f(x) × f(y) - CAPES de Maths

LEÇON N˚ 73 :
Caractérisation des fonctions
exponentielles réelles par l’équation
fonctionnelle f(x+y) = f(x)×f(y).
Pré-requis :
–Continuité et dérivabilité;
–Fonctions logarithme (dérivée et propriétés caractéristiques);
–Fonction exponentielle (définition : fonction réciproque du logarithme, expax=ax,ax+y=axay,
comportement en ±∞).
Le titre nous suggère de commencer par une étude rapide des fonctions exponentielles de base a, qui véri-
fient l’équation fonctionnelle. Nous verrons dans un second temps comment retrouver ces exponentielles à
partir de l’équation fonctionnelle donnée, que nous noterons (⋆).
73.1 Etude des fonctions exponentielles
73.1.1 Définition
Définition 1 : Pour tous a > 0et x∈R, on définit axpar l’égalité
ax=exln a.
La fonction fa:x7−→ axest appelée fonction exponentielle de base a.
Remarques 1 :Si a= 1, on a alors ax= 1 pour tout xréel. Dans la suite, on supposera donc a6= 1. Nous
justifierons la notation axà la section 4.
73.1.2 Études des variations
Proposition 1 : La fonction faest continue et dérivable sur R. De plus, f′
a(x) = ln(a)×fa(x).
démonstration :Cette fonction est continue (resp. dérivable) en tant que composée d’applications
continues (resp. dérivables) sur R. La dérivée se calcule aisément. 
On étudie alors les variations de la fonction fasuivant deux cas :

2Fonctions exponentielles : f(x+y) = f(x)×f(y)
Si a > 1, alors ln a > 0. Dans ce cas, fa(x)>0
(fonction exponentielle) implique que f′
a(x)>0,
quelque soit le réel x. Ainsi faest strictement crois-
sante sur R,fa(0) = 1, et lim
x→+∞fa(x) = +∞et
lim
x→−∞ fa(x) = 0 :
x−∞ 0 +∞
+∞
fa(x)
1
0
Si a < 1, alors f′
a(x)<0pour tout réel x, et on en
déduit que faest strictement décroissante sur R. On
obtient alors le tableau de variations suivant :
x−∞ 0 +∞
+∞
fa(x)
@@@@@
@R
1
0
73.1.3 Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction fa:x7−→ axpossède l’une des trois allures ci-dessous, et admet
toujours une branche parabolique de direction asymptotique l’axe des y.
1
a > 1
a= 1
0< a < 1
1
0x
y
Remarques 2 :
1. Pour le graphique, il a été choisi de prendre a= 0,7pour le cas où aest strictement compris entre 0et 1, ainsi
que a= 2,7dans le cas où a > 1.
2. Soient xun réel et a > 0. Alors
fa(x) = ax=ealn x=e−aln( 1
a)=1
a−x
=f1
a
(−x),
de sorte que les courbes représentatives des fonctions faet f1
a
soient symétriques l’une de l’autre par rapport à
l’axe des ordonnées.
73.1.4 Propriétés
Proposition 2 : Pour tous x, y réels et a > 0,fa(x+y) = fa(x)×fa(y), c’est-à-dire :
ax+y=axay.

Fonctions exponentielles : f(x+y) = f(x)×f(y)3
démonstration :ln(ax+y) = (x+y) ln a=xln a+yln a= ln(ax) + ln(ay) = ln(ax×ay), et
puisque ln est injective, on en déduit que ax+y=axay.
73.2 Caractérisation de fapar l’équation fonctionelle (⋆)
La proposition précédente traduit que la fonction faest solution de l’équation fonctionnelle (⋆). Cherchons
maintenant les éventuelles propriétés que vérifie toute fonction fsolution de (⋆).
73.2.1 Propriétés élémentaires
Notons Fl’ensemble des applications de Rdans Rvérifiant (⋆). On peut déjà dire que :
⋄F6=∅car Fcontient fa(pour tout a > 0) et la fonction nulle;
⋄Si une fonction fde Fs’annule en un point x0, alors fest identiquement nulle. En effet, pour tout
x∈R,f(x+x0) = f(x)×f(x0) = 0, et x+x0parcourt R. Dans la suite, nous n’allons plus considérer
le cas où f≡0, et nous cercherons donc les solutions de (⋆) dans l’ensemble F∗=F\{0}.
⋄Si une fonction fde F∗, alors fest à valeurs positives. En effet, pour tout réel x,
f(x) = fx
2+x 2(⋆)
=hfx
2i2
,
et cette dernière quantité est strictement positive du fait que fne soit pas identiquement nulle.
⋄Enfin, on peut aussi remarquer que f(0) = 1 pour toute fonction f∈F∗. En effet,
f(0) = f(0 + 0) = f(0)2f∈F∗
⇔f(0) = 1.
73.2.2 Continuité
Théorème 1 : Toute fonction f∈F∗continue en un point x0∈Rest continue sur tout R.
démonstration :Soient f∈F∗et x∈Rarbitrairement fixé. On va montrer que fest dérivable en x.
Pour tout h∈R, on a :
f(x+h) = f(x−x0+x0+h) = f(x−x0)×f(x0+h).
Or lim
h→0f(x0+h) = f(x0)par la continuité de fen x0, de sorte que
lim
h→0f(x+h) = f(x−x0)×f(x0) = f(x−x0) + x0=f(x).
Comme xest quelconque dans R, on en déduit que la fonction fest continue sur R.

4Fonctions exponentielles : f(x+y) = f(x)×f(y)
73.2.3 Dérivabilité
Théorème 2 : Toute fonction f∈F∗continue en un point x0∈Rest dérivable sur tout R.
démonstration :Le théorème précédent nous assure déjà que fest continue sur R.fadmet alors une
primitive Fsur Rqui nous amène à écrire que pour tous réels x, y,
Zx
0
f(t+y) dt=Zx
0
f(t)×f(y) dt=f(y)Zx
0
f(t) dt=f(y)F(x).
On effectue alors le changement de variable z=t+ydans la première intégrale, donnant ainsi
Zx
0
f(t+y) dt=Zx+y
y
f(z) dz=f(y)F(x),
ce qui donne finalement F(x+y)−F(x) = f(y)F(x).
En particulier, pour x= 1, cette égalité devient F(y+ 1) −F(1) = f(y)F(1). La stricte positivité de
fimplique que F(1) >0, ce qui rend possible la division par F(1) des deux membres de cette dernière
égalité : pour tout y∈R,
f(y) = F(y+ 1) −F(y)
F(1) .
Puisque Fest dérivable (par définition même), il vient directement que fl’est aussi (puisque fs’exprime
à l’aide de F). Pour être plus précis, on a même pour tout réel yl’égalité
f′(y) = F′(y+ 1) −F′(y)
F(1) =f(y+ 1) −f(y) F(1) .
À présent, nous allons rechercher toutes les solutions de l’équation fonctionnelle (⋆).
73.3 Solutions
Théorème 3 : Soit f:R−→ Rune fonction non identiquement nulle continue en un point x0∈R.
fvérifie l’équation fonctionnelle
∀(x, y)∈R2, f(x+y) = f(x)×f(y)
si et seulement s’il existe une réel atel que fsoit une fonction exponentielle de base a(c’est-à-dire
f(x) = axpour tout réel x).
démonstration :Le sens indirect a déjà été démontré. On ne s’intéressera donc plus qu’au sens direct.
Puisque fest continue en un point, fest dérivable sur Rd’après le théorème 2. En fixant x, on va
dériver l’équation fonctionnelle que vérifie fpar rapport à y:
∀(x, y)∈R2, f′(x+y) = f(x)×f′(y).
Prenons alors y= 1. Les équivalences suivantes sont valables pour tout réel x:
f′(x) = f(x)×f′(0) ⇔f′(x)
f(x)=f′(0) car f(x)>0
⇔ ∃ k∈R|ln f(x) = f′(0)x+k
⇔ ∃ k∈R|f(x) = ef′(0)xek.

Fonctions exponentielles : f(x+y) = f(x)×f(y)5
Or f(0) = 1 ⇒ek= 1 ⇒k= 0. D’autre part, ln définit une bijection de R∗
+dans R, donc il existe un
réel astrictement positif tel que f′(0) = ln a. On peut alors conclure :
∀x∈R, f(x) = exln a=ax=fa(x).
La démonstration s’achève ici. 
73.4 Compléments
Théorème 4 : Les seules fonctions continues sur R, non identiquement nulles et qui vérifient l’équation
fonctionnelle (⋆) sont les fonctions exponentielles.
démonstration :Nous avons déjà vu que les fonctions exponentielles sont solutions de (⋆). Montrons
que ce sont les seules. Soit f∈F∗continue sur R. Posons f(1) = a.
⋄Pour tout n∈N∗,f(n) = f(1 + 1 + ···+ 1) = f(1)n=an.
⋄Pour tout n∈N∗,f(n−n) = f(0) = 1 et
f(n−n) = f(n)×f(−n)⇒f(−n) = 1
f(n)=1 an=a−n,
de sorte que l’égalité f(n) = ansoit vraie pour tout n∈Z.
⋄Pour tout (p, q)∈Z×N∗,f(p) = f(qp
q) = f(p q)qd’après ce qui précède. Ainsi, comme f(p)>0,
on peut élever les deux membres de l’égalité précédente à la puissance 1/q, donnant
fp
q=f(p)1/q = (ap)1/q =ap
q,
ce qui montre que l’égalité f(r) = arest vraie pour tout r∈Q.
⋄On étend ensuite cette égalité à Rgrâce à la continuité de fsur Ret la densité de Qdans R(im-
pliquant donc que tout réel s’écrive comme limite d’une suite de rationnels). Le passage à la limite
donnera alors le résultat suivant : f(x) = axpour tout x∈R.
Ceci démontre non seulement le théorème, mais justifie aussi l’écriture ax.
73.5 Applications
Exercice 1 : Déterminer les fonctions continues sur Rvérifiant l’équation fonctionelle
∀(x, y)∈R2, f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)×f(y).
Solution : On pose g(x) = f(x) + 1 pour tout réel x, de sorte que :
g(x+y) = f(x+y) + 1 et g(x)×g(y) = f(x) + 1×f(y) + 1=f(x)×f(y) + f(x) + f(y) + 1.
Par suite,
g(x+y) = g(x)×g(y)⇔f(x+y) + 1 = f(x)×f(y) + f(x) + f(y) + 1 ⇔f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)×f(y).
Or on sait que l’équation fonctionnelle g(x+y) = g(x)×g(y)admet pour solution non identiquement nulle toute fonction
exponentielle. Il existe donc a > 0tel que pour tout réel x,g(x) = ax⇔f(x) = ax−1.♦