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Exo7
Exercices de Michel Quercia
Les exercices suivants ont été recueillis par mes étudiants (Maths-Sup, puis Maths-Spé) aux oraux des concours
d’entrée aux grandes écoles. Ils sont classés par thèmes correspondant grosso-modo aux différents chapitres des
programmes de Maths des CPGE, mais certains exercices anciens sont toutefois devenus hors programme. Pour
la plupart, les exercices sont accompagnés d’une solution plus ou moins succinte allant de la simple réponse au
calcul demandé à une rédaction complète pour les questions non immédiates.
Michel Quercia
Table des matières
I Algèbre générale 6
1 Applications 6
2 Coefficients du binôme 8
3 Ensembles finis 10
4 Nombres complexes 12
5 Opérations 16
6 Groupes 17
7 Anneaux 23
8 Relations d’équivalence 28
9 Relations d’ordre 29
10 Propriétés de N32
11 Propriétés de R34
12 Suites récurrentes linéaires 35
13 Permutations 36
II Arithmétique 38
14 Congruences 38
15 Pgcd 40
16 Relation de Bézout 42
17 Factorisation en nombres premiers 43
1

18 Propriétés de Q44
19 Propriétés de Z/nZ45
III Polynômes 47
20 Polynômes 47
21 Division euclidienne 51
22 Racines de polynômes 54
23 Polynômes irréductibles 58
24 Fonctions symétriques 59
25 Fractions rationnelles 61
26 Décompositions de fractions rationnelles 62
27 Décomposition en éléments simples 64
28 Division suivant les puissances croissantes 66
IV Algèbre linéaire 66
29 Espaces vectoriels 66
30 Applications linéaires 68
31 Espaces vectoriels de dimension finie 69
32 Applications linéaires en dimension finie 71
33 Matrices 76
34 Calcul matriciel 82
35 Équations linéaires 85
36 Déterminants 88
37 Calculs de déterminants 91
38 Rang de matrices 94
39 Projections 98
40 Réductions des endomorphismes 99
40.1 Diagonalisation .......................................... 99
40.2 Calculs .............................................. 101
40.3 Espaces fonctionnels ....................................... 104
40.4 Polynômes caractéristique .................................... 105
40.5 Polynômes annulateur ....................................... 107
40.6 Endomorphismes de composition ................................. 111
40.7 Similitude ............................................. 112
2

40.8 Usage de la réduction ....................................... 113
40.9 Réduction par blocs ........................................ 115
40.10Image et noyau .......................................... 116
40.11Sous-espaces stables ....................................... 117
40.12Trigonalisation .......................................... 118
41 Dualité 119
42 Sommes directes 123
V Algèbre bilinéaire 124
43 Produit scalaire 124
44 Espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 130
45 Formes quadratiques 133
46 Transformations orthogonales 136
47 Endomorphismes auto-adjoints 140
48 Problèmes matriciels 146
49 Espaces vectoriels hermitiens 149
VI Fonctions d’une variable 152
50 Fonctions continues 152
51 Fonctions monotones 155
52 Fonctions usuelles 157
53 Fonctions circulaires inverses 161
VII Calcul différentiel 163
54 Dérivation 163
55 Fonctions convexes 169
56 Formules de Taylor 172
57 Calculs de développements limités 174
58 Calculs de limites par développements limités 176
59 Développements limités théoriques 179
60 Développements limités implicites 180
61 Équivalents 181
62 Équations différentielles linéaires (I) 182
3

63 Équations différentielles linéaires (II) 188
64 Équations différentielles non linéaires (I) 192
65 Équations différentielles non linéaires (II) 193
66 Dérivées partielles 196
67 Étude d’extrémums 205
68 Équations aux dérivées partielles 207
VIII Calcul intégral 209
69 Intégrale de Riemann 209
70 Primitives 215
71 Intégrale généralisée 217
72 Intégrale dépendant d’un paramètre 223
73 Intégrale multiple 232
IX Séries 236
74 Fonction exponentielle complexe 236
75 Séries numérique 237
76 Familles sommables 247
77 Suites et séries de fonctions 249
78 Séries entières 258
78.1 Rayon de convergence ...................................... 258
78.2 Développement, sommation ................................... 260
78.3 Étude au bord ........................................... 263
78.4 Équations différentielles ..................................... 264
78.5 Intégrales ............................................. 266
78.6 Analycité ............................................. 266
78.7 Divers ............................................... 267
79 Séries de Fourier 268
79.1 Développements ......................................... 268
79.2 Calcul de séries .......................................... 270
79.3 Coefficients de Fourier ...................................... 271
79.4 Relation de Parseval ........................................ 272
79.5 Convergence ........................................... 273
79.6 Intégrale de Fourier ........................................ 274
79.7 Divers ............................................... 274
X Topologie 275
4

80 Suites convergentes 276
81 Suites un+1=f(un)280
82 Topologie de R282
83 Topologie dans les espaces métriques 284
84 Topologie dans les espaces vectoriels normés 285
84.1 Géométrie ............................................. 285
84.2 Suites ............................................... 286
84.3 Normes .............................................. 287
84.4 Topologie ............................................. 290
84.5 Fonctions continues ........................................ 292
84.6 Applications linéaires continues ................................. 294
84.7 Connexité ............................................. 297
85 Compacité 298
86 Connexité 300
87 Espaces complets 300
88 Fonctions vectorielles 301
XI Géométrie 302
89 Sous-espaces affines 302
90 Applications affines 304
91 Barycentres 306
92 Propriétés des triangles 307
93 Coniques 309
93.1 Parabole .............................................. 310
93.2 Ellipse ............................................... 311
93.3 Hyperbole ............................................. 312
94 Quadriques 313
95 Torseurs 315
96 Géométrie euclidienne en dimension 2 316
97 Géométrie euclidienne en dimension 3 318
98 Courbes paramétrées 321
99 Courbes en polaires 323
100Courbes définies par une condition 323
101Branches infinies 325
102Points de rebroussement 326
5