorsqu’il est soumis à la différence
de potentiels U est définie par :
Q
C= .
U
Le condensateur plan a une capacité : C =
Q ε0 SE0
=
, on retiendra :
U
E0 e
C=
ε0 S
.
e
On peut identifier l’énergie contenue par le condensateur en calculant la puissance reçue par
le condensateur :
p = UI
dU
p = UC
& dt
'
d 1
2
p=
CU .
dt 2
C
I
L’énergie contenue dans le condensateur est :
1
WC = C U 2 .
2
U
Figure 17.26 – Condensateur chargé.
Cette énergie est contenue dans le condensateur sous la forme d’énergie électrique, associée
au champ électrique qui règne entre les armatures. Comme ce champ électrique est uniforme,
on déduit de l’énergie WC la densité volumique we d’énergie électrique, en fonction de E0 :
552
C ONDENSATEUR PLAN CONSTITUÉ DE DEUX PLAQUES MÉTALLIQUES CONDUCTRICES À L’ÉQUILIBRE
1
CU2
1 SU 2 1 S(E0 e)2
WC
2
=
= ε0 2 = ε0
we =
Se
Se
2 Se
2
Se2
1
soit we = ε0 E02 .
2
La densité volumique d’énergie électrique en un point où existe un champ électrique
#–
E est :
ε0 E 2
we =
.
2
L’unité de we est J.m−3 .
Ce résultat est cohérent avec celui déduit des équations de Maxwell, établi au chapitre 30.
4.5
Condensateur avec diélectrique
En insérant un matériau isolant entre les armatures d’un condensateur, on augmente sa capacité. Le matériau isolant, nommé diélectrique, est caractérisé par un coefficient noté εr sans
dimension, appelé permittivité relative.
La capacité du condensateur plan avec diélectrique est la même que celle d’un condensateur
plan avec du vide entre ses armatures, à condition de remplacer ε0 par ε0 εr .
C=
ε0 εr S
.
e
Quelques valeurs de εr , sans unité :
Matériau
εr
Paraffine
2, 2
Porcelaine
5à6
Bakélite
5à6
Plexiglas
3, 3
Air sec
1
SYNTHÈSE
SAVOIRS
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
vecteur densité de courant électrique
bilan de charge
régime stationnaire
conducteur ohmique, loi d’ohm locale
modèle de Drüde
résistance d’un conducteur ohmique
puissance électrique effet Joule
condensateur, approche expérimentale du phénomène d’influence
capacité d’un condensateur plan
rôle des isolants
densité volumique d’énergie électrique
553
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
SYNTHÈSE
SAVOIR-FAIRE
• passer d’une description microscopique (porteurs de charge, vitesse des porteurs) à la
grandeur mésoscopique #–
ȷ
• décrire les différents porteurs, distinguer charge fixe et charge mobile
• écrire l’intensité comme le flux du vecteur densité de courant à travers une surface orientée
• établir l’équation locale traduisant la conservation de la charge électrique en coordonnées cartésiennes à une dimension
• citer l’équation locale de conservation de la charge dans le cas tridimensionnel et interpréter chacun des termes
• définir une ligne de curant et un tube de courant
• en régime stationnaire exploiter le caractère conservatif du vecteur densité de courant
électrique et relier cette propriété à la loi des nœuds
• relier le vecteur densité de courant électrique au champ électrique dans un conducteur
ohmique
• citer l’ordre de grandeur de la conductivité du cuivre
• en régime stationnaire, établir une expression de la conductivité électrique à partir d’un
modèle microscopique
• établir l’expression de la résistance d’un câble cylindrique parcouru par un courant parallèle à son axe
• établir l’expression de la puissance volumique reçue par un conducteur ohmique
• interpréter l’effet Joule
• décrire qualitativement le phénomène d’influence
• exprimer le champ d’un condensateur plan en négligeant les effets de bord et en déduire
la capacité
• prendre en compte la permittivité du milieu dans l’expression de la capacité
• citer l’expression de la densité volumique d’énergie électrique et retrouver son expression dans le cas d’un condensateur plan
MOTS-CLÉS
• vecteur densité de courant
électrique
• équation de conservation
554
de la charge
• phénomène d’influence
• capacité d’un condensa-
teur
• densité
volumique
d’énergie électrique
S’ENTRAÎNER
17.1 Vitesse des électrons dans un fil
(⋆ )
Calculer la vitesse d’ensemble des électrons dans un fil électrique, parcouru par un courant
constant et comparer cette vitesse à la vitesse d’agitation thermique. On choisira des ordres
de grandeurs réalistes.
✎
Les valeurs numériques ne sont pas données à dessein. Pour cet exercice, il faut
choisir les grandeurs physiques nécessaires pour la réponse. Les valeurs numériques
nécessaires à l’application numérique sont très facilement accessibles sur internet,
et certaines sont à connaître.
APPROFONDIR
17.2 Diode varicap (d’après Mines)
(⋆ )
On commence par étudier une diode à jonction PN. C’est un composant électronique constitué de deux pastilles cylindriques (section S, axe dirigé selon u#–x ) de silicium, dopées respectivement P et N, collées en x = 0.
i
V
i
P
N
xA
0
xD
Un semi conducteur dopé P possède NA accepteurs par unité de volume (un accepteur est un
atome de valence 3, introduit dans un cristal de silicium de valence 4, il capte un électron
d’un silicium et crée un ion Si+ , de charge +e ; un accepteur introduit donc un "trou", qui
se déplace de proche en proche et participe ainsi au courant). Un semi conducteur dopé N
possède ND donneurs par unité de volume (un donneur est un atome de valence 5, introduit
dans un cristal de silicium de valence 4, il cède un électron de charge −e au réseau de silicium,
il participe au courant ).
Lors de l’établissement de la jonction, des électrons de la zone N diffusent vers la zone P,
laissant place à une zone qui s’étend de x = 0 à xD , chargée positivement. De même les trous
555
Exercices
A PPROFONDIR
Exercices
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
de la zone P diffusent vers la zone N, créant ainsi entre xA < 0 et x = 0 une zone chargée
négativement. Il s’établit ainsi un équilibre, puisque les charges volumiques créent un champ
électrique qui s’oppose au phénomène de diffusion.
La zone comprise entre xA et xD est appelée zone de dépletion, ou zone de charge d’espace,
en dehors de cette zone la densité volumique de charge ρ (x) est nulle .
#–
On admet que le champ électrique E = E (x) u#–x et le potentiel électrostatique V (x) ne dépendent que de la variable spatiale x.
De plus, les équations de Maxwell dans le silicium sont identiques aux équations de Maxwell
dans le vide à condition de remplacer ε0 par ε = ε0 εr . On donne : ε0 = 8, 85.10−12 F.m−1 ;
εr = 11, 8.
1. Établir la relation entre xA , xD , ND et NA , qui traduit la neutralité globale de la zone de
dépletion.
2. On admet que le champ électrique est nul en dehors de la zone de charge d’espace. Calculer le champ électrique en tout point, puis tracer le graphe de E(x). En déduire V (x), et
représenter l’évolution du potentiel en fonction de x.
3. Exprimer la différence de potentiel V0 = V (xD ) − V (xA ) en fonction de ε , e, NA , ND ,
xA et xD . Expérimentalement on mesure V0 = 0, 7 V, avec NA = 1, 00.1021 m-3 et ND =
2, 00.1023m-3. Calculer numériquement la largeur de la zone de charge d’espace w = xD − xA .
4. Lorsqu’on applique à la diode une tension V (voir schéma), la nouvelle différence de
potentiel entre les zones N et P est V0 − V . La zone de charge d’espace est modifiée, de
sorte que ses extrémités sont xA et xD ont varié par rapport au cas de la diode à l’équilibre, on
note V0 − V = V (xD ) − V (xA ). La diode est dite polarisée en inverse lorsque V = −U avec
U > 0.
Par la suite, on polarise la diode en inverse, avec une tension V = −U.
a. Décrire le comportement de la jonction ? Que vaut alors le courant dans la diode ?
b. Calculer les charges QA et QD des zones de charge d’espace.
c. On définit la capacité dynamique de la jonction :
C=
δ QD
δU
Exprimer cette capacité en fonction de U notamment. Calculer C.
d. Expliquer comment, avec une telle diode, on peut réaliser un filtre sélecteur de fréquence pour un poste radio.
556
CORRIGÉS
17.1 Vitesse des électrons dans un fil
La vitesse d’ensemble v est liée à la densité de courant électrique par j = ρ v, où ρm = n0 e
est la densité volumique de charges mobiles. Dans le cuivre, les charges mobiles sont les
électrons, chaque atome de cuivre du cristal libère une nombre Ze = 1 d’électrons.
La masse volumique du cuivre est µCu = 9 g.cm−3 , sa masse molaire MCu = 64 g.mol−1 . On
déduit ainsi :
ρm =
µCu NA e
= 1, 4.1010 C.m−3 ,
MCu
alors pour un fil de rayon a = 1 mm, parcouru par un courant I = 1 A, la densité de courant
I
j
électrique est j = 2 = 3, 2.105 A.m−2 et la vitesse des porteurs : v =
= 23 µ m.s−1 .
πa
ρm
Pour calculer la vitesse d’agitation thermique, on utilise l’expression de la vitesse quadratique moyenne d’une particule dans un système à l’équilibre thermique, telle qu’elle a été
donnée dans le cours de première année, lors de l’étude de la théorie cinétique :
u⋆ =
6
3kT
,
me
avec me = 9.10−31 kg, on obtient : u⋆ = 1, 2.105m.s−1 .
On remarque que les ordres de grandeurs de ces deux vitesses ne sont absolument pas comparables, même un fort courant correspond à une vitesse d’ensemble des porteurs correspond
à une vitesse très faibles des électrons.
17.2 Diode varicap
1. La charge globale contenue dans la zone de dépletion est nulle NA S (−xA ) (−e) = ND xD Se,
soit NA xA = −ND xD .
#– ρ
2. Le champ électrique vérifie l’équation de Maxwell Gauss : div E = , dans la zone de
ε
charge d’espace avec ρ = −NA e pour xA < x < 0 et ρ = ND xD pour 0 < x < xD . Comme
#–
#– dE
. On en déduit :
E = E (x) u#–x , on sait que div E =
dx
⎧
dE
<
⎪
⎨ xA < x < 0 :
= −NA e/ε
xA < x < 0 : E (x) = −NA e (x − xA) /ε
dx
⇒
dE
⎪
0 < x < xN : E (x) = ND e (x − xD ) /ε
⎩ 0 < x < xN :
= ND e/ε
dx
557
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
Corrigés
Exercices
CHAPITRE 17 – C OURANT-C ONDUCTEUR ÉLECTRIQUE
dV
# –
#–
De plus, E = −gradV = − u#–x , on en déduit, après intégration :
dx
⎧
x < xA : V (x) = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
N e
⎪
⎨ xA < x < 0 : V (x) = A (x − xA)2 + K1
2ε
ND e
⎪
⎪
0 < x < xN : V (x) = −
(x − xD )2 + K2
⎪
⎪
⎪
2ε
⎩
xD < x : V (x) = K2
Le potentiel est défini à une constante près, et il est continu. On peut fixer V (xA ) = 0, soit
K1 = 0, alors K2 s’en déduit par continuité, finalement : Pour : xA < x < 0 : V (x) =
NA e
ND e
ND e
NA e
(x − xA)2 et pour : 0 < x < xN : V (x) = −
(x − xD )2 +
(xD )2 +
(xA )2 .
2ε
2ε
2ε
2ε
La représentation des ces grandeurs en fonction de x :
V (x)
VD
E (x)
xA
xD
x
xA
xD
x
NA xA e/ε = −ND xD e/ε
3. On obtient immédiatement, avec le choix de l’origine du potentiel en xA , VA = 0 : V0 =
ND e
NA e
ND xD e
ND xD e
VD = +
(xD )2 +
(xA )2 =
(xD − xA), soit V0 = w
. Il faut commencer
2ε
2ε
2ε
&2ε
'
2
ND
ND xD e
−ND
1+
, on en déduit
donc, dans V0 =
par calculer xA et xD . Or xA = xD
NA
2ε
NA
9
6
6
:
2V ε
2V0 NA ε
2V0ND ε
'=
& 0
xD = :
et xA = −
.
:
ND
eND (NA + ND )
eNA (NA + ND )
;
ND e 1 +
NA
Finalement : 6
w = xD − x A =
w = 0, 96 µ m.
2V0 ε
(NA + ND ), soit w =
eNA ND (NA + ND )
6
2ε V0 NA + ND
. Numériquement :
e
NA ND
4.
a. La différence de potentielle aux bornes de la zone de charge d’espace est augmentée,
le champ électrique aussi, la zone de charge d’espace est plus large. Il n’y a aucun courant,
car il n’y a pas de porteurs libres dans la zone de charge d’espace.
Pour calculer les nouvelles valeurs de QA = SxAeNA et QB = SxD eND , on reprend les expres558
sions établies pour la diode à l’équilibre, en replaçant V0 par V0 + U, on obtient :
7
9
: 2ε (V + U)
2ε (V0 + U)ND NA
:
0
' = Se
&
.
QD = −QA = SND e:
;
ND
e (ND + NA )
ND e 1 +
NA
7
6
2ε (eV0 ) ND NA
U
b. On peut écrire QD = QD0 1 +
. Lorsque U varie
avec QD0 = S
V0
(ND + NA )
1
6
de δ U, on obtient, en appliquant le calcul différentiel : δ QD = QD0
δ U soit
U
2V0 1 +
V0
δ QD
C0
QD0
=6
C=
avec C0 =
.
δU
2V0
U
1+
V0
c. La diode obtenue se comporte donc comme un condensateur dont on peut commander la
capacité par une tension. Ainsi, en polarisant en inverse la diode et en appliquant à ses bornes
une tension V = −U, on fait varier la capacité du condensateur, et si on réalise à l’aide de
ce condensateur un circuit passe-bande avec une bobine d’inductance L, on sélectionne les
1
fréquences dans une bande voisine de f0 avec 2π f0 = 5
, en agissant sur U on agit
LC (U)
sur la fréquence sélectionnée par le filtre passe bande.
559
Corrigés
Exercices
C ORRIGÉS
18
On connaît depuis l’antiquité l’existence de phénomènes magnétiques. On attribue à Thalès
de Milet (VIe siècle avant J.C.) la description de la magnétite comme une substance susceptible d’attirer les objets en fer.
Une première application connue est l’utilisation de boussoles, dès le XIe siècle en Europe :
Hans Christian Œrsted montre qu’une aiguille aimantée est mise en mouvement en présence
d’un champ magnétique.
Les divers phénomènes cités s’interprètent au moyen du champ magnétique, dont les sources
sont les aimants permanents et les courants. En première an